HİBRİT ÖLÇÜMLERLE HEDEF KESTİRİM ALGORİTMASI TASARIMI

Transkript

1 Hibit Hdf Kstiim Algitması asaımı HAVACILIK VE UZAY EKNOLOJİLERİ DERGİSİ EMMUZ 14 CİL 7 SAYI (13-11 HİBRİ ÖLÇÜMLERLE HEDEF KESİRİM ALGORİMASI ASARIMI Suzan KALE* Rktsan A.Ş. skal@ktsan.cm.t Ali ük KUAY ODÜ, Havacılık v Uzay Müh. Bölümü Gliş aihi: 3 Mayıs 14, Kabul aihi: 3 Hazian 14 ÖZE Bazı güdümlü füzld, hdf dai bilgil (pzisyn/hız/ivm, aayıcının hnüz hdf kilitlnmdiği duumda çalıştıılan aasafha güdüm algitmalaında kullanılmak üz, y sistmind bulunan ada taafından ölçülk/hsaplanaak vibağı yluyla füzy iltili. Vibağı iltiminin tminal fazda sümsi duumunda, bu bilgil aynı zamanda tminal fazda tanımlı ili güdüm yöntmlinin uygulanması v güdüm pfmansının attıılması için kullanılabili. Bu çalışmada, aayıcı v ada taafından sağlanan faklı fkansladaki ölçüml, Extndd Kalman Filtsi tabanlı kstiim yöntmiyl tümlştiilmişti. 3 byutlu füzhdf kinmatiğini yansıtan küsl kdinat sistmind tanımlı sistm mdlind, hdfin ivmlnmdiği vasayılmıştı. Bu çalışmanın snucunda, hdf kalan msaf v yaklaşma hızı kstiimi ld dilmişti. Anahta Kliml: pasif kstiim algitması, Extndd Kalman Filtsi, kalan msaf kstiimi DESIGN OF ARGE SAE ESIMAION ALGORIHM WIH HYBRID MEASUREMENS ABSRAC In sm missil systms, th infmatin abut th tagt (psitin/vlcity/acclatin which is masud/calculatd by gund ada systm is tansfd t th missil via an up-link. his infmatin is thn utilizd in midcus guidanc algithms until th sk lck-n is accmplishd. If th cmmunicatin btwn th gund ada and th missil sustain till tminal phas, this infmatin can b usd in advancd tminal guidanc algithms in d t nhanc th guidanc pfmanc f th missil. In this pap, sk and ada masumnts with diffnt sampling fquncis a intgatd by Extndd Kalman Filt basd stimatin algithm. h systm is dfind in pla cdinat fam flcting th 3D missil-tagt kinmatics and th tagt is assumd t mv with cnstant spd. As a sult f this study, th stimatin f ang t-g and clsing vlcity is btaind. Kywds: passiv stimatin algithm, Extndd Kalman Filt, ang-t-g stimatin 1. GİRİŞ Bazı füz sistmlind hdf dai bilgil, aayıcının hnüz hdf kilitlnmdiği duumda çalıştıılan aasafha güdüm algitmalaında kullanılmak üz, y sistmind bulunan ada taafından ölçülk/hsaplanaak vibağı yluyla füzy iltili. Vibağı iltiminin tminal fazda sümsi duumunda, bu bilgil ayni zamanda tminal fazda tminal güdüm pfmansının attıılması için kullanılabili. Litatüd, ada sistmindn v pasif aayıcıdan snkn bi şkild vi alındığı vasayılaak, h iki ölçüm katzyn kdinat sistmind ifad diln * Sumlu Yaza 13 sistm mdli kullanılaak, Extndd Kalman tabanlı algitma il tümlştiili. Ancak gçkt, füz üzind bulunan pasif aayıcının ölçüm sıklığı, y sistmind bulunan adaın ölçüm