ÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2:

Transkript

1 MATEMAT K SAYILAR - I ÖRNEK : Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? A) 9 B) 5 C) 7 D) 9 E) (ÖSS - 999) ÖRNEK : Dört basamakl ABCD say s, üç basamakl ABC say s na bölündü ünde bölüm ile kalan n toplam 8 oldu una göre, D rakam kaçt r? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 (ÖSS - 999) ÇÖZÜM : ÇÖZÜM : Verilenleri iflleme dönüfltürelim, (4AB) = (BA) A + B = (0B + A) A + B = 0 B + A = 9B + A bulunur. Buradan da (BA) = ç kar. Yan t: E Verilenleri iflleme dönüfltürürsek ABCD ABC bölüm kalan flimdi ifllemi ad m ad m yapal m. ABCD ABC ABC D NOT : Basamak indirdi imizde bu say da bölen say yoksa bölüme 0 konur. Bu durumda bölüm 0 kalan D dir. Bölüm + Kalan = 8 verildi i için D = 8 bulunur. Yan t: E Kavram Dersaneleri

2 SAYILAR - I ÖRNEK : Toplamlar 77 olan iki say dan birinin kat, öbürünün 4 kat na eflittir. Bu say lardan küçük olan kaçt r? A) B) 0 C) 7 D) 4 E) (ÖSS - 999) ÇÖZÜM : a ve b say lar için; a + b = 77 ve a = 4b eflitlikleri verilmifltir. a = 4b ise a = 4k, b = k d r. 4k + k = 77 ise k = küçük say b = k =. = ç kar. Yan t: A ÖRNEK 4: a, b, c pozitif tamsay lar ve a. b = 4 a. c = oldu una göre, a + b + c toplam n n en küçük de eri kaçt r? ÖRNEK 5: a, b, c pozitif gerçel (reel) say lar olmak üzere, ifadesindeki her say ile çarp l rsa afla dakilerden hangisi elde edilir? A) a + b c ÇÖZÜM 5: a + b =. c elde edilir. D) a + b c a + b c (a + b). c B) a + b c = a + b c (ÖSS - 999) Yan t: D ÖRNEK 6: Üç basamakl 9KM say s iki basamakl KM say s n n kat d r. Buna göre, K + M toplam kaçt r? E) a + b c C) a + b c A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 7 (ÖSS - 999) A) B) C) 5 D) 6 E) 9 (ÖSS - 000) ÇÖZÜM 4: Verilen eflitlikleri taraf tarafa bölelim. a. b = 4 a. c = b c = 4 Buradan; b nin en küçük de eri, c nin en küçük de eri ve eflitlikleri sa layan a de eri de 4 ç kar. a + b + c = = 8 dir. Yan t: B ÇÖZÜM 6: Soruyu iflleme dönüfltürürsek, 9KM =.(KM) K + M = 0K + M 900 = 00K + 0M olur. Eflitli i 0 ile sadelefltirirsek 0 = 0K + M elde edilir. KM say s 0 dur. K = M = 0 ise K + M = olur. Yan t :B Kavram Dersaneleri

3 SAYILAR - I ÖRNEK 7:,, 6, 7, 9 rakamlar n kullanarak yaz lan, rakamlar birbirinden farkl, befl basamakl KMPTS say s nda K + M = T + S dir. Bu koflullar sa layan kaç tane befl basamakl KMPTS say s vard r? A) 8 B) 7 C) 6 ÖRNEK 9: 9! + 0! say s afla dakilerden hangisine tam olarak bölünemez? A) 5 B) 4 C) 6 D) 44 E) 7 (ÖSS - 000) D) 5 E) 4 (ÖSS - 000) ÇÖZÜM 9: Verilen ifadeyi 9! parantezine al rsak; ÇÖZÜM 7: 9!( + 0) = 9!. olur ki bu da; den 9 a kadar K M 9 9 P 6 6 T 7 S 7 fleklinde 8 farkl KMPTS befl basamakl say s yaz labilir. olan sayma say lar ile in çarp m demektir. Seçeneklere bakt m zda sadece C seçene in deki 6 say s n n çarpanlar ndan, (9!). çarp m n n içinde yer almamaktad r Bu nedenle 9! + 0! say s 6 ile bölünemez Yan t : A Yan t :C ÖRNEK 8: Rakamlar birbirinden farkl olan, üç basamakl KM say s ve 5 ile kalans z bölünebiliyor. Buna göre K kaç farkl de er alabilir? ÖRNEK 0: Toplamlar 6 olan a ve b pozitif tamsay lar n n en küçük ortak kat 05 tir. Buna göre, a b kaçt r? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 ÇÖZÜM 8: (ÖSS - 000) A) B) C) 4 D) 5 E) 6 (ÖSS - 000) KM say s 5 ile kalans z bölündü üne göre M rakam 0 veya 5 olmal d r. ile bölünmesi için; K K5 4 7 K yerine, 4, 6, 7 ve 9 rakamlar gelebilir. Yan t : D ÇÖZÜM 0: a + b = 6 ve OKEK(a, b) = 05 oldu una göre a ile b say lar n n en az birinde 5 çarpan olmak zorundad r. Toplam 6 olaca na göre bu koflullara uygun a ve b say lar 5 ve olmal d r. Buna göre 5 ile fark n n mutlak de eri 6 olur. Yan t: E Kavram Dersaneleri

4 SAYILAR - I ÖRNEK : a bir tamsay oldu una göre, afla dakilerden hangisinin sonucu kesinlikle çift say d r? A) a B) a + C) a + a D)a a + E) a (ÖSS - 00) ÖRNEK : c > 0 c a < 0 b. a > 0 oldu una göre, afla dakilerden hangisi kesinlikle do rudur? A) a + b > 0 B) b > 0 C) b > a ÇÖZÜM : A Z oldu una göre seçeneklere bakt m zda; A) a çift ise a tek olur. B) a çift ise a + tek olur. C) a + a = a(a + ) a tek ise (a + ) çift a çift ise (a + ) tek bir tek, bir çift say n n çarp m daima çifttir. Yan t: C ÖRNEK : Rakamlar birbirinden farkl befl basamakl 8A9B say s n n 9 ile bölümünden kalan 7, ayn say n n 5 ile bölümünden kalan ise dir. A 0 oldu una göre, A B fark kaçt r? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) (ÖSS - 00) ÇÖZÜM : 5 ile bölümünden kalan ise B rakam veya 6 olmal d r. 8A9 8A = 9k A = 9k A = 9k 8a + A = 9k ise A = 5 olmal A 0 veya A = 9 Say n n rakamlar farkl olaca ndan A = 9 al namaz. A = 5 iken B = olur. A B = 4 bulunur. Yan t: C ÇÖZÜM : c > 0 iken D) a > c E) c > b < 0 ise a < 0 olur. b. a > 0 iken a < 0 ise b < 0 d r. Bu durumda c > b daima do rudur. ÖRNEK 4: (ÖSS - 000) Yan t : E 0 < x < y oldu una göre, afla dakilerden hangisi yanl flt r? A) x y y ÇÖZÜM 4: E seçene ine bakt m zda; x + y x = x x + y x = + y x fleklinde yazarsak elde ederiz. y, x den büyük ve pozitif oldu undan y x > olur ki x c a < 0 B) y x x D) x + y y + y x > 0 C) x y x > E) x + y x < (ÖSS - 00) daima 'den büyüktür. < Yan t: E Kavram Dersaneleri 4

5 SAYILAR - I ÖRNEK 5: 8 4 do al say s 4 taban na göre yaz ld nda, kaç basamakl bir say elde edilir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 (ÖSS - 00) ÇÖZÜM 5: 8 4 = = 4 6 d r. 4 6 say s 4 taban nda 6 + = 7 basamakl bir say d r. Yan t: D ÖRNEK 6: ABC üç basamakl say s BC iki basamakl say s - n n kat ndan 8 fazlad r. A + B + C toplam n n en küçük de eri kaçt r? A) 5 B) 8 C) 0 D) E) 4 ) ÇÖZÜM 6: Verilenleri iflleme dönüfltürürsek; (ABC) = (BC) A + 0B + C = (0B + C) A 0B C = 8 elde ederiz. Eflitlikten A = için B = 4, C = 6 ve A = için B = 9, C = 6 de erleri bulunur. A + B + C nin en küçük de eri = dir. Yan t: D ÖRNEK 7: (ab) üç basamakl do al say s (ab) iki basamakl do al say s ndan 8 fazla ise a + b kaçt r? A) B) C) D) 4 E) 5 ) ÇÖZÜM 7: Verilenleri iflleme dökersek, (ab) = (ab) a + 0b + = 0a + b a + 9b = 88 Eflitli in her iki taraf 9 a bölünürse 0a + b = 9 O halde; a = 9, b = ve a + b = 9 + = dir. Yan t: A ÖRNEK 8: ab5 ab x y Yukar daki bölme ifllemine göre x + y toplam kaçt r? A) 05 B) 75 C) 5 D) 6 E) 4 ) ÇÖZÜM 8: fllemi ad m ad m yapal m. ab5 ab ab Basamak indirdi imizde bu say da bölen say yoksa bölüme 0 konur. Bu durumda x + y = = 5 tir. Yan t: C 5 Kavram Dersaneleri

