- 1 - VIII. ULUSAL FİZİK OLİMPİYATI İKİNCİ AŞAMA SINAVI-2000

Transkript

1 - - VIII. ULUSAL FİZİK OLİMPİYAI İKİNCİ AŞAMA SINAVI-000 R R. Yarıçapları R olan iki çbr, hr zaan birbirlrin dokunacak şkild düşy düzld bulunaktadırlar. Kütlsi yarıçapı ihal dilck kadar küçük bir top bu iki çbrl lastik çarpışalar yaparak priyodik harktin da tktdir. opun yörünsi çbrlr yatayla açısı yapacak şkild dokunaktadır. a) opun ontuunun yatay bilşni, çbrlrin hrhani birin hr çarpışada, p x kadar dğişkt is; hani açısı için p x aksiu olur? b) opun çbr çarpadan öncki hızı olsun. -, çok küçük bir açı olak üzr iki liit duruu inclyiniz. Hr iki liit duruu için hızının yaklaşık iadlrini türtiniz. c) opun çbrlr arasında dalarca tkrarlanan harkti sürsinc çbrlrin birbiri il tas durularının bozulaası için rkli olan yatay düzldki ortalaa kut F ort () diyli. Hr iki liit duruu için F ort () nın yaklaşık iadlrini türtiniz. Not: sin, cos- ibi küçük açı yaklaşılarını b) c) şıklarında kullanabilirsiniz.. Yoğunluğu olan bir parçacık bulutu kütlsi M yarıçapı R olan bir yıldıza doğru hızı il yaklaşaktadır. Yıldızın kütlsinin artış hızı ndir? Burada yıldız il çarpışaya uğrayan parçacıkların yıldız taraından yutulduğunu arsayınız.. Uzun silindir şklindki bir kurşun kalin kütlsi uzunluğu olup, kütl hoojn olarak dağılıştır. Kali asa üzrin dik olarak koyup srbst bırakalı. Kal düşrkn statik sürtün katsayısına bağlı olarak açısının kritik bir dğrindn itibarn, ucu başlanıçta koyuş olduğuuz noktadan kayaya başlar. Kaya olduğu durular için sürtün katsayısı il açısı arasındaki ilişkiyi östrn iadyi türtiniz. Sürtün katsayısının aksiu dğri n olabilir bu koşulda kal hani açı dğrlri için kayar?. a) 00 C sıcaklığında bulunan,0 k su 0 C sıcaklığında bulunan kütlsi çok büyük olan buz kalıbı rilktdir. Buz il su arasında trsinir bir ısı akinsi il, sudan alınan ısı, sistdn iş alınaayacak durua lincy kadar, buza rilktdir. Bu işldn sonra suyun sıcaklığı ndir? N kadar buz riiştir? Isı akinsi taraından n kadar iş yapılıştır? b),0 k suyu dondurabilk için rkli iniu kanik işi kurasal olarak hsaplayınız. Suyun trataki haanın ilk sıcaklığı t o 5 C dir. c) 0 C dki 0 k su, -0 C sıcaklığında bulunan bir dpo il tasta tutularak -0 o C dki buza dönüştürülüştür. Bu işl sabit basit basınç altında yapılış olup, suyun bu sabit basınç altında ısı kapasitsi c s 80 J/k.K, buzun c k 090 J/k.K, buzun ri özısısı L,.0 5 J/k olduğuna ör, rnin ntropisi n kadar dğişiştir? S S k h 5. Yüzy alanları S olan iki düzl plakadan oluşan kondansatörün alt plakası yatay düzldki yalıtkan bir asa üzrind bulunaktadır. Üst plaka is, başlanıçta asadan h kadar yükskt alt plakaya parall olarak duracak şkild taandan yay sabiti k olan bir yay il asılıştır. Bu kondansatör bir pil bağlanarak U oltajı il yüklndiktn sonra pil drdn çıkarılaktadır. (Yükln sırasında üst plakanın yrinin dğişdiğini arsayınız). Kondansatörün plakalarının birbirin dğsi için yayın yay sabitinin dğri n olalıdır? (h<< S kabul diniz). 6. İltkn çapı b olan bir tldn yapılış dairsl halkanın çapı, özdirnci özkütlsi dir. Bu halka yrdn yükskliği h olan bir noktadan srbst bırakılakta düşrkn B z B o (+kz) iadsi il riln dğişkn bir anytik alan tkisi altında kalaktadır. Burada k bir sabittir. Halka düzli hr zaan z ksnin dik olan x-y düzlin parall kalaktadır. Haa dirncini ihal drk halkanın liit hızını bulunuz. Yrçkii isi riliyor.

