DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI

Transkript

1 Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Elektromekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Doğrusalsızlıklar ve Doğrusallaştırma 1

2 KONTROL SİSTEMLERİ Bir sistemi otomatik olarak kontrol etmek, herhangi bir insan müdahalesi olmaksızın, o sistemin çevresel şartlar ne olursa olsun önceden belirlenmiş bir takım performans kriterlerini yerine getirecek şekilde çalışmasını sağlamak demektir. Örneğin şekildeki gibi vinç motoru olarak kullanılan bir elektrik motorunun hızının kontrol edildiğini düşünelim. Bu motorun hızının kontrol edilmesi demek, kaldırdığı cismin çok hafif olması durumunda da, çok ağır olması durumunda da cismi aynı hızla kaldırması demektir. KONTROL SİSTEMLERİ

3 Herhangi bir anda motorun milinde çok büyük bir yük olabilir. Bu da motorun hızında bir düşüşe neden olabilir. Böyle anlarda kontrol sistemi, motora uygulanan gerilimi artırarak motorun hızını artırır ve yeniden arzu edilen değere (örneğin 1500 devir/dakika) getirir. Bu örnekte; Kontrol Edilen Sistem : Motor Kontrol Giriş Değişkeni : Uygulanan Gerilim Kontrol Çıkış Değişkeni : Motorun Hızıdır. Esasen bu tanım ve örnek, doğrudan Otomatik Kontrol kavramının tanımıdır. Yani kontrol sistemi, motorun hızını (insan etkisi olmadan) otomatik olarak ayarlar. KONTROL SİSTEMLERİ 3

4 Şimdi de şekildeki gibi bir uydunun pozisyonunun kontrol edildiğini düşünelim. Uzaya fırlatılan bir uydunun, yerdeki bir referans noktası ile belirli bir açı yapacak konumda olması istenir (örneğin θ=45 ). Eğer herhangi bir harici etki sebebiyle uydu hareket eder ve açı 45 dereceden farklı bir değer alırsa, kontrol sistemi uyduya uygulanan momenti (tork - T) ayarlayarak, uydunun yeniden referans noktası ile aynı açıyı yapmasını sağlar. Bu örnekte; Kontrol Edilen Sistem : Uydu Kontrol Giriş Değişkeni : Uygulanan Tork Kontrol Çıkış Değişkeni Pozisyon. KONTROL SİSTEMLERİ 4

5 Bu örneklerden de anlayacağımız üzere, bir kontrol sisteminde en temel ögeler, şu şekilde ifade edilebilir. Kontrol Edilen Sistem Kontrol Girişi (Giriş Değişkeni) Kontrol Çıkışı (Çıkış Değişkeni) Bu ögeler, blok diyagram şeklinde aşağıdaki gibi gösterilebilir: KONTROL SİSTEMLERİ 5

6 Kontrol sistemlerine örnekler vermeye devam edelim. Yeni nesil otomobillerdeki Cruise Control Hız Sabitleme fonksiyonu, kontrol sistemlerine ilişkin çok iyi bir örnektir. Sürücü, otomobil belirli bir hızda iken (örneğin 90 km/saat) hız sabitleme düğmesine basar ve bu andan itibaren otomobil yokuş da çıksa, düz yolda da gitse, yokuş da inse, aşırı rüzgara da maruz kalsa (yani çevresel şartlar ne olursa olsun), sürekli 90 km/saat hızla gider. Sürücü ise hız ayarlamaya ilişkin hiçbir şey yapmaz, otomobildeki hız kontrol sistemi, otomobilin hızını sürücünün istediği değerde otomatik olarak tutar. KONTROL SİSTEMLERİ 6

7 Oda sıcaklığını ayarladığımız değerde sabit tutan klimalar da kontrol sistemleri açıklamak için oldukça kullanışlı bir örnektir. Oda sıcaklığı kullanıcı tarafından kumanda ile örneğin dereceye sabitlenir ve bu andan itibaren dışarıdaki hava soğuk da olsa sıcak da olsa, temiz hava gelmesi için cam da açılsa her türlü çevresel şartlarda klimanın içindeki kontrol sistemi, oda sıcaklığını derecede tutar. KONTROL SİSTEMLERİ 7

8 Esasen tabiatta çok sayıda doğal kontrol sistemi de vardır. Örneğin insan vücudundaki pankreas bir doğal kontrol sistemidir. Zira insan kanındaki şeker konsantrasyonu artınca pankreas insulin salgılayarak bu fazla şekeri ısı ve enerjiye dönüştürür ve kandaki şeker konsantrasyonunu normal değerine getirir. Kandaki şeker azalınca da bunu tekrar normal değerine getirir. Bütün bunları otomatik olarak yapar. KONTROL SİSTEMLERİ 8

9 Bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulması gerekir. Tabiattaki tüm dinamik sistemler Diferansiyel Denklemler ile modellenir. Daha sonra bu diferansiyel denklem modeli, kontrolör tasarımı için çok daha kullanışlı bir forma dönüştürülür. Bu dönüşüm için iki yaklaşım söz konusudur: 1. Frekans Domeni Yaklaşımı (Klasik Yaklaşım): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Laplace Dönüşümü yoluyla frekans domeninde ifade edilir.. Zaman Domeni Yaklaşımı (Modern Yaklaşım): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Durum-Uzay Dönüşümü yoluyla zaman domeninde ifade edilir. Şimdi sırasıyla Diferansiyel Denklemler, Laplace Dönüşümü ve Durum Uzay Dönüşümünden bahsedelim. KONTROL SİSTEMLERİ 9

10 Diferansiyel Denklemler Tanım: y=f(x) şeklinde bilinmeyen bir fonksiyon ve onun çeşitli mertebelerden türevlerini içeren denklemlere Diferansiyel Denklemler denir. Diferansiyel denklemler genel olarak,,,,,,..., d y 0 3 n dy d y d y F x y dx dx dx 3 dx n Burada y değişkeni, x e bağlı olarak değerler aldığı için bağımlı değişken olarak adlandırılır. x değişkeni ise rastgele değer alabildiği için bağımsız değişken olarak adlandırılır. KONTROL SİSTEMLERİ 10

11 Mertebe: Bir diferansiyel denklemin mertebesi, o denklemdeki en yüksek türevin mertebesidir. Örneğin Örneğin d y dx dy dx x Bağımsız değişken: x Bağımlı değişken: y Denklemin mertebesi:. dx dt xt 5 Bağımsız değişken: t Bağımlı değişken: x Denklemin mertebesi: 1. diferansiyel denkleminde; diferansiyel denkleminde; KONTROL SİSTEMLERİ 11

12 Derece: Bir diferansiyel denklemin derecesi, o denklemdeki en yüksek mertebeden türevin üssüdür. Örneğin d y d y dy x dx dx dx Bağımsız değişken: x Bağımlı değişken: y Denklemin mertebesi: 4 Denklemin derecesi: 3. diferansiyel denkleminde; KONTROL SİSTEMLERİ 1

13 Bir Diferansiyel Denklemin Çözümü: Bir diferansiyel denklemin çözümü, o denklemi sağlayan bir fonksiyondur. y( x) c sin3x c cos3x y9y0 Örne ğin 1 fonksiyonunun, diferansiyel denkleminin bir çözümü olup olmadığına bakalım (burada c 1 ve c sabit sayılardır); y( x) c sin 3x c cos3 x y( x) 3c cos3x 3c sin 3x 1 1 y( x) 9c sin 3x 9c cos3x 1 yx ( ) için elde ettiğimiz bu ifadeyi ve y(x) ifadesini, verilen diferansiyel denklemde yerine koyup, denklemin sağlanıp sağlanmadığına bakalım: y 9y 0 9c 1 sin 3x 9c cos3x 9 c1 sin 3x c cos3x 0 y( x) c sin3x c cos3x Denklem sağlandığı için, diferansiyel denklemin bir çözümüdür denir. 1 KONTROL SİSTEMLERİ fonksiyonu, verilen 13

14 y x ( ) x Örneğin fonksiyonunun, diferansiyel denkleminin bir çözümü olup olmadığına bakalım; y y( x) x -1 y( x) x yx ( ) için elde ettiğimiz bu ifadeyi ve y(x) ifadesini, verilen diferansiyel denklemde yerine koyup, denklemin sağlanıp sağlanmadığına bakalım: 4 4 y y x x x x x 1 17x x 1 1 Denklem sağlanmadığı için, y( x) x 1 fonksiyonu, verilen diferansiyel denklemin bir çözümü değildir denir. y? KONTROL SİSTEMLERİ 14

15 Not: Bir diferansiyel denklemi çözmek demek, o denklemi sağlayan fonksiyonu bulmak demektir. Bazı diferansiyel denklemlerin çözümü olmayabilir. Eğer bir çözüm varsa bile, bütün diferansiyel denklemlerin çözümünü bulmak için genel bir yöntem/algoritma henüz geliştirilememiştir. Belli bazı tür denklemler için, o denklem türüne özgü çözüm yöntemleri geliştirilmiştir ve halen de geliştirilmektedir. KONTROL SİSTEMLERİ 15

16 Doğrusallık (Lineerlik): Eğer bir diferansiyel denklemde, 1. Bağımlı değişken ve onun tüm türevlerinin üssü 1 ise,. Herhangi bir terimde bağımlı değişken ve onun türevlerinin çarpımı yoksa, 3. Herhangi bir terimde, bağımlı değişkenin sinüs fonksiyonu, üstel fonksiyon gibi doğrusal olmayan fonksiyonları yoksa, bu diferansiyel denklem lineerdir (doğrusaldır) denir. Bu şartlardan herhangi biri sağlanmıyorsa, o diferansiyel denklem nonlineer (doğrusal olmayan) denklemdir. KONTROL SİSTEMLERİ 16

17 Ör: Aşağıda verilen diferansiyel denklemlerin bağımsız değişkenini, bağımlı değişkenini, mertebesini, derecesini ve doğrusal olup olmadığını belirtiniz. 1. d y dx dy dx x Bağımsız değişken: x Bağımlı değişken: y Mertebesi: Derecesi: 1 Doğrusallık: 3 şartı da sağlıyor, doğrusal (lineer).. y y x 0 Bağımsız değişken: x Bağımlı değişken: y Mertebesi: 1 Derecesi: Doğrusallık: İlk terimde bağımlı değişkenin karesi var. Nonlineer. KONTROL SİSTEMLERİ 17

18 3. z zz t 0 4. y Bağımsız değişken: t Bağımlı değişken: z Mertebesi: Derecesi: 1 Doğrusallık: İkinci terimde bağımlı değişkenin ile türevinin çarpımı var. Nonlineer. 1 sin( y) Bağımsız değişken: x x Bağımlı değişken: y Mertebesi: 3 Derecesi: 1 Doğrusallık: İkinci terimde bağımlı değişkenin doğrusal olmayan bir fonksiyonu var. Nonlineer. KONTROL SİSTEMLERİ 18

19 5. 6. y sin( x) 1 x Bağımsız değişken: x Bağımlı değişken: y Mertebesi: 3 Derecesi: 1 Doğrusallık: Bağımsız değişkenin nonlineer terimleri, denklemi nonlineer yapmaz. Bu nedenle bu denklem lineerdir. x dy 3 e y x dx Bağımsız değişken: x Bağımlı değişken: y Mertebesi: 1 Derecesi: 1 Doğrusallık: Doğrusal KONTROL SİSTEMLERİ 19