6 SAYILAR - I ÖRNEK 9: x, y, z, t birbirinden farkl çift rakamlar olmak üzere; x + y = z + t koflulunu sa layan en büyük ve en küçük (xyzt) say lar n n fark kaçt r? ÖRNEK 0: a b c olmak üzere abc üç basamakl bir say d r. a ve c den biri asal ve toplamlar 6 d r. Bu koflullar sa layan kaç tane basamakl say yaz labilir? A) 48 B) 468 C) 548 D) 5858 E) 788 ) A) B) 4 C) 0 D) 6 E) 8 ) ÇÖZÜM 9: 0,, 4, 6, 8 çift rakamlar n kullanarak x + y = z + t fleklinde yaz labilecek eflitlikler, = = = 8 + dir. Bu eflitlikleri kullanarak yazabilece imiz en büyük xyzt say s 864, en küçük xyzt say s da 406 olacakt r. Buradan da elde edilir. Yan t: D ÇÖZÜM 0: a ve c birer rakam ve a + c = 6 d r. Biri asal olacak flekilde uygun a ve c say lar n yazal m. a + c = a b c oldu undan a = c = de eri al nmaz. O halde abc say s 4b, b4, b5 ve 5b gibi farkl flekillerde yaz labilir. Her birinde b, 8 farkl de er alaca ndan 8. 4 = elde edilir. Yan t: A Kavram Dersaneleri 6

7 SAYILAR - I ÖRNEK : ÖRNEK : ABC, BBA ve CCB üç basamakl birer say d r. AB ve C iki basamakl birer say olmak üzere; A B C B B A + C C B Yukar daki toplama ifllemine göre B A fark kaçt r? A) B) C) D) 4 E) 5 ) A B x 4 C Yukar daki çarpma iflleminde A, B, C birer rakam oldu una göre çarp m n alabilece i de- erler toplam kaçt r? A) 5 B) 7 C) 9 D) 44 E) 6 ) ÇÖZÜM : ÇÖZÜM : A, B, C rakamlar yüzler basama nda yer ald için 0 de erini alamazlar. Bu durumda A + B + C = dir. O zaman onlar basama ndaki B + C ise olmal d r. / B + C = A + B + C = ifllemlerini taraf tarafa ç kart rsak Verilen ifllemde AB iki basamakl say s 4 ile çarp ld nda C iki basamakl say s oluflmufltur. Bu durumda AB say s 5 ten küçüktür. O halde, çarp mda birler basma oldu u için AB say s, 8, olabilir. Buna göre, x x 4 7 x 4 9 B A = bulunur. Yan t: A Çarp mlar toplam : = 6 olur. Yan t: E 7 Kavram Dersaneleri

8 SAYILAR - I ÖRNEK : x 5 y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 54 ÖRNEK 4: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, () + (a) = (b) eflitli inde a 5 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) E) 4 ) ) ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM : Verilen bölme iflleminde x in en küçük olabilmesi için y nin en küçük de erini almas gerekir. Bir bölme iflleminde kalan bölenden küçük olaca- na göre (5 < y) y en az 6 olabilir. O halde, fllemde () say s nda; taban, say y oluflturan a rakamlardan büyük olaca ndan, a > olmal d r. (a) say s nda ise yine ayn kuraldan a < 5 olmal d r. 5 a > ve a < 5 koflullar ndan a n n 4 oldu u sonucuna var l r. fllemde yerine yazarsak x ( ) 4 + ( 4 ) ( b ) iflleminden; x = x = 4 elde edilir =.6+b = b 0 = 6b b = 0 bulunur. Yan t: D Yan t: A Kavram Dersaneleri 8

9 SAYILAR - I ÖRNEK 5: a bir rakam, 4 ve 5 say tabanlar n göstermek üzere, (a) = 68 ise (aaa) + (aa) iflleminin 4 taban ndaki efliti afla dakilerden hangisidir? A) B) 0 C) 0 D) E) ) ÖRNEK 6: (a4a4...a) 5 basamakl bir say d r. Bu say n n 9 a bölümündeki kalan 7 ise a kaçt r? A) B) C) D) 4 E) 5 ) ÇÖZÜM 6: a4a4... a say s 5 basamakl ve a ile bafllay p bitti ine göre say 8 tane a, 7 tane 4 ten oluflur. 9 ile bölündü ünde 7 kalan n verece inden, 8a = 9k + 7 8a + = 9k elde edilir. Buna göre a rakam yaln zca de erini alabilir. Yan t: C ÇÖZÜM 5: 5 5 (a) 5 say s n çözümlersek.5 + a.5 +. = a = 68 5a = 5 a = bulunur. Sorulan ifadede yerine yazarsak () 4 + () 4 (0) 4 dir. Yan t: C NOT : Taban aritmeti inde toplam tabandan büyük ya da eflitse; Toplam Taban Elde Sonuç kural uygulan r. ÖRNEK 7: (5ab) say s n n 9 a bölümünden kalan 5, 5 e bölümünden kalan ise a yerine gelebilecek rakamlar toplam kaçt r? A) 5 B) C) D) 9 E) 8 ) ÇÖZÜM 7: Say n n 5 e bölümünden kalan ise b, 8 ya da olmal d r. 5a 5a8 5 + a + + = 9k a = 9k + 5 a + 5 = 9k a + 0 = 9k a = 4 a = 8 a n n alabilece i de erler toplam = dir. Yan t: B 9 Kavram Dersaneleri

10 SAYILAR - I ÖRNEK 8: (a7c) üç basamakl say s n n 45 ile bölümünden kalan 4 oldu una göre a + c toplam en çok kaçt r? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 ) ÇÖZÜM 8: Say n n 45 ile bölümünden kalan 4 ise 5 ile bölümünden kalan 4, 9 ile bölümünden kalan 5 tir. O halde c rakam 4 ya da 9 de erlerini alabilir. a74 a79 a = 9k + 5 a = 9k + 5 a + 6 = 9k a + = 9k a = a = 7 a + c toplam n n en büyük de eri = 6 d r. Yan t: D ÖRNEK 0: a, b Z + ise b a = 7 b koflulunu sa layan en küçük a ve b say lar - n n toplam kaçt r? A) 9 B) C) 5 D) 8 E) 4 ) ÇÖZÜM 0 : ÖRNEK 9: 45ab befl basamakl say s n n 0 ile bölümünden kalan tür. Bu say ile tam bölünebildi ine göre a yerine gelebilecek say lar n toplam kaçt r? A) B) 8 C) 5 D) E) 9 ) ÇÖZÜM 9: Bir say n n 0 ile bölümündeki kalan birler basama ndaki rakam oldu undan 45ab say s ndaki b rakam tür. Rakamlar toplam ve ün kat olan say lar e tam bölünebilece i için a + + = 4 + a = k olur. Buna göre a n n yerine, 4, 7 gelebilir. Bu rakamlar toplam dir. Yan t: D Verilen ifadede içler - d fllar çarp m yap l rsa; b = 7.a elde edilir. Demek ki 7 say s a gibi bir say ile çarp ld nda bir do al say n n kübü olmaktad r. Bu koflula uygun en küçük a say s n bulmak için 7 yi asal çarpanlar na ay rd m zda b =.. a olur. Eflitli in sa taraf ndaki üsleri b nin üssüne tamamlamam z gerekti i için yi e tamamlayacak olan, a de eridir. a = eflitlikte yerine yaz l rsa b =. çarp m ndan b = 6 ve b = 6 elde edilir. Buradan da a + b toplam 9 bulunur. Yan t: A Kavram Dersaneleri 0

11 SAYILAR - I ÖRNEK : ÖRNEK : 08 say s n n asal olmayan kaç tane pozitif çarpan vard r? A ve B say lar n n obeb'i 5 ve oranlar 5 ise Okek'leri kaçt r? A) 5 B) C) D) 0 E) 8 ) A) 5 B) 75 C) 50 D) 5 E) 75 ) ÇÖZÜM : Önce 08 say s n asal çarpanlar na ay ral m =. olur ki buradan da tane asal çarpan oldu u görülür. ( ve ) ÇÖZÜM : Bir kesri en sade flekline getirmek için; pay ve paydan n obebleri ile sadelefltirilmesi gerekir. O Bir say n n pozitif çarpan say s, farkl asal çarpanlar n n üssünde yer alan de erlerin birer fazlalar n n çarp m oldu undan 08 in pozitif çarpan say s ; ( + ). ( + ) = bulunur. Bunlardan tanesi asal çarpan oldu una göre geriye kalan 0 tanesi asal olmayan pozitif çarpan d r. halde A olabilmesi için A ve B say lar n n B = 5 5 ile sadeleflmifl olmas gerekmektedir. Demek ki A = 45, B = 75 olmal d r ki 45 ile 75 in ortak katlar n n en küçü ü 5 bulunur. A.B = (obeb).(okek) = 5.x x = 5 Yan t: D Yan t: A Kavram Dersaneleri

12 ÖRNEK : a ve b birer tek say oldu una göre afla dakilerden hangisi kesinlikle bir çift say d r? ÖRNEK 4: x, y Z; SAYILAR - I Yan t: D A) a.b + B) a b C) a + b E) (a + )(a. b) D) (a. b) a + ) < x < 9 ve 4 y 5 oldu una göre x y nin alabilece in en büyük tamsay de eri kaçt r? A) 4 B) 7 C) 8 D) 9 E) ÇÖZÜM : Tek say lar : T Çift say lar : Ç ile gösterirsek: T.T = T T + Ç = T T + T = T Ç + Ç = Ç n N + için T n = T Ç. Ç = Ç tir. Ç n = Ç fiimdi seçeneklere bakarsak. A) a.b = T T + = T olur. B) a b T n = T tektir. C) a + b T + T tek te olabilir + 5 çift te olabilir + = = ÇÖZÜM 4: x y nin en büyük olabilmesi için x in en büyük y nin en küçük olmas gerekir. < x < 9 aral nda x in en büyük de eri x = 8, 4 y < 5 aral nda y nin en küçük de eri y = 4 tür. x y = 8 ( 4) = = bulunur. Yan t: E D) (a.b) a + T.T = T, T n = T, T + = çifttir. Kavram Dersaneleri

