BÖLÜM SÖNÜMLÜ OLMAYAN ZORLAMALI SALINIM HAREKETİ

Transkript

1 BÖLÜM ZORLAMALI SALINIMLAR ve REZONANS Önceki bölümde sönümsüz ve sönümlü serbest salınım hareketi yapan değişik sistemleri inceledik. Şimdi salınım yapan mekanik sisteme periyodik değişen bir dış kuvvet uygulandığında meydana gelen olayları inceleyeceğiz. Buna bağlı olarak fizikte ve mühendislikte oldukça önemli bir yeri olan rezonans kavramını tartışacağız. Salınım hareketi yapacak şekilde olan bir sisteme periyodik bir dış kuvvet uygulandığında ortaya çıkan harekete zorlamalı salınım denir. Zorlamalı salınım hareketini, (i) sönümlü olmayan zorlamalı salınım hareketi (undamped forced vibrations) ve (ii) sönümlü zorlamalı salınım hareketi (damped forced vibrations) olmak üzere iki başlık altında ele alacağız. Daha sonra LRC elektrik devresine, dışardan frekansı değişebilen güç uygulandığında devrenin davranışını anlamaya çalışacağız. 4. SÖNÜMLÜ OLMAYAN ZORLAMALI SALINIM HAREKEİ Kuvvet sabiti k olan bir yaya m kütleli bir cisim bağlanmış ve sürtünmesiz bir masa üzerinde Şekil-4.1 deki gibi durmaktadır. Şimdi cisme dışardan F cosωt bağıntısı ile tanımlı periyodik bir dış kuvvetin uygulandığını düşünelim. Şekil-4.1 Sönümlü olmayan zorlamalı salınım hareketi. Newton nun.yasası kullanılarak m kütlesinin hareket denklemini yazabiliriz: veya m d x = kx + F cosωt (4.1a) d x + k m x = F m cosωt (4.1b) Burada k m = ω ve F m = f alarak hareket denklemini yeniden d x + ω x = f cosωt (4.) 1

2 formunda yazabiliriz. Bu denklem ikinci derceden, sabit katsayılı, homojen olmayan bir çizgisel diferansiyel denklemdir. Böyle diferansiyel denklemlerin genel çözümü, homojen kısmın çözümü (x h ) ile bir özel çözümün (x p ) toplamı şeklinde verilir (Bunun için Calculus and analytic geometry; George B. homas, Jr. kitabına bakabilirsiniz): x = x h + x p (4.3) Bu durumda (4.) denkleminin homojen kısmının yani d x + ω x = (4.4) denkleminin çözümü için, x h (t) = C 1 cosω t + C sinω t (4.5) yazabileceğini biliyoruz (BHH konusunu işlerken görmüştük). Şimdi (4.) denklemi için özel bir çözüm (x p ) arayacağız. İncelemeyi (i) ω ω ve (ii) ω = ω gibi iki farklı durum için ele alacağız. (i) ω ω durumu için (4.) denkleminin özel çözümü için x p (t) = Acosωt + Bsinωt (4.6) seçebiliriz. Bunun çözüm olabilmesi için (4.) denklemini sağlaması gerekir. x p in t ye göre ikinci türevini hesaplayalım: dx p = Aωsinωt + Bωcosωt (4.7a) d x p = Aω sinωt Bω cosωt = ω (Acosωt + Bsinωt) = ω x p (4.7b) Bu sonucu (4.) denkleminde yerine yazarak x p özel çözümü için d x + ω x = f cosωt ω x p + ω x p = f cosωt x p (ω ω ) = f cosωt sonucunu elde ederiz. x p = f cosωt (4.8) ω ω

3 Bu durumda (4.) denkleminin genel çözümü için yazabiliriz. Başlangıç koşulları olarak x(t) = C 1 cosω t + C sinω t + f cosωt (4.9) ω ω x() = ve dx() seçelim. Bunları (4.9) denkleminde kullanarak C 1 ve C sabitleri için = (4.1) C 1 = f ω ω ve C = (4.11) sonucunu elde ederiz. Bu değerleri (4.9) denkleminde kullanarak genel çözüm için x(t) = f ω ω cosω t + f ω ω cos ωt = f ω ω (cos ωt cosω t) (4.1) yazabiliriz. Burada cosa cosb = sin A+B trigonometrik özdeşliği kullanılarak x(t) çözümü için x(t) = [ f sin ω ω ω ω sin A B (4.13) t] sin ω +ω t (4.14) ifadesini yazmak zor değildir. Bu ifadede yüksek frekanslı sin ω +ω t fonksiyonunun genliği, düşük frekanslı sin ω ω t fonksiyonu tarafından modüle edilir. Bu davranışın vuru (beat) olayı olduğunu biliyorsunuz. Şekil-4. de tipik bir örnek verilmiştir. Şekil-4.. Eşitlik-4.14 ile tanımlı x(t) fonksiyonunun grafiği. Şeklin çiziminde ω = 1 s 1, ω = 11 s 1, f = 1 N/kg alınmıştır. 3

