Kemer Barajların Drucker-Prager Yaklaşımı Kullanılarak Lineer Olmayan Dinamik Analizi 1

Transkript

1 İMO eknik Dergi, , Yazı 207 Kemer Barajların Drucker-Prager Yaklaşımı Kullanılarak Lineer Olmayan Dinamik Analizi 1 Yuu CALAYIR * Muhammet KARAON ** ÖZ Bu çalışmada, betonun lineer olmayan malzeme özelliğinin kemer barajların dinamik davranışına etkii incelenmektedir. Baraj betonunun lineer olmayan malzeme modeli için Drucker-Prager yaklaşımı eçilmiştir. Dinamik analizde baraj-rezervuar ve baraj-temel etkileşimleri göz önüne alınmıştır. Euler yaklaşımı kullanılarak, ıvı-yapı dinamik etkileşim probleminin onlu eleman ormülayonu verilmiştir. Sayıal uygulama için Karakaya kemer barajının lineer ve lineer olmayan dinamik analizleri yapılmıştır. Rezervuar ve temel ortamları lineer elatik kabul edilmiştir. Dinamik etki olarak, 21 emmuz 1952 at depreminin S69E ivme bileşeni eçilmiş olup, barajın manap-memba doğrultuunda etki ettirilmiştir. Karakaya kemer barajının lineer ve lineer olmayan çözümleri elde edilerek onuçlar birbirleriyle karşılaştırılmıştır. Deprem etkiiyle baraj gövdeinde oluşan haar bölgeleri belirlenmiştir. ABSRAC Non-linear Dynamic Analyi o Arch Dam Uing Drucker-Prager Approach In thi tudy, the eect o the material non-linearity o concrete on the dynamic repone o arch dam are invetigated. Drucker-Prager approach i elected or non-linear model o the dam concrete material. Dam-reervoir and dam-oundation interaction eect are conidered in the dynamic analyi. Finite element ormulation o dynamic luid-tructure interaction problem i given by uing the Eulerian approach. For numerical application, linear and non-linear dynamic analye o Karakaya arch dam are perormed. he eervoir and the oundation domain are aumed a linear elatic. For the dynamic input, the S69E component o 21 July 1952 at earthquake i ued a the horizontal component, acting in the downtream-uptream direction o the dam. Linear and non-linear dynamic olution o the Karakaya arch dam are obtained and the reult are compared Not: Bu yazı - Yayın Kurulu na günü ulaşmıştır Nian 2004 gününe kadar tartışmaya açıktır. * Fırat Üniveritei Müh. Fak. İnşaat Mühendiliği Bölümü, 23279, Elazığ - ycalayir@irat.edu.tr ** Fırat Üniveritei Müh. Fak. İnşaat Mühendiliği Bölümü, 23279, Elazığ mkaraton@irat.edu.tr

2 Kemer Barajların Drucker-Prager Yaklaşımı Kullanılarak Lineer Olmayan with each other. Damage region on the dam body occurred by the eect o earthquake ground motion are determined. 1. GİRİŞ Dünyada inşa edilen barajların yaklaşık % 17' ini beton ağırlık, kemer ve payandalı barajlar oluşturmaktadır. Beton barajların inşaı ve kullanımı ıraında bazı nedenlerden (Rötre, ünme, oturma vb.) dolayı baraj betonunda çeşitli çatlaklar oluşabilmektedir. Ancak bu çatlakların bir çoğu barajların güvenliğini tehlikeye okabilecek büyüklükte değildir. Genellikle deprem gibi dinamik bir dış etki altında baraj betonunda oluşan kırılma ve çatlamalar önem arz etmektedir [1-5]. Bu ebeple, ülkemiz gibi deprem kuşağı üzerinde bulunan bölgelerde inşa edilecek barajların deprem taarımlarının kırılma, çatlama ve haar davranışlarını dikkate alan gelişmiş tekniklerle yapılmaı gerekinimi vardır [4-8]. Barajlar memba taraında büyük miktarda u depoladıkları için ıvı-yapı etkileşimine maruz yapı grubuna girmektedir. Bu tür yapılarda yapı ıvının, ıvı da yapının dinamik davranışını önemli ölçüde etkiler. Sonuçta ıvı ortamında hidrodinamik baınçlar, yapı ortamında ie bu baınçlardan dolayı ilave yükler oluşmaktadır. Sıvı-yapı itemlerinin dinamik etkileşim problemleri Euler, Lagrange ve Kütle Ekleme yöntemlerinden biriyle modellenebilir [7,9,10]. Bu yöntemlerden Euler yaklaşımında, ıvı ortamında baınçlar (veya hız potaniyelleri), yapı ortamında yer değiştirmeler değişken olarak alınmaktadır. Lagrange yaklaşımında ie, hem yapı hem de ıvı ortamlarında değişken olarak yer değiştirmeler kullanılır. Sıvı ortamının baraj üzerindeki hidrodinamik baınçlarını barajın memba yüzeyi üzerinde toplanan ilave kütlelere eşdeğer olarak kabul eden yaklaşım Kütle Ekleme Yöntemi olarak bilinir [11]. Bu çalışmada, betonun lineer olmayan malzeme özelliğinin kemer barajların dinamik davranışına etkii incelenmektedir. Baraj-rezervuar-temel iteminin onlu eleman modeli Euler yaklaşımı kullanılarak elde edilmiştir. Baraj betonu için lineer ve lineer olmayan malzeme modelleri kullanılmıştır. Lineer olmayan model olarak Drucker-Prager modeli eçilmiştir. Rezervuar ve temel ortamlarının lineer elatik davranış göterdiği kabul edilmiştir. Sayıal uygulama olarak Karakaya kemer barajının, 21 emmuz 1952 at depreminin S69E yatay ivme bileşeni etkiindeki lineer ve lineer olmayan dinamik analizleri baraj-rezervuar ve baraj-temel etkileşimleri dikkate alınarak yapılmıştır. Lineer olmayan davranışın çözümler üzerindeki etkii lineer ve lineer olmayan çözümler karşılaştırılarak irdelenmiştir. Deprem etkiiyle baraj gövdeinde oluşan haar bölgeleri belirlenmiştir. 2. BARAJ GÖVDESİ İÇİN MALZEME MODELİ Beton barajlarda yer hareketi gibi dinamik bir etki onucunda baraj gövdeinde betonun çekme ve baınç mukavemetini aşan gerilmeler oluşabilir; bunun onucu olarak, baraj gövdeinde haarlar ortaya çıkar ve bu haarlardan dolayı gerilmelerde yeniden bir dağılım olur. Bu nedenle beton, malzeme olarak lineer olmayan bir şekil değiştirme davranışıyla karakterize edilir. Malzemenin lineer olmayan davranışı betonun çekmede çatlamaı, baınçta ie platikleşmei olarak ortaya çıkmaktadır. Drucker-Prager yaklaşımı bu etkilerin göz önüne alınabildiği bir elato-platik malzeme modelidir [12-14]. Bu yaklaşım, von- Mie kriterinin hidrotatik gerilme etkiini içerecek şekilde genelleştirilmeinden elde 3086

