0 < < 90 0 Olursa atış eğik olur. Dik bileşenler halinde Newton un ikinci kanunu, şeklindedir. Buradan, F 0, mg. olacaktır. Buna göre. a x.

Transkript

1 BÖLÜM 6 DÜZLEMSEL HAEKET 6. Eğik Atış Şimdie kadar sadece bir dğru üzerindeki hareketi inceledik. Bu bölümde, eğrisel iki hareketi, eğik atış e dairesel hareketi inceleeceğiz Atılan bir bezbl ea lf tpunun, uçaktan bırakılan bmbanın, tüfekten çıkan kurşunun hareketine eğik atış denir. Bu cisimlerin izlediği la örüne adı erilir. Eğik atışta örüne haa direncinden çk etkilenir e hareketin incelenmesini çk karmaşık hale etirir. Biz bu önemli etkii bir tarafa bırakarak, hareketin bşlukta apıldığını kabul edeceğiz. Buna öre eğik larak atılan bir cismin etkisinde kaldığı tek kuet, cismin kendi m ağırlığı lacaktır. Kuet bilindiğine öre, Newtn un ikinci kanunundan fadalanarak imei hesaplar, kinematiğin prensiplerini kullanarak cismin hız e knumunu bulabiliriz. Genel larak cismin bir ilk hızla atala bir açı apacak şekilde atılır. Bu açı ( ); Olursa atış ata 9 Olursa atış düşe < < 9 Olursa atış eğik lur. Dik bileşenler halinde Newtn un ikinci kanunu, F m., F m. a a şeklindedir. Buradan, lacaktır. Buna öre bulunur. F, m F F F m a, a m m m Bu bağıntılardan, imenin ata bileşeninin sıfır, düşe bileşeninin ise serbest düşen bir cismin imesine eşit lduğu örülmektedir. İmenin sıfır değeri sabit hıza karşılık lduğundan, hareket sabit hızlı bir ata bileşenle, sabit imeli düşe bir hareketin bileşeni larak ifade edilir. Önce eğik atıştaki hızı hesaplaalım. Şekil.6. de eğik atışın başladığı, örneğin fırlatılan cismin eli terk ettiği nkta, krdinat başlanıcı lacak şekilde e eksenleri çizilmiştir. Zamanı krdinat başlanıcında t = lacak şekilde seçelim. başlanıç hızını larak österelim. açısına atış açısı denir. ilk hızın O ata bileşeni düşe bileşeni,

2 = = θ θ θ θ Şekil.6.. ilk hız e θ atış açısı ile fırlatılan bir cismin örünesi azılabilir..cs,.sin a ata imesi sıfır lduğundan, hızın ata bileşeni daima sabit kalacak e herhani bir t anında, lacaktır..cs Düşe ime a = - lduğunda, herhani bir t anındaki hızın düşe bileşeni, t.sin t lur. Herhani bir anda bileşke hızının şiddeti, e bileşke hızın ata dğrultu ile aptığı açı, tan dır. Şimdi ise cismin knumlarını bulalım. d, d dt, dt d cs dt.cs. t

3 d d. dt dt d dt.sin t) dt. sin. t t ukarıdaki iki denklemden t k edilirse,.cs. t t,.cs (tan ). lur. Bu ise bir parablün denklemi dir. (.cs ) sin cs..cs A B Menzilin ( ) hesabı: menzil atılan cismin ata eksen üzerinde aldığı maksimum ldur. Bunu hesaplaabilmemiz için önce cismin bu nktaa eliş süresini bulmamız erekir. Bunun için de çıkış süresini hesaplaalım.. sin t ( en üst nktada cismin hızı sıfırdır) buradan t (çıkış süresi) i çekersek; bulunur. uçuş süresi ise : t t uçuş çııkı.sin..sin. tçııkı Cismin çıktığı maksimum üksekliği bulalım. H Menzili hesaplaalım:.sin.sin sin. tç tç sin..sin sin.sin H = ma =.cs...sin.cs.sin.cs. tuçuş Atış, ataın altına dğru eğik atış lursa hız e knum denklemlerimiz:

4 .cs (sabit ),. sin t,.cs. t, lur.. sin. t t Özel hal lursa ( ata atış ) hareket denklemlerimiz;.cs,,. sin t, t.cs. t.. t. sin. t t, t lur. Örnek. Bir cisim 37 ukarıa dğru m / sn lik bir hızla atılır. a) Cisim haada ne kadar kalır? b) Cisim atıldığı nktadan ne kadar ükseğe çıkar? c) sn snra cismin hızı ne lur? d) Cisim ne kadar uzağa düşer? e) Yere çarptığı andaki hızı ne lur? sin37 =,6, cs37 =,8, = m /sn θ θ = = θ Çözüm : a ). sin. t t =.,6. t. t 5t t t ( 5t ), t uçuş, 4sn 5 Diğer bir l ; t..sin..,6 4 uçuş, 4 sn, t çıkış =, sn b) H = ma =.sin.(,6) =. 4., ,m c) t = sn.cs =.,8 = 6 m/ sn. sin t =.,6-. = - = -8 m/sn = 6 ( 8) m/ sn d ) =?.cs. tuçus.,8.,4 38, 4m e).cs =.,8 = 6 m / sn,. sin t =.,6 -.,4 = - m / sn

5 = 6 4 m/ sn Örnek. Yata dğrultuda 8 km/ h hız ile uçan bir uçaktan bir rket e atala 37 açı apan bir uçaksaardan bir mermi anı anda atılır. sanie snra uçaksaar mermisi rkete isabet edir. uçak rketi bıraktığı anda uçaksaardan ne kadar ükseklikte e ne kadar uzaklıktadır. = m / sn, sin37 =,6 cs37 =,8 merminin ilk hızı =3 m / sn dir. Çözüm: ketin hızı r = 3 km / h = 8,m / sn 36 Merminin hareketi : ( eğik atış ).cs. t = 3.,8. = 48 m. sin. t t = 3., = 34 m V V sinθ ketin hareketi ( ata atış ). t,. 444, 4m t.4 m V csθ 37 Buradan X 444,448 94, 4m Y 34 36m 6. Dairesel Hareket Şimdi de arıçaplı daire çeresi etrafında dlanan küçük bir cisim öz önüne alalım. Şekil 6. (a) da Q e P nktaları bu küçük cismin iki knumunu östermektedir. Q e P i birleştiren s ektörü bu cismin erdeğiştirmesidir. Hareketin rtalama hızı anen dğrusal harekette lduğu ibi s in, t süresine ranıdır. rt nin dğrultusu s nin dğrultusunun anıdır. s t

6 P nktasındaki ani hız, Q nktası P e, s e limit değeri larak tanımlanır. s lim t t sıfıra aklaşırken rtalama hız P Q P (a) Şekil.6. (a) Parçacık Q dan P e dğru hareketi sırasındaki rtalama hızı s ile anı dğrultudadır. e s nin t e ranına eşittir. (b) P nktasındaki ani hızı dairee teğettir e Q e P e aklaşırken s nın e ranının limit değeri larak tanımlanır. (b) t Q nktası P e aklaşırken s ektörünün dğrultusu da P nktasındaki teğetin dğrultusuna aklaşır. Şekil 6. (b ) da örüldüğü ibi ani hız ektörünün dğrultusu dairee teğet lmuş lur. Şimdi ise hızın şiddetinin sabit lduğu özel hali inceleelim. T çerede tam dlanımı österirsa hızın şiddeti; çeresinin T dlanım süresine ranına eşit lur. T Her ne kadar hız büüklüğü sabit kalırsa da dğrultusu değişmektedir. Şekil.6.3 de e, Q e P nktalarındaki ani hızları östermektedir. Gene dğrusal harekette lduğu ibi a rt imesi, P e Q nktalarındaki hız ektörlerinin farkı eçen süree bölünerek hesaplanır. a rt t t V V -V P s Q a O Şekil.6.3 ektörü, P e Q nktasındaki hız ektörünün farkıdır.

7 Şekil.6.3de örüldüğü ibi fark ektörü, ile - in ektörel tplamı düşünülebilinir. Bu - ektörü, ile anı bda fakat zıt önde bir ektördür. Bölece Şekil.6.3 da örüldüğü ibi, ektörünün ucundan - ektörü çizilerek üçen metdu ile = fark ektörü hesaplanabilir. a rt, rtalama ime ektörü ; e eşittir. Kenarları,- e lan hız üçeni t OQP üçenine benzerdir., e ektörlerinin rtak şiddetini österirse ; s ea. s azabiliriz. a rt rtalama imesi ise ; şeklinde azılır. a rt s. t t P nktasındaki a ani imesi ise erek şiddet erekse dğrultu bakımından e t sıfıra aklaşırken rtalama imenin limit değeri larak tanımlanır. Bu limite aklaşırken ittikçe küçülür e dğrultusu PO arıçapının dğrultusuna aklaşır. Tam limit halde, arıçap dğrultusunu alır e içeri dğru önelir, bunun snucu larak ta a ani imesi de dairenin merkezine önelmiş bulunur. diğer taraftan a lim s. t s lim t s lim t lduğundan a elde edilir. Ani imenin şiddeti, hızın karesinin arıçapa ranına eşittir e ime ektörü dairenin merkezine önelmiştir. Bu sebeple bu imee merkezi ea radal ime denir. 6.3 Merkezcil Kuet

8 Daire çeresinde dlanan bir cismin imesi hesaplandığından, Newtn un ikinci kanunundan fadalanarak cisme etkien kueti bulabiliriz. İmenin şiddeti / e merkeze önelmiş lduğundan, m kütlesinde bir cisme etkien bileşke kuet, F m. azabiliriz. Bileşke kuet merkeze önelmiştir e bu sebeple merkezcil kuet adını alır. Merkezcil kuette diğer kuetler ibi çubuk ea cisimlere uulanabilen ea kütle çekimi e diğer sebeplerle ileri elen bir kuettir. Bir kimse, sicime bağladığı bir cismi dairesel hareket aptıracak şekilde çeirirse, merkezcil bir kuet uulamak zrundadır. Bu dönme sırasında sicim kparsa hızın dğrultusu değişmez e dairee teğet dğrultuda luna deam eder. Örnek.3 cm uzunluğunda bir sicime bağlı r lık bir cisim sürtünmesiz ata bir düzlem üzerinde bir çiinin etrafında dönmektedir. Cisim saniede iki dönme aptığına öre sicimin bu cisme uuladığı P kueti ne kadardır. Çözüm: Dairenin çeresi Ç 4 lduğundan T 4 (8 ) 8 cm / sn merkezcil imenin şiddeti, a 35 cm / sn P = m.a, P =.35 = 6,3. 5 dn = 6,3 nt lur. Örnek.4 Şekilde örüldüğü ibi L bunda bir cisme bağlı, m kütlesinde küçük bir cismin şiddeti sabit bir hızı ile ata dairesel hareketi örülür.cisim örünede dlanırken sicim düşele açısı aptığına öre, cismin örünesinin de arıçapı = L. sinθ, hızının L sin büüklüğü lur. T cismin örünesinde, tam bir dlanım için eçen süredir. T Cismin şekilde örülen knumda, etkisinde bulunduğu kuetler, m ağırlığı e sicimin P erilmesidir. P i ata P.sinθ e düşe P.csθ bileşenlerine aıralım.cisim düşe ime etkisinde bulunmadığına öre, P.csθ e m kuetleri eşittir e merkeze önelmiş bileşke kuet, ani merkezcil kuet, P.sinθ dır. Buna öre

9 P.sin m., azılabilir. Birinci denklem, ikincie ran edilirse, P. cs m tan. bulunur. Yukarıdaki denklem θ açısının hızına nasıl bağlı lduğunu östermektedir. büürse tan θ, dlasıla θ açısı büür. θ açısı hiçbir zaman 9 lamaz çünkü böle bir snuç = lması erektirir. L sin = L. sinθ e = bağıntılarından fadalanarak T P.csθ θ L P θ P.sinθ cs T ea T L.cs / azabiliriz. 4. L m Örnek.5 Şekil. (a) da, ata bir lda arıçapında bir irajı dönen tmbil örülmektedir. Dönen cisme etkien kuetler, m ağırlığı, N nrmal kuet e T merkezcil kuettir. T merkezcil kueti, tmbil için sürtünme ile sağlanmak zrundadır. Sürtünmee pek üenmemek lazımdır. Bunun için şekil.(b) de örüldüğü ibi llar eimli apılır.bu halde N nrmal kuetin, N.csθ düşe e merkeze önelmiş, merkezi kuet erini tutan N.sinθ ata bileşenleri ardır. Ylun θ eim açısı aşağıdaki şekilde hesaplanır. irajın arıçapı irajı dönme hızı ise m N. sin lmalıdır. Harkette düşe ime lmadığına öre, azılabilir. Birinci denklem ikincie bölünürse, N. cs m tan

