Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi

Transkript

1 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 1/ 104 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir. Bu doğrulara koordinat eksenleri denir ve x ekseni, y ekseni, z ekseni olarak adlandırılır. Genellikle x ve y eksenleri yatay, z ekseni ise düşey olarak düşünülür ve yönlerini Şekil 1 deki gibi belirleriz. Şekil 1: Koordinat Eksenleri Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 2/ 104

2 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi Bu üç koordinat ekseni Şekil 2 da gösterildiği gibi, üç tane koordinat düzlemi belirler. x ve y eksenlerini içeren düzleme xy düzlemi, y ve z eksenlerini içeren düzleme yz düzlemi, x ve z eksenlerini içeren düzleme xz düzlemi adı verilir. Şekil 2: Koordinat Düzlemleri Bu üç koordinat düzlemi uzayı, bölge adı verilen, sekiz parçaya böler. Birinci bölge pozitif eksenlerle belirlenen bölgedir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 3/ 104 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi Şekil 3: Koordinat Düzlemleri Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 4/ 104

3 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi Uzaydaki bir P noktası için a, yz düzlemine olan uzaklık, b, xz düzlemine olan uzaklık ve c, xy düzlemine olan uzaklık olsun. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 5/ 104 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi Bu durumda P noktasını (a, b, c) sıralı gerçel sayı üçlüsü ile temsil eder ve a, b, c ye P nin koordinatları deriz; a x koordinatı, b, y koordinatı, c, z koordinatıdır. Dolayısıyla (a, b, c) noktasını bulmak için, Şekil 4 de görüldüğü gibi O başlangıç noktasından başlayıp x ekseni yönünde a birim, sonra y eksenine paralel olarak b birim ve son olarak z eksenine paralel olarak c birim hareket ederiz. Şekil 4: Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 6/ 104

4 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi Şekil 5 te görüldüğü gibi P (a, b, c) noktası bir dikdörtgenler prizması belirler. P noktasından xy düzlemine dikme indirerek elde edeceğimiz, koordinatları (a, b, 0) olan Q noktasına P noktasının xy düzlemindeki izdüşümü denir. Benzer şekilde R(0, b, c) ve S(a, 0, c) noktaları da P nin yz düzlemi ve xz düzlemindeki izdüşümleridir. Şekil 5: Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 7/ 104 Örnek Örnek : (3, 2, 6) noktası Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 8/ 104

5 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi Sıralı gerçel sayı üçlülerinden oluşan R R R = {(x, y, z) x, y, z R} kartezyen çarpımı R 3 ile gösterilir. Uzaydaki P noktaları ile, R 3 deki (a, b, c) sıralı gerçel sayı üçlüleri arasında birebir bir ilişki kurmuştuk. Buna üç boyutlu Kartezyen koordinat sistemi adı verilir. Birinci bölgenin, koordinatları pozitif sayılardan oluşan noktaların kümesi olduğuna dikkat ediniz. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 9/ 104 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi İki boyutlu analitik geometride x ve y yi içeren bir denklemin grafiği R 2 de bir eğridir. Üç boyutlu analitik geometride de x, y, z yi içeren bir denklemin grafiği R 3 de bir yüzeydir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 10/ 104

6 Örnek Örnek : Aşağıdaki denklemler R 3 deki hangi yüzeyleri belirler? (a) z = 3 (b) y = 5 Çözüm (a) z = 3 denklemi R 3 deki z koordinatı 3 olan noktaların kümesidir. Yani {(x, y, z) z = 3} Bu Şekil 6 da görüldüğü gibi, xy düzlemine paralel olan ve ondan üç birim yukarıda bulunan yatay düzlemdir. Şekil 6: Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 11/ 104 Örnek... (b) y = 5 denklemi R 3 deki y koordinatı 5 olan tüm noktaların kümesini temsil etmektedir. Bu Şekil 7 da görüldüğü gibi, xz düzlemine paralel, ondan beş birim sağda bulunan dik düzlemdir. Şekil 7: Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 12/ 104

7 Not NOT: Bir denklem verildiğinde, bunun R 2 de bir eğriyi mi yoksa R 3 de bir yüzeyi mi temsil ettiğini konudan anlayabilmemiz gerekir. y = 5 örnekte, R 3 te bir düzlemi temsil ederken, iki boyutlu analitik geometri ile ilgilendiğimizde, R 2 de bir doğruyu temsil etmektedir. Şekil 8: y = 5, R 2 de bir doğru Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 13/ 104 Örnek Örnek : çiziniz. R 3 de y = x denklemi ile verilen yüzeyi betimleyerek Çözüm Denklem R 3 deki x ve y koordinatları eşit olan noktaları, bir diğer deyişle {(x, x, z) x, z R} kümesini temsil etmektedir. Bu, xy düzlemini y = x, z = 0 doğrultusunda kesen düzlemdir. Bu düzlemin birinci bölgede kalan kısmı Şekil 9 de çizilmiştir. Şekil 9: y = x düzlemi Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 14/ 104

