HİBRİT ÖLÇÜMLERLE HEDEF KESTİRİM ALGORİTMASI TASARIMI

Transkript

1 DOI 1.763/s HAVACILIK VE UZAY EKNOLOJİLERİ DERGİSİ EMMUZ 14 CİL 7 SAYI (13-11 HİBRİ ÖLÇÜMLERLE HEDEF KESİRİM ALGORİMASI ASARIMI Suzan KALE* Rktsan A.Ş. skal@ktsan.cm.t Ali ük KUAY ODÜ, Havacılık v Uzay Mü. Bölümü Gliş aii: 3 Mayıs 14, Kabul aii: 3 Hazian 14 Aut(s 14. is aticl is publisd wit pn accss by Anautics and Spac cnlgis Institut ÖZE Bazı güdümlü füzld, df dai bilgil (pzisyn/ız/ivm, aayıcının nüz df kilitlnmdiği duumda çalıştıılan aasafa güdüm algitmalaında kullanılmak üz, y sistmind bulunan ada taafından ölçülk/saplanaak vibağı yluyla füzy iltili. Vibağı iltiminin tminal fazda sümsi duumunda, bu bilgil aynı zamanda tminal fazda tanımlı ili güdüm yöntmlinin uygulanması v güdüm pfmansının attıılması için kullanılabili. Bu çalışmada, aayıcı v ada taafından sağlanan faklı fkansladaki ölçüml, Extndd Kalman Filtsi tabanlı kstiim yöntmiyl tümlştiilmişti. 3 byutlu füzdf kinmatiğini yansıtan küsl kdinat sistmind tanımlı sistm mdlind, dfin ivmlnmdiği vasayılmıştı. Bu çalışmanın snucunda, df kalan msaf v yaklaşma ızı kstiimi ld dilmişti. Anata Kliml: pasif kstiim algitması, Extndd Kalman Filtsi, kalan msaf kstiimi DESIGN OF ARGE SAE ESIMAION ALGORIHM WIH HYBRID MEASUREMENS ABSRAC In sm missil systms, t infmatin abut t tagt (psitin/vlcity/acclatin wic is masud/calculatd by gund ada systm is tansfd t t missil via an up-link. is infmatin is tn utilizd in midcus guidanc algitms until t sk lck-n is accmplisd. If t cmmunicatin btwn t gund ada and t missil sustain till tminal pas, tis infmatin can b usd in advancd tminal guidanc algitms in d t nanc t guidanc pfmanc f t missil. In tis pap, sk and ada masumnts wit diffnt sampling fquncis a intgatd by Extndd Kalman Filt basd stimatin algitm. systm is dfind in pla cdinat fam flcting t 3D missil-tagt kinmatics and t tagt is assumd t mv wit cnstant spd. As a sult f tis study, t stimatin f ang t-g and clsing vlcity is btaind. Kywds: passiv stimatin algitm, Extndd Kalman Filt, ang-t-g stimatin 1. GİRİŞ Bazı füz sistmlind df dai bilgil, aayıcının nüz df kilitlnmdiği duumda çalıştıılan aasafa güdüm algitmalaında kullanılmak üz, y sistmind bulunan ada taafından ölçülk/saplanaak vibağı yluyla füzy iltili. Vibağı iltiminin tminal fazda sümsi duumunda, bu bilgil ayni zamanda tminal fazda tminal güdüm pfmansının attıılması için kullanılabili. Litatüd, ada sistmindn v pasif aayıcıdan snkn bi şkild vi alındığı vasayılaak, iki ölçüm katzyn kdinat sistmind ifad diln * Sumlu Yaza 13 sistm mdli kullanılaak, Extndd Kalman tabanlı algitma il tümlştiili. Ancak gçkt, füz üzind bulunan pasif aayıcının ölçüm sıklığı, y sistmind bulunan adaın ölçüm sıklığından çk daa yükskti. Bu