ÇARPANLARINA AYIRMA ALGOR TMALARI ÜZER NE

Transkript

1 1 EGE ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ (YÜKSEK L SANS TEZ ) ÇARPANLARINA AYIRMA ALGOR TMALARI ÜZER NE Fdan NUR YEVA Tez Dan man : Yrd. Doç. Dr. Burak ORD N Matematk Anablm Dal Blm Dal Kodu: Sunu Tarh: Bornova 010 ZM R

2

3 Fdan NUR YEVA taraf ndan YÜKSEK L SANS tez olarak sunulan ÇARPANLARINA AYIRMA ALGOR TMALARI ÜZER NE ba l kl bu çal ma E.Ü. Lsansüstü E tm ve Ö retm Yönetmel le E.Ü. Fen Blmler Ensttüsü E tm ve Ö retm Yönerges nn lgl hükümler uyar nca taraf m zdan de erlendrlerek savunmaya de er bulunmu ve tarhnde yap lan tez savunma s nav nda aday oybrl /oyçoklu u le ba ar l bulunmu tur. Jür Üyeler: mza Jür Ba kan : Raportör Üye : Üye :......

4 v

5 v ÖZET ÇARPANLARINA AYIRMA ALGOR TMALARI ÜZER NE NUR YEVA, Fdan Yüksek Lsans Tez, Matematk Bölümü Tez Yönetcs: Yrd. Doç. Dr. Burak ORD N Ocak 010, 70 sayfa Say lar Teors le Blgsayar Teknolojsnn kayna mas çe tl konular ve bu konulara ba l olarak brçok uygulamay ortaya ç karm t r. Bu alandak en öneml konulardan br de çarpanlar na ay rma algortmalar d r. Günümüzün en sa lam ver freleme algortmalar n n ba nda gelen RSA Algortmas Asal çarpanlar na ay rma problemnn büyük say lar çn blgsayarda etkn br eklde çözülememes prensbne dayanmaktad r. Bu nedenle çarpanlar na ay rma algortmalar pratkte çok önem kazanm t r. Bu tezde çarpanlara ay rma algortmalar ele al narak konu le lgl gen br lteratür taramas yap lm, lgl matematksel notasyon ve yöntemler, öneml algortmalar hakk nda ayr nt l blg verlm tr. Konu le lgl yakla mlar özetlenerek yen çarpanlara ay rma algortmalar gel trlm tr. Bu algortmalarda hesaplamalar h zland rmak çn karekök alma ve. c dereceden kuvvete yükseltme lemler toplama lem le fade edlm tr. Önerlen algortmalar GMP kütüphanes kullan larak C programlama dlnde kodlanarak hesaplama denemeler yap lm t r. Anahtar Kelmeler: Asal say lar, Çarpanlar na Ay rma Algortmalar, GMP Kütüphanes, obeb algortmas.

6 v

7 v ABSTRACT ON FACTORIZATION ALGORITHMS NURIYEVA, Fdan Ms.Thess, Mathematcs Department Supervsor: Assstant Professor Dr. Burak ORD N January 010, 70 pages The combnaton of number theory and computer technology has exposed varous subjects and the applcatons related to these subjects. One of the most mportant subjects n ths feld s prme factorzaton algorthms. RSA, today s one of the most secure data cypher algorthms reles on the prncple that the prme factorzaton problem can not be effcently solved wth computers for bg numbers. Therefore, factorzaton algorthms are very mportant n practce. In ths thess, prme factorzaton algorthms are studed, and a wde range of lterature revew s made. Also, nformaton about relatve mathematcal notatons and methods, and some mportant algorthms are gven. The approaches are summarzed and new prme factorzaton algorthms are developed. In order to mprove the speed of calculatons, square root and. order power operatons are expressed as sum operaton. The proposed algorthms are wrtten n C programmng language wth GMP lbrary, and calculaton trals are made. Keywords: Prme numbers, prme factorzaton algorthms, GMP Lbrary, gcd algorthm

8 v

9 x TE EKKÜR Bu tez çal mas süresnce benden deste n esrgemeyen dan man hocam say n Yrd. Doç. Dr Burak ORD N e, tecrübelern ve blglern payla an babam Prof. Dr. Urfat NUR YEV e te ekkür ederm.

10 x

11 x EK LLER D Z N ekl Sayfa 5.1 n say s n n p ve q çarpanlar na göre yap sal gösterm Parametreler aras ndak ba lant v parametreler aras ndak ba lant Say n n katlar na göre s parametresnn de m...65

12 x

13 x Ç ZELGELER D Z N Çzelge Sayfa 3.1 ( n) fonksyonunun lk 16 de erler Brnc yöntemle 1067 say s n n çarpanlar na ayr lmas örne...48

14 xv

15 xv Ç NDEK LER Sayfa ÖZET... v ABSTRACT...v TE EKKÜR...x EK LLER D Z N...x Ç ZELGELER D Z N... x 1. G R...1. HESAPLANAB L RL K VE KARMA IKLIK Hesaplanablrlk Teors ve Turng Makneler...3. Karma kl k Teors Klask karma kl k s n flar Artmetk lemlern zaman karma kl Farkl Tabanlardak Say lar Basamak say s kl lem Bg-O Kavram TEMEL SAYILAR TEOR S NDEN BAZI KONULAR Asal Say lar Asal Çarpanlara Ayr l n Tekl Bölüneblrlk Bölüneblme ve özellkler En büyük ortak bölen Eucld Algortmas Eulern Fonksyonu Modüler Artmetk (Kongrüanslar)...1

16 xv Ç NDEK LER (devam) Sayfa Tekrarlanan kare alma yöntemyle modüler üs Asal Say Uygulamalar GMP Kütüphanes Hakk nda Genel Blg ÇARPANLARINA AYIRMA Çarpanlar na Ay rma le lgl Baz Teoremler n! çarpanlar na ayr lmas Çarpanlara Ay rma Algortmalar Bast bölme Fermat n çarpanlara ay rma yöntem Polard n heurstk algortmas Pollard p-1 algortmas Sürekl kesr metodu Elptk e r yöntem Say eleme alan Quadratc seve algortmalar Dxon un algortmas Quadratc seve algortmas Multple polnomyal quadratc seve algortmas Kuantum blgsayarlar çn asal çarpanlar na ay rma algortmas YEN ÇARPANLARINA AYIRMA YÖNTEMLER VE ALGOR TMALARI Say lar n Çarpanlar na Göre Yap lar Üzerne s Parametresne Dayal Algortmalar Brnc yöntem... 46

17 xv Ç NDEK LER (devam) Sayfa Algortma le lgl baz notlar Algortmada.dereceden kuvvete yükseltmenn toplama lem le fade edlmes Karekök alman n toplama lem le fade edlmes knc yöntem l Parametrne Dayal Yöntem u Parametrne Dayal Yöntem Parametreler Aras ndak Ba nt lar n ncelenmes v Parametrelerne Dayal Yöntem Say lar n Katlar n Kullanarak Çarpanlar na Ay rma SONUÇ KAYNAKLAR D Z N ÖZGEÇM...70

18 xv

19 1 1. G R Yak n zamanlara kadar say lar teors matemat n cazp, fakat çok az uygulamas olan br alan yd (Schroeder, 1997). Ancak say lar teorsnn çe tl freleme (krptograf) sstemlernde kullan lmas yla uygulama alan gen lem tr (Schneer, 1996). Günümüzde freleme sstemler büyük asal say lar n kullan lmas yla gerçekle trlmektedr (Nkolaevch ve Martsnovsky, 007). Dolay s yla büyük asal say lar n bulunmas akademk br çal ma olmaktan ç k p, pratk br gerekllk haln alm t r (Boender and Rele, 1995). Benzer eklde çarpanlara ay rma çal malar da, blgsayar güvenl yle lgl oldu u çn her geçen gün önem kazanmaktad r (Çmen vd., 00). Br zamanlar lg görmeyen alanlardan br olan çarpanlara ay rma çal malar, freleme ve blgsayar güvenl yle lgl oldu u çn bugün matemat n en popüler alanlar ndan brsdr (Cohen, 1993). Çarpanlara ay rma problem, p ve q gb k büyük asal say n n çarp m ndan olu an n say s verld nde, p ve q say lar n n bulunmas d r (Pomerance, 1984). Asal çarpanlar n bulunmas problem say lar büyüdükçe çok karma k br hal almaktad r (Arjen, 000). Br say n n asal çarpanlar n n bulunmas onun asall n n ara t r lmas ndan daha çok zaman gerektrmektedr (Frese, 003). Çarpanlar na ay rma algortmalar lk kamusal-anahtarlama krpto sstem olan RSA n n bulunmas ndan sonra önem kazanm t r. Çünkü günümüzde en yayg n kullan ma sahp a güvenl protokoller genellkle RSA tabanl d r. RSA tabanl br sstemn güvenl se sadece kamusal anahtarlardan br olan çok büyük tamsay n n (örne n 104 bt) çarpanlar na ayr lamamas na ba l d r. Bu nedenle çarpanlara ay rma problem pratkte çok önem kazanm t r (Cormen et al., 00). Bu tezde tamsay lar n çarpanlar na ayr lmas problem ele al nm t r. Fermat n çarpanlara ay rma yöntem ncelenerek yen çarpanlara ay rma algortmalar gel trlm tr. Bu algortmalarda hesaplamalar h zland rmak çn