8 Üç Boyutta Uzaklık Formülü P 1 (x 1, y 1, z 1 ) ve P 2 (x 2, y 2, z 2 ) noktaları arasındaki P 1 P 2 uzaklığı, dir. P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 15/ 104 Örnek Örnek : P (2, 1, 7) ile Q(1, 3, 5) noktaları arasındaki uzaklık tür. P Q = (1 2) 2 + ( 3 + 1) 2 + (5 7) 2 = = 3 Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 16/ 104

9 Kürenin Denklemi Merkezi C(h, k, l) ve yarıçapı r olan kürenin denklemi (x h) 2 + (y k) 2 + (z l) 2 = r 2 dir. Merkezin O noktasında olması özel durumunda denklem x 2 + y 2 + z 2 = r 2 biçimine dönüşür. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 17/ 104 Örnek Örnek : x 2 + y 2 + z 2 + 4x 6y + 2z + 6 = 0 denkleminin bir küre denklemi olduğunu gösteriniz ve bu kürenin merkezi ile yarıçapını bulunuz. Çözüm Kareye tamamlayarak verilen denklemi bir küre denklemi biçiminde yeniden yazalım: (x 2 + 4x + 4) + (y 2 6y + 9) + (z 2 + 2z + 1) = (x + 2) 2 + (y 3) 2 + (z + 1) 2 = 8 Bu denklemi genel denklemle karşılaştırdığımızda bunun, merkezi ( 2, 3, 1) olan 8 = 2 2 yarıçaplı kürenin denklemi olduğunu görürüz. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 18/ 104

10 Örnek Örnek : 1 x 2 + y 2 + z 2 4, z 0 eşitsizliklerinin R 3 de tanımladığı bölgeyi bulunuz. Çözüm Verilen 1 x 2 + y 2 + z 2 4 eşitsizliği, 1 x 2 + y 2 + z 2 2 şeklinde yazılırsa, bunun başlangıç noktasından en az 1 ve en çok 2 olan noktaları temsil ettiği görülür. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 19/ 104 Örnek... z 0 olduğu da verildiğinden, bu noktalar xy düzleminin üzerinde ya da altında kalır. Dolayısıyla verilen eşitsizlikler x 2 + y 2 + z 2 = 1 ile x 2 + y 2 + z 2 = 4 kürelerinin arasında ya da üzerinde kalan ve xy düzleminin altında ya da üzerinde kalan noktaları belirlemektedir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 20/ 104

11 Vektörler Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 21/ 104 Vektörler Vektör terimi, büyüklük ve yönü olan (yer değiştirme, hız ya da kuvvet gibi) çokluklar için kullanılır. Vektörler genelde bir ok ya da yönlü bir doğru parçasıyla temsil edilir. Okun işaret ettiği yön, vektörün yönünü, uzunluğu ise vektörün büyüklüğünü temsil eder. Biz vektörü üstüne bir ok koyarak göstereceğiz, v. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 22/ 104

12 Vektörler A noktasından B noktasına bir doğru boyunca haraket eden parçacığı ele alalım. Şekilde gösterilen, yer değiştirme vektörü v nin başlama noktası A (okun kuyruğu) ve bitiş noktası B (okun ucu) olduğundan vektör v = AB biçiminde gösterilir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 23/ 104 Vektörler u = CD vektörünün konumunun farklı olmasına rağmen aynı yön ve aynı büyüklüğe sahip olduğuna dikkat ediniz. Bu yüzden u ve v vektörlerine denk (ya da eşit) denir ve u = v yazılır. 0 ile gösterilen sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır ve belli bir yönü olmayan tek vektördür. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 24/ 104

13 Vektörleri Birleştirme Bir parçacık Şekil 10 da görüldüğü gibi, önce A dan B ye, dolayısıyla AB yer değiştirme vektörüyle, sonra yön değiştirerek BC yer değiştirme vektörüyle B den C ye gitsin. Şekil 10: Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 25/ 104 Vektörleri Birleştirme Bu iki yer değiştirme işleminin sonucu olarak parçacık A dan C ye gitmiştir. Bu sonucu veren AC yer değiştirme vektörüne AB ve BC vektörlerinin toplamı denir ve yazılır. AC = AB + BC Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 26/ 104