10 bulunur. Ylun eim açısının tanjantı, hızın karesi ile rantılı irajın arıçapı ile ters rantılıdır. Belli bir arıçap için tek açı bütün hızlar için uun lmaz. Yllar e demir lların apılmasında irajdaki eim, radaki rtalama trafik hızına uun larak aarlanır. Uçakların ata uçarken iraj almaları sırasında eğilmesi, ukarıdaki açıklamaa bağlanabilir. ÇÖZÜMLÜ POBLEMLE 6.. Bir cisim 4 m üksekliğinde ata bir masanın üzerinde, m / sn lik hızla kamaktadır. Cisim ere düştüğü anda a) masanın ata uzaklığını b) anı anda hızının ata e düşe bileşenlerini bulunuz. = m/sn Çözüm : = 4m, θ = ( ata atış ) = ( / ) t =.t =,5.9,8.t =.,9 =,8 m t =,86 t =,9 sn b) = = m / sn = t = 9,8.,9 = 8,8 m / sn 6. Bir cismin, masanın üzerinde kenardan m uzaklıkta bir nktada hızı m / sn dir. Cisim kaarak luna deam edir e masanın kenarından düşür. Masanın üksekliği e cismin düştüğü nktanın masadan lan ata uzaklığı 4 m dir. Masa ile cismin arasındaki sürtünme katsaısını bulunuz.

11 Çözüm : = m / sn N = ( / ) t 4 =,5.9,8.t t =,9 sn =.t, 4 =.,9 =4,4 m / sn AB = m Cisim AB arasında sabit imeli hareket apar. B den snra aşağı dğru ise ata larak luna deam eder. AB arası için Newtn un ikinci kanunu; F = m.a. m. m. a A a f w B a a 6,3 9,8,6 () (4,4) a. 6,3 m / sn m ükseklikte 4 m/ sn lik hızla ata larak uçan bir bmbardıman uçağı 8 m / sn lik hızla sereden bir trpidbtu anı dğrultuda takip edir. isabet alması için bmba trpidnun arka tarafından ne kadar uzakta bırakılmış lmalıdır. Çözüm: uçağın hareketi, t 4 9,8. t t 4, 4 sn =.t = 4. 4,4 = 3456 m V =4 m / sn =4 m trpidnun hareketi; =.t = 8. 4,4 = 5 m = = = 34 m bmbanın trpida isabet etmesi için bmba trpidnun arka tarafından 34 m uzaktan atmalıdır.

12 6.4 Bir tp,ata hız bileşeni 8 m / sn, düşe hız bileşeni m / sn lan ukarı önelmiş bir ilk hızla atılmıştır. Tpun, a) sn, 3 sn, 6 sn snraki knum e hızını bulunuz. b) Yörünenin en üst nktasına ulaşması için ne kadar süre erekir? c) En üst nktanın erden üksekliği ne kadardır? d) Tpun ilk düzeine dönmesi için erekli süre nedir? e) Bu süre içinde ata larak ne kadar l ider? Çözüm : =.csθ = 8 =.sinθ = ) t = sn =? =?.cs (sabit ),.cs = 8 m /sn. sin t, 9,8. 8,4 m/ sn.cs. t, = 8. = 6 m. sin. t t,. 9,8.4 8, 4m ( 8) (8,4) = 3,4 m / sn.sin b). sin t tçııkı, sn 9,8 c).sin. tç tç., 9,8.(,) 5, m d). cs. tuçuş t. t.,, sn uçuş çııkı 4 e). cs. tuçuş 8.,4 63m 6.5 Bir futblcu atala 37 açı apacak şekilde tpa urur e tp 5 m / sn lik ilk hızla fırlır. Vuruş dğrultusunda 3 m uzakta bulunan ikinci bir uncu, tpa urulur urulmaz nu karşılamak üzere kşmaa başlır. İkinci futblcunun tpu ere düşmeden akalaması için hızı ne lmalıdır? 37 Çözüm : = 5 m / sn = 3 m 3 m