4 (ii) ω = ω durumu için (4.) denkleminin özel çözümü için ise seçeceğiz. Daha öncekine benzer şekilde dx p x p (t) = A 1 tcosω t + A tsinω t (4.15) ve d x p türevlerini alalım, dx p = A 1cosω t + A sinω t A 1 tω sinω t + A tω cosω t d x p = A 1ω sinω t + A ω cosω t A 1 ω sinω t + A ω cosω t A 1 tω cosω t A tω sinω t veya veya d x p = A 1ω sinω t + A ω cosω t ω (A 1 tcosω t + A tsinω t) elde ederiz. Bu değeri d x p = A 1ω sinω t + A ω cosω t ω x p (4.16) d x + ω x = f cosωt denkleminde yerine yazarak (burada ω = ω olduğunu tekrar hatırlatalım) veya A 1 ω sinω t + A ω cosω t ω x p + ω x p = f cosω t A 1 ω sinω t + A ω cosω t = f cosω t (4.17) yazabiliriz. Bu eşitliğin her zaman sağlanabilmesi için A 1 ω = ve A ω = f (4.18) olmalıdır. Buradan A 1 ve A sabitleri için A 1 = ve A = f ω elde edilir. Bu durumda özel çözüm için ifadesini elde ederiz. Genel çözüm için ise yazabiliriz. x p (t) = f ω tsinω t (4.19) x(t) = C 1 cosω t + C sinω t + f ω tsinω t (4.) 4

5 Homojen kısmın çözümünü x h = C 1 cosω t + C sinω t = A cos(ω t + φ) formatında ifade edebiliriz. Burada (4.19 ve 4.) bağıntılarını kullanarak genel çözüm için ifadesini yazmak mümkündür. x(t) = A cos(ω t + φ) + f ω tsinω t (4.1) x h = A cos(ω t + φ) fonksiyonu kararlı salınan bir fonksiyondur. Ancak f ω tsinω t fonksiyonunun genliği( f ω t) zamanla çizgisel (lineer) olarak artmaktadır (Şekil-4.3). Bu fonksiyon zaman ilerledikçe artmaktadır bu nedenle sistemdeki yay daha fazla dayanamayacak ve kırılacaktır (Rezonans durumu). Şekil-4.3 x(t) = A cos(ω t + φ) + f ω tsinω t fonksiyonunun grafiği. f = 1, A = 1, ω =3 ve φ = seçilmiştir. Şimdi ω ω durumu için elde edilen (4.9) eşitliği ile verilen genel çözüm ifadesine yeniden bakalım x(t) = A cos(ω t + φ) + f cosωt (4.3) ω ω Homojen kısmın çözümünün A genliği sabittir. Ancak özel çözümün genliği dış kuvvetin frekansına ( ) bağlı değişir. Bu kısmın genliğini C(ω) = f ω ω (4.4) ile gösterelim. C(ω) nin ω ya göre grafiği Şekil-4.4 de gösterilmiştir. 5

6 Şekil-4.4. C(ω) nin ω ya göre grafiği. C(ω) nin işaretine bakmaksızın = ω durumunda C(ω) nin sonsuz büyük olması durumu ortaya çıkar. Başka bir deyişle eğer sisteme uygulanan periyodik dış kuvvetin frekansı (ω), titreşen sistemin doğal frekansına (ω = k/m) yakın ise, titreşimlerin genliği küçük bir kuvvet uygulanmasıyla oldukça büyük yapılabilir. Salınan sistemde doğal titreşimlerin frekansının periyodik dış kuvvetin frekansına eşit olması durumunda (ω = ω ) genliğin maksimum değere ulaşmasına rezonans olayı denir. Şimdi ω ω durumunda olaya başka a bir yolla yaklaşalım. Yukarıda verilen (4.) eşitliğini tekrar yazalım, Bu denklemin genel çözümü için d x + ω x = f cosωt x = Acos(ωt δ) (4.5) şeklinde bir fonksiyon seçebiliriz. Burada A titreşimin genliği olup her zaman pozitiftir ve titreşim frekansına bağlı olarak değişir A(ω); δ ise uygulanan periyodik dış kuvvet (F cosωt) ile yer değiştirme (x) arasındaki faz farkıdır. Eşitlik (4.5) i ve ikinci türevini (4.) denkleminde yerine koyalım. sonucunu elde ederiz. d x = ω Acos(ωt δ) ω Acos(ωt δ) + ω Acos(ωt δ) = f cosωt trigonometrik özdeşliğinden yararlanarak, cos(a B) = cosacosb ± sinbsina 6

7 veya ω A(cosωt cosδ + sinωt sinδ) + ω A(cosωt cosδ + sinωt sinδ) = f cosωt A(ω ω )cosδ cosωt + A(ω ω )sinδsinωt = f cosωt (4.6) yazılabilir. Bu trigonometrik eşitliğin her an sağlanması için gerek ve yeter koşul A(ω ω )sinδ = A(ω ω )cosδ = f olmasıdır. Bu iki eşitliği birlikte değerlendirdiğimizde (taraf tarafa oranladığımızda) (4.7a) (4.7b) tan δ = (4.8) elde ederiz. Buradan δ faz açısı için δ = veya δ = π sonucu elde edilir. δ =, olduğu durumda, (4.7b) eşitliğinden titreşim genliği için A = A(ω ) = f (ω ω ) (4.9) ifadesi elde edilir. Bu ifadeden de görüldüğü gibi genlik frekansa bağlıdır ve A nın pozitif olabilmesi için ω < ω olmak zorundadır. δ = π, olduğu durumda, (4.7b) eşitliğinden titreşim genliği için f A = (ω ω ) ifadesi elde edilir. A nın pozitif olabilmesi için ω > ω koşulunun sağlanması gerekmektedir.bu durumda sönümsüz zorlamalı hareketin yer değiştirmesi (x) için x(t) = A(ω)cos(ωt δ) ifadesini yazabiliriz. δ =, ω < ω, A = f (ω ω ) δ = π, ω > ω, A = f (ω ω ) (4.3) Şimdi A(ω) = f (ω ω ) genliğinin nın değerine bağlı davranışı için ω için A(ω) f ω = F /m = F ω k ω ω için A(ω) ω için A(ω) yazabiliriz. Bu durumda A(ω) genliğinin ω frekansına bağlı davranışı Şekil-4.5a deki gibi olacaktır. Faz farkı (δ) ise ω = ω değerinde dan ye atlayacaktır (Şekil-4.5b). 7