3 Yuu CALAYIR, Muhammet KARAON edilmiştir. c kohezyonu ve φ içel ürtünme açıına bağlı olarak iade edilen Drucker- Prager yaklaşımının akma yüzeyi dik bir koni biçiminde olup Şekil 1 de unulmuştur. Bu graikel göterim malzemenin çekme ve baınçtaki davranışlarının arklı olduğunu götermektedir. Şekil 1 de geçen σ 1, σ 2 ve σ 3 büyüklükleri aal gerilmeleri temil etmektedir. Drucker-Prager yaklaşımında platik şekil değiştirme hacimdeki değişimle birlikte ortaya çıkmaktadır. Bu modelde eşdeğer gerilme, 1 1 σ = 3 β σ + {[ S M] { S 2 e m 2 (1) olarak verilir [13]. Burada, σ m ortalama gerilmeyi (Hidrotatik gerilme), {S deviatorik gerilme vektörünü, [ M ] diyagonel dışı terimleri ıır olan abitler matriini götermektedir. β ie bir malzeme abiti olup, β = 3 2 in φ ( 3 in φ) (2) bağıntııyla belirtilebilir. [ M ] matrii ve {S deviatorik gerilme vektörü ıraıyla, M = (3) [ ] { S { σ σ = (4) m 0 eşitlikleri ile verilebilir. Denklem (4) de { σ gerilme vektörünü belirtmektedir. Malzemenin akma gerilmei σ y, 6 c coφ σ = (5) y 3 ( 3 in φ) ormunda yazılabilir. Buradan akma yüzeyini belirten akma kriteri, F = σ σ 0 (6) = e y 3087

4 Kemer Barajların Drucker-Prager Yaklaşımı Kullanılarak Lineer Olmayan olarak iade edilebilir. Akma yüzeyi; Şekil 1 de görüldüğü gibi altıgen olan Mohr- Coulomb akma yüzeyinin köşelerine tema ederek çevreleyecek şekilde malzeme parametrelerine ahip bir koni biçimindedir [13,14]. σ 3 Drucker-Prager Mohr-Coulomb σ σ σ = Von Mie = c cot (Φ) σ 2 σ 1 Şekil 1. Drucker-Prager, Mohr-Coulomb ve von Mie akma yüzeyleri. 3. SIVI-YAPI SİSEMİNİN EULER YAKLAŞIMINA GÖRE FORMÜLASYONU Bu çalışmada ıvı-yapı etkileşim problemi Euler yaklaşımı kullanılarak modellenmiştir. Bu yaklaşım, barajlar ve u depoları gibi ıvı-yapı etkileşimine maruz itemlerin onlu ve ınır eleman yöntemleriyle analizinde yaygın bir biçimde kullanılmaktadır. Sıvı-yapı itemlerinin Euler yaklaşımıyla analizinde, yapının hareketi yer değiştirmeler cininden, ıvının hareketi ie baınçlar cininden iade edilmektedir [7,9,10]. Sıvı-yapı ara yüzeyindeki etkileşimden dolayı ortak hareket meydana gelmektedir. Bu nedenle, çözüm için özel ara yüzey elemanlarının tanımlanmaı gerekmektedir. Bu kıımda önce ıvı hareketi ile ilgili bağıntılar ve bunların onlu eleman ormu ve daha onra ıvı-yapı iteminin ortak denklemleri verilecektir. Lineer ıkışabilir, vikoz olmayan ve rotayonuz bir ıvının küçük yer değiştirmeler altındaki üç boyutlu hareketi, 1 P, + P, + P, = P, (7) xx yy zz 2 tt C dalga denklemiyle verilmektedir [7,13-17]. Burada x,y,z kartezyen koordinatları, t zamanı, C ıvıdaki baınç dalgaı hızını ve P, ii ie hidrodinamik baıncın i değişkenine göre iki kez kımi türevini iade etmektedir. Her hangi bir etki onucu ıvı iteminde (rezervuarda) oluşan hidrodinamik baınçlar denklem (7) nin uygun ınır şartları altında çözülmeiyle elde edilir. Bu ınır şartları, P=0 (ıvı erbet yüzeyinde yüzey dalgaları yoka) (8) P = ρ g u z (ıvı erbet yüzeyinde yüzey dalgaları vara) (9) 3088