13 SAYILAR - I ÖRNEK 5: 0 < a < b ve c < 0 ise afla dakilerden hangisi yanl flt r? ÖRNEK 7: x tek say ise afla dakilerden hanisi daima tek say d r? A) c + a < c + b B) c a > c b C) a c > b c D) b < a E) ca > cb ) ÇÖZÜM 5: c seçene ine bakarsak; a c > b c a > b sonucuna var r z. Buda soruda verilenlere ters düfler. Yan t: C A) x! B) x. (x + ) C) x + 5 ÇÖZÜM 7: D) 7x E) x. (x + ) A) x! daima tek de ildir. (! = 6) B) x. (x + ) = çift tek çift C) x x + 5 = tek tek + tek = çift D) x 7x = tek tek = çift ) E) x x +. (x + ) = tek tek. tek = tek say d r. Yan t: E ÖRNEK 6: a ve b birer tek say oldu una göre afla dakilerden hangisi kesinlikle bir çift say d r? A) a. b + B) a b C) a + b D) (a. b) a + E) (a + ) (a. b) ÇÖZÜM 6: A) a. b + tek. tek + çift C) a + b tek + çift = tek b tek B) a = tek = tek = tek + tek çift a D) (a. b) + = tek tek + tek tek tek tek tek tek = çift ) = çift çift kesinlik yoktur. Yan t: D ÖRNEK 8: 7! + 8! say s afla dakilerden hangisine tam olarak bölünemez? A) 54 B) 45 C) 6 D) 7 E) ) ÇÖZÜM 8: 7! + 8! ifllemini 7! parantezine al rsak 7! ( + 8) = 7!. 9 edilir. E seçene ine bak l rsa 7!. 9 çarp m nda say s n n çarpanlar ndan bulunmaz. Bu yüzden say ile bölünmez. Yan t: E Kavram Dersaneleri

14 cebirsel.com TAR H MATEMAT K SAYILAR - II ÖRNEK : 0, 0, + 0, 0, 0,4 0,44 iflleminin sonucu kaçt r? A) B), C) D) E) (ÖSS - 999) ÖRNEK :, 0, +, 0, iflleminin sonucu kaçt r? A) 4 B) C) D) E) (ÖSS - 000) ÇÖZÜM : fadenin paydas nda bulunan rasyonel ifadelerin pay ve paydalar 00 ile geniflletilirse; 0, 0, (00) + 0, 0, (00) ,4 0,44 (00) olur. Gerekli sadeleflmeler yap l rsa; ÇÖZÜM : fadenin pay ve paydalar s ras yla 00 ve 0 ile geniflletilirse;, 0, (00) +, 0, (0) = 0 + = Yan t : B 0 =, Yan t: B Kavram Dersaneleri 4

15 SAYILAR - II ÖRNEK : : ÖRNEK 4: 0, 0,0 + 0,0 0,00 0,00 0,000 iflleminin sonucu kaçt r? iflleminin sonucu kaçt r? A) B) C) 4 D) 4 E) 44 (ÖSS - 000) A) 0, B) 0, C) 0 D) 0 E) 00 (00 - ÖSS) ÇÖZÜM : Rasyonel ifadelerde ifllem s ras : Parantez içi ifllemler Bölme Çarpma Toplama Ç karma : ÇÖZÜM 4: lk kesri 00 ile; ikinci kesri 000 ile, üçüncü kesri ile geniflletirsek oluflur ki = : = =. = 44. = = 0 elde edilir. Yan t: C YANIT : D 5 Kavram Dersaneleri

16 SAYILAR - II ÖRNEK 5: 0,8 0,07 + 0,5 0,05 6 0,09 iflleminin sonucu kaçt r? ÖRNEK 7: 0, ,6 + A) 90 B) 86 C) 85 D) 0 E) 00 iflleminin sonucu kaçt r? ) ÇÖZÜM 5: Rasyonel ifadelerin pay ve paydalar 00 ile geniflletilirse; = 0,8 + 0,5 6 0,07 0,05 0,09 (00) (00) (00) = = A) D) 5 ÇÖZÜM 7: 0,a = a 9 B) E), 0,a b = ab a 90 C) ) = 86 elde edilir. Yan t: B oldu undan 0, = 9, 0, 6 = 6 90 = 5 90 = 6 ÖRNEK 6: 9 =, 0,07 + 0,69 0,0 0, 0,005 iflleminin sonucu kaçt r? () = A) 0 B) 0 C) 0 D) 40 E) 50 ) ÇÖZÜM 6 : = () + () 5 6 Rasyonel ifadelerin pay ve paydalar s ras yla 00, 000 ve 000 ile geniflletilirse;, 0,07 (00) + 0,69 0, 0,0 0,005 (000) (000) Sadeleflmeler yap l rsa; elde edilir. = = = = 40 olur. Yan t: D Yan t: C Kavram Dersaneleri 6

17 SAYILAR - II ÖRNEK 8: ÖRNEK 9: 4 + 4, 8 : 0, : 0, iflleminin sonucu kaçt r? Afla daki üçlülerden hangisi 4 ile aras ndad r? A) B) 4 C) 8 D) 6 E) 64 ) A) 6 4, 7 4, 8 4 C) 48, 4 48, 5 48 E) 8 7, 9 7, 0 7 B) 0 6, 6, 6 D) 7 60, 8 60, 0 60 ÇÖZÜM 8: fllem s ras bölme, çarpma, toplama ve ç karmad r. O halde; 4 + 4,8 : 0, : 0, = = : 0 : = = = 8. ÇÖZÜM 9: 4 () (4) 48 ve (4) kesirlerinin paydalar n eflitlersek 4 (4) , 4 48, 5 48 olur Paylar ard fl k paydalar eflit olan kesirlerin aras na kesir girecekse, kesirler 4 ile geniflletilir. = 4 Yan t: B Yan t: C 7 Kavram Dersaneleri

18 SAYILAR - II ÖRNEK 0: ÖRNEK : 5a 0 a + kesrini tamsayı yapan, < a < 5 aral nda bulunan kaç tane a do- al say s vard r? A) 5 B) 4 C) D) E) ) x + x + x +... x kaçt r? = iflleminde A) B) C) D) 4 E) 6 ) ÇÖZÜM 0 : 5a 0 a + = = = 5(a + ) 5 (a + ) 5a a + 5(a + ) a + 5 a + = 5 5 a a + = a = a + = 5 a = 4 a + = 5 a = 4 verilen kesri bu flekle dönüfltürürsek payda olmal d r. bulunur o halde verilen aral kta ÇÖZÜM : x + x + x + x + = 4 olmal x + = 4 ise = ise olur x = bulunur. tane "a" do al say s vard r. Yan t: A Yan t: C Kavram Dersaneleri 8

19 SAYILAR - II ÖRNEK : De eri olan bir kesrin pay ndan ç kar l r, 5 paydas na eklenirse kesrin de eri oluyor. Bu kesrin paydas kaçt r? A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 0 ) ÖRNEK : Bir bidonun i su ile doludur. Bu bidonda 5 bulunan suyun yar s boflalt ld nda geriye litre su kal yor. Bidon tam dolu oldu unda kaç litre su al r? A) 0 B) 0 C) 0 D) 40 E) 60 ) ÇÖZÜM : Bidonun tamam n n 0x su ald n düflünelim. ÇÖZÜM : De eri 5 olan kesre x 5x diyelim. 0x 6x dolu 4x bofl x boflalt ld x kald x 5x + = 6x = 5x + x = x = bulunur. x = 4 litre olur Kesrin paydas 5x oldu u için 5. = 5 olur. Tamam : 0x ise 0.4 = 40 litre olur. Yan t: B Yan t: D 9 Kavram Dersaneleri

20 SAYILAR - II ÖRNEK 4: = A ise 4 ifadesinin A cinsinden de eri afla dakilerden hangisidir? A) A 4 B) 4 A C) A D) A E) A 9 ) ÖRNEK 5: : = x eflitli inde x de eri kaçt r? ) ÇÖZÜM 5: Parantezsiz ifllemlerde ifllem s ras ; bölme çarpma toplama ve ç karmad r. O halde; : = x = x = x + 4 = x ÇÖZÜM 4: ÖRNEK 6: a < 0 < 5 < b ve a, b birer gerçel say d r. Afla dakilerden hangisi daima do rudur? = B diyelim ve A dan ç karal m. A) a < b < 5 B) b < 5 < a = A = + B = A B + + = A B 9 = A B B = A 9 bulunur. C) a < 5 < b ÇÖZÜM 6: a < 0 oldu undan a b > 5 b < 5 ) en küçüktür. olur. O halde do ru s ralama E) b < a < 5 D) 5 < a < b Yan t: A a < b < 5 olmal d r. Yan t: A Kavram Dersaneleri 0