sıklığından çk daha yükskti. Bu sbpl, ada sistmindn ölçüm glmdiği duumda, hdf kstiimi yalnızca pasif algılayıcıdan ld diln bilgil il yapılmaktadı. Pasif kstiimi il ilgili litatüd y alan çalışmaladan ([1], katzyn kdinat sistmind ifad diln sistm mdli il çalıştıılan Extndd Kalman tabanlı kstiim algitmasının kaasız davanış göstdiği bilinmktdi. Sistm mdli küsl kdinat cinsindn ifad dildiğind is, filtnin kaalı lduğu tspit dilmişti []. Küsl kdinatlada ifad diln filtnin kaalı lmasının

2 Hibit Hdf Kstiim Algitması asaımı sbbi; "kvayans çökmsi" (İng. cvaianc cllaps laak adlandıılan pblmin luşmasını önlmk amacıyla, gözlnbiln v gözlnmyn duum dğişknlinin sistm mdlind bibiindn ayılmış lmasıdı []. Bu sbpl, bu çalışmada da adadan vi alınmadığı zamanlada pasif kstiimin kaalı davanış sgilmsi için, sistm mdli küsl kdinatlada tanımlanmıştı. az l Bildii şu şkild düznlnmişti: İkinci bölümd; pasif v hibit ölçümll il luştuulan Extndd Kalman tabanlı hdf kstiim algitmasının tasaımı sunulmuştu. Üçüncü bölümd is bu algitmanın pfmansı önk snayla üzindn göstilmişti.. HEDEF KESİRİM ALGORİMASI Bu bölümd, Extndd Kalman tabanlı hdf kstiim algitmasının matmatiksl mdli sunulmuştu..1. Duum Dğişknli Rf []'d küsl kdinatlada ifad diln v Byutlu düzlmd tanımlı mdlin duum dğişknli; GH (Göüş hattı, İng. lin f sight açısal hızı, GH açısı, kalan msafnin tsi v yaklaşma hızının kalan msafy anıdı: y / 1/ Bu çalışmada, füz-hdf kinmatiğini daha gçkçi bi şkild yansıtmak amacıyla, pblm 3 byutlu düzlmd mdllnmişti. Yni duum dğişknli is şu şkild sçilmişti: y 1 3 / 1/ (1 - ls / 1 3 l az : Göüş hattı vktöünün, y ksn takımına gö açısal hızıdı. Buada, açısal hız vktöü y ksn takımında ifad dilmişti. - l & az : Göüş hattının y ksn takımına gö yantasynunu blitn sapma v yunuslama Eul açılaıdı. Açılaın göstimi Şkil 1'd vilmişti. - : Füz-hdf GH vktöünün büyüklüğüdü. - : Füz-hdf GH vktöünün büyüklüğünün zamana gö dğişimidi. Şkil 1. Füz-hdf gmtisi v GH açılaı... Sistm Mdli Dnklm 1'dki duum dğişknli için tanımlı sistm mdlinin çıkaımı, Ekl bölümünd yapılmıştı. Dnklm 1 il viln sistm mdlinin, Kalman uygulamasında kullanabilmsi için ksikli zaman düzlmin aktaılması gkmktdi. Ksikli zamana dönüşüm, Eul intgal vasayımı il şu şkild yapılmıştı: y y f( y, a g ( y, a ( k k1 k1 k1 k1 k1 k1 Bu dnklmd, GH vktöünün y gö ivmsi (a sistmin gidisidi v sabit hızlı hdf vasayımıyla, füznin (y ksn takımında ifad diln ivmsinin ksi dği laak alınmıştı: a a t am. Füz-hdf kinmatiğini yansıtan sistm mdli, katzyn kdinat sistmind dğusal ikn, (Dnklm 1'daki gibi küsl kdinat sistmind ifad dildiğind dğusal lmayan bi hal almaktadı. Extndd Kalman algitmasında kvayans zaman güncllmsind kullanılan sistm matisini (A ld tmk