5 (12) (11) Yuu CALAYIR, Muhammet KARAON P, n = ρ & u n (ıvı-yapı ara yüzeyinde) (10) P, = ρ & u q P& (ıvı-temel ara yüzeyinde) n ng P = 0 (teorik olarak onuza uzanan ıvının arka yüzeyinde) olarak tanımlanabilir [16]. Burada, ρ ıvının kütle yoğunluğunu, g yer çekim ivmeini, u z ıvı erbet yüzeyinin düşey doğrultudaki yer değiştirmeini, n ıvı yüzey dış normalini, & u& n bu yüzey normali doğrultuundaki ivmeyi, P, n hidrodinamik baıncın n normali doğrultuundaki türevini, P & hidrodinamik baıncın zamana göre türevini ve & ıvı-temel ara yüzeyinde ıvı yüzeyi dış normali doğrultuundaki yer ivmeini götermektedir. q ie ıvı-temel ara yüzeyindeki dalga önümleme katayıını belirtmekte olup, temel ortamının adece enekliği dikkate alınır ve öz konuu ortamda ıvı-temel ara yüzeyine normal doğrultuda bir boyutlu dalga yayılışının meydana geldiği kabul edilire bu katayı, (1 α) q = (13) C (1 + α) eşitliğiyle verilebilir [17]. α katayıı ıvı-temel ara yüzeyinden yanıyan dalganın gelen dalgaya oranını götermektedir. α=1.0 ara yüzeyin rijit haline karşılık gelmektedir. α=0.0 ie ilgili ara yüzeye gelen dalganın tamamen önümlendiğini belirtmektedir. Sonlu eleman uygulamalarında, ıvı ortamı manap-memba doğrultuunda onlu uzunlukta alınabilir. Bu durumda ilgili yüzey için (12) denklemi ile verilen ınır şartı yerine, bir dalga yayılma ınır şartı kullanılmalıdır. Bu çalışmada, iteme önüm ağlayarak giden dalgalardaki enerji kaybını temil eden ve P = (14) C & P, n eşitliğiyle verilen Sommereld yayılma şartı uygulanmıştır [13, 14]. Sıvı ortamının onlu eleman denklemleri varyayonel ilkeye dayalı onlu eleman yaklaşımından elde edilecektir. Bu çalışmada ıvı yüzey dalgalarının oluşmadığı kabul edilmektedir. Böylece, ıvı hareketini temil eden (7) denkleminin, (8), (10), (11) ve (14) eşitlikleri ile verilen ınır şartları altında çözümü için bir onkiyonelin tanımlanmaı gerekir. Bu problemle ilgili onkiyonel, P, + P, + P, 1 PP& x y z Π = P P&& dv ds u P ds ( u qp)pds & + + && && 2 n ng V 2 C + S t C ρ + ρ + (15) S i S b şeklinde yazılabilir [15]. Bu eşitliğin ağ taraındaki birinci integral hacim üzerinde, ikinci integral onlu eleman ağının keildiği ıvı arka yüzeyi üzerinde, üçüncü integral ıvı-yapı u& ng 3089

