7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016"

Transkript

1 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik, Çözülebilirlik, ve Üstelsıfırlılık Üstelsıfır elemanların oluşturduğu Lie cebirlerinin doğrusal etkilerinin önemli yok etme özellikleri vardır. V, üzerine kompleks genel doğrusal grubun GL(V ) tersinir elemanlarla etki ettiği kompleks n boyutlu vektör uzayı olsun. Birbirinden farklı, n 1 tane iç içe bulunan bir dizi vektör altuzaylarına F : V 0 = 0 V 1 V n 1 V n = V (tam) bayrak denir. V için bir baz seçiyoruz ki GL(V ) = GL n (n n lik tersinir matrislerin grubu) olsun. B n GL n ile üst üçgensel matrislerin altgrubunu, U = U n B ile de birimgüçlü üst üçgensel matrislerin altgrubunu gösterelim. Bu derste ispatlamayacak olsak da GL n /B, boyutu dim C (GL n /B) = ( ) n = 2 n(n 1) 2 olan düzgün izdüşümsel cebirsel varyete olduğu gerçeği bilinmelidir. 1

2 GL n /B kosetindeki bir elemanı bir bayrak ile aşağıda tarif edildiği gibi eşleyebiliriz. Gauss-Jordan eleme metoduyla gösterebiliriz ki bir g GL n için u U, b B, ve w bir permütasyon matrisi olması kaydıyla g = uwb olacak şekilde tek bir biçimde yazılabilir (bir 0/1 matrisinin eğer her sütun ve satırında tam olarak bir tane 1 varsa bu matrise permütasyon matrisi denir). Bu yüzden, GL n deki bir koseti ḡ = gb, uw U S n ile tek bir şekilde gösterebiliriz. Örnek olarak, n = 3 durumunda, 1 a b b 1 a uw = 0 1 c = c matrisini düşünelim. Buna karşılık gelen bayrak su şekilde tarif edilir: 0 C 1 C 1, C 2 C 1, C 2, C 3 = C 3, burada C 1 = be 1 + ce 2 + e 3, C 2 = e 1, C 3 = ae 1 + e 2 ; uw matrisinin sütunları ve e i, i = 1, 2, 3, C 3 ün standard bazıdır. Bu örnek keyfi bir n için genelleştirilebilir ve GL n /B yi, C n nin üzerindeki tam bayrakların kümesi olarak düşünebiliriz. Bayrak varyetelerinin ve onunla ilişkili diğer nesnelerin çalışılması modern cebirsel geometri ve temsil teorisi için çok büyük bir önem arz etmektedir. Bu derslerin geri kalanında B nin Lie cebiriyle alakalı bazı temel fikirleri sunacağız. Daha açık belirtmek gerekirse bir vektör uzayına etki eden üstelsıfır bir Lie cebirinin sıfırdan farklı bir vektörü yok ettiğini göstereceğiz, ve çözülebilir bir Lie cebiri bir vektör uzayına etki ettiğinde bütün elemanları için ortak bir özvektörünün olduğunu göstereceğiz. Bir çok sonucun yanı sıra çözülebilirlik ve üstelsıfırlık için kriterleri de sunacağız. 2

3 1.1 Çözülebilir Lie Cebirleri g bir Lie cebiri olsun. g nin türetilmiş dizisi g (i) asağıdaki gibi tanımlanır: g (0) = g, g (1) = [g, g], g (2) = [g (1), g (1) ],. g (i+1) = [g (i), g (i) ], eğer bir i > 0 için g (i) = 0 oluyorsa g ye çözülebilir denir.. Örnek 1.1. b n ile n n lik bütün üst üçgensel matrislerin uzayını gösterelim. Bir X gl(n, C) için, tek parametreli altgrup exp(tx), t R, B n nin içinde olur ancak ve ancak X b n. Burada B n ile tersinir üst üçgensel matrislerin grubunu gösteriyoruz. Bu yüzden, b n, B n nin Lie cebiridir. i, j {1,..., n} olmak üzere e i,j ile (i, j) girdisi 1 diğer bütün girdileri 0 olan yalın matrisi gösterelim. Dikkat ederseniz 1 i j n olacak şekilde e i,j ler b n nin bir bazını vermektedir. e i,j yalın matrisinin seviyesini j i olarak tanımlayalım. b n (k) b n ile seviyesi 2 k 1 olan e i,j ler ile gerilmiş altuzayı gösterelim. Barizdir ki, b n = b n (0) b n (1) b n (2) Aşağıdaki bilgiyi kullanarak, e i,l if j = k [e i,j, e k,l ] = 0 otherwise 2 (i 1) > n 1 olduğunda b (i) n Sıradaki önermenin ispatı kolay. = b n (i) = 0 olduğunu göstermek kolay. 3