14 Vektörlerin Toplamı u ve v vektörleri v nin başlama noktası ve u nun bitiş noktası aynı olacak şekilde verilsin. Bu durumda u + v toplam vektörü u nun başlama noktasından v nin bitiş noktasına giden vektördür. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 27/ 104 Skalerle Çarpma Vektörleri bir c sayısı ile çarpmak da olanaklıdır. (Vektörlerle karıştırmamak için bu bağlamda c gerçel sayısına skaler diyeceğiz.) Örneğin 2 v vektörünün, yönü v nin yönü ile aynı olan ve uzunluğu v nin uzunluğunun iki katı olan v + v vektörü ile aynı olmasını isteriz. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 28/ 104

15 Skalerle Çarpma c skaleri ile v vektörünün c v skaler çarpımı, uzunluğu v nin uzunluğunun c katı, yönü ise c > 0 için v nin yönünün aynısı c < 0 için tersi olan vektör olarak tanımlanır. c = 0 ya da v = 0 durumunda c v = 0 dır. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 29/ 104 Vektörler Özelde v = ( 1) v vektörü v ile aynı uzunlukta ancak ters yönlüdür. Bu vektöre v nin negatifi deriz. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 30/ 104

16 Vektörler İki vektörün u v farkından vektörünü anlıyoruz. u v = u + ( v) Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 31/ 104 Vektörler - Bileşenler Bazen koordinat sistemini kullanarak vektörleri cebirsel olarak ele almak en uygun yöntemdir. a vektörünü kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasından başlatırsak, bitiş noktasının koordinatları, iki boyutlu koordinat sisteminde (a 1, a 2 ), üç boyutlu koordinat sisteminde (a 1, a 2, a 3 ) olur. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 32/ 104

17 Vektörler - Bileşenler Bu koordinatlara a nın bileşenleri denir ve a =< a 1, a 2 > ya da a =< a 1, a 2, a 3 > biçiminde gösterilir. Düzlemde bir noktaya karşılık gelen (a 1, a 2 ) sıralı ikilisi ile karıştırmamak için vektörlerde < a 1, a 2 > gösterimini kullanırız. Şekil 11: Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 33/ 104 Vektörler - Bileşenler Örneğin, Şekil 11 deki vektörlerin hepsi bitiş noktası P (3, 2) olan OP =< 3, 2 > vektörüne denktir. Hepsinin ortak özelliği, başladıkları noktadan üç birim sağa ve sonra iki birim yukarıya gidilince bitiş noktalarına erişilmesidir. Bu vektörlerin her birini, a =< 3, 2 > cebirsel vektörünün, birer temsili olarak düşünebiliriz. Başlangıç noktasından başlayıp P noktasına giden noktasının konum vektörü adı verilir. OP temsiline P Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 34/ 104

18 Vektörler - Bileşenler Verilen A(x 1, y 1, z 1 ) ve B(x 2, y 2, z 2 ) noktaları için, edilen a vektörü dir. AB ile temsil a =< (x 2 x 1 ), (y 2 y 1 ), (z 2 z 1 ) > (1) Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 35/ 104 Örnek Örnek: A(2, 3, 4) noktasından B( 2, 1, 1) noktasına giden yönlü doğru parçasının temsil ettiği vektörü bulunuz. Çözüm: (1) den AB ile temsil edilen vektör a =< 2 2, 1 ( 3), 1 4 >=< 4, 4, 3 > dür. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 36/ 104

19 Vektörler - Bileşenler v vektörünün uzunluğu ya da büyüklüğü, onun herhangi bir temsilinin uzunluğu olarak tanımlanır ve v ya da v ile gösterilir. OP doğru parçasının uzunluğunu bulmak için uzaklık formülünü kullanarak aşağıdaki formülleri elde ederiz. İki boyutlu a =< a 1, a 2 > vektörünün uzunluğu a = a a2 2 dir. Üç boyutlu a =< a 1, a 2, a 3 > vektörünün uzunluğu a = a a2 2 + a2 3 dir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 37/ 104 Vektörler - Bileşenler a =< a 1, a 2 > ve b =< b 1, b 2 > ise a + b =< a 1 + b 1, a 2 + b 2 > a b =< a 1 b 1, a 2 b 2 > c a =< ca 1, ca 2 > dir. Benzer Şekilde üç boyutlu vektörler için < a 1, a 2, a 3 > + < b 1, b 2, b 3 >=< a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 > < a 1, a 2, a 3 > < b 1, b 2, b 3 >=< a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 > c < a 1, a 2, a 3 >=< ca 1, ca 2, ca 3 > olur. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 38/ 104