20 karekök alma ve. dereceden kuvvete yükseltme lemler toplama lem le fade edlm tr. Tez; Gr, 5 Bölüm, Sonuç ve Kaynaklar dznnden olu maktad r. Gr de problemn önemne de nerek genel tan m verlm ve zleyen bölümlern çerkler özet olarak aç klanm t r. knc bölümde Hesaplanablrlk ve Karma kl k Teorsne de nlerek, karma kl k s n flar tan mlanm ve kuramsal say lar teors çn çok öneml olan bt- lem karma kl aç klanm t r. Üçüncü bölümde Say lar Teors le lgl temel blgler, matematksel notasyonlar, teoremler ve algortmalar verlm, bu algortmalar n bt- lem karma kl ncelenm tr. Bölümün sonunda Say lar Teorsnn uygulamalar na de nerek büyük basamakl say lar üzernde artmetk lemler yapablmek çn tasarlanm GMP Kütüphanes Hakk nda Genel Blg verlm tr. Dördüncü bölümde çarpanlar na ay rma problem ayr nt l olarak ele al nm, mdye kadar blnen yöntem ve algortmalar ncelenm, algortmalar n s n fland r lmas yap lm t r. Bölümün sonunda Çarpanlar na ay rma problemn Kuantum blgsayarlarda polnomyal zamanda çözeblen Shor Algortmas na de nlm tr. Be nc bölümde Say lar n Çarpanlar na göre yap s verlm, yen parametreler tan mlanm, bu parametrelern önceden blnen parametrelere göre daha küçük de erler ald gösterlerek, bu parametreler belrlemek çn daha az zaman gerekt varsay larak bu parametrelern hesaplanmas na dayanan farkl algortmalar gel trlm tr. Alt nc bölümde tezde elde edlen sonuçlardan özet olarak bahsedlm tr. Tezn son bölümünde se kaynaklar dzn verlm tr.

21 3. HESAPLANAB L RL K VE KARMA IKLIK Hesaplama teors, uzun y llar boyunca yaln zca matematksel br olgu olarak alg lanm, fzksel br lem olarak dü ünülmem tr. Dolay s yla hep soyut br kavram eklnde ele al nm t r. Hesaplama kavram Turng, Church, Post ve Gödel gb öncüler sayesnde fzksel br altyap ya oturtulmu tur (Nuryev ve Sad kova, 00). Matematktek formalzm algortmk olarak çözülemeyen problemlern ara t r lmas n gündeme getrm tr. Blgsayar teknolojsndek gel meler se, ba ka tür problemlern; lke olarak de l sadece uygulamada zor olan problemlern ö renlmesn öne ç kard (Nabyev, 007). Son y llarda hesaplanablrlk kavram nda en öneml gel me hesaplamalar n kuantum modelnn yarat lmas d r (De Wolf, 1999). Bu bölümde Hesaplanablrlk ve Karma kl k Teorsne de nlecek, karma kl k s n flar tan mlanacak ve kuramsal say lar teors çn çok öneml olan bt- lem karma kl aç klanacakt r..1 Hesaplanablrlk Teors ve Turng Makneler Hesaplanablrlk teors, br blgsayarda sonlu zamanda hang problemlern çözülüp-çözülmeyece n belrler. E er problem bu ba lamda çözen br algortma yoksa, o zaman problem hesaplanamaz demektr. Hesaplanablrlk, blgsayar blmnde öneml br kavramd r. 0. yüzy l ba lar nda, ünlü Alman matematkç Davd Hlbert, herhang br matematksel fadenn do ru ya da yanl oldu unu spatlayacak mekank br prosedür olup olmad sorusunu ortaya att. Hlbert n bu problem, Entschedungs problem olarak blnr. Turng maknes, bu probleme çözüm getrmek amac yla gel trlen, br blgsayar n neler yap p yapamayaca n belrlemeye yarayan, dolay s yla hesaplanablrlk kavram n smule eden, Alan Turng taraf ndan 1936 da tasarlanm matematksel br blgsayar modeldr.

22 4 Klask br blgsayarda hesaplanablen her problem, Turng maknesnde de (etknl e bak lmaks z n) hesaplanablr. Turng maknes hesaplanablrlk kavram na somut br ntelk kazand rm t r.. Karma kl k Teors Karma kl k Teors, genel olarak br fonksyonun ya da algortman n lerl nn hang etknlkte oldu unun ölçütünü belrlemek çn yarat lm t r. Etknlk, blg- lem dünyas nda öneml br kavramd r. Br problemn hesaplanablr olmas n n yan s ra, makul br sürede çözüleblmes de önem ta r. E er br problemn blgsayarda çözümü çok uzun sürüyorsa (örne n; brkaç y l) ya da a r mktarda bellek brm gerektryorsa (örne n; brkaç terabyte), pratkte problem etkn br eklde çözülemez demektr. Yan, problemlern hesaplanablr olmas le etkn olmas tamamen farkl kavramlard r. Br algortman n karma kl n hesaplamak çn kullan lan krterler, algortman n gerçekle trd toplam lem (ad m) say s ve kulland bellek mktar d r. Bu krterler, algortman n grd büyüklü üne ba l olarak de erlendrlrler. Örne n, br algortman n grds N say s ysa, bu N say s n n büyüklü üne (bt say s ; log N ) ba l olarak algortman n gerçekle trd lem say s ndak art mktar, algortman n karma kl n belrlemede kullan l r...1 Klask karma kl k s n flar Algortmalar temelde polnom-zamanl (P-polynomal) ve üssel-zamanl (NP-nonpolynomal) olarak kye ayr l rlar. Polnom-zamanl olan algortmalara ayn zamanda verml (effcent) algortmalar da denlr. Benzer eklde üsselzamanl algortmalara da verml olmayan (exponencal) algortmalar denr. Örnek olarak; de eblen büyüklüktek br grdye sahp olan br A algortmas ele al ns n. Grdnn uzunlu u n olsun; buna ba l olarak algortman n karma kl n n T A (n) fonksyonu le gösterld varsay ls n. T A (n), herhang br n-bt grd çn algortman n en fazla çal ma zaman d r. E er; T A (n) Poly(n)

23 5 ko ulu sa lan yorsa (Poly(n); n e ba ml polnomdur), A polnom-zamanl br algortmad r denr. Aks durumda, A üstel-zamanl br algortma demektr. Algortmalar n karma kl n matematksel olarak Bg-O notasyonu le b göstereblrz. Bu notasyona göre, polnom-zamanl algortmalar O( n ) n ( n log N, b 1) ve üstel zamanl algortmalar da O( b ) olarak fade edlrler (Resel, 1985). Polnom-zamanl br problem çözmek çn gereken zaman, grdnn bt uzunlu unun üssünden daha h zl büyümemeldr. Örne n; k say y çarpma lem polnom-zamanl ken, lerde detayl olarak ele alaca m z br say y asal çarpanlar na ay rma problem çn polnom-zamanl algortmalar blnmyor... Artmetk lemlern zaman karma kl Büyük say lar üzernde lemler yaparken problemn büyüklü ü, gr verlernn boyutu ve temel lemlern de ernn ne olaca n n belrtlmes gerekr. Bu bölümde büyük boyutlu gr denld nde, gr de büyük basamakl say lar n verld (yan s ralama problemndek gb büyük say da say lar de l) anla lacakt r. Buna göre de gr n boyut ölçüsü olarak gr yazmak çn gereken btlern say s göz önüne al nacakt r. E er gr a1, a,..., ak tamsay lar olan algortman n çal ma zaman ( log a1,log a,...,loga k ) göre polnomla (yan gr verlernn klk say sstemnde uzunluklar ndan ba ml polnomla) s n rl se polnom zamanl (polynomal tme) algortma olarak adland r lacakt r. mdye kadar artmetk lemlern (çarpma, bölme, kalan n bulunmas ) brm zamanda yap ld n varsayd k, büyük say lar olmad kça bu varsay m kabul edld, ama büyük say lar üzernde artmetk lemler yap ld nda bu varsay m geçerl olmayacakt r. Bu nedenle kuramsal-say sal algortman n lemler say s bt- lemlerle (bt operatons) ölçülür. Örne n, k - btlk tam say lar n en bast yöntemle çarp m ( ) bt lem gerektrr. Benzer eklde - btlk say n n daha küçük br say ya bölünmes veya - btlk say n n daha küçük br say ya

