YAYINA HAZIRLAYANLAR

Transkript

1 rif ŞYKKUYN

2 Her hkkı sklıdır ve MVSİM SIM YY. Ğ. PZ. SN ve Tİ. LT. ŞTİ ne ittir. Metinler, örnekler, lıştırmlr nen d değiştirilerek lınmz, fotokopi ve bşk bir oll çoğltılrk kullnılmz. YYIN HZIRLYNLR ditör il Uzmnı Ölçme - eğerlendirme Uzmnı Görsel Tsrım Rehberlik ve Psikolojik nışmnlık Progrm Geliştirme Uzmnı : hmet GÖZTK : Nur ÖZÇLİK : Melek Gülşh RĞLU : bdüssmed ŞR : Hsn Şİİ : Subhn KŞİĞLU MVSİM SIM YY. Ğ. PZ. RKLM ĞİTİM TŞIMILIK İTH. İHR. SN. ve Tİ. LT. ŞTİ. Generl r. Tevfik Sğlm d. 80/ tlik Keçiören - NKR tel.: (03)

3 İSTİKLÂL MRŞI Korkm, sönmez bu şfklrd üzen l snck; Sönmeden urdumun üstünde tüten en son ock. benim milletimin ıldızıdır, prlck; benimdir, o benim milletimindir nck. Çtm, kurbn olım, çehreni e nzlı hilâl! Khrmn ırkım bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl? Sn olmz dökülen knlrımız sonr helâl... Hkkıdır, Hkk tpn, milletimin istiklâl! en ezelden beridir hür şdım, hür şrım. Hngi çılgın bn zincir vurckmış? Şşrım! Kükremiş sel gibiim, bendimi çiğner, şrım. Yırtrım dğlrı, enginlere sığmm, tşrım. Grbın âfâkını srmışs çelik zırhlı duvr, enim imn dolu göğsüm gibi serhddim vr. Ulusun, korkm! Nsıl böle bir imnı boğr, Medeniet! dediğin tek dişi klmış cnvr? stığın erleri toprk! dierek geçme, tnı: üşün ltındki binlerce kefensiz tnı. Sen şehit oğlusun, incitme, zıktır, tnı: Verme, dünlrı lsn d, bu cennet vtnı. Kim bu cennet vtnın uğrun olmz ki fedâ? Şühedâ fışkırck toprğı sıksn, şühedâ! ânı, cânânı, bütün vrımı lsın d Hud, tmesin tek vtnımdn beni dünd cüdâ. Ruhumun senden, İlâhi, şudur nck emeli: eğmesin mbedimin göğsüne nâmhrem eli. u eznlr-ki şhdetleri dinin temeli- bedî urdumun üstünde benim inlemeli. zmn vecd ile bin secde eder-vrs-tşım, Her cerîhmdn, İlâhi, boşnıp knlı şım, ışkırır ruh-ı mücerred gibi erden n şım; zmn ükselerek rş değer belki bşım. rkdş! Yurdum lçklrı uğrtm, skın. Siper et gövdeni, dursun bu hâsızc kın. oğcktır sn v dettiği günler Hkk ın... Kim bilir, belki rın, belki rındn d kın. 3 lgln sen de şfklr gibi e şnlı hilâl! lsun rtık dökülen knlrımın hepsi helâl. bedien sn ok, ırkım ok izmihlâl: Hkkıdır, hür şmış, brğımın hürriet; Hkkıdır, Hkk tpn, milletimin istiklâl! Mehmet Âkif RSY

4 TTÜRK ÜN GNÇLİĞ HİTSİ Türk gençliği! irinci vzifen, Türk istiklâlini, Türk cumhurietini, ilelebet, muhfz ve müdf etmektir. Mevcudietinin ve istikblinin egâne temeli budur. u temel, senin, en kımetli hzinendir. İstikblde dhi, seni, bu hzineden, mhrum etmek isteecek, dhilî ve hricî, bedhhlrın olcktır. ir gün, istiklâl ve cumhurieti müdf mecburietine düşersen, vzifee tılmk için, içinde buluncğın vzietin imkân ve şeritini düşünmeeceksin! u imkân ve şerit, çok nâmüsit bir mhiette tezhür edebilir. İstiklâl ve cumhurietine kstedecek düşmnlr, bütün dünd emsli görülmemiş bir glibietin mümessili olbilirler. ebren ve hile ile ziz vtnın, bütün kleleri zpt edilmiş, bütün tersnelerine girilmiş, bütün ordulrı dğıtılmış ve memleketin her köşesi bilfiil işgl edilmiş olbilir. ütün bu şeritten dh elîm ve dh vhim olmk üzere, memleketin dhilinde, iktidr ship olnlr gflet ve dlâlet ve httâ hınet içinde bulunbilirler. Httâ bu iktidr shipleri şhsî menftlerini, müstevlilerin sisî emellerile tevhit edebilirler. Millet, fkr u zruret içinde hrp ve bîtp düşmüş olbilir. Türk istikblinin evlâdı! İşte, bu hvl ve şerit içinde dhi, vzifen; Türk istiklâl ve cumhurietini kurtrmktır! Muhtç olduğun kudret, dmrlrındki sîl knd, mevcuttur! 4

5 MUST KML TTÜRK 5

6 İÇİNKİLR RGNİZSYN ŞMSI ÜNİT ÖRTGNLR ÖRTGN V TML LMNLRI...0 lıştırmlr ÖRTGNLRL İLGİLİ TRMLR...6 lıştırmlr....3 ÖRTGNİN ÇVR UZUNLUĞU V ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI... lıştırmlr...8. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI ÜNİT ÖZL ÖRTGNLR YMUK...34 lıştırmlr YMUKSL ÖLGNİN LNI...46 lıştırmlr PRLLKNR...55 lıştırmlr PRLLKNRSL ÖLGNİN LNI...6 lıştırmlr İKÖRTGN...70 lıştırmlr İKÖRTGNSL ÖLGNİN LNI...74 lıştırmlr ŞKNR ÖRTGN...79 lıştırmlr ŞKNR ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI...86 lıştırmlr KR...9 lıştırmlr KRSL ÖLGNİN LNI...96 lıştırmlr LTİ...0 lıştırmlr LTİSL ÖLGNİN LNI...05 lıştırmlr ÖRTGNLRİN RSINKİ İLİŞKİLR...09 lıştırmlr...0. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI ÜNİT ÇKGNLR ÜZGÜN ŞGN...8 KUM KÖŞSİ... lıştırmlr ÜZGÜN ŞGNSL ÖLGNİN LNI...3 lıştırmlr ÜZGÜN LTIGN...6 lıştırmlr...8 6

7 3.4 ÜZGÜN LTIGNSL ÖLGNİN LNI...9 lıştırmlr SN, RKTL V KPLMLR...33 lıştırmlr ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI ÜNİT ÇMR ÇMR V LMNLRI...50 PRJ...5 lıştırmlr ÇMRİN VKTÖRL, STNRT V GNL NKLMİ...54 lıştırmlr ÇMRİN PRMTRİK NKLMİ...66 lıştırmlr İR ÇMR İL İR ĞRUNUN İRİRİN GÖR KNUMU lıştırmlr ÇMRİN İR NKTSINKİ TĞTİ İL İLGİLİ TRMLR...8 lıştırmlr ÇMR ÇILR...87 lıştırmlr NKLMLRİ VRİLN İKİ ÇMRİN İRİRİN GÖR KNUMLRI...99 lıştırmlr İR NKTNIN İR ÇMR GÖR KUVVTİ lıştırmlr TĞTLR ÖRTGNİ... lıştırmlr KİRİŞLR ÖRTGNİ...8 lıştırmlr İRNİN LNI... lıştırmlr ÜZLM ÇMR YRIMIYL SN V RKTL GÖRÜNTÜSÜ LUŞTURM...8 lıştırmlr ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI ÜNİT KNİKLR KNİĞİN TML LMNLRI...38 lıştırmlr PRL...4 lıştırmlr LİPS...48 lıştırmlr HİPRL...56 lıştırmlr ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI...65 ÜNİT ĞRLNİRM YNIT NHTRI...67 SÖZLÜK...68 SML V KISLTMLR...70 KYNKÇ...7 PRJ ĞRLNİRM RMU...7 7

8 . ÜNİT Ünite ÖRTGNLR bşlığı. RGNİZSYN ÖRTGNLR ŞMSI. ÖRTGN V TML LMNLRI.3 ÖRTGNİN ÇVR UZUNLUĞU V ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI. ÖRTGNLRL u İLGİLİ bölümde TRMLR işlenecek konu ilgi çekmek için verilenler. tkinlik Hedeflenen Ömer Hm ve Geometri kznım ulşmk için pıln etkinlik. tkinlik bsmklrı. Ömer HYYM İrnlı şir ve bilgin. Htı, gençlik ıllrı ile ilgili kesin bilgi oktur. lde bulunn eserlerinden, htıl ilgili ollrı nltn bzı kitplrdn mntık, felsefe, mtemtik ve stronomi konulrınd çlıştığı, bu lnlrd düzenli bir öğrenim gördüğü nlşılmktdır. Hm ın fizik, metfizik, mtemtik, geometri, stronomi ile ilgili eserleri ve şiirleri vrdır. Ömer Hm, dörtgeni iki ucun eşit dikmeler inilmiş belli bir doğru prçsı olrk ele ldı ve dörtgenin üst çılrı için üç vrsım ort kodu: dr çılr, dik çılr ve geniş çılr. irinci ve ikinci vrsım, 9. d Guss oli- Lobtchewsk (Gus ole-lobçevski) nin ve Riemnn (Rimn) ın Öklidci olmn geometrilerinin çizimine ol çtı. Medn Lrousse nsiklopedisi 3 tkinlik sonucund ulşılmsı gereken kvrmlr. Kznıml ilgili tnım, bilgi ve konu çıklmsı. Ömer Hm (temsilî resim 048 3) İşlenişle ilgili örnek sorulr. Verilen örneğin çıklmlı çözümü. Gören göze güzel, çirkin hepsi bir; çözümün devmınd öğrencie bırkıln sorulr. şıklr cennet, cehennem hepsi bir; rmiş h çul gimiş, h tls; Yün stık, tş stık, seven bş hepsi bir. Kznıml ilgili geçmiş konulr it htırltmlr. 9 Kznıml ilgili kıs notlr. Ömer Hm PRJ Proje ödevi. kum köşesi. [!] Kvrmlrl ilgili urılr. Kvrmlrl ilgili teorem ve özelikler. Sonuç İşlenişte ulşıln sonuçlr. lıştırmlr İşleniş sonund verilen sorulr. Ünite sonlrınd verilen ölçme sorulrı. İşlenişle ilgili urılr. rştırm ve trtışm sorulrı. 8