4 Önerme 1.2. g bir Lie cebiri olsun 1. Eğer g çözülebilir ise bütün altcebirleri ve homomorfik görüntüleri de çözülebilirdir 2. a çözülebilir ideal ve g/a çözülebilirse g de çözülebilirdir 3. a ve b çözülebilir ideallerse a + b de çözülebilir idealdir. 1. ve 2. kısımları tanımları kullanarak ispatlamak kolay. 3. kısmı ispatlamak için (a + b)/a b/a b olduğunu kullanınız. 1.2 Üstelsıfır Lie Cebirleri Bir Lie cebirinin azalan merkezi dizisi g i asağıdaki gibi tanımlanır: g 0 = g g 1 = [g, g 0 ] g 2 = [g, g 1 ]. g i+1 = [g, g i ]. eğer bir i > 0 için g i = 0 oluyorsa g ye üstelsıfır denir. Açıktır ki g (i) g i. Bu yüzden, eğer g üstelsıfırsa aynı zamanda çözülebilirdir. Bu ifadenin tersi genelde doğru değildir. Gerçekten de n n lik mutlak üst üçgensel matrislerin uzayı n n üstelsıfırdır ancak çözülebilir değildir. 3. dersteki notasyonumuzu hatırlayalım: g nin merkezi Z(g) = {x g : [x, y] = 0 her y g icin }. Önerme 1.3. g bir Lie cebiri olsun. 4

5 1. Eğer g üstelsıfırsa bütün altcebirleri ve homomorfik görüntüleri de üstelsıfırdır. 2. Eğer g/z(g) üstelsıfırsa g de üstelsıfırdır. 3. Eğer g üstelsıfırsa ve g 0 ise Z(g) 0 olur. g den bir eleman x aldığımızda eğer (ad x) m = 0 olacak şekilde bir m 1 varsa x e eşlek-üstelsıfır denir. Üstelsıfırlığı eşlek-üstelsıfırlıktan ayırmak önemlidir. g deki bir eleman x, üstelsıfır olmadığı halde eşlek-üstelsıfır olabilir. Örnek vermek gerekirse gl(v ) deki birim elemanı eşlek-üstelsıfırdır ancak üstelsıfır değildir. Ancak önermenin tersi doğrudur. Önsav 1.4. Eğer x gl(v ) üstelsıfırsa aynı zamanda eşlek-üstelsıfırdır. İspat. ad x i sol ve sağ ötelemelerin farkı olarak yazarsak; λ x ve ρ x, burada λ x (y) = xy ve ρ x (y) = yx, λ x ve ρ x in birbiriyle değişmeli olduğunu ve ikisinin de üstelsıfır olduğunu görmek kolay. Değişmeli üstelsıfır operatörlerin farkları da her zaman üstelsıfırdır. Teorem 1.5. V sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve g de gl(v ) nin bir Lie altcebiri olsun. Eğer g üstelsıfır elemanlardan oluşuyorsa o zaman sıfırdan farklı öyle bir eleman v V vardır ki g v = 0 dır. İspat. n = dim g üzerinden tümevarım yapacağız. Eğer n = 1 ise v V öyle bir vektör olsun ki bir tane x g için v := x v sıfırdan farklı olsun. g değişmeli olduğu için y v = (xy + [y, x]) v = 0 her y g için doğru olur. Şimdi, a g nin bir maksimal özaltcebiri olsun. g, V üzerindeki üstelsıfır operatörlerden oluştuğu için a da böyle elemanlardan oluşmaktadır. Özel olarak a nın elemanları eşleküstelsıfırdır. Dolayısıyla g üzerine üstelsıfır operatörler olarak etki ederler. Bu sebeple a, g/a üzerine de üstelsıfır olarak etki eder. Tümevarımın varsayımından biliyoruz ki a x a olacak şekilde bir koset x + a a vardır. Etki, eşlek etki olduğundan a x = {[y, x] : y a} a olur. Diğer bir deyişle x, a nın g deki normalleyeninde N g (a) kalır. x / a ve a olduğu için a nın normalleyeni g olmalıdır. Bu yüzden a g bir ideallerdir. π ile doğal izdüşüm fonksiyonunu π : g g/a gösterelim. Eğer dim g/a birden büyükse g/a nın π altındaki öngörüntüsü a dan mutlak olarak daha büyüktür ve bir Lie altcebirdir. 5

