ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİNİN BİR SINIFI VE DAĞILIM FONKSİYONLARININ KOPULA

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİNİN BİR SINIFI VE DAĞILIM FONKSİYONLARININ KOPULALARI Banu ALTINSOY İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 009 Her hakkı saklıdır

2 TEZ ONAYI Banu ALTINSOY arafından hazırlanan İki Değişkenli Olasılık İnegral Dönüşümlerinin Bir Sınıfı ve Dağılım Fonksiyonlarının Kopulaları adlı ez çalışması 5/06/009 arihinde aşağıdaki jüri arafından oy birliği ile Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmişir. Danışman : Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU Jüri Üyeleri : Başkan : Prof. Dr. İsmihan BAYRAMOĞLU İzmir Ekonomi Üniversiesi Maemaik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Fikri ÖZTÜRK Ankara Üniversiesi İsaisik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU Ankara Üniversiesi İsaisik Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. İnci BATMAZ Ora Doğu Teknik Üniversiesi İsaisik Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Birdal ŞENOĞLU Ankara Üniversiesi İsaisik Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof.Dr.Orhan ATAKOL Ensiü Müdürü

3 ÖZET Dokora Tezi İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİNİN BİR SINIFI VE DAĞILIM FONKSİYONLARININ KOPULALARI Banu ALTINSOY Ankara Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU Bu çalışmada kopulalar, iki değişkenli olasılık inegral dönüşümü, sıra isaisikleri ve eşlenikleri, Riske Maruz Değer (Value-a-Risk) ve bunun Farlie-Gumbel-Morgensern (FGM) Dağılımlar ailesi üzerine uygulanması üzerinde durulmuşur. İki boyulu dağılım fonksiyonları ve kopulalar hakkında emel kavram ve eoremler verildiken sonra çalışmanın emelini oluşuran iki değişkenli olasılık inegral dönüşümleri göserilmişir. Risk ölçüm değerlerinden olan Riske Maruz Değer (Valuea-Risk) hakkında kısa bilgiler verilmişir. Tüm bu bilgilerin ışığında FGM dağılımlar ailesi üzerine uygulamalar yapılmışır. Bu kapsamda bağımlılık yapıları da ele alınmış ve analiik sonuçlar sunulmuşur. Bu sonuçlar içinde olerans aralıkları kurulumuna ve Riske Maruz Değer ile ilişkilendirilmesine yer verilmişir. Haziran 009, 94 sayfa Anahar Kelimeler: Kopula, İki Değişkenli Olasılık İnegral Dönüşümü, Sıra İsaisikleri ve Eşlenikleri, Riske Maruz Değer (Value-a-Risk), Sokasik Sıralama, FGM Dağılım Ailesi, Tolerans Aralığı, Kuaniller. i

4 ABSTRAT Ph. D. Thesis A LASS OF BIVARIATE PROBABILITY INTEGRAL TRANSFORMS AND DISTRIBUTION FUNTIONS OF OPULAS Banu ALTINSOY Ankara Universiy Graduae School of Naural and Applied Sciences Deparmen of Saiisics Supervisor: Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU In his sudy; copulas, bivariae probabiliy inegral ransform, order saisics and heir concomians, Value-a-Risk (VaR) and Farlie-Gumbel-Morgensern Disribuion Family are considered. Basic conceps of wo dimensional disribuion funcions and copulas and heorems are given.bivariae probabiliy inegral ransforms which form he fundamenal basis of he sudy are shown. Value-a-Risk (VaR), as a risk measure, and quaniles of disribuions are presened in conjuncion wih each oher. Some applicaions abou he FGM disribuions are presened. In his regard; quaniles, VaR and olerans inervals are invesigaed and some analyical resuls are presened. June 009, 94 pages Key Words: opula, Bivariae Probabiliy Inegral Transform, Order Saisics and Their oncomians, Value-a-Risk, Sochasic Ordering, FGM disribuion, Tolerans Inervals, Quaniles. ii

5 TEŞEKKÜR Dokora öğrenimim boyunca; çalışmalarımın her safhasında ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren, deseğini esirgemeyen sevgili danışman hocam, Sayın Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU (Ankara Üniversiesi Fen Fakülesi İsaisik Bölümü) na sonsuz eşekkürlerimi sunarım. Tez çalışmalarım süresince; deseğini ve bilgilerini esirgemeyen, yoluma ışık uan, Tez İzleme Komiesi Üyeleri değerli hocalarım, Sayın Prof. Dr. İsmihan BAYRAMOĞLU (İzmir Ekonomi Üniversiesi Fen Edebiya Fakülesi Maemaik Bölümü) na ve Sayın Prof. Dr. Fikri ÖZTÜRK (Ankara Üniversiesi Fen Fakülesi İsaisik Bölümü) e minearlığımı bildirerek eşekkürlerimi sunarım. Değerli hocam Prof. Dr. İsmihan BAYRAMOĞLU na, ez konumun oraya konulmasındaki kakıları nedeniyle derinden müeşekkirim. MaLab programlamaları konusunda deseklerini gördüğüm Sayın Araş. Gör. Gökhan SOYSAL (Ankara Üniversiesi Mühendislik Fakülesi Elekronik Bölümü) a da ayrıca eşekkür ederim. Bu süreçe, bana her ürlü deseği veren ve hep yanımda olan değerli aileme ve sevgili eşime üm kalbimle eşekkür ederim. Banu ALTINSOY Ankara, Haziran 009 iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRAT.. ii TEŞEKKÜR. iii SİMGELER DİZİNİ v ŞEKİLLER DİZİNİ. vi ÇİZELGELER DİZİNİ... vii. GİRİŞ VE ÖNEKİ ÇALIŞMALAR..... İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİ. 5. İki Boyulu Dağılımlar ve Kopulalar Dağılım Fonksiyonlarının Kopulaları Kopulaların Kümesi Üzerinde Sıralama...4 Birlikeliğin Ölçüleri SIRA İSTATİSTİKLERİNİN EŞLENİKLERİ 8 4. SIRA İSTATİSTİKLERİ VE EŞLENİKLERİNİN ORTAK DAĞILIMLARINA İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİNİN UYGULANMASI İki Değişkenli Olasılık İnegral Dönüşümleri için Yeni Örnekler Farlie-Gumbel-Morgensern Ailesi için Örnekler İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMÜ KULLANARAK DAĞILIMDAN BAĞIMSIZ KİTLE KUANTİLLERİ İÇİN GÜVEN ARALIKLARININ İFADE EDİLİŞİ Tolerans Limileri ve Aralıklar Kuaniller ve Güven Aralıkları FGM Dağılım Ailesi için Bazı Örnekler BAĞIMLI RİSKLER İÇİN RİSKE MARUZ DEĞER(VaR) VaR Üzerinde Sıralamalar İki Değişkenli Kuaniller, Kopulalar ve İki Bağımlı Risk için VaR Değerlendirmesi TARTIŞMA VE SONUÇ. 76 KAYNAKLAR. 78 EKLER.. 8 EK Örnek 4. için Yazılan Malab Bilgisayar Programı Kodları... 8 EK Örnek 4. için Yazılan Malab Bilgisayar Programı Kodları 83 EK 3 Örnek 4.3 için Yazılan Malab Bilgisayar Programı Kodları 84 EK 4 Örnek 4.4 için Yazılan Malab Bilgisayar Programı Kodları 85 EK 5 Örnek 4.5 için Yazılan Malab Bilgisayar Programı Kodları 86 EK 6 Örnek 4.6 için Yazılan Malab Bilgisayar Programı Kodları 87 EK 7 Örnek 5. için Yazılan Malab Bilgisayar Programı Kodları 88 EK 8 Örnek 5. için Yazılan Malab Bilgisayar Programı Kodları 89 EK 9 Örnek 5.3 için Yazılan Malab Bilgisayar Programı Kodları 90 EK 0 Ur+ j ( ) Fonksiyonunu Hesaplayan Malab Bilgisayar Programı Kodları.. 9 EK U j+ i ( ) Fonksiyonunu Hesaplayan Malab Bilgisayar Programı Kodları.. 93 ÖZGEÇMİŞ.. 94 iv