24 6 bölünmesnden al nan kalan n hesaplanmas ( ) bt lem gerektrr. (standart yöntemlerle) Genelde bast algortmalar optmal olmuyorlar. Örne n, azac k gel trlm, örne n ( parçala ve yönet yöntemn kullanan) algortmalar k - btlk tamsay y çarpmak çn 3 log ( ) bt lem gerektrr. Blnen çarpma algortmalar ndan en ys se ( log log log ) lem gerektrr. (Kobltz N., 1994) Pratkte genellkle bast algortmalar kullan l r, bu nedenle bz çarpma ve bölme lemlernn karma kl n ( ) olarak varsayaca z. Bu tezde hem artmetk lem say s n, hem de bt lem say s n nceleyece z..3 Farkl Tabanlardak Say lar Negatf olmayan her br n say s b taban nda a a dak eklde gösterleblr: ( d d d d ) k 1 k 1 0 b Burada d ler, 0 ve b -1 aras ndak tamsay lardan olu an basamak rakamlar d r. Bu durumda n tamsay s çn n d b d b... d b d k 1 k k 1 k 1 0 yaz lablr. E er brnc basamak d k 1 s f rdan farkl se, o zaman n e b taban nda k basamakl say denr. k b 1 ve k b aras ndak her br tamsay b taban na göre k basamakl say d r. 10 taban ndak say lar çn (yan, b =10) parantez ve ndeks hmal edece z ve klk say sstemnde de anla l r durumlarda bunlar yaz lmayacak. Bazen 10 luk say sstemnden farkl sstemler kullanmak daha yararl oldu undan dolay ba ka tabanda da lemler yapmak ve br tabandan d er tabana geç yapmak gerekr. Notlar: (1) Kesrl say larda herhang br tabana gen letleblr, yan, eklnde gösterleblr. ( d k 1d k d1d0. d 1d ) b

25 7 () b >10 ken 9 dan büyük basamaklar çn harfler kullan lmas na al lm t r. Tüm basamaklar çn de harfler kullanablrsnz..3.1 Basamak say s Daha öncede belrtld gb e er n, k b 1 n b k e tszl n sa l yorsa b taban na göre k basama a sahptr. Logartma yard m yla bunu a a dak gb yazablrz (burada, verlm say n n tamsay k sm n fade etmektedr). Basamak say s = log n logb n 1, logb Burada (ve bundan sonra her yerde) log do al logartma, yan loge anlam na gelr..3. kl lem k klk say n n toplanmas lemn ele alal m; örne n: fade edlen say lar n ksnnde k bt ( bt kelmes bnary dgts kelmesnn k salt lm ekldr). uzunlu unda oldu unu varsayal m. E er say lardan brsnn basamak say s d ernden daha az se az olana soldan gereken say da s f rlar ekleyerek e tleye blrz. Örnekte ele ald m z say lar küçük olmas na ra men k say s n n çok büyük (örne n, 500 veya 1000 gb) olablece n göz önüne almak gerekr.

26 8 Toplama prosedürünün ayr nt l analz: Toplama zaman a a k kez tekrarlamam z gerekr: dak ad mlar 1. Üsttek ve alttak btler ve ayn zamanda yukar da elde olup olmad n kontrol edlr.. E er btlerden her ks de 0 se ve brm geç yok se, o zaman bu basama n toplam nda 0 yaz l r ve sonrak basama a geçlr. 3. E er (a) her k bt de 0 se ve öncek basamaktan brm geç var se veya (b) btlerden br 0 d er 1 ve öncek basamaktan brm geç yok se toplamda 1 yaz l p sonrak basama a geçlr. 4. E er (a) btlerden br 0 d er 1 se ve öncek basamaktan brm geç varsa yada (b) btlerden her ks de 1 se ve öncek basmaktan brm geç yok se, o zaman toplamda bu basamak çn 0 yaz l p, sonrak basmak çn 1 geç yaz l r ve sonrak basma a geçlr. 5. E er btlerden her ks de 1 se ve öncek basamaktan brm geç var se, o zaman toplamda bu basama a 1 yaz l p, sonrak sütun çn geç e 1 yaz l r ve sonrak basma a geçlr. Bu ad mlar n br defa yap lmas na (bt) kl lem (bt operatons) denr. k k -basamakl say n n toplanmas çn k kl lem gerekr. lerleyen bölümlerde daha karma k problemlern de kl lemler eklnde gösterleblece fade edlecektr. Blgsayarda br problem çözmek çn gereken zaman, kl lemlern say s le do ru orant l d r. Elbette orant l l k sabt-bt lem ba na nanosanyelern say s -özellkle blgsayar sstemne ba l d r (Bu br a r sadele trmedr, bellek er m gb yönetmle lgl konular taraf ndan etkleneblr). Br prosedürü gerçekle trmek çn gerekl zaman tahmn bt lemlernn say s çn gerekl tahmnn bulunmas anlam na gelr. Bu tahmnlerde, bellek er m çn gerekl zaman veya bt lemlernn d ndak mant ksal ad mlar hmal edlmeldr. Genellkle, kncs d ernden daha çok zaman al r. md se k -basamakl kl say n n -basamakl kl say yla çarp m prosedürünü ele alal m. Örne n,

27 k -basamakl n kl say s n -basamakl m kl say s yla blnen yöntemle çarpal m. En fazla sat r elde ederz ( m dek her br 0-bt çn 1 sat r daha az elde edlr), burada her sat r n say s n n kopyas n n belrl br mesafe sola kayd r larak olu turuluyor (bu lem, say n n sonuna kayd r lacak basamak say s kadar s f rlar yaz larak veya bo luk b rak larak yap lablr). ' l l sat rlar n n oldu unu varsayal m. kl lemlerle s n rland r ld m z çn tüm sat rlar ayn zamanda toplayamay z, bu nedenle. c sat rdan ba layarak l.c sat ra kadar her sat r yukar dak sat rlar n toplam na lave ederek devam edlr. Aksne, her yen sat ra daha öncek tüm sat rlar n k sm toplam n ekleyerek,. sat rdan -nc sat ra do ru a a ya hareket ettrrz. Her a amada, br öncek a amada ele al nan sat rda n say s n n kaç basamak sola do ru kayd r ld n belrleyece z. Üst sat rlar n toplam n n son sa basamaklar aynen a a ta n p, toplam n kalan basmaklar yukar da yaz lan eklde n say s le toplan r, bu se k kl lem gerektrr. Yukar dak örne nde, lk k sat r n toplam ndan elde edlr, buradan son üç basamak olan 001 a a ta n r ve kalan basamaklar n le toplan r. Böylece toplam n n sonuna 001 eklenerek elde edlr, yan ' l 3 sat r n toplam n al r z. Yukar da anlatt klar m z, çarpma problem l ' 1 say da toplama problem gb ele al na blr, öyle k bunlar n her brnde k kl lem yap l r. ' ' l l l oldu u çn a a dak sade de erlendrmen al n r: 1 Tme (k basamakl say le l basamakl say n n çarp m ) < k.