amacıyla, Dnklm d viln sistm mdli dğusallaştıılmalıdı. Dğusallaştıma işlmi, h zaman güncllmsi tafında şu şkild yapılmıştı: A k1 gk 1( yk 1, ak 1 y k 1.3. Ölçüm Mdli.3.1. Pasif Ölçüml Bu çalışmada, füznin üzind gimballi kızılötsi bi aayıcının bulunduğu vasayılmıştı. Gimballi yapıdaki aayıcıla kilitli mdda, aayıcı işlmcisind gömülü lan hdf takip algitmalaının üttiği kmutla dğultusunda, gimbal sistmindki lktik mtlaı v dönüölçli kullanaak, hdfin göüntüd talanmasını; başka bi dyişl, kamanın füz-hdf göüş hattı (GH vktöüyl aynı 14

3 Hibit Hdf Kstiim Algitması asaımı dğultuya glmsini sağla. akip döngüsü idal bi şkild işldiğind, aayıcı kmplsinin üzind bulunan nkdlin ölçtüğü açı; füznin hdf lan bakış açısı ( Şkil dki ε açısı lmaktadı. Şkil. Bakış, GH v gövd açısı göstimi (Plana yunuslama düzlmi. Buna k laak, bu tip sistmld, Oansal Syüsf Güdüm (OSG tabanlı algitmalaın uygulanması için ihtiyaç duyulan GH açısal hız bilgisi; gimbal dönüölç çıktılaı/stabilizasyn döngüsü kmutlaından ld dili. Dönüölç ölçümli v stabilizasyn döngüsü kmutu GH ksn takımında ütildiği için, bu vilin kullanılmasıyla bulunan GH açısal hız bilgisi d yin aynı ksn ( ls takımında ifad ( dilmişti. ls / Ölçüm mdlinin kamaşıklığını n az sviyd tutmak amacıyla, ölçüm laak nkd açısı yin GH vktöünün y gö açısı ( l & az alınmış v GH açısal hız ölçümünün d y ksn takımında ifad dildiği ( ls / vasayılmıştı. Algitmada ölçüm laak alınan GH açılaı ( l & az aşağıdaki yönlim ksinüs matisindn ld dilmktdi. ( ls, ( b, ( bls, C C C ( ( ( ( ( ( b, C R3 R R1 ( bls, C R3 az R l Buada, az & l ; sapma v yunuslama nkdli taafından sağlanan bakış açısı ölçümlidi. Füznin Eul açılaının (φ,θ,ψ is hatasız laak hsaplandığı vasayılmıştı. Buna gö, ölçüm dnklmi v mdli aşağıdaki gibidi: Buada, ölçüm güültüsü Gauss (nmal,n dağılımına sahip, talama dği sıfı, kvayansı is R p lan astsal bi güültü laak mdllnmişti: vk ~ N, Rp, Rp diag(,,,, Ölçüm kvayans matisind, GH açısının v açısal hızlaının bütün ksnld şit blisizlik dğind ( & ölçüldüğü vasayılmıştı..3.. Hibit Ölçüml Bu çalışmada, ada sistmindn ölçüm laak kalan msafnin alındığı vasayılmıştı. Dnklm 1 da viln sistm için, kalan msaf ölçüm ( m laak dahil dildiğind, ölçüm mdli dğusal lmayan bi hal alı. Daha snadan yapılacak dğusallaştıma işlmind, dğusallaştımadan kaynaklanan hatayı n aza indigmk amacıyla; adadan alınan ölçüm kalan msafnin tsi (1/ m lacak şkild mdllnmişti. Buna gö, pasif ölçüml k laak ada ölçümünün d dahil dilmsiyl, hibit ölçüm mdli aşağıdaki gibi lu: z I55 5 Ch k I1 6 1 ls/ l az 1/ Rada taafından ölçüln kalan msafnin ölçüm hatası laak alındığında, 1/ cinsindn hata ( aşağıdaki gibi bulunabili: 1/ 1 1 (1/ 1 1/ Hatanın blisizliği is h iki taafın standat sapmasının alınmasıyla, 1 1/ şklind ld dilbili: Snuç laak, güültü matisi v güültü aşağıdaki gibi mdllnmişti: H diag(1, y h k 16 6 k ~, h, h diag(,,,,, v N R R ls/ l az z z C y H v I x I v k pk k pk k 55 5 k 55 k 15