9 ÖRTGNLR. ÜNİT ÖRTGNLR. ÖRTGN V TML LMNLRI. ÖRTGNLRL İLGİLİ TRMLR.3 ÖRTGNİN ÇVR UZUNLUĞU V ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI Ömer Hm ve Geometri Ömer HYYM İrnlı şir ve bilgin. Htı ve gençlik ıllrı ile ilgili kesin bilgi oktur. lde bulunn eserlerinden, htıl ilgili ollrı nltn bzı kitplrdn mntık, felsefe, mtemtik ve stronomi konulrınd çlıştığı, bu lnlrd düzenli bir öğrenim gördüğü nlşılmktdır. Hm ın fizik, metfizik, mtemtik, geometri, stronomi ile ilgili eserleri ve şiirleri vrdır. Ömer Hm, dörtgeni iki ucun eşit dikmeler inilmiş belli bir doğru prçsı olrk ele ldı ve dörtgenin üst çılrı için üç vrsım ort kodu: dr çılr, dik çılr ve geniş çılr. irinci ve ikinci vrsım, 9. d Guss oli- Lobtchewsk (Gus ole-lobçevski) nin ve Riemnn (Rimn) ın Öklidci olmn geometrilerinin çizimine ol çtı. Medn Lrousse nsiklopedisi Ömer Hm (temsilî resim 048 3) Gören göze güzel, çirkin hepsi bir; şıklr cennet, cehennem hepsi bir; rmiş h çul gimiş, h tls; Yün stık, tş stık, seven bş hepsi bir. Ömer Hm 9

10 ÖRTGNLR. ÖRTGN V TML LMNLRI tkinlik örtgenin Temel lemnlrını elirleelim rç ve gereç : kreli kâğıt, cetvel Kreli kâğıd bir koordint sistemi çiziniz. luşn nlitik düzlemde K(,3), L(,4), M(3, ) ve N(3,5) noktlrını işretleiniz. Sırsıl [KL], [LM], [MN] ve [NK] dn geçen doğru denklemlerini bulrk bu doğru denklemlerini nlitik düzlemde çiziniz. oğrulrın tümünün sınırldığı bölgei belirleen eşitsizlikleri ifde ediniz. luşn bölge içbüke mi dışbüke mi? Trtışınız. 3 Üçgenin de bir çokgen olduğunu düşünerek üçgenin temel elemnlrını göz önüne lıp dörtgenin temel elemnlrını belirleiniz. 3 luşn bölgedeki komşu çılr, komşu kenrlr, krşı çılr ve krşı kenrlrı belirleiniz. Kenrlr it her bir doğru prçsının ort noktsının koordintlrını bulunuz. 3 Komşu olmn iki kenrın ort noktlrını birleştiren doğru prçsın ne isim verilebilir? Trtışınız. Herhngi üçü doğrusl olmn dört noktı birleştiren dört doğru prçsındn oluşn kplı şekle dörtgen denir. G c d b H dışbüke dörtgen içbüke dörtgen,, ve noktlrı dörtgenin köşeleridir. [], [], [], [] doğru prçlrı dörtgenin kenrlrı ve, b, c, d dörtgenin kenr uzunluklrıdır. rdışık olmn iki köşei birleştiren [] ve [] doğru prçlrı dörtgenin köşegenleridir. ve X, X, X, X n d dörtgenin iç çılrı denir. çı, köşe ve kenr, dörtgenin temel elemnlrıdır. 0

11 ÖRTGNLR Her bir iç çısının ölçüsü 80 den küçük oln bir dörtgene dışbüke dörtgen, herhngi bir iç çısının ölçüsü 80 den büük oln dörtgene de içbüke dörtgen denir. ir dörtgenin komşu olmn iki kenrının ort noktlrını birleştiren doğru prçsın ort tbn denir. Yndki dörtgeninde ve olduğundn [] ort tbndır. [!] örtgen denilince dışbüke dörtgen nlşılcktır. Yndki dörtgenin elemnlrını zlım. h H g G f e,, G ve H noktlrı dörtgenin köşeleridir. [], [G], [GH], [H] doğru prçlrı dörtgenin kenrlrı ve e, G f, GH g ve H h dörtgenin kenr uzunluklrıdır. rdışık olmn iki köşei birleştiren [G] ve [H] doğru prçlrı ise GH dörtgenin köşegenleridir. GveH X, W, Y, X dörtgenin iç çılrıdır. şğıd verilen dörtgenlerin çeşidini belirleelim.. b. T S P R. dörtgeninde; dörtgenin iç çısının ölçüsü 80 den büük olduğundn, dörtgeni içbüke dörtgendir. b. PRST dörtgeninin, her bir iç çısının ölçüsü 80 den küçük olduğundn PRST dörtgeni dışbüke dörtgendir.

12 ÖRTGNLR (3,), (,4), (,), (, ) noktlrı bir dörtgenin köşeleridir. un göre;. örtgeni koordint düzleminde çizelim. b. örtgenin kenr uzunluklrını bullım. c. örtgenin ort tbnlrının koordintlrını bulup dörtgen üzerinde çizelim. ç. rt tbn uzunluklrını bullım.. b. (3, ), (, 4) ( 3, 4 ) ^ 5, h ( 5) br (, 4), (, ) ( ( ), 4) ( +, 3) ( 0, 3) 0 + ( 3) br (, ), (, ) ^ ( ), h ^+, 3h ^4, 3h ( 3) br enzer şekilde siz de nu bulunuz. 3. (,b), (c,d) olmk üzere (c, d b) dir.. u (,b) ise u nün normu u + b dir. 3. nün normu [] nın uzunluğun eşittir. dir. 4. (,b), (c,d) noktlrının ort noktsı ise, noktsının koordintlrı + c, b + c d m dir. c. rt tbnın uç noktlrının koordintlrı,, G ve H olsun. (3, ) ile (, 4) noktlrının ort noktsı olmk üzere; 3, + 4 c m, 6, c, 3 m c m (, 4) ile (, ) noktlrının ort noktsı olmk üzere;, 4+ c m 4,,, 5 5 c m c m

13 ÖRTGNLR (, ) ile (, ) noktlrının ort noktsı G olmk üzere; (, ) ile (3, ) noktlrının ort noktsı H olmk üzere; G +, c m G 0, c m G 0, c m H + 3, + c m H 5, 0 c m H 5 c, 0 m dır. rt tbnın biri [G] dır. Koordintlrı c, veg, 3 m c 0 m iğeri ise [H] dır. Koordintlrı, 5 veh 5 c, 0 m c m dır. rt tbnlrı dörtgen üzerinde çizilmiştir. 4 3 H G 3 ç. c, 3 mvegc 0, olmk zere; m ü 0, G c 3 m, 6 c m, 7 c m G 7 G c m + c m br dir. 4, 5 ve H 5 c, 0 olmk ü zere; m c m 5 ( ), 0 5 H c m 5, 5 c + m 5+ 4, 5 c m 9, 5 c m H H 9 5 c m + c m br olur. 4 Yndki nlitik düzlemde verilen dörtgeninde köşegen uzunluklrını bullım. (,0), (3,0), (4,) ve (0,4) dir. ( 4 ( ), 0) ( 6, ) br ( 0 3, 4 0) ( 34, ) ( 3) br bulunur

14 ÖRTGNLR Köşelerinin koordintlrı (, 5), (, 3), (,) ve (,3) noktlrı oln dörtgenin;. Kenr uzunluklrını bullım. b. Köşegen uzunluklrını bullım.. (, 5), (, 3) olmk üzere; ( ( ), 3 ( 5)) ( +, 3+ 5) (, ) (, 3), (,) olmk üzere; ( ( ), ( 3)) ( +, + 3) ( 5, ) br dir br dir. (,), (,3) olmk üzere; (, 3 ) (, ) + + br dir. (,3), (, 5) olmk üzere; (, 5 3) ( 4, 8) b. (,3) (,) ( 4) + ( 8) br dir. Köşegenler [] ile [] dır. hâlde [] ve [] nın uzunluğunu bulmlıız. ( ( ), ( 5)) ( +, + 5) ( 37, ) 58 br dir. (, 5) (, 3) ( ( ), 3 ( 3)) ( +, 3+ 3) ( 36, ) br bulunur.

