LOGARİTMA ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "LOGARİTMA ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT"

Transkript

1 LOGARİTMA ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu. Kazanım : Üstel fonksiyonu oluşturur, tanım ve görüntü kümesini açıklar.. Kazanım : Üstel fonksiyonların birebir ve örten olduğunu gösterir.. Kazanım : Logaritma fonksiyonunu üstel fonksiyonunun tersi olarak kurar. 4. Kazanım : Onluk logaritma fonksiyonunu ve doğal logaritma fonksiyonunu açıklar. 5. Kazanım : Logaritma fonksiyonunun özelliklerini gösterir ve uygulamalar yapar. Üslü ve Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler. Kazanım : Üslü ve logaritmik denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.

2 LOGARİTMA ÜSTEL FONKSİYON 9. sınıfta üslü ifadeler ve özelliklerini öğrenmiştik. Bu özellikleri bir kez daha hatırlayalım. a, b R + {} ve, y R olmak üzere, a.a y = a +y a.b = (a.b) (a ) y = a y a a y = a y a b a = b l a b = a Şimdi de üstel fonksiyonu tanımlayalım. a R + {} ve R olmak üzere, f: R R +, f() = a fonksiyonuna, tabanı a olan üstel fonksiyon denir. f() =, g() = (v) ve h() = c m fonksiyonlarının her biri, birer üstel fonksiyondur. Bu fonksiyonlardan f() = y = fonksiyonunu ele alıp, bu fonksiyonun grafiğini çizerek özelliklerini araştıralım. f() = y = fonksiyonu için e bazı değerler verip, y değerlerini bulalım. = için, y = = 4 = için, y = = = 0 için, y = 0 = = için, y = = = için, y = = 4 olur. O halde, y = fonksiyonunun grafiği c, m, c, m, (0, ), (, ) ve (, 4) noktalarından geçmektedir. 4 Reel sayıların tümünü y = fonksiyonunda yerine yazıp y değerlerini bularak düzlemde işaretleseydik yukarıdaki grafiği elde ederdik. Bu grafiği incelediğimizde; R için, y = > 0 olduğunu görürüz. değerleri büyüdükçe, y değerlerinin büyüdüğünü görürüz. O halde, f() = fonksiyonu artan bir fonksiyondur. e verilen farklı değerlerin fonksiyondaki görüntüleri de farklıdır. Yani,, R, için f( ) f( ) dir. O halde, f() = fonksiyonu bire bir fonksiyondur. y R + için, = y eşitliğini sağlayan bir değeri vardır. O halde, f() = örten fonksiyondur. 8

3 f() = y = c m fonksiyonunu ele alıp, bu fonksiyonun grafiğini çizerek özelliklerini araştıralım. = için, y = c m = = için, y = c m = 4 = 0 için, y = 0 c m = = için, y = c m = = = için, y = c m olur. 4 O halde, y = c m fonksiyonunun grafiği, (, 4), (, ), (0, ), c, m, c, m noktalarından geçmektedir. 4 Bulduğumuz bu grafiği incelediğimizde; R için y = c m > 0 olduğunu görürüz. değerleri büyüdükçe, y değerlerinin küçüldüğünü görürüz. O halde, f() = c m fonksiyonu azalan fonksiyondur., R, için f( ) f( ) dir. f() = c m fonksiyonu bire bir fonksiyondur. y R + için c m = y eşitliğini sağalayan bir değeri vardır. O halde, f() = c m örten fonksiyondur. a R + {} olmak üzere, f: R R +, f() = a fonksiyonu a > için artan fonksiyon, 0 < a < için azalan fonksiyondur. f() = a fonksiyonu bire bir ve örtendir. Üstel fonksiyonların özellikleri yardımıyla bir çok denklemin çözüm kümesini elde edebileceğimizi biliyoruz. Aşağıda bu denklemlere bazı örnekler verilmiştir. = 6 = 4 = 4 4 = 6. ( ) = 4. = 4+ = 4 + = 6 = = = 8. 7 = 8 = 8 = = Ancak = 5, =, 5 = 6 gibi denklemleri sağlayan değerlerini üslü ifadelerin kuralları yardımıyla bulamayız. Bu tür denklemlerin çözüm kümelerini bulmak için yeni bir fonksiyon olan logaritma fonksiyonunu tanımlayacağız. 8

4 LOGARİTMA FONKSİYONU f: R R +, a R + {} için f() = a fonksiyonunun bire bir ve örten bir fonksiyon olduğunu öğrendik. O halde bu fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. a R + {} ol mak üze re, f: R R +, f() = a fonk si yo nu nun ters fonk si yo nu na, a ta ba nı na gö re lo ga rit ma fonk si yo nu de nir. f: R + R, f() = log a biçiminde gösterilir. Bu tanıma göre, y = a = log a y dir. Yandaki şema incelendiğinde, üstel fonksiyonun verilen belli bir tabana üs koyma işlemi, logaritma fonksiyonunun ise verilen belli bir tabana göre üs indirme işlemi olduğu söylenebilir. y = log a eşitliğini, y eşittir a tabanına göre logaritma biçiminde okuruz. Bu eşitlikte, sayısının pozitif gerçek sayı a sayısının den farklı bir pozitif gerçek sayı y sayısının bir gerçek sayı olduğuna dikkat ediniz. Örneğin, log 6 ifadesinin değerini, sayısının hangi üssü 6 dır? biçiminde düşünerek bulabiliriz. Bu durumda, 4 = 6 olduğundan log 6 = 4 sonucuna ulaşabiliriz. Benzer şekilde, log 7 = eşitliğini sağlayan değerini bulmak için, sayısının hangi üssü 7 dir? sorusuna cevap bulmalıyız. = 7 olduğundan log 7 = olur. Bu durumu daha sade olarak a b = c b = log a c biçiminde ifade edebiliriz. Örneğin, 4 = 6 log 6 = 4, = 9 log 9 =, 0 = 000 log =, = log = tür. 8 8 ÖRNEK Aşağıda bazı logaritmalı ifadeler, üstel biçimde yazılmıştır. İnceleyiniz. log = 5 = 5 = ÖRNEK log (log ) = eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. log 5 = = 5 = 5 log 7 = 0 = 7 0 = log = log = 4 = 4 ^ h = 9 84

5 ÖRNEK log 4 [ + log ( )] = eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. ÖRNEK 6 Aşağıda a b = c log a c = b eşitliğinden yararlanılarak üstel biçimde verilmiş ifadeler logaritma kullanılarak yazılmıştır. İnceleyiniz. = log = = 5 log 5 = = 0 log 0 = = + log = log 5 = + = (log 5 ) olur. ÖRNEK 4 f() = log ( ) olduğuna göre, f () fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK 7 f() = ise f () fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK 5 f() = [log ( + )] olduğuna göre, f () fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK 8 f() = ise f () fonksiyonunu bulunuz. 85