4 Hibit Hdf Kstiim Algitması asaımı.4. Hibit Algitma Yapısı a y g( y, a (, A kk 1 k1 k1 k1 gk 1 yk 1 k1 ak 1 k 1 y k1 k1 P A P A kk 1 k1 k1 k1 k1 C Cp, z zp R R, H H 1 k k k1 k k k k1 k k k k K P C C P C H R H y y K ( z C y, kk kk 1 k k k kk 1 Pk I KkCk Pk I KkCk p kk 1 1 Kk HkRkHk Kk y C Ch, z zh R R, H H h y kk h p zk, Ck, Hk, Rk Şkil 3. Hibit kstiim algitması. 1/ m Kstiim algitmasında önclikl, dğusal lmayan sistm mdli çalıştıılı. Kalman algitması Extndd tabanlı lduğu için, sistm mdli h adımda dğusallaştıılaak, kvayans matisi güncllmsi gçklştiili. Bu çalışmada, zaman güncllmsi 1Hz'd yapılmaktadı. Daha sna, aayıcıdan alınan pasif ölçümll 1Hz'd, aayıcı v adadan alınan ölçüml il.5hzd ölçüm güncllmsi yapılı. Algitmanın Hibit kstiim laak adlandıılmasının sbbi, algitmanın hm pasif (1Hz d hm d aktif (.5Hz d kstiim mantığıyla çalışıy lmasıdı..5. Algitma İlklndimsi - Duum 1-5: Algitmanın duum dğişknlindn lan GH açısal hızı v açısı ( ls/, l v az algitmaya ölçüm laak da alındığından, bu dğişknlin ilk dği, algitmanın çalışmaya başladığı zaman adımında alınan ölçümlindn ld dili. Dlayısıyla, ilk dğin blisizliği d ölçüm blisizliğin şitti. - Duum 6: Kalan msafnin büyüklüğünün zamana gö dğişimi, füz-hdf bağıl hızının GH vktöü üzindki bilşnidi: Vt V m. Bu bilşnin algitmadaki ilk dği, sıfı hdf hızı vasayımı yapıldığında, aşağıdaki gibi lmaktadı. V m ( Füznin GH vktöü üzindki hız bilşni, katzyn kdinat sistmindki bilşnli cinsindn aşağıdaki gibi yazılı. V cs V cs +V sin V sin m l x az y az z l Bu dğin blisizliği ( is, füznin btaaf tmsi bklnn hdfin talama hızı laak sçilbili. Önğin, tanksava füzli için, hdf hızı füznin hızına gö ihmal dilbili lduğundan, blisizlik küçük tutulmalı, ancak bi hava savunma füzsi için bu dğ 3-5 m/s civaında sçilmlidi. Bunun yanısıa, altıncı duum dğişkni yaklaşma hızının kalan msafy lan anı lduğu için, ilk dğdki blisizlik şu şkild bulunabili. ( / / Bu dnklmin standad sapması, 1 / laak ld dili. (3 - Duum 7: Kstiim algitmasının çalıştıabilmsi için gkli ön kşul; aayıcının hdfi tspit dk hdf kilitlnmiş lmasıdı. Bu duum, güdüm algitmasının füzyi aayıcı göüş açısı sınılaına (FOV gick şkild yönlndiildiği vaysayımı il, nmal kşullada kilitlnm mnzilind gçklşi. Bu sbpl, algitmada kalan msafnin ( ilk dği laak, aayıcının hdfi tspit ttiği mnzil (lck-n-ang, LOR alınabili. ik laak blilnbiln bu dğin, kötü hava kşullaı vs. sbbiyl tstl snucunda tik dğindn n kada saptığı blilnk, kilitlnm msafsinin blisizliğind kullanılabili. Dnklm 3' bnz bi duum, kalan msafnin tsi lan duum dğişkni için d çıkaılabili; /. Snuç laak, duum dğişkni v kvayans matisinin ilk dği; ls/ l az m LOR LOR y ( ( ( V ( / 1/ P diag LOR LOR laak atanmıştı. 1 1 Rada ölçümü, kstiim algitması çalıştıılmadan önc alınabildği duumda, kalan msafnin v blisizliğin ilk dği bu ölçüm il atanı. 16