15 ÖRTGNLR lıştırmlr. şğıdki dörtgenin temel elemnlrını noktlı erlere zınız. N M çılrı :...,..., M X,... Köşeleri :...,...,..., N Kenrlrı : [KL],...,...,... L K. şğıdki dörtgenlerin ort tbnlrını ve köşegenlerini cetvel rdımıl çiziniz.. b. H G 3. Koordint sisteminde dörtgeninin köşelerinin koordintlrı (,5), ( 4,), (,0), (,) dir. un göre dörtgeninin;. Kenr uzunluklrını bulunuz. b. Köşegen uzunluklrını bulunuz. c. rt tbnlrındn birinin uzunluğunu bulunuz. 4. Koordint düzleminde dörtgeninin köşelerinin koordintlrı (, ), (, 3), (,5) ve (,6) dır. un göre şğıdki boşluklrı ugun biçimde doldurunuz.. [] doğru prçsının ort noktsının koordintlrı (...,...) dır. b. [] doğru prçsının ort noktsının koordintlrı (...,...) dır. c. [] doğru prçsının uzunluğu... br dir. ç. [] doğru prçsının uzunluğu... br dir. d. ile köşelerini birleştiren köşegenin uzunluğu... br dir. 5. Koordint düzleminde dörtgeninin kenrın it ort noktsı (, ) ve ( 3,4) ise noktsının koordintlrının toplmı nedir? Çlışm odnızd ve oturm odnızd bulunn cisimlerden dörtgen olnlrı söleiniz. ir dörtgene dönüşümler ugulrk elde edilen eş ve benzer dörtgen ile sıl dörtgenin temel elemnlrı rsındki ilişkii trtışınız. 5

16 ÖRTGNLR. ÖRTGNLRL İLGİLİ TRMLR tkinlik ir örtgende rdışık İki İç çının çıortlrının luşturduğu çının Ölçüsü rç ve gereç : çıölçer Yndki dörtgenini inceleiniz. P üçgeninin iç çılrının ölçülerinin toplmını,, b cinsinden zınız. +b ı cinsinden ifde ediniz. dörtgeninin iç çılrının ölçülerinin toplmını, b, mve ( X ) m ( X ) cinsinden ifde ederek + b nın cinsinden değerini eşitlikte erine zınız. 3 P çısının ölçüsü ile ve çılrının ölçülerinin toplmı rsındki ilişkii ifde ediniz. 3 u şekle göre m ( X ) + m( X ) 70 olurs in kç derece olcğını bulunuz. P b b örtgenin iç çılrının ölçüleri toplmı, (n ). 80 olup n 4 için, (4 ) dir. ış çılrının ölçülerinin toplmı ise 360 dir. ir dörtgeninde ve çılrının çıortlrının kesim noktsı P olsun. u durumd, P m ( X ) + m( X ) mp ( X ) dir. İspt P üçgeninde (üçgenin iç çılrı toplmı 80 dir.) 80 olur. P dörtgeninde iç çılrın ölçüleri toplmı 360 olduğundn, m ( X) + m( X) + m ( X ) + m( X ) m ( X) + m( X ) 360 dir. hâlde; m( X) + m( X) 360 m( X) + m( X) ( 80 ) 6

17 ÖRTGNLR m ( X) + m( X) 80 dir. m ( X ) + m( X ) 80 olduğundn bulunur. Yndki dörtgeninde [] ve [] çıortlr, m( X ) 30, m ( X ) 00 ise m ( % ) in kç derece olduğunu bullım ve çılrının çıortlrının kesim noktsı X olduğundn; % m( X ) + m ( X ) m( ) dir bulunur. Yndki dörtgeninde, [K], [K] sırsıl ve çılrının çıortlrıdır. m( KL) 8 vem( X ) 6 ise m( X ) in kç % derece olduğunu bullım. 6 K 8 L mk ( % ) ve çılrının çıortlrının kesim noktsı K olduğundn, ( ) ( ) mk ( % ) m X + m X, 98,96 6, bulunur. ir dörtgeninde, krşılıklı iki iç çının çıortlrı rsın- dki dr çının ölçüsü, diğer iki çının ölçüleri frkının mutlk değerinin rısın eşittir. m ( % ) m ( X ) m ( X ) dir. İspt % % % dörtgeninde m( ) + m( ) + m( ) + m( X ) m( X ) m( X )

18 ÖRTGNLR dörtgeninde, m ( X) + m( X) + m ( X ) + m( X ) m( X ) + + m( X ) 360 ( + ) + m( X ) + m( X ) ( m( X ) + ) + m ( X ) + m ( X ) m( X ) + + m( X ) + m( X ) 360 m( X ) m( X ) m( X ) m( X ) % m( X ) m( X ) m( ) bulunur. Yndki dörtgeninde [] ve [ çıortlrdır. m( X ) 30, m( X ) 74 ise m ( % ) in kç derece olduğunu bullım ile çılrının çıortlrının kesim noktsı olduğundn, % m( X ) m( X ) m( ) dir bulunur. Yndki dörtgeninde [ ve [ çıortdır. m( X ) m( X % ), m( ) 40, m( X ) + m( X ) 00 ise çısının ölçüsünü bullım. 40 ile çısının çıortlrının kesim noktsı olduğundn, % m( X ) m( X ) m( ) dir. 40 ise 80 ise 80 dir. ( > ) hâlde; 80...( I) ( II) I ve II denklemlerinden, m( X ) 60 bulunur.

19 ÖRTGNLR Herhngi bir dörtgeninde, köşegenler birbirine dik ise krşılıklı kenrlrın kreleri toplmı birbirine eşittir c b + d dir. d c b İspt,, z ve t olsun. ve dik üçgenlerinde Pisgor bğıntısını zlım. + vec z + t dir. u eşitlikleri trf trf topldığımızd; + d t z c b + c z + t + c + + z + t... (I) bulunur. ve dik üçgenlerinde Pisgor bğıntısını zıp trf trf topldığımızd; d + t + b + z b + d + + t +z... (II) bulunur. (I) ve (II) eşitliklerde sol trflr eşit olduğundn +c b + d olur. Yndki dörtgeninde [] ^ [] ve 3 3 br, br, 4 br ise, [] nın uzunluğunu bullım. 4 dörtgeninde [] ^ [] olduğundn, + + dir br bulunur. 9

20 ÖRTGNLR Yndki dörtgeninde [] ^ [], dur. 9 cm, 7 cm ve 6 cm ise [] nın uzunluğunu bullım dörtgeninde [] ^ [] olduğundn, + + dir cm dir. dik üçgeninde, [] hipotenüse it kenrort olduğundn, 7 7 cm bulunur. Ynd dörtgen, [] ^ [] cm 7 cm 30 cm 9 cm olduğun göre kç cm dir? Köşegenleri dik olduğu için, ^ 30h cm dir. bul Vef nın düzlem geometri ile ilgili ptığı çlışmlrını rştırınız. 0

21 ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki dörtgeninde [] ve [] sırsıl X ve X % çılrının çıortlrıdır. [] ^ [] ve m ( ) 75 ise çısının ölçüsünü bulunuz. 75. Yndki dörtgeninde [], [G], [] ve [] çıortlrdır. m( % ) 85 ise m( G % ) kç derecedir? ) 90 ) 95 ) 00 ) 0 ) 0 3. Yndki dörtgeninde [ ve [] çıortlrdır. m( X ) 95, m( W ) 75 dir. un göre şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın nlış olnlr Y zınız.. (...) 0 dir. % b. (...) m ( ) 50 dir. c. (...) m ( W) + m( W) + m ( X) + m( X ) 360 dir. % ( ) ( ) ç. (...) m ( ) m W + m X dir. 4. Yndki dörtgende [], [], [] ve [] çıortlrdır. m( G % ) 0 ise m( H % ) kç derecedir? 5. Yndki dörtgeninde, [] ^ [] dir. 3 cm, 4 cm ve 6 cm ise [] nın uzunluğunu bulunuz. 3 G G H Yndki dörtgeninde [] ^ [] dir. 7 br, 5 br, 6 br ve 8 br olduğun göre kç birimdir?

22 ÖRTGNLR.3 ÖRTGNİN ÇVR UZUNLUĞU V ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI tkinlik ikdörtgensel ölgenin Çevre Uzunluğunu ve lnını ullım rç ve gereç : cetvel Yndki dörtgenini inceleiniz. 3 Her bir doğru prçsının uzunluğunu bulrk dörtgenin çevre uzunluğunu hesplınız. örtgensel bölgenin çevre uzunluğu kç frklı oll hesplnbilir? Trtışınız. örtgenin kenr ort noktlrını birleştirerek bir dörtgensel bölge elde ediniz. luşn dörtgensel bölgenin özelliklerini trtışınız. 3 luşn dörtgensel bölgenin çevresi ile dörtgeninin köşegenlerinin uzunluğu rsındki ilişkii çıklınız. 3 dörtgensel bölgesinin lnı ile dörtgeninin köşegenleri rsındki ilişkii trtışınız. 3 luşn dörtgensel bölgenin lnı ile dörtgensel bölgesinin lnı rsındki ilişkii trtışınız. ir dörtgenin çevresinin uzunluğu, dörtgenin kenr uzunluklrının toplmıdır. dörtgeninin çevre uzunluğu, Ç() + b + c + d dir. d c b Yndki koordint düzleminde verilen dörtgeninin çevre uzunluğunun kç birim olduğunu bullım