21 cebirsel.com MATEMAT K MUTLAK DE ER ÖRNEK : a > 0 b < 0 oldu una göre, (b a ) (a b ) ifadesi afla dakilerden hangisine eflittir? A) a + b B) b a C) b a D) a E) a (ÖSS -999) ÖRNEK : x + 4 eflitsizli ini sa layan kaç tane tamsay vard r? A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 (ÖSS - 999) ÇÖZÜM : n x n = x ; n tek ise x ; n çift ise oldu undan (b a) (a b ) ifadesi kök ile kuvvet sadeleflirken mutlak de erli ç kar. ÇÖZÜM : x a ise a x a d r. Buna göre x + 4 ise 4 x x dir. Yani b a a b dir. Koflula uygun a ve b de erleri için b a < 0 ve a b > 0 olaca ndan b a = b + a a b = a b olur. O halde b a a b = b + a (a b) = b + a a + b = a sonucu elde edilir. x in alabilece i tamsay de erleri 6, 5, 5,,,, 0,, olmak üzere 9 tane bulunur. Yan t: B Yan t: E 47 Kavram Dersaneleri

22 MUTLAK DE ER ÖRNEK : ÖRNEK 4: x 6 oldu una göre, x y + = 0 koflulunu sa layan kaç tane y tam say s vard r? x + x 4 = 0 denklemini sa layan x gerçel say lar n n toplam kaçt r? A) 7 B) 6 C) 5 A) 4 B) 5 4 C) 6 D) 4 E) (ÖSS -000) D) 8 E) 4 5 (ÖSS -000) ÇÖZÜM : x 6 6 x 6 olur. ÇÖZÜM 4: x y + = 0 x = y d r. x de erini ilk ifadede yerine yazarsak; 6 y y y 8 4 y 8 y 4,, 0,,,, 4 olmak üzere 7 tane y tam say vard r. x > 0 x = x x +. x 4 = 0 x +. x 4= 0 x = 4 x = 4 x < 0 x = x x +. x 4 = 0 x. x 4 = 0 x = 4 x = 4 Ç.K = { 4, 4 } = 8 Yan t : D Yan t: A Kavram Dersaneleri 48

23 MUTLAK DE ER ÖRNEK 5: x < 0 < y oldu una göre,. x y y + x iflleminin sonucu afla dakilerden hangisidir? A) x B) y C) (x+y) D) E) ÖRNEK 6: x 4 + x = 8 denklemini sa layan x de erlerinin toplam kaçt r? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 0 (ÖSS - 00) (ÖSS - 00) ÇÖZÜM 5: x < 0 ise x = x ve y + x = y x olur. x y = y x olaca ndan. x y y x = olur. Yan t: E ÇÖZÜM 6: x 4 = 0 x = 4 ve x = 0 kritik noktalard r. I. durum : x < 0 x x = 8 x = bulunur. II. durum : 0 x < 4 x x = 8 4 = 8 (4 8 oldu undan bu arada çözüm yok) III. durum x 4 x 4 + x = 8 x = 6 bulunur. + 6 = 4 elde edilir. Yan t: B 49 Kavram Dersaneleri

24 MUTLAK DE ER ÖRNEK 7: x + 6 x = denkleminin kökler toplam kaçt r? ÖRNEK 8: < x < 4 ise x 8x = x x + A) B) 6 C) 6 D) 7 E) eflitli ini sa layan x kaçt r? A) B) C) 5 D) E) 7 ÇÖZÜM 7: x + ( x) = x + x = a = a oldu undan, x = x dir. x = x = 4 x = 4 x = 7 x = 4 x = ÇÖZÜM 8: x = x oldu undan ( x 4) + = (x ) + x 4 + = x x = x 6 = x = x x + x = 6 Yan t: D Yan t: C Kavram Dersaneleri 50

25 MUTLAK DE ER ÖRNEK 9: x < 6 ise x x x 9 + 4x + 5 ÖRNEK 0: x s f rdan farkl reel say ve x x + x = 0 ise ifadesinin de eri afla dakilerden hangisidir? afla dakilerden hangisi negatif olur? A) 6 B) C) 50 D) 6 E) 69 A) x B) x 4 C) x 5 D) x E) x ÇÖZÜM 9: x < 6 6 < x < 6 d r. x x + 6 = (x 6) = x 6 olmak üzere yerine yaz l rsa; + x 6 + x 9 + 4x + 5 x + 6 x x + 5 = 50 olur. Yan t: C ÇÖZÜM 0: x = x olaca ndan; x x = x x = x ise x < 0 d r. Negatif bir say n n üçüncü kuvveti daima negatiftir. Yan t: E 5 Kavram Dersaneleri

26 MUTLAK DE ER ÖRNEK : a. b > 0 ve a b < 0 afla dakilerden hangisidir? A) a B) a C) b D) a + b E) 0 ise a + b (b a) ifadesinin efliti ÖRNEK : x < y < 0 < z ise y x + x z z y z x x y ifadesinin efliti afla dakilerden hangisidir? A) B) x + y C) x z D) y + z E) ÇÖZÜM : ÇÖZÜM : a. b > 0 ifadesinde a daima pozitif olaca ndan + + b > 0 d r. a b < 0 ise a < 0 d r. a + b (b a) + + a + b b a fleklinde yaz l p a + b b + a = 0 bulunur. Yan t: E x ; x 0 ise x = x ; x < 0 ise oldu undan + x < y < 0 < z s ralamas ndan y = y, x = x, + x z = x + z, z y = z y, z x = z x ve + x < y x y < 0 olaca ndan x y = x + y dir. Verilen ifadede yerine yaz l rsa y + x x + z z + y z x + x y = z y z y = elde edilir. Yan t: E Kavram Dersaneleri 5

27 MUTLAK DE ER ÖRNEK : x 5 x + sistemini sa layan x tam say lar n n toplam kaçt r? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) ÖRNEK 4: x < 5 ve x + y = 0 ise y nin alaca tam say de erlerinin toplam kaçt r? A) B) 5 C) 6 D) 9 E) ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM : x b b x b ve x b x b veya x b dir. 5 x 5 4 x 6 x... x + veya x = x x 4 ve sistemlerinin ortak çözüm kümesi al n rsa x {, } bulunur. + = 5 dir. Yan t: C x < a a < x < a oldu undan; x < 5 5 < x < 5 (her tarafa eklersek) < x < 7 olur. x + y = 0 x = y + de eri yerine yaz l rsa, < y + x = y + < 7 (her taraf ile çarparsak) 6 < y + < 4 (her taraftan ç kar rsak) 9 < y < ( ile çarparsak eflitsizlik yön de ifltirir.) < y < 9 olur. Bu da 0, 9, 8,..., 6, 7, 8 olur. 8 den +8 'e kadar toplam "0" olaca ndan; 0 9 = 9 olur. Yan t: D 5 Kavram Dersaneleri

28 MUTLAK DE ER ÖRNEK 5: x+ 5 = eflitli ini sa layan x say lar n n çarp m kaçt r? A) 5 B) 0 C) 0 D) 4 E) 5 ÖRNEK 6: a 6 = 9 denklemini sa layan a de erlerinin çarp m kaçt r? A) 5 B) 50 C) 5 D) 0 E) 00 ÇÖZÜM 5 : a 0 olmak üzere a 0 = oldu undan, verilen ifadede x + 5 = 0 olmal d r. Mutlak de erli denklemimizi çözersek; x + = ÇÖZÜM 6: Mutlak de eri 9 olan say lar 9 veya 9 dur. a 6 = 9 V a 6 = 9 olmal d r. a = V a = 5 a = 5 veya a = 5 olur. 5. ( 5) = 5 dir. Yan t: A x + = 5 veya x + = 5 x = 4 x = 6 elde edilir ki; bizden istenen çarp m 4 olur. Yan t: D Kavram Dersaneleri 54

29 MUTLAK DE ER ÖRNEK 7: ÖRNEK 8: 0 < x < 4 için 6 + x x afla dakilerden hangisidir? in efliti < x 5 < 9 eflitsizli ini sa layan x'in kaç tane pozitif tam say de eri vard r? A) 5 B) 4 C) D) E) A) x 4 B) x + 4 x C) 4 x 4x D) x + 4 4x E) 4 x 4 ÇÖZÜM 8: a < x < b a < x < b ÇÖZÜM 7: a < x < b olaca ndan Verilen ifadeyi; +. 4 x 4. x fleklinde düzenlersek kök içi (a ab + b ) flekline dönüflür ki bu da (a b) olur. O halde 4 x Buradan da x 4 4x 0 < x < 4 oldu undan x 4 < 0 d r. x 4 = 4 x ç kar. O zaman sonuç = 4 x 4 x 4x bulunur. olur. dir. < x 5 < 9 ifllemini iki aflamada çözelim; I. durum < x 5 < < x < < x < Eflitsizli inin her taraf na 5 ekleyip ye bölersek II. durum < x + 5 < 9 Eflitsizli inin her 5 < x < 9 5 taraftan 5 ç kart p ye bölersek < x < 4 < x < aral ndan pozitif tam say gelmeyecektir. O halde çözüm kümesine sadece 5 ve 6 al naca- ndan cevap olur. Yan t: C Yan t: D 55 Kavram Dersaneleri

30 cebirsel.com MATEMAT K ORAN - ORANTI ÖRNEK ÖRNEK : Etiket numaralar,,, 4 olan dört kutuya, etiket numaralar n n kareleriyle orant l miktarlarda para konuyor. Kutulardaki toplam para TL oldu una göre numaral kutuya kaç TL konmufltur? a b = b a = oldu una göre, b a b oran kaçt r? A) B) A) B) 4 C) 4 C) D) D) 5 E) 4 5 E) (ÖSS - 999) (ÖSS - 000) ÇÖZÜM : ÇÖZÜM :. k k. k 4k. k 9k fiekilden anlaflal aca na göre birinci kutuda k lira, ikinci kutuda 4k lira, üçüncü kutuda 9k ve dördüncü kutuda 6 k lira para vard r. Toplam para ; k + 4k + 9k + 6k = eflitlenirse 0k = k = bulunur. O halde numaral kutuya TL konmufltur. Yan t: D 4 4. k 6k a b = b a = b a b =? : a b = ab b : b a ve = ab a = ab = b = ab = a eflitliklerinin sol taraflar eflit oldu undan sa taraflar da eflit olur. b = a b = 4a olur. istenen oranda b yerine 4a yazarsak; b a b = 4a a 4a = a 4a = 4 Yan t: C 7 Kavram Dersaneleri