6 Kemer Barajların Drucker-Prager Yaklaşımı Kullanılarak Lineer Olmayan ara yüzeyi üzerinde ve dördüncü integral ie ıvı-temel ara yüzeyi üzerinde geçerlidir. Denklem (15) ile verilen eşitliğin tayoner olma şartı, (7), (10), (11) ve (14) bağıntılarını verecektir. P, P &, P &, & u& ve & u& büyüklükleri onlu eleman yaklaşımı kullanılarak, n ng { N { P e { N { P& e { N { P& e e {{ n N { U& P = (16) P & = (17) & P = (18) & u = (19) n ng e {{ n N { U& bg & u = (20) şeklinde tanımlanabilir. Burada { N ve { N ıraıyla, baınç ve yer değiştirmeler için eleman şekil onkiyonlarını belirtmektedir. { e e P eleman baınç vektörünü; { U & & ıvı- e yapı ara yüzeyinde eleman bazında yapı toplam ivmeleri vektörünü; { U & bg & ie ıvı-temel ara yüzeyinde eleman bazında yer ivmei vektörünü; { n ilgili yüzeydeki ıvı dış yüzeyi normali doğrultuundaki birim vektörü belirtmektedir. Büyüklüklerin üzerindeki üt indii ie ilgili büyüklüğün tranpozeini götermektedir. (16)-(20) eşitlikleri kullanılarak (15) bağıntıı, 1 Π = 2 P P P {[ P K ]{ P + {[ P M ] { P&& + {[ P C ] { P& {[ P R ] { U&& + ρ{[ P R ] { U&& + ρ olarak yazılabilir. Burada [ M p ], [ C ] p ve [ ] p rijitlik matrilerini götermektedir. [ R ] i i b bg (21) K ıraıyla ıvı ortamın kütle, önüm ve, ıvı-yapı ara yüzeyi ile ilgili bir matri olup; yapı ortamında oluşan ivmelerden ıvı yük vektörünü ve ıvı ortamında oluşan baınçlardan yapı düğüm noktaı ilave kuvvetlerini belirlemede kullanılır. [ R ], ıvı-temel ara yüzeyinde b oluşan yer ivmelerinden dolayı ıvı yük vektörünü belirlemede kullanılan bir matritir. { U & vektörü ıvı-yapı ara yüzeyindeki yapı düğüm noktaı toplam ivmelerini; { U & bg vektörü ie ıvı-temel ara yüzeyindeki düğüm noktaı yer ivmelerini temil etmektedir. Sıvı ortama ait rijitlik, kütle ve önüm matrileri, P [ ] { N, { N, + { N, { N, + { N, { N, K dv (22) x x y y z z = k e= 1 V e P 1 [ ] ({ N{ N ) M dv (23) 2 C = k e= 1 V e 3090

7 l n P 1 [ ] = ({ N{ N ) ds + q( { N{ N ) e= 1 S e t e= 1 S e b Yuu CALAYIR, Muhammet KARAON C ds (24) C eşitlikleri ile elde edilebilir. [ R i ] ve [ ] b [ ] { N{ n { N = m i e= 1 S e i R matrileri ie, R ds (25) [ ] { N{ n { N = n b e= 1 S e b R ds (26) bağıntılarından heaplanabilir. (22)-(26) denklemlerindeki toplam imgeleri üzerinde geçen k, l, m ve n indileri ıraıyla ıvı ortama, ıvı arka yüzeyine, ıvı yapı ara yüzeyine ve ıvı temel ara yüzeyine ait eleman ayılarını götermektedir. Denklem (21) ile verilen iadenin tayoner olma şartı ( δ Π = 0 ) kullanılıra ıvı iteminin hareketini temil eden, ( ) P P P [ M ]{ & P [ C ]{ P& + [ K ] { P = ρ [ R ] { U&& + [ R ] { U& + (27) eşitliği bulunur. Yapı ortamının dinamik hareketine ait onlu eleman denklemleri için, (28) [ M ]{ U& + [ C ]{ U& + [ K ] { U = { F + { F bağıntıı kullanılabilir. Burada [ M ], [ C ] ve [ K ] ait kütle, önüm ve rijitlik matrilerini; { U &, { U & ve { U i b bg ıraıyla yapı ortamına (baraj+temel) ait bağıl ivme, hız ve yer değiştirme vektörlerini temil etmektedir. { F büyüklükleri de yapı ortamına yapının dış yük vektörünü; { F ie ıvı ortamında oluşan hidrodinamik baınçlardan ötürü yapıya gelen ek dış yük vektörünü belirtmektedir. { F { F [ R ] { P iadei virtüel iş ilkeinden aydalanılarak, = (29) i olarak iade edilebilir. Böylece lineer haldeki ıvı-yapı itemine ait ortak hareket denklemleri (27) ve (28) denklemlerinin, [ M ] [] 0 p [ M ] [ M ] { U&& { P&& + [ C ] [] 0 p [][ 0 C ] { U& { P& + [ K ] [ K ] p [] 0 [ K ] { U { P = { F { F g (30) 3091