23 ÖRTGNLR dörtgeninin köşe koordintlrı (, ), (, ), (3,4) ve (, ) dir. ( ( ), ( )) ( +, + ) ( 3, ) ( 3, 4 ( )) ( 4, + ) ( 5, ) br br ( 3, 4) ( 5, ) ( 5) + ( ) ( ( ), ) ( +, 4) (, 4) br + ( 4) br Ç( ) br bulunur. tkinlik ir örtgenin Kenr rt Noktlrını irleştirelim rç ve gereç : kreli kâğıt, cetvel, mks Kreli kâğıd ndki gibi dörtgeni çiziniz. H Çizdiğiniz dörtgeni keserek çıkrınız. G luşn dörtgensel bölgenin her bir kenrının ort noktsını bulrk bu noktlrı ndki gibi birleştiriniz. luşn dörtgeni GH olrk isim- lendiriniz. dörtgensel bölgesini, oluşn eni dörtgenin kenrlrı bounc ktlınız. dörtgensel bölgesinin lnı ile GH dörtgensel bölgesinin lnı rsındki ilişkii çıklınız. 3 ir dörtgensel bölgenin kenr ort noktlrını köşe kbul eden dörtgensel bölgenin lnı ile dörtgensel bölgesinin lnı rsındki bğıntıı oluşturunuz. 3

24 ÖRTGNLR Yndki dörtgeninde K, L, M ve N kenrlrın ort noktlrı olmk üzere, ( ) KLMN ( ) dir. L K N İspt örtgenin [] ve [] köşegenlerini çizersek (üçgende ln özelliklerinden) oluşn bölgelerin lnlrı şekildeki gibi olur. urdn, () 4 + 4b + 4c + 4d ise () ( + b + c + d).(klmn), ((KLMN) + b + c + d) ( ) KLMN ( ) dir. b L b b c M K c M d c d N d Yndki dörtgeninde,, G, H ort noktlrdır. () 0 cm ise (GH)nın kç cm olduğunu bullım. H G ( ) 0,, G, H ort noktlr olduğundn GH ( ) ve GH ( ) 0 cm bulunur. Yndki dörtgeninde,, K, L ort noktlrdır. (KL) 30 cm olduğun göre,. () kç cm dir? b. (KL) kç cm dir?. ile noktlrını birleştirelim, [LK] // [] olduğundn, & & & L ( K) LK + & & k ( ) 4 L L 3 K K 3 s s s s 4

25 ÖRTGNLR [] // [] olduğundn & & & ( ) + & & k ( ) 4 (KL) cm, 3(+) 30 cm, + 0 cm olur. () ( + ) cm elde edilir. ( ) 40 b.,, K, L ort noktlr olduğundn KL ( ) 0 cm dir. ışbüke bir dörtgensel bölgenin lnı, köşegen uzunluklrı ile köşegenleri rsındki çının sinüsünün çrpımının rısın eşittir. dörtgensel bölgesinin lnı () olmk üzere; ( ).. sin e, f lınırs ( ) e.. f sin olur. İspt n,,, m llım. & & & & ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ).. sin( ).. 80 m sin. mn sin( 80 - ) +. n.. sin sin ( + m + mn+ n). sin ( + m).( + n). sin.. sin bulunur. sin n m Yndki dörtgeninde, & m ( ) 60, 5 cm, cm ise dörtgensel bölgesinin lnını bullım. 60 e 5 cm, f cm ( )... sin ef.. sin cm bulunur. 5

26 ÖRTGNLR Yndki dörtgeninde [] ^[] dir. 0 cm, cm ise () nı bullım. ()... s in cm bulunur. bullım. Yndki dörtgeninde [ ] + [ ] { } ve [] ^ [] dir. 4 cm, 3 cm ve cm ise () nı & dik üçgeninde, cm olur. & dik üçgeninde sin sin 4 5 e cm f cm ( ). e. f. sin cm bulunur p ve q bir dörtgenin köşegen vektörleri olmk üzere bu dörtgensel bölgenin lnının vektörel ifdesi, p q < pq, > dir. p d b q c 6

27 ÖRTGNLR ir dörtgenin köşegen vektörleri, p (, 3), q (, ) dir. u dörtgensel bölgenin lnını bullım. p (, 3) p ^ + ( 3) h 4+ 9 p 3 < p, q >. ( ) + ( 3).( ) q (, ) q ^ ( ) + ( ) h + 4 q 5 p. q < pq, > br u (, b) ve v (c,d) olmk üzere uile v nün iç çrpımı < u, v >. c+ b. d dir. bulunur. Yndki dörtgensel bölgesinin lnı- Y nı vektörel oldn bullım. örtgenin köşelerinin koordintlrı, ( 3, 0), (, ), (3, ) ve (, 3) dır. Köşegen vektörleri ve dir. ( 3 ( 3), 0) (, 3 ( )) ( 3+ 3, ) ( 03, + ) ( 6, ) ( 05, ) X ( 6, ), ( 05, ) <, > <, > 0 ( ) <, > br bulunur. 7

28 ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki koordint düzleminde verilen dörtgeninin çevre uzunluğu kç birimdir?. Yndki dörtgeninde [] ^ [], 6 br, 8 br, 5 br dir. un göre şğıdki ifdelerde noktlı erleri ugun biçimde doldurunuz dır. b.... br dir. c. dörtgeninin çevresi Ç()... br dir Yndki dörtgeninde, m( W ) m( X ) 90, cm, 9 cm ve 5 5 cm olduğun 5 5 göre, Ç() kç cm dir? ) ) ) 49 ) 55 ) Yndki dörtgen biçimindeki bir bhçenin ort noktlrı birleştirilerek GH dörtgensel bölgesi oluşturuluor. u oluşturuln bölgee çim ekilior. () 36 m olduğun göre çim ekili ln kç m dir? H G 8

29 ÖRTGNLR 5. Yndki dörtgeninde, % m ( ) 60, 4 cm, cm ise () kç cm dir? Yndki dörtgeninde, [] ^ [] dir. 7 cm, 3 cm, 4 cm ve 6 cm olduğun göre () kç cm dir? Yndki koordint düzleminde verilen dörtgensel bölgenin lnını bulunuz Yndki dörtgenin köşegenleri p ( 3, 4) ve q (, ) ise dörtgensel bölgenin lnını bulunuz. b d q p c 9. ir dörtgeninin köşelerinin koordintlrı (,), (, 3), (, 3) ve (,4) olduğun göre bu dörtgensel bölgenin lnını bulunuz. 0. Köşegenleri u (, ) ve v (, 3) oln dörtgensel bölgenin lnını bulunuz. 9

30 . ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI. ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI. şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) Herhngi üçü doğrusl olmn dört noktı birleştiren dört doğru prçsındn oluşn şekle dörtgen denir. b. (...) ir dörtgenin komşu olmn iki kenrının ort noktlrını birleştiren doğru prçsın köşegen denir. c. (...) ir iç çısının ölçüsü 80 den büük oln dörtgene içbüke dörtgen denir. ç. (...) ir dörtgenin komşu olmn iki köşesini birleştiren doğru prçsın ort tbn denir.. Yndki koordint düzleminde verilen dörtgenin [] köşegen uzunluğu, [] kenrının uzunluğu b ise. b kç birimdir? ) 6 ) 37 ) 5 37 ) 6 37 ) ir dörtgen çizerek temel elemnlrını gösteriniz. 4. Yndki dörtgeninde [] ve [] sırsıl ve çılrının çıortlrıdır. % m ( ) 70, m( ) 85 ise m ( W) kç derecedir? ) 55 ) 60 ) ) 70 ) Yndki dörtgeninde [] ve [ sırsıl ve çılrının çıortlrıdır. m ( X ) 90, m ( W ) 80 ise m ( % ) kç derecedir? ) 3 ) 4 ) 5 ) 0 )

31 . ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI 6. Yndki dörtgeninde [] ^ [], 5 br, 8 br, 5 br ise kç birimdir? 5 ) ) ) 5 ) 5 3 ) Yndki dörtgeninde, [], [], [], [] sırsıl,,, çılrının çıortlrıdır. m( % ) 95 ise m ( % ) kç derecedir? ) 70 ) 85 ) 90 ) 95 ) Yndki dörtgeninde, [] ^ [], 6 br, K 3 br, 8 K 4 br ve 8 br ise Ç () kç birimdir? ) 4 ) 5 ) 9 ) ) K Yndki dörtgeninde,, G, H G bulunduklrı kenrlrın ort noktlrıdır. (GH) 4 cm olduğun göre () kç cm dir? H 0. Yndki dörtgeninde,, m ( W ) 60, m ( X ) 70 ise 70 m( % ) kç derecedir? ) 30 ) 40 ) 45 ) 50 )

32 . ÜNİT ĞRLNİRM SRULRI %. Yndki dörtgeninde m ( ) 60, 6 cm, cm olduğun göre ( ) kç cm dir? ) 3 3 ) 48 ) 48 3 ) 54 ) Yndki dörtgeninde, [] ^ [], cm, 7 cm ise () kç cm dir? ) 4 ) 36 ) 38 ) 4 ) Yndki koordint düzleminde verilen dörtgensel bölgesinin lnını bulunuz Yndki dörtgenin köşegen vektörleri p (, ) ve q (, 3) b olduğun göre bu dörtgensel bölgenin lnı kç br dir? 3 3 ) ) ) ) ) q p c d 3