28 10 Bundan sonra Tme(A), A prosedürünü yapmak çn gereken klk lemlern say s n gösterecektr. kl çarp m çn gereken kl lemlern say s n n de erlendrlmesnde a a daklern vurgulanmas nda yarar vard r: lk olarak, daha önce de belrtld gb, burada yaln zca kl lemler göz önüne al nm, n say s n sola kayd rmak çn gereken zaman ve her etapta toplam n son basamaklar n n a a ta nmas çn gereken zaman göz önüne al nmam t r. Uygulamada, kayd rma ve kopyalama lemler kl lemlerle k yasland nda çok h zl d r, bu nedenle hmal edle blr. D er br dey le, artmetk lemlern zaman de erlendrmes(karma kl n ) kayma, kopyalama, belle e er m ve d er lemlern üst s n r gb belrleneblr. Alt n çzelm k, bu tür zaman de erlendrmesn k -basamakl ve -basamakl kl kesrler çarpmak çn uygulaya blrz. Sadece ek özellk olarak kesrn tam ve kesr bölümlern ay ran vrgülün yer tespt edlmeldr. knc olarak, e er bast ve çal mak çn uygun br zaman tahmn almak styorsak, her zaman en kötü durum göz önüne al nmal d r. Örne n, m nn kl yaz l çok say da s f ra sahp se, o zaman, öneml ölçüde den daha az olacakt r. Yan, tahmn edersek Tme ( k -basamak ve -basamak kl say lar n çarp m )< k. (m say s n n kl yaz l ndak 1 lern say s ) Bununla brlkte, genellkle zaman tahmnmz yle trmede bu hmal edle blr, çünkü bast de meyen br tahmn formülü çn onun fadesnn sadece n ve m nn boyutuna ba l olmas daha kullan l d r. Özel br durum olarak; Tme (k k -basamakl say n n çarp m ) < k Sonunda k çarp m n n zaman tahmn de erlendrmesn n ve m termler le de fade edeblrz: bunun çn basamaklar say s formülünü kullanaca z, yan log n log m k log n 1 1 ve log m 1 1 log log oldu u göz önüne al nacakt r.

29 11.4 Bg-O Kavram n poztf br tamsay olmak üzere f(n) ve g(n) her n de er çn poztf de erler alan fonksyonlar olsun. E er f ( n) c. g( n ) (f(n) her zaman c.g(n) den küçük ) olacak eklde br c sabt var se, f(n)=o(g(n)) bçmnde yada f O( g) bçmnde yaz lablr. Örne n, n 3n 3 O( n ) (yan sol taraf n her zaman 3n den küçük oldu unu spatlamak zor de ldr). n1, n,..., nr ler poztf tamsay lar olmak üzere f ( n1, n,..., nr ) ve g( n1, n,..., nr ) k fonksyon olsun. Her k fonksyon da B den büyük tüm j çn poztf tan ml olsun, öyle C sabt var olsun k, f ( n, n,..., n ) Cg( n, n,..., n ). Bu durumda f, g le üstten s n rl dyeblr ve 1 r 1 r f=o(g) yazablrz. f=o(g) kavram ndak = gösterm daha çok < gösterm gb ve sabt br katsay anlam nda dü ünülmeldr. n ler f(n)derecesdolanvebüyükkatsays poztfolanherhangbrpolnomolsun.o d zaman f ( n) O( n ) dr. herhang br poztf tamsay se(nekadar küçükoldu u öneml de l) log n O( n ) dr. f(n) veya f ( n1, n,..., nr ) fonksyonlar leço uzamangr nveya n 1, n,..., nr grd kümes olan br artmetk prosedürü gerçekle trmek çn gereken lemlern say s n gösterr. Oldukça bast görünümlü g(n) fonksyonlar n üst s n r olarak elde etmek steyeblrz. Ama bu durumda g(n) nn problemn çözüm zaman çn çok abart l de er vermes stenmeyen br durumdur. Daha bast br fadeyle; d f ( n) O( n ) l ks bze f fonksyonunun yakla k olarak n nn d.c kuvvet gb artaca n fade eder. E er k1, k,..., kr btten olu an n1, n,..., nr tamsay lar n çeren br prosedürünü gerçekle tren algortma çn gerekl bt lemlernn say s r O( k k... k ) le s n rl se böyle algortmalara polnomal zamanl algortma denr. d 1 d d 1 r

30 1 3. TEMEL SAYILAR TEOR S NDEN BAZI KONULAR Bu bölümde Say lar Teors le lgl temel blgler, matematksel notasyonlar, temel teoremler ve algortmalar verlm, algortmalar n bt- lem karma kl ncelenm tr. 3.1 Asal Say lar Asal say kavram tam say lar çersnde öneml br yer tutar (Nuryev ve Sad kova, 00). Asal say lar, tam say lar kümesnn yap ta lar n olu tururlar (Nesn, 004). ncelenecektr. Bu bölümde asal say tan m ve asal say lar n baz özellkler Sayma say lar na poztf tamsay lar denr. Bu kümey N 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,... le gösterelm. Yaln z 1 ve kends le tam olarak (yan kalan b rakmadan) bölüneblen 1 den büyük tamsay lara asal say lar denr. Örnek olarak 5, 11 ve 3 ü vereblrz. Asal say lar kümesn P, 3, 5, 7,11,13,17,19, 3,... olarak gösterelm. Ble k Say (Composte Number): Brden büyük, k veya daha fazla çarpan olan poztf tamsay lara ble k say denr. Ble k say lar asal olmayan say lard r. Dkkat edlrse, 1 say s n n sadece br tane poztf bölen vard r, 1 n d ndak her poztf tam say n n en az k tane poztf bölen vard r, bunlar 1 ve kendsdr. 1 say s ne asal ne de ble k say kabul edlr.

31 13 n 1 say s n n ble k say olmas demek 1 a n, 1 b n olmak üzere n a b eklnde yaz lablmes demektr k, 1 say s bu eklde yaz lamaz., 3, 5,17,157 asal ken 6 3, 8, , , say lar ble k say lard r. Teorem 3.1: n olan her tam say ya asald r, ya da asallar n çarp m d r. Teorem 3.: 1 den büyük her tam say n n br asal bölen vard r. Teorem 3.3: (Eucld) : Sonsuz tane asal say vard r. 3. Asal Çarpanlara Ayr l n (Prme Factorzaton) Tekl Bütün ble k say lar kendlernden daha küçük olan tamsay lar n çarp mlar ndan elde edleblrler; örne n, 7 say s 8 le 9 un çarp m ndan elde edlr. Daha küçük olan bu tamsay lara, büyük say n n çarpanlar denr. Bunlar aras nda daha özel olan çarpanlar bulunur; asal çarpanlar. Yukar dak örnekte verlen 8 ve 9 un her ks de asal olmad ndan onlar n her br tekrar çarpanlar na ayr lablr. Çarpanlara ay rma sonucu elde edlen say lar çnde sadece asal çarpanlar kalana kadar çarpanlar na ay rma lem sürdürüleblr. Ble k say olan 7 çn lem fadesne ula l ncaya kadar sürdürülmü tür. Burada üç tane ve k tane 3, 7 say s n n asal çarpanlar d r. Asal çarpanlar özeldr; çünkü her ble k say çn br tane ve sadece br tane asal çarpanlar tak m vard r. Bu nedenle asal say lar, bütün d er say lar n onlar n çarp m yoluyla elde edld atomlard r (veya en küçük parçalard r). Teorem 3.4: Artmet n Temel Teorem (The Fundamental Theorem of Arthmetc): n 1 olmak üzere, her br n poztf tamsay s n p1 p... ps, ( s 1) eklnde p1, p,..., pn asal say lar n n çarp m olarak yaz lablr. Bu yaz l, çarpanlar n s ras göz önüne al nmazsa, tek türlüdür. Bu özell e, poztf tamsay lar n tek çarpanlama (factorzaton) teorem denlmektedr.

32 14 Bu ayr l ekln yenden düzenlemek ve yaln z farkl asallar almak suretyle n p p p (3.1) k1 k kt 1... t yazablrz. Burada k 0 ve p1, p,..., pt farkl asallard r. m=1960 ve n=5775 olsun. m ve n tamsay lar 0 ve n gb ayn asallar n çarp m olarak yaz lablr. m Asal say lar ve özellkler kapsaml olarak lk kez antk Yunanl matematkçler taraf ndan çal lm t r. M.Ö y llar aras nda Pythagoras okulunun matematkçler asal say lar üzernde çal m lar ve asal say lar n temellern ke fetm lerdr (Vnogradov, 1961). Eucld, asal say lar hakk nda brçok öneml sonucu ve artmet n ana teoremn kan tlam t r. Asal say lar konusunda cevap bekleyen brçok problem bulunmaktad r. Henüz çözülemem baz problemler öyledr (Jung, 196): Brbrnden uzakl San s (Twn Prmes Conjecture) olan brçok asal say oldu unu belrten kz Asallar Dörtten büyük her çft say n n k asal say n n toplam edleblece n belrten Goldbach San s (Goldbach s Conjecture) n ve (n+1) aras nda her zaman br asal say var m d r? 0 n 40 olarak fade n n 41 asal say d r. Bu formda ba ka asal say lar var m d r? Ayn soru 0 n 79 durumu çn de geçerldr. çn n n asal say olmas 3.3 Bölüneblrlk Bölme Algortmas : a, b tamsay lar ve a 0 olmak üzere b ac olacak eklde c tamsay s varsa a, b y böler denr ve a b eklnde gösterlr. a ya b nn bölen, b ye de a n n tam kat denr. a b ve 1 a b se a ya b nn has bölen ad verlr. a, b y bölmezse bu durum a b eklnde gösterlr.