8 Kemer Barajların Drucker-Prager Yaklaşımı Kullanılarak Lineer Olmayan şeklinde birleştirilmeiyle elde edilebilir. Burada, 3092 [ M ] ρ[ R i ] [ K ] [ ] = (31) = (32) R i ( ) { F ρ [ R ] { U & + [ R ] { U& g = (33) i g b eşitlikleri ile tanımlanmaktadır. Burada, { F ıvı-yapı ve ıvı-temel ara yüzeylerindeki g rijit ivmelenmelerden ötürü ortaya çıkan ıvı yük vektörünü, { U & ie ıvı-yapı ara g yüzeyindeki düğüm noktaı yer ivmeleri vektörünü temil etmektedir. Yapı iteminin lineer olmayan davranış götermei halinde ıvı-yapı iteminin ortak hareketini temil eden (30) denklemi, [ M ] [] 0 P [ M ] [ M ] { U&& { && P + [ C ] [] 0 P [] 0 [ C ] haline dönüşür. Burada { i { U& { P& + bg [][ 0 K ] P [][ 0 K ] { U { P + i { F { 0 = { F { F g (34) F, yapının içel kuvvet vektörünü belirtmektedir. (30) ve (34) eşitlikleri ile verilen denklem takımları zaman alanında uygun bir ayıal integrayon yöntemiyle çözülebilir [14]. 4. SAYISAL UYGULAMA Sayıal uygulama için Karakaya kemer barajı eçilmiştir. Bu baraj, 173 m yükekliğinde tek eğrilikli bir kemer baraj olup 430 m kret uzunluğuna ahiptir. Barajın memba kımındaki eğrilik yarıçapı 225 m ve kret eviyeindeki kalınlığı 10 m, taban kımında ie 50 m dir. Baraj-rezervuar-temel iteminin ol yarı parçaı Şekil 2 de unulmuştur. Baraj onlu eleman modelinde 28 adet üçgen prizmatik ve 228 adet dikdörtgen prizmatik eleman kullanılmıştır. Şekil 2 de ayrıca bu onlu eleman ağında yer değiştirme ve gerilmelerin zamanla değişim graiklerinin çizildiği dört düğüm noktaı göterilmiştir. emel kayaı enek ve kütleiz olarak kabul edilmiş olup; barajla temelin birleşim ara yüzeyinde merkezi baraj orta düzleminin oturduğu eğri üzerinde bulunan ve yarıçapı baraj yükekliği kadar olan yarım daire düzlemi şeklinde eçilerek onlu eleman modeli oluşturulmuştur. Modelde 96 adet üçgen prizmatik ve 528 adet dikdörtgen prizmatik eleman kullanılmıştır. Sıvı ortam (rezervuar) onlu kabul edilmiş olup barajın manapmemba doğrultuundaki boyutu baraj yükekliğinin iki katı kadar alınmıştır. Rijit temele oturduğu kabul edilen ıvı ortamın onlu eleman modelinde 84 adet üçgen prizmatik ve 714 adet dikdörtgen prizmatik eleman kullanılmıştır. Sıvı onlu eleman modelinde manapmemba doğrultuunda ağın keildiği arka yüzeye Sommereld dalga yayılma ınır şartı uygulanmıştır. Baraj-rezervuar-temel iteminin onlu eleman modelinde toplam olarak 208 adet üçgen prizmatik ve 1386 adet dikdörtgen prizmatik onlu eleman vardır. Barajın dinamik analizi için Kaliorniya eyaletinin Kern ilçei 21 emmuz 1952 at depremi

9 Yuu CALAYIR, Muhammet KARAON ıraında at Lincoln okulu tünelinde kaydedilen yer hareketinin S69E yatay ivme bileşeni eçilmiş ve baraj-rezervuar-temel itemine manap-memba doğrultuunda etki ettirilmiştir. Makimum ivmei 0.18g olan bu ivme bileşeni Şekil 3 de unulmuştur. Baraj betonu için lineer ve Drucker-Prager malzeme modelleri eçilmiştir. Betonunun elatiite modülü MPa, birim hacim ağırlığı kn/m 3 ve Poion oranı 0.2 alınmıştır. Barajın lineer olmayan analizinde betonun çekme ve baınç dayanımları ıraıyla, 2.7 MPa ve 25 MPa kabul edilerek, kohezyon MPa ve içel ürtünme açıı, φ = 38 olarak heaplanmıştır. Sıvının birim hacim ağırlığı ρ=1.0 t/m 3 ve hacimel elatiite modülü 2070 MPa olarak alınmıştır. Buna göre ıvıdaki baınç dalgaı hızı C = m/ olmaktadır. a) Sitemin onlu eleman modeli. b) Seçilen düğüm noktaları. Şekil 2. Baraj-rezervuar-temel iteminin onlu eleman modeli ve büyüklüklerin (yer değiştirme ve gerilme) zamanla değişim graiklerinin çizildiği düğüm noktaları. emel kayaının elatiite modülü MPa ve Poion oranı 0.2 kabul edilmiştir. Rayleigh önüm abitleri Hz (itemin ilk rekanı) ve 25 Hz lik rekanlarda %5 lik bir önümü ağlayacak şekilde heaplanmıştır. İlk rekan rezervuarın boş olduğu kabulüne göre heaplanan itemin temel rekanını belirtmektedir. Çözümde kullanılan integrayon zaman adımı n olarak eçilmiştir. Heaplamalar, ANSYS 5.6 programı kullanılarak elde edilmiştir [13]. Baraj-rezervuar ve baraj-temel etkileşimleri dikkate alınarak Karakaya kemer barajının lineer ve lineer olmayan dinamik analizleri yapılmıştır. Lineer analizden elde edilen baraj memba ve manap yüzeyleri makimum ve minimum aal eş gerilme eğrileri, ıraıyla Şekil 4 ve 5 te verilmiştir. Eğriler üzerinde belirtilen ayıal değerler kn/m 2 cininden verilmiştir. Söz konuu bu gerilmeler, tüm zaman adımlarındaki makimum ve minimum aal gerilmelerin ektrem değerleridir. Makimum aal gerilmeler barajın memba yüzeyinde taban ve yamaçlardan krete doğru genelde artış götermekte ve krete yakın orta konol bölgeinde makimum değerler almaktadır. Manap yüzeyinde ie eğimin değiştiği yamaç orta bölgei ile kret araında aal makimum gerilmelerin büyük değerler aldığı gözlenmektedir. Makimum aal gerilmeler, memba yüzeyinde krete yakın orta konol bölgeinde; manap yüzeyinde ie kret bölgeinin dolu avak yan kenarı ile orta konol araında ve eğimin değiştiği yamaç orta bölgeinde betonun çekme dayanımını aşmaktadır. 3093

