KANATÇIKLI ROTORLARDA TİTREŞİM ANALİZİ. Raşit KIRIŞIK DOKTORA TEZİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ EYLÜL 2010 ANKARA

Transkript

1 KANATÇIKLI ROTORLARDA TİTREŞİM ANALİZİ Raşit KIRIŞIK DOKTORA TEZİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ EYLÜL 010 ANKARA

2 iv KANATÇIKLI ROTORLARDA TİTREŞİM ANALİZİ (Doktora Tezi) Raşit KIRIŞIK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Eylül 010 ÖZET Endütride oldukça yaygın uygulama alanı bulan şaft-kanatçık iteminin gerçeğe uygun olarak modellenmei birçok açıdan önem arzetmektedir. Bu çalışmada, enek olarak ele alınan şaft kanatçık itemi birlikte modellenmiştir. Kanatçığın, şaft üzerinde belirli bir konumda olduğu ve şaftın her iki ucunda da enek yataklamanın olduğu kabul edilmiştir. Şaft-kanatçık itemi için geliştirilen matematikel modelde, şimdiye kadar yapılan çalışmalardan farklı olarak yerçekimi, jirokopik ve ekenel şekil değiştirme etkilerinin tamamı birarada dikkate alınmıştır. Bu şekilde bir modellemenin gerçeğe daha yakın olduğu aşikârdır. Sitemin hareket denklemleri Hamilton prenibi yardımıyla birbirine bağlı kımî diferaniyel denklemler biçiminde analitik olarak elde edilmiştir. Daha onra bu denklemler kabul edilebilir modlar yöntemi ile ikinci mertebeden adi diferaniyel denklem takımları haline dönüştürülmüştür. Birbirinden farklı durumlar için şaftın kritik hızları Campbel diyagramı yöntemi kullanılarak belirlenmiştir. Bunlar: yataklama etkiinin olmadığı ve dikkate alındığı durumlar ile yataklama ve kanatçıktan kaynaklanan kuvvetin etkiinin birlikte ele alındığı durumlardır. Belirlenen bu kritik hız değerleri çerçeveinde eçilen örnek hızlar için şaft kanatçık iteminin birbirine bağlı olan denklemlerinin ayıal çözümü Runga-

3 v Kutta yöntemiyle yapılmış ve elde edilen onuçlar grafik olarak unularak tartışılmıştır. Bilim Kodu : Anahtar Kelimeler : Titreşim, şaft titreşimi, kanatçık titreşimi Sayfa Adedi : 147 Tez Yöneticii : Doç.Dr.Şefaatdin YÜKSEL

4 vi VIBRATION ANALYSIS ON BLADED ROTORS (PhD. Thei) Raşit KIRIŞIK GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY September 010 ABSTRACT Realitic modeling of the haft-blade ytem which ha a widepread application in indutrial area i important in many repect. In thi tudy, the haft blade ytem i taken to be flexible and modeled a a whole ytem. It i aumed that the blade i at a certain poition on the haft and flexible bearing are adopted at both end of the haft. In the developed mathematical model for the haft-blade ytem gravity, gyrocopic and axial train effect are all together taken into account different than the tudie o far performed. It i obviou that uch a modeling i more realitic. The equation of motion of the ytem are obtained analytically a coupled partial differential equation by mean of Hamilton principle. Then thee equation are tranformed into econd order ordinary differential equation by uing the aumed mode method. The critical peed of the haft are determined by uing the Campbel diagram method for variou ituation. Thee include the cae with and without the bearing effect and the cae in which effect of the bearing and the force reulting from the blade are taken together into conideration.

5 vii The numerical olution for the coupled equation of the haft-blade ytem are obtained for the ample peed elected in accordance with the determined critical peed via the Runga-Kutta method and the acquired reult are preented graphically and dicued. Science Code : Key Word : Vibration, haft vibration, blade vibration Page Number : 147 Advier : Aoc.Prof.Dr.Şefaatdin YÜKSEL

6 viii TEŞEKKÜR Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkıları için Hocam Doç.Dr.Şefaatdin YÜKSEL e, tecrübeleriyle beni yönlendiren Prof.Dr.Bülent E. PLATİN ile Prof.Dr.Nizami AKTÜRK e ve yardımlarını eirgemeyen Yrd.Doç.Dr.Tuncay KARAÇAY a teşekkürü bir borç bilirim. Tezimi yazarken yaptığı katkılarından dolayı kadim dotum Dr.Yavuz ZÜMRÜT e teşekkür ederim. Ayrıca bana büyük abırla detek veren eşim Mevlüde KIRIŞIK a ve göterdikleri anlayış için oğlum M.Alim ile kızım N.Büşra ya teşekkür ederim.

7 ix İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... iv ABSTRACT... vi TEŞEKKÜR... viii İÇİNDEKİLER.....ix ÇİZELGELERİN LİSTESİ... xii ŞEKİLLERİN LİSTESİ.....xiii SİMGELER VE KISALTMALAR... xvii 1. GİRİŞ ŞAFT KANATÇIK SİSTEMİNİN MATEMATİK MODELİ Şaft - Kanatçık Modeli Dönüşüm Matrii Kanatçık Kanatçığın dönmeden kaynaklanan kinetik enerjii Kanatçığın öteleme kinetik enerjii Kanatçığın potaniyel enerjii Şaft Şaftın Kinetik Enerjii Şaftın potaniyel enerjii Şaft Kanatçık Sitemindeki Kuvvetler ŞAFT KANATÇIK SISTEMININ HAREKET DENKLEMLERI ŞAFT KRITIK HIZLARININ HESAPLANMASI Yatakız Sitem... 51

8 x Sayfa Seri biçiminde kabul edilebilir fonkiyon Ankatre çubuğun özfonkiyonu biçiminde kabul edilebilir fonkiyon Sönümlemei Olan Enek Yataklı Sitem Seri biçiminde kabul edilebilir fonkiyon Ankatre çubuğun özfonkiyonu biçiminde kabul edilebilir fonkiyon Kanatçıktan Etkilenen ve Sönümlemei Olan Enek Yataklı Sitem Seri biçiminde kabul edilebilir fonkiyon Ankatre çubuğun özfonkiyonu biçiminde kabul edilebilir fonkiyon ŞAFT KANATÇIK SİSTEMİNİN SAYISAL ANALİZİ VE DEĞERLENDİRMELER Yatakız Sitemin Analizi d/d Şaft dönme hızındaki analiz d/d Şaft dönme hızındaki analiz d/d Şaft dönme hızındaki analiz Sönümlemei Olan Enek Yataklı Sitemin Analizi d/d Şaft dönme hızındaki analiz d/d Şaft dönme hızındaki analiz d/d Şaft dönme hızındaki analiz Kanatçıktan Etkilenen ve Sönümlemei Olan Enek Yataklı Sitemin Analizi d/d Şaft dönme hızındaki analiz d/d Şaft dönme hızındaki analiz... 11

9 xi d/d Şaft dönme hızındaki analiz Sayfa d/d Şaft dönme hızındaki analiz SONUÇ VE ÖNERILER KAYNAKLAR EKLER 134 EK-1 Şaft kritik hızının campbell diyagramı ile belirlenmei EK- Katayıları zamana bağlı, ikinci mertebe adi diferaniyel denklem takımlarının çözülmei ÖZGEÇMİŞ