20 Örnek Örnek: a =< 4, 0, 3 > ve b =< 2, 1, 5 > için a yı ve a + b, a b, 3 b ve 2 a + 5 b vektörlerini bulunuz. Çözüm: a = = 25 = 5 a + b =< 4, 0, 3 > + < 2, 1, 5 > =< 4 2, 0 + 1, >=< 2, 1, 8 > a b =< 4, 0, 3 > < 2, 1, 5 > =< 4 + 2, 0 1, 3 5 >=< 6, 1, 2 > 3 b = 3 < 2, 1, 5 >=< 3.( 2), 3.1, 3.5 >=< 6, 3, 15 > 2 a + 5 b = 2 < 4, 0, 3 > +5 < 2, 1, 5 > =< 8, 0, 6 > + < 10, 5, 25 >=< 2, 5, 31 > Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 39/ 104 Vektörler - Bileşenler V 2 ile tüm iki boyutlu vektörlerin, V 3 ile de tüm üç boyutlu vektörlerin kümesini göstereceğiz. Daha sonra, genel olarak, tüm n boyutlu vektörlerden oluşan V n kümesini ele alacağız. a 1, a 2,..., a n gerçel sayılar olmak üzere n-boyutlu a vektörü a =< a 1, a 2,..., a n > olarak tanımlanır. a 1, a 2,..., a n gerçel sayılarına a vektörünün bileşenleri denir. n = 2 ve n = 3 de olduğu gibi V n de de toplama ve çıkarma işlemleri bileşenler cinsinden tanımlanır. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 40/ 104

21 Vektörlerin Özellikleri a, b ve c, V n de vektörler ve c, d skaler olmak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır: 1. a + b = a + b 2. a + ( b + c) = ( a + b) + c 3. a + 0 = a 4. a + ( a) = 0 5. c( a + b) = c a + c b 6. (c + d) a = c a + d a 7. (cd) a = c(d a) 8. 1 a = a Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 41/ 104 Standart Baz Vektörler V 3 de özel olan üç vektör vardır. Bunlar i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) vektörleridir. Buradan i, j ve k vektörlerinin pozitif x, y ve z eksenleri yönünde ve 1 uzunluğunda olduğunu görürüz. Benzer Şekilde, iki boyutta, i = (1, 0), j = (0, 1) olarak tanımlanır. Şekil 12: Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 42/ 104

22 Standart Baz Vektörler a =< a 1, a 2, a 3 >=< a 1, 0, 0 > + < 0, a 2, 0 > + < 0, 0, a 3 > = a 1 < 1, 0, 0 > +a 2 < 0, 1, 0 > +a 3 < 0, 0, 1 > olduğundan a =< a 1, a 2, a 3 > vektörünü a = a 1 i + a 2 j + a 3 k biçiminde yazabiliriz. Dolayısıyla V 3 deki her vektör i, j, k standart baz vektörleri cinsinden yazılabilir. Örneğin, < 1, 2, 6 >= i 2 j + 6 k olur. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 43/ 104 Örnek Örnek: a = i + 2 j 3 k ve b = 4 i + 7 k vektörleri için 2 a + 3 b yi i, j ve k cinsinden yazınız. Çözüm: Özellik 1,2,5,6 ve 7 den 2 a + 3 b = 2( i + 2 j 3 k) + 3(4 i + 7 k) elde ederiz. = 2 i + 4 j 6 k + 12 i + 21 k = 14 i + 4 j + 15 k Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 44/ 104

23 Birim Vektör Boyu 1 olan vektörlere birim vektör denir. Örneğin, i, j ve k vektörleri birim vektörlerdir. Genel olarak, a 0 için a ile aynı yönde olan birim vektör u = 1 a a = a a (2) vektörüdür. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 45/ 104 Örnek Örnek: 2 i j 2 k vektörüyle aynı yönde olan birim vektörü bulunuz. Çözüm: Verilen vektörün uzunluğu 2 i j 2 k = ( 1) 2 + ( 2) 2 = 9 = 3 dolayısıyla denklem 2 den, aynı yöndeki birim vektör olarak bulunur. 1 3 (2 i j 2 k) = 2 3 i 1 3 j 2 3 k Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 46/ 104

24 İç Çarpım Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 47/ 104 İç Çarpım Sıfırdan farklı a ve b vektörlerinin iç çarpımı, θ açısı, a ile b arasındaki 0 θ < π koşulunu sağlayan açı olmak üzere, a. b = a b cos θ sayısı olarak tanımlanır. Eğer a ve b vektörü sıfır ise a. b sıfırdır. a. b iç çarpımının sonucu bir vektör değildir. Bu bir gerçel sayı, başka bir değişle, bir skalerdir. Bu yüzden, iç çarpıma skaler çarpım da denir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 48/ 104