sbpl, ada sistmindn ölçüm glmdiği duumda, df kstiimi yalnızca pasif algılayıcıdan ld diln bilgil il yapılmaktadı. Pasif kstiimi il ilgili litatüd y alan çalışmaladan ([1], katzyn kdinat sistmind ifad diln sistm mdli il çalıştıılan Extndd Kalman tabanlı kstiim algitmasının kaasız davanış göstdiği bilinmktdi. Sistm mdli küsl kdinat cinsindn ifad dildiğind is, filtnin kaalı lduğu tspit dilmişti []. Küsl kdinatlada ifad diln filtnin kaalı lmasının

2 sbbi; "kvayans çökmsi" (İng. cvaianc cllaps laak adlandıılan pblmin luşmasını önlmk amacıyla, gözlnbiln v gözlnmyn duum dğişknlinin sistm mdlind bibiindn ayılmış lmasıdı []. Bu sbpl, bu çalışmada da adadan vi alınmadığı zamanlada pasif kstiimin kaalı davanış sgilmsi için, sistm mdli küsl kdinatlada tanımlanmıştı. λ az λ l Bildii şu şkild düznlnmişti: İkinci bölümd; pasif v ibit ölçümll il luştuulan Extndd Kalman tabanlı df kstiim algitmasının tasaımı sunulmuştu. Üçüncü bölümd is bu algitmanın pfmansı önk snayla üzindn göstilmişti.. HEDEF KESİRİM ALGORİMASI Bu bölümd, Extndd Kalman tabanlı df kstiim algitmasının matmatiksl mdli sunulmuştu..1. Duum Dğişknli Rf []'d küsl kdinatlada ifad diln v Byutlu düzlmd tanımlı mdlin duum dğişknli; GH (Göüş attı, İng. lin f sigt açısal ızı, GH açısı, kalan msafnin tsi v yaklaşma ızının kalan msafy anıdı: y λ λ / 1/ Bu çalışmada, füz-df kinmatiğini daa gçkçi bi şkild yansıtmak amacıyla, pblm 3 byutlu düzlmd mdllnmişti. Yni duum dğişknli is şu şkild sçilmişti: [ ω ω ω λ λ ] y 1 3 / 1/ (1 - ω [ ω ω ω ] ls / 1 3 l az : Göüş attı vktöünün, y ksn takımına gö açısal ızıdı. Buada, açısal ız vktöü y ksn takımında ifad dilmişti. - λ l & λ az : Göüş attının y ksn takımına gö yantasynunu blitn sapma v yunuslama Eul açılaıdı. Açılaın göstimi Şkil 1'd vilmişti. - : Füz-df GH vktöünün büyüklüğüdü. - : Füz-df GH vktöünün büyüklüğünün zamana gö dğişimidi. Şkil 1. Füz-df gmtisi v GH açılaı... Sistm Mdli Dnklm 1'dki duum dğişknli için tanımlı sistm mdlinin çıkaımı, Ekl bölümünd yapılmıştı. Dnklm 1 il viln sistm mdlinin, Kalman uygulamasında kullanabilmsi için ksikli zaman düzlmin aktaılması gkmktdi. Ksikli zamana dönüşüm, Eul intgal vasayımı il şu şkild yapılmıştı: y y + f( y, a g ( y, a ( k k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 Bu dnklmd, GH vktöünün y gö ivmsi (a sistmin gidisidi v sabit ızlı df vasayımıyla, füznin (y ksn takımında ifad diln ivmsinin ksi dği laak alınmıştı: a a t am. Füz-df kinmatiğini yansıtan sistm mdli, katzyn kdinat sistmind dğusal ikn, (Dnklm 1'daki gibi küsl kdinat sistmind ifad dildiğind dğusal lmayan bi al almaktadı. Extndd Kalman algitmasında kvayans zaman güncllmsind kullanılan sistm matisini (A ld tmk amacıyla, Dnklm d viln sistm mdli