e sayısı. x için e. x x e tabanında üstel fonksiyona doğal üstel fonksiyon (natural exponential function) denir. (0,0)

Transkript

1 DERS 4 Üstl v Logaritik Fonksionlar 4.. Üstl Fonksionlar(Eponntial Functions). > 0, olak üzr f ( ) = dnkli il tanılanan fonksiona taanında üstl fonksion (ponntial function with as ) dnir. Üstl fonksionun tanı küsi R, görüntü küsi (0, ) dur. ( ) = f f ( ) = f ( ) =, > 0 f ( ) =. 0 < < Üstl fonksionun azı özlliklri: -ksişii (0, ) dir. -ksni ata asitottur. ( > is, için 0 ; 0 < < is, için 0.) > is, artarkn d artar; 0 < < is, artarkn azalır. = +, a a ( ) =, ( a) = a = =,, = = ; 0 is, a = a =.

2 saısı. + için. + Hr > için < < 3 ; = taanında üstl fonksiona doğal üstl fonksion (natural ponntial function) dnir. ( ) f = Ugulaa : Bilşik Faiz(Copound Intrst). A = P + t P : Yatırılan para, anapara, sra, kapital (Principal). r : faiz oranı (intrst rat). Ondalık ksir olarak ifad dilir. : irlştir aralığı (copound intrval). Yılda kaç kz irlştirildiği. t : zaan. A : dön sonu iktar, irikili dğr (final aount). Örnk. 000 YTL, %0 faiz oranı il hr a irlştirilrk 0 ıl faizd kalırsa, ulaştığı dğr n olur? Hr a irlştirildiğindn, =. Arıca, P = 000 v t = 0. Bölc r YTL olur. 0. A = = Bilşik faiz forülünd, t r A = P + r = i : dönsl faiz oranı (rat pr copounding priod), t = n : topla dön saısı (toal nur of copounding priods) alınarak u forül içiind ifad dililir. ( i) n A = P +

3 Örnk. 000 YTL, %0 faiz oranı il hr üç ada ir irlştirilrk 0 ıl faizd kalırsa ulaştığı dğr n olur? Hr üç ada ir irlştirildiğindn, = 4, i = 0./4 = Arıca, n= t = 4.0 = 40. Bölc, YTL olur. A = 000 ( ) 40 = Bilşik faiz forülünd, A = P + r t hr an irlştir apıldığı düşünülürs, sürkli ilşik faiz ddiğiiz faiz türü ld dilir. Bu duruda olacaktır. için A nın liit dğrini lirlğ çalışalı. için r olduğu; ölc rt t r r + + = r r rt v uradan için A P rt dilir: A = P rt. olduğu görülür v sürkli ilşik faiz forülü ld Sürkli Bilşik Faiz(ContiniousCopound Intrst). Faizd ulunan anaparanın faizi il hr an (anlık) irlştirildiği faizlrdir. A = P rt P : Yatırılan para, anapara, sra, kapital (Principal). r : faiz oranı (intrst rat). Ondalık ksir olarak ifad dilir. t : zaan. A : dön sonu iktar, irikili dğr (final aount). Örnk. 000 YTL, sürkli ilşik faiz v %0 faiz oranı il 0 ıl faizd kalırsa ulaştığı dğr n olur? YTL olur. (0.)0 A = 000 = 78

4 Faizl ilgili forüllriizi ir arada görli: ( rt) A = P + Basit Faiz t A = P + + r = P( i) Bilşik Faiz n A = P rt Sürkli Bilşik Faiz 4.. Logaritik Fonksionlar (Logarithic Functions). Üstl fonksionların tanıına va grafiklrin aktığıız takdird, tanı küsinin tü rl saılar küsi R, görüntü küsinin d (0, ) olduğu v hr (0, ) rl saısının da ir v alnız ir R nin görüntüsü olduğunu görürüz. Başka ir dil, hr (0, ) için = olan ir v alnız ir R vardır. Vriln ir (0, ) için = olan R saısına nin taanında logaritası (logarith of to th as ) dnir v = log azılır. Bölc = log = = log dnkli il tanılanan log fonksionuna taanında logarita fonksionu (logarithic function to th as ) dnir. Bu fonksionun tanı küsi (0, ), görüntü küsi R dir. Bu tanıdan görülür ki, ğr (u, v) noktası taanında logarita fonksionunun grafiği üzrind is, (v, u) noktası da taanında üstl fonksionun grafiği üzrinddir; v karşıt olarak, ğr (u, v) noktası taanında üstl fonksionun grafiği üzrind is, (v, u) noktası da taanında logarita fonksionunun grafiği üzrinddir. Diğr andan, (u, v) v (v, u) noktaları = doğrusuna gör sitrik olduğundan, üstl v logaritik fonksionun grafiklri = doğrusuna gör sitriktir. (v,u) (u, v)

5 = =, > = log, > =, 0 < < = = log, 0 < <

6 = log = tanıı üzrind irkaç alıştıra apalı = log 4 6, =? ; 6 = 4, = 3 log = 3, =? ; =, = log 00 =, =? ; 00 =, = 0 taanında logaritik fonksiona doğal logarita fonksionu (natural logarithik function) dnir v log = ln azılır. Bölc, 8 = ln = Logarita fonksionunun azı özlliklri: -ksişii (, 0) dır. log = 0 log = = log M = log M log ( MN) = log M + log N M log = log M log N N p log M = plog M. log M = log N M = N Grafik, > için artan ; 0 < < için azalandır Logaritik Dnkllr. Örnk. 3 log 4 log 8 + log = log, =? 3 3 log log 3 + log = log 3 log log + log = log 3 log = log log = log = 4.