6 LOGARİTMA FONKSİYONUNUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİNİ BULMA f() = log a fonksiyonunda a R + {} ve R + olduğundan bu fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulurken, a > 0, > 0 ve a koşullarını birlikte sağlayan aralıklar bulunur. ÖRNEK f() = log ( ) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 f() = log ( 4) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ÖRNEK 0 f() = log (9 ) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ÖRNEK f() = log( m + 4) fonksiyonu R için tanımlı bir fonksiyon ise m nin değer aralığını bulunuz. ÖRNEK f() = log 4 ( ) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 86

7 ÖRNEK 4 f() = log ( 5 9) + log c m + fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU Tabanı 0 olan logaritma fonksiyonuna, onluk ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU logaritma fonksiyonu denir. f() = log 0 veya f() = log biçiminde gösterilir. ÖRNEK 5 Aşağıda a b = c log a c = b eşitliğinden yararlanılarak üstel biçimde verilmiş ifadeler logaritma kullanılarak yazılmıştır. İnceleyiniz. 0 0 = 0 = 0 0 = 00 log 0 00 = 0 = 000 log = 0 = 0 0 = 00 ETKİNLİK Okyanus coğrafyası (oşinografi) alanındaki araştırmalar sonucunda, plajın eğimi ile üzerindeki kum taneciklerinin büyüklüğü arasındaki ilişkiyi ortaya çıkarmıştır. Plajın eğimi: m, Kum taneciklerinin ortalama çapı: d mm olmak üzere, m = 0,59 + 0,8.logd bağıntısı vardır. Örneğin, kum taneciklerinin ortalama çapı: 0, mm olan bir plajın eğimini hesap makinesi yardımıyla m = 0,59 + 0,8.log(0,) 0,59 + 0,8.( 0,99) 0,59 0,05 0,4 bulunur. Benzer şekilde işlem yaparak aşağıdaki tabloyu siz doldurunuz. Çap (d) 0,08 mm 0,6 mm mm 5 mm Kum türü nce kum Kal n kum Çok iri taneli kum Çak l Plaj n e imi (m) 87

8 DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU e Sayısı Bir çok bilim dalında ve mühendisliklerde yaygın olarak kullanılan e sayısı da π sayısı gibi irrasyonel bir sayıdır. Bu sayıyı kimin bulduğu tam bilinmesede Euler in bulduğu kabul edilmektedir. Dolayısıyla e, Euler Sayısı olarak adlandırılmıştır. Euler c + m ifadesinin, sonsuz büyüdüğünde, sayısına yaklaştığını tespit etmiş ve bu sayıyı virgülden sonraki ondalığa kadar hesaplamıştır. Hesap makinesi yardımıyla doldurulan aşağıdaki iki tabloyu inceleyiniz , , , , , , , , , ,78887 Bu iki tabloda, sayısının alacağı çok büyük pozitif ve çok küçük negatif değerler için c + m ifadesinin bir sayıya yaklaştığı görülmektedir. Bu sayı e sayısı olup e =, dir. Tabanı e olan loga rit ma fonk si yo nu na, doğal lo ga rit ma fonk siyonu denir. f() = lo g e ve ya f() = ln bi çi min de gös te ri lir. Leonhard Euler (707-78) İsviçre li matemmatikçi ve fizikçi. 8. Yüzyıl ın en önemli ve tüm zamanların önde gelen matematikçilerinden biri kabul edilmektedir. Euler matematiğin neredeyse bütün dallarında çalışmıştır. Temel analiz, grafik teorisi ve şu anda inşaat, elektrik ve havacılık mühendisliklerine temel teşkil eden matematiğin fiziksel uygulamalarının bir çoğunun kurucusu olmuştur. 88

9 ALIŞTIRMALAR Aşağıdaki eşitliklerin her birinde değerini bulunuz. a. = y = b. = v Yukarıdaki tabloyu doldurarak elde ettiğiniz noktaları analitik düzlemde işaretleyerek f: R R +, f() = fonksiyonunun grafiğini elde ediniz. c. + + = d =... e = 7 5 f. 9 = 4 Yukarıdaki tabloyu doldurarak elde ettiğiniz noktaları analitik düzlemde işaretleyerek f : R R +, f() = c m fonksiyonunun grafiğini elde ediniz. 5. Aşağıdaki logaritmalı ifadelerin her birini, üstel biçimde yazıp değerlerini bulunuz. a. log = 4 b. log = c. log 8 =. a R + {}, y R + ve R olmak üzere aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. f() = a fonksiyonu bire bir dir. d. log = 9 e. log = 6 f() = a fonksiyonu örten değildir. a > için, f() = a artan bir fonksiyondur. f. log 5 = 0 < a < için, f() = a azalan bir fonksiyondur. g. log = 89

10 6. log (log ) = eşitliğini sağlayan değerini bulunuz.. Aşağıdaki üstel ifadelerin her birini logaritma kullanarak yazıp değerlerini bulunuz. a. = b. 5 = 7. log [log (log 4 )] = 0 eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. c. 0 + = 4 d. = 5 8. log [5 + log ( )] = eşitliğini sağlayan değerini bulunuz.. Aşağıdaki fonksiyonların her birinin ters fonksiyonlarını bulunuz. a. f() = + b. f() = 9. log[log (ln)] = 0 eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. 0. Aşağıdaki fonksiyonların her birinin ters fonksiyonlarını bulunuz. c. f() = 5 5 d. f() = +. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a. f() = log 8 ( ) a. f() = log b. f() = log 4 ( + ) b. f() = log ( + ) c. f() = log(6 ) c. f() = log ( ) d. f() = log ( 5) e. f() = log 5 ( ) d. f() = + log( ) f. f() = log ( 8 9) 90

11 LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ a R + {} olmak üzere, log a a = dir. ÖRNEK 8 log 4 = log =.log =. = a = a log a a = bulunur. log = log = log 9 =. = ÖRNEK 6 log = log0 = log 0 0 = logc0 = log 0 = log0 =. = log000 = log0 =.log0 =. = lne = log e e = dir. 9 log = log = log = log = a R + {} olmak üzere, log a = 0 dır. a 0 = log a = 0 bulunur. lne =.lne =. = e ln = lne = lne =.lne = e ÖRNEK 7 log = 0 log = 0 ln = 0 log = 0 dır. a R + {} ve, y R + olmak üzere, log a (.y) = log a + log a y dir. log a = k ve log a y = p olsun. log a = k = a k ve log a y = p y = a p olup R +, a R + {} ve n R olmak üzere, log a n = n.log a tir..y = a k.a p.y = a k+p bulunur..y = a k+p log a (.y) = k + p log a n = k ve n.log a = p olsun. log a n = k n = a k... (I) p n.log a = p log a = n p = a n n = a p... (II) I ve II eşitliklerinden n n = a = a k p 4 a k = a p k = p dir. k = p log a n = n.log a bulunur. log a (.y) = log a + log a y olur. ÖRNEK 9 log = ve log = y ise log nin ve y cinsinden değerini bulunuz. 9