33 15 Teorem 3.5 (Bölme Algortmas ): a, b herhang k tam say ve b 0 olsun. Bu takdrde a bq r, 0 r b olacak eklde br tek q, r tamsay çft vard r. Teoremn fadesnde geçen q ya bölüm r ye de kalan ad verlr Bölüneblme ve özellkler Teorem 3.6: Bölüneblmenn a a dak özellkler vard r. ) a 0 olmak üzere a 0 ve a a d r. ) 1 b ) a b se a bc dr. v) a b ve b c se a c dr. v) a b ve a c se a bx cy dr. Bu fade a b se a b1 x1 b x... bn xn eklnde genelle trle blr, 1,,..., n ve x Z. v) a 0 çn ab ac se b c dr. v) 0 a se a 0 d r. v) a b se a b x) a b ve b a se a b x) a b ve a 0 se ( b a) b dr. p br asal say ve a negatf olmayan br tamsay se, p b nn anlam p, p nn en büyük kuvvet b y böler. Mesela, p b fakat p 1 bölmez b dr. Bu durumda p, b y tam böler dyeblrz. Temel teoremn k sonucu (asl nda e de er durumlar) a a özellklerdr. dak bölüneblrlk x) x) E er br p asal say s a.b y bölüyorsa, o zaman p a veya p b dr (her ks de olablr). E er m a ve n a se ve m ve n nn 1 den büyük ortak bölen yoksa o zaman mn a.

34 16 Tek br eklde çarpanlara ay rman n br d er sonucu se, asal kuvvetlernn çarp m eklnde yaz lan n nn tüm bölenlern bulmak çn sstematk br yöntem olmas d r. Mümkün olan tüm bölenlern say s, her br asal kuvvetn olas l klar n n a1 a çarp m d r. (Her br asal kuvvet çn (a+1)) Yan, br... ar n p1 p pr say s ( a 1)( a 1)...( a 1) farkl bölene sahptr. Örne n, 400 ün 48 tane bölen var. 1 r 3.3. En büyük ortak bölen a ve b tamsay lar n bölen d tamsay s na bu k tam say n n ortak bölen denr. a ve b nn her ks de s f r se Teorem 3.3 () den a ve b nn sonsuz say da ortak bölen, en az brs s f rdan farkl se a ve b nn sonlu say da ortak bölen vard r. Bu ortak bölenlerden br en büyü ü olmal d r. a ve b tamsay lar n n ortak bölenlernn en büyü ü d se, d ye a ve b nn en büyük ortak bölen denr ve ( a, b) d veya obeb(a,b) eklnde gösterlr. Benzer olarak a1, a,..., an tamsay lar n n en büyük ortak bölen c se, bu ( a, a,..., a ) c eklnde gösterlr. 1 n ( a, b) 1 se a ve b tamsay lar na aralar nda asald r denr. Daha genel olarak 1 r, 1 j r, j çn ( a, a ) 1 se a1, a,..., ar tamsay lar na k er k er aralar nda asald r denr. j E er a ve b nn asal çarpanlar na sahpsek obeb(a,b) y bulmak çok daha kolayd r. E er her k say da da ayn asal çarpanlar ortaya ç km sa bu asallar n kuvvetlernn en küçü ü al n r. Örne n çarpanlara ayr lm 400 ün çarpanlar n kar la t r rsak, görürüz le obeb(10780, 400) oldu unu

35 17 Br de ara s ra a ve b nn en küçük ortak kat (okek) kullan l r, okek(a,b) le gösterlr. okek(a,b) a ve b nn böldü ü en küçük poztf tamsay d r. E er a ve b nn çarpanlar na sahpsek, o zaman okek(a,b) y her k çarpanlara ay rmada asallar n en büyük üslülern alarak elde edeblrz. okek( a, b) ab / obeb( a, b) oldu unu spatlamak kolayd r. 3.4 Eucld Algortmas En büyük ortak bölen tan m ebob un bulunmas le lgl br metod vermez, verlen a, b tamsay lar n n (a,b) le gösterlen ebob sstematk olarak Eucld algortmas le bulunur. A a da bu metodun nas l uygulanaca gösterlecektr. Verlen a b 0 tamsay lar na Bölme algortmas uygulan rsa, bölüm q 1, kalan r 1 olmak üzere a bq1 r1, 0 r1 b olur. E er r 1 0 se b a olur, ve ( a, b) b dr. E er r 1 0 se b, r 1 çftne Bölme algortmas uygulan r, b rq 1 r, 0 r r1 elde edlr. E er r 0 se lem bter, a, b tamsay çftnn en büyük ortak bölenn bulma lem b, r 1 çftnn en büyük ortak bölenn bulma lemne ndrgenm olur. E er r 0 se r 1, r çftne bölme algortmas uygulan r ve r1 r q3 r3, 0 r3 r elde edlr. Yukar dak dü ünce kalan s f r oluncaya kadar sürdürülür. b r1 r r3... eklnde negatf olmayan tamsay lar n azalan br dzs elde edlr. Bu dz sonsuz olamaz, br k.c ad mdan sonra r k 1 0 olur.

36 18 a bq r 1 1 b rq r 1 r r q r r r q r k 3 k k 1 k 1 r r q r k k 1 k k r r q k 1 k k 1 0 eklnde br denklem grubu elde ederz. S f rdan farkl son kalan olan r k, verlen a, b tamsay lar n n en büyük ortak bölendr. Gerçekten; son denklemden rk rk 1 oldu u, sondan knc denklemden rk rk oldu u, böylece devam edlerek knc ve brnc denklemlerden de s ras le rk b, rk a oldu u görülür. Yne f a, f b se yukar dak denklemler toplulu undak brnc denklemden f rk oldu u görülür, yan ( a, b) r d r. k Eucld Algortmas pseudecode olarak a a dak eklde yaz lablr: Eucld(a,b) 1. f (b=0). then return a 3. else return Eucld(b,a mod b) 4. Teorem 3.7: Eucld algortmas en büyük ortak bölen sonlu br ad m say s nda verr ( a> b ç.). 3 Tme (obeb(a,b) y Eucld algortmas yla bulma) = O(log ( a)) spat: lk ddan n kan t br çok say lar teors ktab nda detayl olarak vard r, bu yüzden argüman sadece özetlenecektr. lk olarak, kalan n n br sonrak ad mdan sonra aç k br eklde azald n görmek kolayd r ve bu yüzden son olarak 0 a ula acakt r. obeb n son kalan n görmek çn obeb n knc tan m n

37 19 kullanablrz. Yan, herhang br say a ve b nn her ksn de bölüyorsa r 1 de bölmeldr, say b ve r bölüyorsa 1 r y de bölmeldr. Böylece son kalan s f rdan farkl olana kadar bölmeye devam etmeldr. D er taraftan, son sat ra kadar çal an son kalan n, tüm öncek kalanlar, a ve b y böldü ünü kolayca göreblrz. Böylece bu son kalan obeb( a, b) olur. Çünkü sadece obeb say s a ve b nn her ksn de böler ve ayn zamanda a ve b y bölen her hang br say taraf ndan bölüneblrdr. (obeb, a ve b y bölen en büyük poztf tam say oldu undan a ve b y bölen d er say lar taraf ndan bölüneblr.) spat m z se zaman tahmndr. Kaç tane bölme lem yapt mdk m z kararla t rma lem temel soru olmal d r. dda edyoruz k kalanlar sadece azalmazlar, oldukça h zl br eklde azal rlar. Daha aç k br eklde Lemma: r r / j j 1 Lemman n spat : lk olarak, e er rj rj 1 rj / se, o zaman rj rj 1 r Bu yüzden rj 1 1 rj oldu unu kabul edelm. Bu durumda br sonrak bölmeden 1 r r r r. rj 1. rj 1 r j ve j j j 1 j md zaman tahmn spat na dönelm. Her k ad mdan tbaren, kalan n büyüklü ünün en az yar s nda sonuç bulunmal, yan kalan 1 den a a dü mez ve en fazla da log a olablr. Bu se O(log a) d r. Her bölme a dan büyük olmayan say lar çerr. Böylece asla O(log a) bt operasyonu yap l r. Böylece stenlen toplam zaman, 3 O(log a) O(log a) O(log a ). Böylece, önerme kan tlanm t r. Teorem 3.8: a b ve d obeb( a, b) olsun. d ax by olacak eklde x ve y tamsay lar vard r. D er br dey le, OBEB, tamsay katsay larla, k tamsay n n lneer brle m eklnde fade edleblr. Ek olarak, x ve y tamsay lar n bulma 3 lem O(log a) bt lem gerektrr.