20 Şimdi sistemlerin diferansiyel denklem modellerine örnekler verelim. Önce şekilde görülen seri RL devresine bakalım. Bu devreyi sistem yaklaşımı içinde incelersek, Sistem Giriş Değişkeni: Uygulanan gerilim (v) Sistem Çıkış Değişkeni: Devrede dolaşan akım (i) olacaktır. Şimdi Kirchhoff un Gerilimler Yasasını kullanarak devre denklemini yazalım: v i di() t L Ri( t) v( t) dt Görüldüğü gibi bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemin bağımsız değişkeni t, bağımlı değişkeni i, mertebesi ve derecesi 1 dir. Denklem lineer olduğu için, bu denklem ile modellenen sistem de lineer bir sistemdir. KONTROL SİSTEMLERİ 0

21 Başka bir örnek olarak, şekildeki gibi Kütle-Yay-Damper sistemini ele alalım. Esasen bu sistem, otomobillerdeki süspansiyon sisteminin bir modelidir. m kütleli bir otomobil, herhangi bir çukurdan/tümsekten geçtiğinde belli bir F kuvvetine maruz kalır. Bu kuvveti otomobilin içindeki yolcuların daha az hissetmesi için gerilme katsayısı k olan bir yay ve sönümlüme katsayısı c olan bir damper, bu kuvveti söndürmeye çalışırlar. Araba ise düşey eksende x kadar yer değiştirir. Bu sistemde Sistem Giriş Değişkeni: Uygulanan Kuvvet (F) Sistem Çıkış Değişkeni: Yer değiştirme (x) F KONTROL SİSTEMLERİ 1

22 Bu sistemin diferansiyel denklem modelini oluşturalım. Newton un ikinci kanununa göre; F ma dx d x F c kx m dt dt d x dx m c kx F dt dt F Görüldüğü gibi bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemin bağımsız değişkeni t, bağımlı değişkeni x, mertebesi ve derecesi 1 dir. Denklem lineer olduğu için, bu denklem ile modellenen sistem de lineer bir sistemdir. KONTROL SİSTEMLERİ

23 Aslında burada elde ettiğimiz model, belirli kabullerle (varsayımlarla) elde edilen bir modeldir. Yani modeli oluştururken, analizi ve tasarımı zorlaştıracak bir takım unsurlar ihmal edilir. Somut örnek vermek gerekirse, bu Kütle-Yay-Damper sisteminde, hem damperin hem de yayın daha gerçekçi kuvvet denklemleri kullanılırsa, bu sistemin dinamik modeli 3 mx cx x k0x k1x F F şeklinde olur. Görüldüğü gibi bu sistemi modelleyen daha gerçekçi diferansiyel denklem lineer değil nonlineerdir. Dolayısıyla bu sistem bir doğrusal olmayan (nonlineer) sistemdir. KONTROL SİSTEMLERİ 3

24 Daha önce aslında tabiatta lineer sistem olmadığını, her sistemin belli bir ölçüden sonra nonlineer davranış gösterdiğini, ancak belirli yaklaşım ve ihmallerle doğrusal olmayan bazı sistemlerin, doğrusal bir sistem gibi modellenebileceğini ve böylelikle sistemin analizinin kolaylaşacağını söylemiştik. Şimdi bir sistemin doğrusal olup olmadığını nasıl test ettiğimizi hatırlayalım: 4

25 Süperpozisyon Prensibi Süperpozisyon prensibi, bir sistemin lineer (doğrusal) olup olmadığını test etmek için kullanılır. Öncelikle süperpozisyon prensibinden başlayalım: Herhangi bir sisteme x 1 girişi uygulandığında sistemin tepkisi (çıkış) y 1, farklı bir x girişi uygulandığında ise sistem çıkışı y olsun. ab, olmak üzere, sisteme ax 1 girişi uygulandığında sistem çıkışı ay 1, ve sisteme x 1 +x girişi uygulandığında sistem çıkışı y 1 +y oluyorsa, bu sistem lineerdir denir. Çarpımsallık ilkesi x 1 y Sistem 1 ax 1 Sistem ay 1 x y Sistem x 1 + x Sistem y 1 + y Toplamsallık ilkesi 5

26 Süperpozisyon prensibine uyan sistemler lineer sistemlerdir. Ancak pratikte tabiatta lineer sistem yoktur! Mekanik, elektriksel, biyolojik, sosyal, kültürel vs. bütün sistemler gerçekte lineer olmayan (nonlinear) sistemlerdir. Lineer sistemler, tabiattaki gerçek sistemlerin analizinin daha kolay yapılabilmesi için üretilmiş teorik modellerdir. Zira lineer sistemlerin analizi oldukça basittir ve günümüze kadar lineer sistemlerin analizi ve tasarımı için çok sayıda güçlü ve kullanışlı yöntem geliştirilmiştir. Lineer olmayan sistemlerin analizi ve tasarımı ise görece daha zordur. Günümüzde hala lineer olmayan sistemlerin analizi ve tasarımı için güçlü, kullanışlı, sihirli yöntemler geliştirilememiştir. Herhangi bir sistemin lineer ya da lineer olmayan modellerden hangisi seçilerek ele alınacağı, tasarımcının vermesi gereken önemli bir karardır. Kimi basit sistemlerde, sistem modelinin lineer olmayan kısmının ihmal edilmesi çok fazla bir hataya sebep olmaz. Ancak daha karmaşık sistemlerde (örneğin bir hava taşıtı) sistem modelinin doğrusal olmayan kısımlarının ihmal edilmesi ya da analitik/nümerik/istatistik yöntemlerle sistem modelinin lineerleştirilmesi, uçağın okyanusa çakılmasına neden olur. Bütün bu açıklamalardan, lineer sistem modellerinin ve lineer analiz yöntemlerinin işe yaramaz olduğu sonucu çıkmaz! 6

27 Daha önce bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulması gerektiğini, tabiattaki tüm dinamik sistemlerin Diferansiyel Denklemler ile modellendiğini, sonra bu diferansiyel denklem modelinin, kontrolör tasarımı için çok daha kullanışlı bir forma dönüştürüldüğünü söylemiştik. Bu dönüşüm için iki yaklaşım söz konusudur: 1. Frekans Domeni Yaklaşımı (Klasik Yaklaşım): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Laplace Dönüşümü yoluyla frekans domeninde ifade edilir. Bu yaklaşım sadece doğrusal sistemlere uygulanabilir.. Zaman Domeni Yaklaşımı (Modern Yaklaşım): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Durum-Uzay Dönüşümü yoluyla zaman domeninde ifade edilir. Bu yaklaşım hem doğrusal, hem de doğrusal olmayan sistemlere uygulanabilir. Şimdi sırasıyla Laplace Dönüşümü ve Durum Uzay Dönüşümünden bahsedelim. KONTROL SİSTEMLERİ 7

28 Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Elektromekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Doğrusalsızlıklar ve Doğrusallaştırma 8

29 Laplace Dönüşümü Matematiksel açıdan, bir sistemi kontrol etmek demek, o sistemi modelleyen diferansiyel denklemin çözümünü belli bir değere/bölgeye zorlamak demektir. Örneğin otomobillerin Kütle-Yay-Damper ile modellenen süspansiyon sisteminde, araba bir çukur ya da tümsekten geçtiğinde x yerdeğiştirmesinin mümkün olduğunca az (hatta sıfır) olması istenir. Benzer şekilde RL devresinde de akımın, istenilen belli bir değeri alması istenir. Ancak diferansiyel denklemlerden bahsederken de vurgulandığı gibi, bir diferansiyel denklemin çözümünü bulmak, her zaman çok kolay olmamaktadır. i F KONTROL SİSTEMLERİ 9

30 Fransız matematikçi ve astronom Pierre Simon Laplace, 1809 yılında daha sonra kendi adıyla anılacak olan Laplace Dönüşümü yöntemini önermiştir. Bu yöntem, diferansiyel denklemlerin çözümüne alternatif bir yöntem önermekte ve türev/integral içeren diferansiyel denklemleri, birer cebirsel denkleme dönüştürmektedir. Böylece denklemin çözümü çok daha kolay olmaktadır. Laplace dönüşümü sadece lineer diferansiyel denklemlere uygulanabilir. Dolayısıyla, tabiattaki sistemlerin sadece lineer olanları bu dönüşüm yoluyla analiz edilebilir. KONTROL SİSTEMLERİ 30

31 Laplace Dönüşümü: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü F(s) ile gösterilir ve şu şekilde hesaplanır: st f ( t) F( s) f ( t) e dt 0 Burada Laplace dönüşüm operatörü, s ise s=ϭ+jω şeklinde ϭ reel bileşenine ve ω imajiner (frekans) bileşenine sahip bir kompleks sayıdır. Şimdi kontrol sistemlerinde test sinyali olarak kullanılan bazı temel fonksiyonları tanıtıp, daha sonra bu fonksiyonların ve diğer bazı fonksiyonların Laplace dönüşümünü hesaplayalım. KONTROL SİSTEMLERİ 31

32 Darbe Fonksiyonu: Adım Fonksiyonu: Rampa Fonksiyonu: Parabol: Sinüsoid: 3

33 Ör: f (t)=c (C sabit) st st f ( t) C F( s) f ( t) e dt Ce dt st 1 st C e dt C e s t0 Yani C gibi bir sabitin Laplace Dönüşümü C/s dir. C s C C s KONTROL SİSTEMLERİ 33

34 Ör: f (t)=t st st f ( t) t F( s) f ( t) e dt te dt t st st 1 t e e dt s s Yani f (t)=t fonksiyonunun Laplace Dönüşümü t u st e dt dv dt 1 st s e du V 1 s t KONTROL SİSTEMLERİ 34

35 Kontrol sistemlerinde yaygın olarak karşılaşılan bazı temel fonksiyonların Laplace dönüşümü, Laplace Dönüşüm Tablosu adı verilen tablolarda özetlenmiştir. KONTROL SİSTEMLERİ 35

36 Laplace Dönüşümü Teoremleri: 1. Türev Teoremi: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun zamana göre türevini almak, o fonksiyonun Laplace Dönüşümü olan F(s) ile s in çarpımına eşittir. d f ( t ) sf ( s ) f (0) dt Burada f(0), f(t) fonksiyonunun t=0 anındaki değeridir.. İntegral Teoremi: t 0 1 f ( t) F( s) s KONTROL SİSTEMLERİ 36

37 3. Son Değer Teoremi: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun, zaman sonsuza giderken alacağı değer, o fonksiyonun Laplace Dönüşümü olan F(s) ile s ile çarpımının, s sıfıra giderken limitine eşittir. lim f ( t) lim sf( s) t s0 4. Başlangıç Değer Teoremi: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun, zaman sıfıra giderken (yani başlangıçta) alacağı değer, o fonksiyonun Laplace Dönüşümü olan F(s) ile s ile çarpımının, s sonsuza giderken limitine eşittir. lim f ( t) lim sf( s) t0 s KONTROL SİSTEMLERİ 37

38 Laplace Dönüşümünün Özellikleri: Af ( t) AF( s) ( A sabit) f ( t) f ( t) F ( s) F ( s) 1 1 n d n n1 n n3 f ( t) s F( s) s f (0) s f (0) s f (0)... n dt at e f ( t) F( s a) KONTROL SİSTEMLERİ 38