10 xii ÇİZELGELERİN LİSTESİ Çizelge Sayfa Çizelge 4.1. Şaft malzeme özellikleri Çizelge 4.. Kanatçığın malzeme özellikleri Çizelge 4.3. Seri fonkiyon kabulündeki yatakız şaftın kritik hızları Çizelge 4.4. Özfonkiyonun birinci modundaki yatakız şaftın kritik hızları Çizelge 4.5. Özfonkiyonun ikinci modundaki yatakız şaftın kritik hızları Çizelge 4.6. Seri fonkiyon kabulündeki yataklı şaftın kritik hızları Çizelge 4.7. Özfonkiyonun birindi modundaki yataklı şaftın kritik hızları... 6 Çizelge 4.8. Özfonkiyonun ikinci modundaki yataklı şaftın kritik hızları Çizelge 4.9. Seri fonkiyon kabulündeki yatak ve kuvvet etkiindeki şaftın kritik hızları Çizelge Özfonkiyonun birinci modundaki yatak ve kuvvet etkiindeki şaftın kritik hızları Çizelge Özfonkiyonun ikinci modundaki yatak ve kuvvet etkiindeki şaftın kritik hızları... 67

11 xiii ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekil Sayfa Şekil.1. Şaft kanatçık modeli Şekil.. Kanatçıkda elatik yerdeğiştirmeler... 1 Şekil.3. Yerdeğiştirmeler ile açı ilişkii Şekil 4.1. Yatak etkiiz durumdaki eri fonkiyon Campbell diyagramı Şekil 4.. Yatak etkiiz durumdaki özfoniyonun birinci modu Campbell diyagramı Şekil 4.3. Yatak etkiiz durumdaki özfonkiyonun ikinci modu Campbell diyagramı Şekil 4.4. Yataklı durumdaki eri fonkiyon Campbell diyagramı Şekil 4.5. Yataklı durumdaki özfonkiyonun birinci modu Campbell diyagramı... 6 Şekil 4.6. Yataklı durumdaki özfonkiyonun ikinci modu Campbell diyagramı Şekil 4.7. Yatak ve kanatçık etkii durumdaki eri fonkiyon Campbell diyagramı Şekil 4.8. Yatak ve kanatçık etkii durumdaki özfonkiyonun birinci modu Campbell diyagramı Şekil 4.9. Yatak ve kanatçık etkii durumdaki özfonkiyonun birinci modu Campbell diyagramı Şekil 5.1. Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde şaft titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil 5.. Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde Kanatçık titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil 5.3. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 600 d/d... 7 Şekil 5.4. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 600 d/d... 73

12 xiv Şekil Sayfa Şekil 5.5. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil 5.6. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil 5.7. Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde şaft titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil 5.8. Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde kanatçık titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil 5.9. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil 5.1. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde şaft titreşimi: Dönme hızı 000 d/d... 8 Şekil Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde kanatçık titreşimi: Dönme hızı 000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 000 d/d Şekil Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde şaft titreşimi: Dönme hızı 600 d/d... 88

13 xv Şekil Sayfa Şekil 5.0. Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde kanatçık titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil 5.1. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil 5.. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil 5.3. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 600 d/d... 9 Şekil 5.4. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil 5.5. Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde şaft titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil 5.6. Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde kanatçık titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil 5.7. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil 5.8. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil 5.9. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde şaft titreşimi: Dönme hızı 000 d/d Şekil 5.3. Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde kanatçık titreşimi: Dönme hızı 000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 000 d/d

14 xvi Şekil Sayfa Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde şaft titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde kanatçık titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil 5.4. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde şaft titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde kanatçık titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 1000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 600 d/d Şekil Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde şaft titreşimi: Dönme hızı 000 d/d

15 xvii Şekil Sayfa Şekil Seri fonkiyon kullanıldığı çözümde kanatçık titreşimi: Dönme hızı 000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 000 d/d Şekil 5.5. Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde birinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 000 d/d... 1 Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda şaft titreşimi: Dönme hızı 000 d/d Şekil Ankatre çubuğun özfonkiyonunun kullanıldığı çözümde ikinci modda kanatçık titreşimi: Dönme hızı 000 d/d... 14

16 xviii SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullanılmış bazı imgeler ve kıaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda unulmuştur. Simgeler Açıklama m m b k S c L b L Ω w v u bx u by β b E θ,φ,ψ ρ ω A I F c Şaftın kütlei, Kanatçığın kütlei. Şaftın yay katayıı, Yatak önüm katayıı, Kanatçık uzunluğu, Şaftın uzunluğu, Şaftın dönme hızı, Şaftın yatay z.ekenindeki yer değiştirmei, Şaftın yatay y.ekenindeki yer değiştirmei, Kanatçığın yatay x.ekenindeki yer değiştirmei, Kanatçığın yatay y.ekenindeki yer değiştirmei, Kanatçığın yatay y.ekenindeki açı, Eneklik modülü, Euler açıları, Yoğunluk, Açıal hız, Keit alanı Alan atalet momenti Şaftın her iki ucundaki yatak önümlemeinden kaynaklanan kuvvet F k Şaftın her iki ucundaki yatak enekliğinden kaynaklanan kuvvet F b F mx Kanatçığın ağırlığından kaynaklanan kuvvet Kanatçığın avrulmaından kaynaklanan kuvveti

17 1 1. GİRİŞ Türbin, kompreör, jeneratör ve içten yanmalı motorlar gibi dönen elemanlara ahip makinalar enek yapıda olduklarından titreşim analizi taarımlarının zorunlu bir parçaı haline gelmiştir. Sözkonuu makinalarda güç ve hareket iletmek amacıyla şaftların oldukça yaygın olarak kullanıldıkları bilinmektedir. Dönme hızlarının artmaı şaftların titreşim analizinde jirokopik etkinin de itemin dinamik davranışına dahil edilmeini gerekli kılmıştır. Şaftların kararız bölgede çalışmamaı için kritik hızlarının ve mod şekillerinin belirlenmei de oldukça önemlidir. Çünkü titreşimin genliği, şaftın dönüş hızının kritik hızına yakın olduğu durumda onuza yaklaşmaktadır, yani rezonan durumu oluşmaktadır. Şaft hızlarının artmaı avrulma orununu beraberinde getirmektedir. Bu orunla bağlantılı olarak geçmişte kritik hızın üzerindeki hızlarda şaftın kararlı çalışamayacağı düşünülmüştür. Ancak şaftın enek olarak ele alınmaı ve jirekopik etkinin analize dahil edilmeiyle birlikte bu düşüncenin yanlış olduğu anlaşılmıştır. Bu bağlamda, enek şafta bağlı rijit dikten kaynaklanan jirekopik etkinin de analize dahil edilmei ile dinamik itemin kritik hızın ütünde naıl davranış götereceği doğru olarak belirlenebilmiştir. Günümüzde, şaft kanatçık problemlerinde çözümün karmaşık olmaı nedeniyle çoğunlukla onlu elemanlar yöntemi tercih edilmektedir. Akışkan ile temaın öz konuu olduğu problemlerin neredeye tamamında onlu elemanlar yöntemi kullanılmaktadır. Şaft kanatçık itemi titreşimin azaltılmaında da önemli bir etkiye ahip olan yataklama ile birlikte ele alınmalıdır. Özellikle dönen şaftın kritik hızının üzerinde yataklamanın titreşime olan etkii daha belirgin olduğundan; çözümde yataklama enek olarak ele alınmalıdır. Bu etkinin modellenmeinde teorik, ayıal ve deneyel olmak üzere literatürde üç farklı yaklaşım mevcuttur.