33 . ÜNİT ÖZL ÖRTGNLR. YMUK. YMUKSL ÖLGNİN LNI.3 PRLLKNR.4 PRLLKNRSL ÖLGNİN LNI.5 İKÖRTGN.6 İKÖRTGNSL ÖLGNİN LNI.7 ŞKNR ÖRTGN.8 ŞKNR ÖRTGNSL ÖLGNİN LNI.9 KR.0 KRSL ÖLGNİN LNI. LTİ. LTİSL ÖLGNİN LNI.3 ÖRTGNLRİN RSINKİ İLİŞKİLR sketbol Öğreniorum un, onr dkiklık dört periottn oluşur. erberlik durumund uztm periodu onnır. Her tkım ilk üç periott ve uztm periodund ikişer dkiklık bir, dördüncü periott iki mol hkkın shiptir. İkinci ile üçüncü periot rsınd 5 dkiklık devre rsı verilir. Hücum eden tkım, kendi shsını 8 snie içinde terk etmek ve 4 snie içinde de hücumunu tmmlmk zorunddır. ksi hâlde top kullnm hkkı rkip tkım geçer. uncu, topl birlikte top sürme (dribbling), ps tm (pssing), şut tm (shooting) ktivitelerini pm şnsın shiptir. ir ouncu top sürerken topu eline lrk durdururs tekrr top sürme şnsın ship değildir; topu istediği öne ve kişie ps d şut tmk zorunddır. Her tkım 5 kişiden oluşur ve tkımlrın sınırsız ouncu değişikliği hkkı vrdır. ğer ful hkkını doldurmmışs her çıkn ouncu tekrr oun dâhil olbilir. ir tkımdki beş ouncudn biri ort (post), ikisi svunm (gurd) ve ikisi de hücum (forwrd) ouncusudur. Üç sı çizgisi içinden pıln her bşrılı tış iki sı, üç sı çizgisi gerisinden pıln her bşrılı tış üç sı olrk değerlendirilir. ullerden ve kurl ihlllerinden dolı kznıln bşrılı serbest tışlr bir sı olrk değerlendirilir. Ynd, kurllrın göre çizilmiş bsketbol shsı şeklini inceleerek içerisinde muk, prlelkenr, dikdörtgen, eşkenr dörtgen, kre, deltoit şekillerinden hngilerinin olduğunu belirleiniz. u dörtgensel bölgelerin çevre uzunluklrını ve lnlrını hesplınız. lnlrı hesplbilmek için hngi elemnlrın uzunluklrı d verilmiş olmlıdır? çıklınız. 33

34 ÖZL ÖRTGNLR. YMUK tkinlik Ymuk ve Özellikleri rç ve gereç : kreli kâğıt, cetvel Köşelerinin koordintlrı ndki şekilde (,3) (,3) verilen muğun, Kenr uzunluklrını bulunuz. 3 Krşılıklı kenrlrının eğimlerini krşılştırınız. (,0) (6,0) Köşegen uzunluklrını bulunuz. 3 Ynd ve noktlrının koordintlrı sırsıl ( 5,0), (,3) olck şekilde seçildiğinde oluşn muk için ukrıdki bsmklrı tekrrlınız. 3 ve noktlrının koordintlrı sırsıl (0,0), (0,3) olck şekilde seçildiğinde oluşn muk için ukrıdki bsmklrı tekrrlınız. 3 luşturuln üç muğun benzerliklerini ve frklılıklrını trtışınız. Krşılıklı kenrlrındn sdece ikisi prlel oln bir dörtgene muk denir. Yndki şekilde [] // [] olup bu dörtgen muğudur. [] ile [] n tbnlr, [] ile [] n klr denir., ise [] n muğun ort tbnı denir. []// [] // [] dir. e,, c olmk üzere, + c e + dir. Prlel olmn kenrlrı eşit uzunlukt oln bir muğ ikizkenr muk denir. Yndki muğund, olduğundn bir ikizkenr muktur.. İkizkenr mukt; tbn çılrının ölçüleri eşittir. Yni, m ( W) m( W) dir. H e c 34

35 ÖZL ÖRTGNLR b. İkizkenr mukt köşegen uzunluklrı eşittir. Yni, e f dir. f e muğund, K K ve L L dır. K 5 L br, KL 5 br, 8 br ve br olduğun göre + nin kç br olduğunu bullım. 8 muğund [KL] ort tbn olduğundn, KL + 8 & 5 +, brolur. LK muğund, [] ort tbn olduğundn, + KL 5 & 8 +, brolur br bulunur. muğund 4 br, % % [H] [], mh ( ) mh ( ) ve H 4 6 br ise H kç birimdir? 6 mh ( % ) mh ( % ) lınırs ikizkenr muk olduğund, m ( W) m( W) H dik üçgeninde, + 90 ise 30 olur. 6 H 3 br (30 nin krşısındki kenr) H H 4 3 br dir. H

36 ÖZL ÖRTGNLR Yndki muğund, [] // [] b m ( W ) + m( X ) 80 +b 80 m( W ) + m ( X ) dir. \ Yndki muğund [] // [] olmk üzere,. +b kç derecedir? b. m ( W) + m( W) kç derecedir? +30 b+0 0. m ( W ) + m( X ) 80 b b b + 30 olur. b. m ( W ) + m( W ) (b + 0 ) + ( 0 ) +b bulunur. ir mukt ort tbnın köşegenler rsınd kln prçsı- c nın uzunluğu, tbn uzunluklrı frkının rısın eşittir. muğund [] ort tbn, [] ve [] köşegenler c ise KL dir. K L İspt üçgeninde [K] ort tbn olup K üçgeninde [L] ort tbn olup L K + KL + L + c c c + KL + c KL bulunur. c dir. c dir. c K c L c 36

37 ÖZL ÖRTGNLR muğund [] ort tbn, 6 cm, 4 cm ise K, KL, L ve değerlerini bullım. K 4 L 6 K L KL 4 cm 4 cm 6 4 cm cm bulunur. muğund [] ort tbn, [] ve [] köşegenlerdir. KL, 6 br ise nin kç br olduğunu bullım. K L 6, c, KL lınırs c olur. c KL [] muğun ort tbnı olduğundn, 6 c brve 4. br bulunur. c 8 brolur. Yn kenrlrındn biri tbnlr dik oln muğ dik muk denir. c []^[], [] ^ [] urd muğun üksekliği h d dir. d h b H

38 ÖZL ÖRTGNLR dik muğund [] ^ [], [] ^ [] 3 br, br, 5 br ise m ( X ) in kç derece olduğunu bullım. 3 5 [H] ^ [] çizelim. H br H 3 br, H H 5 3 H br olur. H ikizkenr dik üçgen olduğundn, m ( H W ) m( H X ) 45 olur. m ( X % ) 90 + mh ( ) m ( X ) 35 bulunur H dik muğund, % m ( ) 60, m( W ) 30, [ ] [ ],[ ] 8 cm ise [] nin uzunluğunu bullım. köşegen ve [H] ^ [] çizelim. H olur. m( W ) 30 olduğundn H dik üçgeninde H 4 cm bulunur. H dik üçgeninde (30, 60, 90 üçgeni), H cm bulunur H Yndki dik muğund, [] ^ [], [] ^ [] br 5 br ise [] nın uzunluğunu bullım. 5 38

39 ÖZL ÖRTGNLR Yndki dik muğund, [H] ^ [] çizelim. H br H 5 3 br olur. dik üçgeninde, H H. H. 3 6 br bulunur. H 3 Köşegenleri dik oln muğunun üksekliği h, pr- c lel oln kenr uzunluklrı ve c ise h. c dir. h İspt [K] // [] çizelim. K prlelkenrınd K c olur. c % [K] // [] olduğundn mk ( ) 90 dir. K dik üçgeninde Öklid teoremine göre, h K. h. c bulunur. K c 4 Yndki dik muğund, 6 cm, c 4 cm, h [] ^ [] olduğun göre h kç cm dir? 6 h. c h 64. h 4 h 6 cmdir. 39

40 ÖZL ÖRTGNLR Yndki dik muğund, 9 cm, c 4 cm, 4 [] ^ [] olduğun göre;. h kç cm dir? b. kç cm dir? 9 c. kç cm dir?. h c. h h h 6 cmdir. b. dik üçgeninde, h6 c. dik üçgeninde, c4 9 h + c cm dir. h cm dir. ir mukt, prlel oln kenrlrın uzunluklrı ve c olmk üzere köşegenlerin kesim noktsındn tbnlr çizilen prlel doğru prçsının uzunluğu,. c. KL + c dir. K c L İspt & & K + (.. benzerlik teoremi) K K...( ) & K + & ( benzerlik.. teoremi) K K olur....( ) K c L 40

41 ÖZL ÖRTGNLR () ve () eşitliklerini trf trf toplrsk, K + K K + K K + K olduğundn, K. f + p + (orntı özelliğinden)... (3) K & & & & enzer şekilde, L + ve L + benzerliklerinden, + bulunur.... (4) L (3) ve (4) den K L elde edilir. (3) ve (4) eşitliğinden birini llım. + K K + c () c ( ) c. K c + c. K + c L KL K + L c. c. KL + c + + c. c. KL + c bulunur. 4 Yndki muğund, // [ N]// [ ], [ ] + [ ] { K} 8 cm, 4 cm olduğun göre [N] nın uzunluğunu bullım. K 8 N.. c N + + c N cm bulunur K N 4

42 ÖZL ÖRTGNLR Yndki muğund, [] // [] // [], [] ve [] köşegenlerdir. 4 cm, 3 cm olduğun göre kç cm dir? 3 4 N N 3 cm & N 6 cm olur.. c. N + c cmdir. 3 c4 3 N ir muğund [] // [],, c, M [MN] ^ [] ve [MN] h ise muğun üksekliği,. N. + c h b. M c. + c h dir. İspt N. muğund [] // [] dir. & & + (.. benzerlik teoremi) M N c M + N c & + (orntının özelliği) N M M + N h olduğundn, h c +.. N & N + c h bulunur & & b. + (.. benzerlik teoremi) M N c M c & (orntının özelliği) N + M + c N M h c c. + c & M + c h bulunur. 4