39 Yandaki tabloda Laplace Dönüşümünün özellikleri ve teoremleri toplu olarak görülmektedir. KONTROL SİSTEMLERİ 39

40 Ör: Bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü, f ( t) F( s) 1 ss ( 1) olarak veriliyor. Buna göre f(t) fonksiyonunun zaman sonsuza giderken alacağı değeri bulunuz. C: Son Değer Teoremine göre; 1 lim f ( t) lim sf( s) lims 1 t s0 s0 ss ( 1) Bu sonucun sağlaması kolaylıkla yapılabilir. Zira soruda verilen F(s), zaman domenindeki f(t)=1-e -t fonksiyonunun Laplace dönüşümüdür ve zaman sonsuza giderken bu fonksiyonun alacağı değer 1 dir. KONTROL SİSTEMLERİ 40

41 Ör: Bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü, f ( t) F( s) s s 1 olarak veriliyor. Buna göre e -3t f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümünü bulunuz. C: Laplace dönüşümünün özelliklerinden sonuncusuna göre; at e f ( t) F( s a) 3t e f ( t) F( s 3) Bu sonucun sağlamasını yapabilir misiniz? s 3 s 3 1 KONTROL SİSTEMLERİ 41

42 Ör: Daha önce kütle-yay- damper sisteminin diferansiyel denklemini mx( t) cx( t) kx( t) F( t) olarak elde etmiştik. Bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemi kullanarak, sistem modelini frekans domeninde yazınız. Tüm başlangıç koşullarını sıfır kabul ediniz. C: Her iki tarafın Laplace Dönüşümü alınırsa F ms X s csx s kx s F s ( ) ( ) ( ) ( ) ms cs k X s F s ( ) ( ) KONTROL SİSTEMLERİ 4

43 Ör: Daha önce şekildeki RL devresinin diferansiyel denklemini di() t L Ri( t) v( t) dt olarak elde etmiştik. Bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemi kullanarak, sistem modelini frekans domeninde yazınız. Tüm başlangıç koşullarını sıfır kabul ediniz. C: Her iki tarafın Laplace Dönüşümü alınırsa v i LsI( s) RI ( s) V ( s) Ls R I( s) V ( s) KONTROL SİSTEMLERİ 43

44 Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Elektromekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Doğrusalsızlıklar ve Doğrusallaştırma 44

45 Transfer Fonksiyonu ve Blok Diyagramlar: Daha önce bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulması gerektiğini, tabiattaki tüm dinamik sistemlerin Diferansiyel Denklemler ile modellendiğini, sonra bu diferansiyel denklem modelinin, kontrolör tasarımı için çok daha kullanışlı bir forma dönüştürüldüğünü söylemiştik. Bu dönüşüm için iki yaklaşım söz konusuydu: Frekans Domeni Yaklaşımı ve Zaman Domeni Yaklaşımı. Frekans domeni yaklaşımında, sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Laplace Dönüşümü yoluyla frekans domeninde ifade edilir ve sistem giriş ile çıkışı arasında bir Transfer Fonksiyonu tanımlanır. Daha sonra bu Transfer Fonskiyonu; kontrolör tasarımı, kararlılık ve performans analizleri gibi çeşitli amaçlar için kullanılır. Transfer Fonksiyonu, lineer bir sistemde, tüm başlangıç koşulları sıfır kabul edilmek şartıyla, sistem girişi ile sistem çıkışı arasındaki matematiksel ilişkinin Laplace dönüşümüdür. Yani frekans domeninde sistem çıkışının sistem girişine oranıdır. 45 KONTROL SİSTEMLERİ

46 Örnek olarak, tekrar şekilde görülen seri RL devresine bakalım. devreyi sistem yaklaşımı içinde incelersek, Sistem Giriş Değişkeni: Uygulanan gerilim (v) Sistem Çıkış Değişkeni: Devrede dolaşan akım (i) olacaktır. Devre denklemi; v i di() t L Ri( t) v( t) dt Bu denklemin Laplace dönüşümü: Ls R I( s) V ( s) Bu durumda transfer fonksiyonu: Is ( ) 1 V () s Ls R 46 Bu

47 Ör: Kütle-yay- damper sisteminin transfer fonksiyonunu elde edelim: mx( t) cx( t) kx( t) F( t) ms X s csx s kx s F s ( ) ( ) ( ) ( ) ms cs k X s F s ( ) ( ) F X( s) 1 F() s ms cs k KONTROL SİSTEMLERİ 47

48 Şimdi de şekildeki gibi bir uydunun pozisyonunun kontrol edildiği sistemin transfer fonksiyonunu elde edelim. Kontrol Edilen Sistem : Uydu Kontrol Giriş Değişkeni : Uygulanan Tork Kontrol Çıkış Değişkeni Pozisyon. Newton un ikinci yasası dairesel olarak hareket eden sistemlere uygulanırsa T J d () t T () t J dt T ( s) Js ( s) ( s) 1 T () s Js J : Eylemsizlik T : Uygulanan Tork KONTROL SİSTEMLERİ 48

49 ( s) 1 T() s Js Elde edilen bu transfer fonksiyonu, blok diyagram formunda şu şekilde gösterilebilir: Ts () 1 () s Js Giriş Transfer Fonksiyonu Çıkış KONTROL SİSTEMLERİ 49

50 Ts ( ) 1 () s Js Ts () 1 () s Js Blok diyagramlar, bir sistemdeki bileşenlerin her birinin işlevinin şekilsel olarak gösterimidir. Kontrol sistemleri genellikle çok sayıda bileşenden oluşur. Blok diyagramlar, karmaşık kontrol sistemlerinde her bir bileşenin işlevini göstermek açısından çok kullanışlıdır. Yukarıda oldukça basit bir sistemin blok diyagramı gösterilmektedir. Bu sistemde uygulanan tork Giriş, uydunun pozisyonu ise çıkış değişkenidir. Okların yönüne dikkat edilirse, blok diyagramların sadece bir şekilsel gösterim olmadığı ve kendi içinde bir cebir barındırdığı anlaşılabilir. 1 ( s) T( s) Js KONTROL SİSTEMLERİ 50

51 Örneğin aşağıdaki gibi kaskat bağlı iki bloktan oluşan bir blok diyagramda; Us () T() s T () s 1 Cs () C( s) T ( s) T ( s) U( s) 1 KONTROL SİSTEMLERİ 51

52 Kütle-yay- damper sisteminin blok diyagramını oluşturalım: X( s) 1 F() s ms cs k Fs () 1 X() s ms cs k F KONTROL SİSTEMLERİ 5

53 RL devresinin transfer fonksiyonu: v i Is ( ) 1 V () s Ls R V() s 1 Is () Ls R Aslında yukarıdaki blok diyagram, bir Açık Çevrim Kontrol Sistemi ne ilişkin blok diyagramdır. Açık çevrim kontrol sistemlerinde, sistem çıkışının gerçekten istenen değerde (referans değerde) olup olmadığını teşhis etmek için sistem çıkışı ile referans değer karşılaştırılmaz. Yukarıda elde edilen dinamik model kullanılarak, sistem çıkışının (akımın) istenen bir değerde olmasını sağlayacak giriş (gerilim) değeri belirlenerek sisteme uygulanır. Ancak bu sistem dinamik bir sistemdir ve çeşitli sebeplerden akım, istenen değerden sapabilir. Böyle bir durumda kontrol amacı hassas bir şekilde gerçekleştirilemeyebilir. 53

54 i v(t) Is ( ) 1 V () s Ls R Örnek bir tasarım yapalım. Bu devreden dolaşacak akımın, t zaman değişkeni olmak üzere, i(t)=te -t şeklinde değişmesini istiyoruz. Yani kontrol amacımız akımı i(t)=te -t değerine sürmek. Yukarıdaki devrede L=1 H ve R=1 Ω alalım. Bu durumda transfer fonksiyonu; olur. Is ( ) 1 V ( s) s 1 KONTROL SİSTEMLERİ 54

55 Eğer sistem çıkışının, yani akımın, zaman domeninde, i(t)=te -t şeklinde değişmesini istiyorsak, akımın Laplace Dönüşümü Is () olur. Elde ettiğimiz transfer fonksiyonunda bu değeri yerine yazarsak 1 s 1 Is ( ) 1 s V( s) V ( s) s 1 V ( s) s 1 s 1 Yani elde ettiğimiz transfer fonksiyonuna göre: Eğer sistem çıkışının, yani akımın, zaman domeninde, i(t)=te -t şeklinde değişmesini istiyorsak, sistem girişinin, yani uygulanacak gerilimin, frekans domenindeki ifadesi V(s)=1/(s+1) olmalıdır. O halde gerilimin zaman domenindeki ifadesi ne olmalıdır? 1 KONTROL SİSTEMLERİ 55

56 Laplace Dönüşümü V(s)=1/(s+1) şeklinde olan fonksiyon: Özetle, belirtilen kontrol amacını (yani devreden i(t)=te -t şeklinde bir akım dolaştırma amacını) yerine getirecek olan bu açık çevrim kontrol sisteminin blok diyagramı şekildeki gibidir: V() s 1 1 Açık çevrim kontrol sistemlerinde, yukarıda bir örneğini yaptığımız şekilde, transfer fonksiyonunu kullanarak sistem çıkışının arzu edilen bir değeri alması için sistem girişinin değeri hesaplanır ve bu giriş sisteme uygulanır. Ancak zaman geçtikçe akımın gerçekten i(t)=te -t şeklinde değişip değişmediği ölçüm yoluyla belirlenmez. Sair sebeplerle akım bu değerden saparsa, bu durumda arzu edilen değerle gerçek değer arasında, umulmadık bir hata oluşabilir. KONTROL SİSTEMLERİ v() t e t Is () s 1 s 1 1 s 1 56

57 Bu şekilde bir olası problemin çözüm yolu, bir Kapalı Çevrim (Geribeslemeli) Kontrol Sistemi kullanmaktır. Kapalı çevrim kontrol sistemlerinde, sistemin çıkışı sürekli olarak referans değerle (yani istenen değerle) karşılaştırılıp, aradaki farkın (yani hatanın) sıfır olup olmadığı belirlenir. Kontrolör, bu hata değerini sıfıra çekmek için tasarlanır. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemlerinin blok diyagramı aşağıdaki gibidir. GİRİŞ (REFERANS) R(s) HATA E(s) KONTROLÖR U(s) KONTROL EDİLEN SİSTEM ÇIKIŞ C(s) Şekilde görüldüğü gibi kapalı çevrim kontrol sistemlerinde, sistemin çıkışı bir sensör kullanılarak ölçülmekte ve bir geribesleme yolu üzerinden giriş (referans) değeriyle karşılaştırılmakta ve hata hesaplanmaktadır. Kontrolör, bu hata değerini sıfıra sürecek şekilde tasarlanır. KONTROL SİSTEMLERİ 57

58 Hatırlanacağı üzere transfer fonksiyonunu, bir sistemin çıkışı ile girişi arasındaki matematiksel ifadenin Laplace dönüşümü olarak tanımlamıştık. Bir açık çevrim kontrol sisteminin transfer fonksiyonunu belirlemek gayet basit olacaktır: Rs () Cs () Cs () Ts () Peki bir kapalı çevrim kontrol sisteminin transfer fonksiyonu nasıl elde edilir? Hesaplamalarda kolaylık sağlaması açısından, kontrolör ve kontrol edilecek sistemin transfer fonksiyonlarını tek bir blok olarak ifade edelim: KONTROL SİSTEMLERİ Ts () Rs () C( s) G( s) E( s) E( s) R( s) C( s) C( s) G( s) R( s) C( s) C( s) 1 G( s) G( s) R( s) C( s) G( s) R( s) 1 G( s)