10 Kemer Barajların Drucker-Prager Yaklaşımı Kullanılarak Lineer Olmayan Bu bölgelerde haarların ortaya çıkacağı açıktır. Minimum aal gerilmelerin yayılışı da makimum aal gerilmelere benzer olarak ortaya çıkmaktadır. 0,2 İvme, g 0,1 0-0,1-0, ZAMAN () Şekil emmuz 1952 at depreminin S69E yatay ivme bileşeni. a) Manap yüzeyi. b) Memba yüzeyi. Şekil 4. Lineer analizden elde edilen makimum aal eş gerilme eğrileri. 3094

11 Yuu CALAYIR, Muhammet KARAON a) Manap yüzeyi. b) Memba yüzeyi. Şekil 5. Lineer analizden elde edilen minimum aal eş gerilme eğrileri. YER DEĞİŞİRME (cm) 5 2,5 0-2,5 LINEER LİNEER OLMAYAN ZAMAN () Şekil 6. Lineer ve lineer olmayan analizlerden elde edilen 203 nolu düğüm noktaının radyal yer değiştirmeinin zamanla değişimi. Lineer ve lineer olmayan analizlerden elde edilen barajın kretinde yer alan 203 nolu düğüm noktaının radyal yer değiştirme graikleri Şekil 6 da unulmuştur. Her iki analizden elde edilen yer değiştirme değerleri genelde bir birine yakın eyretmektedir. Lineer olmayan analizde gerilmeler, betonun çekme dayanımını 264 nolu düğüm noktaı civarında 4.0 üncü aniyede aşmakta ve bunun onucu olarak bu bölgede baraj betonunda haarlar oluşmaya başlamaktadır. 264 nolu düğüm noktaı barajın manap yüzeyinde 3095

12 Kemer Barajların Drucker-Prager Yaklaşımı Kullanılarak Lineer Olmayan a) Manap yüzeyi. b) Memba yüzeyi. Şekil 7. Lineer olmayan analizden elde edilen aal makimum eş haar eğrileri a) Manap yüzeyi. b) Memba yüzeyi. Şekil 8. Lineer olmayan analizden elde edilen aal minimum eş haar eğrileri. eğimin değiştiği yamaç bölgei orta kımında bulunmaktadır. Bir zaman adımı onra barajın krete yakın orta konol bölgeinde de haarlar meydana gelmektedir. Söz konuu haar bölgeleri zamana bağlı olarak artış götermektedir. Haarlar, barajda oluşacak gerilmelerde yeniden bir dağılıma ebep olmaktadır. Barajın memba ve manap yüzeyleri için makimum ve minimum eş haar (platik şekil değiştirme) eğrileri ıraıyla Şekil 7 ve 8' de unulmuştur. Eğriler üzerinde belirtilen değerler metre cinindendir. Şekil 7' den görüldüğü gibi makimum eş haar bölgeleri barajın memba yüzeyinde krete yakın orta

13 Yuu CALAYIR, Muhammet KARAON konol civarında geniş bir bölge, manap yüzeyinde ie yamaç kımında geniş bir bölge ve krete yakın orta konol civarında nipeten daha dar bir bölge olarak ortaya çıkmaktadır. Minimum eş haar eğrileri de makimum eş haar eğrilerine benzer bir yayılış ergilemektedir. GERİLME (MPa) 0-2,5 LINEER LİNEER OLMAYAN ZAMAN () a) Makimum aal gerilme. 5 GERİLME (MPa) LINEER LİNEER OLMAYAN 2, ZAMAN () b) Minimum aal gerilme. Şekil 9 Lineer ve lineer olmayan analizlerden elde edilen 66 nolu düğüm noktaına ait makimum ve minimum aal gerilmelerin zamanla değişimi. Lineer ve lineer olmayan analizlerden elde edilen 66, 72 ve 264 nolu düğüm noktaları makimum ve minimum aal gerilme graikleri Şekil 9, 10 ve 11 de unulmuştur. 66 ve 3097

14 Kemer Barajların Drucker-Prager Yaklaşımı Kullanılarak Lineer Olmayan 72 nolu düğüm noktaları barajın memba yüzeyinde, 264 nolu düğüm noktaı ie barajın 5 GERİLME (MPa) LINEER LİNEER OLMAYAN 2, ZAMAN () GERİLME (MPa) a) Makimum aal gerilme. 0-2,5 LINEER LİNEER OLMAYAN ZAMAN () b) Minimum aal gerilme. Şekil 10 Lineer ve lineer olmayan analizlerden elde edilen 72 nolu düğüm noktaına ait makimum ve minimum aal gerilmelerin zamanla değişimi. manap yüzeyinde bulunmaktadır. Bu graiklerden, barajda haarın oluştuğu 4.0 üncü aniye anından itibaren 66 nolu düğüm noktaında lineer olmayan analizden heaplanan aal makimum gerilme değerleri lineer analiz onuçlarına göre azalım; aal minimum gerilme değerleri ie artış götermektedir. Bu düğüm noktaı haarın yoğun olduğu kret 3098