31 ORAN - ORANTI ÖRNEK : k tane iflçinin günde saat çal flmas yla 0 günde bitirilebilen bir ifl, iflçi say s art r larak ve günde 0 saat çal fl larak 0 günde bitiriliyor. Buna göre, k afla dakilerden hangisi olabilir? ÖRNEK 4: a say s b + ile do ru, c + ile ters orant l d r. a =, b = iken c = 4 oldu una göre a =, b = iken c kaçt r? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 7 (000-ÖSS) A) 4 B) C) D) E) ) Bir x say s ; y ile do ru z ile ters orant l iken x.z = k d r. y ÇÖZÜM : Orant l iflçi problemlerinde; her iki grupta yap lan ifl miktar n, o gruba ait di er birimlerin çarp m na oranla d n zda eflit olacakt r. ÇÖZÜM 4: O halde a. (c + ) b + = k eflitli i yaz labilir. A k.. 0 = A (k + x) k = 00. (k + x) 4k = 0k + 0x 4k = 0x Buradan k = 0 olarak bulunur. Yan t : B Bu eflitlikte a =, b = ve c = 4 de erleri yerine yaz l rsa k = 4 bulunur. a =, b = ve k = 4 al narak eflitlikte yerine yaz ld nda da. (c + ) + c = = 4 olur. Yan t: E Kavram Dersaneleri 8

32 ORAN - ORANTI ÖRNEK 5: 50 say s ve ile do ru, 5 ile ters orant l üç parçaya ayr l rsa en küçük say kaç olur? A) 0 B) 00 C) 60 D) 40 E) 0 ) ÖRNEK 6: a + b = 4 ve b + a = 5 a + b a ise oran kaçt r? A) B) 4 C) 4 5 D) 9 4 E) 0 ÇÖZÜM 5: 50 say s x, y, z gibi üç parçaya ayr ls n. x, ve y, ile do ru orant l ise bölümleri, z, 5 ile ters orant l ise çarp mlar sabittir. x = y = 5z = k eflitli inden ÇÖZÜM 6: a + b = 4 ab + = 4 ab + = 4b b b + a = 5 ab a + = 5 ab + = 5a x = k y = k z = k 5 olarak bulunan de erler 4b = 5a d r. b = 5, a = 4 olarak al n rsa x + y + z = 50 eflitli inde eflitli inde yerine yaz ld nda; istenen oran 4 bulunur. YANIT: B k + k + k 5 = 50 k = 00 bulunur. En küçük say z = k 5 ten z = 0 elde edilir. Yan t: E 9 Kavram Dersaneleri

33 ORAN - ORANTI ÖRNEK 7: a b = a b = ise 9 a nin de eri kaçt r? b A) 4 5 D) 9 6 B) 6 E) 5 4 C) 7 6 ) ÖRNEK 8: 8 iflçi günde 0 saat çal flarak 40 m hal y 0 günde bitirebilirse, ayn nitelikteki 4 iflçi günde 5 saat çal flarak 60 m hal y kaç günde bitirebilir? A) 6 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60 ) ÇÖZÜM 8: ÇÖZÜM 7: a b = ab b b a = 9 ab a b = a 9 olur. 8b = a olur. 8b = a = ab = b = 9 a b = 8 = 9 6 bulunur. ab = a 9 Orant l iflçi problemlerinde; iki grup iflçi ve bunlar n yapt klar ifller vard r. Her iki gruptada yap - lan ifl miktar n o gruba ait di er elemanlar n çarp m na oranlad m zda birbirine eflit olacakt r = x orant s nda gerekli sadelefltirmeler yap l rsa x = 60 dan x = 60 bulunur. Yan t: D Yan t: E Kavram Dersaneleri 0

34 ORAN - ORANTI ÖRNEK 9: 6 iflçi günde 8 saat çal flarak 4 km lik yolu 5 günde bitirmektedir. 0 iflçi günde 5 saat çal flarak 5 km lik yolu kaç günde bitirir? A) 0 B) 8 C) 6 D) 5 E) ) ÇÖZÜM 9: = x orant s kurulup gerekli sadelefltirmeler yap l rsa x = 0 bulunur. Yan t: A Kavram Dersaneleri

35 cebirsel.com TAR H MATEMAT K I. DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK : Toplamlar 77 olan iki say dan birinin kat, öbürünün 4 kat na eflittir. Bu say lardan küçük olan kaçt r? A) B) 0 C) 7 D) 4 E) (ÖSS - 999) ÖRNEK : Kareleri fark 6 olan a ve b say lar n n her birinden ç kar l rsa, yeni say lar n kareleri fark 8 olmaktad r. Buna göre a + b toplam kaçt r? A) 6 B) C) D) E) 6 (ÖSS- 999) ÇÖZÜM : ÇÖZÜM : Verilen ifadeyi iflleme dönüfltürürsek; Toplamlar 77 olan iki say dan biri x ise di eri (77 x) dir. Verilen ifadeyi matematiksel yazarsak x = 4(77 x) olur. Kurulan denklemin çözümünden x = 08 4x 7x = 08 x = 44 elde edilir. Bu say lar n küçük olan 77 x olaca ndan = istenen sonuçtur. a b = 6 ve (a ) (b ) = 8 elde edilir. fllemini açarsak; a 4a + 4 b + 4b 4 = 8 6 4(a b) = = 4(a b) = (a b) bulunur. a b = 6 ifadesi iki kare fark ndan (a b) (a + b) = 6 d r..(a + b) = 6 (a + b) = elde edilir. Yan t: A Yan t: C Kavram Dersaneleri 8

36 B R NC DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK : a b a + a = b + b oldu una göre ÖRNEK 4: Su dolu bir sürahinin a rl a gramd r. Suyun ü boflalt l nca, sürahinin a rl b gram olmaktad r. a. b çarp m kaçt r? Buna göre, bofl sürahinin a rl kaç gramd r? A) B) C) D) E) 5 (ÖSS - 999) A) a b B) a b C) b a D) b a D) b a (ÖSS - 000) ÇÖZÜM : Verilen eflitlik a b = b a (a) (b) fleklinde yaz l p düzenlenirse (a b) = a b oldu undan a b ile sadelefltirme yaparsak; a b ab ÇÖZÜM 4: Sürahinin alabilece i tüm su miktar : x Sürahinin bofl a rl Suyun ü boflalt l rsa : y olsun. x. = x x x = x su kal r. (a b) = (a b) ab ab = ab = bulunur. / / x + y = a x + y = b 6x y = a 6x + y = b y = b a olur. Yan t : D Yan t: D 9 Kavram Dersaneleri

37 B R NC DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK 5: Bir kab n a rl boflken a gram, i su ile 5 doluyken b gramd r. Bu kab n tamam su ile doluyken a rl kaç gramd r? A) 5b 4a B) 5b a C) 4a b D) 5a + b E) 4a + 5b (ÖSS - 00) ÖRNEK 6: Bir sat c daki k rm z toplar n her biri k TL ye, mavi toplar n her biri m TL ye, siyah toplar n her biri s TL ye sat lmaktad r. 4 k rm z ve mavi topa ödenen toplam para 5 siyah topa ödenen paraya eflit; siyah ve mavi topa ödenen para k rm z topa ödenen paraya eflittir. Buna göre, k rm z ve 4 mavi topa ödenen toplam para kaç siyah topa ödenen paraya eflittir? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 (ÖSS - 00) ÇÖZÜM 5: Kab n bofl a rl : a Kab n alabilece i suya: 5x dersek 5 i dolu iken x + a = b olur. x i çekip x = b a y Tamam dolu iken yani 5x + a da yerine yazarsak; 5 (b a) + a = 5b 4a elde edilir. ÇÖZÜM 6: 4k + m = 5s s + m = k denklemleri ile verilen k, m ve s için k + 4m =? + 4k + m = 5s k + m = s k + 4m = s O halde siyah topa ödenen paraya eflittir. Yan t: B Yan t: A Kavram Dersaneleri 40

38 B R NC DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK 7: x > 0, y > 0 olmak üzere x + y = x y 5 ve x y = 60 ise ÖRNEK 8: + a = 4 + b ve a + b = 4 oldu una göre a kaçt r? x kaçt r? A) B) C) A) 0 B) C) 4 D) E) 4 D) 6 E) 8 ÇÖZÜM 7: x + y = x y 5 x + y = k = k orant sabiti x y = 5k olur. ÇÖZÜM 8: + a = 4 + b ve a b = 4 () () a b = 4 bulunur. x y = (x y). (x + y) 60 = 5k. k 60 = 65k 4 = k ± = k ve x > 0 oldu undan + a + b = 4 a = a = x = 9k = 9. = 8 bulunur. Yan t: E Yan t: B 4 Kavram Dersaneleri