59 C( s) G( s) R( s) 1 G( s) Yukarıda görülen sistem, birim geribeslemeli kapalı çevrim kontrol sistemi olarak adlandırılır. Çünkü sistem çıkışı herhangi bir ek işleme tabi tutulmaksızın referans değerle karşılaştırılmaktadır, yani geribesleme yolunda herhangi bir kazanç yoktur. Aşağıdaki sistemde ise çıkış değişkeni bir H(s) bloğundan geçirilerek giriş sinyal ile karşılaştırılabilir. H(s) bazen bir sensörün kazancı olabileceği gibi, bazen de doğrudan kontrolör olabilir. E(s) G(s) H(s) Bu durumda ise kapalı çevrim transfer fonksiyonu: C( s) G( s) R( s) 1 G( s) H( s) 59

60 Ör: Şekildeki birim geribeslemeli sistemde, G(s) transfer fonksiyonu, a. Gs () s s b. Gs () 3s4 s 0.5s0.9 3 s 3s s 4 olarak verildiğinde kapalı çevrim transfer fonksiyonunu bulunuz. C: a. s C s G s s s s s R s G s s s s s s s s 3s4 C( s) G( s) s 0.5s 0.9 b. 3 R( s) 1 G( s) s 5s.5s 3.1 ( ) ( ) s 3s ( ) 1 ( ) s

61 Ör: Daha önce, pankreasın insan vücudunda bir doğal kontrol sistemi gibi çalıştığını söylemiştik. Eğer kandaki şeker konsantrasyonu belli bir değerin üstüne çıkarsa, pankreas insulin salgılayarak bu fazla şekeri ısı ve enerji yoluyla vücuttan atıp, kandaki şeker konsantrasyonunu normal değerine getiriyordu. Ancak sair sebeplerle pankreas hastalıklarının baş göstermesi, hastanın fazla şekeri vücuttan atamamasına sebep olur ve bu aşırı şeker konsantrasyonu çok sayıda sağlık problemini beraberinde getirir. Bu problemlerin oluşumunu önlemek için, Biyomühendislik uzmanları, Yapay Pankreas üretmişlerdir. Yapay pankreas, en basit haliyle şekilde görüldüğü gibi, bir insulin pompası ve bir glikoz sensörü içerir. Sensör, kandaki glikoz (şeker) miktarını ölçer ve kablosuz haberleşme yoluyla bu bilgiyi, insulin pompasının içindeki kontrol sistemine gönderir. Kontrol sistemi, ölçülen glikoz değeri ile referans glikoz değerini karşılaştırıp, uygun miktarda insulini bir kateter yoluyla vücuda pompalar.

62 Aslında bu sistemin dinamik modeli nonlineerdir ancak çeşitli yaklaşım ve kabullerle, bu sistemi temsil eden lineer bir model de üretilebilir ve bu modelin blok diyagramı şekildeki gibi gösterilebilir. Geribesleme yolu üzerinde, kazancı 100 olan blok, kandaki glikoz miktarını ölçen sensörün çıkışındaki sinyalin çok zayıf olması nedeniyle bir op-amp yardımıyla 100 kat yükseltilmesini temsil eder. Şimdi bu sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonunu bulalım. E(s) 0.067s s

63 Gs () 0.067s s s s s H( s) 100 C( s) G( s)... R( s) 1 G( s) H ( s) E(s) 0.067s s

64 Kutuplar ve Sıfırlar: Bir sistemin transfer fonksiyonunun paydasını sıfır yapan değerlere o sistemin kutupları, payını sıfır yapan değerlere ise o sistemin sıfırları denir. Kutupların ve sıfırların s-düzlemindeki lokasyonu, o sistemin performansını tayin eder. Örnek olarak aşağıdaki basit transfer fonksiyonunu ele alalım: Bu sistemin sıfırları; 1 Ts () z z 5 ( s)( s5) ( s 3)( s 4)( s 9) p ve kutupları; 1 3 p p KONTROL SİSTEMLERİ 64

65 Kutuplar s-düzleminde birer işareti ile, Sıfırlar ise s-düzleminde birer Ο ile gösterilir. Bu örnekte verilen sistemin, s-düzleminin sağ yarı düzleminde 1 adet kutbu (3 noktasında) ve s-düzleminin sol yarı düzleminde ise iki adet kutbu (-4 ve -9 noktalarında) vardır. Sıfırların ise her ikisi de s-düzleminin sol yarı düzlemindedir. z z 1 5 jω p p p Ϭ KONTROL SİSTEMLERİ 65

66 Ör: Transfer fonksiyonu aşağıda verilen sistemin kutuplarını ve sıfırlarını bularak s-düzleminde gösteriniz. Ts () s s s 5 s 5 jω z1 5 p p p j 1 j -5-1 j 0 -j Ϭ KONTROL SİSTEMLERİ 66

67 Ör: Blok diyagramı aşağıda verilen birim geribeslemeli sistemin kutuplarını ve sıfırlarını bularak s-düzleminde gösteriniz. Gs () 100 s s KONTROL SİSTEMLERİ 67

68 Ters Laplace Dönüşümü: Frekans domenindeki bir F(s) fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümü f(t), şeklinde gösterilir ve 1 F s ( ) f ( t) st F( s) f ( t) F( s) e ds j 1 1 j j formülü ile hesaplanır. Ancak pratikte yukarıdaki integral hemen hemen hiç kullanılmaz. Bunun yerine, genellikle transfer fonksiyonu gibi rasyonel formda olan F(s) fonksiyonu kısmi kesirlere ayrılarak Laplace dönüşüm tablolarında verilen ve aşina olunan bazı formlara zorlanır. Böylece zaman domenindeki f(t) fonksiyonu kolaylıkla bulunabilir. KONTROL SİSTEMLERİ 68

69 Frekans domenindeki bir F(s) fonksiyonu genellikle Fs () Ns () Ds () formundadır. Bu fonksiyon kısmi kesirlerine ayrılırken, paydadaki D(s) polinomu için 3 temel alternatif söz konusudur: 1) D(s) in katlı olmayan reel köklere sahip olması: Eğer F(s) fonksiyonu Fs () N( s) N( s) D s s p s p s p ( ) 1... n formunda ise, bu durumda bu fonksiyon N() s A1 A An Fs ( )... s p s p... s p s p s p s p 1 n 1 Ns () Ds () şeklinde kısmi kesirlerine ayrılır ve her bir A i katsayısı A s p formülüyle hesaplanır. Böylece her bir terimin Ters Laplace Dönüşümü olarak bulunur. i i n sp Ae i i pt i

70 Ör: Aşağıdaki fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümünü bulunuz. C: Fs () ( s1)( s) A1 A Fs () ( s 1)( s ) ( s 1) ( s ) A1 ( s 1) A ( s ) ( s 1)( s ) ( s 1)( s ) Fs () ( s 1)( s ) ( s 1) ( s ) f ( t) F( s) e e 1 t t s1 s KONTROL SİSTEMLERİ 70

71 Alıştırma: Aşağıdaki diferansiyel denklemi, tüm başlangıç koşullarını sıfır kabul ederek, Laplace Dönüşümü Yöntemiyle çözünüz. d y t ( ) dy( t) 1 3 y( t) 3 u( t) dt dt KONTROL SİSTEMLERİ 71

72 ) D(s) in katlı reel köklere sahip olması: Eğer F(s) fonksiyonu Fs () N s s s Ds () s 1 ( ) 3 örneğinde olduğu gibi katlı reel kutuplar içeriyorsa, bu durumda bu fonksiyon Fs () B B B s 1 s1 s1 şeklinde kısmi kesirlerine ayrılır ve her bir B i katsayısı 3 N( s) d 3 N( s) 1 d 3 N( s) B3 s 1 B s 1 B1 s 1 D( s) ds D( s)! ds D( s) s1 s1 s1 formülüyle hesaplanır. Böylece fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümü olarak bulunur. f () t B e B te B t e t t t 1 3 3

73 Eğer bu formülasyon n katlı kökü olan bir polinom için tümevarım ile genelleştirilirse herbir B i terimi ifadesi ile hesaplanır. ni 1 d n N( s) Bi ( s p) ni ( n i)! ds D( s) sp Ör: Aşağıdaki fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümünü bulunuz. Fs () ( s1)( s) f ( t) e te e t t t C: KONTROL SİSTEMLERİ 73

74 3) D(s) in kompleks köklere sahip olması: Öğrenciye bırakılmıştır. (Not: Tabiattaki sistemlerin önemli bir kısmında, özellikle elektromekanik sistemlerde, eğer sistemin kompleks bir kutbu varsa onun eşleniğini de sistemin bir kutbudur. Ancak yine de kutupların eşlenik olmadığı durumu da incelemeniz önerilir.) Ör: Fs () s s 3 s 5 t 1 t f ( t) e cos t sin t e cos t 6.57

75 Ters Laplace Dönüşümünü kullanılarak, transfer fonksiyonu ve/veya blok diyagramı verilmiş bir sistemin çıkışının zamana göre değişiminin ifadesi bulunabilir. Aşağıdaki basit sistemi göz önünde bulunduralım: Rs () Gs () 1 s KONTROL SİSTEMLERİ Cs () Cs ( ) 1 Bu sistemin transfer fonksiyonu: R( s) s Eğer bu sisteme giriş sinyali olarak birim adım girişi, r(t)=u(t), uygulanırsa, bu durumda R(s)=1/s ve dolayısıyla C( s) R( s) G( s) 1 ss ( ) olur. Eğer bu ifade kısmi kesirlerine ayrılarak Ters Laplace Dönüşümü hesaplanırsa, çıkışın zamana göre değişiminin ifadesi bulunur ve herhangi bir t anında sistem çıkışının alacağı değer hesaplanabilir. t c( t) e 75

76 Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Elektromekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Doğrusalsızlıklar ve Doğrusallaştırma 76

77 Elektrik devrelerinde kullanılan üç temel pasif devre elemanına ilişkin denklemler, aşağıdaki tabloda görüldüğü gibidir. Komponent Gerilim-Akım Akım-Gerilim Empedans Admitans Kirchhoff un akımlar ve gerilimler yasası kullanılarak, ayrıca çevre akımları düğüm gerilimleri gibi klasik devre analiz yöntemleri de kullanılarak, bir elektrik devresini modelleyen diferansiyel denklemler yazılır ve Laplace dönüşümü yöntemiyle bu denklemler frekans domeninde ifade edilir. Daha sonra da giriş ve çıkış değişkenleri arasındaki transfer fonksiyonu elde edilir. Böylece bu transfer fonksiyonu kullanılarak devrenin dinamik davranışı incelenebilir. KONTROL SİSTEMLERİ 77

78 Aşağıdaki örnekte, oldukça basit bir devrenin çevre akımları yöntemiyle analizi ve transfer fonksiyonunun türetilmesi açıklanmaktadır. Ör: Aşağıdaki devrede a) Devreye uygulanan gerilim V(s) ile devreden akan akım I(s) arasındaki transfer fonksiyonunu elde ediniz. b) Eğer kondansatör uçlarındaki gerilim V C (s) çıkış değişkeni olarak seçilirse, bu durumda devreye uygulanan gerilim ile kondansatör uçlarındaki gerilim arasındaki transfer fonksiyonunu türetiniz. C: Devreyi modelleyen denklem, di( t) 1 L Ri( t) i( t) dt v( t) dt C Denklemin Laplace dönüşümü alınırsa 1 LsI ( s) RI ( s) I( s) V ( s) Cs 78