7 SİMGELER DİZİNİ R R Reel sayılar Genişleilmiş reel sayılar R I Genişleilmiş reel düzlem Birim aralık I Birim kare W M Π Kopula fonksiyonunun gösergesi Freche-Hoeffding al sınır kopulası Freche-Hoeffding üs sınır kopulası Çarpım kopulası µ kopulasının I üzerindeki ölçüsü δ kopulasının diagonal (köşegen) kısmı X r: n r -inci sıra isaisiği Y [ r: n] r -inci sıra isaisiğinin eşleniği p Ui ( ) Sıralama bağınısı i-inci sıra isaisiğinin dağılım fonksiyonu U r: n Uniform dağılımlı rasgele değişkenlerinin r -inci sıra isaisiği V r -inci sıra isaisiğinin eşleniği [ r: n] FGM VaR Farlie-Gumbel-Morgensern dağılımlar ailesi Riske Maruz Değer (Value-a-Risk) v

8 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil. { M,, W}, Π için nin dağılım fonksiyonları... 0 Şekil. Çeşili bağımlılık sıralamaları arasındaki gerekirmeler... 6 vi

9 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 4. Örnek 4. e ilişkin ( )( ) değerleri abloları Çizelge 4. Örnek 4. ye ilişkin ( )( ) değerleri abloları.. 3 Çizelge 4.3 Örnek 4.3 e ilişkin ( )( ) değerleri abloları Çizelge 4.4 Örnek 4.4 e ilişkin ( )( ) değerleri abloları Çizelge 4.5 Örnek 4.5 e ilişkin ( )( ) değerleri abloları Çizelge 4.6 Örnek 4.6 ya ilişkin ( )( ) değerleri abloları.. 55 Çizelge 5. Örnek 5. e ilişkin ablolar ( π Çizelge 5. Örnek 5. ye ilişkin ablolar ( π min ( r, s, n, p) max ( r, s, n, p) = β ).. 63 = β ) Π Çizelge 5.3 Örnek 5.3 e ilişkin ablolar ( π ( r, s, n, p) = β ) 67 vii

10 . GİRİŞ VE ÖNEKİ ÇALIŞMALAR İki değişkenli olasılık inegral dönüşümleri ve dağılım fonksiyonlarının kopulaları son yıllarda cazip bir çalışma alanı haline gelmişir. İki ve çok değişkenli olasılık inegral dönüşümleri ile ilgili lieraürde Nelsen e al. (00), Jose A. Rodriguez-Lallena ve Manuel Ubeda-Flores (003) ve Bairamov ve Koz (00) un önemli çalışmaları bulunmakadır. İki değişkenli olasılık inegral dönüşümleri yapılırken, bu dönüşümü kopula ile ifade emek işlemleri daha da kolaylaşırmakadır. Bilindiği gibi; dağılım fonksiyonlarının kopulaları, birçok alanda kullanabilen popüler bir çözümleme aracı durumundadır. Çok değişkenli dağılımlarda değişkenlerin birbirine bağımlı olması hali gerek kuramsal açıdan, gerek bağımlılığın doğadaki yapısı açısından gerçek yaşam durumlarına en yakın olan durumdur. Bu nedenle bağımlı değişkenlerin olasılık dağılımlarının modellenmesi konusu üzerinde çalışılması büyük önem aşımakadır. Bu sahada ele alınan çok değişkenli dağılım modellerinden birisi olan ve lieraürde de Farlie-Gumbel- Morgensern (FGM) dağılımları olarak yer alan dağılımlar Morgensern (956), Gumbel (960) ve Farlie (960) nin çalışmaları ile oraya çıkmışır. Bu çalışmaların yaraığı zemin üzerine inşa edilmiş diger çok değerli çalışmalar mevcuur. Ayrıca, çok değişkenli dağılımlarda sıra isaisikleri ve eşleniklerinin orak dağılımlarını karakerize eme problemi isaisik bilimi açısından hem kuram hem de uygulama yönleriyle bir değer aşımaka ve risk, aküerya, finans, ıp, biyoloji, jeoloji, hidroloji, ekonomi ve ziraa gibi pek çok uygulama alanında çözümleyici ve sonuç çıkarıcı yaklaşımlara dayanak oluşurmakadır. Risk yöneiminde bağımlılığı modelleme konusu akuarya biliminde; kayıp mikarı gibi risk niceliklerinin aralarında mevcu sıkı ilişki doğasından dolayı son yıllarda aran bir önem kazanmışır. Bir çok sigora porföyünün içinde ya da arasında bağımlılık söz konusudur. Bu ip bağımlı riskleri modelleme çalışmalarında; yükümlülük ve uygun