12 ÖRNEK 0 loga =, logb = 4 ve logc = ise log(a.vb.c ) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 4 ln = ise ln8e ifadesinin eşitini bulunuz. a R + {} ve, y R + olmak üzere, log a = loga log y a y dir. log a = k ve log a y = p olsun. log a = k = a k ÖRNEK log a y = p y = a p olacağından log + log + log5 ifadesinin eşitini bulunuz. y k a = = a k p dir. ap = a k p y loga = k p y log a = log a log a y olur. y ÖRNEK 5 ÖRNEK log abc a + log abc b + log abc c ifadesinin eşitini bulunuz. log = ise log5 in cinsinden değerini bulunuz. log5 = log, log = log5 ÖRNEK log + log 8 + log 9 ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 4 log =, log = y ve log7 = z ise log ifadesinin 49 eşitini bulunuz. 9

13 ÖRNEK 7 log logy + logz logt ifadesini tek bir logaritma altında yazınız. ÖRNEK log =, log 5 = y ve log 7 = z ise log 40 ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 8 log = a, logy = b ve logz = c ise log y z ifadesinin eşitini bulunuz. Taban Değiştirme Kuralı a, c R + {} ve b R + olmak üzere, logc b log a b = log a c dir. log a b = k ve log c a = p olsun. log a b = k a k = b log c a = p c p = a c p = a (c p ) k = a k c p.k = b olur. ÖRNEK 9 + log log ifadesinin eşitini bulunuz. c p.k = b log c b = p.k log c b = log c a.log a b logc b log a b = log a c bulunur. ÖRNEK log = ise log 8 ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 0 log + log 5 ifadesinin eşitini bulunuz. 9

14 ÖRNEK log 8 7 = ise log ifadesinin cinsinden değerini bulunuz. a, b R + {} olmak üzere, log a b = log b a Taban değiştirme özelliğine göre, log log a b = log b b dır. b = bulunur. a log a b ÖRNEK 6 + ifadesinin eşitini bulunuz. log 6 log ÖRNEK 4 Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. log log 4 = log 4 log 4 In4 = = log In ÖRNEK ifadesinin eşitini bulunuz. log 70 log 70 log log 5 log7 5 In5 log5 = = = log 0 log 0 In0 log ln7 = log log 7 = e log e 7 ÖRNEK 8 ÖRNEK 5 log In + ifadesinin eşitini bulunuz. log 6 In6 + log ifadesinin eşitini bulunuz. 94

15 a R + {}, b R + ve n R n n a log a b = loga b ve log a b = log b dir. olmak üzere, log a nb = loga b dir. n ÖRNEK 40 Taban değiştirme özelliğine göre, log a nb = loga b loga b log a n = n. loga a a log 4 9 = log log 8 7 = log loga b = = loga b n n olur. log v = log loga nbm = n m loga b log = log 5 a, b, c,... p, k R + {} olmak üzere, log a b.log b c.log c d... log p k = log a k dır. ÖRNEK 9 log 4 = log = log =. = log v 9 = log / log a b.log b c.log c d... log p k log b log c log d = log k log a log b log c log p log k = = loga k bulunur. log a 4 log = log ÖRNEK 4 log.log 5.log 5 6 ifadesinin eşitini bulunuz. log 0, 5v5 = log ÖRNEK 4 log 5.log v5 49.log 7 v ifadesinin eşitini bulunuz. 7 log 4 = log

16 ÖRNEK 4 log = a ve log 5 = b ise log ifadesinin a ve b cinsinden değerini bulunuz. ÖRNEK 45 log = log a = log a = a log 4 5 = log v4 c5 = log 5 = 5 0 log = e ln5 = 5 0 +log = 0.0 log = 0. = 0 e ln = e.e ln = e.e ln = e. = In = log ÖRNEK 44 log v 4 = a ve log 9 = b ise log ab 4 ifadesinin eşitini bulunuz. a, b, c R + {} olmak üzere, a log b c = c log b a dir. log b c.log b a = log b a.log b c log b a log b c = log b c log b a a log b c = c log b a bulunur. ÖRNEK 45 log + log = 8 ise değerini bulunuz. a R + {} ve b R + olmak üzere, a log a b = b dir. a log a b = log a b = log a b = olur. O halde, b = a log a b elde edilir. 96

17 ÖRNEK 46 f() = log ( ) ise f () fonksiyonunun eşitini bulunuz. ÖRNEK 49 f() = ise f () fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK 47 f() = log( ) + fonksiyonunun tersini bulunuz. ÖRNEK 50 f() = 0 ise f () fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK 5 f() = e + fonksiyonunun tersini bulunuz. ÖRNEK 48 f() = ln( ) fonksiyonunun tersini bulunuz. 97

18 ÖRNEK 5 f() = log ( ) + ise f (5) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 55 f() = 6 + log ise (fof)(7) kaça eşittir? ÖRNEK 5 f() =. + olmak üzere, f (7) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 56 f() = log ve (fog)() = olduğuna göre, g (8) nedir? ÖRNEK 54 f() = ln( + n) ve f ( ) = olduğuna göre, n kaçtır? 98

19 ALIŞTIRMALAR. Aşağıdaki ifadelerden her birini sonuçlandırınız. a. log 6 + log v + log 0. log = ve log = y ise aşağıdakilerin her birinin ve y cinsinden değerlerini bulunuz. a. log8 b. log 4 log5 5v5 b. log0,4 c. lnve + ln e lne c. log600 d. log0 log 0 + log000 d. log75 e. log0, + log0,00 log00 6 e. log 7. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. log( + y) = log.logy 4. log [log (5 log 5 65)] ifadesinin eşitini bulunuz. log(.y) = log + logy logc m = log logy y log = log logy log y log n = n.log 5. log 5 + 4log v + ifadesini tek bir logaritma cinsinden yazınız. log.y n = n.log.y (log) n = n.log a 6. log (a.b) = ve log = 4 ise a + b kaçtır? b 99