79 1 Ls R I( s) V ( s) Cs Bu denklemin, [Empedansların Toplamı]I(s)=[Uygulanan Gerilimlerin Toplamı] formunda olduğuna dikkat ediniz. Bu durumda çıkış değişkeni I(s) ile giriş değişkeni V(s) arasındaki transfer fonksiyonu şu şekilde elde edilir: Is ( ) 1 V() s 1 Ls R Cs Analizlerde çok daha kullanışlı olması sebebiyle transfer fonksiyonu genellikle s in azalan üstlerine göre yazılır. Bu nedenle yukarıdaki transfer fonksiyonu daha kullanışlı bir formda aşağıdaki gibi yazılabilir: Is () V() s s 1 s L R s L 1 LC 79

80 Eğer kondansatör uçlarındaki gerilim V C (s) çıkış değişkeni olarak seçilirse, 1 V ( ) ( ) C s I s Cs olduğu için transfer fonksiyonu şu şekilde olur: I( s) 1/ LC V() s R s s L 1 LC 80

81 Metodolojik olarak, çevre akımları yöntemi kullanılması durumunda elektrik devrelerinin Laplace Dönüşümü yoluyla analizi ve transfer fonksiyonunun elde edilmesine ilişkin aşağıdaki adımlar takip edilebilir: Devredeki pasif elemanların her birinin empedansı frekans domeninde ifade edilip, her bir akım ve gerilim değişkenleri de frekans domeninde yazılır. Kirchhoff un Gerilimler Kanunu kullanılarak her bir çevre için denklemler yazılır. Bu denklemler, çıkış değişkeni için çözülerek giriş ve çıkış değişkenleri arasındaki transfer fonksiyonu türetilir. 81

82 Aşağıdaki örnekte ise, iki göz (çevre) içeren bir devrenin çevre akımları yöntemiyle analizi ve transfer fonksiyonunun türetilmesi açıklanmaktadır. Ör: Aşağıdaki devrede devreye uygulanan gerilim V(s) ile devreden akan akım I (s) arasındaki transfer fonksiyonunu elde ediniz. C: Öncelikle devre değişkenlerini aşağıdaki gibi frekans domeninde ifade edelim: 8

83 Herbir çevreye ilişkin denklemler: R Ls I ( s) LsI ( s) V ( s) LsI1( s) Ls R I( s) 0 Cs Bu iki denklem, I (s) için çözülürse (Cramer kuralı ya da başka herhangi bir metod ile), aşağıdaki ifade elde edilir: ( R1 Ls) Ls Ls I( s) V ( s) 1 Ls Ls R Cs Bu durumda I (s) ile V(s) transfer fonksiyonu da aşağıdaki gibi elde edilir: I() s LCs V () s R R LCs R R C L s R

84 Yine metodolojik olarak, çevre denklemlerinin yazılmasına ilişkin aşağıdaki yapı takip edilebilir ve bu yapı n tane çevre içeren bir devreye genellenebilir. 1 nolu çevreye ilişkin Her iki çevre için ortak 1 nolu çevreye ilişkin 1( ) ( ) empedansların toplamı I s I s empedansların toplamı gerilimlerin toplamı Her iki çevre için ortak ( ) nolu çevreye ilişkin ( ) nolu çevreye ilişkin empedansların toplamı I s I s empedansların toplamı gerilimlerin toplamı 1 84

85 Şu ana kadar devrelerin analizini çevre akımları yöntemiyle yaptık. Bununla beraber, özellikle daha karmaşık (3 veya daha fazla çevre içeren) devrelerde, düğüm gerilimleri yöntemini kullanmak daha verimli olabilir. Ancak metodoloji tamamen aynıdır. Sadece Kirchhoff un Gerilimler Kanunu yerine Kirchhoff un Akımlar Kanunu, empedansların yerine de admitanslar kullanılır. Ys () 1 Zs () 85

86 Metodolojik olarak, düğüm gerilimleri yöntemi kullanılması durumunda elektrik devrelerinin Laplace Dönüşümü yoluyla analizi ve transfer fonksiyonunun elde edilmesine ilişkin aşağıdaki adımlar takip edilebilir: Devredeki pasif elemanların her birinin admitansı frekans domeninde ifade edilip, her bir akım ve gerilim değişkenleri de frekans domeninde yazılır. Kirchhoff un Akımlar Kanunu kullanılarak her bir düğüm için denklemler yazılır. Bu denklemler, çıkış değişkeni için çözülerek giriş ve çıkış değişkenleri arasındaki transfer fonksiyonu türetilir. 86

87 Örneğin daha önce çevre akımları yöntemiyle çözdüğümüz aşağıdaki devreyi şimdi düğüm gerilimleri yöntemiyle analiz edip transfer fonksiyonun türetelim. Ör: Aşağıdaki devrede devreye uygulanan gerilim V(s) ile devreden akan akım V C (s) arasındaki transfer fonksiyonunu düğüm gerilimleri yöntemiyle türetiniz. C: Yukarıda V L (s) ve V C (s) olarak işaretlenen düğümlere ilişkin denklemler: VL ( s) V ( s) VL ( s) VL ( s) VC ( s) 0 R Ls R 1 CsV C VC( s) VL( s) ( s) 0 R 87

88 VL ( s) V ( s) VL ( s) VL ( s) VC ( s) 0 R Ls R 1 VC( s) VL( s) CsVC ( s) 0 R Yukarıdaki denklemlerde empedans bileşenlerinin yerine admitans karşılıkları yazılarak ve benzer yöntemler kullanılarak bu denklemler V C (s) için çözülür ve transfer fonksiyonu yazılır. Denklemlerin oluşturulmasındaki metodoloji yine çevre yöntemlerindeki gibidir. 1 nolu düğüme ilişkin Her iki düğüm için ortak 1 nolu düğüme ilişkin ( ) ( ) admitansların toplamı VL s VC s admitansların toplamı akımların toplamı Her iki düğüm için ortak nolu düğüme ilişkin nolu düğüme ilişkin ( ) ( ) admitansların toplamı VL s VC s admitansların toplamı akımların toplamı Üç düğümlü bir devre için bu ifadeleri yazabilir misiniz? 88

89 Elektrik devrelerinin transfer fonksiyonunun elde edilmesine ilişkin, şu ana kadar sadece pasif devre elemanlarından oluşan devreleri gördük. Şimdi ise bir aktif devre elemanının, op-amp ın, transfer fonksiyonunun elde edilmesini inceleyelim. Öncelikle op-amp lara ilişkin edindiğiniz bilginin tozunu alalım: Bir op-amp, yükseltme işlemine ek olarak bir takım matematiksel operasyonları da analog olarak gerçeklenebilen, özel bir fark yükseltecidir. Temel karakteristik özellikleri: Fark girişi, v (t) v 1 (t) Yüksek giriş empedansı, Z i = (ideal) Düşük çıkış empedansı, Z o =0 (ideal) Yüksek kazanç, A= (ideal) Çıkış, v o (t), aşağıdaki denklemle hesaplanır: v ( t) A v ( t) v ( t)

90 Eğer v (t) topraklanırsa, soldaki şekilde görüldüğü gibi bir Eviren Op-amp elde edilir. Bu durumda çıkış sinyali, v o (t)=-av 1 (t) olur. Eğer bu op-amp a sağdaki şekilde görüldüğü gibi iki empedans bileşeni bağlanırsa, klasik devre analiz yöntemleri kullanılarak, çıkış sinyali ile giriş sinyali arasında V0( s) Z( s) V ( s) Z ( s) i 1 bağıntısı elde edilir. Dikkat edilirse bu denklem aynı zamanda eviren op-amp ın transfer fonksiyonudur. 90

91 Ör: Aşağıdaki devrede çıkış gerilimi V o (s) ile giriş gerilimi V i (s) arasındaki transfer fonksiyonunu türetiniz. C: Empedansları hesaplayalım: C R 1 1 Z () s 1 Z () s R Z 1 1() s R1 Cs Cs Cs 1 R 1 1 Değerler yerine yazılırsa: V s Z s s s 1.3 V ( s) Z ( s) s 0( ) ( ) i 1 Bu transfer fonksiyonunda ilginç bir ayrıntı dikkatinizi çekiyor mu? 91

92 Aşağıdaki devre ise bir Evirmeyen Op-amp devresidir ve giriş ile çıkış arasındaki transfer fonksiyonu şu şekildedir: V0 ( s) Z1( s) Z( s) V ( s) Z ( s) i 1 9

93 Alıştırma: Aşağıdaki devrede çıkış gerilimi V o (s) ile giriş gerilimi V i (s) arasındaki transfer fonksiyonunu türetiniz. 93

94 Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Elektromekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Doğrusalsızlıklar ve Doğrusallaştırma 94

95 Tıpkı elektriksel sistemler gibi mekanik sistemlerin de girişiyle çıkışı arasında, yani sisteme uygulanan etki ile sistemin buna tepkisi arasında bir transfer fonksiyonu türetilebilir ve bu yolla çeşitli etkiler için sistemin dinamik davranışı (tepkisi) analiz edilebilir. Hatta bu alt bölümün sonunda vurgulanacağı gibi elektriksel sistemlerle mekanik sistemlerin modellenmesi ve dinamik davranışı arasında bir analoji (benzerlik) de kurulabilir. Mekanik sistemleri, Doğrusal olarak hareket eden mekanik sistemler Dönen mekanik sistemler olarak iki alt başlıkta inceleyeceğiz. Doğrusal olarak hareket eden mekanik sistemler: Hatırlanacağı üzere elektrik devlerinde üç temel pasif devre elemanı vardır. Bunlardan kapasitör ve bobin enerji depolayan elemanlar iken, direnç enerji tüketen devre elemanıydı. Benzer bir durum mekanik sistemler için de söz konusudur. 95

96 Doğrusal olarak hareket eden mekanik sistemlerde üç temel devre elemanı vardır. Bunlardan kütle ve yay enerji depolayan elemanlar iken, viskoz damper enerji tüketen elemandır. Bu elemanların her birinin sembolleri, kuvvet-hız ve kuvvet-konum denklemleri aşağıdaki tabloda görüldüğü gibidir. Tabloda K, f v ve M sırasıyla yay sabiti, viskoz sürtünme katsayısı ve kütle olarak adlandırılır. Bu tabloya bakarak mekanik sistemlerdeki büyüklükler ile elektriksel sistemlerdeki büyüklükler arasında kolaylıkla analoji kurulabilir. Mekanik kuvvet gerilime, kuvvetin oluşturduğu hız ise akıma benzemektedir. Ayrıca yay kapasitöre, viskoz damper dirence ve kütle indüktöre (bobine) benzemekte, yani benzer bir dinamik davranış göstermektedir. 96

97 Şimdi doğrusal olarak hareket eden mekanik sistemlerin transfer fonksiyonunu türetebiliriz. Örnek olarak aşağıdaki sistemi göz önünde bulunduralım. Bu mekanik sistem, tıpkı bir RLC devresi gibidir. Sisteme bir f(t) kuvveti (giriş) uygulanmakta ve bu kuvvet kütleyi x(t) (çıkış) kadar yer değiştirmektedir. Mekanik sistemlerin analizini basitleştirmek için, kütleye etki eden kuvvetler şekildeki diyagramda görüldüğü gibi çizilir ve tıpkı elektrik devrelerinde Kirchhoff kanunlarının kullanıldığı gibi mekanik sistemlerde de Newton Kanunları kullanılarak devreyi modelleyen diferansiyel denklem türetilir. Ortadaki şekilde kütleye etki eden kuvvetler zaman domeninde, sağdaki şekilde ise frekans domeninde yazılmıştır. 97