11 fiyalama (prim hesapları) meseleleri için bir sigora risk yöneimi planlaması anlamlı risk ölçümlerinin kullanılması gerekirmekedir. Bağımlı risklerin dağılımlarının kuanilleri; bir çok risk ölçüsü için dağılımlar emelinde esas değerleri oluşurduğundan, bağımlı riskleri modellemede odaksal bir konudur. Diğer yandan; kopulalar, bağımlılığın modellenmesinde, risk niceliklerinin orak dağılımlarını bağımlılık yapısı ve marjinal davranışı olarak ifade eme özelliğine sahip olduğundan kullanılışlı bir maemaiksel araçır. Son yıllarda kolay anlaşılır sigora mikarı (coverage) eorisi alanında özel ilgi uyandırmış bir gelişme oraya koymuş olup, bağımlı akuaryal risklerin modelleri ve uygulamaları, risk ölçümü ve kopulalar açısından Denui e. al. arafından 005 yılında yapılan bir çalışmada verilmişir. Ayrıca Joe (997) ve Mari ve Koz (00) un çalışmalarında; bağımlılık, korelasyon ve çok değişkenli modelleme hakkında açık ve oldukça geniş bir isaisiksel bakış açısı sunulmakadır. Genel erimlerle, bazı risk ölçümleri, kuaniller, olasılık inegral dünüşümüleri ve kopulalar arasında kavramsal ve analiik bir ilişki mevcuur. Kuaniller; olasılık dağılımlarının genelleşirilmiş ersi olarak anımlanır ve risk yöneimi praiğinde Riske Maruz Değer (VaR) risk ölçüsü bakımından esası oluşurur. Kuanil dönüşüm eorimine (Denui e. al. 005) bağlı olarak rasgele değişkenlerin olasılık inegral dünüşümleri, sandar düzgün dağılımlıdır. Kopulalar sandar düzgün dağılımlıların orak dağılım fonksiyonları olduğu için, rasgele değişkenlerin orak dağılım fonksiyonları, ilgili marjinal dağılımlar ve kopula fonksiyonlarının bir fonksiyonu olarak ifade edilebilmekedir. hen ve Welsh (00), çok değişkenli genelleşirilmeleri ile iki değişkenli kuanilleri iki değişkenli dağılım fonksiyonları aracılığı ile anımlamışlar, benzer biçimde bu özelliği ek değişkenli kuaniller için sağlamışlardır. Bağımlı risklerin bazı fonksiyonlarını alarak; bazı risk yöneimi problemleri bakımından eknik ensrümanlar olarak kopulaların kullanımı ile bir p-kuanil risk ölçüsü olan VaR risk ölçümü için sınırlar oraya konulabilmekedir (Embrechs e. al. (003)). Bazı risk fonksiyonellerinin üzerinde bağımlılığın ekisinin sınırlandırılması hakkında

12 Rüschendorf (005) arafından yapılan çalışma, konuyla ilgili ayrını genişlemelerini önermekedir. Embrechs e. al. (005) un VaR hakkında yapmış oldukları çalışmada; VaR a dayandırılan risk yöneimi için mümkün en köü senaryolar ve ko-monoonluğu desekleyen alernaif bir yaklaşım üzerinde durulmuş; VaR için en köü senaryoyu oluşururken, kopula eorisinden yararlanılmışdır. Gebizlioğlu ve Kızılok (007) bir porföyde riskleri açıklamak için iki adım yaklaşımı ile iki değişkenli bir model önermişlerdir. İlk adımı risk fakörlerinin marjinal dağılımlarının belirlenmesi, ikinci adımı ise bir kopula fonksiyonu aracılığı ile risklerin orak dağılımlarının belirlenmesi işlemleri oluşurmakadır. Ayrıca kopula fonksiyonundan, Koşullu Riske Maruz Değer (VaR, ondiional Value-a-Risk) ölçüsü çıkarılmış ve bu emel üzerinde, en uygun porföyün seçimi problemi için bir uygun opimizasyon yönemi önerilmişir. Bedford (006) engelleyici ödeme yükümlülüğünün ekililiğini anlamada ek bir araç önerdiği ve güvenilirlik alanı içinde risk hesaplamanın önemli bir örneğini verdiği çalışmasında kopulaları kullanmış ve risk problemlerini hesaplamada kuanil eslerinden bahsemişir. Fernandez (008) sigoracılıka bilanço gelirlerinde bağımlılık yapısının ölçülerini kopula eorisi emellinde irdelemiş ve bu bakışla kuyruk bağımlılığı, VaR ve beklenen bakiye hesapları oraya koymuşur. Denneberg ve Leufer (008) sokasik değişimlilik (volailiy) ve bağımlılık paramereleri üzerine yapıkları çalışmada ikili değişimlilik ve bağımlılık parameresi ile ilgilenmişler ve yapılan diğer çalışmalarda olduğu gibi kopula fonksiyonları kullanmışlardır. 3

13 Tezin bölümleri şöyle oluşurulmuşur: İkinci Bölümde Nelsen e. al. (00) un çalışmalarına bağlı kalınarak, kopula kavramı hakkında genel bilgiler verilmiş ve iki değişkenli olasılık inegral dönüşümleri ile ilgili eoremler ve sonuçlarından bahsedilmişir. Bu bölümde ayrıca birlikeliğin ölçüleri konusu da ele alınmışır. Üçüncü Bölümde, sıra isaisiklerinin eşlenikleri hakkında emel kavramlar, eoremler ve bilgiler sunulmuşur. Çalışmanın özgün kısmını oluşuran ilk sunumları içeren Dördüncü Bölümde, sıra isaisikleri ve eşleniklerine iki değişkenli olasılık inegral dönüşümlerinin uygulanması göserilmiş, yeni örnekler oluşurulmuş ve ayrıca FGM dağılımlar ailesi üzerine analiik yapılar oluşurulmuşur. Beşinci Bölüm; çalışmanın diğer özgün sonuçlarından oluşmakadır: Bu bölümde, iki değişkenli olasılık inegral dönüşümleri kullanılarak kuaniller için olerans aralıklarının kurulumu gerçekleşirilmiş ve FGM dağılımlar ailesi için olerans aralıkları üzerine özgün örnekler verilmişir. Alıncı Bölümde, bağımlı riskler için VaR (Riske Maruz Değer) ın oluşurulması ve VaR üzerinde sıralamaların anlaıldığı özgün irdelemeler ve sonuçlar sunulmaka ve ileride yapılabilecek çalışmalar konusunda önerilerde bulunulmakadır. 4

14 . İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİ. İki Boyulu Dağılımlar ve Kopulalar Öncelikle noasyonun anıılmasına ihiyaç vardır: R ile ( + ), aralığındaki gerçel sayılar kümesi, R ile ise aralığındaki genişleilmiş gerçel sayılar kümesi göserilsin. Bu durumda, R = R R genişleilmiş gerçel düzlemdir. R deki bir dikdörgen; iki kapalı aralığın karezyen çarpımı B ile göserilirse, bu durumda B [ x, x ] [ y y ] =, dir. Burada ( x, y),( x, y),( x, y),( x, y ) nokaları köşegen nokalardır. Birim kare I, I = [0,] in karezyen çarpımı olan I I dır. Bir -boyulu gerçel fonksiyon H, anım kümesi R nin bir alkümesi olan DomH ve değer kümesi R nin bir al kümesi olan RanH şeklinde anımlanan bir fonksiyondur. Tanım. S ve S R nin boş olmayan alkümeleri ve H ise anım kümesi DomH S S = olan bir fonksiyon olsun. B [ x, x ] [ y y ] = üm köşegen nokaları, DomH de olan bir dikdörgen olsun. Bu durumda B nin H -hacmi aşağıdaki gibi verilir: V B = H x y - H x y - H x y + H x y. (.) ( ) (, ) (, ) (, ) (, ) H Aynı zamanda, B dikdörgeni üzerindeki H nin birinci dereceden farkları aşağıdaki gibi verilirse V ( B ) ye, B dikdörgenin H -hacmi denir: H x D H ( x, y ) = H x ( x, y ) - H ( x, y ) 5