38 0 Eucld algortmas d gcd( a, b) ax by fadesndek x ve y tamsay katsay lar n n de erlern bulmak çn a a dak eklde gen letleblr: Extended-Eucld(a,b) 1. f b 0. then return ( a,1, 0) 3. ' ' ' ( d, x, y ) Extended Eucld ( b, amod b) 4. a b ' ' ' ' ( d, x, y) ( d, x, y y ) 5. return ( d, x, y) Sonuç 3.1: a b ve a, b aralar nda asal say lar se, 1, a ve b nn lneer brle m eklnde polnomal zamanda yaz lablr, yan O 3 (log ) a bt lem gerektrr. 3.5 Eulern Fonksyonu n 1 olmak üzere n y geçmeyen ve n le aralar nda asal olan poztf tamsay lar n say s n veren fonksyona Eulern Fonksyonu denr ve ( n) gösterlr : ( n) def 0 b n gcd( b, n) 1 le 1 n 16 çn ( n) de erlerne l kn a a dak tabloyu vereblrz. Çzelge 3.1 ( n) fonksyonunun lk 16 de erler n ( n) md n nn br asal ve br asal n kuvvet olmas durumunda ( n) de erlernn nas l bulunaca na l kn teoremler verelm.

39 1 Teorem 3.9: p asal se ( p) p 1 dr. Teoremn ters de do rudur, yan p; ( p) p 1 olacak eklde poztf br tamsay se p asald r. Ayr ca herhang br asal n n kuvvet çn de, ( p ) p p p (1 ) p a a a 1 a Modüler Artmetk (Kongrüanslar) m 0 olan br tamsay ve m a b se a tamsay s b tam say s na m modülüne göre kongrüenttr (denktr) denr ve a b(mod m) eklnde yaz l r. m a b se a b(mod m) yaz l r ve a n n m modülüne göre b ye kongrüent (denk) olmad anla l r. a mq r, 0 r m se r ye m modülüne göre en küçük kalan denr. Daha genel olarak a b(mod m) se b ye m modülüne göre a n n kalan denr. Teorem 3.10: E er a ve b, m modülüne göre ayn en küçük kalana sahpse bu takdrde a b(mod m) dr, bunun ters de do rudur. Sonuç 3.: a b(mod m) a b km olacak eklde k Z vard r. Teorem 3.11: m 0 modülüne göre kongrüans ba nt s br denklk ba nt s d r. A a dak özellkler tan m sayesnde kolayca spatlanablr. 1. () a b mod m ; ; () a b mod m b a mod m; () a b mod m ve b c mod m a c mod m; ()-() klar ndak m denklk modülü, denklk l ks anlam ndad r.

40 . Sabt br m çn, m kongrüans modülüne göre her br denklk s n f yaln zca 0 dan m-1 e kadar olan elemanlarla temsl edlr. Denklk s n flar n n kümes (art k s n flar olarak da adland r l r ), Z / mz le gösterlr. 3. a b mod m ve c d mod m, o zaman a c b d mod m ve ac bd mod m dr. D er br dey le, kongrüanslar (ayn modüle sahp) toplanablr, çarp lablr, ç kar lablr. Z / mz denklk s n flar n n kümes de mel halka olu turur. Kalan s n flar toplanablr, ç kar lablr, çarp lablr ve bu operasyonlar benzer aksyomlar (brle me, de me, tersyle toplanablme ve d erler) sa lar. 4. a b mod m se, her d a çn, a b mod d olur. 5. E er a b mod m ve a b mod n se m ve n aralar nda asald r. O zaman a b mod mn. Teorem 3.1 Fermat n Küçük Teorem (Fermat's Lttle Theorem): p br asal p say olsun, her a tamsay s a a(mod p) denkl n sa lar ve p a olmak üzere her a tamsay s, p 1 a 1(mod p) denkl n sa lar. n m Sonuç 3.3: E er n m mod( p 1) ve p a se a a (mod p) dr. Teorem 3.13 (Euler): ( a, m ) 1 olmak üzere ( m) a 1(mod m) dr Tekrarlanan kare alma yöntemyle modüler üslern hesaplanmas Asall k Testlernde ve RSA krptosstemnde modüler kuvvetlern hesaplanmas çok büyük öneme sahptr. n ve m çok büyük say lar oldu u zaman n b mod m hesaplamak çn tekrar tekrar çarpmak yerne tekrarlanan kare alma yöntem daha h zl eklde çözüme ula t r r. A a da böyle br algortma verlm tr:

41 3 Modular-Exponantaton (a, b, n) 1. c 0. d 1 3. k, k 1,..., 0 b b b - b nn kl eklde yaz l m olsun 4. for k downto 0 5. do c c 6. d ( d d) mod n 7. f b 1 8. then c c 1 9. d ( d a) mod n 10. return d Bu algortman n bt- lem karma kl a a dak gbdr: Tme n ( b mod m) O((log n)(log m)) 3.7 Asal Say Uygulamalar Asal say lar matemat n temel ta lar ndan brdr ve yüzy llard r matematkçlern lgsn çeken br konu olmu tur (Kaya, 1988). Daha küçük çarpanlar na ayr lamaz olmas asal say lar özel k lar. 13 asal say d r ve 13 le 1 n çarp m d r. 13 ü ba ka eklde fade edemezsnz. Ama 1 asal de ldr ve brkaç eklde fade edleblr: 6 veya 4 3. Asal say lar n krptograf ve blgsayar sstemler güvenl le lgl uygulamalar vard r. Bankalar, ATM maknelernde ve nternet üzernden yap lan lemlernde asal say lara dayanan güvenlk protokoller kullan rlar. Asal say uygulamalar güvenl web sayfalar, e-tcaret ve gzllk gerektren e-mal lemlernde kullan l r (Gbln, 1993). Son zamanlarda hesaplanm olan büyük asal say lar matematksel olarak merak edlen say lard r (Granvlle, 199). Asal say bulma yöntemlernn brçok

42 4 pratk faydas vard r. Örne n Slownsk ve Gage taraf ndan gel trlen asal say bulma (prme fnder) program Cray Research1 taraf ndan bütün yen süperblgsayar sstemlernn kalte testnde kullan lmaktad r (Caldwell, 00). Program n çekrdek eleman br say n n karesn bulmay çeren br rutndr. Bu lem devam ett nde sonuçta büyük say lar n çarp m n çerr. Slownsk bu testn blgsayar çn tam br kence test oldu unu fade eder. Slownsk ye göre: Bu program (prme fnder) br sstemn bütün elemanlar n, lemcnn mant ndan belle e kadar derleycy, letm sstemn ve çok leml sstemler (multtaskng systems) test eder. Çok lemcl yüksek performansl sstemler çn sstemn bütün vernn nerede oldu unu zleme kablyet çn harka br testtr. nternet üzernde asal say lar le lgl ayr nt l blg çeren steler (örne n: mevcuttur. 3.8 GMP Kütüphanes Hakk nda Genel Blg Krptolojde kullan lan asal say lar büyük basamakl oldu u çn günümüzde bu say larla lem yap lablmek çn GMP kütüphanes gel trlm tr (Rchard, 1974). GMP, C dlnde yaz lm tamsay lar, rasyonel say lar ve reel say lar üzernde artmetk lemler yapablmek çn tasarlanm ta nablr br kütüphanedr. Brçok uygulama brkaç yüz bt kullanmaktad r, fakat baz uygulamalar bn veya mlyon bte htyaç duyar. GMP her ksne de y br performans vermek çn dzayn edlm tr. Toplama, Ç karma, Çarpma, Üs alma gb lemler kütüphaneye özgü eklde tan mlanm lard r. Ayr ca bu kütüphane say sal lemlern yap lmas çn tasarland na göre say sal brçok lemn de haz r fonksyonlar yaz lm t r. Örne n, fbonacc say lar n n hesaplanmas, Bnom, OBEB, OKEK vb. Kütüphanenn en son versyonu ftp://ftp.gnu.org/gnu/gmp/adresnden ücretsz br eklde ndrleblnr.