98 Eylemsizlik yasasına göre, cisme etkiyen kuvvetlerin vektörel toplamı d x( t) dx( t) M f ( ) ( ) v Kx t f t dt dt diferansiyel denklemini verir. Tüm başlangıç koşulları sıfır kabul edildiğinde bu diferansiyel denklemin Laplace dönüşümü şu şekilde olur: Ms X s fvsx s KX s F s ( ) ( ) ( ) ( ) Ms fvs K X s F s ( ) ( ) 98

99 Ms fvs K X s F s ( ) ( ) Elde edilen bu denklemin, elektrik devrelerindekine benzer şekilde, [Empedansların Toplamı]X(s)=[Uygulanan Kuvvetlerin Toplamı] formunda olduğuna dikkat ediniz. Bu denklem kullanılarak, artık transfer fonksiyonu yazılabilir: X( s) 1 F s Ms f s K () v

100 Şekildeki gibi İki Serbestlik Dereceli Two Degrees of Freedom bir mekanik sistemde, yani serbest olarak hareket eden iki cismin bulunduğu sistemde, sistemi modelleyen diferansiyel denklem sayısı iki olacaktır (tıpkı iki gözlü bir elektrik devresi gibi). Bu durumda her bir cisme etki eden kuvvetlerin diyagramı çizilir ve bu yolla denklemler elde edilir. 100

101 M1s fv 1 fv3 s ( K1 K) X1( s) fv3s K X ( s) F( s) fv3s K X1( s) M s fv fv3 s ( K K3) X ( s) 0 X 1 (s) ve X (s) değişkenlerinden hangisi çıkış değişkeni olarak seçilirse bu denklemler o değişken için çözülerek transfer fonksiyonu elde edilir. 101

102 Hareket denklemlerinin oluşturulmasındaki metodoloji, elektrik devrelerindekine oldukça benzerdir. 1 nolu cisme ilişkin Her iki cisim için ortak 1 nolu cisme uygulanan 1( ) ( ) empedansların toplamı X s X s empedansların toplamı kuvvetlerin toplamı Her iki cisim için ortak ( ) nolu cisme ilişkin ( ) nolu cisme uygulanan empedansların toplamı X s X s empedansların toplamı kuvvetlerin toplamı 1? 10

103 Dönen mekanik sistemler: Dönen mekanik sistemlerin transfer fonksiyonunun türetilmesi tıpkı doğrusal olarak hareket eden sistemlerdekine benzer. Fizik dersinden hatırlanacağı üzere, düzlemsel hareketteki kuvvetin yerini rotasyonel harekette tork (moment) ve doğrusal konumun (yerdeğiştirme) yerini açısal konum alır. analizinde aşağıdaki büyüklükler söz konusudur. Doğrusal hareketteki 3 temel pasif komponent dairesel harekette de mevcuttur, sadece analizde kütle yerine cismin eylemsizliği hesaba katılır. Aşağıdaki tabloda dairesel harekette herbir komponent için tork-açısal hız, tork-açısal yerdeğiştirme ilişkisi ve herbir komponentin empedansı gösterilmektedir. K, D ve J katsayıları sırasıyla yay sabiti, viskoz sürtünme katsayısı ve eylemsizlik momenti olarak adlandırılır. Empedans değerleri, tork-açısal yerdeğiştirme denklemlerinin, tüm başlangıç koşulları sıfır kabul edilerek Laplace dönüşümünün alınması yoluyla elde edilmiştir. Serbestlik Derecesi konsepti, dönen sistemler için de kullanılır. Sistemde serbest olarak hareket eden cisim sayısı kadar denklem söz konusudur. 103

104 Dönen mekanik sistemlerin analizini yaparken de benzer şekilde, hareket eden herbir cisme etki eden torkları gösteren diyagram çizilerek Newton Kanunları vasıtasıyla giriş ile çıkış arasındaki transfer fonksiyonu türetilir. Ör: Aşağıdaki dönen mekanik sistemde θ (s)/t(s) transfer fonksiyonunu bulunuz. C: Her bir cisme etkiyen tork diyagramını çizelim. Birinci cisme T(s) torku uygulanmıştır. Damper, yay ve cismin kendi eyllemsizliği bu torka ters yönde 3 tork üretmektedir (Şekil a). Ayrıca ikinci cisim de birinci cisme uygulanan torku destekler yönde etkir (Şekil b). Sonuç olarak birinci cisme etkiyen tüm tork büyüklükleri Şekil c deki gibidir. 104

105 Aynı durum ikinci cisim için de geçerlidir. Ancak tork birinci cisme uygulandığı için, ikinci cisimde bir T(s) söz konusu değildir. Sonuç olarak hareket denklemleri şu şekilde olacaktır: Transfer fonksiyonu: () s Ts () J s D s K ( s) K ( s) T( s) K ( s) J s D s K ( s) 0 1 K J 1s D1s K K K J s D s K 105

106 Hareket denklemlerinin oluşturulmasındaki metodoloji, elektrik devrelerindekine oldukça benzerdir. 1 nolu cisme ilişkin Her iki cisim için ortak 1 nolu cisme uygulanan 1( ) ( ) empedansların toplamı s s empedansların toplamı torkların toplamı Her iki cisim için ortak nolu cisme ilişkin nolu cisme uygulanan ( ) ( ) empedansların toplamı s s empedansların toplamı torkların toplamı 1? 106

107 Dişli Sistemlerin Transfer Fonksiyonu: Dişliler, mekanik sistemlerde önemli avantajlar sağlarlar. Örneğin vitesli bisikletleri hatırlayın: Yokuş yukarı çıkarı çıkarken daha yüksek tork için kol ileri itilir ve bu da hızın daha düşük olmasına sebep olur. Yokuş aşağı inerken ise dişliler daha yüksek hız ve dolayısıyla daha düşük tork sağlamak amacıyla kullanılabilir. Bu örnekten de anlaşılacağı üzere dişliler, dönen mekanik sistemlerde tork-hız ayarı için kullanılırlar. Kayıpları, eylemsizliği, sürtünmesi vs. ihmal edilen ideal bir dişli sistemi aşağıdaki şekilde görülmektedir. Yarıçapı r 1 ve diş sayısı N 1 olan 1 nolu giriş dişlisine T 1 (t) torku uygulanmıştır ve bu dişlinin açısal konumu θ 1 (t) dir. nolu çıkış dişlisinin ise yarıçapı r, diş sayısı N, bu dişliden alınan tork T (t) ve açısal konumu θ (t) dir. 107

108 Dişliler dönmeye başladığında belirli bir zaman diliminde her bir dişlinin kat edeceği çevresel yol aynı olacağı için, r 1 θ 1 =r θ olacaktır. Buradan, r1 N1 1 r N elde edilir. Yani açısal yerdeğiştirme miktarı, dişlilerin yarıçapı ve diş sayısı ile ters orantılıdır. Peki iki dişlinin torkları arasındaki ilişki nasıldır? Dişliler ideal dişli olarak kabul edildiği için güç (ve dolayısıyla enerji) değerleri aynı olacaktır. Yani, T 1 θ 1 =T θ ve T olur. Yani her bir dişlinin torku, diş 1 N T sayısı ile doğru, açısal konum ile ile 1 N1 ters orantılıdır. Bu iki denklem blok diyagram şekilde aşağıdaki gibi gösterilebilir. 108

109 Peki bir mekanik sistemde dişli kullanılması durumunda mekanik empedanslar nasıl değişecek? Bunu incelemek için aşağıdaki basit mekanik sistemi gözönünde bulunduralım ve dişlinin herhangi bir tarafındaki empedansların ve diğer büyüklüklerin, dişlinin diğer tarafına nasıl aktarılacağını hesaplayalım. Burada amaç, bu mekanik sistemi analiz ederken dişlileri elimine edip bir eşdeğer mekanik sistem türetmektir. Öncelikle dişlinin 1 numaralı tarafındaki torku, dişlinin tarafına aktarmak suretiyle eşdeğer sistemi oluşturalım. Dişlinin bir tarafındaki torkun, diğer tarafında nasıl görüleceğini önceki slaytta açıklamıştık. Bu nedenle eşdeğer sistem ve hareket denklemi aşağıdaki gibi olacaktır. Js Ds K ( s) T ( s) N N

110 Şimdi dişlinin numaralı tarafındaki büyüklükleri 1 numaralı tarafına aktaralım: N N Js Ds K ( s) T ( s) N N1 N N N J s D s K 1 s T1 s N N N ( ) ( ) 110

111 Elde ettiğimiz sonuçları genellersek, şu ifadeyi çıkarabiliriz: Dişli içeren dönen mekanik sistemlerde empedanslar, dişlinin bir tarafından diğer tarafına aşağıdaki dönüştürme oranıyla çarpılarak aktarılır: Hedef taraftaki dişli sayısı Kaynak taraftaki dişli sayısı Ör: Aşağıdaki mekanik sistemde J 1 eylemsizliğine sahip cisme T 1 (t) torku uygulanmıştır. Buna göre θ (s)/t 1 (s) transfer fonksiyonunu bulunuz. 111

112 C: Serbest olarak hareket eden iki cismin bulunması, iki tane hareket denklemi olması gerektiğini düşündürse de, bu iki cisim dişli vasıtasıyla birbirine bağlanmıştır ve hareket denklemi, büyüklüklerin bir tarafa aktarılması suretiyle tek denklem olarak yazılır. Eşdeğer J, D ve K değerleri şekildeki gibidir. Bu durumda hareket denklemi: N J s D s K ( s) T ( s) N e e e 1 1 ve transfer fonksiyonu: ( s) N / N T s J s D s K 1 1() e e e 11

113 Dişli sistemlerde çok daha yüksek dönüştürme oranı istendiğinde, pratik olarak çok da uygulanabilir olmayan yarıçap ve diş sayısı değerleri söz konusu olur. Bu nedenle bu tür uygulamalar için tek bir dişli kullanmak yerine ard arda bağlanmış birden fazla dişli kullanılır. Bu durumda eşdeğer dönüştürme oranı aşağıdaki gibi bulunur: N N N NNN

114 Alıştırma: Aşağıdaki mekanik sistemde J 1 eylemsizliğine sahip cisme T 1 (t) torku uygulanmıştır. Buna göre θ 1 (s)/t 1 (s) transfer fonksiyonunu bulunuz. 114

115 Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Elektromekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Doğrusalsızlıklar ve Doğrusallaştırma 115

116 Elektromekanik sistemler, elektrik enerjisini mekanik enerjiye, mekanik enerjiyi elektrik enerjisine çeviren sistemlerdir. Bir generatör, mekanik enerjiyi elektrik enerjisine çevirirken, bir motor ise elektrik enerjisini mekanik enerjiye çevirir. Aşağıdaki fotoğrafta elektromekanik sistemler (bir robot kolu) içeren, NASA Uçuş Simülatörü görülmektedir. 116

117 Bu bölümde, kontrol sistemlerinde aktüator (eyleyici) olarak yaygın bir şekilde kullanılan özel bir elektromekanik sistemin, Kalıcı Mıknatıslı DC Servomotorun transfer fonksiyonunu türeteceğiz. Bu motorlarda manyetik alan, sabit pozisyonlu kalıcı mıknatıslar tarafından sağlanır. i a (t) akımını taşıyan ve Armatür (endüvi) devresi olarak adlandırılan dönen devre ise bu manyetik alana maruz kalacak şekilde döndüğü için, Lorentz Kanunu na göre F=Bli a ile hesaplanan bir kuvvete maruz kalır ve makinanın dönen kısmı (rotor) dönmeye başlar Böylece, makinaya uygulanan elektrik enerjisi, mekanik enerjiye dönüştürülmüş olur. Burada B, armatürün maruz kaldığı manyetik alan, ve l ise bu manyetik alana maruz kalan iletken uzunluğudur. 117