5 Hibit Hdf Kstiim Algitması asaımı Yüksklik [m] 3. ÖRNEK BENZEİM KOŞUMLARI 3.1. Pasif Kstiim Bnztimli Bu bölümd, önk snayla üzindn yalnızca pasif algılayıcıdan alınan ölçümll uygulanan hdf kstiim algitmasının snuçlaı sunulmuştu Gözlnbililik Rf [3]'t pasif kstiim pblmi için gözlnbililik kiti çıkaılmıştı. Bu çalışmaya gö, kalan msaf kstiimi, gözlmcinin (bu duumda füznin hhangi bi manva yapmadığı duumlada gözlnbili dğildi. Füz manva yaptığında is, kstiim algitmasının gözlnbililiği v dlayısıyla pfmansının attığı bilinmktdi. Bu çalışmada, füz yöüngsi gözlnbililiğ bağlı ptimiz dilmmişti. Gözlnbililiğin tkisini göstmk amacıyla, önk laak Şkil 4'd viln yöüngl sçilmişti: N=1 imanma (a km = imanma-syi Mnzil [m] Şkil 4. Önk yöüngl. 1. Yöüng:Kstiim pblmi, GH açısal hızı sıfılandığında gözlnbili dğildi [3]. Bu sbpl, önk laak uygulanan Oansal Syüsf Güdüm kanununda, N katsayısının dği 1 laak sçilmişti. Bu yöüng hdfin sabit bakış açısı il takip dilmsin yl açacaktı.. Yöüng: Füz bu yöüngd, ilk açısını kuyaak sabit bi açıyla tımanmaktadı. Y çkimi ihmal dildiğindn, füzy hhangi bi ivm kmutu vilmmişti. 3. Yöüng: Füz bu yöüngd, ikinci yöüngy bnz bi şkild sıfı ivm çkk sabit bi açıyla tımanmaktadı. Ancak buada faklı laak, 1 m mnzil ulaşıldığında, füzy syi manvası yapacak şkild ivm kmutu vili. abl 1. Önk simulasyn paamtli. P ( m 5 m P t ( 4 15 Vt ( t m/s ( V m 7 cs(1 -sin(1 m/s LOR 3 m 1 m 5 m/s.1 /s.3 Şkil 5 v Şkil 6't, kstiim algitmasının snuçlaı sunulmuştu. Kalan Msaf [m] Şkil 5. N=1 v tımanma yöünglind kalan msaf kstiimi. Şkil 5't, Rf [3]'t çıkaılan gözlnbililik kitllin uygun laak, füznin tımanma yöüngsind hhangi bi manva yapmaması sbbiyl, kstiimin gözlnbili lmadığı göstilmişti. Kstiim çıktısı, ilk dğ laak atanan kalan msaf il yaklaşma hızının ilk dğinin sistm mdlind intgallnmsi snucunda ld dilmişti. Bunun yanısıa, kalan msaf duum dğişknin vayansı da ilk dğini kumaktadı. Şkil 6'da tımanma manvasına k laak, tımanmasyi yöüngsi sıasında yapılan kstiim snuçlaı göstilmişti. Buadan, syi manvası gçklştiildiği sıada, kstiimin gözlnbili lduğu v gçk dğin yakınsadığı anlaşılmaktadı. m R gck (N=1 R kalman (N=1 R gck (a km = R kalman (a km = Önk snaynun v kstiim algitmasının paamtli abl 1'd vilmişti. 17