2 Odak uzaklığı, çapı olan yakınsak bir rck a uzaklıktaki noktasal bir cisin rçk örüntüsünü b uzaklığında bulunan bir il üzrind noktasal olarak oluşturaktadır. Cisi bulunduğu noktadan daha uzak (a ), ya da daha yakın (a ) bir yr yrlştirildiğind noktasal cisin örüntüsü aynı kran üzrind d çaplı bir dair olarak oluşaktadır. Cisin, örüntüsünün çapının n azla d olası şartı il, bulanabilcği aralığa, yani a -a uzaklığına bu rcğin alan drinliği adı rilktdir. a) Bu duruda alan drinliğinin iadsini a,, d A cinsindn bulunuz. Burada A karanın örcli açıklığı olup A olarak tanılanır. b) a, d büyüklüklri sabit kalak koşulu il kara rcğinin çapını dğiştirrk alan nişliği aksiiz dilbilir i? Cabınız; t is bu çap dğrini bulunuz, hayır is açıklayınız.

3 - - VIII. ULUSAL FİZİK OLİMPİYAI İKİNCİ AŞAMA SINAVI ÇÖZÜMLERİ-000. a) op birinci çbr çarpıp ri döndüğü andaki hızının bilşnlri x y olsun. iğr çbr idn kadar çn sür y t yatay yönd alınan yol is x tr(-cos) olur. İki bilşn arasındaki ilişki y x tan olarak yazılabilir. Buradan x Rcot ( cos) ; y R tan ( cos) Montu dğişii p x x Rcot ( cos) açısına ör tür alıp alınan tür sııra şitlnirs cos -cos+0 dnkli ld dilir. Bu dnklin köklri sayısal olarak çözülbilir. Bu köklr 5 cos cos0,68 cos istniln çözü dğildir.( Çünkü 0 x 0 olur) O hald diğr kök çözü olup 5 için p x aksiu olacaktır. b) 0, sin, cos-, kullanılırsa x Rcot ( cos) Hızın dğri x+ y olduğuna ör, R 0 - duruunda is; R ; y R tan ( cos) R Hızın dğri x+ y olduğuna ör, R x Rcot ( cos) R ; y R tan( cos) c) Ortalaa kut için R p F ort () x t yazabiliriz. Burada t çarpışalar arasında çn sürdir. Buradan F ort ().t x cot y 0 duruu için F ort ()cot olup topun hızı sııra yaklaşırkn, yatay yöndki ortalaa kut sonsuza yaklaşaktadır, çünkü çarpışa rkansı çok yüksktir. - duruunda is F ort ()cot0 olup topun hızı sonsuza yaklaşırkn, yatay yöndki ortalaa kut sııra yaklaşaktadır.