8 Şekil-4.5 (a). Sönümsüz zoruna salınımların genliğinin periyodik dış kuvvetin frekansına bağlı değişimi. (b). Sönümsüz zoruna salınımların yerdeğiştirmesi ile periyodik dış kuvvet arasındaki faz farkının dışkuvvetin frekansına bağlı değişimi A(ω) nin ω = ω değerinde sonsuz büyük olması durumu ortaya çıkar. Başka bir deyişle sisteme uygulanan periyodik dış kuvvetin frekansı (ω), titreşen sistemin doğal frekansına ( ω = k/m ) yakın ise, titreşimlerin genliği küçük bir kuvvet uygulanmasıyla oldukça büyük yapılabilir. Salınan sistemde doğal titreşimlerin frekansının periyodik dış kuvvetin frekansına eşit olması durumunda (ω = ω ) genliğin maksimum değere ulaşmasına rezonans olayı denir. 4.3 SÖNÜMLÜ ZORLAMALI SALINIM HAREKEİ Daha önce sönümlü salınım hareketi yapan kütle-yay sistemini incelemiştik. Şimdi benzer bir sistemi ele alacağız. Ancak bu kez kütleye F = F cosωt gibi periyodik bir dış kuvvet uygulayacağız (Şekil-4.6). Şekil-4.6 Sönümlü zorlamalı salınım hareketi. Bu sistemin hareket denklemi için m d x dx + b + kx = F cosωt (4.31a) 8

9 yazabiliriz. Bu denklemi yeniden d x veya daha önce yaptığımız gibi yazarak + b m b dx + k m x = F m cosωt m = γ, k m = ω ve F m = f d x dx + γ + ω x = f cosωt formatında yazabiliriz. Bu denklemin homojen kısmının çözümü için (4.31b) (4.31c) (4.31d) d x dx + γ + ω x = (4.3) x h (t) = A e γt cos(ω 1 t φ ) (4.33) ifadesinin verildiğini biliyoruz (Sönümlü harmonik hareket konusunda işlendi). Burada ω 1 = ω γ 4 = k m b 4m (4.34) olduğunu hatırlayalım (Daha önce anlatılan konularda verilmişti, Eşitlik-3.57). Özel çözüm ise f x p = cos(ωt δ ) (4.35) (ω ω ) +γ ω ifadesi ile verilebilir (Özel çözümün elde edilmesi için: Calculus and analytic geometry; George B. homas, Jr. kitabına bakabilirsiniz. Örnek-1 de verilen problemin çözümünü incelemeniz önerilir.). Burada açısı Şekil-4.7 ile tanımlıdır. Bu dik üçgenden Şekil-4.7 Faz sabitinin geometrik temsili. sinδ = γω (ω ω ) +γ ω (4.36a) 9

10 cosδ = ω ω (ω ω ) +γ ω tanδ = γω ω ω (4.36b) (4.36c) ifadelerini yazabiliriz. Bu durumda (4.31d) denkleminin genel çözümü için x(t) = x h (t) + x p (t) x(t) = A e γt cos(ω 1 t φ) GEÇİCİ ÇÖZÜM(bak.3.57) + f (ω ω ) +γ ω cos(ωt δ) KALICI ÇÖZÜM (4.37) yazabiliriz. Burada ω 1 = (ω γ 4 )1/ dir (Eşitlik-3.57 ye tekrar bakınız). Homojen kısmın çözümü x h (t) kısa süre içerisinde söner. Bu nedenle homojen kısmın çözümüne geçici çözüm denir. Özel çözüm x p (t) ise kalıcı çözüm veya kararlı durum (steady state) olarak adlandırılır. Bu nedenle çoğu kez geçici çözümü dikkate almaya gerek kalmaz (Şekil-4.8). Şekil-4.8. Periyodik bir dış kuvvet ile sönümlü salınımın geçiş davranışına bir örnek (Şeklin çiziminde ω = 3 s 1 ; ω = 4 s 1 ; γ = s 1 ; f = N/kg ; δ = ; φ = ve A =, m alınmıştır.) Bu durumda genel çözüm için x(t) = A(ω)cos(ωt δ) (4.38) ifadesini almak yeterli olacaktır. Genel çözümün frekansı uygulanan F = F cosωt dış kuvvetinin frekansı ile aynıdır. Ancak aralarında δ kadar faz farkı vardır. 1

11 A(ω ) genliğini ele alalım: f A(ω) = (4.39) (ω ω ) +γ ω genliğinin minimum olmasının bir önemi yoktur. Fakat maksimum olması sisteme zarar verebilmesi açısından önemlidir. A'nın maksimum olması için paydasının minimum olması gerekir. Burada u = (ω ω ) + γ ω (4.4a) diyelim. du = ve d u > olursa u'nun değeri minimum olur. dω dω du = (ω dω ω )( ω) + γ ω = ω[ 4(ω ω ) + γ ] = Bu denklemin iki çözümü vardır: (i) (ii) ω = için du = olur ancak bu durumun fiziksel karşılığı yoktur. dω 4(ω ω ) + γ = olmalıdır. Buradan ω için (4.4b) ω = ω 1 γ (4.41) elde ederiz. ω nın bu değerinde u nun bir ekstrem değeri vardır. Ancak ω nın bu değerinde u nun minimum olabilmesi için ikinci türevin pozitif olması gerekir( d u dω > ) ω = ω γ değerinde d u dω = 1ω 4ω + γ d u dω = 1 (ω γ ) 4ω + γ = 8ω 4γ = 8 (ω γ ) > olduğunu göstermek zor değildir. Bu durumda ω = ω γ için u'nun değeri minimum ve dolaysıyla A(ω)'nın değeri maksimumdur. ω nın bu değerini (4.4a) denkleminde yerine yazarsak u min = (ω ω + γ ) + γ (ω γ ) = γ4 4 + γ (ω γ ) veya = γ4 4 + γ ω γ4 = γ ω γ4 4 = γ (ω γ 4 ) 11