18 Uygulama alanı oldukça geniş olan dönen şaft konuunda literatürde günümüze kadar birçok çalışma yapılmıştır. Sözkonuu çalışmalarda konu farklı açılardan ele alınarak incelenmiştir. Dönen itemlerin taarımında öncelikle doğal frekanın belirlenmei gereklidir. Behzad ve Batami şaftın dönmeinin şaftın doğal frekanı üzerine olan etkiini incelemişlerdir. Jirokopik etkinin dışında merkezcil kuvvetten kaynaklanan ekenel kuvvetin ve Poion etkiinin de şaftın doğal frekanında değişime neden olduğunu belirtmişlerdir. Ekenel kuvvet ile Poion etkiini jirokopik momentum etkiiyle karşılaştırmış; şaftın boyutlarına ve hızına bağlı olarak aynı mertebede frekan değişimine neden olduklarını vurgulamışlardır. Dikin çapı arttığında jirokopik etkinin de arttığını belirtmişlerdir [1]. McDonald ve Namachchivay çalışmalarında düzenli aralıklarla şaftı tahrik etmek uretiyle jirokopik etkinin item kararlılığına olan etkiini incelemişlerdir. Simetrik Hamilton itemlerinde periyodik tahrikin item dinamiğini etkilemediği onucuna varmışlardır []. Döner itemlerin kararlı bölgede çalışmaı taarım ve işletme şartı olarak itenilmektedir. Bu konuyla ilgili olarak Chen ve Peng şaftın yay abiti ile ekenel bama kuvvetinin kararlılık üzerindeki etkiini araştırmışlardır. Timohenko çubuğunun onlu eleman model yaklaşımını uygulayarak; döner atalet, keme şekil değişimleri, jirokopik moment ve burulma rijitliğini dikkate almışlardır. Yay abiti ve ekenel bama kuvvetinin artmaıyla kritik hızın azaldığını ve kararızlık bölgeinin genişlediğini belirtmişlerdir [3]. Lee ve Yun çalışmalarında yüklerin şiddetlerinin ve uygulama yönlerinin gelişigüzel burulma ve kuvvet altındaki enek rotorların doğal frekanı ile kararlılığı üzerine olan etkilerini incelemişlerdir. Burulmanın uygulama yönünün itemin kararlılığı üzerinde, uygulanan kuvvetin yönünün ie doğal frekanı üzerinde belirgin bir etkiinin olduğu onucuna varmışlardır [4].

19 3 Uygulamada şaft keiti her zaman düzgün olmadığından, değişken keitli şaftlar da diğer bir araştırma konuu olarak literatürde yer almıştır. Koplow ve arkadaşları keit alanı değişen ürekiz çubuğu ele aldıkları çalışmalarında, oluşturdukları analitik modeli deneyel olarak da incelemişlerdir. Çubuğun frekan cevap fonkiyonunu elde etmek için çubuğu iki ucu erbet çubuk olarak modellemişlerdir. Analitik yaklaşımın, deneyel verilerle küçük hatalarla uyuştuğunu vurgulamışlardır [5]. Döner şaftın analizinde detekleme durumuna göre kullanılacak yaklaşım fonkiyonu farklılık götermektedir. Bunda belirleyici olan yataklamanın tipidir. Hoeini ve Kadem çalışmalarında, harmonik dengeleme yöntemi yardımıyla bait menetli doğrual olmayan eğrilik ve atalet değerlerine ahip dönen şaftın kritik hızlarını incelemişlerdir. Kütle atalet momenti, merkezler araı kaçıklık ve harici önümlemenin dönen şaftın ürekli durum cevabı üzerindeki etkiini araştırmışlar, çalışmalarının zayıf doğrual olmayan varayımının uygulanabilir olduğu durumda geçerli olduğunu vurgulamışlardır [6]. Şaftın yanal eğilme ve avrulmaı birçok nedene dayanmaktadır. Bunlardan en önemlii fizikel yapıda kalıcı olan dengeizliktir. Eşzamanlı avrulma, şaftın dönme hızının doğal frekanına eşit olduğunda meydana gelir. Bu durum gelenekel rezonan durumundan farklı olduğundan bait bir önümleyici ile önlenemez. Bu konuda çalışma yapan Whalley şaft-rotor itemini ayrık olarak modellemişdir. Modellemeinde rotoru rijit olarak ele almışdır. Çok değişkenli hiperbolik ve daireel fonkiyonu itemin girdi-çıktı ilişkii olarak elde etmişdir. Gelenekel frekan cevap yöntemini kritik hızın belirlenmeinde kullanmışlardır. Yöntemlerinin genel kullanımının ana hatlarını vurgulamışdır. Sitemin modellenmeinde eri yöntemini kullanmışlar ve erideki terimlerin ayıı arttıkça daha iyi onuçların alınacağını vurgulamışdır. Savrulma hızının belirlenmeinde iyi bir tahmin için az ayıda terimin yeterli olacağını belirtmişdir. Şaftın fizikel özelliklerinin kritik hız üzerinde etkili olduğunu da vurgulamışdır [7].

20 4 Şaftın avrulmaında jirokopik etki önemlidir. Sheu ve Yang farklı bir bakış açııyla yaptıkları çalışmalarında, dönen ataleti ve jirokopik etkileri gözönünde bulunduran Rayleigh çubuk modelini ele almışlardır. Dönen çubuğun avrulma hızını, kritik hızını ve mod biçimlerini farklı ınır şartlarında incelemişlerdir. Sitemin dengelenmemiş cevabını onlu devinim modları ve bu modlara karşılık gelen genelleştirilmiş koordinatlar vaıtaıyla analitik olarak ifade etmişlerdir [8]. Döner şaftların kararızlığına neden olan birçok etken olduğundan yukarıda bahedilmiştir. Bu etkenlerden birii de harici kuvvettir. Harici kuvvet etkii altında şaftın davranışı konuunda araştırma yapan Katz dönen şaftın, ekenel yönde, abit hızda hareket eden ve dönen yüke maruz kalmaı durumundaki dinamik cevabı ile yükek hızlı doğrual yataklamaların dinamik davranışını incelemiştir. Dönen şaftın modellenmeinde Rayleigh çubuk kuramını kullanmıştır. Modal analiz ve integral taşıma yöntemini bait menetli olarak ele alınan şaftın geçici cevabının analitik ifadelerini elde etmek için kullanmıştır. Şaftın şekil değiştirmeinin uygulanan yükün hızı azaldıkça azaldığını vurgulamıştır [9]. Bu konuda Ouyang ve Wang yatay eken boyunca hareket eden üç boyutlu bir yüke maruz kalan döner Timohenko çubuğunun titreşimi için bir dinamik model oluşturmuşlardır. Modellerinde kuvvetin ekenel bileşeninin hareketini dikkate almışlardır. Kabul edilebilir modlar yöntemini kullanarak hareket denklemini elde etmişler ve dördüncü mertebeden Runga-Kutta algoritmaı vaıtaıyla çözüme ulaşmışlardır. Hareketli kuvvetin neden olduğu hareketli moment de dikkate alındığında çubuğun ehiminin arttığını ve yükek frekan bileşenlerinin düşük hızlarda bile oldukça büyük olduğunu vurgulamışlardır. Hareketli kuvvetlerin ehimden dolayı dinamik cevabı değiştirmeine rağmen titreşim şekillerinin birbirine benzer olduğunu belirtmişlerdir [10]. Bir başka çalışmada ie Samantaray rotorların korunumuz dönen kuvvetlerden dolayı kararız hale geleceğini, bu duruma da dönen dahili önümlemenin neden olduğunu vurgulamıştır. Savrulma genliğini analitik olarak item değişkenleri cininden