43 ÖZL ÖRTGNLR M Şekildeki muğund [] ve [] köşegenlerdir. 6 cm, cm ve MN 4 cm olduğun göre, M ve N nu bullım. N 6 c ve olmk üzere; M c. + c h N. + c h M cm olur. N 3 cm bulunur. Yndki muğund [KL] [], K cm, L 4 cm ve 0 cm olduğun göre kç cm dir? K 4 L 0 0 cm, c KL h + 4 6cm K c. + c h c c 0 + c 6c 0 6c c 0 4c 4 4 c 5 cm dir. c K 4 L 0 43

44 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki muğund [] // [] dir. m( W) + 0, m( W) m( X ) m( X ) + olduğun göre şğıdki boşluklrı doldurunuz.. muğunun iç çılrı toplmı b. muğund ile köşelerindeki iç çılrın toplmı... c. + toplmı... ç. ve köşelerindeki çılrın toplmı.... Yndki muğund, [] // [],,, m ( W ) 80 olduğun göre m( W ) kç derecedir? 3. Yndki muğund [] // [], 5 br, 9 + br, ve noktlrı bulunduklrı kenrlrın ort noktsıdır. un göre kç br dir? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 4. Yndki muğund [] // [] // [] ve [] ve [] köşegen,,, K 5 br, KL 3 br, br ve br olduğun göre + kç birimdir? 5 K 3 L 5. Yndki muğund [] // [] // [], + 4 cm, K 0 cm, K +3 cm, oldu K + 3 ğun göre kç cm dir? 44

45 ÖZL ÖRTGNLR 6. Yndki dik muğund, olduğun göre; m ( % ) kç derecedir? 7. Yndki ikizkenr muğund, 6@ + 6@ { },[ ]//[ ], [ ] [ ] [ H] [ ],, 5 br, 3 br olduğun göre şğıdki sorulrı cevplınız kç br dir? b. kç br dir? H c. kç br dir? ç. H kç br dir? 3 8. Yndki dik muğund, [] // [], [] ^ [], 3 cm, 5 cm olduğun göre kç cm dir? 5 9. Yndki ikizkenr muğund, [] ^ [], 4 cm, 8 cm olduğun göre, muğunun üksekliğinin uzunluğu şğıdkilerden 4 hngisidir? ) ) 3 ) 4 8 ) 4 ) 6 0. Yndki ikizkenr muğund [] ve [] köşegen, [] ^ [], 4 cm, 6 cm, [KH] ^ [] ve [KH] [], [ ] + [ ] + [ KH] { } olduğun göre, K. [K] nın uzunluğu kç cm dir? b. [H] nın uzunluğu kç cm dir? H 45

46 ÖZL ÖRTGNLR. YMUKSL ÖLGNİN LNI tkinlik Ymuksl ölgenin lnını ullım şğıdki şekli inceleiniz. h b Yukrıd verilenlere göre ile üçgensel bölgelerinin ln bğıntılrını oluşturunuz. muksl bölgesinin lnı ile ve üçgensel bölgelerinin lnlrının toplmı rsındki ilişkii çıklınız. ve üçgensel bölgelerinin ln bğıntılrındn rrlnrk muksl bölgesinin ln bğıntısını oluşturunuz. ir muksl bölgenin lnı, prlel oln kenrlrının uzunluklrı toplmının rısı ile üksekliğinin çrpımıdır. Yndki muğund [H] [], [] // [] dir. muksl bölgesinin lnı, + ( ). H ( + c) ( ). h dir. İspt üçgeninde kenrın it ükseklik h dir. & ch. ( ) dir. üçgeninde kenrın it ükseklik h olmk üzere; & h. ( ) dir. & & ( ) ( ) + ( ) ch. h. + h. + ch. ( + c). h ( ) elde edilir H 3 c c h H h 46

47 ÖZL ÖRTGNLR c 4 Yndki muğund [H] [], h 6 5 cm, c 4 cm, H H h 6 cm olduğun göre muksl bölgenin lnını bullım. ( + c). h ( ) (5+ 4) cm bulunur. Yndki muğund [] ort tbn, 7 [H] [], 3 7 cm, H 3 cm olduğun göre muksl bölgenin lnını bullım. H Ynd K H 3 cm olck şekilde [K] [K] çizelim. + ort tbnh cm + ( ). KH 4. 6 ( ) 4 cm dir. 7 3 H K 3 47

48 ÖZL ÖRTGNLR 8 Yndki muğund, 0 cm, cm, 8 cm olduğun göre () kç cm dir? 0 ikizkenr muk, [] [], [] [] çizelim cm olur. dik üçgeninde, cm bulunur. muğunun üksekliği h 8 dir. + ( ). h ( ) cm dir. Yndki muğund [] // [], & & & ( ) p, ( ) q, ( ) mve & ( ) n ise. p q mn. b. ( ) ( m + n) olduğunu gösterelim. p c m n q İspt & &. Verilen şekle göre ( ) ( ) & p+ n q+ n p q olur. h p c m n q 48

49 ÖZL ÖRTGNLR & ( ) & ( ) & ( ) & ( ) _ b b b ` & b b b b. ( ) m+ n+ p+ q m+ n+ m+ n+ mn. + mn. mn. ( ) ( m + n) olur. & & ( ) ( ) p m & & & n q ( ) ( ) pq. mn. p q m. n ( p q) p q mn. elde edilir. Yndki muğund [] // [], & ( ) cm, & ( ) 8 cm olduğun göre üçgensel bölgesinin lnını bullım. & & ( ) ( ) olsun. & ( ) ve ( ) 8 olur. Teoremden dolı, & ( ). & ( ) ( ).(8 ) & 4 ( ) cm bulunur. 5 8 Yndki muğund [] // [], & K ( ) 9 cm, & K ( ) 5 cm K olduğun göre muksl bölgesinin lnını bullım. 49

50 ÖZL ÖRTGNLR ( ) & & ( K) + ( K) k ^ 9 + 5h ( 3+ 5) 8 ( ) 64 cm bulunur. 9 K 5 4 Yndki muğund,, [] [] {K} 4 cm, cm ^Kh Yukrıdki verilere göre; ornı kçtır? ^ h K [] // [] çizilirse, cm & & K + K ` & Kj 4 ` & b l Kj 44 S 36 36S K ` & j K ` & j 6S `& j 4S olduğu için `& j 4S 4S ^ & & & h ` & ^ & c m 4. h 7S & ^ & h 8S ^ & h 4 ^Kh ^ & h ^& Kh 8S 6S S ^Kh S hâlde, dır. ^h S 56 4 S 6S K 36S S 6S muksl bölgesinde, s L s,, K, L noktlrı, kenr ort noktlr ise. KL noktlrı prlelkenrdır. K ( ) b. ( KL) İspt dir. s L s. muğund, K [] ve [] köşegenlerini çizelim. 50

51 ÖZL ÖRTGNLR üç geninde K ve [ K ]// [ ], üç geninde L ve [ L ]// [ ] olduğundn, K L ve [K] // [L] olduğu görülür. enzer şekilde, ve üçgenlerinde KL ve [] // [KL] olduğundn KL dörtgeni bir prlelkenrdır. b. [K], muğunun ort tbnı ile [LH] ve [H] dikmelerini çizelim. & & KL ( ) ( K) + ( LK) K. H + K. LH K. ( H + LH ), (muğun üksekliği h ise H + LH h dir.) K. h +. h, ^6 ort tbn K@ h ( ) + KL ( ), e ( ). h o bulunur. L H K Yndki muğund [] // [], K, L, M, N ort noktlrdır. (KLMN) cm olduğun göre () kç cm dir? K N M s L s K, L, M, N ort noktlr olduğun göre, ( ) KLMN ( ) ( ) ( ) 4 cm dir. K s N L s M 5

52 ÖZL ÖRTGNLR muksl bölgesinde, [] // [] ve ] ise, & ( ) ( ) İspt dir. [] ort tbnı ile [G] ve [H] dikmelerini çizdiğimizde, h muğunun üksekliği h ise H G olur. & ( ). G c.. + c. h ( + c) h h 8 & ( ). H H.. + c. h ( + c) h 8 & & & ( ) ( ) + ( ) ( + c). h ( + c). h ( + c). h. ( + c). + h. ( ) bulunur G h Yndki muğund [] // [],, & ( ) 3 br olduğun göre, muksl bölgesinin lnını bullım. muğund, [] nın ort noktsıdır. & ( ) ( ) ( ) 3 ise ( ) 64 br dir. ir dörtgensel bölgenin köşegenlerinin medn getirdiği, dört üçgenin ğırlık merkezlerinin oluşturduğu, dörtgenin köşegenlerinin kesiştiği nokt, bu dörtgensel bölgenin ğırlık merkezi denir. G 4 G 3 G G G ğırlık merkezi 5