39 B R NC DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK 9: defter, kalem, 5 silgiye lira ödeyen bir kifli e er defter, kalem alsayd, lira ödeyecekti. Buna göre bu kifli defter, kalem ve silgiye kaç lira öder? A) B) C) D) E) ÖRNEK 0: Farklar olan iki say dan büyü ünün iki kat ile küçü ünün kat topland nda de eri 4 oluyor. Büyük say n n küçük say ya oran kaçt r? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 ÇÖZÜM 9: defter d lira kalem k lira silgi s lira olursa; d + k + 5s = d + k = Eflitlikleri taraf - tarafa toplan p 5 e bölünürse, d + k + s = bulunur. ÇÖZÜM 0: Verilen ifadeyi matematiksel yazarsak; / x y = x + y = 4 x y = 6 x + y = 4 5x = 70 x = 4 ve y = bulunur. x = 4 y = 7 Yan t: C Yan t: B Kavram Dersaneleri 4

40 B R NC DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK : Su dolu bir kab n a rl a gramd r. Suyun boflalt ld nda a rl b gram oluyor. Kab n bofl a rl afla dakilerden hangisidir? A) 5b a B) b a D) a b E) ab b C) b a 5 i ÖRNEK : Bir flifle süt 5 dolu iken 40 gram, 8 i 8 i dolu iken 80 gram gelmektedir. Buna göre bofl fliflenin a rl kaç gramd r? A) 90 B) 80 C) 75 D) 70 E) 60 ÇÖZÜM : Bofl kab n a rl : x Kab n alaca su miktar : 5y olsun Su dolu iken; 5 i boflalt l rsa; / x + 5y = a 5/ x + y = b x 5y = ü 5x + 5y = 5b x = 5b a x = 5b a ÇÖZÜM : Sütün tümüne 8x, bofl fliflenin a rl na y dersek; 5x + y = 40 x + y = 80 denklemleri elde edilir. Taraf tarafa ç kar rsak x = 60 x = 0 olur. kinci denklemde yerine yazarsak.0 + y = 80 den y = 90 bulunur. Yan t: A Yan t: A 4 Kavram Dersaneleri

41 B R NC DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK : Toplamlar olan iki say dan birinin i 5 di erinin üne eflittir. Bu say lardan küçü ü kaçt r? ÖRNEK 4: x y 0 y x y kaçt r? = 0, x y = 0 ise A) 0 B) 0 C) 40 D) 50 E) 60 A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 0 ÇÖZÜM 4 : ÇÖZÜM : Toplamlar olan iki say x ve y olsun. x + y = x. 5 = y. orant s ndan içler, d fllar çarp m yap l rsa; 5y = 9x y = 9k ve x = 5k 9k + 5k = 4k = k = 8 bulunur. x = 5k = 40 küçük olan say d r. Yan t: C x y 0 = 0 eflitli inde içler d fllar yap l rsa y x x y 0 = 0 bulunur. x y = 0 ifadesi iki kare fark ndan aç l r (x y) (x + y) = 0 ve her çarpan s f ra eflitlenirse x y = 0 veya x + y = 0 olur. x y = 0 payday s f r yapaca ndan x + y = 0 olmal d r. Buradan x çekilirse x = y olur ve x y 0 = 0 da yerine yaz l rsa y y 0 = 0 y = 5 bulunur. Yan t: B Kavram Dersaneleri 44

42 B R NC DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK 5: a. b = b a + b = b kaçt r? oldu una göre ÖRNEK 6: x, y R için (x 8) + (y + 8) = 0 ise (x + y) toplam kaçt r? A) 5 B) 4 C) D) 4 E) 5 A) B) C) D) E) ÇÖZÜM 5: ab = b ab = b + dir. a + b = ab + b = ab + = b de ab yerine b + yaz l rsa b + + = b b = 5 bulunur. Yan t: A ÇÖZÜM 6: Çift kuvvet daima 0 olaca ndan a + b = 0 fleklindeki ifadelerin tek çözümü a = 0 ve b = 0 olmas d r. O halde; x 8 = 0 ve y + 8 = 0 eflitliklerinden x = 4, y = 6 bulunur. x + y toplam 4 6 = elde edilir. Yan t: B 45 Kavram Dersaneleri

43 B R NC DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK 7: x + x x 5 = 5 + x x 5 denkleminin çözüm kümesi nedir? A) { 5, 5} B) { 5} C) {5} D) Ø E) R ÇÖZÜM 7 : Verilen eflitlikte x x 5 ler birbirini götürece inden x = 5 elde edilir. Buradan x = 5 ve x = +5 de erleri bulunur. Ancak rasyonel ifadelerde payday s f r yapan de- er kesiri tan ms z yapaca ndan çözüm kümesine al nmaz. x 5 olan paydam z x = 5 s f r yapca ndan x = 5 olmal d r. Yan t: B Kavram Dersaneleri 46

44 cebirsel.com MATEMAT K II. DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK : ÖRNEK : x + x 6 x + x + 9 = 0 denkleminin x x = 0 denkleminin kökleri x, x dir. köklerinden biri x dir. x. x + x. x + x + x ifadesinin Buna göre, x + x de eri kaçt r? efliti kaçt r? A) B) 5 C) 7 D) 9 E) (ÖSS iptal edilen) A) 6 B) C) 0 D) E) 6 ÇÖZÜM : x =x x + x 6 x + x + 9 = 0 denkleminin kökü oldu undan x + x 6. x + x + 9 = 0 'd r. x + x = 0 fleklinde düzenlenirse x + x = bulunur. ÇÖZÜM : x + x = x +.x. x + x = 9 x. x + x.x + x + x x + + x = 9 ve = x. x (x + x ) + x + x x + x = 7 =. c a b a + b c = ( )(+) + ( ) Yan t: C = 4 = 6 Yan t: A 9 Kavram Dersaneleri

45 K NC DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK : x + ax + b = 0 denkleminin bir kökü ve x + mx + n = 0 denkleminin bir kökü tür. Bu denklemlerin di er kökleri ortak ise a m kaçt r? ÖRNEK 4: f(x) = x x + oldu una göre, f( x) f(x) afla dakilerden hangisine eflittir? A) B) C) D) E) 4 A) 0 B) C) x D) x E) x + (999 ÖSS) ÇÖZÜM : x + a.x + b denkleminin kökleri, x x + m.x + n denkleminin kökleri, x olsun. Denklemlerin kökler toplam na bak l rsa; ÇÖZÜM 4: f( x) f(x) = [( x) ( x) + ] [x x + ] = x x + + x + x + x = 0 Yan t: A + x = a + x = m = a + m = a + m = a m Yan t: B Kavram Dersaneleri 0

46 K NC DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK 5: f(x) =a x oldu una göre f(x ) f(x + ) = 8 ise x afla dakilerden hangisi olur? A) a B) C) a a ÖRNEK 6: f(x + 5) = x + x + 4 ise f( ) kaçt r? A) B) C) D) 4 E) 5 D) a E) a ÇÖZÜM 5: f(x ) f(x + ) = 8 [a (x ) ] [a (x + ) ] = 8 [a (x x + ) ] [a (x + x + ) ] = 8 [ax ax + a ] [ax + ax + a ] = 8 ax ax + a ax ax a + = 8 4ax = 8 a. x = ve x = a olur. ÇÖZÜM 6: x + 5 = x = 6 x = f(( ) + 5) = ( ) +. ( ) + 4 f( ) = 4 olur. Yan t: D Yan t: C Kavram Dersaneleri

47 cebirsel.com TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I ÖRNEK : Bir lisenin son s n f ö rencileri her grupta eflit say da ö renci olmak üzere 0 gruba ayr l yor. Bu ö renciler 7 gruba ayr lsayd her gruptaki ö renci say s 6 fazla olacakt. Bu ö renciler, her grupta eflit say da ö renci olmak üzere 5 gruba ay r l rsa bir grupta kaç ö renci bulunur? A) 5 B) 8 C) 0 D) E) 4 ÖRNEK : Ahmet ile Hasan n bugünkü yafllar toplam 56 d r. Hasan, kendisinden daha yafll olan Ahmet in yafl na geldi inde ise yafllar toplam 88 olacakt r. Buna göre, Ahmet in bugünkü yafl kaçt r? A) 8 B) 7C) 6 D) 45 E) 54 (ÖSS - 999) (ÖSS - 999) ÇÖZÜM : Ahmet in yafl n A, Hasan n H ile gösterilim. ÇÖZÜM : Toplam ö renci say s na x diyelim. x 0 = x 7 6 7x 70 = 0x x = 40 x = 40 olur. 40 ö renci 5 gruba ayr l rsa, her grupta 40: 5 = 8 ö renci olur. Yan t: B Ahmet A A H y l A + (A H) A + H = (I) A + (A H) + A = (II) H = 56 A... (I) II. eflitlikte H yerine 56 A koyabiliriz. A H = 88 A 56 + A = 88 4A = 44 A = 6 olur. Hasan H A A H y l Yan t: C Kavram Dersaneleri 56

48 PROBLEMLER - I ÖRNEK : Ali bir bilet kuyru unda bafltan n. s rada, sondan (n ). s radad r. Kuyrukta 8 kifli oldu una göre, Ali bafltan kaç nc kiflidir? A) 8 B) 0 C) D) E) 4 (ÖSS - 000) ÖRNEK 4: Bir bilgi yar flmas nda, kurallara göre, yar flmac - lar her do ru cevaptan 40 puan kazan yor, her yanl fl cevaptan 50 puan kaybediyor. 0 soruya cevap veren bir yar flmac 00 puan kazand na göre, do ru cevaplar n say s kaçt r? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 (ÖSS - 000) ÇÖZÜM : Ali ÇÖZÜM 4: Bafl n kifli (Ali dahil) Toplam : n + n = 8 n = 8 n = 84 n = 8 olur. O halde Ali bafltan 8. kiflidir. n (n ) kifli (Ali hariç) Son Yan t : A Do ru x tane +40 puan 0 soru Yanl fl (0 x) tane 50 puan 40.x 50. (0 x) = 00 40x x = 00 90x = 800 x = 0 Yan t : B 57 Kavram Dersaneleri