21 5 elde etmiştir. Rotorun avrulma yörüngei ile tahrik motorunun voltajı araındaki ilişkiyi belirlemiştir [11]. Şaft titreşiminin önemli olduğu uygulama alanlarından biri de petrol ondaj kuyularıdır. Chritoforou ve Yiğit çalışmalarında, ekenel ve eğilme titreşimi için ondaj çubuğunun dinamik bir modelini oluşturmuşlardır. Lagrange yaklaşımını kullanarak elde ettikleri doğrual olmayan hareket ifadelerini zamana bağlı katayılar ile tamamen birbirlerine bağlı hale getirmişlerdir. Modellerinde jirokopik etkileri de dahil etmişlerdir [1]. Dönen şaftın titreşim analizinin zorluğu, birbirinden farklı yaklaşımların kullanımını da beraberinde getirmiştir. Bu yaklaşımlardan birii de döner şaftın ucunda kütle olduğunun kabulüdür. Şaft titreşiminde dik ve uç kütlenin etkiini inceleyen Bambill ve Roit fizikel problemi anlamak ve mekanik durumu düzeltmek için gerçek çözümü elde etmeyi amaçladıkları çalışmalarında, Bernoulli-Euler çubuk modelini ele almışlar, etki eden kuvvetin çubuğa enek olarak bağlanan kütleye uygulandığını varaymışlardır. Ayrıca yapıya etki eden kuvveti inü şeklinde veren bir motorun çubuğa enek olarak bağlandığını kabul etmişlerdir. Çubuk analizlerini farklı ınır şartlarında ve değişik frekan oranlarında yapmışlardır [13]. Başka bir çalışmada, Al-Bedoor ve Almuallam enek kollu, enek bağlantılı ve uç kütlei taşıyan dönel atalete ahip dönen bir itemin dinamik modelini incelemişlerdir. Dinamik modelin değişkenlerinin birbirine bağımlı olduğunu belirtmişler ve enek bağlantının, dönen enek kolun dinamik davranışında ihmal edilmemei gerektiğini vurgulamışlardır. Enek kol ucundaki kütlenin enek şekil değiştirmeyi artırdığı ve alınım frekanını azalttığını belirlemişlerdir [14 ]. Döner şaftlarda, tahrik noktaının belirli bir harekete ahip olacağı muhtemeldir. Dolayııyla, literatürde şaftın bağlantı noktaını da analize dahil eden bazı çalışmalar yapılmıştır. Detek noktaından ekenel harmonik harekete maruz kalan ve ucunda bir kütle olan kalın ankatre çubuğun parametrik cevabı zadeh ve Jalili tarafından incelenmiştir. Dönel ataletin ve keme şekil değiştirmeinin

22 6 etkilerini değerlendirebilmek için Timohenko çubuk modelini kullanmışlardır. Çubuğun ucundaki kütle artırıldığında hemen her zaman kararlı periyodik bölgenin azaldığını vurgulamışlardır [15]. Farklı bir çalışmada, Lin ve arkadaşları Hamilton prenibini kullanarak ucunda kütle olan, kökü elatik olarak ınırlandırılmış, önburulmuş, enine dış kuvvetlere maruz ve abit açıal hızda dönen çubuğun birbirine bağımlı eğilmeini ve eğilme titreşimini incelemişlerdir. Analizlerinde keite ait olarak tanımladıkları y ve z ekenlerindeki genişlik oranı parametreinin arttırılmaı ile doğal frekanın da arttığını götermişlerdir [16]. Diğer bir çalışmada Yükel ve Akoy ucunda kütle olan dönen çubuğun eğilme titreşimlerini farklı taban tahriklerinde incelemişlerdir. Ataletin, uç-kütlenin ve ekenel kıalma ile birlikte ekenel kuvvetin dikkate alındığı Euler-Benoulli çubuğu yaklaşımını kullanmışlardır [17]. Diğer bir çalışmada ie Al-Qaiia ve Al-Bedoor dönen çubuklardaki ekenel kıalmayı modellemişler ve dört farklı model geliştirmişlerdir. Bunlar; potaniyel enerji modeli, kinetik enerji modeli, kinetik ve potaniyel enerji modellerinin birleştirildiği kinetik ve potaniyel enerji modeli ile ekenel kıalmayı dikkate almayan uyumluluk modelleridir. Analizlerinin onucunda, potaniyel enerji modelinin hem dönme hızının hem de titreşim genliğinin etkiinin dikkate alındığı tüm modlarda doğru onuçlar verdiğini götermişlerdir. Kinetik enerji modelinin yükek modlarda kabul edilebilir onuçlar vermediğini, kinetik ve potaniyel enerji modelinin ie düşük genliklerde yanlış onuçlar verdiğini bunun da doğrual kuram ile çeliştiğini ifade etmişlerdir [18]. Parker ve Sathe rijit bir kıkaç ile birbirine bağlanmış enek mil ve enek dikli dönen bir itemin analitik çözümünü elde etmişlerdir. Kıkaç, dik ve mile ait değişkenleri birbirinden bağımız hale getirmişler ve jirokopik etkileri de dikkate alarak analizlerini yapmışlardır [19].

23 7 Yatak önümlemeinin dönen şaftların kararlılığına olan etkii ihmal edilmemei gereken önemli bir olgudur. Bu çerçevede Kang ve Lee yatak önümlemeinin imetrik olmayan dönen şaftların kararlılığına olan etkiini araştırmışlardır. Çalışmalarında imetrik olmayan rijit diklerin etkilerini de dikkate almışlardır. Özdeş yatakların özelliklerinin zamandan bağımız olduğunu varaymışlardır. Diklerin atalet momentleri arttığında kararızlık bölgeinin büyümekte olduğunu ancak kütlelerinin ie kararlılıkta herhangibir etkiinin olmadığını vurgulamışlardır. Şaft ve dikin imetrik hale getirilmei durumunda ie kararızlık bölgeinin azalmakta olduğunu belirlemişlerdir [0]. Huang ve Yang dönen çubuğun uygulamadaki örneklerinden biri olan torna tezgâhındaki iş parçaını Rayleigh çubuğu olarak modellemişlerdir. Çubuk keme kaleminin uyguladığı kuvvetlere maruz kalmakta olup çubuk ekeni ve eğilme yönündeki bu harici kuvvetler tekrarlı veya periyodik olarak hareket etmektedirler. Araştırmacılar çubuğun hareket denklemini Hamilton prenibiyle elde etmişlerdir. Harici kuvvetleri Fourier erii olarak ifade ederek kımı diferaniyel denklemleri Galerkin yöntemiyle ayrık hale getirmişlerdir. Her titreşim modunda, hareket eden ekenel kuvvetin bir kararızlık bölgei oluşturduğunu, diğer taraftan çubuğun eğilmeine bağlı ve çubuk boyunca olan hareketle değişen eğilmeye bağlı kuvvetin ie herbir modda hemen hemen aynı büyüklükte üç önemli kararızlık bölgei meydana getirdiğini belirtmişlerdir. Yükek dönme hızında ve kuvvetlerin hareket hızının düşük olduğu durumlarda kararızlık bölgeinin büyük olduğunu vurgulamışlardır [1]. Hieh ve arkadaşları çalışmalarında, harici burulmaya maruz kalan imetrik rotor-yatak iteminin birbirine bağımlı eğilme ve burulma titreşimlerinin analizini yapmak için tranfer matri yöntemini yeniden düzenlemişlerdir. Euler açılarını şaft ve dikin yönlerini belirlemede kullanarak şaftı Timehenko çubuğu olarak modellemişlerdir. Çalışmalarında onuç olarak da rotor-yatak itemindeki beklenmeyen haarlardan kaçınmak için taarım