20 7. log = ise log 8 54 ifadesinin cinsinden değerini bulunuz.. Aşağıdaki işlemlerin her birini sonuçlandırınız. a. log b. 4 log 5 c. log 9 8. log a b a.log b a = 6 ise a kaçtır? d. 0 log e. e ln5 f. e +ln 9. log v v6.log v v.log v6 8 ifadesinin eşiti kaçtır? 4. log 4 (+) = v5 ise kaçtır? 0. log = 0,00 ise log65 in değerini bulunuz. 5. log 5! = a ise log 6! ifadesinin a cinsinden değerini bulunuz.. log5 = a ise log 0, 0004 ifadesinin eşitini bulunuz.. log 4.log 4 5.log v5 = ise kaçtır? 6. log + log + log log ifadesinin eşiti kaçtır? 00

21 7. log 4 9 = 9 4 ise kaçtır?. f() = + log ise (fof)() kaçtır? 8. a = b ise log 6 7 ifadesinin a ve b cinsinden değerini bulunuz. + log( ) 4. f() = bulunuz. ise f () fonksiyonunu 9. log = a ise log 6 ifadesinin a cinsinden de- ğerini bulunuz. 5. f() = + e ve g() = ln ise (fog )() kaçtır? 0. e ln( ) = log ( + log 7) eşitliğini sağlayan değeri kaçtır? 6. f() = ln(e ) ise f () fonksiyonunu bulunuz.. f() = e ise f (e ) kaçtır? 7. log 5 = ise log 8 5 ifadesinin cinsinden değerini bulunuz.. f() = log ( ) ise f ( ) kaçtır? 8. f() = log ( + ) ve g() = log ( ) ise (gof )(0) kaçtır? 0

22 Bir Gerçek Sayının Logaritmasının Hangi İki Ardışık Tam Sayı Arasında Olduğunu Bulma ÖRNEK 57 Aşağıdaki ifadelerin hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu bulunuz. a. log 40 b. log 4 c. ln4 d. log70 e. log57 f. log0,004 g. log0,00 h. log0,0000 Bu sonuçlara göre, den büyük bir sayının onluk logaritması pozitiftir. 0 ile arasındaki bir sayının onluk logaritması negatiftir. den büyük bir sayının onluk logaritmasının tam kısmı, sayının tam kısmının eksiğine eşittir. 0

23 0 ile arasındaki bir sayının onluk logaritması, ondalık yazılışta, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısının eksiğinin negatif işaretlisidir. Bu sonuçlara göre doldurulmuş aşağıdaki tabloyu inceleyiniz. ÖRNEK 59 log = 0,00 ise 0 sayı olduğunu bulunuz. Logaritma sayısının kaç basamaklı bir Onluk say n n logaritmas Onluk logaritman n tam k sm log4 0 log log97 log756, log457 log00,6 log0,06 4 ÖRNEK 60 log = 0,00 ise sayısı kaç basamaklı bir sayıdır? log0,0000 log0,0000 Bu tablodan aşağıdaki sonuçlara da ulaşabiliriz. den büyük bir sayının tam kısmının kaç basamaklı olduğunu bulmak için sayının logaritması alınır ve çıkan sayının tam kısmına eklenir. 0 ile arasındaki bir sayının onluk gösterimindeki sıfırdan farklı ilk rakamının solunda kaç sıfır olduğunu bulmak için sayının logaritması alınır ve çıkan sayının mutlak değerinin tam kısmına eklenir. ÖRNEK 6 log = 0,00 ise log80 ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 58 log = 6, ise sayısı, 6 + = 7 basamaklı bir sayıdır. log = 5,46 ise sayısı 5 + = 54 basamaklı bir sayıdır. 0

24 ÖRNEK 6 log7,5 = a ise log0,75 ifadesinin a cinsinden değerini bulunuz. f() = lo g a fonk si yo nu a > için ar tan fonk siyon 0 < a < için azalan fonksiyondur. ÖRNEK 65 a = log, b = log 4, c = log 8 sayılarını karşılaştırınız. ÖRNEK 6 log = 0,00 ise log0,004 ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 66 a = log, b = log 4, c = log 8 ÖRNEK 64 log = 0,00 ise log50 ifadesinin eşitini bulunuz. sayılarını karşılaştırınız. 04

25 ÖRNEK 67 a = log 5, b = log 5 ve c = log 0 sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz. ÖRNEK 70 a = log 4, b = log ve c = log sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz. ÖRNEK 68 a = log 7, b = log 4 ve c = log 8 sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz. ÖRNEK 7 a = log 6 5, b = log v 5 ve c = log sayıları 5 arasındaki sıralamayı bulunuz. ÖRNEK 69 a = log 7 6, b = log 4 5 ve c = log 0 sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz. ÖRNEK 7 a < b ve a ile b ardışık tam sayılardır. a < log 60 < b olduğuna göre, a + b kaçtır? 05

26 ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ Bir f() fonksiyonu ile bu fonksiyonun tersi olan f () fonksiyonlarının grafikleri y = doğrusuna göre simetriktir. Buna göre, f() = a fonksiyonu ile f () = log a fonksiyonlarının grafikleri y = doğrusuna göre simetrik olur. f() = a fonksiyonu ile ilgili özellikleri bir kez daha hatırlayalım. f() = a fonksiyonunda, a > iken f() = a fonksiyonu artandır. y y=a R için f() = a > 0 dır. = 0 için y = f(0) = a 0 = noktasından geçer. Bu bilgiler ışığında, f() = a fonksiyonunun a > iken grafiği yandaki gibidir. 0 0 < a < iken f() = a fonksiyonu azalandır. R için f() = a > 0 dır. y=a y = 0 için y = f(0) = a 0 = dir. Yani f() in grafiği (0, ) noktasından geçer. Bu bilgiler ışığında, f() = a fonksiyonunun 0 < a < iken grafiği yandaki gibidir. 0 Elde ettiğimiz bu iki grafiğin de y = doğrusuna göre simetriklerini çizersek f() = log a fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. a > için 0 < a < için 06

27 ÖRNEK 7 f() = fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 75 f() = c m fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 74 f() = + fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Pratik Yol c > 0 olmak üzere, y = f() + c fonksiyonunun grafiği; y = f() fonksiyonunun grafiğinin y ekseni üzerinde c kadar kaydırılmışıdır. y y = f() + c y = f() c y = f() c 0 c 07

28 ÖRNEK 76 y = fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak, y = +, y = +, y = ve y = fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. İnceleyiniz. ÖRNEK 78 f() = log ( ) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 77 f() = log ( + 4) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 79 f() = ln( e) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 08

29 Pratik Yol ÖRNEK 8 c > 0 olmak üzere, y = f( c) fonksiyonunun grafiği; y y = a + log b ( c) y = f() fonksiyonunun grafiğinin ekseni üzerinde c kadar kaydırılmışıdır. y y = f( + c) y = f() y = f( c) 0 5 f() = a + log b ( c) fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gibidir. Buna göre f(9) değerini bulunuz. c c ÖRNEK 80 y = log fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak, y = log ( ), y = log ( ), y = log ( + ) ve y = log ( + ) fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. İnceleyiniz. y y=log (+) y=log (+) y=log y=log ( ) y=log ( ) 0 09