15 y H x y H x y y H x y D (, ) = (, ) - (, ). O halde; B dikdörgenin H -hacmi, H nin B üzerindeki ikinci dereceden farkı olacakır: x y x y V ( ) (, ) H B = D D H x y Tanım. Eğer köşegen nokaları. DomH de olan üm B dikdörgenleri için V H ( B) 0 ise, H -boyulu gerçel fonksiyonuna -arandır denir (Nelsen 999). X, F dağılım fonksiyonlu sürekli bir rasgele değişken olduğunda U = F(X ) rasgele değişkeni ( X in olasılık inegral dönüşümü) I = [0,] aralığında düzgün dağılımlıdır yada denk olarak P ( F( X ) ) =, [0,] yazılır. İki boyu için aynı durum göz önüne alındığında; X ve Y, sırasıyla F ve G dağılım fonksiyonlu rasgele değişkenler olmak üzere H ve H, ek değişkenli marjinalleri F ve G olan iki değişkenli dağılım fonksiyonları olsun. H ve H için orak marjinallere kısılama yapmak, X ve Y nin ek değişkenli olasılık inegral dönüşümüne bağlı olmasını garanileyecekir. Bu durumda H ( X, ) ek boyulu bir rasgele değişken olacakır. Eğer X ve Y nin orak Y dağılım fonksiyonu H ise H ( X, Y) nin dağılım fonksiyonu hakkında ne söylenebileceği sorusunu cevaplamak için ilk olarak sürekli iki değişkenli dağılım fonksiyonlarının kümesi üzerinde sıralamaya gimek ve ikinci olarak rank korelasyon kasayıları (Spearman rho su, Kendall au su, Gini kasayısı ve Spearman foorulekuralı) dağılım fonksiyonları bakımından özlü olarak ifade edilmelidir. Kopulanın anımı ve bazı özellikleri şöyledir: 6

16 Bir kopula, aşağıdaki özelliklere sahip I den I ya bir fonksiyonudur: (i) I daki her u ve v için, ( u,0) = 0= (0, v) (.) ve ( u,) = u ve (, v) = v ; (.) (ii) u u ve v v olmak üzere I daki her u, u, v, v için, u, v ) ( u, v ) ( u, v ) + ( u, v ) 0 (.3) ( şeklinde olmalıdır (Nelsen 999). Kopulaların, bileşik ve marjinal dağılımları ilişkilendiren özelliği aşağıdaki eoremle belirilmişir: Teorem. Sklar ın Teoremi. H fonksiyonu F ve G marjinal dağılımlı bir orak dağılım fonksiyonu olsun. O zaman öyle bir kopulası mevcuur ki R = [, + ] daki büün x ve y ler için, 7

17 H ( x, y) = ( F( x), G( y)) (.4) dır (Sklar 959). Eğer F ve G sürekli ise, ekir; diğer durumda RanF RanG üzerinde ek olarak belirlenir. Burada RanF ve RanG, R nin alkümeleri olan değer kümeleridir. Diğer arafdan, eğer bir kopula ve F ve G dağılım fonksiyonları ise (.4) ile verilen ve G marjinal dağılımlı bir orak dağılım fonksiyonudur (Nelsen 999). H, F. Dağılım Fonksiyonlarının Kopulaları M ve W, sırasıyla Freche-Hoeffding al ve üs sınır kopulaları olmak üzere, herhangi bir kopulası aşağıdaki eşisizliği sağlamakadır: W ( u, v) = max( u+ v,0) ( u, v) min( u, v) = M ( u, v). (.5) Sürekli X ve Y rasgele değişkenleri için, ancak ve ancak kopulaları M (W ) ise X ve Y nin her biri diğerinin hemen hemen her yerde aran (azalan) bir fonksiyonudur. Bağımsız sürekli rasgele değişkenlerin kopulası Π ( u, v) = uv dir. X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu df (X ) yada F harfiyle göserilecekir. s sokasik eşisizliği göserecekir, yani X s Y df ( X ) df ( Y ) dir. değişkenli dağılım fonksiyonu H nin kopulasının µ iki H R üzerindeki ölçüsünü, benzer biçimde µ de I üzerindeki ölçüsünü göserecekir. Son olarak, δ, δ ( ) = (, ) olarak verilen nin diagonal (köşegen) kısmıdır. 8

18 Tanım.3 H ve H, orak F ve G sürekli marjinal dağılım fonksiyonlu iki değişkenli dağılım fonksiyonları olsun. X ve Y nin orak dağılım fonksiyonları H olmak üzere, H H ( X, Y ) H ( X, Y) rasgele değişkenini gösersin. H in dağılım fonksiyonu gibi ifade edilir: df ( H H X, Y ) (kısaca ( H ) H, yani ( ) H ile göserilsin) aşağıdaki [ ] = ({( x, y) R H ( X, Y ) } ) I ( H ) ) Pr H H ( X, Y) H = µ H,. (.6) ( Kopulalar, Düzgün [0,] dağılımına sahip marjinal dağılımları olan iki değişkenli dağılım fonksiyonu olduğundan aynı anım kopulalar için yazılabilir. Bu durumda, eğer ve herhangi iki kopula ve U, V orak dağılım fonksiyonları olan düzgün [0,] rasgele değişkenler ise o zaman ( U, ) ( U, ) rasgele değişkenini V V göserir ve in dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi verilir: [ ] = ({( u, v) I ( U, V ) } ) I ( ) ) Pr ( U, V) = µ,. (.7) ( Teorem. (Nelsen e. al. 00) H, H, F, G, X ve Y Tanım. deki gibi olsun, ve H ve H ye karşılık gelen kopulalar olmak üzere: ( H ) ( ) H = (.8) dır. 9

19 için dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi göserilmişir. M Π W M min(,) Π ln max(0, 4) W ( + ) ( ) Şekil. { M,, W}, Π için nin dağılım fonksiyonları İspa. I için, ( H H ) ( ) = µ H ({( x, y) R H( X, Y ) } ) = µ ({(, ) ( ( ), ( )) }), H x y R F x G y = µ ({( u, v) I ( U, V ) } ) = ( )( ), u = F( x), v= G( y) dönüşümü yoluyla elde edilir. Bunun anlamı, X ve Y nin kesin sürekli dönüşümleri alında değişmezliğin sağlanmasıyla H in dağılım fonksiyonu H, in dağılım fonksiyonu ye benzerdir. 0