24 8 aşamaında harici burulmanın etkiinin dikkatlice ele alınmaı gerektiğini vurgulamışlardır []. Dönen şaftın dinamiğinin kapamlı bir biçimde ele alındığı bir başka çalışmada ie Brown ve Shabana Corioli ve merkezcil kuvveti ile atalet ifadelerini dikkate almışlardır. Enek olarak ele aldıkları itemin genel hareket denklemini elde etmişlerdir. Ekenel ve eğilme şekil değişmeinde dönel ataletin etkiini formüle ederek birbirine bağımlı terimler biçiminde elde etmişlerdir. Dönen şafta deteklemeden dolayı gelen tahriği dikkate almışlar ve dönel atalet ile detek titreşiminin etkiinin klaik yaklaşımla incelenemeyeceğini vurgulamışlardır. Açıal hızın karei ile orantılı olan merkezcil atalet kuvvetlerinin itemin yay katayıını azaltma eğiliminde olduğunu belirtmişler ve Corioli atalet kuvvetlerinin dönen şaftın kararlılığında belirgin bir etkiinin olduğu onucuna varmışlardır [3]. Hoeini ve Khadem doğrual olmadığını varaydıkları eğrilik ve atalete ahip bait menetli dönen şaftın erbet titreşimini incelemişlerdir. Çalışmalarında dönel atalet ile jirekopik etkileri dikkate almışlar ancak keme şekil değişimini ihmal etmişlerdir. İki eğilme düzleminde dönen şaftın doğrual olmayan erbet titreşimlerini tanımlayan ifadeyi elde etmişler ve hareketin kımi diferaniyel denkleminin çözümü için çok ölçekli yöntemi kullanarak ayrık hale getirmişlerdir. Bir düzlem tahrik edildiğinde diğer düzlemde de jirokopik etki nedeniyle alınma olduğunu belirtmişler ve şaftın açıal hızı yönündeki avrulmanın, ter yöndeki avrulmadan daha büyük olduğunu vurgulamışlardır [4]. Şaft-kanatçık itemi literatürde birbirinden oldukça farklı yaklaşımlarla modellenmiş ve analiz edilmiştir. Lin ve Wang çalışmalarında, kökü enek olarak ınırlandırılmış dönen önümlenmiş kanatçığı incelemişlerdir. Akıştan kaynaklanan kuvvet ve momentleri ınır şartlarında dikkate almışlardır. Genel itemin yarı analitik kararlı hal çözümünün elde edilmei için bait ve etkin bir algoritma önermişlerdir. Analizlerinin onucunda ie aşağıdaki bulgulara

25 9 ulaşmışlardır: Tahrik frekanı arttırıldığında; cevapta, ötelemenin, dönmenin ve önümlemenin etkileri artmaktadır. Enlemeine vikoz önümleme katayıı arttırıldığında rezonan frekanı azalmakta, bununla beraber öteleme ve dönme önümleme katayılarının artmaıyla rezonan frekanı artmaktadır. Öteleme ve dönme yay katayıları düşük olduğunda etkileri büyük olmaktadır. Yay katayılarının değerleri arttırıldığında etkileri azalmaktadır. Tahrik faz açıının ilk iki moddaki etkii büyük, ancak üçüncü moddaki etkii ie ihmal edilebilecek mertebededir [5]. Dönen kanatçığın analizinin yapıldığı farklı bir çalışmada Al-Bedoor burulmaya karşı enek yapıdaki şaftın tahrik ettiği dike tutturulmuş olan enek kanatçığın dinamik modelini incelemiştir. Euler-Bernoulli çubuğu için hareket denklemini onlu elemanlar yöntemini kullanarak ve küçük yer değiştirmeler kabulüyle elde etmiştir. Çalışmaında kanatçığın eğilmeinden ve dönmeinden kaynaklanan ekenel kıalmanın etkii ile birlikte yerçekiminin etkiini de dikkate almıştır. Hareket denklemindeki önümleme matriinin doğrual olmadığını ve burulma şekil değiştirmei ile burulma hızına bağlı olduğunu belirtmiştir [6]. Maarati ve Morandini uçak pervanei uygulamaları için çubuk modellenmei üzerine bir inceleme yapmışlardır. Çalışmalarında, yöne bağımlı homojen olmayan keitlerinin, başlangıçtaki burulma ile eğriliğinin ve öngerilimin de heaba katıldığı ratgele şekilli çubuklar için genel doğrual olmayan bir formülayonu incelemişlerdir [7]. Detekleme elemanı olarak kullanılan yatakların önümlemeinin dönen şaftların titreşimi üzerindeki etkii ihmal edilmemei gereken önemli bir olgudur. Konuyla ilgili yapılan araştırmalar da bu huuun önemini açıkça ortaya koymaktadır. Erkaev ve Nagaiteva hidrodinamik yağlamalı ilindirik yataklamalı şaftın, abit dış kuvvet altındaki kararız hareketini tanımlayan aimptotik çözümünü

26 10 elde ettikleri çalışmalarında; şaftın alınım frekanlarını, genliklerini, yörüngelerini ve alınımın önme ürelerini bulmuşlardır [8]. Legrand ve arkadaşları çalışmalarında, iki kıa yatakla deteklenen dönen şaft için doğrual olmayan normal mod yöntemini genelleştirerek uygulamışlardır. Dönen şaftlardaki doğrual olmayan terimlerin hidrolik yataklamanın onucu ortaya çıkan kuvvetlerden kaynaklandığını vurgulamışlardır. Dönen şaftı doğrual çubuk şeklinde ve yataklamayı ie doğrual olmayan detekleme kuvvetini analitik olarak ifade edebilmek için baitleştirilmiş yatak modeli şeklinde ele almışlardır. Şaft-yatak iteminin bireyel doğrual olmayan normal modları oluşturulmak uretiyle doğrual olmayan herbir mod için tek erbetlik dereceli indirgenmiş modeli elde edilmiştir [9]. Yataklamayı farklı bir yaklaşımla modelleyen Han ve arkadaşları ie yatak genişliğinin rotor-yatak iteminin titreşim karakteritiği üzerindeki etkiini araştırmak amacıyla kaymalı yatakları, yayılı yaylar ve önümleyiciler olarak modellemişlerdir. Hidrodinamik kaymalı yataklar için ikinci dereceden bir fonkiyonu şekil fonkiyonu olarak kullanmışlar ve rotor-yatak iteminin titreşim karakteritiğinin analizi için onlu elemanlar yöntemini uygulamışlardır [30]. Bir başka çalışmada, Hirani ve Biwa yük çevrimindeki motorun yataklamaının yay ve önümleme katayılarını heaplamak için bait ve hızlı bir yöntem önermişlerdir. Modellemeleri uzun ve kıa yataklama yaklaşımına dayanmaktadır. Yay ve önümleme katayıları üzerindeki ııl etkiler, baitleştirilmiş ııl bir analizle dikkate alınmıştır [31]. Matematikel modellerin deneyel çalışmalar ile doğrulanmaı oldukça önem taşıyan bir konudur. Bu çalışmalar modeldeki olaı ekikliklerin ve/veya yanlışlıkların belirlenmeinde ve/veya giderilmeinde geri beleme açıından büyük fayda arzederler. Sinou ve Thouverez, çalışmalarında, enek yataklamanın rotor dinamiği üzerindeki etkiini ayıal ve deneyel olarak incelemişlerdir. İki enek yatak ile deteklenen, yatak boyu ve şaft boyunun farklı olduğu üç ayrı deney düzeneği üzerinde çalışmışlardır [3].