dğusallaştıılmalıdı. Dğusallaştıma işlmi, zaman güncllmsi tafında şu şkild yapılmıştı: A k 1 gk 1( yk 1, ak 1 y k 1.3. Ölçüm Mdli.3.1. Pasif Ölçüml Bu çalışmada, füznin üzind gimballi kızılötsi bi aayıcının bulunduğu vasayılmıştı. Gimballi yapıdaki aayıcıla kilitli mdda, aayıcı işlmcisind gömülü lan df takip algitmalaının üttiği kmutla dğultusunda, gimbal sistmindki lktik mtlaı v dönüölçli kullanaak, dfin göüntüd talanmasını; başka bi dyişl, kamanın füz-df göüş attı (GH vktöüyl aynı 14

3 dğultuya glmsini sağla. akip döngüsü idal bi şkild işldiğind, aayıcı kmplsinin üzind bulunan nkdlin ölçtüğü açı; füznin df lan bakış açısı ( Şkil dki ε açısı lmaktadı. λ θ Şkil. Bakış, GH v gövd açısı göstimi (Plana yunuslama düzlmi. Buna k laak, bu tip sistmld, Oansal Syüsf Güdüm (OSG tabanlı algitmalaın uygulanması için itiyaç duyulan GH açısal ız bilgisi; gimbal dönüölç çıktılaı/stabilizasyn döngüsü kmutlaından ld dili. Dönüölç ölçümli v stabilizasyn döngüsü kmutu GH ksn takımında ütildiği için, bu vilin kullanılmasıyla bulunan GH açısal ız bilgisi d yin aynı ksn ( ls takımında ifad ( ω dilmişti. ls / Ölçüm mdlinin kamaşıklığını n az sviyd tutmak amacıyla, ölçüm laak nkd açısı yin GH vktöünün y gö açısı ( λ l & λ az alınmış v GH açısal ız ölçümünün d y ksn takımında ifad dildiği ( ω ls / vasayılmıştı. Algitmada ölçüm laak alınan GH açılaı ( λ l & λ az aşağıdaki yönlim ksinüs matisindn ld dilmktdi. ( ls, ( b, ( bls, C C C ( ψ ( θ ( φ ( ( ( b, C R3 R R1 ( bls, C R3 εaz R εl Buada, εaz & ε l ; sapma v yunuslama nkdli taafından sağlanan bakış açısı ölçümlidi. Füznin Eul açılaının (φ,θ,ψ is atasız laak saplandığı vasayılmıştı. Buna gö, ölçüm dnklmi v mdli aşağıdaki gibidi: ε Buada, ölçüm güültüsü Gauss (nmal,n dağılımına saip, talama dği sıfı, kvayansı is R p lan astsal bi güültü laak mdllnmişti: ( vk ~ N, Rp, Rp diag(,,, λ, λ λ λ λ Ölçüm kvayans matisind, GH açısının v açısal ızlaının bütün ksnld şit blisizlik dğind ( & λ ölçüldüğü vasayılmıştı. λ.3.. Hibit Ölçüml Bu çalışmada, ada sistmindn ölçüm laak kalan msafnin alındığı vasayılmıştı. Dnklm 1 da viln sistm için, kalan msaf ölçüm ( m laak dail dildiğind, ölçüm mdli dğusal lmayan bi al alı. Daa snadan yapılacak dğusallaştıma işlmind, dğusallaştımadan kaynaklanan atayı n aza indigmk amacıyla; adadan alınan ölçüm kalan msafnin tsi (1/ m lacak şkild mdllnmişti. Buna gö, pasif ölçüml k laak ada ölçümünün d dail dilmsiyl, ibit ölçüm mdli aşağıdaki gibi lu: z C ωls/ λl λaz 1/ I k I1 6 1 Rada taafından ölçüln kalan msafnin ölçüm atası Δ laak alındığında, 1/ cinsindn ata ( Δ aşağıdaki gibi bulunabili: 1/ 1 1 (1/ 1 Δ 1/ Δ Δ +Δ Hatanın blisizliği is iki taafın standat sapmasının alınmasıyla, 1 1/ şklind ld dilbili: Snuç laak, güültü matisi v güültü aşağıdaki gibi mdllnmişti: H diag(1, y k 16 6 k ~ (,, diag(,,,,, λ λ λ v N R R λ λ ls/ l az z ω λ λ [ ] z C y + H v I x + I v k pk k pk k k 5 5 k 15