12 elde ederiz. 1 u min = γ (ω γ ) 4 (4.4) Bu değeri (4.39)'de yerine yazar ve γ = ω Q değeri (A max ) için A max = f u min = sonucunu elde ederiz. f = f γ(ω γ 1 4 ) ω Q (ω 1 4 ifadesini kullanırsak genliğin maksimum = (F m)q 1 ω Q ) ω 1 1 (1 4Q ) Bundan sonra genliği maksimum yapan frekansı ω R ile göstereceğiz. = (F k)q 1 1 (1 4Q ) (4.43) ω R = ω γ = ω 1 1 Q (4.44) Bu ifadeden de anlaşılacağı gibi ω R < ω olacağı açıktır. Burada Q = ω /γ kalite faktörüdür. Periyodik dış kuvvetin ( F = F Cosωt ) etkisi ile titreşim hareketinin genliğinin maksimum olmasına rezonans ve ω R açısal frekansına da rezonans frekansı denir. Genliğin (A) ve faz sabitinin ( ), uygulanan F = F cosωt dış kuvvetinin açısal frekansına bağlı davranışı Şekil-4.9 de verilmiştir. Burada ω max rezonans frekansını (ω R ) göstermektedir. Q 1 olduğunda ω max = ω R ω alınabileceğini tekrar hatırlatalım. Şekil-4.9 (a) Genliğin ve (b) faz sabitinin sürücü kuvvetin frekansına bağlı değişimi. 1

13 Mekanik sistemlerin zarar görmesine neden olacağı için, sistemin uzun süre rezonansta kalması istenmez (Köprülerin yıkılması, binaların zarar görmesi gibi). Bazı durumlarda ise sistemin kısa zaman aralıklarında rezonansa girmesi istenir. Örneğin sağlık alanında çok kullanılan MR görüntüleme cihazlarının çalışma prensibinin temeli "manyetik rezonans olayıdır. Kızıl ötesi spektroskopisinde ise bir molekül üzerine frekansı belirli bir aralıkta değiştirilen elektromanyetik dalgalar (kızıl ötesi ışınlar) gönderilir. Rezonans durumunda, gönderilen elektromanyetik dalganın enerjisini molekülün atomları soğurur. Maddeden geçen dalga şiddetinin azaldığı frekanslar rezonans frekanslarıdır. Bu rezonans frekanslarından hareketle moleküllerin yapısı hakkında bilgi elde edilir. Bu gibi nedenlerden dolayı rezonans kavramının iyi anlaşılması gerekir Sönümlü zorlamalı salınım hareketinin kompleks üstel fonksiyon ile incelenmesi Sönümlü zorlamalı salınım hareketinin denklemi d x dx + γ + ω x = F cosωt m ile verildiğini görmüştük (Eşitlik-4.31d). Bu denklemin çözümü için ise x(t) = A(ω) cos(ωt δ) ifadesini vermiştik (Eşitlik-4.38). A(ω) ve δ 'yi 'nın fonksiyonu olarak elde etmiştik (Eşitlik-4.-6 ve4.- 9 bakınız). Burada Eşitlik-4.31d ile verilen denklemi kompleks gösterimde d z şeklinde yazabiliriz. Bu diferansiyel denklem için ifadesini çözüm olarak kabul edebiliriz. dz + γ + ω z = F m eiωt (4.45) z = A(ω)e i(ωt δ) (4.46) Denklem (4.46) in dz ve d z türevlerini alarak denklem (4.45) de yerine yazarsak, [ ω + iωγ + ω ]A(ω)e i(ωt δ) = F m eiωt elde ederiz. Her iki tarafı e i(ωt δ) 'ye bölerek (ω ω )A(ω) + iωγa(ω) = F m eiδ (4-46) 13

14 elde ederiz. Bu ifade kompleks düzlemde bir vektörle temsil edilebilir (Şekil-4.1). Eşitlik-4.46 yı geometrik olarak yorumlayabiliriz. Bu ifadenin sol tarafı (ω ω )A(ω) uzunluğundaki bir reel (gerçek) vektörün ucuna uzunluğu ωγa(ω) olan imajiner (sanal) vektörün ilave edileceğini söyler. Sağ taraf ise reel eksen ile açısı yapan F uzunluğunda bir vektörün çizileceğini söyler. m Şekil-4.1 Eşitlik-4.46 nın kompleks düzlemde geometrik temsili. (4.46) eşitliğinin sağ tarafını F (cosδ + isinδ) şeklinde yazabiliriz. Bu durumda bu m denklemi (ω ω )A(ω) + iωγa(ω) = F (cosδ + isinδ) (4.47) m şeklinde yazabiliriz. Bu eşitliğin sanal ve gerçek kısımları birbirine eşitlenirse γωa(ω) = F m sinδ (4.48a) (ω ω )A(ω) = F m cosδ elde edilir. Bu eşitlikleri taraf tarafa oranlayarak faz farkı için ifadesini elde ederiz. tan δ(ω) = (4.48b) γω ω ω (4.49) (4.48a) ve (4.48b) eşitliklerinin her iki tarafının kareleri alınıp, taraf tarafa toplanırsa [ (ω ω ) + γ ω ]A (ω) = ( F m ) sonucu elde edilir. Buradan A(ω) genliği için A(ω) = F m [(ω ω ) +γ ω ] 1 (4.5) ifadesini elde ederiz. Bu sonuçları daha önce de türetmiştik. Ancak kompleks formun kullanımının çok daha kolay olduğuna dikkat ediniz. 14