6 Bu a nın maksimal olmasıyla çelişir. Bu yüzden dim g/a = 1 olur ve dolayısıyla bir x g için g = kx + a olur. (Burada k kullanılan cisim.) a ideal olduğundan W = {v V : a v = 0} uzayı g nin etkisi altında değişmezdir. Gerçekten de x g ve v W için y x v = [y, x] v = 0 olur. Şimdi x g i öyle seçelim ki g = kx + a olsun. x, V üzerine etki ettiğinden üstelsıfır olduğu için tek bir özdeğeri vardır o da sıfırdır. Bu yüzden x v = 0 dır. Dolayısıyla kx + a, W ya bayağı etki eder. Teorem 1.6 (Engel). Eğer g nin her elemanı eşlek-üstelsıfırsa g bir üstelsıfır Lie cebirdir. İspat. dim g üzerinde tümevarım yapacağız. Varsayalım ki eğer a eşlek-üstelsıfır elemanlardan oluşan bir Lie cebirse ve dim a < dim g ise a üstelsıfırdır. g nin kendi üzerine eşlek temsil ile etkisini düşünelim. Teorem 1.5 e göre, [g, x] = 0 olacak şekilde sıfırdan farklı bir x g vardır. Diğer bir deyişle g nin merkezi Z(g) boş değildir. Bu da V = g/z(g) nin g den az boyutlu bir Lie cebir olduğunu ve dahası V nin eşlek-üstelsıfır operatörlerden oluştuğunu göstermektedir. Dolayısıyla, tümevarım varsayımımızdan ötürü g/z(g) üstelsıfırdır. Önerme 1.3 ün 2. kısmından dolayı g üstelsıfırdır. 1.3 Çözülebilir Bir Lie Cebirinin Değişmez Vektörü Eğer bir x gl(v ), bayrak F : V 0 = 0 V 1 V n 1 V n = V ve her i = 1,..., n 1 için x V i V i oluyorsa x e bayrağı değiştirmez (ya da sabit bırakır) denir. Dikkat ediniz ki üstelsıfır bir eleman x gl(v ) için x F = F ancak ve ancak x V i V i 1 olduğunda doğru olur. Sonuç 1.7. g, sonlu boyutlu vektör uzayı olan V nin üzerindeki gl(v ) nin bir altcebiri olsun. Eğer g üstelsıfır operatörlerden oluşuyorsa, o zaman sabit bırakılan bir bayrak F vardır. 6