30 ÜSTEL DENKLEMLER = 4, 9 + = 0 e e = 0, 4 = 0 biçimindeki denklemler üstel denklemlerdir. Bu tür denklemler genellikle değişken dönüştürülüp. dereceden denklem elde edilerek çözülür. ÖRNEK 84 e + e 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 8 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. LOGARİTMALI DENKLEMLER Verilen logaritmalı denklemler log a f() = b biçiminde ise log a f() = b f() = a b olacağından f() = a b denklemi çözülür. ÖRNEK 8 e e = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. log a f() = log a g() biçiminde ise f() = g() denklemi çözülür. (f() > 0, g() > 0 dır.) ÖRNEK 85 log ( ) = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 0

31 ÖRNEK 86 ln[ log ( ) ] = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 89 log ( ) + log ( + 5) = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 87 log (+) (4 + ) = eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. ÖRNEK 90 log + log = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 88 log( + 8) log( ) = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 log + log = 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

32 ÖRNEK 9 0 log e ln(+7) = log 8 denklemini sağlayan değerini bulunuz. ÖRNEK 95 ln + ln = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 (log ) log 4 + = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 96 log = log eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. ÖRNEK 97 log = 00 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 94 (ln) ln = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

33 ÖRNEK 98 log = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 00 In In = 0 denkleminin kökler çarpımını bulunuz. ÖRNEK 99 log ( + ) log v ( ) = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 0 ln = 4log e denkleminin kökler toplamını bulunuz.

34 ab eşitliğini sağlayan değerini bu- ÖRNEK 0 e lna.e lnb = lunuz. ÖRNEK 05 log + (log ) = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 0 log ( + 4) = log 5 + log eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. ÖRNEK 06 ln = e 6+ln denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 04 log ( 4) + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4

35 ETKİNLİK Türkiye nin 990 ve 000 yıllarında yapılan genel nüfus sayımlarına göre nüfusu aşağıdaki gibi tespit edilmiştir. Say m Tarihi Nüfus Bu verilerle yıllık nüfus artış hızının yaklaşık %,85 olduğu sonucu çıkarılabilir. 000 yılından sonraki herhangi bir t yılındaki N nüfusu N(t) = 67,8.e 0,085.t milyon kişi biçiminde modellenebilir. Bu bağıntıyı kullanarak hesap makinesi yardımıyla Türkiye nin 00 yılındaki nüfusunu bulunuz. t = = 0 N(0) = 67,8.e 0,085.0 = 67,8.e 0,85 = 67,8.(,0) = 8,6 olur. O halde Türkiye nin 00 yılındaki nüfusu kişidir. Türkiye nin nüfusunun kişiye ulaşacağı yılı bulunuz. 67,8.e 0,085.t = 00 e 0,085.t =,47496 lne 0,085.t = ln(,47496) 0,085.t = 0,88608 t = 0 bulunur. O halde, Türkiye nin nüfusu 0 yılı içinde kişi olacaktır. 5

36 ÜSLÜ EŞİTSİZLİKLER a f() > a g() eşitsizliği çözülürken a > ise f() > g() eşitsizliği çözülür. 0 < a < ise f() < g() eşitsizliği çözülür. ÖRNEK 07 ÖRNEK c m > c m eşitsizliğinin çözüm kümesini 4 bulunuz. 4 > 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 08 c m c m eşitsizliğinin çözüm kümesini bu- lunuz. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER log a f() < b eşitsizliği çözülürken a > ise, f() < a b } sistemi çözülür. f() > 0 0 < a < ise, f() > a b } sistemi çözülür. f() > 0 ÖRNEK 09 + c m > c m eşitsizliğinin çözüm kümesini bu- 4 4 lunuz. ÖRNEK log ( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 6

37 ÖRNEK log ( ) log 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 5 < log ( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK log ( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 6 < log ( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. ÖRNEK 4 log ( ) < log ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 7 log 4 ( 9) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 7

38 ALIŞTIRMALAR. Aşağıdaki ifadelerin hangi iki ardışık sayı arasında olduğunu bulunuz. a. log 70. log = 0,00 ise a. 400 kaç basamaklıdır? b. 0 0 kaç basamaklıdır? b. log 0 c kaç basamaklıdır? c. log 5 6 d. ln8 4. log7 = 0,845 ise a kaç basamaklıdır? e. log987 b kaç basamaklıdır? f. log0,000 c kaç basamaklıdır? g. log4, h. log9,9 5. Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız. a. = log 0, y = log 5, z = log 40. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutuya D yanlış olanlar için Y yazınız. log = 4, ise, basamaklıdır. logy =,4 ise, basamaklıdır. logz = 96,8 ise z, 95 basamaklıdır. logt =,4 ise t, basamaklıdır. b. = log 00, y = log, z = log 56 c. = log 7 8, y = log9, z = log 0 5 d. = log, y = log, z = log 9 8

39 6. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz. a. y = 7. log = 4,47 ise logv ifadesinin eşitini bulunuz. b. y = log =,4 ve logy =,5 ise log(.y ) ifadesinin eşitini bulunuz. c. y = d. y = log 9. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a = 0 e. y = log ( ) b. 6.e e + = 0 f. y = log( ) c. e ln = g. y = ln( + e) h. y = log 4 ( + ) d = 9

40 0. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. log ( ) log ( ) =. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a. < b. log ( ) + log ( 4) = b. c m 4 4 c m c. log( + ) log( ) = log log( ) c. 4 < + d. log ( + ) + log ( + ) = 6 d. 4 c m > c m 8 e. e ln = 7 f. log = log g. log = log e. log ( ) f. log ( 6) h. log 6 = 6 g. log ( ) i. ln log e = h. log ( ) j. log = 0 +log i. log log < 0 k. log = log j. log ( ) < 4 0

41 TEST. log ( ) = ise kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 5. log = ise kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) 9 E) 7. = 5 ise aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) log 5 B) log C) log5 D) log 5 0 E) log 5 6. log4 = ise log5 in cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) D) B) E) C). log 9 = ise kaçtır? A) v B) v C) D) E) 6 7. ln( + ln) = eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) e e B) e e C) e e D) e e E) e 4. log + log 4 = log 6 5 eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 D) 5 8 B) 5 E) 5 9 C) ln[ + log ( log )] = 0 eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) 4 5