49 PROBLEMLER - I ÖRNEK 5: Murat ve annesinin bugünkü yafllar oran tür. 5 y l sonra bu oran olaca na göre, Murat ile 7 annesinin bugünkü yafllar toplam kaçt r? ÖRNEK 6: Uzunluklar ayn olan iki mum ayn anda yanmaya bafllad nda, biri saatte, di eri saatte tamam yla yanarak bitmektedir. Bu iki mum ayn anda yak ld ktan kaç saat A) 60 B) 55 C) 50 D) 45 E) 40 sonra, birinin boyu di erinin boyunun olur? ü (ÖSS - 000) A) 7 B) 6 7 C) 0 7 D) 7 E) 7 (ÖSS - 000) ÇÖZÜM 5 : Murat Bugün x x Anne 5 y l sonra x + 5 x + 5 olur. 5 y l sonraki yafllar oran olaca ndan, 7 x + 5 x + 5 = 7 9x + 5 = 7x + 5 x = 0 x = 0 ifadesi elde edilir. Murat ile annesinin bugünkü yafllar toplam 4x oldu undan 4.0 = 40 bulunur. ÇÖZÜM 6: OKEK(,) = 6 oldu undan, mumlar n uzunluklar na 6x diyelim.. mum saatte bitti i için saatte x kadar yanar.. mum saatte bitti i için saatte x kadar yanar y saat sonra;. mum 6x x.y. mum 6x x.y olur. 6x xy 6x xy = x(6 y) x(6 y) = 8 9y = 6 y = 7y y = 7 olur. Yan t: E Yan t : D Kavram Dersaneleri 58

50 PROBLEMLER - I ÖRNEK 7: 60 yolcusu olan bir otobüsten bayan erkek inince, bayanlar n say s erkeklerin say s n n 5 s oluyor. 6 Buna göre, ilk durumda otobüsteki bayan say s kaçt r? A) B) 5 C) 7 D) 5 E) 7 (ÖSS - 00) ÖRNEK 8: Bir annenin bugünkü yafl, k z n n yafl n n 6 kat d r. K z annenin bugünkü yafl na geldi inde ikisinin yafllar toplam 85 olaca na göre, annenin bugünkü yafl kaçt r? A) 4 B) 0 C) 6 D) 4 E) 48 Yan t: B ÇÖZÜM 9: ÇÖZÜM 7: bayan inerse Bayan x x erkek inerse Erkek 60 x 60 x Bugünkü yafllar Anne 6x K z x x olur. 6x 5x y l sonra x 57 x = 5 6 6x = 85 5x x + 6x = 85 7x = 85 x = 97 x = 5 x = 7 Anne 6. 5 = 0 Yan t: C Yan t: B 59 Kavram Dersaneleri

51 PROBLEMLER - I ÖRNEK 9: Bir benzin tank n n içinde bir miktar benzin vard r. Tanka 00 litre benzin ilave edilirse tank n 5 u 9 doluyor. Oysa tanka benzin konmay p 00 litre benzin boflalt l rsa tank n yor. u dolu olarak kal - Buna göre, tank n tamam kaç litre benzin al r? 9 ÖRNEK 0: Bir tel efl parçaya bölünüyor. Parçalardan herbirinin uzunlu u 0 cm daha k sa olsayd bu tel 0 efl parçaya bölünebilecekti. Buna göre telin uzunlu u kaç cm dir? A) 40 B) 00 C) 80 D) 450 E) 500 A) 500 B) 600 C) 700 D) 800 E) 900 (ÖSS - 00) ÇÖZÜM 0 : A C B x x Parçalardan herbirinin uzunlu unu x kabul edersek telin tamam x olur. Parçalardan herbirinin uzunlu u 0 cm daha k sa olsayd x 0 olurdu. Telin bu durumda tamam 0(x 0) olur. A C B x 0 ÇÖZÜM 9: Tank n tamam n 9x kabul edelim. çinde de y kadar benzin olsun. 0(x 0) ki durumdaki telin tamam eflitlenirse x = 0(x 0) denklemi elde edilir. y + 00 = 5x y 00 = x y + 00 = 5x y + 00 = x 400 = 4x x = 00 Tank n tamam = 900 Yan t: E x = 0x 00 8x = 00 x = 00 8 = 5 Telin tamam x oldu undan.5 = 00 cm olur. Yan t: B Kavram Dersaneleri 60

52 PROBLEMLER - I ÖRNEK : Can oyuncuklar n sepetlere er er koyarsa oyuncak aç kta kal yor. E er 5 er 5 er koyarsa sepet bofl kal yor. Buna göre sepet say s kaçt r? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 ÖRNEK : Yafllar toplam olan iki kardeflin büyü ü, küçü ünün yafl ndayken küçük kardefl büyü- ünün flimdiki yafl n n yar s kadar yafltayd Küçük kardeflin flimdiki yafl kaçt r? A) 6 B) 7C) 8 D) 9 E) 0 ÇÖZÜM : Büyük Küçük Bugün x x ÇÖZÜM : Sepet say s : a Oyuncak say s : b olsun b = a + b = 5 (a ) a + = 5(a ) eflitli inden a = 6 bulunur. Yan t: D x x kisi aras ndaki yafl farklar daima sabit olaca ndan x = x x denklem çözülürse, 4 4x = x + x 6 = 7x x = 9 bulunur. ifadesi elde edilir. Yan t:d 6 Kavram Dersaneleri

53 PROBLEMLER - I ÖRNEK : Anne ile k z n n bugünkü yafllar toplam 44 tür. K z annenin flimdiki yafl na geldi inde yafllar oran oldu una göre anne flimdi kaç 5 yafl ndad r? ÖRNEK 4: Süt dolu bir fliflenin a rl 700 gramd r. Sütün i kullan ld ktan sonra tart ld nda flifle 40 5 gram gelmifltir. fiiflenin a rl kaç gramd r? A) 8 B) C) D) 5 E) 8 A) 80 B) 0 C) 50 D) 70 E) 00 ÇÖZÜM 4 : ÇÖZÜM : 5x y Bofl fliflenin a rl n y, tamamen dolu iken içindeki sütün a rl na 5x diyelim. 5x + y = 700 Anne K z a a k y l a k k a a k y l sonra x y x + y = 40 x = 70 x = 90 a a k = 5 ve a + k = 44 tür. 5a = 6a k 4k = 44 a = k k = a = 5x + y = 700 denkleminde x de erini yerine yazarsak y = 700 y = 50 gram bulunur. Yan t: C Yan t: C Kavram Dersaneleri 6

54 PROBLEMLER - I ÖRNEK 5: Bir süt fliflesi yar s dolu iken 50 gr, iken 700 gr geliyor. fiiflenin 7 si dolu iken kaç gr gelir? A) 600 B) 600 C) 750 D) 500 E) ü dolu ÖRNEK 6: Bir baba 40 yafl nda iken o lu x yafl nda idi. x y l sonra yafllar n n oran oldu una göre x kaçt r? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 ÇÖZÜM 6: ÇÖZÜM 5: Bofl fliflenin a rl na y; dolu iken sütün a rl na x diyelim / y + x = 50 (I) y + x = 700 x 0 I. denklemde x = 500 yaz l rsa y = 600 bulunur. istenen: y + x 7 (II) = 50 x = 500 = Baba Bugün 40 x O lu x y l sonra 40 + x x olur. x y l sonraki yafllar oran x 40 + x = x = 80 + x 0x = 80 x = 4 ifadesi elde edilir. oldu undan, = 600 gr Yan t: B Yan t: B 6 Kavram Dersaneleri

55 PROBLEMLER - I ÖRNEK 7: Bir annenin yafl, iki çocu unun yafllar toplam 0 dur. Kaç y l sonra annenin yafl, çocuklar n n yafllar toplam n n kat olur? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 ÖRNEK 8: Emir in soruluk bir testte yapt yanl fl say s do ru say s n n üçte biri; bofl say s ise do ru say s n n yar s kadard r. S nav de erlendirmesinde her do ru yan ta puan verilirken yanl fl için puan silinmektedir. Buna göre Emir s navdan kaç puan alm flt r? A) 0 B) 6 C) 0 D) E) 6 ÇÖZÜM 7 : ÇÖZÜM 8: Anne Çocuk Bugün 0 x y l sonra + x 0 + x + x =.(0 + x) denklemi elde edilir. denklem çözülürse, + x = 0 + 4x = x x = 4 bulunur. Yanl fl Do ru Bofl say s say s say s x 6x x x + 6x + x toplam soru say s tanedir. x = x = dir. Do ru 6. = tane Yanl fl. = 4 tane Toplam puan = Do ru. Yanl fl. =. 4. = puan Yan t: D Yan t: C Kavram Dersaneleri 64