53 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki muğund [] // [] dir. cm, 4 cm, 7 cm ve 3 cm olduğun göre muksl bölgesinin lnını bulunuz Yndki muğund [] // [], 0 5 br, br, 5 br, 0 br olduğun göre () kç br dir? 5 3. Yndki muksl bölgesinde, 4 [] // [], [] + [] {} & ( ) 4 br & ve ( ) 9 br olduğun göre () 9 kç br dir? M 4. Yndki muksl bölgesinde K, L, N, M ort noktlrdır. () 54 cm ise (KLMN) kç cm dir? N L K 5. Yndki muksl bölgesinde, [PS] ort tbn, PR RS (PR) 8 cm ise muksl bölgesinin lnını P R S bulunuz. 6. Yndki muğund,, [] ], 5 br, 3 br olduğun göre () kç br dir? 3 ) ) 6 ) 8 ) 0 ) 5 53

54 ÖZL ÖRTGNLR 7. Yndki dik muğund [] [], 0 cm 0 3 cm olduğun göre () kç cm dir? 3 8. Yndki muksl bölgesinde, & ( ) 8 cm & ( ) 50 cm ise şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız. & & ( ). (...) ( ) 30 cm dir. b. (...) ( ) & c. (...) ( ) 45 cm dir. & & d. (...) ( ) ( ) dir. 9. Yndki resimde ikizkenr muk biçimindeki oto ön cmınd [] // [], 50 cm, 80 cm, 40 cm olduğun göre muksl bölge biçimindeki cmın lnı kç cm dir? 3 5 tir. ç. (...) ( ) 3 cm dir Yndki dik muğund [] [], [] [], 4 br, 6 br ise () kç br dir?. Yndki muğund, 6 [] // [] // [] [G] [] 7 cm G 3 cm olduğun göre şğıdki noktlı erleri doldurunuz.. muğunun üksekliği... cm dir.... b. dir. c. ()... cm dir. G. ir muksl bölgesi çiziniz. u muksl bölgenin ğırlık merkezini belirleiniz. 54

55 ÖZL ÖRTGNLR.3 PRLLKNR tkinlik Prlelkenr ve Özellikleri rç ve gereç : kreli kâğıt, cetvel Yndki şekli inceleiniz. (,4) Kenr uzunluklrını bulrk krşılıklı kenrlrın uzunluklrını krşılştırınız. Kenrlrı tşın doğrulrın eğimlerini bulrk krşılştırınız ve krşılıklı kenrlrının birbirine göre durumlrını trtışınız. (0,0) (4,0) örtgenin köşegenlerini çizerek uzunluklrını ve köşegenlerin kesim noktsının koordintlrını hesplınız. Kesim noktsını ile isimlendiriniz ve noktsının koordintlrını bulunuz. 3,,, uzunluklrını bulrk bu uzunluklrı krşılştırınız. Köşegenler rsındki çıı ölçünüz. prlelkenrının kenrlrının ort noktlrının koordintlrını bulunuz. Kenr ort noktlrını birleştirerek bir dörtgen elde ediniz. 3 luşn dörtgenin özelliklerini trtışınız. (6,4) Krşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgene prlelkenr denir. Yndki prlelkenrınd; [] // [ ], [] // [] dir.,, ve prlelkenrın köşeleri, [], [], [], [] prlelkenrın kenrlrıdır. ir prlelkenrd krşılıklı kenrlrın uzunluklrı eşittir. İspt prlelkenr olmk üzere, [] // [], [] // [] dir. m ( W ) m ( X ) (iç ters çılr) m ( W ) m ( X ) (iç ters çılr) ve üçgenlerinde ortk kenr [] olduğundn &, & (.K. eşlik teoremi) dir. [], [], [], [] ise, dır. 55

56 ÖZL ÖRTGNLR Yndki prlelkenrınd,, doğrusl,, dir. 63 m( % ) 63 ise m( % ) kç derecedir? prlelkenr olduğundn ve olur. m( % ) m( % ) olcğındn, m( W ) + m( X ) 80 & bulunur. 63 ir prlelkenrd köşegenler birbirini ortlr. prlelkenr, K K ve K K dir. K İspt prlelkenr, [] ve [] köşegenlerdir. m( % ) m( % ) (iç ters çılr) m( % ) m( % ) (iç ters çılr) & & dir, K, K (.K. eşlik teoremi) dir. [K], [K], [K], [K] dır. urdn K K ve K K olur. K Yndki prlelkenrınd, [] köşegen, [] [K] 8 3 K K K, K 3 cm 8 cm ise kç cm dir? prlelkenrınd köşegenler birbirini ortldığındn, K K 3 cm dir. 6 cm olur. dik üçgeninde, cmdir K 3 56

57 ÖZL ÖRTGNLR ir prlelkenrd komşu çılrın çıortlrı birbirine diktir. prlelkenr, [] çısının çıortı, [] çısının çıortı ise [] [] % ni m( ) 90 dir. İspt prlelkenr, [] ve [] çıortdır. m ( W) + m( W) dir. üçgeninde % % % m ( ) + m ( ) + m ( ) 80 % + + m( ) 80 % 90 + m ( ) 80 % m ( ) % m ( ) 90 olur. Yndki prlelkenrınd, [] ve [] çıortlr [] // [], 4 4 cm ise kç cm dir? + θ 90 (dik üçgende kenrort özelliği) olduğundn 4 θ θ θ 4 7 cm dir. Ynd prlelkenr ve çıort, 0 H 4 6 [H] [] H 0 cm H 6 cm H 4 cm olduğun göre nun kç cm olduğunu bullım. 57

58 ÖZL ÖRTGNLR % [] ve [] çıort olduklrındn, m ( ) 90 dir. noktsındn geçen ve [] n prlel oln [G] nı çizdiğimizde, m( % ) m( G % ) % % (iç ters çılr), m ( G ) m ( ) (iç & & ters çılr) olur. olısıl G ile G ikizkenr üçgenler olup, 8 0 H G 3 3 G G G G & G G G 3 cm olur. G G 3 cm olduğundn, H cm olur. H dik üçgeninde Pisgor teoreminden ve (3 4 5) üçgeninden, 5 cm dir. G G + olduğundn, cm bulunur. Herhngi bir dörtgenin kenr ort noktlrı, bir prlelkenrın köşeleridir. Yndki dörtgeninde,, G, H kenrlrın ort noktlrı ise GH dörtgeni prlelkenrdır. İspt s H s G dörtgeninde [] ve [] köşegenlerini çizelim. üçgeninde ve [ ]// [ ], üçgeninde HG ve [HG] // [] olduğundn, GH ve [] // [HG] olduğu görülür. s H s G enzer şekilde, ve üçgenlerinden, H G ve [H] // [G] olduğundn GH dörtgeni bir prlelkenrdır. Prlelkenrın köşeleri ort nokt oln,, G, H dır. 58

59 ÖZL ÖRTGNLR Yndki dörtgeninde [] ve [] köşegenlerdir.,, G, H kenrlrın ort noktlrıdır. br, 8 br olduğun göre GH dörtgeninin çevre uzunluğunu bullım. H s s G üçgeninde HG 8 6 br, üçgeninde G 4 br, dörtgeninde,, G, H kenrlrın ort noktsı olduğundn GH prlelkenrdır. GH prlelkenrın çevre uzunluğu Ç(GH) ( HG) + G ). (6+4). 0 0 br bulunur. lıştırmlr. Yndki prlelkenrınd, [H] [] % mh ( ) 40 ise m ( X ) kç derecedir? 40 H. Yndki prlelkenrınd, % % m ( ) m( ) cm 6 cm ise kç cmdir? 6 ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 ) 3. Yndki prlelkenrınd, [] [] {K}, K 5 br, 9 br, K 0 br ise şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız.. (...) 0 br dir. b. (...) 5 br dir. 5 0 K 9 c. (...) üçgeninde [K] kenrortdır. ç. (...) br dir. 59

60 ÖZL ÖRTGNLR 4. Yndki prlelkenrınd, [] çıort, [] [] 8 cm ise Ç() kç cm dir? 5. Yndki dörtgeninde,, G, H bulunduklrı kenrlrın ort noktlrıdır. G 3 cm, 4 cm olduğun göre şğıdki boşluklrı ugun biçimde doldurunuz. G. [] nın uzunluğu... cm dir. b. [H] nın uzunluğu... cm dir. c.... cm dir. ~ H ~ ç. HG... cm dir. 6. Yndki dörtgeninde, [] köşegen ve,, G, H bulunduklrı kenrlrın ort noktlrı, br, G +6 br, H 8 br ise ve i bulunuz. H G 8 +6 ~ ~ 7. Yndki prlelkenrınd, [], [] çıort, 3 cm, 4 cm olduğun göre,. kç cm dir? K b. kç cm dir? c. kç cm dir?