42 9. f() = log( ) olmak üzere, f () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0 B) 0 C) 0 + D) 0 E) ifadesinin eşiti aşa- log 6 log 6 log 6 ğıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 4 E) 5 0. f() = + olmak üzere, f () aşağıdakilerden hangisine eşittir? + A) log c m B) log ( + ) C) log ( ) D) log c m 4. f() = log ( ) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) {} D) [, ) E) (0, ) {} E) log c m. log = 46, ise sayısı kaç basamaklıdır? A) B) C) 45 D) 46 E) log ( + ) + log ( ) = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, } B) {, } C) {} D) {} E) {4}. a = log 7 8, b = log9 ve c = log 5 4 olmak üzere, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) b < c < a B) b < a < c C) a < c < b D) a < b < c E) c < a < b = denkleminin gerçek köklerinin toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E).C.E.D 4.E 5.D 6.B 7.C 8.C 9.C 0.A.E.B.B 4.C 5.C 6.C 6

43 TEST 4. log [log (4 )] = 0 eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 5. log 5 = ise log5 in cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) + D) B) + E) + C). log(.y) = log y ise logy ifadesinin eşiti aşağıdakileden hangisidir? A) B) C) D) E) 6. = log 5 4, y = log 6 7, z = log 7 8 sayıları arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir? A) z < < y B) z < y < C) y < < z D) y < z < E) < y < z log ( + log ). ^ h 4 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 4 A) 8 8 B) 8 C) v D) 4 E) 7. log = 0,00 ise 0 0 sayısı kaç basamaklıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 4. log ab a = ise log b a ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) D) + B) + E) C) 8. log ( ) log ( + 4) = ise log 5 kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6

44 9. = denkleminin kökler çarpımı kaçtır? A) B) C) D) E) ifadesinin eşiti aşağıdaki- +. log 5 = ise + lerden hangisidir? A) log 40 0 B) log 0 0 C) log 40 0 D) log 0 0 E) log log + log = 4 denkleminin kökler çarpımı aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 4 B) 0 C) 0 D) 0 E) 0 4. log < eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) c, 4m B) (, 4) C) (, 8) D) c, 8m E) c, m 4. lne = + e ln eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? 5. log + log = 6 ise kaçtır? A) v B) C) v D) E) v6 A) ln B) ln C) ln5 D) ln6 E) ln0 6. y y=log a. f: R (, ), f() =. fonksiyonu için f () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) + log B) : log D C) ; log E D) log E) ; + log E 0 8 f() = log a fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gibidir. Buna göre f (4) kaçtır? A) 4 B) 8 C) D) 6 E).B.E.A 4.E 5.A 6.A 7.C 8.A 9.C 0.C.A.E.E 4.D 5.B 6.D

45 TEST 5. log = a ve log 4 = b ise log ab 6 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) 4 5. log 4 5 sayısından küçük olan en büyük tam sayı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. log6! = a ve log7! = b ise a + b ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) log9! B) log0! C) log! D) log! E) log! 4 6. alog 6k + ^log 4h ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4. log 5 = ise log 5 75 ifadesinin cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? + A) B) + + D) E) + + C) log 4 hangisidir? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden A) B) C) D) 7 E) ln(.y) = 4 ve ln = ise y aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) e D) e E) e e 8. log = eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) log B) 0 log C) 0 log 0 D) log 0 E) log

46 9. 5 f() = log c m fonksiyonunun tanım kümesi + aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, 5) C) (5, ) D) (, 5) E) (, ). log + ln = lne eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) e C) D) e E) 0 4. log = 4 eşitliğini sağlayan değerlerinin toplamı kaçtır? A) 7 B) 4 C) 9 D) 5 E) 0. log 50 < < log 50 olmak üzere, in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5. f( ) = + log a ( + ) fonksiyonunda f() = ise f (4) kaçtır? A) B) C) 0 D) 8 E) 6. log6 = 0,778 ise sayısı kaç basamaklı bir sayıdır? A) 54 B) 55 C) 56 D) 57 E) y y=log a y=log b 0 y=log c. log ( + ) log = ise log 4 kaçtır? A) B) C) D) E) 4 Şekildeki grafiği çizilen fonksiyonlara göre a, b ve c arasındaki doğru sıralanış aşağıdakilerden hangisidir? A) c < b < a B) b < a < c C) c < a < b D) b < c < a E) a < b < c.c.b.b 4.E 5.C 6.D 7.A 8.D 9.C 0.D.C.B.E 4.C 5.B 6.C 4

47 TEST 8. log (+) ( 5) = ise log ( + 6) kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 5. log = ve log 5 = y ise log6 ifadesinin ve y cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? y + y y y + A) B) C) y + y + y y + y y + y D) E) y y. a = ln ve b = log ise a sayısı, b sayısının kaç katıdır? A) 0 B) loge C) 0e D) e E) ln0 6. (log0 )log = log denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden 00 hangisidir? A) {0} B) {00} C) ', 0 0 D) ', 00 E) ', ln(ln) + ln = + ln eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) e B) e C) e D) e E) 4e 7. log 9 = ise aşağıdaki aralıkların hangisinde bulunur? A) (6, 7) B) (5, 6) C) (4, 5) D) (, 4) E) (, ) 4. = log 4 ve y = 4 log ise log y ifadesinin eşiti kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 8. log a = log b 4 ise log ab a log ab b ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 9

48 9. log b + c.log va a b = ise a c + ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) b B) b C) b D) b E) vb. log y + log y = log y ise log(.y) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) 4 log 0. log 4 log5 = eşitliğini sağlayan değeri 5 log 6 aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 4. log0 =,00 ise log ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0,69897 B),69897 C) 0,00 D) 0,69897 E),00. f() = log ( m + ) fonksiyonu R için tanımlı olduğuna göre m nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 4, 0) B) (, 0) C) (0, ) D) (0, 4) E) (, ) 5. = logy ve 0 < y < 400 ise aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. y y=log a (+b) 6. ABC üçgeninde A 0 0 AB = log cm AC = log6 cm log log6 f() = log a ( + b) fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gibidir. Buna göre f(4) kaçtır? A) B) C) D) E) 5 BC = log cm ise B log in değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (0, ) C) (0, 4) D) (, 5) E) (, 4) C.B.E.C 4.D 5.A 6.D 7.C 8.B 9.A 0.E.E.C.A 4.C 5.A 6.E 40

49 TEST 9. log + log5 = eşitliğini sağlayan değeri kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 0 5. log(cot) = 0 ise in en küçük radyan ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir? r r r r r A) B) C) D) E) R olmak üzere, log < 0 olması için aşağıdaki aralıkların hangisinde değer almalıdır? A) (, ) B) (, 0) C) (, 0) D) (0, ) E) (, ) 6. log a = log b olduğuna göre, log(a.b) nin değeri nedir? A) B) C) D) 4 E) 0. log( + ) log = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ' B) 99 D) ' C) 9 ' E) {} ' 7. log 0 (log ) = log 00 olduğuna göre, in değeri nedir? A) v5 B) 5 C) 5 D) 5 E) loga =,44 olduğuna göre, 9 a 5 nin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 0 C) D) 0 4 E) 4 8. log (v + )log 9 = 0 denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 4