15 4.4 ZORLAMALI SALINIMLARDA GÜÇ SOĞURULMASI Sönümlü salınımlarda, sürtünme kuvvetleri nedeniyle salınım hareketi enerji kaybeder. Sürücü kuvvet kayıp enerjiyi karşılamaya çalışır. Şimdi söndürücü kuvvetin hızla orantılı olduğu (F=-bv) durumu ele alalım. Kalıcı çözümün ifadesi ile verildiğini hatırlayalım. Burada x(t) = A(ω)cos(ωt δ) (4.51) A(ω) = dir. Bu fonksiyon kullanılarak hız için f (ω ω ) +ω γ v = dx = A(ω)ωSin(ωt δ) = v (ω)sin(ωt δ) (4.5) ifadesini elde ederiz. Burada v (ω) = A(ω). ω, v hızının genliğidir. v (ω) için yazılacağı açıktır. Burada (ω ω ) ifadesini biçiminde yazarak v (ω)için verilen ifadeyi f ω v (ω) = (4.53) (ω ω ) +ω γ ω ω = ( ω ω ω ω )(ω ω) (4.54) v (ω) = f ( ω ω ω ω ) ω +γ (4.55) formunda yazılabiliriz. ω iken v (ω) ve ω iken v (ω) dir. ω = ω değerinde payda en küçük değeri alacağından v (ω)değeri maksimumdan geçer ve maksimum değer f /γ ya eşittir. Mekanik derslerinden ani gücün (P) kuvvet ile hızın çarpımı şeklinde verildiğini biliyoruz, buradan ani güç için P(t) = F. v = (bv)v = bv (4.56) ifadesini yazabiliriz. Bu ifadede v hızı yerine (4.5) eşitliğinde verilen değerini yazarsak P(t) gücü için bağıntısını elde ederiz. P(t) = b[ωa(ω)] sin (ωt δ) = b[v (ω)] sin (ωt δ) (4.57) 15

16 Bir periyotluk () süreçte soğrulan ortalama güç bağıntısı kullanılarak hesaplanabilir. t + P (ω) = 1 P(t) (4.58) t P (ω) = 1 t + b [v (ω)] sin (ωt δ) t = b [v (ω)] t + sin (ωt δ) (4.59) t cosa = cos A sin A = 1 sin A => sin A = 1 cosa yararlanarak bağıntısından P (ω) = b [v (ω)] t + [ 1 cos(ωt δ) ] = b [v (ω)] t P (ω) = b[v (ω)] t [ + cos(ωt δ) t ] (4.6) elde edilir. Şimdi b = mγ, f = F m ve v (ω) değerleri ortalama güç ifadesindeki yerine konulursa, sonucu elde edilir Güç rezonans eğrisi P (ω) = ω F γ m[(ω ω ) +ω γ ] (4.61) Ortalama gücün P (ω), 'ya karşı grafiği osilatörün güç rezonans eğrisi (power resonance curve) olarak adlandırılır (Şekil-4.11). Şekil-4.11 Ortalama gücün frekansa bağlı davranışı (Güç-rezonans eğrisi). 16

17 iken P (ω) ve iken P (ω) olduğundan ω = ω iken P (ω) 'nın değeri maksimum olur. Rezonans eğrisinin yarı yükseklikteki ( P (ω)/ ) genişliği ω fwhh ile gösterilir ve önemli bir parametredir (Not: fwhh: frequency wih half height). Bu genişlik uygulanan periyodik dış kuvvete karşı osilasyonun tepkisinin keskinliğinin bir ölçüsüdür. Uygulanan kuvvetin frekansı (ω) rezonans frekansına yakın olduğunda ω ω alınabilir. Bu durumda ω ω = (ω o + ω) (ω o ω) ω o ω ω o ( ω) (4.6) yazabiliriz. Burada ω = ω ω o dir. Bu durumda ortalama güç ifadesi P (ω) = ω F γ = F m[4ω ( ω) +ω γ ] mγ[ 4( ω) ω +1] (4.63) olur. P (ω)'nın maksimum değeri ω = olduğunda (rezonans hali) gerçekleşir. P max = F = F mγ b P (ω )'nın maksimum değerinin yarısına düştüğü P (ω) değerine karşılık gelen ω o ± ω frekansları, eşitliğinden elde edilir. Buradan veya 1 F = F mγ mγ[(4 ω ) γ +1] 4 ω γ + 1 = 4 ω γ = 1 ω = 1 γ (4.64) ω fwhh = ω = γ = ω Q elde edilir ve bu değere rezonans genişliği adı verilir. Q kalite faktörü Q = ω γ = ω ω fwhh = rezonans frekansı yarı yükseklikteki genişlik değerini ortalama güç ifadesinde kullanırsak P (ω) için P (ω) = F mω Q[4( ω ω ) +1 Q ] ifadesini elde ederiz. Bu bağıntı güç-rezonans eğrisinin Q'ya bağlı davranışıdır. P (ω) nin Q ya bağlı davranışı Şekil-4.1 de verilmiştir. (4.65) (4.66) (4.67) 17