6 Hibit Hdf Kstiim Algitması asaımı R gck (a km = R kalman (a km = R gck (S Kalan Msaf [m] R kalman (S Dt/ [1/s] gck Kalman A Kalman B Şkil 6. ımanma v tımanma-syi (ts yöünglind kalan msaf kstiimi Mdllm fakı Litatüdki pasif kstiim algitmalaında, GH açısal hız vktöünün ilk lmanı (ω 1 diğlin gö küçük lduğu vasayımıyla yk sayılmaktadı. Bu çalışmada, ω 1 mdl dahil dilmişti. Ölçüm yalnızca ω v ω 3 lduğu duumda mdl dahil diln (KALMAN A v dahil dilmyn (KALMAN B algitmalaın snuçlaı Şkil 7 v Şkil 8'da vilmişti. Bu bölümdki önk bnztimd, bi öncki kşuma gö yalnızca hdfin knumu v hızı dğiştiilmişti: P ( t, V ( 3 t t Yunuslama ksnind, güdüm katsayısının dği öncki bölümdki gibi 1 laak alınmıştı. Sapma da is, katsayısı 3 laak sçilmişti. Snuçladan anlaşılacağı üz, önk laak viln snay için, ω 1 dahil dilmyn duumda, kstiim hatası atmaktadı. Bunun sbbi sçiln snay için, Şkil 9'd göstildiği gibi ω 1 'in dğinin diğ ksnldki dğl gö ihmal dilbili lmamasıd. Kalan Msaf [m] gck Kalman A Kalman B Şkil 7. Kalan msaf kstiimind W 1 'in tkisi. GH acisal hizi [d/s] Şkil 8. Yaklaşma hızı/kalan msaf kstiimind W 1 'in tkisi Şkil 9. GH açısal hız. 3.. Hibit Kstiim Bnztimli Snay v algitma paamtli abl 'd viln önk bnztimd, adadan (algitma çalışmaya başladıktan 1.1 sn sna.5hz, aayıcıdan is 1Hz'd vi alındığı vasayılmıştı. Hibit kstiim algitmasında, kstiim adadan ld diln kalan msaf ölçümü il iyilştiilmktdi. İyilştimnin pfmansını bi önk üzindn göstmk amacıyla, pasif algılayıcıdan ld diln GH açısı v açısal hızının güültüsü yüksk tutulmuştu. abl. Snay paamtli. P t ( 5 15 Vt ( t 1 R 5 m.1 /s w 1 w w 3.1 m/s m 18

7 Hibit Hdf Kstiim Algitması asaımı Kalan Msaf [m] gck pasif hibit C (, ls (5 Y ksn takımından GH ksn takımına lan dönüşümlin sıası, az 1 l ls Şkil 1. Hibit algitması kalan msaf kstiimi. 4. SONUÇ Bu çalışmada, 3 byutlu füz-hdf kinmatiğini yasıtan v küsl kdinat sistmind tanımlı sistm mdli il, aayıcı v ada taafından sağlanan faklı fkansladaki ölçüml, Extndd Kalman Filtsi tabanlı kstiim yöntmiyl tümlştiilmişti. 5. EKLER Bu bölümd, sükli zamanda tanımlı dğusal lmayan sistm mdlinin çıkaımı sunulmuştu. Gnl laak, sükli zamanda tanımlı sistm mdli y f ( y, a şklind ifad dili. Sistmin davanışını tanımlayan f ( ya, fnksiynunun çıkaılması için, sistm duum dğişknlinin zamana gö tüvi bulunmalıdı. Duum 1-3: Göüş hattı vktöünün y ksn takımına gö açısal hızı vktöl laak şu şkild ifad dili: V ls/ Bu vktöün y ksn takımına gö tüvinin alınmasıyla, sistm mdlinin ilk üç difansiyl dnklmin ulaşılı: d a ls/ ls/ dt (4 Bu dnklm y ksn takımında ( yazıldığı için, bütün vktöl bu ksn takımında ifad dilmlidi. Buada, ; füz-hdf GH vktöü, a is GH vktöünün y ksn takımına gö ivmsidi. Y ksn takımında tanımlı GH hattı vktöü, GH (ls ksn takımından şu şkild tütilmişti. il göstilmktdi. Bu sıalamaya gö, GH ksn takımında tanımlı