27 11 Uzun üreler boyunca çalışan yatakların aşınmaı kaçınılmaz bir durumdur. Papadopoulo ve arkadaşları yataklardaki boşluk için yeni bir tanımlama yöntemi önermişlerdir. Çalışmalarında rotoru, jirokopik etkiyi de dikkate alarak dört erbetlik dereceli onlu elemanlar yöntemiyle modellemişlerdir. Ancak önerdikleri yöntemin deneyel çalışma ile de doğrulanmaı gerektiğini vurgulamışlardır [33]. Yataklamanın dönen şaft üzerindeki kararlılığa olan etkiini araştıran Catro ve arkadaşları çalışmalarında, hidrodinamik yatak ile deteklenen rotorları tanımlamak ve analiz etmek için doğrual modeller ile eşzamanlı cevapların genellikle yeterli olduğunu ifade etmişlerdir. Ayrıca rotor-yatak iteminde avrulmadan dolayı kararızlıkların meydana gelebileceğini belirtmişlerdir. Yağ avrulmaı olarak adlandırılan bu kararızlığın kaymalı yatakların hafif yüklendiği ve şaft açıal hızının da avrulma hızının yarıına yaklaştığı durumda meydana geldiğini vurgulamışlardır. Yağ avrulmaının şaft açıal hızının doğal frekanın yaklaşık iki katında da (birinci kritik hızda) oluştuğunu ve bu durumun şaft hızının arttırılmaında bile devam ettiğini belirtmişlerdir [34]. Kanatçık analizinde modellemenin oldukça önemli olduğu literatürde yapılan araştırmalarla ortaya konulmuştur. Hua ve arkadaşları çalışmalarında, önburulmalı kanatçığın doğrual olmayan gerinim-yerdeğiştirme ilişkiini kabuk teorii kullanarak incelemişlerdir. Kanatçığı dönen ankatre çubuk olarak ele almışlardır. Önburulmalı dönen ankatre konik kabuğun titreşim modeli için anal-iş ilkeini ve Rayleigh-Ritz yöntemini kullanmışlardır. Burulma açıının temel frekan üzerinde azaltma etkiinin olduğunu, fakat açıal hızın artmaıyla temel frekan apmaının büyüdüğünü belirtmişlerdir. Çalışmalarında onuç olarak, kanatçığın bağlandığı göbek ile yaptığı açının ve göbek yarıçapının artmaıyla temel frekanın da artmakta olduğunu belirtmişlerdir. Kanatçığın koniklik oranı ve ayar açıının artmaıyla temel frekanın azaldığını ifade etmişlerdir. Açıal hızdaki artışın temel frekan parametrelerinde artış etkii göterdiğini ortaya koymuşlardır [35].

28 1 Dönen önburulmuş kanatçık konuundaki diğer bir çalışmada, Surace, G. ve arkadaşları kanatçıkların eğilme ve burulma titreşim analizinde yeni bir yaklaşım öne ürmüşlerdir. Araştırmalarındaki integral yaklaşımının Green fonkiyonuna dayandığını ifade etmişlerdir. Yaklaşımlarının turbo makina kanatçıkları, uçak kanatları veya helikopter rotor kanatçıkları için iyi onuçlar verdiğini belirtmişlerdir. Analizlerinde kanatcığı bir ucu kıkaçlı diğer ucu erbet çubuk olarak ele almışlardır. Önburulma yapılmış kanatçığı ucunda kütle olarak modellemek, dönen kanatçığın titreşim davranışını farklı açıdan değerlendirmede yararlı olabileceğini bu durumun helikopter kanatlarının kontrol edilmeinde kullanılabileceğini belirtmişlerdir [36]. Bu konuda çalışma yapan Yoo, H. H. ve arkadaşları noktaal kütleli önburulma yapılmış döner kanat titreşim analizini incelemiştir. Analizlerindeki kanatçığın hareket denklemini, kanatçık üzerindeki noktaal kütlenin konumunun ratgele olduğu durumda elde ettiklerini ifade etmişlerdir. Dönen kanatçığın titreşim karakteritiklerindeki etkileri araştırmışlardır [37]. Farklı modelin ele alındığı bir çalışmada, Baumgart rijit deney dayanağı üzerindeki enek rüzgar türbin kanatçığının matematik modelini oluşturmuş ve deney onuçları ile karşılaştırmıştır. Sonlu elemanlar yöntemini kullandığı analizinde kanatçığın boyu 19 m dir. Modelinin tam analitik olmadığından geliştirilmeye açık olduğunu vurgulamıştır [38]. Kanatçık analizinde farklı malzemelerin kullanılmaı uygulama yerine göre değişebilir. Günümüzde kompozit malzemelerin yaygın kullanım alanının olmaı nedeniyle bu konuda araştırma yapan Lee ve Lin çalışmalarında, kompozit çubuk olarak ele aldıkları rotor kanatçık yapıındaki doğrual olmayan Von Karman gerinim etkiini incelemişlerdir. Doğrual olmayan etkilerin titreşimin düşük modlarında arttığını vurgulamışlardır. Doğrual olmayan etkilerin yükek ivmelenmelerde ortadan kalktığını belirtmişlerdir [39].