4 .4. Hibit Algitma Yapısı a y g( y, a kk 1 k 1 k 1 k 1 A k 1 gk 1( yk 1 k 1, ak 1 y 1 k 1 P A P A kk 1 k 1 k 1 k 1 k 1 C C, z z R R, H H ( 1 k k k 1 k k k k 1 k + k k k K P C C P C H R H y y + K ( z C y, kk kk 1 k k k kk 1 ( 1 ( + Kk ( HkRkHk Kk P I K C P I K C k k k k k k p p k y kk 1 C C, z z R R, H H y kk p p zk, Ck, Hk, Rk Şkil 3. Hibit kstiim algitması. 1/ m Kstiim algitmasında önclikl, dğusal lmayan sistm mdli çalıştıılı. Kalman algitması Extndd tabanlı lduğu için, sistm mdli adımda dğusallaştıılaak, kvayans matisi güncllmsi gçklştiili. Bu çalışmada, zaman güncllmsi 1Hz'd yapılmaktadı. Daa sna, aayıcıdan alınan pasif ölçümll 1Hz'd, aayıcı v adadan alınan ölçüml il.5hzd ölçüm güncllmsi yapılı. Algitmanın Hibit kstiim laak adlandıılmasının sbbi, algitmanın m pasif (1Hz d m d aktif (.5Hz d kstiim mantığıyla çalışıy lmasıdı..5. Algitma İlklndimsi - Duum 1-5: Algitmanın duum dğişknlindn lan GH açısal ızı v açısı ( ωls/, λl v λ az algitmaya ölçüm laak da alındığından, bu dğişknlin ilk dği, algitmanın çalışmaya başladığı zaman adımında alınan ölçümlindn ld dili. Dlayısıyla, ilk dğin blisizliği d ölçüm blisizliğin şitti. - Duum 6: Kalan msafnin büyüklüğünün zamana gö dğişimi, füz-df bağıl ızının GH vktöü üzindki bilşnidi: Vt V m. Bu bilşnin algitmadaki ilk dği, sıfı df ızı vasayımı yapıldığında, aşağıdaki gibi lmaktadı. V m ( Füznin GH vktöü üzindki ız bilşni, katzyn kdinat sistmindki bilşnli cinsindn aşağıdaki gibi yazılı. ( V csλ V csλ +V sin λ V sin λ m l x az y az z l Bu dğin blisizliği ( is, füznin btaaf tmsi bklnn dfin talama ızı laak sçilbili. Önğin, tanksava füzli için, df ızı füznin ızına gö imal dilbili lduğundan, blisizlik küçük tutulmalı, ancak bi ava savunma füzsi için bu dğ 3-5 m/s civaında sçilmlidi. Bunun yanısıa, altıncı duum dğişkni yaklaşma ızının kalan msafy lan anı lduğu için, ilk dğdki blisizlik şu şkild bulunabili. ( / Δ Δ / Bu dnklmin standad sapması, 1 / laak ld dili. (3 - Duum 7: Kstiim algitmasının çalıştıabilmsi için gkli ön kşul; aayıcının dfi tspit dk df kilitlnmiş lmasıdı. Bu duum, güdüm algitmasının füzyi aayıcı göüş açısı sınılaına (FOV gick şkild yönlndiildiği vaysayımı il, nmal kşullada kilitlnm mnzilind gçklşi. Bu sbpl, algitmada kalan msafnin ( ilk dği laak, aayıcının dfi tspit ttiği mnzil (lck-n-ang, LOR alınabili. ik laak blilnbiln bu dğin, kötü ava kşullaı vs. sbbiyl tstl snucunda tik dğindn n kada saptığı blilnk, kilitlnm msafsinin blisizliğind kullanılabili. Dnklm 3' bnz bi duum, kalan msafnin tsi lan duum dğişkni için d çıkaılabili; /. Snuç laak, duum dğişkni v kvayans matisinin ilk dği; y ω / ( λ ( λ ( V ( / 1/ P diag λ λ λ λ λ LOR LOR ls l az m LOR LOR laak atanmıştı. 1 1 Rada ölçümü, kstiim algitması çalıştıılmadan önc alınabildği duumda, kalan msafnin v blisizliğin ilk dği bu ölçüm il atanı. 16