7 İspat. Bunu V nin boyutu üzerinde tümevarım yaparak ispatlayacağız. v V yi öyle seçelim ki g v = 0 olsun. V 1 = span{v} olarak tanımlayalım. g nin W = V/V 1 üzerine indirgenmiş etkisi de üstelsıfır operatörler ile olur. Bu yüzden tümevarım varsayımımızdan dolayı W nun g tarafından sabit bırakılan bir bayrağı vardır. Bu bayrağı V ye geri çekersek V deki aradığımız tam bayrağı buluruz. Teorem 1.8. V sıfırdan farklı sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve g gl(v ) çözülebilir bir Lie cebiri olsun. O zaman öyle bir doğrusal fonksiyonel λ : g k ve v V vardır ki her x g için x v = λ(x)v olur. Diğer bir deyişle g nin elemanlarının V de ortak bir ozvektoru vardır. İspat. İspatın ana fikri Teorem 1.5 in ispatındakiyle aynı. dim g üzerinden tümevarım yapacağız. dim g = 0 olduğunda iddia açıkça doğru bu yüzden dim g > 0 olduğunu varsayacağız. g çözülebilir ve dim g > 0 olduğundan [g, g] g olur. Aksi halde g (i) = g olurdu ve bu bir çelişki. g = g/[g, g] ını düşünelim. Bu değişmeli bir Lie cebiridir. Bu yüzden g nin içindeki herhangi bir vektör altuzayı da bir Lie altcebiridir. O zaman tersboyutu bir olan bir altuzay g alalım ve onun g deki ters görüntüsünü a ile gösterelim. Açıktır ki a, g de tersboyutu bir olan bir idealdir ve [g, g] dan mutlak olarak daha büyüktür. g nin altcebiri olarak a çözülebilirdir ve dahası, tümevarım varsayımımızdan dolayı, biliyoruz ki öyle bir doğrusal fonksiyonelimiz λ : a k (1.9) ve v V vardır ki her x a için x v = λ(x)v olur. a bütün ortak özvektörlerinin uzayını W ile gösterelim: W := {w V : x w = λ(x)w, her x a icin }. a nın g deki tersboyutu bir olduğu için bir z g a vardır ve g = kz +a olur. z ile gerilen < z > Lie altcebiri 1 boyutludur ve dolayısıyla değişmelidir. Özel olarak çözülebilirdir. Şimdilik < z > nin W üzerinde bir etkisi olduğunu varsayalım. O zaman, tümevarım 7

8 varsayımımızdan dolayı, z v 0 = cv 0 olacak şekilde bir v 0 W vardır. Bu yüzden λ : a k yı λ(z) = c olarak tanımlayarak g ye (doğrusal olarak) genişletebiliriz; ve v 0, g deki her eleman için ortak bir ozvektor olur. Şimdi g nin W yu değişmez bıraktığını göstermemiz gerekiyor. x g, y a ve w W olsun. x w W olduğunu, ya da denk olarak, y xw = λ(y)xw olduğunu göstermeliyiz. yx w = xy w [x, y] w = λ(y)x w λ([x, y])w olduğu için λ([x, y]) = 0 olduğunu göstermeliyiz. İspatın geri kalanı aydınlatıcı fakat dolambaçsız; [x, y] operatörünün belli bir vektör uzayı üzerindeki etkisini analiz edeceğiz. Bir w W alalım ve {w, x w,..., x n w} V setinin doğrusal bağımsız olduğu en küçük n > 0 değerini alalım. W i ile ilk i vektör ile gerilen uzayı gösterelim. O halde W n n boyutlu bir altuzay ve x altında değişmezdir. y a ve i = 1,..., n için yx i w = λ(y)x i w mod W i olur (i üzerinden tümevarım yapınız.) {w, x w,..., x n 1 w} bazına göre y a nin matrisi üst üçgensel ve köşegendeki her bir girdi λ(y) ye eşittir, dolayısıyla Tr(y) = nλ(y) olur. y, a dan keyfi bir eleman olduğuna göre, özel olarak, iddialarımız [x, y] a için de doğrudur ve Tr([x, y]) = nλ([x, y]) olur. İki fonksiyonun değişmeli yapanı her zaman izsizdir (hatırlayın ki Tr(xy) = Tr(yx)), dolayısıyla nλ([x, y]) = 0 olur bu da λ([x, y]) = 0 ı verir. Not: Tabi ki, son adım n nin k da tersinir olmasına bağlı. Dolayısıyla k nin karakteristiği 0 olduğunda iddialarımızda problem yoktur. Sonuç 1.10 (Lie nin teoremi). g, sonlu boyutlu vektör uzayı olan V nin üzerindeki gl(v ) nin bir altcebiri olsun. Eğer g çözülebilirse g nin etkisi tarafından sabit bırakılan bir bayrak F vardır. Diğer bir deyişle V nin öyle bir bazı vardır ki bu baza göre g nin her bir elemanı üst üçgensel matristir. Lie nin sabit bayrak teoremi ni ad g gl(g) ye uygularsak görürüz ki g nin içinde ide- 8