13 . cs. t uçuş..sin.cs...cs.sin.5.,6.,8 9,8.sin.5.,6 6 tuçuş, 83 sn m, = 3 = 8 m 9,8 9,8 Ouncunu hızı ; t uçuş 8,83 4,37 m / sn 6.6 Bir A tpu, O nktasından atala 37 açı apan dğrultuda idecek şekilde =7 cm / sn lik hızla atılır. O dan 3 cm uzakta başka bir B tpu, atala 37 açı apan bir dğru üzerinde, A harekete başlarken serbest bırakılır. a) B, A a çarpıncaa kadar ne kadar inmiş lur. b) A, B e çarptığı zaman hani önde hareket etmektedir. Çözüm : = 7 cm / sn OBD üçeninde OD Cs37 = AB OD = 3. cs37 = 3.,8 = 4 cm A tpunun atada aldığı l ;.cs. t t.cs 4 7.,8 B de serbest bırakılan tpun t = 3 / 7 sn içinde 3 7 C nktasına elmesi erekir. sn BC 3. t 98.( ) 9 cm 7 A O 37 B C D

14 .sin 7.,6 3 b) tçııkı sn birinci tpun çıkış süresi ile ikinci tpun C nktasına 98 7 süreleri eşit lduğu için A tpu ile B tpu en üst nktada çarpışırlar. A tpu sağa dğru hareket etmektedir. 6.7 Bir tp, Şekil de örüldüğü ibi 6 m derinlikte bir uçurumun 9 m erisinden, atala 37 açı apacak şekilde, bir hızı ile fırlatılır. Bu atışta, tp tam uçurumun kenarından eçir. a) ilk hızı, b) uçurumun dibinde tpun düştüğü nktanın uçurum kenarına lan ata uzaklığını bulunuz. 9 m 6 m a ). cs. t uçuş..cs. sin..,8.,6 9 9,8 9.9,8.,8.,6 88,6 96,96 44,7 m/ sn b) Hareketin tümü öz önüne alındığında, e ler (- ) alınır.. sin. t t -6 = 44,3.,6.t - (/) 9,8.t. sin. t t 4,9.t - 6,58. t 6 = Buradan tplam zaman t tp = 9 sn çıkar. Alınan tplam l ise,. cs. ttp 44,3.,8.9 38, 96m

15 = 38,96 9 = 6,96 m İkinci l: ataın altına eğik atış:. sin. t t 6 t 44,3.,6 4,9., 4,9.t +44,3.,6-6 = t + 5,4.t -3,65 = t =3,6 sn =.csθ.t = 44,3.,8.3,6 = 7 m k lık tmbil, 4 m arıçaplı ata bir irajı 4 km/ h lık hızla dönür. a) Otmbilin derilmemesi için, lla lastikler arasındaki sürtünme katsaısının en küçük değeri ne lmalıdır b) Bu hız için lun eğim açısı ne lmalıdır. Çözüm : m = 4 k = 4 m = 4 km/ h μ =? N F = m.a μ.m. = m. = 4/36 = / 9. ( ) 9,35 4.9,8 f tanθ =, 35 θ = 5. m 6.9 Yata bir arazide 8 m arıçaplı bir irajın eim açısı 5 km / h a öre aarlanmıştır. Bu irajı 9 km / h lık hızla dönen bir tmbilin derilmemesi için, erle lastikler arasındaki sürtünme katsaısının en küçük değeri ne lmalıdır? Çözüm : = 8 m = 5 km/h = 9 km/h μ =? N.csθ N 5. (3,9) 3,9 m / sn, tan, ,8 θ f N.sinθ Otmbili örünede tutan bileşke kuet ; f + N.sinθ m.