20 Örnek. M, Π ve W nun dağılım fonksiyonu M, Π ve W (7) den hesaplanıp Şekil de göserilmekedir( I için). Bu durumda örneğin, M M I da düzgün dağılımlıdır, M Π α =, β = paramereli bea dağılımlıdır, M W [0,/] de düzgün dağılımlıdır, Π M α = /, β = paramereli bea dağılımlıdır. Örnek. U ve V orak dağılım fonksiyonları olan düzgün [0,] dağılımlı rasgele değişkenler olsun. δ ( ) (, ) köşegen kopula olmak üzere kolaylıkla göserebilir = ki, I için ( M ) ( ) = δ ( ) dir ve bu nedenle U ve V nin sıra isaisiklerinin dağılım fonksiyonları M nin dağılımına göre ifade edilebilir: df (min( U, V ))( ) = δ ( ) = ( M )( ), df (max( U, V ))( ) =δ ( ) = ( M )( ). M ( ) Aynı zamanda dikka edilmelidir ki, ( )( ) ( ) sağdan sürekli yarı-ersi dir, yani ( ) =δ dir; burada δ, δ nin ( ) I için δ ( ) = sup{ uδ ( u) } dir..3 Kopulaların Kümesi Üzerinde Sıralama Bu bölümde, kopulaların kümesi üzerinde sıralama bağınısı kurmak için kopulaların dağılım fonksiyonu kullanılacakır. Bu işlem, Sklar ın eoremi yardımıyla sürekli rasgele değişkenlerin iki değişkenli dağılım fonksiyonlarının kümesi üzerinde yapılacakır.

21 Tanım.4, ve kopula olsun. Bu durumda:. Eğer ise den df-larger dır. s. Eğer s ise den -larger dır. Burada df-larger dağılımda daha geniş, -larger kopulasına göre daha geniş anlamında kullanılmışır. df-larger aperaa e al arafından 997 de önerilmişir. Kopulalar için iyi bilinen sıralama konkordan (concordance) sıralamadır: Eğer ise I de den daha konkordanır denir ve f şeklinde göserilir. Aşağıdaki eoremde, her kopulası için -larger sıralaması kullanılarak konkordan sıralama karakerize edilir: Teorem.3 (Nelsen e. al. 00) ve kopula olsun. Bu durumda f dir ancak ve ancak den her kopulası için -larger ise. İspa. İlk önce olduğu farzedilsin. O zaman I daki üm ler için: { u, v) I ( u, v) } { ( u, v) I ( u, v) } ( ve buradan ({( u, v) I ( u, v) } ) {( u, v) I ( u, v) } µ µ ( )

22 (her kopulası için). Bu nedenle ( ) ( ) s dir. dir, bunun anlamı da Şimdi farzedilsin ki (, b) = ( a b a b = ve I de, ) < (, ) ( a nokası olsun. ( ) ) ( )( ) + = olacak şekilde bir > özelliğine sahip bir kopulası ele alınsın; öyle ki den -larger olmasın. Yine farzedilsin ki a b dir ( a b durumu benzerdir). I de 3 çizgi segmenleri (parçaları) üzerinde olasılık yoğunluğu normal dağılımlı olan bir kopulası göz önüne alınsın, L (( + a),( a+ b) ) den ( b+,) (,( a) ) + ye olsun. (, b) L ve S = { u, v) I ( u, v) } ( a e ve 3 L (0,0) dan (( a),( + a) ) + ye, L ( a b+,( a+ b) ) den a olduğuna dikka edilsin. S = { u, v) I ( u, v) } olsun. O zaman ( c a, b ) in( S ) S < µ ([ 0, a] [ 0, b] ) = a ( ) dir, öyle ki ( ) ) ( ) ( ) µ ( S ) < µ S sonuç ispaı amamlamakadır. ( ve > demekir. Bu ( Yukarıda ki eoremin bir sonucu olarak, üm ler için, in den -larger olarak ve sıralaması çok güçlü bir gerekli koşuldur ve konkordan sıralamaya denkir. Tanım.; yeni sıralamalar elde emek için, üm kopulaları için eklemesi olmadan kullanılabilir. Bu bir örnekle açıklansın: Örnek.3 M -larger sıralama. i =, için U i ve V i rasgele değişkenler olsunlar. Bu durumda i kopulalı U (0,) dağılımlı den M -larger dır M s M ( ) ( ) ( M) ( M) δ δ δ δ ( U, V )) df( max( U, )) df max( V 3

23 ve df( U, V )) df( min( U, )) min( V min ( U, V ) min( U, V ) max( U, V ) max( U V ) s s s, Bunun anlamı; ancak ve ancak U ve V in sıra isaisikleri, U ve V nin sıra isaisikleri arafından belirlenen aralığın içinde yer alıyorsa den M -larger dır..4 Birlikeliğin Ölçüleri Birlikeliğin bazı ölçüleri konkordan ve diskonkordan ifadelerine bağlıdır. Eğer ( > x x )( y y ) 0 ise, Reel sayıların x, ) ve x, ) sıralı iki çifi konkordan ( y ( y ve eğer x x )( y y ) 0 ise diskonkordan olarak adlandırılır. Konkordan ve ( < diskonkordanın olasılıkları üzerine bağlı olan birlikelik ölçüleri ve kopulaların dağılım fonksiyonları arasındaki emel ilişki aşağıdaki eoremde verilecekir. Teorem.4 (Nelsen e. al. 00) ( X,Y ) ve (,Y ) X sırasıyla H ve H orak dağılım fonksiyonlu, orak F marjinal dağılım fonksiyonlu ( X ve X nin) ve orak G marjinal dağılım fonksiyonlu ( Y ve Y nin) sürekli rasgele değişkenlerin rasgele vekörleri olsunlar. ve Q ( X,Y ) ve ( X,Y ) farkı gösersin, yani: sırasıyla ( X ) ve ( X ),Y,Y nin kopulalarını gösersin. nin konkordan ve diskonkordanlarının olasılıkları arasındaki Q = P[ ( X X )( Y Y ) > ] P[ ( X X )( Y Y ) 0]. (.9) 0 < O zaman Q ve nin bir fonksiyonudur ve 4

24 ( ) ( ) d = 3 4 ( ) Q = Q(, ) = 3 4 ( ) d 0 0 (.0) şeklinde verilir. İspa. Nelsen (999) in sunduğu ve yayında ifade edilen Teorem 5.. de Q= Q, = 4 ( u, v) d ( u, v) = 4 ( u, v) d ( u, v) ( ) (.) ifadesi, denk bir ifade olarak, (( )( ) ) ( )( ) ( ) Q= 4 E U, V = 4 E U, V (.) şeklinde yazılabilir. Burada Ui = F( Xi ) ve Vi = G( Yi ) i =, dir. Faka, eğer T I da bir rasgele değişken ve dağılım fonksiyonu () K ise, o zaman E ( T) = K( ) d dir. 0 Sonuç olarak şu söylenebilir ki; X ve Y kopulalı sürekli rasgele değişken olsun ve τ ρ, γ, ve ϕ sırasıyla Kendall ın τ sunun, Spearman ın ρ sunun, Gini nin γ sının ve Spearman ın foorule ϕ sinin kile versiyonu olsun; bu akdirde. τ = Q, ) = 3 4 ( ) ( ( ) d 3 Π ( ) d. ρ = Q(, Π) = 9 ( ) 0 0 5