56 PROBLEMLER - I ÖRNEK 9: Bir su deposu yar s na kadar dolu iken, 50 litre daha su konuldu unda deponunun 5 s n n 6 doldu u görülüyor. Deponun tamamen dolmas için kaç litre su gerekmektedir? ÖRNEK 0: Bir kab n a rl, yar s dolu iken a kg d r. Kab n 8 i dolu iken, a rl b kg geliyor. Kab n tamam bofl iken a rl n n a ve b türünden ifadesi afla dakilerden hangisidir? A) 80 B) 90 C) 05 D) 5 E) 50 A) 5b a B) 5b 4a C) 4b a D) 0b a E) a 4b ÇÖZÜM 9: Deponun tamam x olsun x + 50 = 5x 6 50 = x 6 çözülürse; 750 = x bulunur. ÇÖZÜM 0: Kab n bofl a rl : x içindekinin a rl : y olsun x + y = a 4 ile çarpal m ve toplayal m Depodaki su miktar = x + y 8 = b = 65 litredir. Tamamen dolmas için gereken su miktar ; = 5 litre dir. Yan t: D x 4 + x = b a 4 x 4 = 4b a 4 x = 4b a Yan t: C 65 Kavram Dersaneleri

57 PROBLEMLER - I ÖRNEK : 6 yolcusu bulunan bir otobüse 4 erkek 5 bayan daha binince erkeklerin say s bayanlar n say s n n kat oluyor. lk durumda otobüsteki bayanlar n say s kaçt r? A) 0 B) 5 C) 8 D) 0 E) ÖRNEK : ü bayan olan bir topluluktan 0 erkek ayr l rsa, 4 bayanlar n say s n n kat topluluktaki erkeklerin say s na eflit oluyor. Buna göre toplulukta bafllang çta kaç erkek vard r? A) 0 B) 6 C) 0 D) 5 E) 0 ÇÖZÜM : Erkek Bayan lk durumda 6 x x Son durumda 40 x = (x + 5) 40 x = x + 0 x = 0 x = 0 ÇÖZÜM : Topluluk : 4x olsun. x bayan 4x x erkek Yan t: A x 0 = x x = 0 Erkek:. x =. 0 = 0 olur. Yan t: E Kavram Dersaneleri 66

58 PROBLEMLER - I ÖRNEK : A n n yafl a, B nin yafl b dir. 5a = b dir. A, B nin yafl na geldi inde yafllar n n toplam 9 olacakt r. A n n flimdiki yafl kaçt r? A) B) 4 C) 8 D) E) 4 ÖRNEK 4: Oktay n yafl, Emre nin yafl n n kat ndan 4 eksiktir. Emre Oktay n yafl na geldi inde yafllar toplam 44 olaca na göre Oktay n bugünkü yafl kaçt r? A) 7 B) 9 C) D) 4 E) 7 ÇÖZÜM : A'n n yafl a b b a y l sonra b + b a = 9 B'nin yafl b b a y l sonra b a ÇÖZÜM 4: Oktay Emre b a = 9 * 5a = b ise a = k denir. b = 5k x 4 y l x 4 5x 8 5x 8 + x 4 = 44 8x = 56 x x 4 x 4 x = x 4 y l * denklemde yerine yazal m.. 5k k = k = 9 k = 7 A = a = k =. 7 = 4 dür. Yan t: B x = 7 dir. Oktay: x 4 =.7 4 = 7 dir. Yan t: E 67 Kavram Dersaneleri

59 PROBLEMLER - I ÖRNEK 5: Bir süt fliflesi yar s na kadar süt dolu iken kg 4 ü dolu iken kg gelmektedir. fiiflenin tamam dolu oldu undan flifle kaç kg gelir? A) 4 B) 5 C) 5,5 D) 6 E) 6,5 ÇÖZÜM 5: Kab n bofl a rl : x Sütün a rl : y olsun x + y = (I) x + y 4 = y = 4 bulunur. I de y = 4 al n rsa x = bulunur istenen : x + y = 4 + = 5 Yan t: B Kavram Dersaneleri 68

60 cebirsel.com MATEMAT K PROBLEMLER - II ÖRNEK : A ve B kentlerinden saatteki h zlar s ras yla V ve V olan (V > V ) iki araç, birbirlerine do ru ayn anda hareket ederlerse saat sonra karfl lafl yorlar. Bu araçlar ayn kentlerden ayn 4 yön- ÖRNEK : Bir araç K kentinden M kentine saatte 4 km h zla gitmifl ve saatte v km h zla dönmüfltür. Bu gidifl dönüflte arac n ortalama h z saatte 48 km oldu una göre v kaçt r? de hareket ederlerse h zl giden araç sonra di erine yetifliyor. 4 saat A) 48 B) 50 C) 5 D) 54 E) 56 Buna göre, V + V V V oran kaçt r? (ÖSS - 000) A) B) 7 4 C) D) 7 E) 8 (ÖSS - 999) ÇÖZÜM : K 4 km/sa M Ortalama h za V 0 diyelim. V km/sa ÇÖZÜM : AB = 4 (V + V ) AB = 4 (V V ) 4 (V + V ) = 4 (V V ) V + V V V = = 7 Gidifl - dönüfl ortalama h z V 0 = V. V V + V oldu undan; 48 =. 4. V 4 + V V = 48 (4 + V) 7V = V V = 68 V = 56 km/sa Yan t: D Yan t : E 69 Kavram Dersaneleri

61 PROBLEMLER - II ÖRNEK : Sabit h zla giden A ve B hareketlilerinin yol-zaman grafi i afla daki gibidir. Yol (metre) A ÖRNEK 4: A ve B kentleri aras ndaki yolun ünde onar m yap lmaktad r. Yolun düzgün k sm nda saatte v km h zla giden bir araç, onar m olan k sm nda 60 B saatte v 4 km h zla gitmifltir. 0 Zaman (dakika) Bu koflullarda A ile B kentleri aras ndaki yolun tamam n saatte giden bu araç, onar m yap lan k sm kaç saatte gitmifltir? Bu iki hareketli, çevre uzunlu u 0 metre olan dairesel bir pistte ayn noktadan, ayn anda ve ayn yönde, grafikteki h zlar yla hareket etseler hareketlerinden kaç dakika sonra ilk kez yan yana gelirler? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 9 (00-ÖSS) A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) (00-ÖSS) ÇÖZÜM : Her hareketlinin dakikadaki h zlar ; V A = 60 = 0 m / dakika V B = 0 = 5 m / dakika 5 0 ÇÖZÜM 4: A C B x x V V 4 AC = BC oldu undan t = = 0 5 = 6 dk. V( t) =. V. t 4 t = t ifllemi yap l rsa Yan t: B t = 8 bulunur. Yan t: D Kavram Dersaneleri 70

62 PROBLEMLER - II ÖRNEK 5: Ali bir iflin 5 sini 0 günde yap yor. Geriye kalan 7 ifli Ahmet ile beraber günde yapt klar na göre, Ahmet iflin tamam n tek bafl na kaç günde yapar? A) 4 B) 0 C) 6 D) 4 E) 50 ÖRNEK 6: Ali'nin bir günde yapt ifl Murat' n yapt iflin ü, Murat' n yapt ifl ise Turgay' n yapt iflin yar s kadard r. Üçü birlikte çal flarak ifli 4 günde bitirdiklerine göre Ali yaln z bafl na bu ifli kaç günde bitirir? A) 68 B) 60 C) 55 D) 48 E) 40 ÇÖZÜM 5 : Ali bir iflin 5 7 sini 0 günde yapt na göre iflin tamam n 0 : 5 7 = = 4 günde yapar. Geriye kalan iflin sini Ahmet ile bareber günde yapt klar na göre beraber iflin 7 tamam n : 7 =. 7 = günde yaparlar. Ali Ahmet Beraber flin tamam n 4 günde x günde günde 4 + x = = x 4 () () x = 4 4 x = 4 x = 4 bulunur. denklemini oluflturup çözersek ÇÖZÜM 6: Ali Murat Turgay günde yapt klar x x 6x ifl miktar Üçü birlikte günde x + x + 6x = 0x kadar ifl yapar. Üçü birlikte 4 günde 4.0x = 40x kadar ifl yapm fl olur. Ali nin bir günde yapt ifl miktar x oldu undan 40x kadar ifli, Ali yaln z bafl na 40x x = 40 günde yapar. Yan t: E Yan t: D 7 Kavram Dersaneleri

63 PROBLEMLER - II ÖRNEK 7: ÖRNEK 8: A ve B bir ifli birlikte saatte bitiriyorlar. A ayn sürede B nin kat ifl yapabildi ine göre B ayn ifli yaln z bafl na kaç saatte yapar? A) 8 B) 8 C) 4 D) E) 6 Bir ifli tek bafl na Ali, Cengiz 5 günde bitirebilmektedir. Önce Ali tek bafl na bir süre çal flarak ayr l yor. Kalan ifli ise Cengiz bitiriyor. fl toplam 4 günde bitti ine göre Ali kaç gün çal flm flt r? A) B) C) 4 D) 6 E) 0 ÇÖZÜM 8: Ali Cengiz günde 5 günde Yap lan ifl miktar n n tamam n 60x kabul edelim. ÇÖZÜM 7: A B saatte yapt klar ifl miktar x x Ali Cengiz günde yapt klar 5x 4x ifl miktar A ve B beraber saatte x + x = x ifl yapar. A ve B beraber saatte.x = 6x ifl yapar. Bu da iflin tamam n n 6x oldu unu gösterir. Ali nin a gün çal flt n düflünelim. a günde Ali 5x.a kadar ifl yapar. Cengiz 4 a gün çal flt na göre 4 a günde 4x.(4 a) kadar ifl yapar. kisinin yapt ifl miktarlar toplan p, 60x e eflitlenirse B saatte x kadar ifl yapabildi ine göre 6x kadar ifli yaln z bafl na 6x x = 6 satte yapar. 5xa + 4x.(4 a) = 60x denklemi elde edilir. denklem çözülürse; 5a a = 60 a = 4 bulunur. Yan t: E Yan t: C Kavram Dersaneleri 7