43 5 4. ÇARPANLARINA AYIRMA Br zamanlar lg görmeyen alanlardan br olan çarpanlara ay rma çal malar, freleme ve blgsayar güvenl yle lgl oldu u çn bugün matemat n en popüler alanlar ndan brsdr (Resel, 1985). Çarpanlara ay rma problem, p ve q gb k büyük asal say n n çarp m ndan olu an n say s verld nde, p ve q say lar n n bulunmas d r. Asal çarpanlar n bulunmas problem say lar büyüdükçe çok karma k br hal almaktad r (Gbln, 1993). Br say n n asal çarpanlar n n bulunmas onun asall n n ara t r lmas ndan daha çok zaman gerektrmektedr, çünkü, hal haz rda bz, çarpanlar na ay rman n asall k testnden daha karma k oldu unu söyleyeblrz (Frese, 003). Hatta en büyük modern süper blgsayarlarda, en mükemmel algortmalar kullanan blgsayarlar ble rastgele seçlm 00 basamakl br say n makul zamanda çarpanlar na ay ram yor (Nabyev, 007). Bu bölümde önce çarpanlara ay rma le lgl baz teoremler verlm, sonra se blnen algortmalar aç klanm t r. 4.1 Çarpanlar na Ay rma le lgl Baz Teoremler n Teorem 4.1: b herhang br tamsay olsun, her poztf n say s çn, ( b 1) ( b 1) ve n n 1 n ( 1) ( 1)(... 1) b b b b b b dr. Sonuç 4.1: Herhang br b tamsay s ve her m, n poztf tamsay s çn m n m m ( n 1) m ( n ) m m 1 ( 1)(... 1) b b b b b b Bu sonuca örnek olarak, 35 1, ve Yan b, m 5, n 7 veya m 7, n 5olarak ald k taraf ndan bölüneblr.

44 6 Teorem 4.: m le b nn aralar nda asal oldu unu varsayal m. a ve c poztf tam a c say lar olsun. E er b 1(mod m ), b 1(mod m) ve d obeb( a, c) se d b 1(mod m ). n Teorem 4.3: p, b 1 bölen br asalsa, o zaman d () ya p b 1 burada d, n nn öz bölenlernden her hang brdr, () ya da, p 1mod n () E er p ve n tek se, o zaman () p 1mod n eklndedr n! çarpanlar na ayr lmas n n! say s n asal çarpanlar na ay ral m. Aç kt r k, n!, n den büyük olmayan say lar çeryor. n den büyük olmayan asal say lar p1, p,..., pk artan s ras yla gösterelm, n! bu asal say lar n kuvvetlernn çarp mlar eklnde gösterlecek. Aç kt r k, p asal say s n n n! a dahl oldu u kuvvetn üssü, n den büyük olmayan ve p ye bölünen say lar n say s n n toplam, n den büyük olmayan ve p ye bölünen say lar n say s n n toplam, n den büyük olmayan ve bölünen say lar n say s n n toplam ve s. e t olacak. 3 p ye Burada asl nda n den büyük olmayan, p ye bölünen, ama p ye de l, sonrak ad mda p ye bölünen, ama 3 p e de l ve buna benzer eklde sonrak kuvvetlerde hesaplanmal d r. olacakt r. Her br p asal say s n den büyük olmayan a a dak tamsay lar n çnde n p, p,3 p,..., p, p Burada n p - n p nn tam k sm anlam na gelmektedr.

45 7 Benzer olarak, p n,,3,...,, p 3 3 p p p p ve 3 p n 3 p, p,3 p,..., p, 3 p ve s. yaza blrz. gb olacakt r. Buradan anla l yor k, p asal say s n! n dak kuvvet a a dak n n n n..., 3 t p p p p (4.1) Burada t p, p nn n den büyük olmayan en büyük kuvvetdr, yan p t t log log n p. (4.1) fadesn rp le aretlersek n! n asal çarpanlar na ayr l n a a dak eklde yaza blrz. r p r 1 p r p 1 k n! p p... p k. 4. Çarpanlara Ay rma Algortmalar Çarpanlara ay rma algortmalar genel amaçl ve özel amaçl olmak üzere k gruba ayr l rlar. Küçük asal çarpanlara veya özel yap lara sahp tamsay lar n çarpanlar n bulmak çn brçok h zl çarpanlara ay rma algortmas vard r. Bu algortmalara özel amaçl çarpanlara ay rma algortmalar denr. Bu algortmalar n çal ma zamanlar n (çarpanlar na ayr lacak tamsay ) say s n n çarpanlar n n baz özellklerne ba l d r. Bu nedenle bu algortmalar etkn algortmalar de ldr. Çünkü ayn büyüklüktek tamsay lar çn ayn performans vermezler. Genelde krpto sstemlernde kullan lan n say s k büyük asal say n n

46 8 çarp m eklndedr. Bu tp say lara zor say lar (hard number) denr. Özel amaçl çarpanlara ay rma algortmalar zor say lar çn etkszdrler. Bast Bölme, Pollard s rho, Pollard p-1, Ellptc Curve Method ve Say Eleme Alan özel amaçl çarpanlara ay rma algortmalar ndan baz lar d r. Bu algortmalar n aksne, çal ma zamanlar sadece n say s n n büyüklü üne ba l olan algortmalar vard r. Bu algortmalar ayn büyüklüktek çarpanlar na ayr lacak say lar çn hemen hemen ayn performans verrler. Böyle algortmalara genel amaçl çarpanlar na ay rma algortmalar denr. Zor say lar çarpanlar na ay rmak çn genel amaçl çarpanlara ay rma algortmalar kullan lmas gerekmektedr. Pratkte blnen en y genel amaçl çarpanlar na ay rma algortmalar, Quadratc Seve (QS) algortmalar ve Number Feld Seve (NFS) algortmas d r (Contn and Patrck, 1997). QS algortmalar kullan larak çarpanlar na ayr lan en büyük say 19 basamakl br say d r. (RSA-19) (Stepenson,1996) y l nda NFS metodu kullan larak 130 basamakl br say çarpanlar na ayr lm t r. (RSA- 130) (Brent, 000). NFS algortmas n n QS algortmas na göre daha y performans verd görülmü tür. Günümüzde NFS metodu kullan larak 130 la 160 basamakl say lar n çarpanlar bulunablmektedr (Brent, 1990) Bast bölme Bast bölme özel amaçl çarpanlara ay rma algortmalar ndan brdr. Bu algortmada n nn potansyel bölenler d,3, 4,... a a dak durumlardan br sa lanana kadar uygulan r. (1) E er 1 d n se, n asal br say d r. () E er d n ve d n se, d n nn bölenlernden brdr. (3) E er d önceden belrlenen s n r B y 1 B n geçerse, o zaman n nn asal çarpanlar ndan br B den büyük denr (p>b). Bu algortmay daha etkn hale getrmek mümkündür. E er n tek br say ysa, sadece tek d de erler çn n nn çarpanlar aran r. D er br yol se, n nn

47 9 asal çarpanlar sadece 1 n den küçük asal say lar olaca ndan d de erler bu say lardan seçlr. Fakat bu yöntemde gerekr. 1 n den küçük asal say lar n bulunmas 4.. Fermat n çarpanlara ay rma yöntem Teorem 4.4: n 1 tek tamsay s n n asal olmamas çn gerek ve yeter ko ul, p, q Z ve n q p çn q p 1 olmas d r. Yan, n poztf tamsay s bze verlp, Fermat Çarpanlara Ay rma Yöntem le çarpanlar na ay rmam z stend nde e er n asal de lse; mutlaka n q p olacak eklde uygun br çözüm vard r. Dolay s yla, n p de er tam kareye e t olanadek n say s na, 1 den ba layarak s ras yla 1,,...,( q p) / ye kadar tüm say lar n kares tek tek eklenr. Bu lem tam olarak ( q p) / devam eder. n q p olsun. O halde, p q q p n olur. Yan; p q q p n p q q p ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( p pq q ) / 4 ( q pq p ) / 4 (( p pq q ) ( q pq p )) / 4 ( p pq q q pq p ) / 4 ( pq pq) / 4 4 pq / 4 p q p q q p Böylece, n p q oldu unu gösterm olduk.