7 Örnk. ( + ) = log 6,? log + log0 0 0 = ( ( ) ) log 6 ( + ) = = 0 log0 + = 0 ( + 3)( ) = 0 {, 3}. Burada -3, logarita fonksionunun tanı küsi içind ulunadığından, vriln dnklin çözü küsi {} dir Üstl Dnkllr. Örnk. 0 =, =? = log 0 log 0 rin log d azılır. Örnk. ( + ) = 7, =? = = 0 = ( + 3)( ) = 0 {, 3} Faiz Hsaında Şidiki Dğr Kavraı. Blli ir faiz oranı il lli ir zaan sonunda ulaşacağı dğr, ani glcktki dğri ilinn paranın u günkü dğri. Örnk. Basit faizl, ıllık faiz oranı %6 is, ir ıl sonunda hsaınızda 00 YTL olailsi için u gün ankaa atıranız grkn iktar n kadardır? Çözü. Vriln dğrlr (A = 00, t =, r =0.06) asit faiz forülünd rin konursa 00 A = P( + rt) 00 = P( ) = (.06) P P = YTL..06 ld dilir. Örnk. Yıllık irlştiriln ilşik faizl, faiz oranı %6 is 0 ıl sonunda hsaınızda 00 YTL olailsi için u gün ankaa atıranız grkn iktar n kadardır? Çözü. A = 00, t =0, =, r = 0.06 dğrlri forül rlştirilirs t r A = P + 00 = P + = (.06) P P = (.06) YTL.

8 Örnk. Faiz oranı %6 is, sürkli ilşik faizl ir ıl sonunda hsaınızda 00 YTL olailsi için u gün ankaa atıranız grkn iktar n kadardır? Çözü. Vriln dğrlr (A = 00, t =, r =0.06) forüld rin konursa rt A = P 00 = P P = = YTL Örnk(İki Katlana Zaanı). Faiz oranı % olan ir atırı sürkli ilşik faizl n kadar zaan sonra iki katına ulaşır? Çözü. Sürkli ilşik faiz forülünd A = P, r =0.0 alınırsa ( 0.0) t ( 0.0) r t t A = P P = P = ln = (0.0) t ln t = ln ıl. Örnk. Faiz oranı % olan ir atırı ıllık irlştirilrk ilşik faizl n kadar zaan sonra iki katına ulaşır? Çözü. Bilşik faiz forülünd A = P, =, r =0.0 alınırsa A = P + r t 0.0 P = P + = ln ln = t ( ln (.0) ) t = ln t t (.0) (.0) ıl. Örnk YTL parası ulunan ir kişi 8 ıl sonunda, YTL lik ir v satın alailk aacıla u paraı sürkli ilşik faizl ankaa atırak istior. Faiz oranı n olursa u kişinin istği grçklşir? Çözü. Sürkli ilşik faiz forülü il A = P r t 0000 = 0000 r 8 = 8r ln ln = 8r ln r =

9 Prollr 4. Vriln fonksionun göstriln aralık üzrind grafiğini çiziniz. a) 5, [, ] 5 = ) = ( ), [, ] c) = 5, [, ] d) = 5 +, [, 3]. Aşağıdaki ifadlri sadlştiriniz. a) ( 4 ) 3 ) 3 4 c) (.4) (3 ) 3. Vriln fonksionun grafiğini çiziniz. a) = + ) = + c) = d) = 4. Aşağıdaki dnkllri çözünüz. a) 0 3 = ) 4 5 = 4 6 c) 3 + = 0 d) 5 ( ) = ( ) YTL, % dn hr a irlştirilrk faizd kalırsa, 0 ıl sonunda kaç YTL ulaşır? YTL, %.38 sürkli ilşik faizl ankaa atırılırsa, 7 ıl sonunda kaç YTL olarak gri dönr? 7. Düna nüfusu aşlangıçtan itiarn 830 ılında ilara; 00 ıl sonra, ani 930 ılında ilara v 60 ıl sonra da 3 ilara ulaşıştı. 995 ılında düna nüfusu 5.7 ilar olarak tahin diliordu. Düna Bankası, 994 ılında, 995 tn 030 ılına kadar, düna nüfusunun sürkli irlştirilk üzr, %.4 oranında artacağı tahinind ulundu. Buna gör, a) 995 ılını aşlangıç ılı, ani 0, alarak, 995 tn 030 a kadar olan sürd düna nüfus artışını ifad dn ir dnkl azınız.

10 ) Yazdığınız dnkli kullanarak düna nüfusunun 00 ılında v 030 ılında aklaşık olarak (örnğin, üz inlr rtsind) n olacağını tahin diniz. 8. Hsap akinsi kullanadan,, va dğrlrini ulunuz: 4 = a) log 3 = ) log 0 4 c) log 4 = d) log 9 = 3 9. Logarita fonksionunun özlliklrini kullanarak, aşağıdaki ifadlri ükün olduğu kadar daha asit logaritalar cinsindn azınız. a) 5 log ) log ( 3 0. ) 3 c) log0(67 0 ) 0. i ulunuz. a) log = log 8 + log 9 log 6 3 ) log + log( 4) = log c) log0 ( + ) log0( ) = d) ln ( ) + ln ( + ) = ln (). Aşağıdaki dnkllrin hr irinin grafiğini çiziniz. a) = ln ( ) ) = + ln ( ) c) = ln d) = ln. Yni vli ir çift glckt ir v sahii olak için grkli ödlri apak üzr 8 ıl sonunda YTL sahii olak istiorlar. Bu aaçla, ail akınlarının düğün hdisi olarak vrdiği YTL paraı sürkli ilşik faizl ankaa atırağa karar vriorlar. Faiz oranı n olalı ki, 8 ıl sonunda istklri grçklşsin? ( ln alınız)