5 Yüksklik [m] 3. ÖRNEK BENZEİM KOŞUMLARI 3.1. Pasif Kstiim Bnztimli Bu bölümd, önk snayla üzindn yalnızca pasif algılayıcıdan alınan ölçümll uygulanan df kstiim algitmasının snuçlaı sunulmuştu Gözlnbililik Rf [3]'t pasif kstiim pblmi için gözlnbililik kiti çıkaılmıştı. Bu çalışmaya gö, kalan msaf kstiimi, gözlmcinin (bu duumda füznin angi bi manva yapmadığı duumlada gözlnbili dğildi. Füz manva yaptığında is, kstiim algitmasının gözlnbililiği v dlayısıyla pfmansının attığı bilinmktdi. Bu çalışmada, füz yöüngsi gözlnbililiğ bağlı ptimiz dilmmişti. Gözlnbililiğin tkisini göstmk amacıyla, önk laak Şkil 4'd viln yöüngl sçilmişti: N1 imanma (a km imanma-syi Mnzil [m] Şkil 4. Önk yöüngl. 1. Yöüng:Kstiim pblmi, GH açısal ızı sıfılandığında gözlnbili dğildi [3]. Bu sbpl, önk laak uygulanan Oansal Syüsf Güdüm kanununda, N katsayısının dği 1 laak sçilmişti. Bu yöüng dfin sabit bakış açısı il takip dilmsin yl açacaktı.. Yöüng: Füz bu yöüngd, ilk açısını kuyaak sabit bi açıyla tımanmaktadı. Y çkimi imal dildiğindn, füzy angi bi ivm kmutu vilmmişti. 3. Yöüng: Füz bu yöüngd, ikinci yöüngy bnz bi şkild sıfı ivm çkk sabit bi açıyla tımanmaktadı. Ancak buada faklı laak, 1 m mnzil ulaşıldığında, füzy syi manvası yapacak şkild ivm kmutu vili. abl 1. Önk simulasyn paamtli. P ( m [ 5] m P t ( [ 4 15] Vt ( t [ ] m/s ( V m 7 cs(1 -sin(1 m/s LOR 3 m 1 m 5 m/s λ.1 /s.3 λ Şkil 5 v Şkil 6't, kstiim algitmasının snuçlaı sunulmuştu. Kalan Msaf [m] Şkil 5. N1 v tımanma yöünglind kalan msaf kstiimi. Şkil 5't, Rf [3]'t çıkaılan gözlnbililik kitllin uygun laak, füznin tımanma yöüngsind angi bi manva yapmaması sbbiyl, kstiimin gözlnbili lmadığı göstilmişti. Kstiim çıktısı, ilk dğ laak atanan kalan msaf il yaklaşma ızının ilk dğinin sistm mdlind intgallnmsi snucunda ld dilmişti. Bunun yanısıa, kalan msaf duum dğişknin vayansı da ilk dğini kumaktadı. Şkil 6'da tımanma manvasına k laak, tımanmasyi yöüngsi sıasında yapılan kstiim snuçlaı göstilmişti. Buadan, syi manvası gçklştiildiği sıada, kstiimin gözlnbili lduğu v gçk dğin yakınsadığı anlaşılmaktadı. m R gck (N1 R kalman (N1 R gck (a km R kalman (a km Önk snaynun v kstiim algitmasının paamtli abl 1'd vilmişti. 17