16 F = m.a, f + N. sinθ = m. f = μ.n., N. csθ = m., N m cs. N.cs N.sin m.. m sin cs m. m. cs cs,. m m.tan m, tan. (5) 8.9,8,9,45 6. Basamakların enişliği e üksekliği 3 cm lan bir merdienden bir bile 3 m / sn hızla ata larak atılır. Bile kaçıncı basamağa düşer. = m / sn Çözüm : atış ata lduğundan ; t uçuş. tuçuş t uçuş. = lduğundan 3 3 t uçuş.t uçuş...9,8 m 8 cm 8 = =8 cm basamak saısı = n = 6 basamak 3 6. Bir cisim atala 6 apacak şekilde ukarı dğru 4 m / sn hızla atılır. Cisim m uzakta bir binanın penceresine çarpır. a) Atıldıktan kaç sn snra penceree çarpar? b) Pencere cismin atıldığı seieden kaç m üksekliktedir? c) Cisim penceree hani hızla çarpmıştır. Çözüm : θ = 6 = 4 m / sn = m t =?.cs. t = 4. cs 6.t t = 5 sn 6 m

17 b). sin. t t 4., m 4 6 h m / sn 9,8.5.9, A da bulunan bir silahtan m / sn lik ilk hızla 5 m ükseklikte e 3 m ata uzaklıktaki B hedefine bir mermi atılmıştır. Haa direncini ihmal ederek θ atış açısını bulunuz. / cs θ = + tan θ Çözüm.cs. t. sin. t t 3 =. cs θ.t. sin. t t t 3 5.cs cs sin. 9,8. cs cs 5 3 tan cs / cs θ = + tan θ.tan 3.tan 6 bu denklemin kökleri ; tan θ =,64 θ = 3,6 tan θ =,35 θ = 67 A θ B 6. Bir cisim m / sn lik bir hızla şekildeki ibi atala 53 lik açı apacak şekilde atılır. Cisim atıldığı anda 96 m ilerdeki bir araba hızı ile ilerlemektedir. Cismin arabanın içine düşmesi için arabanın hızını ( ) bulunuz = m/sn cs53 =,6 sin53 =,8 Çözüm: cismin hareketi eğik atış; Menzili ; = =.csθ.t uçuş 96 + =.,6.t uçuş..t uçuş =.sin..,8 6 sn m

18 96 + =.,6.t uçuş 96 + = 6.6 = 864 m Arabanın hareketi ; =.t uçuş 864 =. 6 = 864 / 6 = 54 m / sn m / sn namlu hızına sahip bir uçaksaar mermisi, 3 m üksekliğinde ere paralel şekilde 7 km / h hızla uçmakta lan bir uçağa isabet etmesi için, a ) θ açısı ne lmalıdır. b) Merminin uçağa çarpana kadar eçen sürei bulunuz = m/ sn Çözüm: Uçağın hareketi ; =. t t = t = t = 7/ 36 = m / sn uçaksaarın hareketi; =.csθ.t =.t =.csθ.t = 4. csθ csθ = / 4 =/ θ = 6 7 km/h V 3 m θ uçaksaar b). sin. t t 3 = 4.,86.t 5.t 5.t 344.t + 3 = t 69. t + 6 = denklemin pzitif kökü t = sn çıkar m ükseklikte 5 m /sn lik bir hızla atılan bir cisim ere düştüğünde atada ne kadar 37 37

19 l alır? Çözüm : + =?.nci atış eğik atış, =5 m / sn.cs. t uçuş..sin cs..5.,6 5.,8. 4 m 4m.5.,6 t uçuş 6 sn.ci atış ataın altına eğik atış :. sin. t t 35 5.,6. t 5. t t 6. t 7 Bu denklemin kökleri t = 3 sn t = -9 sn Düşme süresi pzitif kök alınır. t =3 sn =.csθ.t =5.,8.3 = m + = 4 + = 36 m lur..nci l : burada hareketin tümü öz önüne alınır. O zaman e değerleri (-) alınır.. sin. t t 35 5.,6. t 5t, 5t 3t -35 =, t -6 t 7 = bu denklemin pzitif kökü t = 9 sn çıkar. Buradan, tplam l + =.cs37.t tp = 5.,8.9 = 36 m çıkar.