48 30 Bu durumda çözüm çn q p fadesn e tl n sa taraf na geçrrsek, e tlk n q p p q eklnde yaz lablr. Bu durumda algortman n tek yapmas gereken 1 den ba layarak brer brer say lar n karesn almakt r. q p de erne kadar tek tek tüm n 1 tam kare m? (Hay r) n tam kare m? (Hay r) n q p tam kare m? (Evet) Sonuç olarak n asal olmad sürece 1 den ( n 1) / ye kadar tüm p de erler kontrol edlerek çözüme ula l r. Bu durumda RSA algortmas nda ald m z p ve q asallar ne kadar büyük olursa olsun, de erler brlerne ne kadar yak n se n o kadar k sa sürede çarpanlar na ayr l r Polard n heurstk algortmas Pollard s rho algortmas özel amaçl çarpanlara ay rma algortmalar ndand r. Küçük çarpanlara sahp say lar çn uygulan r (Pollard, 1975). Burada f : S S rastgele br fonksyon olsun. Burada S, r elemanl sonlu br kümedr. x 0, S kümesnn rastgele br eleman d r. Pollard s rho algortmas nda a a dak eklde br terasyon kullan l r. x ( x 1) mod n 1

49 31 Bu prosedür rekürsf ba nt ya dayan yor ve x0, x1, x,... gb br dz olu turuluyor. S kümes sonlu oldu u çn bu dz ennde sonunda kendn tekrar etmek zorundad r. Pollard RHO(n) x1 RANDOM (0, n 1) 3. y x1 4. k 5. whle TRUE 6. do 1 7. x ( x 1) mod n 1 8. d gcd( y x, n) 9. f d 1ve d n 10. then prnt d 11. f = k 1. then y x 13. k k Pollard s rho algortmas x0, x1, x,... dzsndek çft olan x de erlern bulmaya çal r. Bunun çn Floyd s cycle-fndng algortmas kullan l r. Bulunan x de erlernn obeb( y x, n) 1 bze n nn asal çarpanlar ndan brn verr Pollard 1 algortmas Pollard 1 algortmas özel amaçl çarpanlara ay rma algortmalar ndan brdr. Bu algortman n temel fermat teorsne dayan r. p 1 a 1mod p (0 < a < p, p asal) Farzedelm p n nn asal çarpanlar ndan br ve E de p -1 n katsay s olsun. O zaman Fermat teoremne göre

50 3 E p obeb( a 1, n) E yazablrz. Bu durumda obeb( a 1, n) n nn çarpanlar ndan brn verr. p blnmed çn, p 1 n bütün asal çarpanlar rastgele seçlen B gb br s n r e de ernden küçük olduklar kabul edlr ( q B n ). O zaman, E, çarp m olur. E er p E q lern 1, B den daha büyük br asal çarpana sahpse, algortma ba ar s z olur. E er n küçük asal say lara bölünüyorsa bu algortma oldukça etkn br algortmad r. Bu algortmay paralel uygulamak oldukça güçtür. Çünkü E nn hesaplanmas ser algortma gerektrr (Brent, 1990) Sürekl kesr metodu a0, a1,..., an reel say lar, a1, a,..., a n poztf olmak üzere fadesne sonlu sürekl kesr denr. x a 0 a 1 a a 1 x x n br rrasyonel say oldu unu varsayal m. E er bz.c terme kadar olan aç l m uygularsak, x çn sürekl kesrn. yak nsakl olarak adland r lan b / c rasyonel say s n elde ederz: b a.... c a a a a a Sürekl kesrlerden stfade etmekle çarpanlara ay rma algortmas lk olarak, b 1 1, b0 a0 n ve x0 n a0 olu tural m. hesaplayal m ( b0 n olacak olan). Sonra =1,, çn s ras yla, b 0 mod n 1. a1 1 x 1 ve sonra x 1 x a 1 y olu tural m.

51 33. b ab 1 b y olu tur. ( mod n de kalan) 3. b (mod n) hesapla. Brçok çn bu lem yapt ktan sonra, ad m3 tek küçük asallar n çarp m n n çarpanlar ndan br olan say lara bak. b (mod n) n brden fazlas nda bulunan asallardan -1 çeren çarpanlar (ve ya b (mod n) den sadece brnde br çft kuvvet bulunan) B taban na alal m. Sonra bütün brlern ve s f rlar n kar l k geld b (mod n) say lar n yan B-say lar n ve berabernde vektörlern lstele. E er mümkünse toplamlar s f r yapan vektörlern br alt kümesn bul. b b y olu tur. ( mod n de çal l r ve 0 lar n alt kümesnn üstünde br çarp m al n r) p j c p j, j ler B nn elemanlar (-1 harç) ve j 1 a j (toplam, nn ayn alt kümesn çerr) d r. E er b c(mod n) se, 0 sa layan nn ba ka br alt kümes ncelenr. E er nn herhang ba ka br alt kümesn bulmak olas de lse daha çok a, b ve b (mod n) y hesaplamaya devam etmel ve gerekyorsa B taban çarpanlar n gen letmelyz Elptk e r yöntem Ellptc Curve Algortmas (Ellptc Curve Method (ECM) 1985 y l nda H. W. Lenstra taraf ndan bulunmu tur (Lenstra, 1986). ECM özel amaçl çarpanlara ay rma algortmalar ndan en etkn olan d r (Atk n and Moran, 1991). Asl nda ECM Pollard p-1 algortmas n n genelle trlm haldr (Brent, 000). Pollard p-1 algortmas multplcatve grup * Z p düzenndedr. ECM ta e er br Zp düzenl grup seçeblrsek, o zaman Pollard p-1 algortmas ndak hesaplamalar * Z p grubu yerne Zp ellptc curve grubu üzernde yapablrz. E er p nn tüm asal çarpanlar önceden seçlen B gb br s n r de ernden küçükse o

52 34 zaman n nn çarpanlar ndan brn bulablrz. Aks takdrde yen br grup seçlr ve n nn çarpanlar ndan br bulunana kadar devam edlr (Lenstra, 1995). Krptograflar ad na elptk e rlere artan lgnn öneml br neden, brçok aç dan önceden blnenlerden daha y br çarpanlara ay rma yöntem elde etmek çn Lenstra taraf ndan elptk e rlern kullan m d r (Lenstra, 1987). Lenstra yöntem Ble k br tek n tamsay s verlm olsun ve 1 d n olacak eklde d n a kar olmayan br çarpan bulmak steyelm. P ( x, y) noktas yla beraber, katsay lar tamsay olan 3 E : y x ax b elptk e rsn alal m. (E,P) çft rastgele br yolla üretlr. Brazdan aç klanaca gb, n çarpanlar na ay rmak çn E ve P y kullanmay denerz; e er te ebbüsümüz ba ar s z olursa, ba ka br (E,P) çft al r z ve bu yolla br d n çarpan bulana kadar devam ederz. E er ba ar s zl k olas l 1 se, o zaman h say da ard k seçlm (E,P) çftlernn ba ar s zl k olas l büyük h ler çn çok küçük olan h olacakt r. Böylece, çok yüksek br olas l kla makbul say da denemelerde n çarpanlar na ay raca z Say eleme alan Say eleme alan (Number Feld Seve (NFS))algortmas QS algortmalar le ayn temele dayan r. NFS algortmas hem özel amaçl (SNFS) hemde genel amaçl (NFS) olmak üzere k eklde de kullan lablr. SNFS algortmas e a b (a ve b küçük tamsay ) yap s ndak say lar çn oldukça etkndr. ECM ta dahl d er hçbr özel çarpanlara ay rma algortmas bu yap dak say lar çn etkn de ldr. SNFS algortmas kullan larak çarpanlar na ayr lan en büyük say 1999 y l nda 11 basamakl br say d r (Brent, 000). Genel amaçl NFS algortmas, SNFS metodun mant ksal olarak daha gen letlm haldr. NFS algortmas genel olarak üç k s mdan olu ur. Bunlar 1)