50 9. n = a ve log a 6 = n olduğuna göre, n kaçtır? A) B) C) 4 D) 8 E) 6. log e = ln n olduğuna göre, n aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) log e e B) lne C) + ln D) In E) log e 0. g(f()) = f( + ) ve f() = ln ise g(g(ln)) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) ln( + ) + B) ln( + ) C) ln D) ln( + ) E) ln( + ) 4. = log, y = log, z = log olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) z < y < B) z < < y C) y < < z D) < y < z E) < z < y. log0 log( ) = denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 5 D) E) 4 5. ln ln = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? A) Ø B) {} C) {e } D) {, e} E) {, e }. a = b 4 olduğuna göre, log a ifadesinin değeri kaçtır? (b ) A) 4 B) C) 8 D) 4 E) a n = b m olduğuna göre, m n kesri aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) log(a.b) B) log a b C) log b a D) log(a + b) E) ln b a.b.d.a 4.D 5.B 6.E 7.C 8.C 9.B 0.E.D.C.A 4.D 5.E 6.B 4

51 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 98 ÖYS y = log 7 ve = 7 5 ise y nin değeri nedir? A) 5 B) C) 5 5 D) 5 E) ÖYS log 5 = a olduğuna göre log 5 5 ifadesinin değeri nedir? A) a D) a a + B) a a E) a+ a C) a a. 98 ÖYS ( log ) + clog m ifadesinin değeri nedir? A) 0 B) logv C) v logc m D) log c m E) v log ÖYS log656 = a, log = b, log = c olduğuna göre log ün değeri nedir? A) a b c B) a b c C) a b c D) a b c E) a b c. 98 ÖYS log a c =, log b c = y olduğuna göre in a, b, y türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) log ab y B) log b a y D) y.log b a E) y.log a b C) log a b y ÖYS log(a + b) = loga + logb olduğuna göre b nin a türünden değeri nedir? A) a a + D) a a B) a+ a a + E) a C) a a ÖYS log (log 0 ) = eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 0 C) 0 6 D) 0 8 E) ÖYS ln(y) = a, lnc m = b olduğuna göre y in değeri nedir? A) e a+b B) e b a C) e a b D) e (a+b) E) e ab 4

52 ÖSS log + log = log8 log denkleminin çözümü nedir? A) 0 B) 8 C) 6 D) 4 E). 988 ÖYS log = 0,0, log = 0,477 olduğuna göre, log60 ın değeri kaç olur? A),7 B),556 C),04 D),987 E), ÖYS lna = p olarak verildiğine göre, loga aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) ploge B) ploge C) ploge D) plog e E) p loge. 989 ÖSS a 5 = b olduğuna göre, log b a kaçtır? A) B) 8 C) 5 D) 5 E) ÖYS y = log in grafiği hangisi olabilir? A) y B) y ÖYS log + log( + ) = 0 denklemini sağlayan değer nedir? C) y D) y A) B) C) D) E) E) y ÖYS log 7 ( 7) log 7 ( ) = 0 olduğuna göre, log 5 in değeri nedir? A) 0 B) C) D) E) 4 44

53 6. 99 ÖYS log 5 = a olduğuna göre, log 9 5 in değeri nedir? A) a B) a C) a D) a E) va ÖYS f() = log, (gof)() = + olduğuna göre, g() aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) + D) + E) ÖYS log 5 + log 5 a = olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) 5 E) ÖYS 4 log = log 7 log 9 denklemini sağlayan değe- ri kaçtır? A) B) C) D) 6 E) ÖYS log a 9 = 4, log a = b olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? A) v B) v C) v D) E). 996 ÖYS log 0 = a, log 0 = b olduğuna göre, log 0 7 nin a ve b türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) b a B) a b C) a b D) a + b E) a + b ÖYS log (9. + ) = + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, } B) {0, } C) {0} D) {} E) {}. 997 ÖYS log (log (log 4 ( + ) ) ) = olduğuna göre kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 45

54 ÖYS log 4 log 4 log4 4 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 6 D) 8 E) ÖSS y f()=log a 0 Yukarıda log a fonksiyonunun grafiği verilmiştir ÖSS f: c, m R fonksiyonu f() = log ( + ) ile tanımlanıyor. Buna göre, ters fonksiyonu belirten f () aşağıdakilerden hangisidir? A) f () = B) f () = + C) f () = log( + ) D) f () = E) f () = + Buna göre, fcfc mm değeri kaçtır? 7 A) B) C) D) E) LYS log 5 = a olduğuna göre, log 5 5 in değeri kaçtır? A) a a + D) a+ a B) a+ a E) 4a C) a a ÖSS log (log (5 + 6)) = olduğuna göre kaçtır? LYS + log 6 log 6 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 5 E) 8 A) B) C) D) log 6 E) log ÖSS log log (a ) < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane a tam sayısı vardır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) LYS 0 log ( 5) eşitsizliklerini sağlayan kaç tane tam sayısı vardır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 46

55 . 00 LYS den farklı a, b, c pozitif gerçel sayıları için, log a b = log a c = olduğuna göre, kaçtır? 5 A) B) log b b d n ifadesinin değeri c a 5 C) D) 6 E) LYS log + log 4 = denklemini sağlayan değeri kaçtır? A) D) B) E) C) 5. 0 LYS log 9 ( + + ) = t, ( > ) olduğuna göre, in t tü rün den eşi ti aşa ğı da kiler den han gi si dir? A) t B) t C) t D). t E) t 5. 0 LYS = 5 y = 4 olduğuna göre,.y çarpımının değeri kaçtır? ln A) ln ln 5 D) ln B) ln 5 ln ln 5 E) ln 6 ln 5 C) ln 4 47

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 :

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 : LOGARİTMA a b =c eşitliğini düşünelim. Mümkün olan durum larda; Durum 1: a ve b biliniorsa c üs alma işlemile bulunabilir. Örneğin 2 5 =c ise c=32 dir. Örnek...3 : f : R R, f ()=2 fonksionuna ait tablou

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4)

Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4) Köklü Sayılar.,+ 0,+, 6= m 0 ise m kaçtır ( 8 5 ). a= ise a + a (). : :... = 8 0 0... eşitliğini sağlayan değeri nedir (). 99.0+.6+ (75) 5. + : + 8 7 8 () 6. > 0 ve = olduğuna göre ( ) + a+ b 7. a, b R