9 allerden oluşan bir tam bayrak vardır: 0 g 1 g 2 g n = g, (1.11) burada g i g, i-boyutlu bir altcebirdir. Önsav g çözülebilir bir Lie cebiri olsun. Eğer x [g, g] ise ad x üstelsıfırdır. İspat. Lie nin teoreminden biliyoruz ki g için ad g deki bütün elemanları üst üçgensel matris olarak gösterilebilecek bir baz vardır. Üst üçgensel matrislerin türetilmiş cebiri mutlak üst üçgensel matrislerin üstelsıfır cebiri olduğundan görüyoruz ki ad x bir mutlak üst üçgensel matris ile gösterilir ve dolayısıyla üstelsıfırdır. Sonuç g bir Lie cebiri olsun. g çözülebilirdir ancak ve ancak [g, g] üstelsıfırsa. İspat. Yardımcı önerme 1.12 den biliyoruz ki eğer g çözülebilirse [g, g] ının elemanları eşleküstelsıfırdır, dolayısıyla Engel in teoreminden üstelsıfırlardır. Özel olarak, [g, g] üstelsıfır bir Lie cebiridir. Diğer yandan hatırlayın ki üstelsıfır bir Lie cebiri çözülebilirdir. Bu yüzden eğer [g, g] üstelsıfırsa çözülebilirdir. [g, g], g nin türetilmiş dizisindeki ilk terim olduğundan görüyoruz ki g çözülebilirdir. 2 Cartan ın Çözülebilirlik Kriteri k karakteristiği 0 olan cebirsel kapalı bir cisim olsun. Dolayısıyla içerisinde rasyonel sayıların cismini içermektedir. Bu bölümde bir Lie cebirinin ne zaman çözülebilir olduğuna karar verirken faydalı olan bir kriteri ifade edeceğiz ve ispatlayacağız. Bu pratik bilginin ispatı asağıdaki akıllıca yapılmış gözlemi gerektirmektedir. Önsav 2.1. A B gl(v ) iki altuzay olsun (burada V sonlu boyutlu bir vektör uzayı.) M = {x gl(v ) : [x, B] A} olsun. Eğer x M, her y M için Tr(xy) = 0 ı sağlıyorsa üstelsıfırdır. 9