4 - -. Yıldız çki kuti saysind çok uzakta bulunan tanciklri kndisin doğru çky başlar. Yıldızın tki alanına irn tanciklr yıldız taraından yutulur. ' b Yıldıza doğru hiç sapadan harkt dn tanciklrin M blirttiği doğrudan blirli b uzakta bulunan tanciklr bu tki alanına irktdir. Bu tanciklr yıldızdan çok uzakta oldukları için nrji korunuu yasası ' M R - R açısal ontu korunuu yasası b R olarak yazılabilir. Buradan b (b) M ; MR - ; b R R R R nişan hatası olarak bilinir. Nişan hatasından daha küçük sadn çn tanciklr yutulur. Kütlnin artış hızı dm MR R dt n. Kal düşrkn statik sürtün kayasını önlr. Kayanın başlanıcında nrji kaybı yoktur. Enrji korunuu yasasından sin J + ; J kaya anına kadar kalin kazandığı açısal hız N y ( sin ) a a n Kalin asaya tas ttiği noktaya ör ont G x alırsak kalin kazandığı açısal iyi bulabiliriz. cos cos F s MJ, Kayanın başladığı anda (açıda) kütl rkzinin tğtsl noral ilri cos ( sin ) a ; an olur. Yatay diky yöndki ilrin bilşnlri is ( sin )cos ( sin sin ) a x a sin-a n cos ; a y a cos+a n sin olarak yazılabilir. Kal tki dn kutlr ağırlık G, tpki N sürtün F s kuti is ( sin ) ( sin )cos N- -a y ; N ; F s Na x yazabiliriz. Blirli bir kritik kr açısında dik kut statik sürtündn kaynaklanan aksiu kut N şit olduğunda kaya başlayacaktır. Buradan ( sin )cos ( sin ) Bu iadnin türi alıp sııra şitlrsk ( 6 sin sin )( sin ) 6( sin )( sin ) 0 ( sin ) -sin -7sin+8sin +8sin-8sin -+sin 9 0; sin ; 5,9; s 0,7 Yani bu için 0<<5,9 olduğu sürc kaya özlnir. N0 duruunda is 0 9,5 olaktadır. Sürtün katsayısını bulak için kal parall kal dik olan tğt noral koordinatları da kullanabiliriz. F s cos+ Nsin-sin -a n F s sin+cos-ncosa ; F s N Buradan aynı sonuç çıkar.

5 C C dq dq da a) Isıtıcının ısı kapasitsi sonlu, soğutucunun ısı kapasitsi sonsuz olarak kabul dilbilir. Isıtıcının sıcaklığı sürkli olarak dğişktdir. Maksiu işi bulabilk için ısıtıcıdan sonsuz küçük dq ısısı alınarak, ısı akinsi il sonsuz küçük da işi yapılıp soğutucuya sonsuz küçük iktarda dq ısı aktarılarak kapalı pross yapıldığını kabul dli. Bu sonsuz küçük pross için ısıtıcının sıcak-lığının olduğunu bu sıcaklığın sabit kaldığını kabul dbiliriz. Bu yapılan sonsuz küçük kapalı prosslrin Carnot prosslri olduğunu kabul dbiliriz. Carnot prossinin rii ; 0 K 7 K; 7 K olarak riliyor. Burada 0 K suyun ilk kaynaa sıcaklığı, is buzun ri sıcaklığıdır. Suyun son sıcaklığı buzun sıcaklığına şit olur. Vrii ısıtıcıdan sist riln ısı sistdn soğutucuya riln ısılar cinsindn d yazabiliriz. da dq dq dq dq İki iadyi karşılaştırılarak dq dq Mc ; - s d dq yazılabilir. Isıtıcının sıcaklığı sürkli azaldığı için dq -C d -Mc s d olarak yazılabilir. Buradan buza riln ısı Q - Mc s k d Mc s k d Mcs ln K J Eritiln buz kütlsi Q M b,06 k Lbuz ısıtıcıdan alınan ısı Q c s ( k - )8 000 J yapılan iş WQ -Q J b) Miniu iş WW +W olarak yazılabilir. Burada W suyun sıcaklığını 0 98 K dn 7 K indirk için yapılan iş, W suyu buz halin tirk için yapılan iştir. (M k) W Q -Q Mc s ( 0 - )-Mc s ln J Buz halin tirilirkn buzun ortaın sıcaklığı sabit olduğu için dq dq Q Q ; Q ; 0 ML 0 Q ; W Q -Q ML J 0 topla iş W5 000 J olarak bulunur c) Sistdn ısı çıktığı için ntropi azalır. Suyun sıcaklığı 9 K dn, 7 K kadar sonra da 6 K kadar düşktdir. (M0 k) Mc sd -Mc s ln -955 J/K ML - - J/K Mc kd -Mc k ln -757 J/K d dponun ntropisi ısı ala sonucu artar [Mc s ( - ) ML Mc k ( d opla ntropi dğişii d 77 J/K )] 667 J/K