25 Örnek Örnek: Aralarında π/3 açısı olan 4 ve 6 büyüklüğündeki a ve b vektörleri için a. b yı bulunuz. Çözüm: Tanımdan bulunur. a. b = a b cos(π/3) = = 12 Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 49/ 104 İç Çarpım Sıfırdan farklı iki a ve b vektörüne, aralarındaki açı θ = π/2 ise, dik ya da ortogonal denir. Böyle vektörler için dır. a. b = a b cos(π/2) = 0 Diğer yandan a. b = 0 ise cos θ = 0, diğer deyişle θ = π/2 olur. 0 vektörü tüm vektörlere dik kabul edilir. Dolayısıyla, iki a ve b vektörünün dik olmasının gerek ve yeter koşulu a. b = 0 olmasıdır. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 50/ 104

26 Bileşenleri Cinsinden İç Çarpım Bileşenleri cinsinden verilen iki vektörü ele alalım. a =< a 1, a 2, a 3 > ve b =< b 1, b 2, b 3 > vektörlerinin iç çarpımı a. b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 olur. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 51/ 104 Örnek Örnek: < 2, 4 >. < 3, 1 >= 2(3) + 4( 1) = 2 < 1, 7, 4 >. < 6, 2, 1 2 >= ( 1)6 + 7(2) + 4( 1 2 ) = 6 ( i + 2 j 3 k).(2 j k) = 1(0) + 2(2) + ( 3)( 1) = 7 Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 52/ 104

27 Örnek Örnek: 2 i + 2 j k vektörünün 5 i 4 j + 2 k vektörüne dik olduğunu gösteriniz. Çözüm: (2 i + 2 j k).(5 i 4 j + 2 k) = 2(5) + 2( 4) + ( 1)2 = 0 olduğundan bu vektörler diktir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 53/ 104 İç Çarpımın Özellikleri a, b ve c V 3 de vektörler ve k skaler olamak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır: 1. a. a = a 2 2. a. b = b. a a = 0 4. (k a). b = k( a. b) = a.(k b) 5. a.( b + c) = a. b + a. c Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 54/ 104

28 Vektörel Çarpım Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 55/ 104 Vektörel Çarpım a ve b vektörlerinin a b vektör çarpımı, iç çarpımın aksine, bir vektördür. Bu yüzden vektörel çarpım olarak adlandırılır. a ve b nin her ikisine de dik olduğu için a b nin geometride oldukça kullanışlı olduğunu göreceğiz. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 56/ 104

29 Vektörel Çarpım Sıfırdan farklı üç boyutlu a ve b vektörlerinin vektörel çarpımı, θ açısı, a ile b arasındaki 0 θ < π koşulunu sağlayan açı, n vektörü, a ve b nin ikisine birden dik olan ve yönü sağ el kuralı ile belirlenmiş birim vektör olmak üzere, olarak tanımlanır. a b = ( a b sin θ) n Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 57/ 104 Vektörel Çarpım Sağ el kuralında sağ elinizin parmaklarını a dan b ye doğru θ açısı kadar döndürdüğünüzde baş parmağınız n nin yönünü gösterir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 58/ 104

30 Vektörel Çarpım a nın ya da b nin sıfır olduğu durumda a b sıfır vektörü olarak tanımlanır. a b vektörü n ile aynı doğrultudadır ve dolayısıyla a b vektörü a ve b nin her ikisine de ortogonaldir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 59/ 104 Vektörel Çarpım Sıfırdan farklı a ve b vektörleri ancak ve ancak aralarındaki açı 0 ya da π iken paraleldir. Her iki durumda da sin θ = 0 dır ve buradan a b = 0 elde edilir. Sıfırdan farklı a ve b vektörleri ancak ve ancak a b = 0 ise paraleldir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 60/ 104

31 Örnek Örnek: i j ve j i vektörlerini bulunuz. Çözüm: Standart baz vektörleri olan i ve j nin uzunlukları 1 ve aralarındaki açı π/2 dir. Sağ el kuralına göre i ve j ye dik olan birim vektör k dır. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 61/ 104 Örnek... Dolayısıyla, i j = ( i j sin(π/2)) k = k dır. Diğer yandan sağ el kuralını j ve i vektörlerine (bu sıra ile) uygularsak n vektörünün aşağıya doğru, n = k olduğunu görürüz. Dolayısıyla, j i = k dır. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 62/ 104

32 Vektörel Çarpım Yukarıdaki örnekten i j j i olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla vektörel çarpım değişmeli değildir. Benzer şekilde j k = i k i = j k j = i i k = j olduğu gösterilebilir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 63/ 104 Vektörel Çarpım Genel olarak sağ el kuralından elde edilir. b a = ( a b) Vektörel çarpımın sağlamadığı bir diğer cebirsel özellik ise çarpma için birleşme özelliğidir; genelde ( a b) c a ( b c) dir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 64/ 104

33 Vektörel Çarpımın Özellikleri a, b ve c vektörleri V 3 de vektörler ve c skaler olmak üzere 1. a b = ( b a) 2. (c a) b = c( a b) = a (c b) 3. a ( b + c) = a b + a c dir. 4. ( a + b) c = a c + b c Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 65/ 104 Bileşenleri Cinsinden Vektörel Çarpım Bileşenleri cinsinden verilen iki vektörün vektörel çarpımını determinant ile ifade edebiliriz. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ile b = b1 i + b 2 j + b 3 k vektörlerinin vektörel çarpımı olarak bulunur. a b = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 66/ 104

34 Bileşenleri Cinsinden Vektörel Çarpım Üçüncü dereceden determinant a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 b 2 b 3 c 2 c 3 a 2 b 1 b 3 c 1 c 3 + a 3 b 1 b 2 c 1 c 2 şeklinde tanımlanır. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 67/ 104 Bileşenleri Cinsinden Vektörel Çarpım İkinci dereceden determinant a b c d olarak tanımlanır. = ad bc Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 68/ 104

35 Örnek Örnek: a =< 1, 3, 4 > ve b =< 2, 7, 5 > ise a b = i j k = i j k ( 15 28) i ( 5 8) j + (7 6) k = 43 i + 13 j + k dır. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 69/ 104 Doğru ve Düzlem Denklemleri Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 70/ 104

36 Doğru Denklemi xy-düzleminde bir doğru, üzerindeki bir nokta ile yönü (eğimi ya da eğim açısı) verildiğinde belirlenir. Bunlardan, doğrunun denkleminin nokta-eğim biçimi yazılabilir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 71/ 104 Doğru Denklemi Benzer şekilde üç boyutlu uzayda bir L doğrusu, üzerindeki bir P 0 (x 0, y 0, z 0 ) noktası ve yönü ile belirlenir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 72/ 104

37 Doğru Denklemi Üç boyutta bir doğrunun yönü en kolay bir vektörle belirlenir, dolayısıyla v yi L doğrusuna paralel bir vektör alalım. L nin vektör denklemi r = r 0 + t v, t R (3) t parametresinin her değeri L üzerindeki bir noktanın konum vektörünü verir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 73/ 104 Doğru Denklemi Bir diğer deyişle, t değiştikçe L doğrusu r vektörünün ucu ile taranır. Şekil 13: Şekil 13 de görüldüğü gibi, L üzerindeki noktaların P 0 ın bir yanındakiler t nin pozitif değerlerine, diğer yanındakiler ise t nin negatif değerlerine karşılık gelir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 74/ 104

38 Doğru Denklemi L nin yönünü veren v vektörünü bileşenleri cinsinden v =< a, b, c > olarak yazarsak, t v =< ta, tb, tc > olur. r =< x, y, z > ve r 0 =< x 0, y 0, z 0 > alınırsa vektör denklemi (3) < x, y, z >=< x 0 + ta, y 0 + tb, z 0 + tc >, t R biçimine dönüşür. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 75/ 104 Doğru Denklemi < x, y, z >=< x 0 + ta, y 0 + tb, z 0 + tc >, t R İki vektör ancak karşı gelen bileşenleri eşit ise eşittir. Dolayısıyla t R olmak üzere, üç tane skaler denklem elde ederiz: x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct (4) Bu denklemlere P 0 (x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve v =< a, b, c > vektörüne paralel olan L doğrusunun parametrik denklemleri denir. t parametresinin her değeri L üzerinde bir (x, y, z) noktası verir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 76/ 104

39 Örnek Örnek : (a) (5, 1, 3) noktasından geçen ve i + 4 j 2 k vektörüne paralel olan doğrunun vektör ve parametrik denklemlerini bulunuz. (b) Bu doğru üzerinde iki farklı nokta daha bulunuz. Çözüm: (a) Burada r 0 =< 5, 1, 3 >= 5 i + j + 3 k ve v = i + 4 j 2 k olduğundan vektör denklemi (3) r = (5 i + j + 3 k) + t( i + 4 j 2 k) ya da dir. r = (5 + t) i + (1 + 4t) j + (3 2t) k Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 77/ 104 Örnek... Parametrik denklemler ise dir. x = 5 + t y = 1 + 4t z = 3 2t (b) Parametreyi t = 1 seçersek x = 6, y = 5 ve z = 1 olur, bu da doğru üzerindeki (6,5,1) noktasını verir. Benzer şekilde t = 1 için (4,-3,5) noktası bulunur. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 78/ 104

40 Doğru Denklemi Bir doğrunun vektör denklemi ya da parametrik denklemleri tek değildir. Eğer noktayı ya da parametreyi değiştirirsek, veya başka bir paralel vektör seçersek, denklemler değişir. Örneğin, örnekte (5,1,3) noktası yerine (6,5,1) noktasını alırsak doğrunun parametrik denklemi olur. x = 6 + t y = 5 + 4t z = 1 2t Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 79/ 104 Doğru Denklemi Ya da (5,1,3) noktasını değiştirmez de 2 i + 8 j 4 k yi paralel vektör olarak alırsak elde ederiz. x = 5 + 2t y = 1 + 8t z = 3 4t Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 80/ 104

41 Doğru Denklemi L doğrusunu belirlemenin bir diğer yolu da Denklem (4) den t parametresini yok etmektir. a, b ve c nin hiç biri 0 değilse, her bir denklemi t için çözüp, sonuçları birbirine eşitlersek x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c elde ederiz. Bu denklemlere L nin simetrik denklemleri denir. (5) Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 81/ 104 Doğru Denklemi Denklem (5) de, paydada bulunan a, b, c sayılarının L nin yön sayıları, bir diğer deyişle L ye paralel bir vektörün bileşenleri olduğuna dikkat ediniz. a, b ve c den birinin 0 olduğu durumda da t yi yok edebiliriz. Örneğin a = 0 durumunda denklemi biçiminde yazabiliriz. x = x 0 ; y y 0 b = z z 0 c Bu, L doğrusunun x = x 0 düşey düzleminde olduğu anlamına gelir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 82/ 104

42 Örnek Örnek : (a) A(2, 4, 3) ve B(3, 1, 1) noktalarından geçen doğrunun parametrik ve simetrik denklemlerini bulunuz. (b) Bu doğrunun xy-düzlemini kestiği noktayı bulunuz. Çözüm : (a) Doğruya paralel olan bir vektör açık olarak verilmemiş olsa da, AB ile temsil edilen v vektörünün doğruya paralel olduğunu gözlemleyiniz: v = AB =< 3 2, 1 4, 1 ( 3) >=< 1, 5, 4 > v =< 1, 5, 4 > Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 83/ 104 Örnek... Bu durumda a = 1, b = 5 ve c = 4 dür. P 0 olarak (2, 4, 3) noktasını alırsak parametrik denklemler (4) x = 2 + t y = 4 5t z = 3 + 4t ve simetrik denklemler (5) x 2 1 = y 4 5 = z olarak bulunur. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 84/ 104

43 Örnek... (b) Doğru, xy-düzlemini z = 0 iken keseceği için simetrik denklemde z = 0 alır ve x 2 1 = y 4 5 = 3 4 elde ederiz. Bu, x = 11 4 ve y = 1 4 verir. Dolayısıyla doğru, xy-düzlemini ( 11 4, 1 4, 0) noktasında keser. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 85/ 104 Örnek Örnek : x = 1 + t y = 2 + 3t z = 4 t x = 2s y = 3 + s z = 3 + 4s parametrik denklemleri ile verilen L 1 ve L 2 doğrularının aykırı doğrular olduğunu, başka bir deyişle, kesişmediklerini ve paralel olmadıklarını (dolayısıyla da aynı düzlemde bulunmadıklarını) gösteriniz. Çözüm : < 1, 3, 1 > ve < 2, 1, 4 > vektörleri(bileşenleri orantılı olmadığından) paralel olmadığı için doğrular da paralel değildir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 86/ 104

44 Örnek... L 1 ve L 2 doğrularının kesiştikleri noktada aşağıdaki denklemlerin t ve s çözümü olması gerekir. 1 + t = 2s 2 + 3t = 3 + s 4 t = 3 + 4s Ancak ilk iki denklemden t = 11 5 ve s = 8 5 elde ederiz ve bunlar üçüncü denklemi sağlamaz. Dolayısıyla üç denklemi birden sağlayan t ve s değerleri olmadığından L 1 ve L 2 kesişmezler. Bu da L 1 ve L 2 nin aykırı doğrular olduğunu gösterir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 87/ 104 Düzlemler Uzaydaki bir düzlem, üzerinde bulunan bir P 0 (x 0, y 0, z 0 ) noktası ile düzleme ortogonal bir n vektörü ile belirlenir. n ortogonal vektörüne normal vektör denir. P 0 (x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve normal vektörü n =< a, b, c > olan düzlemin skaler denklemi: dir. a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 (6) Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 88/ 104