25 3. γ = Q(, A) = 6 8 ( A) ( ) d 3 4. ϕ = Q(, M ) = 4 6 ( M) 0 0 ( ) d sapamaları yapılır. Burada A ( M + W) = dir. Kendall ın τ su ve ( ) nin arasındaki ilişki aperaa e al. (997) arafından verilmişir. Burada ( ) Kendall ın τ sunun bir analizi olarak önerilmişir (Genes ve Rives 993). Spearman ın ρ su ve ( Π) arasındaki benzer ilişki Garralda Guillem (997) arafından verilmişir. Diğer birlikelik ölçüleri, kopulaların diğer dağılım fonksiyonlarından kolayca oluşurulabilir., kopula ve τ, τ, ρ, ρ, γ, γ, ϕ, ϕ sırası ile Kendall ın τ su, Spearman ın ρ su, Gini nin γ sı ve Spearman ın foorule ϕ sine uygun değerler olsun. O zaman, aşağıda Şekil. de göserilen gerekirmeler dağılım fonksiyonlarının kopulaları ve birlikelik ölçüsüne bağlı sıralamalardır ve bunlar Tanım. ve yukarıdaki sonuç -4 en elde edilir: s τ τ Şekil. Çeşili bağımlılık sıralamaları arasındaki gerekirmeler 6

26 ve nin konkordan sıralaması( p ) arasındaki gerekirmelerin dör birlikelik ölçüsüne uygun sıralamayı gerekirdiği iyi bilinmekedir; bu demekir ki τ τ, ρ ρ, γ γ, ϕ ϕ. Üç -larger sıralamada ( Π, = A ve M için ) ara durumlar bulunmakadır; gerekirmede, konkordan sıralama karşılaşırılabilir değilken, df-larger sıralama var iken Kendall ın τ sunun değerleri üzerinde sıralama gerekmekedir (Nelsen e al. 00). 7

27 3. SIRA İSTATİSTİKLERİNİN EŞLENİKLERİ Tanım 3. X, Y ),( X, Y ),...,( X n, Y ) rasgele vekörü bağımsız ve aynı F ( x, y ) ( n dağılımına sahip n birimlik bir örneklem olsun. X : n X : n... X n: n örneklemin ilk koordinaı olan X in sıra isaisikleri olmak üzere, r n için X r : n ile r -inci sıra isaisiği göserilsin. Eğer Y[ r: n] = Y j X j = X r: n, j =,,..., n (3.) ise Y [ r : n] ye r -inci sıra isaisiğinin eşleniği denir (Nagaraja ve David 994, David ve Nagaraja 998). Eşleniklerin bir çok dağılım özellikleri Bhaacharya (984), Nagaraja ve David (994), Bairamov e. al. (00) ve Eryilmaz (005) arafından göserilmişir. Balasubramanian ve Beg (997, 998) mulak iki değişkenli dağılımlar ve momenlerine göre sıra isaisiklerinin eşlenikleri üzerinde bazı sonuçlar elde emişlerdir. Bunlar aşağıdaki eoremler ile ifade edilmişir: Teorem 3. X, Y ),( X, Y ),...,( X n, Y ) rasgele vekörü bağımsız ve aynı F ( x, y ) ( n sürekli dağılımına sahip n birimlik bir örneklem olmak üzere r -inci sıra isaisiğinin eşleniği olan Y [ r : n] nin dağılım fonksiyonu + G[ r : n] ( y) = F( y x) fr: n ( x) dx (3.) ve olasılık yoğunluk fonksiyonu 8

28 + g[ r : n] ( y) = f ( y x) fr: n ( x) dx (3.3) dır (Bhaacharya 984, Balasubramanian ve Beg 998). İspa. r -inci sıra isaisiğinin eşleniği olan Y [ r : n] nin dağılımı, n { [ r n] } = U { k k = r: n} k= P Y : y P Y y, X X. (3.4) (3.4) eşiliğindeki olaylar ayrık olaylar olduğundan, birleşim olasılığı olasılıkların oplamı şeklinde yazılabilir. O halde { Y y} = P{ Y y, X = X } + P{ Y y, X = X } P [ r: n] r: n r: n { Y y, X } P n n = X r : n (3.5) (3.5) eşiliği açık olarak yazılırsa: P { Y y} [ r: n] { Y y, X X, X X,..., X X, X X X X } = P 3 r r +,..., { } + P Y y, X X, X X,..., X X, X X,..., X X r r+ n { } P Y y, X X, X X,..., X X, X X,..., X X. (3.6) n n n n r n r n n n 9

29 (3.6) eşiliğinde olduğundan n n ( r ) n r n! = r n r ( r )!( n r)! ane aynı olasılık P { Y y} [ r: n] n! = ( r )!( n r)! { Y y, X X, X X,..., X X, X X X X } P 3 r r +,..., n (3.7) (3.7) eşiliği yazılabilir ve + P ( A) = P( A X = x) df( x) (3.8) Toplam Olasılık eoremine dayalı olarak; X P + n! [ r : n] y = P Y y ( r )!( n r)! { Y } {, X X X,..., X X, X X +,..., X X X x} df( ) (3.9), 3 r r n = x olur. (3.9) eşiliğinde P( A B) P( A B) = Koşullu Olasılık Formülü kullanılırsa, P( B) 0

30 P { Y y} [ r: n] n! = ( r )!( n r)! { Y y, X x, X x,..., X x, X x,..., X x, X = x} + P 3 r P( X = x) r+ n df( x) (3.0) olur. (3.0) eşiliğinde P ( A B) = P( A B) P( B) eşiliği kullanılırsa P { Y y} [ r: n] n! = ( r )!( n r)! { Y y, X x, X x,..., X x, X x,..., X x X = x} + P 3 r r P( X = + x) n P( X = x) df( x) (3.) yazılır. X...,, X, X n rasgele değişkenleri bağımsız olduğundan P { Y y} [ r: n] = n! ( r )!( n r)! { = } ( ) ( )... ( r ) ( )... ( n ) ( ) + P Y y X x P X x P X 3 x P X x P X r+ x P X x df x (3.) ve (3.) eşiliğinde olduğundan X...,, X, X n rasgele değişkenleri aynı (x) F dağılımına sahip

31 P { Y y} [ r: n] = n! ( r )!( n r)! + P Y r n r { y X = x}[ F( x) ] [ F( x) ] df( ) x (3.3) P { Y y} [ r: n] = n! ( r )!( n r)! + P Y r n r { y X = x}[ F( x) ] [ F( x) ] df( ) x (3.4) r -inci sıra isaisiğinin dağılım fonksiyonu F r (x) ve olasılık yoğunluk fonksiyonu f r (x) olmak üzere + G[ r : n] ( y) = F( y x) fr: n ( x) dx ve + g[ r : n] ( y) = f ( y x) fr: n ( x) dx olarak bulunur.