18 Şekil-4.1 Güç-rezonans eğrisinin Q kalite faktörüne bağlı davranışı. Bu şekilden de görüldüğü gibi Q büyüdükçe (b azaldıkça), güç-rezonans eğrisi daralmaktadır. Daha önceden tanımlanmış olan sönüm sabitine karşı gelen ω Q değeri dış sürücü kuvvetin yokluğunda sönümlü osilatörün enerjisinin azalması ile ilgilidir. am olarak tanımı ise, enerjinin ilk değerinin 1/e sine düşmesi için geçen zamanın tersidir ( =1/ ). 4.5 SALINIMA ZORLANMIŞ ELEKRİK DEVRESİNDE REZONANS Daha önce kütle-yay sistemi ile seri bağlı RLC devresi arasındaki benzerlikler, zorlayıcı gerilim kullanmaksızın incelenmişti. Bu RLC devresine, bir AC elektromotor kuvvet (emk) kaynağı ekleyelim. Şekil-4.13 de seri bağlı bir RLC devresi gösterilmiştir. Şekil Zorlamalı sönümlü salınım yapan elektrik devresi. Burada devreye Kirchhof un ilmek kuralı uygulanarak veya L di + q C + ir = V cosωt (4.68a) 18

19 L d q dq + R + q = V C cosωt yazılabilir. Eşitliğin her iki tarafını L ye bölerek d q + R dq + q = V cosωt L LC L (4.68b) (4.68c) yazılır. Burada alarak ω = 1 LC ve γ = R L (4.68d) d q dq + γ + ω q = V L cosωt (4.69) yazabiliriz. Kütle-yay sisteminde salınıma zorlanan sönümlü hareketin denklemini tekrar yazalım. d x dx + γ + ω x = F m cosωt (4.7) Bu iki denklem (4.69 ve 4.7) matematiksel olarak aynı formdadır. Bu nedenle daha önceki çözümlerin benzerini burada da yazabiliriz. Bu iki denklemin karşılaştırılmasından ω = 1, γ = R,Q = ω = 1 LC L γ R L olduğuna dikkat ediniz. C Bu durumda (4.69) denkleminin kalıcı çözümü için yazabiliriz. Burada q (ω) için veya elde ederiz. Devreden geçen i akımı için ise yazılabilir. q = q (ω)cos (ωt δ) (4.71) q (ω) = q (ω) = V /L (4.7a) [(ω ω ) +(ωr L) ] 1/ V ω[r +(1/ωC ωl) ] 1/ i = dq = q (ω) ω sin(ωt δ) = 1 Lω = veya ω = ω ωc = 1 LC V [( 1 ωc ωl) +R ] 1 koşulunda akım maksimum olur. Başka bir deyişle akımın maksimum değeri (genliği) için (4.7b) sin (ωt δ ) (4.73) 19

20 yazabiliriz. I (ω) max = V R Kapasitörün uçları arasındaki gerilim farkının (V c ) V C = q c = V C(ω) cos (ωt δ ) (4.74) (4.75a) ifadesi ile verileceğini biliyoruz. Burada V C (ω) = V /LC [(ω ω) +( Rω L ) ] 1/ (4.75b) dir. ω = ω olduğunda V C (ω) ni değeri maksimum olur V c (ω ) = V = V = V = 1 Rω C R 1 lc C R 1 lc C R L V C = QV (4.76) Burada Q kalite faktörüdür (Elektrik yükü küçük q harfi ile gösterilmiştir). Bu sonuç RLC devresinin, rezonans durumunda, uygulanan AC voltaj değerini Q kalite faktörü kadar yükselttiğini söyler.

21 ÖRNEK-1 d x + γ dx + ω x = f cosωt (1) homojen olmayan çizgisel diferansiyel denklemini sağlayan bir özel çözüm bulunuz. Çözüm: x p = Acosωt + Bsinωt Şeklinde bir çözüm seçelim. Bu fonksiyonun ikinci türevini hesaplayıp yukarıdaki (1) denkleminde yerine yazalım: dx p = Aωsinωt + Bωcosωt d x p = Aω cosωt Bω sinωt = ω x p ω x p + γ dx p + ω x p = f cosωt γ dx p +(ω ω )x p = f cosωt veya dx p + (ω ω ) γ x p = f γ cosωt yazabiliriz. Burada P = (ω ω ) γ ve Q = f cosωt alarak γ dx p + Px p = Q () elde ederiz. Bu denklemin birinci dereceden çizgisel denklem olduğuna dikkat ediniz. Bu denklemi çözmenin bir yöntemi, öyle bir ρ = ρ(t) fonksiyonu bulmaktır ki, denklem ρ ile çarpıldığında sol taraf ρt çarpımının türevi biçimine dönüşsün. Yani () denklemini ρ ile çarparak 1

22 ρ dx p + ρpx p = ρq yazar ve ρ üzerine ρ dx p + ρpx p = d (ρx p) (3) koşulunu koymaya çalışırız. (3) ün sağ tarafını açıp terimleri sadeleştirdiğimizde ρ dx p + ρpx p = dρ x p + ρ dx p Buradan ρ nun sağlaması gerekli koşul olarak veya dρ x p = ρpx p dρ = ρp (4) elde ederiz. Bu denklem değişkenlerine ayrılabilen bir denklemdir. Buradan dρ ρ = P yazabiliriz. Bu denklemin çözümü için Lnρ = P + LnC yazabiliriz. Buradan ρ = Ce P yazılabileceği açıktır. Keyfi olarak C=1 seçebiliriz. Bu durumda ρ = e P alınabilir. Bu fonksiyona () denkleminin integral çarpanı denir. Bu durumda ve d(ρx p ) = ρq ρx p = ρq + C Burada C=1 alınarak ρ = e P = e (ω ω ) γ (ω ω ) t = e γ yazılabilir. Ayrıca (ω ω ) γ e (ω ω ) (ω t ω ) t f γ xp = e γ γ cosωt = a kısaltması yapılarak e at x p = f γ eat cosωt