6 R gck (a km R kalman (a km R gck (S Kalan Msaf [m] R kalman (S Dt/ [1/s] gck Kalman A Kalman B Şkil 6. ımanma v tımanma-syi (ts yöünglind kalan msaf kstiimi Mdllm fakı Litatüdki pasif kstiim algitmalaında, GH açısal ız vktöünün ilk lmanı (ω 1 diğlin gö küçük lduğu vasayımıyla yk sayılmaktadı. Bu çalışmada, ω 1 mdl dail dilmişti. Ölçüm yalnızca ω v ω 3 lduğu duumda mdl dail diln (KALMAN A v dail dilmyn (KALMAN B algitmalaın snuçlaı Şkil 7 v Şkil 8'da vilmişti. Bu bölümdki önk bnztimd, bi öncki kşuma gö yalnızca dfin knumu v ızı dğiştiilmişti: P ( [ ] t, V ( [ 3] t t Yunuslama ksnind, güdüm katsayısının dği öncki bölümdki gibi 1 laak alınmıştı. Sapma da is, katsayısı 3 laak sçilmişti. Snuçladan anlaşılacağı üz, önk laak viln snay için, ω 1 dail dilmyn duumda, kstiim atası atmaktadı. Bunun sbbi sçiln snay için, Şkil 9'd göstildiği gibi ω 1 'in dğinin diğ ksnldki dğl gö imal dilbili lmamasıd. Kalan Msaf [m] gck Kalman A Kalman B Şkil 7. Kalan msaf kstiimind W 1 'in tkisi. GH acisal izi [d/s] Şkil 8. Yaklaşma ızı/kalan msaf kstiimind W 1 'in tkisi Şkil 9. GH açısal ız. 3.. Hibit Kstiim Bnztimli Snay v algitma paamtli abl 'd viln önk bnztimd, adadan (algitma çalışmaya başladıktan 1.1 sn sna.5hz, aayıcıdan is 1Hz'd vi alındığı vasayılmıştı. Hibit kstiim algitmasında, kstiim adadan ld diln kalan msaf ölçümü il iyilştiilmktdi. İyilştimnin pfmansını bi önk üzindn göstmk amacıyla, pasif algılayıcıdan ld diln GH açısı v açısal ızının güültüsü yüksk tutulmuştu. abl. Snay paamtli. P t ( [ 5 15] Vt ( t [ 1 ] R 5 m λ.1 /s λ w 1 w w 3.1 m/s m 18

7 Kalan Msaf [m] gck pasif ibit C (, ls (5 Y ksn takımından GH ksn takımına lan dönüşümlin sıası, λaz 1 λl I I I ls Şkil 1. Hibit algitması kalan msaf kstiimi. 4. SONUÇ Bu çalışmada, 3 byutlu füz-df kinmatiğini yasıtan v küsl kdinat sistmind tanımlı sistm mdli il, aayıcı v ada taafından sağlanan faklı fkansladaki ölçüml, Extndd Kalman Filtsi tabanlı kstiim yöntmiyl tümlştiilmişti. 5. EKLER Bu bölümd, sükli zamanda tanımlı dğusal lmayan sistm mdlinin çıkaımı sunulmuştu. Gnl laak, sükli zamanda tanımlı sistm mdli y f ( y, a şklind ifad dili. Sistmin davanışını tanımlayan f ( ya, fnksiynunun çıkaılması için, sistm duum dğişknlinin zamana gö tüvi bulunmalıdı. Duum 1-3: Göüş attı vktöünün y ksn takımına gö açısal ızı vktöl laak şu şkild ifad dili: ω V ls/ Bu vktöün y ksn takımına gö tüvinin alınmasıyla, sistm mdlinin ilk üç difansiyl dnklmin ulaşılı: dω a ls/ ω ls/ dt (4 Bu dnklm y ksn takımında ( yazıldığı için, bütün vktöl bu ksn takımında ifad dilmlidi. Buada, ; füz-df GH vktöü, a is GH vktöünün y ksn takımına gö ivmsidi. Y ksn takımında tanımlı GH attı vktöü, GH (ls ksn takımından şu şkild tütilmişti. il göstilmktdi. Bu sıalamaya gö, GH ksn takımında tanımlı bi vktöün y ksn takımındaki ifadsini bulmak için kullanılan yönlim ksinüs matisi aşağıdaki gibidi. C ( ls, csλaz sin λaz csλl sin λl sin λaz csλaz 1 1 sinλl csλ l Snuç laak, Dnklm 4 ( asin λl + a3csλl sin λaz / ls / ( a1sin l + a3 cs az cs l / ls / (6 csλ ( a csλ a sin λ / ω λ λ λ ω l az 1 az alini alı. Bu dnklmd, kalan msafnin büyüklüğü dnklmin paydasında y almaktadı. Daa sna bu paamty bağlı yapılacak lan dğusallaştıma işlmini basitlştimk için, duum dğişkni laak kalan msafnin ( yin kalan msafnin tsi (1/ kullanılmıştı []. Duum 4-5: GH vktöünün y gö yantasynunu yansıtan λ l v λ az açılaın tüvli, dğudan ω il ilişkilidi: C ls / ω ω + ω C + λ λ az ( ls, ( ls ( ls ( ls, ls / ls /1 1/ l Yukaıdaki şitliktn, yunuslama v sapmadaki GH açılaın tüvi, açısal ız cinsindn Dnklm 7'dki gibi bulunu. λl ωcs( λaz ω1sin( λaz λ ω + tan( λ ω cs( λ + ω sin( λ ( az 3 l 1 az az (7 Duum 6: Yaklaşma ızının kalan msafy anı lan 6.duum dğişkninin zamana gö tüvi şu şkilddi: d dt 19

8 Yaklaşma ızının tüvi, GH ksn takımında ( ls tanımlı GH vktöünün ( y ksn takımına gö iki k tüvinin alınmasıyla luşan aşağıdaki dnklmdn ld dilbili. C a ( ls ( ls ( ls, ( ls ( ls ( ls + ωls/ + ωls/ ls ( ls ( ωls ( ls ( + ω ls/ / ( ls Buada; [ ] (8 lması sbbiyl, Dnklm 8'in ilk satıından, / aşağıdaki gibi bulunu: / ( ω3csλl + ω1csλaz sin λl + ωsin λaz sin λl + ( ωcsλaz ω1sin λaz + ( a csλ csλ + a csλ sin λ a sin λ / 1 az l l az 3 l (9 Snuç laak, sükli zamanda tanımlı dğusal lmayan sistm mdli, Dnklm (6, (7 v (9'undan şu şkild bulunu: Opn Accss: is aticl is distibutd und t tms f t Cativ Cmmns Attibutin Licns (CC-BY 4. wic pmits any us, distibutin, and pductin in any mdium, pvidd t iginal aut(s and t suc a cditd. 4. KAYNAKLAR [1] Aidala, V. J., "Kalman Filt Bavi in Baings-Only acking Applicatins," IEEE ansactins n Aspac and Elctnic Systms, Vl. AES-15, July 1979, pp [] Aidala, V. J., and Hamml, S. E., "Utilizatin f Mdifid Pla Cdinats f Baings-Only acking," IEEE ansactins n Autmatic Cntl, Vl. AC-8, Aug. 1983, pp [3] Nadn, S. C, and Aidala, V. J., "Obsvability Citia f Baings-Only agt Mtin Analysis," IEEE ansactins n Aspac and Elctnic Systms, Vl. AES-17, July 1981, pp ( + ( ( y7 asin y4 a3cs y4sin y5 y1y6 y7 a1sin y4 + a3cs y5cs y4 yy6 y7cs y4 acs y5 a1sin y5 y3y 6 ycs( y5 y1sin( y5 y y3 + tan( y4 ( y1cs( y5 + ysin( y5 - y6( y3cs y4 + y1cs y5sin y4 + ysin y5sin y4 + ( ycsy5 y1sin y5 + y7( a1cs y5cs y4 acs y4sin y5 a3sin y4 + yy 6 7 (1 ÖZGEÇMİŞLER Suzan KALE ODÜ Havacılık Mündisliği Bölümü ndn 9'da mzun lduktan sna, Rktsan A.Ş.'d iş başlamıştı. Buada, Güdüm v Otpilt asaım biimind aln çalışmaktadı. Yüksk lisans çalışmalaı is aln sümktdi. Yd. Dç. D. Ali ük KUAY 1996 v 1999 yıllaında ODÜ Havacılık Mündisliği Bölümü ndn lisans v yüksk lisans, 5 yılında Ggia knlji Enstitüsü Havacılık v Uzay Mündisliği Bölümü ndn dkta dcsi aldı. Ggia knlji Enstitüsü nd aaştıma gövlisi, dkta snası aaştımacı v aaştıma mündisi laak çalıştı. Haln ODÜ Havacılık v Uzay Mündisliği Bölümü nd öğtim üysidi. 11