10 İspat. x = s + n, x in Jordan ayrışımı olsun, burada s yarıbasit ve n üstelsıfır. s = 0 olduğunu göstereceğiz. Bu amaçla v 1,..., v n V nin öyle bir bazı olsun ki s bu bazda köşegen matris s = diag(a 1,..., a n ) olsun. E, k nin x in oödeğerleriyle a 1,..., a m gerilen Q-vektör altuzayı olsun. s = 0 olduğunu göstermek için E = 0 olduğunu göstermek yeterli. f : E Q, E üzerinde bir doğrusal fonksiyonel olsun. y = diag(f(a 1 ),..., f(a m )) yi düşünelim; bu gl(v ) de yarıbasit olan bir eleman. Sıradaki hesabı yapmak kolay: {e ij }, gl(v ) nin öyle bir bazı olsun ki e ij (v k ) = δ jk v i sağlansın, burada v 1,..., v n yukarıdaki baz. O zaman s ve y nin eşlek operatörleri ad s(e ij ) = (a i a j )e ij, ad y(e ij ) = (f(a i ) f(a j ))e ij şeklindedir. Lagrange ara değer bulmayı kullanarak r yi r((a i a j )) = f(a i ) f(a j ) olacak şekilde sabit terimi olmayan polinom olarak tanımlayalım. O halde ad y = r(ad x) olur. ad s, (ad x) üzerinde sabit terimi olmayan bir polinom olduğundan ad y de ad x üzerinde sabit terimi olmayan bir polinomdur. Dahası, ad x(b) A olduğundan aynı şey ad y için de geçerli. Diğer bir deyişle y M. Dikkat ediniz ki iki köşegen matrisin çarpımının izi özdeğerlerinin çarpımlarının toplamına eşittir. Ayrıca varsayımımızdan biliyoruz ki Tr(xy) = 0. Bu yüzden i a if(a i ) = 0 olur. Ayrıca dikkat ediniz ki eşitliğin sol tarafi E de kalmaktadır, ve f i uygulayarak i f(a i) 2 = 0 ı elde ederiz. E, Q üzerine sonlu boyutlu bir vektör uzayı olduğu için ve f bir doğrusal fonksiyonel olduğu için görüyoruz ki her i = 1,..., n için f(a i ) = 0 dır. Bu yüzden, f 0. f keyfi olduğu için E 0 olmak zorundadır. Önsav 2.2. V sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. O zaman gl(v ) deki her x, y ve z için Tr(x[y, z]) = Tr([x, y]z) olur. İspat. Düz hesaplama. 10

11 Teorem 2.3 (Cartan ın Kriteri). g gl(v ) bir Lie altcebiri olsun. x [g, g] ve y g için Tr(xy) = 0 doğru. O halde g çözülebilirdir. Farz edelim ki her İspat. Sonuç 1.13 ten dolayı [g, g] ının üstelsıfır olduğunu göstermemiz yeterlidir. Yardımcı önerme 1.4 ten ve Engel in teoreminden biliyoruz ki her bir x [g, g] in V üzerinde üstelsıfır bir operatör olduğunu göstermemiz yeterli. Yardımcı önerme 2.1 i A = [g, g], B = g, ve M = {x gl(v ) : [x, g] [g, g]} alarak uygularız. Dikkat ediniz ki g M. Varsayımımızı hatırlayınız: her x [g, g] ve y g için Tr(xy) = 0 doğru. Dolayısıyla, x in üstelsıfır olduğunu göstermek için her y M için Tr(xy) = 0 olduğunu göstereceğiz. x = [x, y ], [g, g] ın tipik bir üreteci olsun ve y M olsun. O zaman, yardımcı önerme 2.2 den, Tr([x, y ]y) = Tr(x [y, y]) = Tr([y, y]x ) olur. y, M nin bir elemanı olduğundan [y, y] [g, g] doğrudur. Varsayımımızdan dolayı Tr(([x, y ]y) = Tr([y, y]x ) = 0 olduğunu elde ederiz. Diğer bir deyişle, her y M ve x [g, g] için Tr(xy) = 0 olur. Bu yüzden x üstelsıfırdır ve ispat bitmiştir. Sonuç 2.4. g, gl(v ) nin bir Lie altcebiri olsun öyle ki her x [g, g] ve y g icin B(x, y) = 0, burada B(x, y) = Tr(ad x ad y). O zaman g çözülebilirdir. İspat. Cartan ın kriterini ad : g gl(g) ın görüntüsüne uygularsak görürüz ki ad g = g/ ker(ad) üstelsıfırdır ve dolayısıyla çözülebilirdir. Öte yandan g nin merkezi ker(ad) dır. Değişmeli olduğundan çözülebilirdir. Bu yüzden, önerme 1.2 nin 2. kısmından, g çözülebilirdir. References [1] Humphreys, J. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory 11

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon.