15 Yuu CALAYIR, Muhammet KARAON orta konol bölgeinde yer almaktadır. Söz konuu bölgede betonun çekme dayanımını aşan çekme gerilmelerinden dolayı haarın oluşmaıyla gerilmede yeniden dağılım meydana gelmektedir. Haarın oluşmadığı orta konolun topuk bölgeinde bulunan 72 nolu düğüm noktaında aal makimum ve aal minimum gerilme değerlerinde genelde bir değişiklik olmamaktadır. Manap yüzeyinde eğimin değiştiği yamaç orta bölgeinde yer alan 264 nolu düğüm noktaında ie aal makimum gerilme değerlerinde azalma olmaına karşılık, aal minimum gerilme değerlerinde önemli bir değişiklik izlenmemektedir. GERİLME (MPa) 5 LINEER LİNEER OLMAYAN 2, ZAMAN () a) Makimum aal gerilme. GERİLME (MPa) 2,5 0-2,5 LINEER LİNEER OLMAYAN ZAMAN () b) Minimum aal gerilme. Şekil 11 Lineer ve lineer olmayan analizlerden elde edilen 264 nolu düğüm noktaına ait makimum ve minimum aal gerilmelerin zamanla değişimi. 3099

16 Kemer Barajların Drucker-Prager Yaklaşımı Kullanılarak Lineer Olmayan Lineer olmayan analize göre memba ve manap yüzeyleri için çizilen aal makimum ve minimum eş gerilme eğrileri ıraıyla Şekil 12 ve 13 ' de unulmuştur. Gerilmelerin dağılımı açıından lineer analize benzer bir durum ergilemektedir. Haarın oluştuğu bölgelerde özellikle memba yüzeyinde çekme gerilmelerinde genelde azalma, baınç gerilmelerinde ie artış olmaktadır. a) Manap yüzeyi. b) Memba yüzeyi. Şekil 12. Lineer olmayan analizden elde edilen makimum aal eş gerilme eğrileri. a) Manap yüzeyi. b) Memba yüzeyi. Şekil 13. Lineer olmayan analizden elde edilen minimum aal eş gerilme eğrileri. 3100

17 Yuu CALAYIR, Muhammet KARAON 5. SONUÇLAR Kemer barajların deprem etkii altında lineer analizlerinden elde edilen aal çekme gerilmeleri genellikle betonun çekme dayanımını aşmaktadır. Bu nedenle çatlak, ezilme veya haarın dikkate alındığı beton malzeme modellerinin deprem analizlerinde kullanılmaı gerekir. Bu çalışmada, baraj betonunun lineer olmayan malzeme modeli için elato-platik özelliğe ahip Drucker-Prager yaklaşımı kullanılmıştır. Betonun lineer olmayan malzeme özelliğinin kemer barajların dinamik davranışına etkiini incelemek ve barajda oluşabilecek haar bölgelerini belirlemek amacıyla, baraj-rezervuar ve baraj-temel etkileşimleri dikkate alınarak Karakaya kemer barajının lineer ve lineer olmayan dinamik analizleri yapılmıştır. Euler yaklaşımı kullanılarak problemin onlu eleman modeli kurulmuştur. Sıvı ve temel ortamlarının lineer davranış göterdiği kabul edilmiştir. Dinamik etki olarak, 21 emmuz 1952 at depreminin S69E ivme bileşeni eçilmiş olup, barajın manap-memba doğrultuunda etki ettirilmiştir. Yapılan çözümler aal çekme gerilmelerinin betonun çekme dayanımını aştığını ve bunun onucu olarak barajda haarların oluştuğunu götermiştir. Barajın geometriine bağlı olarak krete yakın orta konol civarında ve eğimin değiştiği yamaç kıımlarında haarlar meydana gelmektedir. Haarlar gerilmelerde yeniden bir dağılıma ebep olmaktadır. Yapılan çalışmadan elde edilen onuçlar ışığında kemer barajların taarım veya yeniden gözden geçirme analizlerinde betonun lineer olmayan davranışını heaba katan malzeme modellerinin kullanılmaı önerilmektedir. SEMBOLLER LİSESİ c : Kohezyon C : Sıvıdaki e hızını p C : Sıvı ortamın önüm matrii [ ] [ C ] : Yapı ortamın ( baraj + temel ) önüm matrii F F { : Akma Kriteri : Yapının dış yük vektörü { F : Sıvı-yapı ve ıvı-temel ara yüzeylerindeki rijit g ivmelenmelerden ötürü ortaya çıkan ıvı yük vektörü { F : Sıvı-yapı ara yüzeyinde ıvı ortamdan yapıya gelen ek dış yük vektörü { F i : Yapının içel kuvvet vektörü g : Yer çekimi ivmei p K : Sıvı ortamın rijitlik matrii [ ] [ K ] : Yapı ortamın ( baraj + temel ) rijitlik matrii p [ M ] : Sıvı ortamın kütle matrii 3101