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1 BAĞINTI - FONKSİYON Test -. A,,,4,5 B,, olduğuna göre, AB kümesinin eleman saısı A) 8 B) C) D) 4 E) 5 5. A ve B herhangi iki küme AB,a,,a,,a,,b,,b,,b olduğuna göre, s(a) + s(b) toplamı A) B) 4 C) 5 D)

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

Merhaba Arkadaşlar; Bizim okul(bergama Anadolu Öğretmen Lisesi) bu sene teftiş geçirdi. Ben aşağıdaki tebliğler dergisine göre seçmeli matematik

Merhaba Arkadaşlar; Bizim okul(bergama Anadolu Öğretmen Lisesi) bu sene teftiş geçirdi. Ben aşağıdaki tebliğler dergisine göre seçmeli matematik Merhaba Arkadaşlar; Bizim okul(bergama Anadolu Öğretmen Lisesi) bu sene teftiş geçirdi. Ben aşağıdaki tebliğler dergisine göre seçmeli matematik yıllık planını hazırladım. (Anlamsız ama yönetmeliklere

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

ÜSLÜ İFADELER Test -1

ÜSLÜ İFADELER Test -1 ÜSLÜ İFADELER Test - 6. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 7 B) C) D) E) B) C) D) E) 7. 6 B) 8 C) D) 8 E) 6 6. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45 990 ÖYS. si olan si kaçtır? A) 9 B) 8 C) D) 60 E) 5. Ağırlıkça %0 si şeker olan 0 kg lık un-şeker karışımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni şeker (kg) karışımın oranı kaçtır? un (kg) A) B) C) D) E)

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I Üniversite Hazırlık / YGS Kolay Temel Matematik 0 KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I. 8 ( 3 + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) A) B) 0 C) D) E) 3. 7 3. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) 0

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2

10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2 . SINIF MTEMTİK FONKSİYONLRD İŞLEMLER- ÇKEY NDOLU LİSESİ MTEMTİK ÖLÜMÜ . ÜNİTE.. FONKSİYONLRD DÖRT İŞLEM Neler öğreneceksiniz? Fonksiyonlarda dört işlem yani toplama çıkarma, çarpma ve bölmeyi öğreneceksiniz.

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir? 1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATLARI BİRİNCİ AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TARİHİ VESAATİ:16 NİSAN 2011 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 22. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ SORU-1.

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı

7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı ) 3 4 5 3 0 A) B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 0 Not : a 0 3 4 5 3 4 5 3 3 3.3.3... ÜSLÜ SAYILAR QUİZİ VE CEVAPLARI 6 4 4 3 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı 0 ) n bir doğal saı olmak üzere, ( ) ( ) n ( ) n n n A) 4

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. 4. c tabanındaki iki basamaklı ardışık üç

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. 4. c tabanındaki iki basamaklı ardışık üç 1. Rakamları toplamından büyük olan kaç tane doğal sayı vardır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 8 E) 10 4. c tabanındaki iki basamaklı ardışık üç sayının toplamı (0) cc ise c nin alamayacağı en büyük değer kaçtır? A)

Detaylı

1998 ÖSS A) 30 B) 27 C) 18 D) 9 E) 5 A) 8000 B) 7800 C) 7500 D) 7200 E) 7000

1998 ÖSS A) 30 B) 27 C) 18 D) 9 E) 5 A) 8000 B) 7800 C) 7500 D) 7200 E) 7000 998 ÖSS. Rakamları sıfırdan farklı, beş basamaklı bir sayının yüzler ve binler basamağındaki rakamlar yer değiştirildiğinde elde edilen yeni sayı ile eski sayı arasındaki fark en çok kaç olabilir? 6. ve

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K M A T E M A T İ K www.akademitemellisesi.com ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: f:ar (A R) fonksionu için, 9. BÖLÜM ) Her A için f( ) = f() ise f e çift fonksion denir. olduğundan ne tek nede çifttir. MUTL AK DEĞER

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI 10. SINIF FİNAL SORULARI 1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, + c + d = 0 denkleminin kökleri a ve b, + a + b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz.. sin + cos cos +

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21 00 ÖSS Soruları,, 0,0. + + 0, 0, 0,00 işleminin sonucu kaçtır? ) ) 7 ) 9 ) ). ( y )( + y+ y ) ( y) c + m y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y y + y ) ) + y y. (0,

Detaylı

: Matematik. : 9. Sınıf. : Sayılar. : (6) Ders Saati

: Matematik. : 9. Sınıf. : Sayılar. : (6) Ders Saati MATEMATİK DERS PLÂNI Dersin adı Sınıf Öğrenme Alanı : Matematik : 9. Sınıf : Sayılar Başlangıç Tarihi :.. /../. Alt Öğrenme Alanı : Mutlak Değer Önerilen Süre : (6) Ders Saati Öğrenci Kazanımları /Hedef

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

11. SINIF 1. DÖNEM 1. YAZILI

11. SINIF 1. DÖNEM 1. YAZILI . SINIF SOYADI : MATEMATİK. DÖNEM. YAZILI DENEME. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi önermedir? I. Cuma sinemaya gidelim. II. Bugün hava çok güzel. III. Beşiktaş ilk futbol takımıdır. IV. = 00. A) 0 B) C)

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI

14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI 14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI - 008 SORU -1 1 0.7 0.1 0.48 = 0.018 0.8 0. eşitliğini sağlayan sayısı kaçtır? [ 0.15] SORU - c d d c a b 4 c d b b a ifadesinin i i sayısal ldeğeri

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1 EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Test -1 1. 9 5. 69 A) (, ] B) (, ) C) (, ) D) [, ] E) [, ) A) B) {} C) {, } D) R E) R {}. 5 6. 1 A) (, 5) B) [, 5] C) (, 5) D) (5, ) E) (, ) A) (, 1] B) (, ) C) [1, ) D) (, ] [1,

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

2. Dereceden Denklemler

2. Dereceden Denklemler . Dereceden Denklemler Yazım hataları olabilir. Tam olarak tashih edilmemiştir. Hataları osmanekiz000@gmail.com mail adresine bildirilseniz makbule geçer.. a + b + 5c = c(a + b) ise a b =? C: 9. ( 4) (

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

3 7 üs(kuvvet) 5 2 ( 4 3 ( 7 5 (

3 7 üs(kuvvet) 5 2 ( 4 3 ( 7 5 ( Bu konuda üslü sayılarla ilgili kazanımları maddeler halide işleyeceğiz Normalde 8 sınıf matematik kazanımları üslü sayılar konusunda negatif üs kavramı ile başlamasına rağmen bu çalışma kağıdında 6sınıf

Detaylı