118 Bu ön bilgilerden sonra, motorun aşağıdaki blok diyagramda görülen transfer fonksiyonunu türetelim. Şekilden de görüleceği üzere armatür devresine ilişkin denklemin Laplace Dönüşümü R I ( s) L si ( s) V ( s) E ( s) a a a a b a olacaktır. Motorun ürettiği tork ise armatür akımı ile orantılıdır ve T ( s) K I ( s) m t a formülüyle hesaplanır. Burada K t Tork Sabiti olarak adlandırılır. Genellikle bu değer K b değerine eşit alınır. Eğer bu denklemden I a akımının değeri bulunup yukarıdaki denklemde hem I a nın değeri, hem de bir önceki slaytta V b (s) için verilen formül yerine yazılırsa şu denklem elde edilir: R L s T () s a a m K t K s ( s) E ( s) b m a 118

119 R L s T () s a a m K t K s ( s) E ( s) b m a Blok diyagramda görülen θ m (s)/e a (s) transfer fonksiyonunu elde etmemiz için tek bir adım kaldı: Motorun ürettiği tork T m (s) i, motorun açısal konumu θ m (s) cinsinden ifade etmek. Bunun için yapılması gereken şey ise gayet basit: Motorun mekanik denklemini yazmak! Şu ana kadar bu elektromekanik sistemin hep elektriksel denklemlerini yazdık. Şimdi ise, daha önce gördüğümüz dönen mekanik sistemlerin denklemlerinin türetilmesine ilişkin bilgilerimizi kullanarak mekanik denklemi yazalım. 119

120 Mekanik denklemin türetilmesini açıklamak için yandaki şekli gözönünde bulunduralım. Bu şekil, bir motor ile motorun miline bir dişli vasıtasıyla bağlanmış yükü göstermektedir. Eğer dişli kullanılmaz ve yük motor miline doğrudan bağlanırsa dişlinin dönüştürme oranı 1 olarak alınır. Burada J a ve D a sırasıyla motorun armatürünün eylemsizliği ve viskoz sürtünme katsayısı, J L ve D L ise yükün eylemsizliği ve viskoz sürtünme katsayısıdır. Eğer yük tarafındaki mekanik empedanslar motor tarafına aktarılırsa aşağıdaki eşdeğer devre elde edilir. Bu eşdeğer devrede, J m ve D m sırasıyla eşdeğer eylemsizlik ve eşdeğer viskoz sürtünme katsayısıdır. Dişli sistemlerden bahsederken açıklandığı üzere bu değerler aşağıdaki gibi hesaplanır: J J J N 1 m a L N N D D D N 1 m a L 10

121 Buna göre mekanik denklem; T ( s) J s D s ( s) m m m m Ra Las Tm () s Eğer bu mekanik denklem daha önce elde ettiğimiz denkleminde yerine yazılırsa; Kt Ra Las Jms Dms m() s K t K s ( s) E ( s) b m a K s E () s Armatür indüktansı L a nın, R a ya göre çok çok küçük olduğu göz önünde bulundurulursa, Ra J m s D m K b s m s E a s Kt ( ) ( ) Artık bu denklem kullanılarak transfer fonksiyonu yazılabilir: () / m s Kt Ra Jm Ea() s 1 KK t b s s Dm Jm Ra b a 11

122 () / m s Kt Ra Jm Ea() s 1 KK t b s s Dm Jm Ra Bu denklem literatürde genellikle daha kompakt formda m() s K E () s s s a şeklinde ifade edilir. K ve α sabitlerinin neye karşılık geldiği iki denklem karşılaştırılarak kolayca görülebilir. Yukarıdaki transfer fonksiyonunun belli bir motor için yazılması, o motora ve sürdüğü yüke ilişkin mekanik ve elektriksel parametrelerin rakamsal değerlerinin bulunmasını gerektirir. Mekanik parametreler J m ve D m yi ölçmenin herhangi bir yolu yoktur. Bu parametrelerin hesaplanması ise transfer fonksiyonu çıkarılırken anlatıldığı gibi yapılır. Elektriksel parametreler R a, K t ve K b ise ilgili motorun tork-hız eğrisi kullanılarak bulunur. Şimdi bu elektriksel parametrelerin tork-hız eğrisi yardımıyla nasıl bulunacağına bakalım. 1

123 Kalıcı mıknatıslı DC servo motorun, farklı voltaj değerleri için tork-hız eğrisi şekildeki gibidir. Verilen bir tork-hız eğrisi için bu elektriksel parametreler aşağıdaki gibi hesaplanır: K R t a T stall e a K b e a no load 13

124 Ör: Tork-hız eğrisi aşağıda verilen bir kalıcı mıknatıslı DC servo motor, şekildeki gibi bir yükü sürmektedir. Buna göre θ L (s)/e a (s) transfer fonksiyonunu bulunuz. C: Önce mekanik ve elektriksel parametrelerin değerlerini bulalım: N 1 1 N 1 1 Jm Ja J L Dm Da DL N 10 N 10 Kt Tstall 500 ea Kb Ra ea 100 no load 50 14

125 Bulunan bu parametre değerlerini daha önce bu tür motorlar için elde ettiğimiz transfer fonksiyonunda yerine koyarsak, () / m s Kt Ra Jm Ea() s 1 KK t b s s Dm Jm Ra m( s) 5 / E ( ) 1 a s s( s 1.667) s s 10 (5)() 1 bulunur. Ancak dikkat edilirse bu transfer fonksiyonu θ m (s) ile E a (s) arasındaki transfer fonksiyonudur. Bulunması istenen transfer fonksiyonu ise θ L (s)/e a (s) dir. Bu nedenle, yukarıda elde edilen transfer fonksiyonu, dişlinin dönüştürme oranı olan N 1 /N =1/10 ile çarpılmalıdır. L( s) E ( s) s( s 1.667) a 15

126 Alıştırma: Tork-hız ilişkisi T m 8 00 m denklemiyle verilen bir kalıcı mıknatıslı DC servo motor, şekildeki gibi bir yükü sürmektedir. Buna göre θ L (s)/e a (s) transfer fonksiyonunu bulunuz. (Giriş gerilimi 100 V dur.) C: m( s) 1/ 0 E ( s) s s (15 / ) a 16

127 Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Elektromekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Doğrusalsızlıklar ve Doğrusallaştırma 17

128 DOĞRUSALSIZLIKLAR Şu ana kadar bir şekilde uğraştığımız diferansiyel denklemlerin tamamı doğrusal zamanla değişmeyen (Linear Time Invariant LTI) diferansiyel denklemlerdi. Burada zamanla değişmeyen kavramından kasıt, az önceki DC motor örneğinde J m, D m, R a vs. gibi mekanik ve elektriksel parametrelerin birer sabit olup, zamana göre değişmemesini temsil eder. Daha önce de ısrarla vurgulandığı üzere aslında tabiatta lineer sistem yoktur. Bütün sistemler belirli bir ölçünün ötesinde doğrusal olmayan (nonlinear) sistemlerdir. Şu ana kadar kullandığımız doğrusal (lineer) diferansiyel denklem modelleri ise aslında gerçek modelin birer lineer yaklaşımı dır. Tüm bunlardan lineer modellerin gerçek sistemi temsil etmediği anlamı çıkmaz. Kontrol edilecek sisteme göre değişmekle beraber, lineer modeller birçok sistem için yeterli temsil yeteneğine sahiptir. Bu altbölümde önce doğrusal ve doğrusal olmayan kavramlarını hatırlatıp, daha sonra doğrusal olmayan bir sistemin nasıl doğrusallaştırılacağını göstereceğiz. Dersin son haftasında ise, doğrusal olmayan bir sistemi hiç doğrusallaştırmadan nasıl kontrol edebiliriz, yani doğrusal olmayan diferansiyel denklemi kullanarak nasıl kontrol edebiliriz sorusunu cevaplayacağız. 18

129 Daha önce vurgulandığı gibi doğrusal bir sistem iki önemli özelliğe sahiptir: Toplamsallık ve çarpımsallık. Toplamsallık, bir sistemin birden fazla girişin toplamına verdiği cevabın, o girişlerin her biri için ayrı ayrı ürettiği cevapların toplamına eşit olmasıdır. Yani bir sistem r 1 (t) girişi için c 1 (t) çıkışını ve r (t) girişi için c (t) çıkışını ürettiğinde, r 1 (t)+r (t) girişi için c 1 (t)+ c (t) çıkışını üretiyorsa toplamsallık ilkesini sağlıyordur. Çarpımsallık, sistem girişinin bir sabitle çarpılması durumunda çıkışında aynı sabitle çarpılmış değerde olmasını tanımlar. Yani bir sistem r 1 (t) girişi için c 1 (t) çıkışını ürettiğinde, A bir sabit olmak üzere Ar 1 (t) girişi için Ac 1 (t) çıkışını üretiyorsa çarpımsallık ilkesini sağlıyordur. Örneğin yandaki grafiklerden biri bu ilkeleri sağlarken, diğeri sağlamamaktadır. 19

130 Aşağıdaki şekillerde bazı fiziksel doğrusalsızlıklar görülmektedir. Soldaki şekilde Elektronik I ve II derslerinde gördüğünüz yükselteçlerin çıkış eğrisi verilmiştir. Bir yükselteç en fazla besleme sinyali kadar (pratikte bunun birkaç volt azı kadar) çıkış verebilir. Belirli bir değerden sonra giriş ne kadar artarsa artsın çıkış değişmez. Bu tür doğrusalsızlıklar Doyum Saturation olarak adlandırılır. Ortadaki şekilde bir elektrik motorunun düşük voltajlara tepki vermeyip, belirli bir voltaj değerinden sonra hareket etmeye başlamasını temsil eden grafik görülmektedir. Bu tür doğrusalsızlıklar Ölü Bölge Dead Zone olarak adlandırılır. Soldaki şekilde ise, daha önce gördüğümüz dişlilerin dönüştürme karakteristiğine ilişkin daha gerçekçi bir eğri görülmektedir. Küçük bir aralıkta giriş değişmesine rağmen çıkış hiçbir tepki vermemekte, yani küçük dişli dönmeye başlamasına rağmen büyük dişli bir süre hareket etmemektedir. Bu tür doğrusalsızlıklar ise Boşluk Backlash olarak adlandırılır. 130

131 Şu ana kadar doğrusalsızlık nonlinearity kavramının ne olduğunu açıklamaya çalıştık. Şimdi doğrusal olmayan bir sistemin / cebirsel denklemin / diferansiyel denklemin nasıl doğrusallaştırılacağından bahsedelim. Çoğu zaman tasarımcılar doğrusal olmayan bir sistemin doğrusal yaklaşımını kullanırlar. Böyle bir tercih modeli basitleştirir ve tasarımı kolaylaştırır. Zira doğrusal sistemlerin tasarımı, üzerinde yüzyıllardır çalışılan bir konudur ve tasarım için çok sayıda kullanışlı yöntem mevcuttur. Doğrusal olmayan sistemler ise uzay araştırmaları ile daha belirgin hale gelmiştir ve halen bu tür sistemlerin tasarımı üzerine araştırmalar yapılmaktadır. Ancak her doğrusal olmayan sistemin doğrusal yaklaşımı, gerçek sistemi üstün performansla temsil etmeyebilir. Bu nedenle doğrusallaştırma sihirli bir yöntem değildir ve her sisteme uygulanamaz. 131