6 Pil bağlandığı zaan kapasitör plakaları +q -q yüklri il yüklncktir. Yük SU qcu 0 h olup üst plaka alt plaka taraından oluşturulan lktrik alanı altında FqE kuti il aşağı doğru çkilcktir. Burada E bir plakanın oluşturduğu lktrik alandır. Plaka boyutu h tan çok büyük olduğu duruda lktrik alanını düzün yüklniş bir sonsuz plakanın yarattığı alan olarak kabul dbiliriz; q U E 0 0 S h F kuti üst plakayı aşağı çkrkn yay rilck olup yayın tkidiği kut plakanın yr dğiştir iktarına bağlı olacaktır. kütlli plaka dn duruu traında haronik salını yapaya başlayacaktır. F+F k Salını harktinin nliğin A drsk, A<0,5h için plakalar birbirin dokunazlar. Kut F k k(x+a), olup dn duruunda kx yazılabilir. Buradan F F+kxk(x+A); A k olur. Kısıtlaa şartından F h < k yay sabiti için F qe k> 0SU h h h bulunur. 6. Halkanın düşsi sırasında indükt diliş..k d db - -S dt dt z d dz kb - kb 0-0 B dt (z) akan akı kb 0 kb 0b R R 6 y R S x t b b olur. Bu akıın oluşturduğu anytik dipol onti kb 0b kb 0 b p S 6 6 bu dipol ontin tki dn kut B Fp z kb 0 b k B0 b kb 0 z 6 6 ağırlık kutin şit olalıdır. Ağırlık kuti d b olarak yazılabilir. Buradan liit hız 6 k B0 Soruyu nrji analizindn d çözbiliriz. Biri zaanda kaybttiği ısı nrjisi k B0 b P ısı R 6

7 olur. Ağırlık kutinin kazandırdığı üç b P olur. Halka liit hızı il harkt diyorsa iki üç birbirin şittir. k B0 b b 6 Buradan hız için aynı sonuç çıkar. Gnl çözü d k B dt 0 6 d d dt; C C ( C Ct ) 0 b d k B0 b ; - -C dt 6 t dt ; ln 0 C -Ct 7. a) Mrck orülündn ilk duru için a + ; b a b a yazabiliriz. İkinci duruda b a b + ; a a b b şklin otrisindn b b d, b b b d d olup b b a a b b d ba d Üçüncü duruda + d a b b ; a b şklin otrisindn a b b b d, b b b d olup b b a b d ba d Alan drinliği b b db a -a - ba d ba d (ba ) d a(a ) da db A d (a ) (b ) d b) Maksiu ya da iniu araştırak için a -a iadsinin y ör türini alıp sııra şitlliyiz. ( a a) db (b ) d db {[(b ) d ] (b ) } db [(b ) d ] - 0 [(b ) d ] [(b ) d ] Yani bu duruda tür yoktur. Bu dnklin payındaki trilrin hpsi poziti olduğundan bu dnkli sııra şitlyck hrhani bir dğri bulak ükün dğildir. Yani a,, d sabit tutularak rck çapını dğiştirrk alan drinliğini aksiiz tk ükün dğildir.