23 yazılır. Burada u = e at ve dv = cosωt alınır ve udv = uv vdu kısmi integrasyon yöntemi uygulanırsa e at x p = f γ eat cosωt = f acosωt + ωsinωt [eat γ a + ω ] sonucu yazılabilir (Calculus and analytic geometry; George B. homas, Jr. Kitabına bakabilirsiniz). Bu ifadeden elde edilir. Burada a = (ω ω ) γ x p = f γ [acosωt + ωsinωt a + ω ] değeri yerine yazılır ve gerekli ara işlemler yapılırsa f x p = (ω ω ) + ω γ [ ω ω (ω ω ) + ω γ cosωt + elde edilir. Aşağıdaki dik üçgenden ωγ (ω ω ) + ω γ sinωt] ω ω cosφ = (ω ω ) + ω γ ωγ sinφ = (ω ω ) + ω γ yazılabilir. Bu değerler kullanılarak yukarıdaki ifade veya f x p = [cosφcosωt + sinφsinωt] (ω ω ) + ω γ f x p = [cos(ωt φ)] (ω ω ) + ω γ 3

24 sonucu elde edilir. Bu sonuç (1) denklemi için bir özel çözümdür. Konu anlatımında bu sonucu kullandığımızı hatırlayınız. ÖRNEK- Periyodik dış kuvvet F sinωt şeklinde olursa, zoruna salınımlı osilatörün kararlı hal çözümünün (Kalıcı çözüm, x p özel çözümü) nasıl olacağını bulunuz. (French-p4.) Çözüm: Örnek-1 de zorlamalı dış kuvvet F cosωt şeklinde olduğunda x p özel çözümünü elde etmiştik. Dış kuvvet F sinωt şeklinde olursa daha önceki problemde karşımıza çıkan e at cosωt integrali yerine e at sinωt integrali gelecektir. Bu integralin çözümü de benzer şekilde yapılırsa e at sinωt = 1 a + ω eax [asinωt ωcosωt] olduğunu göstermek zor değildir. Bu sonucu örnek-1 deki yerine yazarsanız x p özel çözümü için sonucunu elde edersiniz. f x p = [sin(ωt φ)] (ω ω ) + ω γ ÖRNEK-3 Kütlesi, kg olan bir cisim kuvvet sabiti k=8 N/m olan bir yaya asılıdır. Cisim bv şeklinde bir sönüm kuvvetine maruz kalmaktadır. Burada v hız (m/s cinsinden) ve b=4 Nm -1 s sönüm sabitidir. a) Sistemin serbest salınımlarının diferansiyel denklemini yazınız. Salınımların periyodunu bulunuz. b) Sistem, F(t) = F sinωt, F = N,ve ω = 3 s 1 olan sinüzoidal bir dış kuvvete maruz kaldığı zaman kararlı halde zoruna salınımın genliği nedir? (French-p4.3) 4

25 Çözüm: a) Sönümlü harmonik hareketin diferansiyel denkleminin d x + b dx m + k m x = olduğunu biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız). m =, kg, k = 8 N/m, b = 4 Nm 1 s değerlerini kullanarak hareket denklemi için yazabiliriz. d x dx + + 4x = ω = ω (γ/) = k/m b 4m = π = k/m b 4m π 4 1 = b) Zorlamalı sönümlü hareketin karalı durumunun genliği için yazabiliriz. A = A = F /m (ω ω ) + ω γ = /, (4 9) + ( 4, ) 9,13 m = 1,3 cm = A 1,3 cm F /m π 3 = (k/m ω ) + b m ω π ( 5) + () 9 = 1 61x1 4 s ÖRNEK-4 Yatay bir zemin üzerinde yer alan m kütleli bir blok, bir ucu duvara tutturulmuş yatay duran bir yayın ucuna bağlanmıştır. Sistem aynı zamanda bir viskoz mekanizması altındadır. Bu sistem için aşağıdaki gözlemler tespit edilmiştir. 1) Eğer blok yatay ve mg ye eşit bir kuvvetle itilirse yayın statik sıkışması h ye eşit olmaktadır. ) Eğer blok belli bir u hızı ile hareket ederse viskoz sürtünme kuvveti mg olmaktadır. 5

26 a) Komple sistemde (yay ve viskoz sönüm mekanizması ) kütlenin yatay titreşimlerinin diferansiyel denklemini, m, g, h ve u cinsinden yazınız. u = 3 gh durumu için aşağıdaki soruları yanıtlayınız. b) Sönümlü titreşimlerin açısal frekansı nedir? c) Enerjinin1/e değerine düşmesi için geçen zamanı h/g ifadesine bağlı olarak bulunuz. d) Bu osilatörün Q değeri nedir? e) Osilatör t= da durgun iken +x yönünde hareket eden kütlesi ihmal edilebilen ancak momentumu ihmal edilemeyen bir mermi tarafından harekete geçiriliyor. Kararlı haldeen sonra herhangi bir t anındaki yer değiştirmeyi veren x = Ae γt cos(ωt δ) ifadesinde verilen δ faz sabitinin değerini bulunuz. f) Eğer sistem mgcosωt ile verilen bir dış kuvvetle sürülürse ( Burada ω = g/h dir) sistemin kararlı halinin genliği nedir? (French-p4.4) Çözüm: Sözü edilen sistemi aşağıdaki şekilde temsil edebiliriz. a) 1. Gözlemden mg = kh k m = g h. gözlemden bu = mg b m = g u elde edilir. elde edilir. Sönümlü harmonik hareketin diferansiyel denkleminin d x + b m dx + k m x = olduğunu biliyorsunuz. 1. Ve. Gözlemlerden elde edilen sonuçları kullanarak hareketin diferansiyel denklemi için ifadesini yazabiliriz. d x + g u dx + g h x = 6