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon. 12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016 11. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 23, 2016 1 Önceki Ders Üzerine Bazı Notlar Wikipedia dan Killing ile ilgili bir alıntıyla başlayalım. "1880 civarında, Killing Sophus Lie den bağımsız olarak Lie cebirlerini

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1. Ders. Mahir Bilen Can. May 9, 2016

1. Ders. Mahir Bilen Can. May 9, 2016 1. Ders Mahir Bilen Can May 9, 2016 1 Lie Grup nedir? Kabaca Lie grubu denilen şey bir C -çokkatlısıdır ve aynı zamanda grup yapısına sahiptir öyle ki üzerindeki işlem ve ters alma operasyonu C -fonksiyonlardır.

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Cebirsel Geometri Güz Çalıştayı 2009

Cebirsel Geometri Güz Çalıştayı 2009 Cebirsel Geometri Güz Çalıştayı 2009 Kürşat Aker Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 18 Ekim 2009 Kursat Aker (FGE) CG-GUZ-09 18 Ekim 2009 1 / 9 Özet Başlamadan Önce... Kursat Aker (FGE) CG-GUZ-09 18 Ekim

Detaylı

Grassmann Uzaylarının Geometrisi

Grassmann Uzaylarının Geometrisi Grassmann Uzaylarının Geometrisi İzzet Coşkun University of Illinois at Chicago 5 Ağustos, 2010 V nin n-boyutlu bir vektörler uzayı olduğunu varsayalım. V nin n-boyutlu bir vektörler uzayı olduğunu varsayalım.

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ Elektron spini için dalga fonksiyonlarını tanımlamak biraz kullanışsız görünüyor. Çünkü elektron, 3B uzayda dönmek yerine sadece kendi berlirlediği bir rotada dönüyor. Elektron

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SERBEST İDEAL HALKALARI ÜZERİNDEKİ MODÜLLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2013 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SERBEST İDEAL

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Jordan Yöntemi ve Uygulaması Performans Ölçümü 2 Bu çalışmada,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan 18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 9 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama 2.3. MATRİSLER 2.3.1. Matris Tanımlama Matrisler girilirken köşeli parantez kullanılarak ( [ ] ) ve aşağıdaki yollardan biri kullanılarak girilir: 1. Elemanları bir tam liste olarak girmek Buna göre matris

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016 Önsöz Bu kitap üniversitelerimizin Mühendislik Fakültelerinde, Doğrusal Cebir veya Lineer Cebir adıyla okutulan lisans dersine yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmıştır. Konular, teorik anlatımdan

Detaylı

3 Altuzaylar, altuzaylar için toplama ve direkt toplama 4 Span, lineer bağımsızlık, taban

3 Altuzaylar, altuzaylar için toplama ve direkt toplama 4 Span, lineer bağımsızlık, taban Konular Hafta İşlenen Konular 1 Karmaşık sayılar 2 Vektör uzayı tanımı, vektör uzayı özellikleri 3 Altuzaylar, altuzaylar için toplama ve direkt toplama 4 Span, lineer bağımsızlık, taban 5 Boyut, lineer

Detaylı

Soyut Cebir. Prof. Dr. Dursun TAŞCI

Soyut Cebir. Prof. Dr. Dursun TAŞCI Soyut Cebir Prof. Dr. Dursun TAŞCI Ankara 2007 674 ÖNSÖZ Bu kitap; Selçuk Üniversitesi ve Gazi Üniversitesinde uzun yıllar okutmuş olduğum Soyut Cebir ve Cebire Giriş ders notlarının düzenlenmesi ve daha

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler İzdüşümsel geometride bir doğruyu derecesi 1 olan homojen bir polinomun sıfırları kümesi olarak tarif ettik. Bir kuadrik, derecesi 2 olan homojen bir polinomla anlatılıyordu

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Boole Cebri. (Boolean Algebra)

Boole Cebri. (Boolean Algebra) Boole Cebri (Boolean Algebra) 3 temel işlem bulunmaktadır: Boole Cebri İşlemleri İşlem: VE (AND) VEYA (OR) TÜMLEME (NOT) İfadesi: xy, x y x + y x Doğruluk tablosu: x y xy 0 0 0 x y x+y 0 0 0 x x 0 1 0

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı