Transkript

1 u kitbın bütün ın hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve MTİN YYINLRI n ittir. Kısmen de ols lıntı pılmz. Metin, biçim ve sorulr, ımln şirketin izni olmksızın, elektronik, meknik, fotokopi d herhngi bir kıt sistemile çoğltılmz, ımlnmz. İSN MTİN YYINLRI Tel: Yzrlr Gökhn MTİN gokhn.metin@hotmil.com Müjdt RN mujoloji@hotmil.com oç. r. hn TUTR tutr@gmil.com ilimsel İnceleme Hüsein KIŞ Hukuk nışmnı Hkn MİRY Grfik Tsrım Merve ÖZY merveildizozb@hotmil.com izgi pletreklm06@gmil.com srkngenc@gmil.com Genel ğıtım Meşrutiet ddesi No: / Kızıl / NKR Tel: 0 00 Fks : 0 9 demirbogli@gmil.com skı dn Yıncılık.Ş. nkr

2 FSİKÜL VRİMLİ ÇLIŞM RHRİ Sevgili öğrenciler ve değerli meslektşlrım, iresel Mtemtik Fsikülleri, mtemtik bilmeene keifli bir olculuk, mtemtik bilene htsız soru çözme kbilieti kzndırck şekilde tsrlnmıştır. Her fsikül, en temelden dım dım mtemtiğinizi geliştirip güçlendirecek tekniklerle oluşturulmuştur. Sf bşlıklrıl, her ünite, nlmı kollştırıcı lt bşlıklr rılmıştır. Konu Özeti : Konu özetlerinde kvrmlr mdde mdde vurgulnmıştır. : Urı ikonlrıl htırltmlr ve dikkt edilmesi gerekenler belirtilmiştir. (*) : ipnotlrl konu dışı kvrmlr çıklnmıştır. ÖRNK ve : Örnekler sf bşlığını en ii çıklck şekilde özenle kurulmuş ve çözümleri kolc nlşılck şekilde düzenlenmiştir. : Her bşlıkl ilgili el lışknlığı kznmnızı sğlck bolc soru Sır Sende kısmınd, cevplrınızı kolc kontrol edebileceğiniz şekilde sorulmuştur. Ugulm Zmnı : elirli rlıklrl birikimlerinizi değerlendirme ugulmlrı konulmuştur. Tekrr Zmnı : Ünite sonlrınd öğrendiklerinizi test tekniğile pekiştireceğiniz ve çözümlerile unuttuklrınızı htırlcğınız testler sunulmuştur. nhtr kvrmlr ve çözümler renklendirilerek frk etmeniz sğlnmıştır. Öğrencilerin sık düştüğü htlr vurgulnrk belirtilmiştir. Prtik ve eğlenceli çözümlerle kıld klıcılık rttırılmıştır. Her konu, özenle oluşturuln Konu Testi ile pekiştirilirken, " çözümünü "SİZİN İÇİN ÇÖZÜKLRİMİZ" kısmınd bulbilirsiniz. " ikonul belirtilen sorulrın Sonuç olrk, şunu diebiliriz ki; mtemtik rıntılrd gizlidir. undn dolı sbırl her fsikülü, ünitei, bşlığı ve mddei nlrk, her örneği ve soruu çözerek mtemtiği kolc öğrenebilir, sınvlrdki mtemtik korkunuzdn kurtulbilirsiniz. şrılı bir gelecek dileğile MTİN YYINLRI

3 İÇİNKİLR ÇISL KVRMLR Trigonometri Kvrmı ve Yönlü çılr... çı Ölçü irimleri - I... çı Ölçü irimleri - II... irim (Trigonometrik) Çember... ss Ölçü... Ugulm Zmnı... 6 TRİGNMTRİK FKSİYNLR Sinüs ve Kosinüs Fonksionlrı... 8 Tnjnt ve Kotnjnt Fonksionlrı... 9 Seknt ve Koseknt Fonksionlrı... 0 Tnım Kümesi ve eğer rlıklrı... Ugulm Zmnı... Trigonometrik Özdeşlikler I... Trigonometrik Özdeşlikler II... Trigonometrik Sdeleştirmeler I... Trigonometrik Sdeleştirmeler II... 6 Özel çılrın Trigonometrik rnlrı... 7 Trigonometri etveli... 8 Ugulm Zmnı... 9 Tekrr Zmnı LÜ TST... LÜ TST... İK ÜÇGN TRİGNMTRİK RNLR ik Üçgenlerde r çılrın Trigonometrik rnlrı... 7 Trigonometrik rnlrdn iri Verildiğinde iğer Trigonometrik rnlrı ulm... 8 Trigonometrik rnlrdn irini lde dip... 9 iğer Trigonometrik rnlrı ulm... 9 Tümler çılrın Trigonometrik rnlrı rsı İlişki... 0 Trigonometrik rnlr Yrdımıl Kenr Uzunluğu ulm... Üçgenlerde Trigonometrik rnlr... Trigonometrik rnlr insinden İfde... İkizkenr ve şkenr Üçgenlerde Trigonometrik rnlr... Krelendirilmiş Şekillerde Trigonometrik rnlr... örtgenlerde Trigonometrik rnlr... 6 Ymukt ve Çemberde Trigonometrik rnlr... 7 Geometrik isimlerde ve Koordint üzleminde Trigonometrik rnlr... 8 Ugulm Zmnı... 9 Tekrr Zmnı LÜ TST... TRİGNMTRİK ÖLGLR Trigonometrik ölge İşretleri... ölgesine Göre ik Üçgende Trigonometrik rnlr... ksen çılrı Yrdımıl Trigonometrik Özdeşlikler... 6 ksen çılrı Yrdımıl Trigonometrik şitlikler... 7 Negtif çıl ve ss Ölçüle Trigonometrik Özdeşlikler den üük Özel çılr ve Trigonometrik Sdeleşmeler... 9 Trigonometrik İfdelerde Hrflendirme... 0 Trigonometrik İşretlerin Geometrik Yorumu... Üçgenin İç çılrı ve irim Çemberde Trigonometrik Özdeşlikler... Trigonometrik Sırlmlr - I... Trigonometrik Sırlmlr - II... Ugulm Zmnı... Tekrr Zmnı LÜ TST... 7 TPLM FRK FRMÜLLRİ sin ( ± b) ve cos ( ± b) Formülleri tn ( ± b) ve cot ( ± b) Formülleri... 6 Özel çılr ile Toplm ve Frk... 6 Toplm - Frk Formüllerinin Geometrik Yorumu... 6 Ugulm Zmnı Tekrr Zmnı LÜ TST LÜ TST YRIM ÇI FRMÜLLRİ Sinüs Fonksionund Yrım çı... 7 Sinüs Yrım çı Ugulmlrı... 7 Kosinüs Fonksionund Yrım çı... 7 Tnjnt ve Kotnjnt Fonksionund Yrım çı... 7 ik Üçgenlerde Yrım çı ve Özel Yrım çılr Yrım çı İle Tm Kre, İki Kre Frkı ve den Kurtulm Yrım çıd Sdeleşme Üç Ktlı çı Formülleri Ugulm Zmnı Tekrr Zmnı LÜ TST... 8 ÖNÜŞÜM FRMÜLLRİ Toplmı Çrpım önüştürme... 8 önüşüm İle Sdeleşmeler ve rdışık önüşümler Ters önüşüm Formülleri Ugulm Zmnı Tekrr Zmnı LÜ TST TRMLR V PRLMLR Kosinüs Teoremi... 9 Kosinüs Teoremi Ugulmlrı... 9 Sinüs Teoremi... 9 Sinüs Teoremi Ugulmlrı... 9 Üçgenin Sinüslü lnı iğer ln ğıntılrı Trigonometrik Problemler irim Çember Geometrisi Ugulm Zmnı Tekrr Zmnı LÜ TST... 0 TRİGNMTRİK NKLMLR sin = ve cos = enklemlerinin Çözümü... 0 tn = ve cot = enklemlerinin Çözümü Çözüm Kümesi elirleme Özdeşlikler Yrdımıl enklem Çözme çılımlr Yrdımıl enklem Çözme ereceden Trigonometrik enklemler... 0 cos ve sin e Göre oğrusl enklemler... sin ve cos e Göre Homojen enklemler... elirli ir rlıktki Kökler... Trigonometrik şitsizlikler... Ugulm Zmnı 0... Tekrr Zmnı LÜ TST... 7 TRİGNMTRİK FNKSİYNLRIN GRFİĞİ Period ve Periodik Fonksion... 0 Trigonometrik Fonksionlrın Periodu... Grfik Çizme ve Sinüs Fonksionunun Grfiği... Kosinüs ve Tnjnt Fonksionunun Grfiği... Kotnjnt Fonksionunun Grfiği Grfik Yrdımıl Kök Sısı ulm... Trigonometrik Fonksionlrın Tekliği - Çiftliği... Ugulm Zmnı... 6 TRS TRİGNMTRİK FNKSİYNLR Tnım ve eğer Kümeleri... 7 eğer Tespiti... 8 Ters Trigonometrik İfdelerin Trigonometrik eğerleri - I... 9 Ters Trigonometrik İfdelerin Trigonometrik eğerleri - II... 0 Fonsionel İfdeler ve enklemler... Ters Trigonometrik Fonksionlrın Grfikleri... Ugulm Zmnı... Tekrr Zmnı LÜ TST... KNU TSTLRİ... 7 SİZİN İÇİN ÇÖZÜKLRİMİZ... 09

4 Trigonometri Kvrmı ve Yönlü çılr ÇISL KVRMLR Konu Özeti Trigonometri; "trigon" üçgen, "metri" ölçüm nlmın gelen üçgenin çılrı ile kenrlrı rsınd bğıntı kurn mtemtik dlıdır. ÖRNK Şekilde üç eşit prç rılmış mer- kezli çember için şğıdki çılrın ve lrın önü ile birlikte ölçüsünü belirtiniz. ) b) c) % ) d) v Fen bilimleri, mimrlık - mühendislik ve stronomi gibi birçok bilim lnınd kullnılır. Trigonometri, "önlendirilmiş çılrın" sinüs ve cosinüs dı verilen fonksionlr ile hesplnn değerleri üzerine inş edilir. Şekildeki her bir prç 60 = 0 lik çı ölçüsüne shiptir. ) nin bşlngıç kenrı [] dır, 0 bitim kenrı [] dir. Sinüs ve kosinüs fonksionlrı trigonometrinin temel pı tşlrıdır, ileride detlı değinilicektir. Öncelikle çısl kvrmlrı detlı öğrenmeliiz. b) +0 nin bşlngıç kenrı [] dır, bitim kenrı [] dir. Yönlü çılr: Stin dönme önünün tersi ( ) önünündeki çılr pozitif önlü çılr, sttin dönme ( ) önündeki çılr negtif önlü çılrdır. c) 0 % nin bşlngıç noktsı dır, bitim noktsı dir. v Çember lrının çı ölçüleri de çılr gibi önlü olrk belirtilebilir. ir çember "ının uzunluğu" ile "çı ölçüsü" birbirinden frklı kvrmlrdır. İKKT İNİZ! d) +0 ) ; noktsındn bşlrk noktsındn geçip noktsınd biter.. Şekilde dört eşit prç rılmış merkezli çember için şğıdki çılrın ve lrın ölçülerini önlü olrk belirtiniz. %. m ( ) = 0 vem ( ) =-0 olduğun göre % m( ) + m( ) toplmının önlü değeri kç derecedir? % ) d) b) ) c) e) ) f). Stinin dkik ileri olduğunu gören li, stini düzeltmek için elkovnı kç derecelik önlü çıl döndürmelidir? ) ) 90 b) 90 c) 70 d) 90 e) 80 ve 80 f) 70 ) 0 ) 90

5 ÇISL KVRMLR çı Ölçü irimleri - I Konu Özeti (erece ve lt irimleri) Tm bir çember ının /60 ını gören merkez çının ölçüsüne ( derece) denir. v nin /60 ı ' ( dkik) dır: = 60' v ' nın /60 ı '' ( snie) dir: ' = 60'' = 60' = 600'' dir. c) = 600'' 0 = 6000'' dir. ' = 60'' 0' = 600'' dir. hlde, 0 0' 0'' = 6000'' + 600'' + 0'' = 660'' bulunur. d) = 60' 0 = 800' dır. hlde 0 0' = 800' + 0' = 80' bulunur. ÖRNK (çılrl İşlemler) ÖRNK (erece, kik, Snie önüşümleri) şğıdki verilen çı ölçülerini istenilen birime çeviriniz. ) 8000'' =??'?'' b) 00'' =??'?'' c) 0 0' 0'' =?'' d) 0 0' =?' erece, dkik, snie geçişlerinden modüler ritmetikten (mod 60) fdlnılır. ) '' = 6 6' 0'' dir Kln hesplmlrınd "SIFIRLR SLŞTİRİLMZ" 6' İKKT İNİZ! 0'' b) ' '' 0'' = ' 0'' 0 '' nin içinde derece cinsinden çı oktur. m ( ) = ' 0'' ve m( ) = 60 0' '' ) m( ) b) m ( ) + m( ) c) m( ) - m ( ) ) m ( ) = ( ' 0'') = 0 70' 0'' dır. 8 70' = 60' + 0' = + 0' olduğundn, 7 hlde, 0 70' 0'' = 0' 0'' dir. 7 0 ' b) m( ) = ' 0 '' m( ) = 80 60' '' + m ( ) + ( ) = 9 9' '' = 9 97' '' = 96 7' '' ; 7 0''+'' = ' ' 60' 7' = 7' = 60' c) m( ) = 60 0' '' 9 80' '' m ( ) = ' 0'' ' 0'' m( ) - m ( ) = ' '' bulunur '' lik çı derece, dkik ve snie cinsinden kç eşittir?. m ( ) = ' '' olduğun göre; m ( ) ) nin eşiti nedir?. kvtor düzlemi ile ün ekseni örünge düzlemi rsınd kln çı ün'nın eksen eğikliği denir. ün ekseni ile örünge düzlemi rsındki çı 66 ' olduğun göre ün'nın eksen eğikliğinin çı ölçüsü nedir? (ün ekseni ekvtor düzlemine diktir.) Yörünge düzlemi kvtor düzlemi b) çısının bütünlerinin eşiti nedir? ) 6 0' ) ) ' '' b) 6 8' 8'' ) 7'

6 çı Ölçü irimleri - II ÇISL KVRMLR Konu Özeti (Rdn) b) R = & rdndır. ir çemberde rıçp uzunluğundki bir ı gören merkez çının ölçüsüne rdn denir. v Y d tm bir çember ının / sini gören merkez çının ölçüsüne rdn denir. 80 R c) = & R = rdndır. 80 ÖRNK (Rdnı erecee Çevirme) erece ile rdnı birbirine çevirirken; R R = & = bğıntısındn fdlnılır. ÖRNK (erecei Rdn Çevirme) şğıd ölçüleri derece cinsinden verilen çılrı rdn cinsinden ifde edeniz. ) 0 b) 90 c) 80 R = bğıntısındn fdlnılır R ) = & R = 0 rdndır. 80 şğıd ölçüleri rdn cinsinden verilen çılrı derece cinsinden ifde edeniz. ) b) c) R = bğıntısın göre, 80 ) = & = 60 bulunur. 80 b) = & = 60 bulunur. 80 c) = & = 70 bulunur. 80. şğıd ölçüleri derece cinsinden verilen çılrın rdn cinsinden değerini bulunuz.. şğıd ölçüleri rdn cinsinden verilen çılrın derece cinsinden değerini bulunuz. ) e) 7 ) e) 6 b) 0 f) 0 b) 9 f) c) g) 70 c) g), d) 60 h) 60 d) h) ) ) b) 6 c) d) e) ) ) b) 0 c) d) 0 e) 0 f) g) h) f) 0 g) h) 60

7 TRİGNMTRİK FKSİYNLR Seknt ve Koseknt Fonksionlrı Konu Özeti çısının birim çember üzerindeki görüntüsü oln (0, c) noktsındn çizilen teğetin eksenini kestiği nokt (s, 0) (s, 0) ve eksenini kestiği nokt (0, c) ise: v (s, 0) ın psisi, nın sekntıdır: s = sec v (0, c) nin ordintı, nın kosecntıdır: c = cosec Seknt ve kosecntın sinüs ve kosinüs cinsinden ifdesi; v sec = v cosec = cos sin Seknt ve cosekntın. hrflerini, kosinüs ve sinüs cinsinden zrken ipucu olrk kullnbilirsiniz. R- ' + k, k! Z kümesindeki bir reel sısını sec dönüştüren fonksion seknt fonksionu ve R- " k, k! Z, kümesindeki bir reel sısını cosec dönüştüren fonksion koseknt fonksionu denir. ÖRNK (irim Çember Üzerindeki Nokt) çısının birim çember üzerindeki görüntüsü (0,6; 0,8) noktsı olduğun göre şğıdki ifdelerin değerlerini bulunuz. ) sec b) cosec çısının görüntüsü (0,6; 0,8) ise cos = 0,6 ve sin = 0,8 dir. hlde, 0 ) sec = = = = tür. cos 06, 6 0 b) cosec = = = = tür. sin 0, 8 8 ÖRNK (irim Çember Geometrisi) [] şekildeki birim çembere noktsınd teğet ise trlı lnı cinsinden belirtiniz. (0, cosec ) ve (sec, 0) olduğun göre dik üçgeninde = cosec br ve = sec br dir. (0, cosec ) cosec (sec, 0) sec hlde, c s cosec e ^ h = br bulunur.. şğıdki tblod verilen çılrın birim çember üzerindeki görüntülerini tespit edip, bu görüntüe göre verilen çılrın sekntlrını ve kosekntlrını bulunuz. irim Çember çı Üzerindeki (erece) Görüntüsü Sec osec ) 0 b) 90 c) 80 d) 70., c - m noktsı birim çember üzerinde çılık ölçüe ship bir nokt olduğun göre sec cosec çrpımının değeri kçtır?. [] şekilde verilen çerek birim çemberde T noktsınd teğettir. m ( ) = olduğun göre + toplmının cinsinden eşiti nedir? T 60 0 ) ) (, 0),, tnımsız b) (0, ), tnımsız, c) (, 0),, tnımsız c) (, 0),, tnımsız d) (0, ), tnımsız, e) (, 0),, tnımsız ) - ) sec + cosec

8 Tnım Kümesi ve eğer rlıklrı TRİGNMTRİK FKSİYNLR Konu Özeti Fonksion: Tnım kümesi eğer Kümesi sin : R [, ] cos : R [, ] tn : R- ' + k, k! Z R cot : R- " k, k! Z, R ÖRNK (ğımlı ve ğımsız eğişkenler) şğıdki ifdelerin lbileceği en küçük ve en büük değeri bulunuz. ) = sin + cos b) = sin + cos Sinüs ve kosinüs fonksionlrı [, ] rlığı dışınd değer lmz. Yni R için; G sin G ve G cos G dir. ) sin sin cos cos + irim çemberde; bitim kenrı, tnjnt eksenine prlel uznn çılrın c + k, k! Zm tnjntı ve ko- - 7 sin+ cos 7 hlde nın lbileceği en küçük değer 7, en büük tnjnt eksenine prlel uznn çılrın ^k, k! Z h değer 7 dir. kotnjntı tnımsızdır. Tnımlı olduğu rlıklrd R için; b) ğımlı değişkenli eşitsizlikler trf trf TPLN- MZ. G tn G ve G cot G dur. u trz durumlr ile krşılşırsnız. ÖRNK (eğer rlığı) - + b sin + bcos + b bğıntısındn fdlnınız. Sebebi ilerde = sin + olduğun göre nın değer rlığını nltılcktır. bulunuz. sin ( sin ) &- sin &- + sin + + ni [, ] bulunur. - + sin+ cos + &- - hlde nin lbileceği en küçük değer, en büük değer tir.. = sin olduğun göre nın değer rlığı nedir? şğıdki ifdelerin lbileceği en büük ve en küçük değerleri bulunuz.. = sin + cos. cos+ ifdesinin lcğı en büük ve en küçük değer kçtır?. = 6 sin cos +. = sin + cos ) en büük = 8 ) en büük = 9 ) en büük = ) [, ] ) en büük =, en küçük = en küçük = 8 en küçük = 7 en kçük =

9 Ugulm Zmnı Ugulm. şğıd verilen trigonometrik ifdelerin eşitini bulunuz.. = ) sin 90 + cos 80 + cos 70 = b) sin 70 + tn 0 + cot 80 = Şekildeki birim çemberde verilen nın cinsinden eşiti nedir? c) tn 0 + sin + cot =. = cos olduğun göre nın değer rlığı nedir? tn + cos 0 d) = sin - cot 7 cos - cos e) = sinc- m cos( -8) 6. - cos ifdesinin değer rlığı nedir? 7. şğıd ifdelerin lbileceği en büük ve en küçük değerleri bulunuz.. f, p birim çember üzerinde çılık ölçüe ship bir nokt olduğun göre tn + cot toplmının değeri nedir? ) = sin + 6 cos b) = cos sin c) = -sin-cos d) = cos sin. çısının birim çember üzerindeki görüntüsü birinci bölgedeki f, p olduğun göre cos + sin 0 nedir? e) = 6sin + cos f) F = sin + cos ) + c o ) 6 t 6) -, = 9 ; 7) ) K = 9 ) ) 0 b) c) 0 d) e) ) 0 ) b) = 6 K = 0 = c) K = = d) K = = e) e) = K = - K = 0

10 Trigonometrik Özdeşlikler I TRİGNMTRİK FKSİYNLR Konu Özeti (sin + cos = ) Konu Özeti (tn, cot, sec, cosec ) çısının birim çember üzerindeki görüntüsü (, ) ise = cos = ve = sin = dir. (, ) tnjnt, kotnjnt, seknt ve koseknt fonksionlrı sinüs ve kosinüs fonksionlrı ile ifde edilebilir. sin cos v tn = ve cot = dır. cos sin dik üçgeninde pisgor bğıntısı ile v sec = ve cosec = dır. + = & ( cos ) + ( sin ) = cos sin sin + cos = dir. un göre; v sin + cos = sin = cos dır. v sin + cos = cos = sin dir. ÖRNK ise sin cos nın değerini bulu- sin + cos = nuz. ( + b) = + b + b olduğunu htırlınız. (sin + cos ) = ( ) sin + cos + sin cos = + sin cos = sin cos = sin cos = bulunur. ÖRNK sec = cosec ise tn + cot nın değerini bulunuz. sec = cosec & = ise < > cos sin cos sin sin (i) sin = cos & = & tn = tür. cos cos (ii) sin = cos & = & cot = tür. sin hlde tn+ cot = + = bulunur.. şğıd verilenlerin eşitini bulunuz.. sin + cos = sin + cos eşitliğine göre cot kçtır? ) sin + cos = b) sin 8 + cos 8 = c) cos + sin + =. sin+ cos cos- sin = kçtır? eşitliğine göre tn. sin + cos = olduğun göre sin cos kçtır? ) ) b) c) ) 9 8 ) - ) 7

11 Krelendirilmiş Şekillerde Trigonometrik rnlr İK ÜÇGN TRİGNMTRİK RNLR Konu Özeti br Krelendirilmiş şekillerde, trigonometrik ornı soruln çı, kenr birimleri belli dik üçgene tşınır. çısını kenrlrı bilinen dik üçgene iç ters çı ile tşılım, br br ÖRNK hlde ş krelerden oluşn ndki şekle göre sin + cos toplmının dereğerini bulunuz. sin = ve cos = olduğundn 7 sin+ cos = + = ; < bulunur.. F. F Şekil özdeş dört kreden oluşmuştur. [] [] = {F} olduğun göre sin( F ) kçtır? Şekildeki dikdörtgeni özdeş 6 kreden oluşmktdır. un göre tn( F ) değeri kçtır?. Şekildeki dikdörtgeni özdeş kreden oluşmktdır. un göre sin + cos toplmı kç eşittir?. F Sekiz özdeş kreden oluşmuş ndki şekilde ve noktlrı [] üzerindedir. un göre sin( ) cos( F ) çrpımının değeri kçtır? ) ) 7 ) )

12 İK ÜÇGN TRİGNMTRİK RNLR örtgenlerde Trigonometrik rnlr Konu Özeti örtgenlerde köşegen, benzerlik ve prlel doğrulrd çı özellikleri ile oluşturuln dik üçgenlerde trigonometrik ornlr ugulnbilir. Özel dörtgenler; prlelkenr, eşkenr dörtgen dikdörtgen, kre, deltoid ve muğun özelliklerini kısc htırllım. Kre v Prlelkenr ve dikdörtgende köşegenler birbirlerini "ortlr", kre ve eşkenr dörtgende köşegenler birbirini "dik ortlr". v Prlel kenr ship Prlel Kenr dörtgenlerde, gerektiğinde "iç ters çılrdn fdlnmı unutmınız. v ik köşeli dörtgenlerde dik üçgen benzerliği ile "tümler çı ktrımı" pılbilir. 90 ikdörtgen 90 ÖRNK Şekildeki kresinde bulunduğu kenrın ort noktsı ise cos ı bulunuz. = = br dersek, = br olur. dik üçgeninde pisgor bğıntısı ile dik üçgeninde, ÖRNK = br bulunur. cot Şekildeki prlel kenrd verilenlere göre sin ı bulunuz. = = bulunur. cm m ( ) = m ( ) (iç ters) ikizkenr üçgende; 6 H = H = = cm dir. & H de -- özel dik üçgeni ile H hlde H dik üçgeninde, sin 90 6 cm cm cm H cm cm cm = c bulunur. m = dir.. Şekilde kre ve = olduğun göre cos değeri kçtır?. 0 F 0 0 dikdörtgeninde F = 0 br F = = 0 br olduğun göre cot nedir?. kre, m ( ) = = br ve = 8br olduğun göre cot nedir?. i 0 i dikdörtgeninde m ( ) = m ( ), < = br = 0 br olduğun göre kç br dir? = 6 ) ) ) )

13 Ymukt ve Çemberde Trigonometrik rnlr İK ÜÇGN TRİGNMTRİK RNLR Konu Özeti (Ymukt Trigonometrik rnlr) Konu Özeti (Çemberde Trigonometrik rnlr) d Ymukt genellikle şğıdki ek çizimler rdımıl elde edilen dik üçgenlerde trigonometrik ornlr ugulnır. c c c d b b c c c c c c c Çeşitkenr Ymuk İkizkenr Ymuk ik Ymuk ÖRNK Şekildeki mukt [] // [] br ise verilenlere göre sin ı bulunuz. b b d br 7 br d b br br [], [] e prlel olrk çizildiğinde oluşn br br üçgeninin kenrlrı br, br, br br br ve = + olduğundn, çısı 90 7 br oln bir dik üçgendir. hlde dik üçgeninde sin = bulunur. br Çemberde trigonometrik orn zılırken genellikle şğıdki diklik durumlrındn fdlnılır. T M Çpı gören her çevre çı 90 dir. ÖRNK Teğet 90- M Merkezden teğet değme noktsın çizilen doğru prçsı teğete diktir. Şekildeki merkezli rım çembere [] noktsınd teğet, = br ve = 9br olduğun göre cot ı bulunuz. Merkez çı gördüğü eşit, çevre çı gördüğü ın rısı ölçüdedir. br 9 br br dik üçgeninde öklit bğıntısını ugulrsk 6 br 9 br = 9 & = 6 br dir. 9 hlde dik üçgeninde cot = = bulunur. 6. br br 6 br Şekildeki dik muk m ( ) =. br br Şekildeki merkezli rım çembere noktsınd teğettir. = br, = br olduğun göre tn değeri kçtır? = br, = br, = 6 br olduğun göre sin kçtır?. br. P d br br br Şekildeki muk [] // [], = = = br, = br olduğun göre cot kçtır? Şekildeki merkezli çemberde d doğrusu çembere P noktsınd teğettir. = br, = br olduğun göre sin değeri kçtır? ) ) ) ) 7

14 İK ÜÇGN TRİGNMTRİK RNLR Geometrik isimlerde ve Koordint üzleminde Trigonometrik rnlr Konu Özeti (Geometrik isimlerde Trigonometrik rnlr) Konu Özeti (Koordint üzleminde Trigonometrik rnlr) Üç boutlu geometrik cisimlerde dik üzeler ve dik rıtlr rdımıl oluşturuln dik üçgenlerde trigonometrik ornlr ugulnır. Koordint düzleminde noktlrın koordint düzlemine oln dik uzunluklrı ile oluşturuln dik üçgenlerde istenilen trigonometrik ornlr ugulnır. ÖRNK N Yndki küpte verilenlere göre K cos ı bulunuz. [] = [N] olduğundn N dik üçgendir. L M ÖRNK Yndki şekilde verilenlere göre tn ı bulunuz. (, 6) Küpün bir rıtı br ise üze köşegen uzunluğu = br ( dik üçgeninde pisgor) ve cisim köşegen uzunluğu N = br dir (N dik üçgeninde pisgor). hlde N dik üçgeninde, N cos = 6 = bulunur. ( ) 6 6 br (, 6) 6 br H br dik üçgeninde öklit bğıntısı ugulnırs, 6 = = 9 br dir. hlde H dik üçgeninde 6 tn = = bulunur. 9. K N L M Şekildeki küpte mm ( ) = dır. un göre sin değeri kçtır?. (9, 6) Şekildeki dik koodint sisteminde dik üçgen m ( ) =, (9, 6) olduğun göre sin kçtır?. Şekildeki küpte ve noktlrı bulunduğu rıntılrın ort noktlrıdır. m ( ) = olduğun göre sin cos çrpımı kç eşittir?. Şekildeki dik koodint sisteminde; kre, (6, 0), (0, 8) ve m ( ) = olduğun göre tn nın değeri kçtır? 8 ) ) 9 ) ) 7

15 Ugulm Zmnı Ugulm. 0 < < olmk üzere sin = olduğun göre tn + cot toplmının değeri kçtır? 6. sin = olduğun göre cos + cot 6 ifdesinin türünden eşiti nedir? 7. sin 0 tn 0 + ifdesinin değeri kçtır? cos 0 cot < < 90 olmk üzere cot = olduğun göre sin cos çrpımının değeri kçtır? 8. dik üçgeninde [] [], = ve tn = olduğun göre sin kçtır?. 0 < < olmk üzere tn = olduğun göre sin + cos toplmının cinsinden eşiti nedir? 9.. s c = - m olduğun o göre cos 68 nin m türünden eşiti nedir? H dik üçgen [] [], [] [H] dir. H = H olduğun göre cot( ) değeri kçtır?. cos- sin = olduğun göre sin- cos cos 0 cot ifdesinin değeri kçtır? 0. Şekildeki üçgeninde verilenlere göre uzunluğunun türünden eşiti nedir? 69 ) 60 ) 0 ) + + ) m - ) ) - 7) 8) 0 0 9) 0) cos 9

16 Trigonometrik İşretlerin Geometrik Yorumu TRİGNMTRİK ÖLGLR Konu Özeti Geometrik şekillerde, eksen çılrı ile dik üçgene ktrıln çı rdımıl trigonometrik ornlr ugulnır. ÖRNK muğund, [] // [], = = c, m ÖRNK (Geometrik Şekillerde Trigonometrik rnlr) = c ve m = c dir. m9 un göre tn( ) değerini bulunuz. 9 ş krelerden oluşmuş ndki şekilde tn değerinin bulunuz. [] // [] çizilirse prlelkenr ve kenr uzunluklrı cm, cm ve cm oln dik üçgen olur. θ + θ = 80 ise = 80 θ dır. tn = tn( 80 -i) =-tn i = - tür. θ θ öndeş m( ) = m( ) = ve m( ) = θ iken, + θ = 80 = 80 θ dır. hlde; tn( ) = tn = tn( 80 - θ) = tn θ =- tür.. i eş eş kreden oluşmuş ndki şekilde tn i değeri kçtır?. Şekilde eşkenr üçgen 6 = ve m ( ) = olduğun göre cot nın değeri kçtır?. muğund; 0 [] // [], = br, = br, = br ve = 0 br dir. un göre, sin + cos toplmının değeri kçtır?. P bir kre = m ( ) = olduğun göre tn nın değeri kçtır? ) - ) ) - ) - 9

17 TRİGNMTRİK ÖLGLR Üçgenin İç çılrı ve irim Çemberde Trigonometrik Özdeşlikler Konu Özeti (Üçgenin İç çılrıl Trigonometrik Özdeşlikler) Konu Özeti (irim Çemberde Trigonometrik Özdeşlikler) Üçgenin iç çılr toplmının 80 olmsındn fdlnılrk gerekli trigonometrik özdeşlikler işretlerine dikkt edilerek kurulur. irim çember üzerinde bir çının bitim noktsının koordintlrı tespit edilirken verilen çı pozitif eksenine göre düzenlenir gerekirse trigonometrik özdeşliklere bşvurulur. ÖRNK + ir üçgeninde cosc m- sinc m ifdesinin eşitini bulunuz. ir üçgenin iç çılrı toplmının 80 olduğunu htırlınız. + + = 80 & + = 80 - & + = sin( ) 6 cos 7 8 sin 67 + c m- c m= cosc90-8 m -sin = sin - sin = 0 bulunur. ÖRNK Şekildeki birim çember üzerindeki P noktsını θ cinsinden belirtiniz. = 70 + θ dır P noktsı P(cos, sin ) = P(cos (70 + θ), sin (70 + θ) = P(sin θ, cos θ) bulunur. θ θ P P. ir üçgeninde şğıdki ifdelerin eşitini bulunuz. ) cos + cos( + ) =. P Şekildeki birim çemberde verilenlere göre çember üzerindeki P noktsının koordintlrını bulunuz. b) sin( + ) - sin( ) = + c) cosf p- sinf p= + d) sin f p+ sin f p= + e) t c cotf p= o. K θ Şekildeki birim çemberde verilenlere göre K noktsının koordintını bulunuz. ) ) 0 b) 0 c) 0 d) e) ) P( sin, cos ) ) K( sin i, cos i)

18 Trigonometrik Sırlmlr - I TRİGNMTRİK ÖLGLR Konu Özeti Trigonometrik fonksionlr birim çemberdeki erlerine göre krşılştırılırlr. ÖRNK 0 < < < θ < 90 olmk üzere şğıdki ifdeleri krşılştırınız. ) sin, sin θ, b) cos, cos θ c) tn, tn θ d) cot, cot θ e) sin, tn f) cos θ, cot θ 0 < < < θ < 90 olck biçimde birim çemberin eksenleri üzerinde ve θ çılrının thmini erlerini belirleelim. h g f e θ tn ekseni bc = cos θ, b = cot θ, c = cos, d = cot e = sin, f = tn, g = sin θ, h = tn θ dir. d cot ekseni ) e < g sin < sin θ dir. b) < c cos θ < cos tir. c) e < h tn < tn θ dir. d) b < d cot θ < cot tir. e) e < f sin < tn tir. f) < b cos θ < cot θ dir. Görüldüğü üzere I. bölgede sinüs ve tnjnt rtn, kosinüs ve kotnjnt zln fonksionlrdır. ÖRNK (irim Çember ile Sırlm) < < b < c < iken, cos, cos b, cot b, ve cot c ifdelerini krşılştırınız. irim çember rdımı ile bölge ve işrete dikkt ederek krşılştırlım. cos cos b cot c cos < cos b < 0 ve 0 < cot c < cot b ise cos < cos b < cot c < cot b dir. b c cot b cot ekseni cos ekseni < < θ < olmk üzere istenilenleri verilen birim çember rdımıl bulunuz.. şğıdki hrflerin krşılık geldiği trigonometrik ornlrı ve θ cinsinden belirtiniz. = b = c = d = sin ekseni tn ekseni e = f = g = h = e f cot ekseni. şğıdki trigonometrik ifdeleri krşılştırınız. bc d θ cos ekseni ) sin sin θ e) sin tn g b) cos cos θ f) cos θ cot θ h c) tn tn θ g) sec sec θ d) cot cot θ h) cosec cosec θ ) = cot θ, b = cos θ c = cot, d = cos, e = sin, f = sin θ, g = tn θ, h = tn ) ) > b) > c) < d) > e) > f) > g) > h) <

19 TRİGNMTRİK ÖLGLR Trigonometrik Sırlmlr - II Konu Özeti Verilen ifdelerin dr çılı sinüs cinsinden özdeşlerini zlım; I. ölgede; sinüs ve tnjnt rtn, kosinüs ve kotnjnt zln fonksionlrdır. = sin 0, b = cos 90 = cos ( ) = sin 0 ve c = sin 0 = sin ( ) = sin 0 dir. I. ölgede sin rtn olduğu için; çı değerleri verilmiş trigonometrik ifdeler sırlnırken her ifdenin dr çılı sinüs ve tnjnt cinsinden özdeşleri zılıp birim çemberdeki erlerine göre, İŞRTİN İKKT İLRK sırlnır. sinüs ekseni tnjnt ekseni v 90 iken tn olduğundn [. 90 ] rlığınd tnjnt fonksionu sinüs fonksionunun her değerinden büüktür. Çünkü R için sin dir. sin 0 < sin 0 < sin 0 c < b < dır. ÖRNK (sinüs ve tnjnt Krşılştırmsı) şğıdki ifdeleri krşılştırınız. ) = sin ve b = tn b) m = sin 89 ve n = tn 6 b ) irim çemberde görüldüğü üzere I. bölgede nı çının sinisü tnjntındn küçüktür. hlde, ÖRNK (I. ölgeden sırlm) = sin 0, b = cos 90 ve c = sin 0 değerlerini küçükten büüğe doğru sırlınız. sin < tn < b dir. b) m = sin 89 < ve b = tn 6 > olduğundn, sin 89 < tn 6 m < n dir.. = sin 0, b = sin ve c = sin 7 olduğun göre, b ve c nin küçükten büüğe doğru sırlınışı nedir?. 0 = tnc- m, b = cot ve tn olduğun göre, b ve c nin büükten küçüğü doğru sırlnışı nedir?.. = sin ( 0 ) b = cot 0 ve c = cos ( 90 ) olduğun göre, b ve c nin küçükten büüğe sırlnışı = cos, b = cos ve = s olduğun i göre, nc nedir? b ve c nin büükten küçüğe doğru sırlnışı nedir? 6. şğıdkilerden hngisi d hngileri doğrudur? I. sin 0 < tn 0 IV. cot 60 < sin 0. = sin 0, b = cos 0 ve c = sin 0 olduğun göre, b ve c nin küçükten büüğe sırlnışı nedir? II. cos 00 < cot 00 V. cot 0 < cos 0 III. sin 0 > cos 70 VI. sec 90 > cosec 0 ) ) < b < c ) b = c > ) c < b < ) c > b > ) c < < b 6) I, III, IV, VI

20 YRIM ÇI FRMÜLLRİ ik Üçgenlerde Yrım çı ve Özel Yrım çılr Konu Özeti (ik Üçgende Yrım çı) Konu Özeti (Özel Yrım çılr) çısının trigonometrik ornı belli iken şekildeki dik üçgen çizilerek çısının trigonometrik ornlrı kolc bulunbilir. / / ;, ve 67, gibi özel çılrın rısı oln çılrın trigonometrik ornlrı bulunurken rım çı formüllerinden d dik üçgende rım çıdn fdlnılır. ÖRNK ÖRNK 0 < < 90 olmk üzere sin = ise tn nin değerini dik üçgen çizerek bulunuz. şğıdki ifdelerin değerini bulunuz. ) cos b) tn (, ) ) cos0 = cos( ) = cos - > dik üçgeninde; / & cos + - = & cos = b), dir. sin = & / 9 dik üçgeninde tn = = bulunur. 9 tn = tn(, ) = +, + = - bulunur. ( - ). dr çısı için tn değeri nedir? = olduğun göre tn in. cot nin değeri nedir?. d c0, m olmk üzere cos = olduğun göre tn kçtır?. cosec (,) sin (67,) çrpımının değeri nedir? 76 ) ) + ) + ) +

21 Yrım çı İle Tm Kre, İki Kre Frkı ve den Kurtulm YRIM ÇI FRMÜLLRİ Konu Özeti (Tm Kre İki Kre Frkı) Konu Özeti ( den Kurtrm) Tm kre; ( ± b) = + b ± b olduğundn sin çılımı ile ( sin! cos ) = sin + cos! sin cos = ± sin olur. sin ± sin = cos + sin! sin cos = (cos ± sin ) olur. sin İki kre frkı; ( b) ( + b) = b ile = (cos sin ) (cos + sin ) = cos - sin cos cos çılımı ile - cos = cos + sin -( cos - sin ) cos ÖRNK = cos + sin - cos + sin = s olur. i n şğıdki ifdelerde istenilenleri bulunuz. ) sin- cos = ise sin nı değeri b) cos - sin = ise cos nın değeri ) ^sin- cos h = c m & sin + cos - sin cos = & - sin = & sin = bulunur. sin b) cos - sin = & ^cos h - ^sin h = & ( cos - sin ) ( cos + sin ) = & cos = cos ÖRNK (0, 90 ) iken şğıdki ifdelerin eşitini bulunuz. ) + sin b) + c o s ) + sin = sin + cos + sin cos = ( sin+ cos ) = sin+ cos = sin+ cos dır. b) + cos = sin + cos + cos -sin cosc m = cos = cos = cos + cosc m. sin cos =+ olduğun göre sin kçtır?. - 0 c ifdesinin eşiti nedir? o s 8. (0, ) için sin+ cos = olduğun göre cot kçtır?. - cos sin 6 ifdesinin eşiti nedir?. sin + cos ifdesinin değeri kçtır? cos sin ifdesinin eşiti nedir? ) - ) ) ) 0 s ) cos i n ) tn 77

22 YRIM ÇI FRMÜLLRİ Yrım çıd Sdeleşme Konu Özeti ÖRNK (Pd şitleme) Kesirli trigonometrik ifdelerde pd eşitleerek ve rım çı ugulrk sdeleşebilicek terimler elde edilir. şğıdki ifdelerin eşitini bulunuz. sin cos ) - sin cos ÖRNK (Yrım çı ile Sdeleşme) sin ifdesinin en sde hlini bulunuz. cos sin sin cos = = sin dır. cos cos ÖRNK ( den kurtrrk Sdeleşme) cos 0 + ifdesinin en sde hlini bulunuz. sin 0 cos cos 0 + cos 0 - sin 0 + cos 0 + sin 0 = sin 0 sin0 cos 0 sin0 cos 0 cos0 cos 0 = = sin0 cos 0 sin0 cos 0 cos 0 = = cot 0 sin 0 b) cot tn sin cos sin cos - cos sin ) - = sin cos sin cos (cos ) (sin ) cos( - ) sin = = = sin cos sin σιν sin( - ) cos sin b) cot - tn = - sin cos cos( ) ( cos ) ( sin ) 678 cos - sin cos 0 cos 0 = = = sin cos sin cos sin 0 sin( ) = 0 c = bulunur. o t. sin0 cos 80 ifdesinin en sde hli nedir? sin0 sin 0. sin 8 cos 8 - ifdesinin sonucu nedir? sin 6 cos 6. + cos - cos ifdesinin en sde hli nedir?. + sin sin + cos ifdesinin en sde hli nedir?. cos 6 sin 6 + ifdesinin en sde biçimi nedir? cos sin 6. - ifdesinin değeri kçtır? cos0 cos ) cos 0 ) cot ) cos ) ) sin + cos 6)

23 Üç Ktlı çı Formülleri YRIM ÇI FRMÜLLRİ Konu Özeti sin = sin ( + ) = sin cos + cos sin cos 67 8 = sin s c cos + ( sin o ) sin = sin ( sin ) + sin sin ise = sin sin hlde, sin = sin sin tir. cos = cos ( + ) = cos cos sin sin = (cos sin ) cos sin cos sin = cos cos hlde, cos = cos cos tir. tn = tn ( + ) tn+ tn tn- tn = = - tn tn - tn tn- tn hlde, tn = tir. - tn ÖRNK 0, d c m için sin = olduğun göre sin in değerini bulunuz. sin = sin sin tir. sin = ise sin = - c m = - = bulunur. 7 7 ÖRNK (enklem Kökü Tespiti) sin 0 nin = 0 denkleminin bir kökü olduğunu gösteriniz. sin = sin sin ifdesinden sin 0 = sin 0 sin 0 olur. & = sin0 - sin 0 & = 6sin0-8sin 0 8 sin 0 6 sin 0 + = 0 bulunur. urdn sin 0 = lınırs = 0 bulunur.. 0, d c m için cos = olduğun göre cos in değeri nedir?. tn = olduğun göre, sin in değeri nedir?. θ sin k = olduğun göre θ sin nedir? nin k türünden eşiti. tn = olduğun göre, tn 6 in değeri nedir? Ç -. tn 8 = m olduğun göre tn nin m türünden eşiti nedir? 6. cos 0 nin 8 6 = 0 denkleminin bir kökü olduğunu gösteriniz. ) - ) k k m- m ) 7 - m 7 ) - ) - 6) Çözüm sfsın bkınız 79

24 TRMLR V PRLMLR Trigonometrik Problemler Konu Özeti Trigonometrik problemlerde ifdee ugun şekil çizilerek şimdie kdr öğrendiğimiz trigonometrik ornlr, özdeşlikler, çılımlr ve bğıntılr ugun üçgenlere ugulnıp oluşturuln denklem çözülür. ÖRNK Yerden 0 m ükseklikte uçn, ve noktlrındn bğlı iki uçurtmnın, iplerinin diğer uçlrı K noktsınd zemine L K bğlıdır. = 0 m ve nin dik izdüşümü oln L noktsı için KL = 0 m olduğun göre ipler rsındki K çısının tnjntını bulunuz. Şekli geometrik olrk çizelim mk ( ) =, mkl ( ) = ve mkl ( ) = ise = dir. & 0 KM de; tn = = ve 0 & 0 KL de; tn = = t ü r. 0 tn( K) = tn > - K 0 M tn- tn = tn( - ) = + tn tn ; ; - = = = = bulunur L.. m km m m K km km K m Şekiledeki K noktsındki bir tıcı elindeki silh ile noktsındki blon nişn lıp teş edior. nck silh elinden kdığı için kurşun derece sprk noktsındki blon isbet edip bolunu ptltıor. un göre, spm çısı nın tnjntı nedir? Şekilde K noktsındki bir tnk derecelik çı ile noktsın km uzklıktki noktsın tış pıor. h sonr bu tnk K noktsındn derecelik çı ile de noktsın tış pıor. K = km ve = km olduğun göre = kç km dir? 98 ) )

25 irim Çember Geometrisi TRMLR V PRLMLR Konu Özeti irim çemberde; ( = 0) = 0 doğrusunun kosinüs, = = 0 doğrusunun sinüs ( = 0) = doğrusunun kotnjnt = doğrusunun tnjnt eksenleri olduğunu htırlınız. = v çısının birim çember üzerindeki bitim noktsı (cos, sin ) dır. ÖRNK (Simetri) Şekildeki birim çember üzerinde bulunn noktsı orjine göre simetrisinin koordintlrını cinsinden belirtiniz. noktsının orjine göre simetrisi oln ' noktsı 80 + lık çının birim çember üzerindeki bitim noktsıdır. hlde; '(cos(80 ), sin (80 ) = '( cos, sin ) dır. ÖRNK (çılımlr) Şekildeki birim çembere doğrusu T noktsınd teğettir verilenlere göre () i cinsinden bulunuz. = cosec = sec olduğundn dik üçgende; cosec sec ( ) = T cosec T sec = = = cosec bulunur. sin cos sin I. θ Şekildeki merkezli birim çemberde noktsının koordintlrı θ cinsinden nedir?.. θ Şekildeki merkezli çerek birim çemberde m ( ) = θ dır. = ( + cos θ) br olduğun göre kç br dir? Şekildeki birim çemberin noktsının ordintı ve m ( ) = dır. un göre, noktsındn doğrusl bir ol bounc önce noktsın sonr d noktsın gelecek oln bir krıncnın lcğı ol kç br olur? ) ( sin θ, cos θ) ) ) 99

26 Ugulm Zmnı Ugulm 9. 0 br br üçgeninde m ( ) = 0, ve = br, = br olduğun göre. ir üçgeninin kenrlrı rsınd = (b + c) bc bğıntısı vrs m ( ) kç derecedir? = kç br dir?. Şekilde = br, = br ve tn = dir. un göre, dir? = kç br 6. c b Şekildeki üçgenini çevresi br dir. sin + sin = sin olduğun göre kç br dir?. br br 6 br br un göre cos kçtır? Şekilde muk, [] // [], = br, = 6 br, = br, = br dir br Şekilde m ( ) = 90 + m( ) = 8 br, = br olduğun göre tn( ) kçtır?. 7 br br br 8 br 7 br Şekilde = 7 br, = br, = br, = 8 br ve = 7 br olduğun göre dir? = kç br 8. br br br br un göre 8 br = kç br dir? üçgeninde = br, = br, = br, = 8 br ve = br dir ) 7 ) ) ) ) 0 6) 6 7) 8) 8

27 9. br br br br br Şekilde = = br, = = = br dir. un göre () kç br dir?. Kenr uzunluklrı br, br ve br oln bir üçgenin iç teğet çemberinin rıçpı ile çevrel çemberinin rıçpının çrpımı kçtır? 0. 8 br br 0 br 6 br Şekilde [] [] = {} = 8 br, = 6 br, = br ve = 0 br dir.. Kule L K 8 un göre, şeklin tmmının lnı kç br dir? Pist noktsındki kontrol kulesi K noktsınd ere prlel olrk uçn uçğ L noktsın geldiğinde iniş izni verior ve uçk L noktsındn lçlm bşlıor. K noktsının erdeki dik izdüşümü noktsı ve. F br br br Şekilde = = br, = br ve (F) = (F) olduğun göre = kç br dir? = km, K = k, LKm8 = km, [] [K], [LK] // [] ve mlk ( ) = dır. un göre tn kçtır?. m ( ) = m( ) = 0. 0 br 6 br üçgeninde m ( ) = 0. m ( ) =, = br = 6 br, = dir. un göre, sin kçtır? 0 Şekildeki dğ kurulu teleferik sistemi sbit hızl devirdim pmktdır. dn teleferiğe binen bir kişinin e ulşm süresi, den teleferiğe binen bir kişinin e uluşm süresinden 0 dkik dh zdır. un göre, dn teleferiğe binen bir kişi ne kdr sürede e ulşır? 9) 0) 7 ) ) ) ) )

28 TRİGNMTRİK NKLMLR sin ve cos e Göre Homojen enklemler Konu Özeti (. erece Homjen enklemler) Konu Özeti (. erece Homjen enklemler) ve b sıfırdn frklı birer reel sı olmk üzere cos + b sin = 0 biçimindeki denklemler. dereceden homojen denklemlerdir., b ve c sıfırdn frklı birer reel sı olmk üzere cos + b cos sin + c sin = 0 biçimindeki denklemler. dereceden homojen denklemlerdir. v cos + b cos sin + c sin = 0 denkle- v sin & =- & tn =- cos b b biçimine çevrilen homojen denklem çözülür. minde eşitliğin her iki trffı "cos " e bölünerek" + b tn + c tn = 0 biçimine çevrilen homojen denklem çözülür. ÖRNK ÖRNK sin + cos = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. sin + cos = 0 sin = cos sin & =- cos tn = tn = tn = + k 80 Ç = {: = + k 80, k Z} sin + sin cos cos = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. sin + sin cos cos = 0 sin + sin cos-cos 0 & = cos cos sin sin cos cos & + - = 0 cos cos cos & tn + tn - = 0 (tn + ) (tn ) 0 tn = ve tn = (i) tn = eşitliğini sğln çı olsun tn = tn = + k (ii) tn tn = tn & = + k dir. Ç = ' : = + k V = + k. sin- cos = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?. sin sin cos cos = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?. cos+ sin = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?. sin + sin cos cos = denkleminin çözüm kümesi nedir? k ) ' : = + k, k d Z ) ' : = +, k d Z ) ' : = + k V = + k, k d Z ) ' : = + k V = + k, k d Z

29 elirli ir rlıktki Kökler TRİGNMTRİK NKLMLR Konu Özeti ÖRNK (Verilen rlıkt Kök Sısı) ir trigonometrik denklemin herhngi bir rlıktki kökü istendiğinde; I. dım: enklemin çözüm kümesi bulunur. (0, 80 ) olmk üzere, tn 0 = tn 0 olduğun göre, in lbileceği kç frklı değer vrdır? II. dım: k erine...,,, 0,,,... tm sılrı zılrk olbilecek tüm kökler tespit edilir. III. dım: u köklerden verilen rlıkt olnlr lınır. rdışık tm sılrd, son terim ilk terim "terim sısı = + " rtış miktr olduğunu htırlınız. ÖRNK (elirli rlıktki Kökler) 0 < < 60 olmk üzere, sin = olduğun göre tn 0 = tn 0 ve k Z olmk üzere in lbileceği değerleri bulunuz. 0 = 0 + k 80 = + k 8 dir. sin = & sin = H sin 60 ve k Z k = 0 için = (0, 80 ) olmk üzere; k = için = + 8 (0, 80 ) = 60 + k 60 V = 0 + k 60 = 0 + k 80 V = 60 + k 80 k = 9 için = (0, 80 ) k = 0 için = (0, 80 ) k = için = 0 V = 0 dir. k = 0 için = 0 V = 60 dir. k = için = 0 V = 0 dir. k = için = 90 V = 0 dir. un göre, verilen denklemin 0 < < 60 için çözüm kümesi, Ç = {0, 60, 0, 0 } dir. 0 < < 80 olduğu için k nın değeri 0,,,...,9 olbilir. 9-0 Terim sısı = + = 0 ise in lbileceği 0 frklı değer vrdır.. sin = cos denkleminin [0, ] rlığınd kç tne kökü vrdır?. sin + sin = cos denkleminin [0, ] rlığındki kökleri nelerdir?. tn + cot = denkleminin [0, ] rlığındki kökler toplmı kçtır?. sin = cos denkleminin (0, ) rlığındki çözüm kümesi nedir? ) ) 9 ), ve 0 0 ) ',

30 TRİGNMTRİK NKLMLR Trigonometrik şitsizlikler Konu Özeti Trigonometrik eşitsizliklerin çözüm kümeleri tespit edilirken, "birim çember" üzerinde eşitsizliği sğln lrın çı ölçülerinin rlıklrı tespit edilir. b) ÖRNK cos = nin [0, ] rlığındki kökleri 7 ve tür. 7 ÖRNK şğıdki eşitsizliklerin [0, ] rlığındki çözüm rlıklrını bulunuz. ) sin > b) c s c) tn o < c eşitsizliğini o sğln s ölçüleri birim çemberde görüldüğü üzere 0 7 ve rlığınddır. hlde Ç, 7 = ; 0, ;, dir. ) sin = nin [0, ] rlığındki kökleri ve dır / sin > eşitsizliğini sğln ölçüleri birim çemberde görüldüğü üzere, < < rlığınddır. 6 6 hlde Ç, = c m dır. 6 6 c) tn = ün [0, ] rlığındki kökleri ve tür. tn < eşitliğini sğln ölçüleri birim çemberde görüldüğü üzere, 0 < < ; < < ve (, ) < < rlığınddır. hlde Ç,, = c0 m, c m, c, m dir.. sin > eşitsizliğinin [0, ] rlığındki çözüm kümesi nedir?. tn eşitsizliğinin [0, ] rlığındki çözüm kümesi nedir?. s c eşitsizliğinin [0, o ] rlığındki çözüm kümesi nedir?. - cot < eşitsizliğinin (0, 60 ) rlığınd çözüm kümesi nedir? ) c, m ) ;, 7 ) ;, m, ;, m ) 6 6

31 Kosinüs ve Tnjnt Fonksionunun Grfiği TRİGNMTRİK FNKSİYNLRIN GRFİĞİ Konu Özeti (Kosinüs Fonksionunun Grfiği) Konu Özeti (Tnjnt Fonksionunun Grfiği) f() = cos (b + c) + k türündeki fonksionlrın grfiklerini ve ktsılrının grfik üzerindeki etkilerini örneklerle inceleelim. f() = tn (b + c) + k türündeki fonksionlrın grfiklerini ve ktsılrının grfik üzerindeki etkilerini örneklerle inceleelim. ÖRNK ÖRNK şğıdki fonksionlrın grfiklerini çiziniz. ) f() = cos b) f() = cos "cos: [, ]" olduğunu htırlınız ) f() = cos fonksionunun periodu, T = = dir. 0 / / cos o b) f() = cos fonksionunun periodu T = = 0 /6 / / / 0 / / cos f() = tn fonksionunun grfiğini çiziniz. "tn: R- ' + k, k! Z " R" olduğunu htırlınız. sin f ( ) = tn = olduğundn cos = 0 ın cos kökleri oln " = + k, k d Z" değerinde f() = tn tnımsızdır ve grfiği = + k doğrulrını kesmez. f() = tn fonksionun periodu, tn 0 / / / o = = T dir. o f: [0, ] R, f() = cos fonksionunun grfiğini çiziniz.. f() = + tn fonksionunun [0, ] rlığınd grfiğini çiziniz. ) )

32 TRİGNMTRİK FNKSİYNLRIN GRFİĞİ Kotnjnt Fonksionunun Grfiği/Grfik Yrdımıl Kök Sısı ulm Konu Özeti (Kotnjnt Fonksionun Grfiği) Konu Özeti (Grfik Yrdımıl Kök Sısı ulm) f() = cot (b + c) + k türündeki fonksionlrın grfiklerini ve ktsılrının grfik üzerindeki etkilerini örneklerle inceleelim. Trigonometrik bir fonksion ile doğrusl bir fonksionun eşitliğinden oluşn denklemlerin kök sısı grfiklerindeki kesim noktlrı ile tespit edilebilir. ÖRNK ÖRNK f() = cot fonksionunun grfiğini çiziniz. şğıdki denklemlerin kök sılrını bulunuz. ) [0, ] için sin = b) sin = "cot: R {k, k Z} R" olduğunu htırlınız. cos f ( ) = cot = olduğundn sin = 0 ın sin ) sin = denklemi için = sin v = fonksionlrının grfiğini çizip kesim noktlrını görelim. e kökleri oln " = k, k d Z" değerinde f() = cot tnımsızdır ve grfiği = k doğrulrını kesmez. = sin fonksionunun / = f() = cot fonksionunun periodu, = = T dir. periodu, = = T dir. o 0 / / / = sin cot 0 sin = eşitliğini sğln [0, ] rlığınd det + + değeri vrdır. b) sin = denklemi için = sin ve = fonksionlrının grfiğini çizip kesim noktlrını görelim. = = sin o = sin fonksionunun o periodu, T = dir sin = eşitliğini sğln det değeri vrdır.. f: [0, ] R, f() = + cot fonksionunun grfiğini çiziniz.. [0, ] için cos vrdır? = denkleminin kç tne kökü. [, ] rlığınd sin = cot denklemini sğln kç tne değeri vrdır? ) ) 6 )

33 Trigonometrik Fonksionlrın Tekliği - Çiftliği TRİGNMTRİK FNKSİYNLRIN GRFİĞİ Konu Özeti f: R R, R için, v f( ) = f() ise f fonksionu çitftir. v f( ) = f() ise f fonksionu tektir. ÖRNK şğıdki fonksionlrın tekliğini - çiftliğini belirtiniz. ) f() = cos + b) g() = sin + tn + c) h() = cos + sin d) k() = cos sin Geometrik olrk, Çift fonksion Tek fonksion = = o simetri merkezi simetri ekseni Trigonometrik fonksionlr için, v Kosinüs fonksionu çısının eksiliğini utn (cos ( ) = cos ) ve eksenine göre simetrik oln çift bir fonksiondur. v Sinüs, tnjnt ve kotnjnt fonksionlrı çısının eksiliğinin çıkrn (sin ( ) = sin, tn ( ) = tn ve cot ( ) = cot ) ve orjine göre simetrik oln tek fonksionlrdır. ir fonksion tek d çift olmk zorund değildir! ) f( ) = cos ( ) + = cos + = f() f( ) = f() olduğundn f çifttir ve grfiği eksenine göre simetriktir. b) g( ) = sin( ) + tn( ) + ( ) = sin tn =- ( sin+ tn + ) =-g( ) g () g( ) = g() olduğundn g tektir ve grfiği orjine göre simetriktir. cos -sin 678 H c) h( - ) = cos( - ) + sin( - ) = cos- sin h( ) h() ve h( ) h() olduğundn h tek d çift değildir. cos -sin 678 H d) k (- ) = cos( -) sin( - ) =- cos sin =-k( ) k( ) = k() oldğundn k tektir ve grfiği orjine göre simetriktir.. şğıd verilen fonksionlrın tekliğini (T), çiftliğini (Ç) ile belirtiniz.. f() = (m ) sin + cos + (n + ) + fonksionunu çift fonksion ise m + n toplmı kçtır? ) f() = + cos + sin + b) f ( ) = +. f fonksionunun grfiği orjine göre simetriktir. c) f() = sin cos + f() + f( ) = ( ) cos + tn olduğun göre, fc m değeri kçtır? tn + d) f ( ) = cos + ) ) Ç b) T c) T d) Ç ) )

34 çısl Kvrmlr KNU TSTİ -. Şekilde verilen çı için şğıdkilerden hngisi nlıştır?. ' '' lik çının üçte biri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) ' 7'' ) 0 7' '' ) 7 ' '' ) noktsı çısının köşesidir. ) ' 7'' ) ' 7'' ) [ ve [ ışınlrı çısının sırsıl bşlngıç ve bitim kollrıdır. ) ) stin dönme önünde bir çıdır. negtif önlü bir çıdır. ) = [, [ dir. 6. m ( ) = c0' 0'' ve m( ) = 0 c ' '' dir. un göre m( ) - m( ) işlemi şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 9 ' 9'' ) 9 0' '' ) 9' '' ) 9' '' ) 9' 0''. ve bir çember üzerindeki frklı iki noktdır. Minor ının çı ölçüsünün önlü değeri olduğun göre mjor ının çı ölçüsünün önlü değeri kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 7. Şekilde; m ( ) = m ( ) = 00 c ' '', ve m ( ) = c 0' '' dir.. 78'' lik çı şğıdkilerden hngisine eşittir? ) ' ) '' ) 9' '' ) ' 9'' ) 8' 9'' dik çı olduğun göre çısının ölçüsü nedir? ) 7 8' '' ) 7 ' '' ) 70 ' '' ) 6 8' '' ) 60 0' 0''. şğıdkilerden hngisi 0 0' lık çı eşittir? ) 60'' ) 60' ) 0900'' ) 6000'' ) 60 0'' 8. ir üçgeninde; = ve m( ) = c ' '' dir. un göre, çısının ölçüsü nedir? ) 68 9' 0'' ) 68 0' 9'' ) 67 9' 0'' ) 69 9' 0'' ) 69 0' 0'' 7

35 9. (,) = ' '' olduğun göre frkı kç eşittir? ) 9 ) 9 ) 8 ) 8 ). şğıd rdn cinsinden ölçüleri verilen çılrdn 7 hngisinin ess ölçüsü değildir? 7 ) ) ) ) ) 0. şğıdki eşitliklerden hngisi nlıştır? ) 0 = 0 rd. ) rd = 0 ) rd = 70 ) 90 = rd ) 60 = rd. çısının ess ölçüsü 00 dir. un göre, çısının ess ölçülerinden biri şğıdkilerden hngisi olmz? ) 0 ) 0 ) 00 ) 0 ) 0. şğıdkilerden hngisinin ess ölçüsü 0 dir? ) 70 ) 780 ) 070 ) 000 ) 00.,7 rdnlık çı kç derecedir? ^,, h ) 0 ) 60 ) 90 ) 00 ) 0. irim çemberde şğıd ölçüleri verilen lrdn hngisinin bitim noktsı 00 lik ın bitim noktsı ile çkışır? 6. rdnlık merkez çısının gördüğü ının uzunluğu 6 cm oln bir çemberin çevresi kç cm dir? ) ) ) ) ) 6 ) 0 ) 60 ) 80 ) 0 )

36 Trigonometrik Çember KNU TSTİ -. şğıdki noktlrdn hngisi birim çember üzerinde bir noktdır? ) (0, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ). irim çemberde ordintı psisi nedir? ) ) ) oln II. bölgedeki çının ) ). irim çember üzerindeki c,t m noktsı kç derecelik merkez çıı görür? ) 0 ) 60 ) 90 ) 0 ) 0 6. K;, ^m- h noktsı birim çember üzerinde olduğun göre m nin lbileceği değerlerin toplmı kçtır? ) ) ) ) ). ik koordint düzleminde orjine uzklığı birim oln noktlrın geometrik eri şğıdkilerden hngisidir? ) = + ) = + ) = ) + = ) + = 7. şğıdkilerden hngisi trigonometrik çember için doğrudur? ) = 0 doğrusu kosinüs eksenidir. ) = 0 doğrusu sinüs eksenidir. ) = doğrusu seknt eksenidir. ) = doğrusu kotnjnt eksenidir.. ) sin ) cot (,b) = ) cos b b = ) sec Şekildeki birim çemberde m ( ) = ve çember üzerindeki noktsının koordintlrı (, b) olduğun göre şğıdkilerden hngisi doğru olrk verilmiştir? = b ) tn = = ) + = doğrusu koseknt eksenidir. 8. f, p birim çember üzerinde q çıklık ölçüe ship bir nokt olduğun göre tni+ cot i toplmı kçtır? 7 ) ) ) ) ) 9

37 9. şğıd çı ölçüleri verilen lrın trigonometrik çember üzerindeki bitim noktlrı verilmiştir. un göre verilenlerden hngisi nlıştır? ÇI NKT ) 0 (, 0). + + ^m- h = n ifdesinin birim çember belirtmesi için m + n toplmı kç olmlıdır? ) 8 ) 7 ) 6 ) ) ) 90 (, ) ) 80 (, 0) ) 70 (0, ) ) 60 (, 0). ^- h + ^- b h + c = denklemi birim çember denklemi olduğun göre + b + c toplmı şğıdkilerden hngisi olmz? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 0. Şekildeki çerek birim çemberde m ( ) = olduğun göre trlı ln şğıdkilerden hngisine eşittir? çember üzerinde bir köşesi orijinde oln üçgeni sin cos ) - ) - verilmiştir tn ^90 - h cos ) - ) m ( ) = olduğun göre üçgenin lnı ^90 - h cot şğıdkilerden hngisidir? ) - 60 ) c \ o ) cos \ s ). Şekilde iki köşesi birim. ^- h + ^b+ h = 6 ifdesinin birim çember belirtmesi için + b toplmı kç olmlıdır? ) ) sin \ ) ) ) ) 0 ) 9 6. =. P θ Şekildeki birim çemberde m^ P\ h= ve mp ^ h= i olduğun göre P'nin koordintlrı şğıdkilerden hngisine eşittir? d c - - b = Şekilde verilen birim çemberde çısı için verilen şğıdki eşitliklerden hngisi nlıştır? ) (cosq, sinq) ) (sinq, cosq) ) (sin, cos) ) (, 0) ) cos ) tn = ) b = ) b d = c = ) sin b = c 0 ) (0, )

38 Trigonometrik rnlr KNU TSTİ -. ) ) dikdörtgeni eşkenrdn oluşmuştur. un göre, ) sec değeri kçtır? ) ).! c0, m olmk üzere cos + 7sin = olduğu- n göre cot kç eşittir? ) ) ) ) ) 6. Şekilde kre, = ve m ( ) = dır.. ir üçgeninde; = c, m6 = c ve m7 = c dir. m un göre, cos+ 7cos ifdesi kç eşittir? un göre, cosec değeri kçtır? ) ) ) 6 ) 8 ) 0 ) ) ) ) ) 6. ş krelerden oluşn ndki şekle göre, cot değeri kçtır? 7. 6 Şekilde dik muk, = br, = 6 br ve ln() = br ve m ( ) = dır. un göre, cos kçtır? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). 8. Şekilde dikdörtgeni 7 eş dikdörtgenden oluşmuştur. un göre tn cot çrpımı kç eşittir? Şekildeki kre ve = olduğun göre, tn( ) kçtır? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 7

39 9. Şekildeki şırı rüzgrdn kırılmış sokk lmbsının zemine değdiği ve noktlrı rsı mesfe,8 m,8 m dir. Sokk lmbsının kırık prçlrı rsındki çı olduğun göre, sokk lmbsının kırılmdn önceki bou kç m dir? ^sin, 08, dir. h ), ),6 ) ),8 ),6 N. ) K P ) R M ) L Şekildeki küpte P ve R ort noktlr ve mpmr ( ) = dır. un göre, cos \ değeri kçtır? ) ) 6 0. ir muğund; 6@ ' 6@, 6@ = 6@, = br ve = 6br dir. sin( ) = 0,6 olduğun göre, ln() kç br dir?. (0,) (,0) Şekildeki dik koordint sisteminde kre, (,0) ve (0,) dir. un göre, tn( ) değeri kçtır? ) 6 ) ) )60 ) 08 ) 7 ) ) ) ). 6 dikdörtgeninde m ( ) = m ( ), <, = 6 br ve = br olduğun göre, = kç br dir?. ' ) ' ' Şekildeki '''' ' küpünde; K = K ve mk ( ' Y ' ) = olduğun göre, cos \ nın değeri kçtır? K ) ) ) ). ) ) ) ) ) T 6. d Şekilde merkezli rım çemberde, [T, merkezli çembere T noktsınd teğettir. = olduğun göre, cos ( T ) kçtır? ) ) ) ) 6 ) [] çplı rım çembere d doğrusu noktsınd teğettir. = 8cm, = 6cm ve m( ) = olduğun göre, cos nın değeri kçtır? ) ) ) ) )

40 Trigonometrik ölge İşretleri ve Özdeşlikler KNU TSTİ -. sin şğıdkilerden hngisine eşit olmz? ) sin ) sin ) cos0 6. sin00 + tn 0 cos0 - cot 0 ) ) işleminin sonucu kçtır? ) ) ) ) cos ) cos 7. sin cos + tn-cotc m işleminin sonucu kçtır? 7. cos 0 + cos 0 + cos + cos 0 + cos 6 işleminin sonucu kçtır? ) 0 ) ) ) ) ) ) ) 0 ) ). şğıdkilerden hngisi nlıştır? ) n^s - ih = sin ii ) cos^ - ih= cos i ) tn^ - ih = tn i ) cot^- ih= cot i ) cosec^ - ih= cosec i 8. I. cosc + im = sin i III. sin^- ih= cos i II. tnc im cot i=- IV. cotc - im= tn i Yukrıdkilerden hngisi ve hngileri nlıştır? ) Ylnız I ) I ve II ) II ve III ) I ve IV ) III ve IV. şğıdkilerden hngisi cos c - m eşit değildir? ) sin ) cos c + m ) sin^ + h ) sin^ - h ) sin ^ h 9. şğıdkilerden hngisi doğrudur? 09 ) sin = ) cos = ) tn c m = ) cot = 6 ) sinc m= 0. sin^80 -h- tn^60 + h ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? tn^80 + h ) ) 0 ) cos 0. f ( ) = sin^+ h -cosc- m olduğun göre, f c m nın değeri kçtır? 7 ) ) ) 0 ) ) ) cos ) cos + 9

41 sinc - m. ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? sin^ + h ) sin ) cot c + m ) tn ^ + h ) cot^ - h ) tn c - m. I. cos0c = III. cot0c = tn 70c II. sin^ 0ch = IV. tn^ ch= Yukrıd verilen eşitliklerden hngileri doğrudur? ) I ve IV ) II ve III ) I ve III ) III ve IV ) I ve II 6. f ( ) = sin- tn olmk üzere f c + m in eşiti şğdkilerden hngisidir?. tn70 + sin 0 + sin 0 tn 90 ifdesinin eşiti kçtır? )sin- cot ) cos- tn ) ) ) 0 ) ) ) sin+ cot ) sin+ tn ) tn- cos. I. cosc - im = sin^ - ih II. tn^ - ih= tn i III. sinc - im= cos i IV. cot^- ih = cot^ - ih V. cosci- m = sin^-ih VI. sin^ + ih = cosci- m Yukrıd verilen eşitliklerden kç tnesi doğrudur? ) ) ) ) ) 6 7. = tn ^ +ih = otc ^ + ih olduğun göre, ile rsındki bğıntı şğıdkilerden hngisidir? ) = ) + = ) + = 0 ) = ) = sin0 = olmk üzere sin( 0 ) + cos00 + cos0 tn0 cos0 işleminin sonucu şğıdkilerden hngisidir? cos 0 tn cos sin 0. + işleminin cosec 0 cos 00 tn 0 sonucu kçtır? ) ) ) 0 ) ) - ) ) ) ) Ç - 0 ) b = ve tn^+ bh+ cot^+ bh = olduğun göre, sin sinb çrpımı şğıdkilerden hngisi olbilir? ) ) ) 0 ) )