29 13 Yenilenebilir enerji kaynağı olarak ele alınan rüzgar enerjiinden yararlanabilmek günümüzde üzerinde durulmaı gereken bir konudur. Bu konuda yapılan çalışmalardan birinde, Laren ve Nielen rüzgar türbin kanadının doğrual olmayan titreşimini incelemişlerdir. Ekenel burulmanın dikkate alındığı çubuğu, Euler-Bernoulli çubuğu olarak ele almışlardır. Çubuğun eğilmeinden ve detek noktaının hareketinden kaynaklanan doğrualızlığı, modellerinde dikkate aldıklarını ifade etmişlerdir [40]. Şaft ve kanatçık titreşimi birlikte ele alınmaı gereken konulardır. Şaftın kanatçık üzerinde kanatçığın da şaft üzerinde etkii vardır. Bu etkileşim matematikel olarak birbirine bağımlı ifadeler biçiminde ortaya çıkmaktadır. Turhan ve Bulut kanatçıkları Euler-Bernoulli çubuk olarak ele aldıkları çalışmalarında, birbirine doğrual bağımlı olan şaft burulmaı ile kanatçık eğilmeini incelemişlerdir. Modellemelerinde onlu elemanlar ve Galerkin yöntemini kullanmışlardır. Oluşturdukları model, şaft üzerinde çoklu rijit dikli enek kanatçıklı itemdir. Oluşturdukları modelin doğrual olmaı nedeniyle gerçek uygulamadaki doğrual olmayan özelliklerin de dahil edildiği bir çalışmanın yapılmaı gerektiğini vurgulamışlardır [41]. Şaft ve kanatçık titreşiminin birlikte ele alındığı başka bir çalışmada, Tomioka ve arkadaşları birbirine bağlı dik-kanatçık iteminin erbet titreşimini Ritz yöntemi kullanarak incelemişlerdir. Dik ve kanatçığın ınır şartları ile ürekliliğinin ağlanmaı için yay varayımını yapmışlardır. Dik ve kanatçık titreşiminde kanatçık ayıı ile dik çapı araında belirli bir ilişkinin olduğunu belirtmişlerdir. Çalışmalarını onlu elemanlar yöntemi ile karşılaştırmışlardır [4]. Kanatçığın uzunluğunun titreşime olan etkiinin analiz edildiği Chiu ve Huang çalışmalarında, kanatçığın uzunluğunun yanlış ayarlanmaı nedeniyle rotor itemindeki şaftın burulmaını, dikin ve kanatçığın eğilmeini incelemişlerdir. Kanatçık boyundaki ayarızlığın adece doğal frekanı değil birbirine bağlı modları da etkilediğini belirtmişlerdir. Bu ayarızlığın her bir

30 14 modun frekanını adece bir yönde doğrual olarak etkilediğini vurgulamışlardır [43]. Bu çalışmada, enek olarak ele alınan şaft kanatçık itemi birlikte modellenmiştir. Kanatçığın, şaft üzerinde belirli bir konumda olduğu ve şaftın her iki ucunda da enek yataklamanın olduğu kabul edilmiştir. Şaft-kanatçık itemi için geliştirilen matematikel modelde, şimdiye kadar yapılan çalışmalardan farklı olarak yerçekimi, jirokopik ve ekenel şekil değiştirme etkilerinin tamamı birarada dikkate alınmıştır. Şaft kanatçık iteminin matematikel modellenmei üç ayrı kıımda ele alınmıştır: Birinci kıımda, şaft ve kanatçık birlikte ve hiçbir dış etkinin olmadığı varayımıyla modellenmiştir. İkinci kıımda, şaft ve kanatçık birlikte ve yataklama etkii dahil edilerek modellenmiştir. Üçüncü kıımda ie, şaft ve kanatçık yine birlikte; hem yataklama etkii hem de kanatçıktan kaynaklanan merkezcil kuvvetin etkii dahil edilerek modellenmiştir. Şaft kanatçık itemine ait hareket denklem takımlarının elde edilmeinde izlenen yol aşağıdaki gibi özetlenebilir: İlk olarak şaftın ve kanatçığın kinetik ve potaniyel enerji ifadeleri elde edilmiştir. Jirokopik, dönme ve öteleme etkileri kinetik enerji ifadeinde, eğilme, ağırlık ve ekenel boy kıalmaından kaynaklanan etkiler ie potaniyel enerji ifadeinde dikkate alınmıştır. Elde edilen bu eşitlikler birbirine bağımlı ifadeler şeklindedir. Şaft ile kanatçığın birlikte ele alınmaı ve bağlantı noktalarının da modelin ınırları içinde kalmaı nedeniyle bağlantı noktalarının ayrıca modellenmeine gerek kalmayacağı açıktır. Daha onra itemin hareket denklemleri Hamilton prenibi yardımıyla birbirine bağlı kımî diferaniyel denklemler biçiminde analitik olarak elde edilmiştir. Şaft, kanatçık ve yatak için en genel haliyle elde edilen bu ifadeler doğrual olmayan terimlerin ihmal edilmeiyle doğrual hale getirilmiş ve

31 15 kabul edilebilir modlar yöntemi ile ikinci mertebeden adi diferaniyel denklem takımları haline dönüştürülmüştür. Birbirinden farklı durumlar için şaftın kritik hızları Campbel diyagramı yöntemi kullanılarak belirlenmiştir. Bunlar; yataklama etkiinin olmadığı ve dikkate alındığı durumlar ile yataklama ve kanatçıktan kaynaklanan kuvvetin etkiinin birlikte ele alındığı durumlardır. Belirlenen bu kritik hız değerleri çerçeveinde eçilen örnek hızlar için şaft kanatçık iteminin birbirine bağlı olan denklemlerinin ayıal çözümü Runga-Kutta yöntemiyle yapılmış ve elde edilen onuçlar grafik olarak unularak tartışılmıştır.

32 16. ŞAFT KANATÇIK SİSTEMİNİN MATEMATİK MODELİ Bu çalışmada şaft kanatçık itemi, enek yataklama üzerinde enek şaft ve kanatçıktan oluşan bir model olarak ele alınmıştır. Şaft ve kanatçığın birbirine bağımlı ve doğrual hareket ettiği kabul edilmiştir. Hamilton prenibi kullanılarak şaft kanatçık iteminin enerji ifadeleri elde edilmiş ve bu ifadeler yardımıyla itemin birbirine bağımlı hareket denklemleri elde edilmiştir. Şaftın ve kanatçığın birbirine bağlandığı noktada titreşim analizi yapılmıştır..1. Şaft - Kanatçık Modeli Şaft kanatçık modeli, Şekil.1 de göterildiği gibi dönen enek şaft üzerinde enek bir kanatçıktan oluşmaktadır. Şekil.1 de şaft ile kanatçığın birbirlerine bağlandığı nokta A noktaı olarak göterilmiştir. Kanatçık üzerinde herhangi bir nokta E olarak verilmiştir. Şekil.1. Şaft kanatçık modeli

33 17 Şaft kanatçık iteminin dinamik analizi için değişik eken itemlerinden yararlanılacaktır. Bunlardan birincii mutlak bir item olduğu kabul edilen XYZ eken takımıdır. İkinci eken takımı ie orijini A noktaında, ekenlerin doğrultuları ie dönen şaftın aal ekenleri doğrultularında olan ve kanatçığın şafta noktaya tebit edilmiş x A y A z A eken takımıdır. İncelemelerde kullanılacak üçüncü bir eken takımı ie orijini kanatçık üzerindeki E ile göterilen tipik bir elemanın kütle merkezine bağlı olup, tatik halde x A, y A, z A ekenleri doğrultuunda olan x E y E z E eken takımıdır. Şekilde görülen hareket durumuna ahip şaft kanatçık iteminde, şaft x A ve y A ekenlerine göre eğilmeye yani enine tireşimlere maruz kaldığı düşünülmüştür. Enek kanatçığın üzerinde E noktaının enek yerdeğiştirmei, x E y E z E eken takımının x A y A z A eken takımına göre yaptığı bağıl hareket yardımı ile elde edilecektir. Yukarıda belirtilen elatik yer değiştirmelere ahip şaft kanatçık itemi; geometrik ınır şartları olarak, item eğilmeye ahiptir. Dinamik ınır şartları olarak ie itemin uç noktalarında eğilme momenti ve burulma momenti ıfırdır. Bu geometrik ve dinamik ınır şartlarına ahip enek şaft kanatçık iteminin titreşimini incelemek için gerekli dinamik denklemler, abit eken takımına göre verilen enek yerdeğiştirmeler birlikte ele alınarak elde edilecektir. Deklemler elde edilirken, eken takımları araındaki dönüşüm matrilerinden yararlanılacaktır... Dönüşüm Matrii Şaft kanatçık iteminin matemetik modelini elde etmek için aşağıda tanımlanan üç dönüşüm matriinden yararlanılacaktır.