18 Kemer Barajların Drucker-Prager Yaklaşımı Kullanılarak Lineer Olmayan [ M ] : Yapı ortamın ( baraj + temel ) kütle matrii { N : Baınç değişkeni için eleman şekil onkiyonları vektörü { N : Yer değiştirme değişkeni için eleman şekil onkiyonları matrii n : Sıvı-yapı ara yüzeyindeki ıvı yüzeyi normalini, P : Hidrodinamik baınç P, ii : Hidrodinamik baıncın i değişkenine göre iki kez kımi türevi { P : Hidrodinamik baınç vektörü { P : Hidrodinamik baınç vektörünün zamana göre iki kez kımi türevi q : Sıvı-temel ara yüzeyindeki dalga önümleme katayıı {S : Deviatorik gerilme vektörü x,y,z : Kartezyen koordinatları t : Zaman u z : Sıvı erbet yüzeyinin düşey doğrultudaki yer değiştirmei & u& n : Sıvı-yapı ara yüzeyindeki ıvı yüzey normali doğrultuundaki ivme & u& ng : Sıvı-temel ara yüzeyinde ıvı yüzeyi dış normali doğrultuundaki yer ivmei & : Sıvı-temel ara yüzeyindeki düğüm noktaı yer ivmeleri vektörü { U & bg { U & & : Sıvı-yapı ara yüzeyindeki yapı toplam ivmeleri vektörü { U & : Sıvı-yapı ara yüzeyindeki düğüm noktaı yer ivmeleri vektörü g { U &, { U & ve { U : Yapının ( baraj + temel ) ivme, hız ve yer değiştirme vektörleri φ ρ σ e σ m σ y { σ : İçel ürtünme açıı : Sıvının kütle yoğunluğunu : Eşdeğer gerilme : Ortalama gerilmeyi : Malzemenin akma gerilmei : Gerilme vektörü Kaynaklar [1] Dowling, J. M, Non-linear Analyi o Arch Dam, Earthquake Engineering Reearch Laboratory, Report No: EERL 87-03, Univerity o Caliornia, Berkeley, [2] Manredi, C. G., and Ramaco, R., he ue o Damage Functional in Earthquake Engineering: a Comparion between Dierent Method, Earthquake Engineering and Structural Dynamic, 22(10), ,

19 Yuu CALAYIR, Muhammet KARAON [3] Rajgelj, S., Amadio, C., and Nappi, A., An Internal Variable Approach Applied to the Dynamic Analyi o Elatic-Platic Structural Sytem, Earthquake Engineering and Structural Dynamic, 22(10), , [4] Carvera, M, and, Oliver, J., Seimic Evaluation o Concrete Dam Via Continuum Damage Model, Earthquake Engineering and Structural Dynamic, 24, , [5] Lee, J., and Fenve, G. L., A platic-damage concrete model or earthquake analyi o dam, Earthquake Engineering and Structural Dynamic, 27(9), , [6] Rodriguez, M. E., and Aritizabal, J. C., Evaluation o a eimic damage parameter, Earthquake Engineering and Structural Dynamic, 28(5), , [7] Karaton, M., Kemer Barajların Lineer Olmayan Dinamik Analizi, Y. Lian ezi, Fırat Ünv. Fen Bil. En., Elazığ, [8] Vatani, O. A. ve Dumanoğlu, A. A, Çatlakların Beton Ağırlık Barajların Dinamik Davranışına Etkii, MMOB eknik dergi, Cilt: 8, Sayı: 3, Saya: , em [9] Calayır, Y., Dumanoğlu, A. A. and Bayraktar, A., Earthquake Analyi o Gravity Dam-Reervoir Sytem Uing the Eularian and Lagrangian Approache, Computer and Structure, 59, 5, , [10] Wilon, E. L., and, Khalvalti, M., Finite Element or the Dynamic Analyi o Fluid- Solid Sytem, Int. J. Num. Method Eng., 19, , [11] Wetergard, H. M., Water Preure on Dam During Earthquake, ranaction, ASCE, 98, 1835, , [12] Bangah, M. Y. H., Concrete and Concrete Structure: Numerical Modelling and Application, Middleex Polytechnic Faculty o Engineering, London, Elevier Applied Science, [13] Swanon Analyi Sytem, ANSYS 5.6 Volume heory Uer Manual, Chapter , [14] Zeinkiewicz, O. C., and aylor aylor, R. L., "Finite Element Method", Vol.2, McGraw-Hill, [15] Cook, R. D., Malku, D. S., and Pleha, M. E., Concept and Application o Finite Element Analyi, John Wiley and Son., Singapore, [16] Yang, R., ai, C. S. and Lee, G. C., Procedure or ime-domain Seimic Analye o Concrete Dam, Journal o Engineering Mechanic, ASCE, 122, 2, , [17] Fok, K. L. and Chopra, A. K., Earthquake Analyi o Arch Dam Including Dam-Water Interaction, Reervoir Boundary Aborption and Foundation Flexibility, Earthquake Engineering and Structural Dynamic, 114, ,