132 DOĞRUSALLAŞTIRMA Hatırlanacağı üzere frekans domeni yaklaşımının sadece doğrusal sistemlere uygulanabileceğini söylemiştik. Eğer bir sistem herhangi bir doğrusal olmayan komponent içeriyorsa, bu sistemin transfer fonksiyonunun yazılabilmesi için önce sistem modelinin doğrusallaştırılması gerekir. Bir cebirsel ya da diferansiyel denklemin doğrusallaştırılması, bir denge noktası etrafında yapılır. Bu nedenle öncelikle denge noktası kavramını tanımlayalım. Herhangi bir sistemin denge noktası, fiziksel olarak harici bir uyartım olmadığında sistemin yerleşeceği noktadır. Dolayısıyla eğer matematiksel anlamda denge noktasını tanımlarsak, ilgili sistemi modelleyen denklemin çözümünün, giriş sıfıra eşit olduğunda yakınsayacağı noktadır. Şimdi hem bu fiziksel tanıma, hem de matematiksel tanıma örnekler verelim. Örneğin aşağıdaki bilyeye herhangi bir harici etki uygulanmazsa bilyenin gideceği yer, şekilde görülen noktadır ve bu nokta denge noktası olarak adlandırılır. Doğrusallaştırma işte bu denge noktası etrafında yapılır. Bunun nedeni de oldukça açıktır: Bu denge noktası etrafında küçük etkiler, küçük tepkiler doğurur. Yani bilye denge noktasındayken çok hafif bir kuvvet (etki, giriş) uygulanırsa, bilye de çok az yerdeğiştirme (çıkış, tepki) meydana getirecektir. Dolayısıyla bu fiziksel sistemi, denge noktasının küçük bir komşuluğunda sanki doğrusal bir sistemmiş gibi analiz edebiliriz. 13

133 Denge noktasına diğer bir fiziksel örnek ise, aşağıdaki sarkaçtır. Eğer bu sarkaca herhangi bir harici etki uygulanmazsa, sarkacın varacağı nokta şekildeki noktadır ve bu nokta bir denge noktasıdır. Bu sarkacın bir denge noktası daha vardır!!! 133

134 Esas soruya gelelim: Bu doğrusal olmayan modelin, A noktası etrafında doğrusallaştırılmış formu nasıl elde edilir? Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi A noktasına teğet çizelim ve orjini bu teğet noktası olan yeni bir eksen takımı oluşturalım. Matematiksel notasyonda δ (ya da Δ) küçük değişimleri temsil ettiği için bu yeni eksen takımını δx ve δf(x) olarak etiketlendirelim. Çizilen teğetin eğimini m a ile gösterelim. Yeni eksen takımında bu teğet doğrusunun denklemi f () x max şeklindedir. Buradan f ( x) f ( x ) ma x x ve dolayısıyla 0 0 f ( x) f ( x ) ma x x 0 0 f x f x m x ( ) ( 0) a Elde ettiğimiz bu denklem, doğrusal olmayan fonksiyon f(x) in, koordinatları [x 0, f(x 0 )] olan A noktasında doğrusallaştırılmış denklemidir. m a, A noktasındaki teğetin eğimini, δx ise bu noktanın etrafındaki küçük değişimleri temsil eder. Takip eden slayttaki örnek bu anlatımı somutlaştırır. 134

135 Ör: f(x)=5cosx denklemini x=π/ noktası etrafında doğrusallaştırınız. C: Doğrusallaştırma denklemi f ( x) f ( x0) ma x şeklindeydi. Buna göre soruda verilen doğrusal olmayan denklemin, x=π/ noktasındaki değerini, yani f(x 0 ) değerini, ve yine x=π/ noktasındaki teğetinin eğimini, yani m a değerini, bulmamız gerekiyor. f x0 f / 5cos / 0 Bu noktadaki teğetin eğimi ise, fonksiyonunu türevi alınıp, elde edilen ifadenin x=π/ için değerinin bulunmasıyla elde edilir. df ma 5sin x 5 x / dx x / Böylece bu doğrusal olmayan fonksiyonun, x=π/ etrafındaki doğrusallaştırılmış denklemi, f ( x) 5x olur. Bu doğrusallaştırılmış denklemin, x=π/ noktasının küçük komşuluklarında geçerli olduğunu unutmayınız! 135

136 Şu ana kadar doğrusalsızlık ve doğrusallaştırma kavramlarının tanımını yaptık ve bir cebirsel denklemin nasıl doğrusallaştırılacağını gördük. Daha önce vurgulandığı gibi tabiattaki dinamik sistemler diferansiyel denklemlerle modellenir ve daha sonra bu diferansiyel denklem transfer fonksiyonu formunda ya da durum-uzay formunda ifade edilir. Bu nedenle sadece cebirsel denklemlerin değil, doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemin de nasıl doğrusallaştırılacağının açıklanması gerekir. Doğrusal olamayan bir diferansiyel denklem, bir denge noktası etrafında doğrusallaştırılarak, elde edilen doğrusal diferansiyel denklemin Laplace Dönüşümü alınır ve giriş ile çıkış değişkenleri arasında bir transfer fonksiyonu yazılır. Dolayısıyla, önce doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemin nasıl doğrusallaştırılacağı açıklanmalıdır. Esasen daha önce cebirsel denklemin doğrusallaştırılmasında kullanılan yöntem, Taylor tarafından daha genel bir formda sunulmuştur. Taylor, doğrusal olamayan bir f(x) fonksiyonunun x=x 0 noktası etrafında doğrusallaştırılmış formunun, kendi adıyla anılan aşağıdaki gibi sonsuz sayıda terimin toplamı şeklindeki bir seri ile ifade edilebileceğini ortaya koymuştur: df x x0 d f x x0 ( ) f x0... dx xx 1! dx! xx f x 0 0 Bu denklemde f(x 0 ), az önceki örnekte olduğu gibi, doğrusal olmayan f(x) fonksiyonunun x=x 0 noktasındaki değeridir. 136

137 df x x0 d f x x0 ( ) f x0... dx xx 1! dx! xx f x 0 0 Eğer Taylor Serisinin yüksek mertebeden terimleri ihmal edilirse, df f ( x) f x x x ya da diğer bir ifadeyle, 0 0 dx x x 0 f ( x) denklemi elde edilir. Bu denklem, tıpkı az önceki örnekte olduğu gibi, δx ile δf(x) değerlerini x 0 ın küçük komşulukları için ilişkilendirir ve doğrusal olmayan f(x) fonksiyonunun x 0 noktası etrafında doğrusallaştırılmış formunu verir. Takip eden iki örnekten ilki, doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemin nasıl doğrusallaştırılacağını, ikincisi ise doğrusal olmayan bir sistemin doğrusallaştırılıp transfer fonksiyonunun nasıl elde edileceğini göstermektedir. df dx xx 0 x df f ( x) f x0 x dx xx 0 137

138 Ör: Aşağıdaki diferansiyel denklemi x=π/4 noktası etrafında doğrusallaştırınız. d x dx cos x 0 dt dt C: cosx terimi bu diferansiyel denklemi doğrusal olmayan bir denklem yapmaktadır. Denklemi doğrusallaştırmak için, bağımlı değişken x yerine, onun x=π/4 noktası etrafındaki küçük değişimlerini temsil eden x = δx + π/4 değerini yazalım. Bu durumda denklem; 4 4 cos x 0 dt dt 4 d x d x halini alır. Açıkça görüleceği üzere, d x d 4 d x x 4 d x ve dt dt dt dt dir. Bu iki terim zaten doğrusal terimlerdir. Şimdi doğrusal olmayan cosx terimini Taylor serisi yardımıyla doğrusallaştıralım. Yani doğrusallaştırılacak olan ifade, f(x)=cos(δx+(π/4)) ifadesidir. 138

139 Bunun için daha önce elde ettiğimiz yerine koyalım: Bu durumda, df f ( x) f x0 x dx x 4 denkleminde değerleri d(cos x) cos x cos x cos x cos sin x 4 4 dx cos x cos sin x cos x x elde edilir. Böylece herbir terimin noktası etrafında doğrusallaştırılmış formunu elde ettik (çerçeve içine alınmış üç terim). Doğrusallaştırılmış bu üç terim, soruda verilen diferansiyel denklemde yerine yazılırsa, x=π/4 noktası etrafında doğrusallaştırılmış diferansiyel denklem aşağıdaki gibi elde edilir: d x d x dt xx x dt 0 139

140 r e 0.1v Ör: Aşağıdaki şekilde görülen elektrik devresinde direnç doğrusal olmayan ve r denklemi ile verilen bir akım-gerilim karakteristiğine sahiptir. Burada i r direncin uçlarından akan akım, v r ise direncin uçlarındaki gerilimdir. Buna göre V L (s)/v(s) transfer fonksiyonunu bulunuz. (Devredeki kaynağın bir küçük-sinyal üreteci olduğunu kabul ediniz). C: Öncelikle Kirchhoff un Gerilimler Yasasını kullanarak devreyi modelleyen diferansiyel denklemi yazalım. Bunun için, doğrusal olmayan dirence ilişkin soruda verilen denklemden v r geriliminin ifadesini bulmamız gerekir. Eğer her iki tarafın e tabanına göre logaritması alınırsa, direncin uçlarındaki gerilim ifadesinin v r 1 10ln olduğu görülür. Bu devre bir seri devre olduğu için, direncin uçlarından akan akım, aynı zamanda diğer komponentlerin de uçlarından akan akımdır. Bu nedenle akımı genel olarak i şeklinde etiketleyelim. Bu durumda devreyi modelleyen diferansiyel denklem şu şekilde olacaktır: di 1 L 10ln i 0 v( t) dt i i r 140

141 di 1 L 10ln i 0 v( t) dt Peki doğrusallaştırma hangi noktanın etrafında yapılacak? Şu ana kadar bütün örneklerde doğrusallaştırmanın yapılacağı nokta peşinen söylenmişti. Şimdi doğrusallaştırmanın yapılacaağı o denge noktası nın nasıl bulunacağından bahsedelim ve bunun için tanımı hatırlayalım: Herhangi bir sistemin denge noktası, fiziksel olarak harici bir uyartım olmadığında sistemin yerleşeceği noktadır. Dolayısıyla eğer matematiksel anlamda denge noktasını tanımlarsak, ilgili sistemi modelleyen denklemin çözümünün, giriş sıfıra eşit olduğunda yakınsayacağı noktadır. Eğer yukarıdaki denklemde giriş v(t)=0 alınırsa, devrede sadece 0 V luk DC kaynak kalacaktır. Ayrıca kalıcı durumda di/dt, yani akımdaki değişim de sıfır olacağından, bobinin uçlarındaki gerilim de sıfıra eşit olacaktır, yani bobin kısa devre gibi davranacaktır. Böylece sadece direncin uçlarında 0 V luk bir gerilim kalacaktır. Direncin, soruda verilen akım-gerilim ilişkisi kullanılırsa, 0 V için direnç uçlarından A akım akacağı görülür. İşte bu nokta denge noktasıdır, yani doğrusallaştırma i 0 =14.78 noktasının etrafında yapılır. 141

142 Artık bundan sonra, daha önce öğrendiğimiz şekilde, devreyi modelleyen diferansiyel denklemi doğrusallaştırabiliriz. d i0 i 1 i i0 i L 10ln i0 i 0 v( t) dt ln 1 d ln 1 1 i i0 i ln i0 i dt Doğrusal olmayan terim ln i0 i ln i0 i i ln i0 i ln i0 i i 0 ii 0 ii 0 14