32 Teorem 3. X, Y ),( X, Y ),...,( X n, Y ) bağımsız ve aynı F ( x, y ) sürekli dağılım ( n fonksiyonuna sahip n birimlik bir örneklem olmak üzere, r < s n için r -inci ve s -inci sıra isaisiklerinin eşlenikleri olan Y [ r : n] ve Y [ s : n] nin orak dağılım fonksiyonu G + x, F( y x) F( y x ) fr, s: n ( x, x ) dx dx [ r s: n] ( y, y ) = (3.5) ve olasılık yoğunluk fonksiyonu g + x, f ( y x ) f ( y x ) fr, s: n ( x, x ) dx dx [ r s: n] ( y, y ) = (3.6) dir. Benzer şekilde, r < r <... < rk n, ( k ) için k ane sıra isaisiğinin n eşleniğinin orak dağılımı ve orak olasılık yoğunluk fonksiyonu G [ r, r,..., r : n] ( y, y,..., y k ) k + x k x =... F ( y x F y x F y x ) ( )... ( k k ) fr, r,..., r ( x, x,..., xk ) dxdx... dx k (3.7) k 3

33 g [ r, r,..., r : n] ( y, y,..., y k ) k + x k x =... f ( y x f y x f y x ) ( )... ( k k ) fr, r,..., r ( x, x,..., xk ) dxdx... dx k (3.8) k ve n ane eşleniğin orak dağılımı ve orak olasılık yoğunluk fonksiyonu ise: G[,,..., n : n] ( y, y,..., yn ) + xn x =... F ( y x F y x F y x ) ( )... ( n n ) f,,..., n ( x, x,..., xn ) dxdx... dx n (3.9) g[,,..., n : n] ( y, y,..., yn ) + xn x =... f ( y x f y x f y x ) ( )... ( n n ) f,,..., n ( x, x,..., xn ) dxdx... dx n (3.0) olarak elde edilir (Bekçi 003). 4

34 4. SIRA İSTATİSTİKLERİ VE EŞLENİKLERİNİN ORTAK DAĞILIMLARINA İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİNİN UYGULANMASI ( n X, Y ),( X, Y ),...,( X n, Y ) rasgele vekörü bağımsız ve aynı H ( x, y) = ( F ( x), F ( y)) dağılımına sahip n birimlik bir örneklem olsun. X Y H ( x, y) = ( F ( x), F ( y)) ise aynı marjinallere sahip başka bir dağılım fonksiyonu X Y olsun. X: n X : n... X n: n X in sıra isaisikleri olmak üzere, r n için X r : n ile r -inci sıra isaisiği göserilsin. Y[ r: n] = Y j X j = X r: n, j =,,..., n olmak üzere Y [ r : n] r -inci sıra isaisiğinin eşleniği olsun. Bu durumda, H ve e ai rasgele olayların olasılıklarının (olasılık dağılımı) eşiliği aşağıdaki eorem ile göserilir: Teorem 4. ( U, V ),( U, V ),...,( U n, V n ) rasgele vekörü bağımsız ve aynı ( u, v ) kopulasına sahip rasgele değişkenler olmak üzere: { ( r: n, [ r: n] ) } ( r: n, [ r: n] ) { } P H X Y = P U V (4.) dir. Burada r n için U r: n, düzgün (0,) dağılımlı U, U,..., U n rasgele değişkenlerinin r -inci sıra isaisiğini, V[ r: n] = V j U j = Ur: n, j=,,..., n olmak üzere V r -inci sıra isaisiğinin eşleniğini gösermekedir. [ r: n] İspa.. bölümde anlaıldığı gibi, X r: n ve Y [ r: n] nin orak dağılım fonksiyonları H olmak üzere, H H ( X :, Y [ : ]) H ( X :, Y [ : ]) rasgele değişkenini gösersin. H in dağılım fonksiyonu şekilde ifade edilir: r n r n r n r n H, yani (, ) df H H X Y (kısaca ( ) H H ile göserilsin) şu 5

35 ( ) ( ) ( ) r: n [ r: n] µ H {( ) r: n [ r: n] } H H ( ) = Pr H H X, Y = x, y R H ( X, Y ), I. (4.) I için, ( ) ( ) { r: n [ r: n] } { ( r: n [ r: n] ) } H H ( ) = P H H X, Y = P H X, Y = dfx :, Y ( x, y) r n [ r: n] {( x, y) : H ( x, y) } = f ( y x) fr: n( x) dxdy {( x, y) : H ( x, y) } f ( x, y) r n r = ( FX ( x) ) ( FX ( x) ) f ( x) dxdy f ( x) B( r, n r+ ) {( x, y) : H ( x, y) } r n r = ( FX ( x) ) ( FX ( x) ) f ( x, y) dxdy B( r, n r+ ) {( x, y) : H ( x, y) } r n r = ( FX ( x) ) ( FX ( x) ) dh ( x, y) B( r, n r+ ) {( x, y) : H ( x, y) } r n r = FX ( x) FX ( x) d FX ( x), FY ( y) B( r, n r+ ) {( x, y) : ( FX ( x), FY ( y) ) } { F ( x) u, F ( y) v} = = = X Y =,. B( r, n r+ ) r n r ( u) ( u) d( u v) {( x y) ( u, v) }, : ( ) ( ) ( ) O zaman, ( H H ) ( ) = olur. Burada FX ( x ) X i, i=,,..., n rasgele değişkenlerinin dağılım fonksiyonunu, FY ( y ) Y, i=,,..., n rasgele değişkenlerinin dağılım fonksiyonunu gösermekedir. i 6

36 4. İki Değişkenli Olasılık İnegral Dönüşümleri için Yeni Örnekler Bu bölümde yazımda kolaylığın sağlanması için; U r: n yerine U, V [ r: n] yerine V r n r kullanılmışır. U r ( ) ile Ur ( ) = u ( u) du B( r, n r+ ) göserilecekir. 0 Örneklerdeki çizelgelerin hazırlanmasında kullanılan MaLab programları Ekler kısmında verilmişir. Örnek 4. = M( u v), ( u v), =Π ve I, için ( )( ) hesaplamaları: ( ) ( ) = µ ( ) = µ ({ u }), v I ( U, V ) ({( u ) }), v I min( U, V ) { min(, ) } { min(, ) } P { U V } = P U V = P U V > = >, > r n r = u ( u) dudv B( r, n r+ ) ( ) = ( ) U ( ) = + ( ) U ( ). r r 7

37 Çizelge 4. Örnek 4. e ilişkin ( )( ) değerleri abloları n=3 r= (/)() r= (/)() r=3 (/)() n=5 r= (/)() r= (/)() r=3 (/)() r=4 (/)() r=5 (/)() n=0 r= (/)() r=5 (/)() r=7 (/)() r=0 (/)()