bi vktöün y ksn takımındaki ifadsini bulmak için kullanılan yönlim ksinüs matisi aşağıdaki gibidi. C ( ls, csaz sin az csl sin l sin az csaz 1 1 sinl cs l Snuç laak, Dnklm 4 asin l a3csl sin az / ls / a1sin l a3 cs az cs l / ls / (6 cs a cs a sin / l az 1 az halini alı. Bu dnklmd, kalan msafnin büyüklüğü dnklmin paydasında y almaktadı. Daha sna bu paamty bağlı yapılacak lan dğusallaştıma işlmini basitlştimk için, duum dğişkni laak kalan msafnin ( yin kalan msafnin tsi (1/ kullanılmıştı []. Duum 4-5: GH vktöünün y gö yantasynunu yansıtan l v az açılaın tüvli, dğudan il ilişkilidi: C ls / C az ( ls, ( ls ( ls ( ls, ls / ls /1 1/ l Yukaıdaki şitliktn, yunuslama v sapmadaki GH açılaın tüvi, açısal hız cinsindn Dnklm 7'dki gibi bulunu. l cs( az 1sin( az tan( cs( sin( az 3 l 1 az az (7 Duum 6: Yaklaşma hızının kalan msafy anı lan 6.duum dğişkninin zamana gö tüvi şu şkilddi: d dt 19

8 Hibit Hdf Kstiim Algitması asaımı Yaklaşma hızının tüvi, GH ksn takımında ( ls tanımlı GH vktöünün ( y ksn takımına gö iki k tüvinin alınmasıyla luşan aşağıdaki dnklmdn ld dilbili. C a ( ls, ( ls ( ls ( ls ( ls ls/ ls/ ( ls ( ls ( ls ( ls ls/ ls/ ( ls Buada; (8 lması sbbiyl, Dnklm 8'in ilk satıından, / aşağıdaki gibi bulunu: / ( 3csl 1csaz sin l sin az sin l ( csaz 1sin az ( a cs cs a cs sin a sin / 1 az l l az 3 l (9 Snuç laak, sükli zamanda tanımlı dğusal lmayan sistm mdli, Dnklm (6, (7 v (9'undan şu şkild bulunu: y7asin y4 a3cs y4sin y5y1y6 y7a1sin y4 a3cs y5cs y4yy6 y7cs y4acs y5 a1sin y5y3y 6 ycs( y5 y1sin( y5 y y3 tan( y4 y1cs( y5 ysin( y5 (1 - y6( y3cs y4 y1cs y5sin y4 ysin y5sin y4 ( ycsy5 y1sin y5 y7( a1cs y5cs y4 acs y4sin y5 a3sin y4 yy KAYNAKLAR [1] Aidala, V. J., "Kalman Filt Bhavi in Baings-Only acking Applicatins," IEEE ansactins n Aspac and Elctnic Systms, Vl. AES-15, July 1979, pp [] Aidala, V. J., and Hamml, S. E., "Utilizatin f Mdifid Pla Cdinats f Baings-Only acking," IEEE ansactins n Autmatic Cntl, Vl. AC-8, Aug. 1983, pp [3] Nadn, S. C, and Aidala, V. J., "Obsvability Citia f Baings-Only agt Mtin Analysis," IEEE ansactins n Aspac and Elctnic Systms, Vl. AES-17, July 1981, pp ÖZGEÇMİŞLER Suzan KALE ODÜ Havacılık Mühndisliği Bölümü ndn 9'da mzun lduktan sna, Rktsan A.Ş.'d iş başlamıştı. Buada, Güdüm v Otpilt asaım biimind haln çalışmaktadı. Yüksk lisans çalışmalaı is haln sümktdi. Yd. Dç. D. Ali ük KUAY 1996 v 1999 yıllaında ODÜ Havacılık Mühndisliği Bölümü ndn lisans v yüksk lisans, 5 yılında Ggia knlji Enstitüsü Havacılık v Uzay Mühndisliği Bölümü ndn dkta dcsi aldı. Ggia knlji Enstitüsü nd aaştıma gövlisi, dkta snası aaştımacı v aaştıma mühndisi laak çalıştı. Haln ODÜ Havacılık v Uzay Mühndisliği Bölümü nd öğtim üysidi. 11