34 18 EA (, ) S y t : (, ) SA y t : XYZ (, ) SE y t : XYZ A ekeninin x A ya za O ekeninin O ekeninin A ekenine dönüşüm matriidir. xe ye ze A ekenine dönüşüm matriidir. x A ya za A ekenine dönüşüm matriidir. xe ye ze Bir eken etrafında dönüşüm matriinde hangi ıra ile döndürmenin yapıldığı, onuçta aynı matrii vermeine rağmen önemlidir. Bu durumun nedeni tanımlanan bir noktanın konumu ile ilgilidir. Ara durumlardaki konumlar aynı değildir. xyz ekeni etrafında dinamik item ırayla x,y,z-ekenlerinde α, β ve γ - açıları ile döndüğünde x-ekeni etrafındaki dönüşüm matrii Rx = 0 coα inα 0 inα coα (.1) y-ekeni etrafındaki dönüşüm matrii R y co β 0 in β = in β 0 co β (.) ve z-ekenindeki dönüşüm matrii R z coγ inγ 0 = inγ coγ (.3) biçiminde olur.

35 19 Burada önce x-ekeninde, R x onra y-ekeninde, R daha onra z-ekeni y etrafında dönüşümden, R z oluşan matri RRR x y z co β 0 in β coγ inγ 0 = 0 coα inα inγ co γ 0 0 inα coα in β 0 co β (.4) şeklindedir. Dolayııyla dönüşüm matrii RRR x y z co β co γ 0 in β = in α in β co γ + co α in γ in α in β in γ + co α co γ in α co β co α co γ in β + in α in γ co α in β in γ + in α co γ co α co β (.5) biçiminde olur..3. Kanatçık Şaft-kanatçık probleminde Eş..5 de verilen dönüşüm açılarını matematik modelde kullanılacak açılar cininden tanımlarak α ψ β θ (.6) γ ϕ biçiminde olur.

36 0 O XYZ ekeninin A ekenine dönüşüm matrii olan S (, ) x A ya za A y t matrii S = R R R (.7) A x y z şeklindedir. Burada açıların küçük olduğu dikkate alınıp, in ve ifadeleri kullanılıra S (, ) co 1 A y t dönüşüm matrii S 1 ϕ θ, = ϕ 1 ψ θ ψ 1 ( y t) A (.8) halinde olur. Burada ψ w = = x w v = = v θ x (.9) ϕ =Ω biçimindedir ve Ω ie şaftın dönme hızıdır. A ekeninin x A ya za SEA ( y, t) matrii SA (, ) O halde S (, ) EA A ekenine dönüşüm matrii olarak tanımlanan xe ye ze y t matriine benzer şekildedir. y t dönüşüm matrii S 1 γe βe, = γ 1 α βe αe 1 ( y t) EA E E (.10)

37 1 biçiminde olur ve buradaki yerdeğiştirmeler ile dönüşüm açıları araındaki bağıntı α E u z bz = = u bz β E = β E (.11) γ E u z bx = = ubx şeklinde olur ve atalet ekenine göre durumları Şekil. de göterilmiştir. Şekil.. Kanatçıkda elatik yerdeğiştirmeler Dolayııyla, matrii ie O XYZ ekeninin A ekenine dönüşüm matrii S ( y, t ) xe ye ze E S = S S (.1) E A EA

38 şeklindedir. Açıal hızın atalet ekeni O XYZ herhangi bir noktanın açıal hızı yazılıra e göre heaplanmaı için kanatçık üzerinde w = S S (.13) T E E E biçiminde olur ve burada w E, S E matrii cininden açıal hız matriidir. Eş..1 ile Eş..13 birlikte ele alınıra w E w = S S S S + S S S S (.14) T T T T E A EA EA A A EA EA A şeklinde elde edilir. Eş..14 deki matri çarpımındaki ikinci mertebedeki terimler ihmâl edilire EA T EA [ ] S S = I (.15) olarak elde edilir. Dolayııyla w E açıal hız ifadei w = S S + S S S S (.16) T T T E A A A EA EA A şeklinde olur. Burada

39 3 w = S S T A A A w = S S T EA EA EA (.17) tanımları yapılıra Eş..16 daki açıal hız ifadei w = w + S w S (.18) T E A A EA A biçiminde olur. Burada, w A : Kanatçığın şafta bağlı olduğu noktanın açıal hızıdır. OXYZ eken takımında mutlak w EA :Kanatçığın üzerinde alınan bir elemanın açıal hız vektörüdür. Ax A ya za eken takımına göre.3.1. Kanatçığın dönmeden kaynaklanan kinetik enerjii Hamiton prenibi yardımıyla enek şaft kanatçık iteminin hareket denklemlerini yazabilmek için kinetik enerji ifadelerine ihtiyaç vardır. Kanatçığın enek dönme hareketlerinden kaynaklanan kinetik enerji ifadei ρ L L b ρ rot = A A E + A A E + E 0 0 b b T b T T * ( ) (.19) T w I w dy w S I BV V B V dy biçimindedir.

40 4 Hamilton Prenibinde enerji ifadelerin varyayonunun kullanılmaı gerektiğinden Eş..19 da verilen kinetik enerjinin varyayonunun alınmaı gerekmektedir. O halde kanatçığın kinetik enerjiinin varyayonu, L L ρb ρ Trot = wa I wadye + was AIEBV + V B V dye 0 0 b b T b T T * ( ) (.0) Lb ρb T T T rot ( A) A A ( ) A A ( A) E 0 T = w I w + w I w + w I w dy T T T ( A) A E A ( A) E A A ( E) w S I BV + w S I BV + w S I BV Lb ρ b T T + ( ) ( ) + wsi BV+ wsib V dy 0 T * T * T * + ( V ) B V + V ( B ) V + V B ( V ) A A E A A E E (.1) şeklinde ifade edilebilir. Burada terimler teker teker ele alınıra, T ( wa ) = 0 ( I ) = 0 (.) ( I ) = 0 E ( v ) ( ) 1 Ω v 0 0 ( SA) = 1 w 0 0 w Ω = v w 1 ( v ) ( w ) 0 (.3) ( ) ( ) ( ) ( ) B = S w S w S w P = S w S w S w P (.4) 1 A A 3 A 13 1 A A 3 A 13

41 5 1 3 ( S1) = S11 S1 S 31 ( ) S S S Ω 1 w 0 0 ( w ) = 1 v 0 0 ( v Ω = ) S = S13 S3 S33 S S S = = v w 1 ( v ) ( w ) 0 Ω 1 w 0 0 ( w ) S13 S3 S33 ( S3 ) = S11 S1 S 31 v w 1 ( v ) ( w ) 0 = = Ω v 0 0 ( v ) (.5) biçiminde elde edilir. Kanatçığın kinetik enerjii ifadeindeki ara işlemler yapılıp ve doğrual olmayan terimlerin ihmâl edildiği durumda bu enerji ifadeinin varyayonu,