38 n=30 r= (/)() r=5 (/)() r=5 (/)() r=8 (/)() r=30 (/)() n=50 r=5 (/)() r=5 (/)() r=30 (/)() r=43 (/)() r=50 (/)() n=00 r=85 (/)() r=89 (/)() r=95 (/)() r=97 (/)() r=00 (/)()

39 Örnek 4. ( u v) =Π ve ( u, v), =Π için ( )( ) değerlerinin hesaplanması: ( ) ( ) ( )( ) = µ {( u, v) I ( U, V ) } = µ {( u, v) I UV } = P { UV } = u r ( u ) n r dudv B( r, n r+ ) ( u, v) I uv olacakır. UV = X denilerek aşağıdaki iki değişkenli dönüşüm yapılır: UV = X U = Y 0 J = =. U = Y V = X Y y x y y Yeni rasgele değişkenler X ve Y nin orak olasılık yoğunluk fonksiyonları: f (, ) r ( ) n r X, Y x y = y y, 0< x< y< B( r, n r+ ) olacakır. X in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu (UV = X in dağılımı araşırıldığı için) n f X ( x) = U ( ) r x r olarak bulunur. Bu durumda problem ( ) P{ X } ( ) = olasılığını hesaplamaya dönüşecekir. Olasılık, gerekli inegral hesaplamaları yapıldığında 30

40 n ( ) = X = r ( ) ( ) ( ) f x dx U x dx 0 0 r n r = U ( ) r ( ) r U r + n Burada: U ( ) u r ( u) n r r = du B( r, n r+ ) 0 ve U ( ) r ( ) n r r = u u du B( r, n r+ ) 0 dır. Çizelge 4. Örnek 4. e ilişkin ( )( ) değerleri abloları n=4 r= (/)() n=4 r=3 (/)() n=4 r=4 (/)()

41 n=5 r= (/)() n=5 r=3 (/)() n=5 r=5 (/)() n=0 r=5 (/)() n=0 r=7 (/)() n=0 r=0 (/)()

42 n=30 r=5 (/)() n=30 r=3 (/)() n=30 r=30 (/)() n=50 r=5 (/)() n=50 r=39 (/)() n=50 r=50 (/)()

43 n=00 r=50 (/)() n=00 r=83 (/)() n=00 r=00 (/)()

44 Örnek 4.3 = W( u v) ve ( u v), =Π için ( )( ), değeleri hesaplamaları: ( ) ({( ) }) ( ) {( ) } ( ) = µ u, v I ( U, V ) = µ u, v I max( U+ V,0) = P { U+ V + } dır. U+ V 0 U+ V olacağından U+ V = Y U = Y denilerek iki değişkenli dönüşüm yapılır: U+ V = Y U = Y 0 J = =. U = Y V = Y Y Burada Y ve Y rasgele değişkenlerinin değer aldığı küme aşağıdaki gibidir: ( Y, ) Y {(, ) :0,0 } {(, ) :, } D = y y y < < y < y y y < y y < y <. Y ve Y nin orak olasılık yoğunluk fonksiyonları aşağıdaki gibidir: r n r f ( y, y ) = y ( y ) B( r, n r+ ). Y in olasılık yoğunluk fonksiyonu: 35

45 U ( y ), 0 y< < r f ( ) Y y = Ur( y ), y 0, d. y. dir. ( )( ) = P( Y + ) olasılığı çözümlediğinde dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir: ( ) [ r ] r ( ) = + U ( ) U ( ). n+ r+ Burada: U ( ) u r ( u) n r r = du, U ( ) ( ) B( r, n r+ ) 0 u r u n r r+ = du B( r+, n r+ ) 0 dır. Çizelge 4.3 Örnek 4.3 e ilişkin ( )( ) değerleri abloları n=3 r= (/)() n=3 r= (/)() n=3 r=3 (/)()

46 n=5 r= (/)() n=5 r=3 (/)() n=5 r=5 (/)() n=0 r=4 (/)() n=0 r=7 (/)() n=0 r=0 (/)() n=30 r=5 (/)() n=30 r=3 (/)() n=30 r=30 (/)()

47 n=50 r=5 (/)() n=50 r=39 (/)() n=50 r=50 (/)() n=70 r=35 (/)() n=70 r=56 (/)() n=70 r=70 (/)()

48 4. Farlie-Gumbel-Morgensern Ailesi için Örnekler Bu bölümde, FGM kopulası olarakda alınacakır.bu durumda kopulası { α } ( u, v) = uv + ( u)( v) ve d ( u, v ) { α } d( u, v) = + ( u)( v) dudv dir. Burada, α FGM dağılımında yer alan bağımlılık parameresidir. α değeri arıkça bağımlı iki değişken için bağımlılık derecesi armakadır. Örnek 4.4 ( u, v) = M ( u, v) = min( u, v) olduğunda: ( )( ) = P{ min( U, V ) } = P{ min( U, V ) } { } = P U >, V > = u r ( u) n r { + α( u)( v) } dudv B( r, n r+ ) u r ( u) n r dudv u r ( u) n r = α + ( u)( v) dudv B( r, n r+ ) ve gerekli inegral işlemleri yapıldığında ( )( ), I için aşağıdaki gibi elde edilir: ( ) ( α ) α r α r ( ) = ( ) U ( ) U ( ) r + α n r + + n+. 39

49 Çizelge 4.4 Örnek 4.4 e ilişkin ( )( ) değerleri abloları n=3 alfa=- r= (/)() r= (/)() r=3 (/)() n=3 alfa=-0.75 r= (/)() r= (/)() r=3 (/)() n=3 alfa=-0.5 r= (/)() r= (/)() r=3 (/)() n=3 alfa=0.5 r= (/)() r= (/)() r=3 (/)() n=3 alfa=0.75 r= (/)() r= (/)() r=3 (/)() n=3 alfa= r= (/)() r= (/)() r=3 (/)()

50 n=0 alfa=- r=4 (/)() r=7 (/)() r=0 (/)() n=0 alfa=-0.75 r=4 (/)() r=7 (/)() r=0 (/)() n=0 alfa=-0.5 r=4 (/)() r=7 (/)() r=0 (/)() n=0 alfa=0.5 r=4 (/)() r=7 (/)() r=0 (/)() n=0 alfa=0.75 r=4 (/)() r=7 (/)() r=0 (/)() n=0 alfa= r=4 (/)() r=7 (/)() r=0 (/)()

51 n=50 alfa=- r=6 (/)() r=9 (/)() r=50 (/)() n=50 alfa=-0.75 r=6 (/)() r=9 (/)() r=50 (/)() n=50 alfa=-0.5 r=6 (/)() r=9 (/)() r=50 (/)() n=50 alfa=0.5 r=6 (/)() r=9 (/)() r=50 (/)() n=50 alfa=0.75 r=6 (/)() r=9 (/)() r=50 (/)() n=50 alfa= r=6 (/)() r=9 (/)() r=50 (/)()