61 ÖZL ÖRTGNLR.4 PRLLKNRSL ÖLGNİN LNI tkinlik Prlelkenrsl ölgenin lnını ullım Yndki şekli inceleiniz. köşesinden köşesine bir köşegen çiziniz. luşn üçgensel bölgesinin vektörel oldn ln bğıntısını oluşturunuz. h h çısının ölçüsü ile çısının ölçüsünü θ krşılştırınız. üçgensel bölgesinin ln bğıntısını oluşturunuz. ile üçgensel bölgelerinin lnlrı rsındki ilişkii çıklınız. 3 ve üçgensel bölgelerinin ln bğıntılrındn fdlnrk prlelkenrsl bölgenin ln bğıntısını oluşturunuz. 3 Prlelkenrsl bölgenin lnı kç frklı oll bulunbilir? Trtışınız. ir prlelkenrsl bölgenin lnı, bir kenrının uzunluğu ile bu kenr it üksekliğin çrpımın eşittir. (). h b. h b dir. İspt & & ( ) ( ) + ( ) & b & & & dir. olısıl ( ) ( ) dir.. & ( ) ( ).. h olur. (). h bulunur. enzer şekilde, () b. h b bulunur. b h h b 4444 H b h 4444 H h b Hl Hl Yndki prlelkenrınd, [] [], [] [] cm, 8 cm, 6 cm ise kç cm dir? 6

62 ÖZL ÖRTGNLR () cm bulunur. Yndki prlelkenrınd, [] nın ort noktsı, [] nın ort noktsı dir. () S ise ( ) S olduğunu gösterelim. Yndki şekilde, & ( ) ( ) S & & ( ) ( ). S S 4 & & & ( ) ( ) S& ( ) ( ) 4. S S 4 & & ( ) ( ) + ( ) S+ S S bulunur. 4 4 K Yndki prlelkenrınd, [] köşegen, [L] // [] L N [K] // [] (NL) cm ise (NK) nın kç cm dir? Yndki şekilde, & & LN ( ) NK ( ) S & & N ( ) N ( ) S & & ( ) ( ) S + + S S + S + ( NK) NK ( ) cm dir. L S S S K N S 6

63 ÖZL ÖRTGNLR Yndki prlelkenrsl bölgede, ile, [] ve [] nın ort noktlrıdır. () S ise & & ( ) ve( ) i, S cinsinden bullım. [KH] [], [KH] [] olck şekilde [KH] nı çizelim. H K h (h : prlelkenrın üksekliği) ve dir. & ( ).. h h. S,( h S) 8 8 & & ( ) ( ) ( ) S S 8 3 Sbulunur. 8 H K prlelkenrsl bölgenin lnı ile prlelkenrsl bölgenin içinde oluşturuln GH dörtgensel bölgelerin lnlrı rsınd, H G GH ( ) İspt () S olsun. + HG $ ^ h bğıntısı vrdır. $ & S ( H) olur. & & ( H) $ ( H) dir. & S ( ) Sise( ) & HG & GH ( ) $ ( ) H H G G HG & $ ( ), ^ h HG & $ H ( ), & & H ( ) ( ) k 63

64 ÖZL ÖRTGNLR & & GH ( ) ( H) + ( GH) & HG & $ ( H ) + $ ( H ) + H & + HG S + HG $ H ( ) $ $ $ ( ) L K Yndki prlelkenrınd,, 5 LK, () 0 cm olduğun göre (KL) kç cm dir? 0k llım. + LK KL ( ) $ ( ) $ ^4k+ 5kh 9k $ 0 $ 0 54 cm dir. $ 0k 0k 5k L 4k K Yndki prlelkenrınd, 3 KL 4 (LK) 66 cm olduğun göre, () kç cm dir? K L k llım. KL $ k$ 8k 3 3 $ k$ 3k dir. 4 4 KL ( ) + LK $ $ ( ) 66 3k+ 8k $ ( ) $ k ( ) 44 cm dir. K 3k 8k L 64

65 ÖZL ÖRTGNLR K noktsı, prlelkenrsl bölgenin içinde bir nokt olmk üzere, K & & & & ( ) K ( ) + K ( ) ( K) + K ( ) dir. İspt Ynd, [K] [], [K] [] ile N h çizelim. &. & K ( ) K, ( K).. K & & K ( ) K ( ). + K +. K ( K + K ) h. ve ( ). h olduğundn, & & K ( ) + K ( ) ( ) bulunur. & & enzer olrk, K ( ) + ( K) ( ) olur. b K N b h Yndki prlelkenrsl bölgesinde, ( & ) 7 cm & ( ) 5 cm ise () kç cm dir? 5 7 & & & & ( ) + ( ) ( ) + ( ) 7+ 5 cm & & ( ) ( ) + ( ) cm dir. 65

66 ÖZL ÖRTGNLR Yndki prlelkenrsl bölgesinde sılr, bulunduklrı bölgelerin lnlrını gösterdiğine göre K ( ) kç cm & dir? 8 cm 6 cm K cm S S + S 3 S + S 4 S S S 4 S 4 3 cm dir. S3 prlelkenrsl bölgenin lnı vektörel oll;. ( ). <, > b. ( ).. sin θ θ bğıntılrı ile hesplnır. (θ, ve rsındki çıdır.) Yndki koordint düzleminde verilen prlelkenrsl bölgenin lnını vektörel oldn bullım Prlelkenrın köşeleri ( 3, ), (, ), (4,) ve (,) dir. ( ( 3), ( )) ( 50, ) br 66

67 ÖZL ÖRTGNLR ( ( 3), ( )) ( 50, ), ( 3, ) ( 3, ) <, > 5$ + 0$ br I. ol ( ). <, > θ rsındki çı olmk üzere prlelkenrsl bölgenin lnını hespllım br dir. II. ol θ, ve cosθ <, >. M 0 3 cosθ Yndki KLM dik üçgeninde, 3 7 ML ML 3 ( 3) br dir. K θ 3 L sin θ ML ise KM sin θ 7 3 ( ).. sinθ br bulunur

68 ÖZL ÖRTGNLR lıştırmlr. Yndki şekilde prlelkenr, [], [] köşegen, G [] nın ort noktsı, [G] [] {}, 3 cm ise [] nın uzunluğu kç 3 cm dir? G. Yndki prlelkenrınd, [] ve [] çıort [H] [], H cm, H 3 cm olduğun göre () kç cm dir? H 3 ) 5 6 ) 30 6 ) 3 6 ) 40 3 ) Yndki şekilde bir muk ve prlelkenrdır. 0 cm, 6 cm ve () 48 cm dir. un göre üçgensel bölgenin lnı kç cm dir? Yndki resimde dörtgen biçimindeki bir bhçede,, K, L ort noktlrdır. L,, K ve LK üçgensel böl- K ~ ~ gelerine çim ekilecektir. & L ( ) 0 m & ( ) 5 m K ( ) 8 m L olduğun göre çim ekilmeen bölgenin lnı kç m dir? 5. Yndki prlelkenrsl bölgesinde, & & ( ) + ( ) 5 cm ise () kç cm dir? 68

69 ÖZL ÖRTGNLR 6. Yndki prlelkenrsl bölgesinde, [] köşegen, 4 br, 6 br ve m ( X ) 50 dir. un göre şğıdki ifdelerden doğru olnlrın bşın, nlış olnlr Y zınız (...) m ( W ) 30 dir. b. (...) m ( W) + m( W) m( X) + ( X) dir. c. (...) () 4 br dir. & ç. (...) ( ) 3 br dir. & d. (...) ( ) 6 br dir. 7. Yndki koordint düzleminde verilen prlelkenrsl bölgenin lnını bulunuz Kenrlrı (, 0) ve b (, 3) oln ndki prlelkenrsl bölgenin lnını bulunuz. b b 9. Yndki prlelkenrınd;, [], W nın çıortı, [] [], 8 cm, 4cm olduğun göre, & ( ) kç cm dir? Yndki prlelkenrınd, ve ort nokt, & ( ) 5 cm ise () kç cm dir? 5 69

70 ÖZL ÖRTGNLR.5 İKÖRTGN tkinlik ikdörtgen ve Özellikleri rç ve gereç : çıölçer Yndki dörtgeni inceleiniz. HG ve H vektörleri rsıdki çıı bulunuz. H enzer şekilde dörtgenin diğer iç çılrını bulunuz. Kenrlr it her bir doğru prçsının eğimini bulunuz. G 3 Krşılıklı kenrlrın birbirine göre durumlrını çıklınız. 3 Şekildeki dörtgenin köşegen uzunluklrını hesplrk bulduğunuz uzunluk değerlerini krşılştırınız. 3 Köşegenlerinin kesim noktsının koordintlrını bulrk bu noktnın konumunu trtışınız. 3 ir dörtgenin dikdörtgen olbilmesi için hngi özelliklere ship olmsı gerekir? Trtışınız. 3 Prlelkenr ile dikdörtgen rsındki benzerlikleri ve frklılıklrı çıklınız. Yndki dörtgeni, [] // [], []// [] olduğundn prlelkenrdır. m( W) m( W) m( X) m( X ) 90 dir. çılrındn biri dik oln prlelkenr dikdörtgen denir. ikdörtgenin Özellikleri. Krşılıklı kenrlr prleldir. [] // [], [] // []. çılrı 90 dir. m ( W ) m( W ) m( X ) m( X ) Krşılıklı kenrlrı eşittir., dir. 4. Köşegenleri ort noktlrınd kesişirler ve köşegen uzunluklrı eşittir. K K K K ve dir. K 70

71 ÖZL ÖRTGNLR N M K L dikdörtgen ve KLMN prlekenrdır. Prlelkenr ile dikdörtgen rsındki benzerlik ve frklılıklrı bullım. enzerlikler. Krşılıklı kenrlrı birbirine prleldir. N M b. Krşılıklı kenrlrı eşittir. K L c. nı köşe üzerinde bulunn iç çılr bütünlerdir. ç. Köşegenler birbirini ortlr. rklılıklr. ikdörtgende iç çılrın ölçüsü 90 dir. Prlelkenrın iç çısının biri 90 ise bu prlelkenr, dikdörtgendir. Her prlelkenr, dikdörtgen değildir. b. ikdörtgende köşegenlerin uzunluklrı eşittir. Prlelkenrd ise köşegenlerin uzunluklrı frklıdır. Yndki dikdörtgeninde, % br, m ( ) 30 dir. [] kenrının ort noktsı ve [] [] {} olduğun göre [] nın uzunluğunu bullım. 30 Yndki [] köşegenini çizelim, dik üçgeninde, % m ( ) 30. (30, 60, 90 özel üçgeni). 4 br dir