45 Örnek Örnek : (2, 4, 1) noktasından geçen ve normal vektörü n =< 2, 3, 4 > olan düzlemin bir denklemini bulunuz. Kesenlerini bularak düzlemi çiziniz. Çözüm : Denklem (6) de a = 2, b = 3, c = 4, x 0 = 2, y 0 = 4 ve z 0 = 1 alarak, düzlemin bir denklemini olarak elde ederiz. 2(x 2) + 3(y 4) + 4(z + 1) = 0 2x + 3y + 4z = 12 Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 89/ 104 Örnek x kesenini bulmak için bu denklemde y = z = 0 alırsak, x = 6 çıkar. Benzer şekilde y keseni olarak 4 ve z-keseni olarak 3 bulunur. Bu bilgi düzlemin birinci bölgede kalan kısmını çizmemizi sağlar. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 90/ 104

46 Düzlemler Denklem (6) deki terimleri düzenleyerek, düzlemin denklemini, ax + by + cz + d = 0 (7) biçiminde yeniden yazabiliriz. Denklem (7) e x, y ve z ye göre doğrusal denklem denir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 91/ 104 Örnek Örnek : P (1, 3, 2), Q(3, 1, 6) ve R(5, 2, 0) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulunuz. Çözüm : P Q ve P R ye karşılık gelen a ve b vektörleri a =< 2, 4, 4 > b =< 4, 1, 2 > dir. a ve b nin her ikisi de düzlemde olduğundan onların a b vektörel çarpımı düzleme diktir ve düzlemin normal vektörü olarak alınabilir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 92/ 104

47 Örnek... Buradan n = a b = i j k = 12 i + 20 j + 14 k bulunur. P (1, 3, 2) noktası ve n normal vektörü kullanılarak düzlem denklemi olarak bulunur. 12(x 1) + 20(y 3) + 14(z 2) = 0 6x + 10y + 7z = 50 Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 93/ 104 Nokta-Düzlem Arası Uzaklık P (x 0, y 0, z 0 ) noktasından ax + by + cz + d = 0 düzlemine olan D uzaklığını veren formül: biçiminde yazılabilir. D = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 (8) Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 94/ 104

48 Bazı Standart İkinci Dereceden Yüzeyler Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 95/ 104 Bazı Standart İkinci Dereceden Yüzeyler Standart biçimdeki altı temel ikinci dereceden yüzeyin bilgisayar tarafından çizilmiş grafiklerini görelim. Tüm bu yüzeyler z-eksenine göre simetriktir. İkinci dereceden bir yüzey başka bir eksene göre simetrik ise, denklemi de ona uygun olarak değişir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 96/ 104

49 Bazı Standart İkinci Dereceden Yüzeyler Elipsoit x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 Tüm kesitler elipstir. Eğer a = b = c ise küredir. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 97/ 104 Bazı Standart İkinci Dereceden Yüzeyler Eliptik Koni x 2 a 2 + y2 b 2 = z2 c 2 Yatay kesitler elipstir. Düşey kesitler yani x = k veya y = k olduğunda, k R, k 0 için hiperboldür; k = 0 için ikişer adet doğrudur. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 98/ 104

50 Bazı Standart İkinci Dereceden Yüzeyler Eliptik Paraboloit x 2 a 2 + y2 b 2 = z c Yatay kesitler elipstir. Düşey kesitler paraboldür. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 99/ 104 Bazı Standart İkinci Dereceden Yüzeyler Tek Parçalı Hiperboloit x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 Yatay kesitler elipstir. Düşey kesitler hiperboldür. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 100/ 104

51 Bazı Standart İkinci Dereceden Yüzeyler İki Parçalı Hiperboloit x2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 1 k < c veya k > c için yatay kesitler elipstir. Düşey kesitler hiperboldür. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 101/ 104 Bazı Standart İkinci Dereceden Yüzeyler Hiperbolik Paraboloit x 2 a 2 y2 b 2 = z c Yatay kesitler hiperboldür Düşey kesitler paraboldür. Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 102/ 104

52 Silindirik Koordinatlar Üç boyutlu uzayda bir nokta silindirik koordinatlar kullanılarak da ifade edilebilir. r ve θ polar koordinatlardaki gibi olmak üzere Şekil 14: Kartezyen Koordinatlardan Silindirik Koordinatlara Geçiş Şekil 15: Silindirik Koordinatlardan Kartezyen Koordinatlara Geçiş Şekil 16: Silindirik Koordinatlar Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 103/ 104 Küresel Koordinatlar Üç boyutlu uzayda bir nokta küresel koordinatlar kullanılarak da ifade edilebilir. ρ 0, 0 φ π, θ silindirik koordinatlardaki gibi olmak üzere Şekil 17: Kartezyen Koordinatlardan Küresel Koordinatlara Geçiş Şekil 18: Küresel Koordinatlardan Kartezyen Koordinatlara Geçiş Şekil 19: Küresel Koordinatlar Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 104/ 104