27 b) Sönümlü hareketin frekansını ω s ile gösterirsek ω s = ω b 4m = g h g 4u u = 3 gh olarak veriliyor, bunu yerine yazarak elde edilir. ω s = g h g 4u = ω s = g h g 36gh = g h g 36h = 35 g 36 h c) Enerjinin zamanla değişiminin E = E e γt ifadesi ile verildiğini biliyorsunuz. Buradan enerjinin 1/e sine düşmesi için geçen zaman E = E e e γt t = 1 = 1 = 1 = u = 3 gh = 3 h γ b/m g/u g g g elde edilir. d) Sistemin Q kalite faktörünün Q = ω ile verildiğini biliyorsunuz. γ ω = k/m = g/h ve γ = b = g = 1 m u 3 g değerlerini kullanarak h bulunur. g Q = ω γ = h = g h e) Zorlamalı sönümlü hareketin kararlı hal çözümü x = A(ω) cos(ωt δ) ifadesi ile veriliyor. t = anında x = olduğu veriliyor. Bu durumda = ACos( δ) cosδ = δ = π/ bulunur. f) Zorlamalı sönümlü hareketin kararlı hal çözümünün genliğinin F /m A = (ω ω ) + ω γ ifadesi ile verildiğini biliyorsunuz. Burada F sürücü kuvvetin genliğidir. Sürücü kuvvet olarak F = mgcosωt verildiğine göre F = mg yazabiliriz. Burada daha önce elde ettiğimiz F = mg, ω = g h,ω = g h, γ = 1 9 g h değerlerini kullanarak A genliği için 7

28 A = elde edilir. F /m (ω ω ) + ω γ = mg/m ( g h g h ) + g h = 3h 11,9h A,9h = 1 g 9 h g g h + 9 g h g = 11 9 = g h g 1 g 3 h 11 ÖRNEK-5 m =, kg, b = 4 Nm 1 s ve k = 8 N/m değerlerine sahip bir sönümlü osilatör göz önüne alınız. Bu osilatörün F(t) = F cosωt (F = N, ω = 3 s 1 ) şeklinde bir dış sürücü kuvvetin etkisinde olduğunu farz ediniz. a) x = Acos(ωt δ) ile tanımlanan kararlı halin δ ve A değerlerini bulunuz. b) Bir salınımda sönüm kuvvetine karşı ne kadarlık enerji harcanır? c) Ortalama güç girdisi nedir? (French-p4.11) Çözüm: Zorlamalı sönümlü harmonik hareketin kararlı durum genliği ifadesi ile ve faz sabiti ise A = f [(ω ω ) + γ ω ] 1 tan δ = γω ω ω ile verildiğini biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız). f = F = = 1, ω m, = k = 8 = 4 m, s, ω = 9 s, γ = b = 4 = s 1 m, Bu değerler kullanılarak A = tan δ = f [(ω ω ) 1 = 1 + γ ω ] [4 9) + 4x9] 1 = 1 [5x x1 4 ] 1 = γω = ω ω 1,3x1 m = 1,3 cm x3 4 9 = 6 =,1 δ = 13 5 b) Mekanikte güç için P = F. v ifadesini yazacağımızı biliyoruz. Sönüm kuvvetine (F=bv) karşı harcanan güç için veya P = F. v = (bv). v = bv 8

29 yazabiliriz. Buradan yazılır. P = dw = bv dw = bv x = Acos(ωt δ) v = dx = Aωsin (ωt δ) olduğundan dw = bv = ba ω sin (ωt δ) Bir periyotluk sürede () harcanan enerji için W = ba ω sin (ωt δ) = ba ω sin (ωt δ) = 1 ba ω = 1 ba ωω = 1 ba ω π = ba ωπ W = ba ωπ = 4x(1,3x1 ) x3x3,14,64 joule c) Ortalama güç girdisi için P ort = P = 1 (F cosωt)v = F Aω = F Aω = F Aω = F Aω = F Aω = F Aω = F Aω 1 = F cosωtsin (ωt δ) (cosωt)aωsin (ωt δ) cosωt[sinωtcosδ cosωtsinδ]) [cosωtsinωtcosδ cosωtcosωtsinδ]) [1 sinωtcosδ cos ωtsinδ] [1 sinωtcosδ 1 (1 + cosωt)sinδ] [1 [1 cosδ sinωt cosδ sinωt sinδ cosωt] 1 1 sinδ (1 + cosωt)] sinδ 9

30 sinωt = ve cosωt = olduğundan P ort = 1 ωaf sinδ ifadesini yazabiliriz. Verilen ve bulunan değerler burada kullanılırsa bulunur. P = P ort = 1 3x1,3x1 xsin13,3 watt ÖRNEK-6 Aşağıdaki grafik, F(t) = F cosωt kuvveti ile sürülen bir mekaniksel sistemin güçrezonans eğrisini göstermektedir. F sabit, ω ise değişkendir. a) Bu sistemin Q ve ω değerlerini bulunuz. b) Dış kuvvetin etkisi yok edilirse, kaç salınım sonunda sistemin enerjisi ilk değerinin 1 e 5 ine düşer ( e,718 ve iyi bir yaklaşımla serbest salınımların periyodu π ω olarak alınabilir). (French-p4.13) Çözüm: a) ω = 4 s 1, γ = = s 1 Q = ω γ b) Sönümlü hareketin genliği için = 4 = A = A e γ t ifadesini yazabiliriz. Sistemin mekanik enerjisi için ise E = 1 ka yazıldığını biliyoruz. Buradan E = 1 ka = 1 ka e γt = E e γt 3

31 yazılır. E = E e e γt e 5 = e γt γt = 5 t = 5 = 5 =,5 s 5 γ = π = π ω 4 yukarıda bulunan t süresi içindeki periyot sayısı (n) için n = t =,5 π = 1 16 π 4 bulunur yani sistem,5 s süresince yaklaşık 16 salınım yapar. ÖRNEK-7 Yatay düzlemde kütlesi,15 kg olan bir blok, kuvvet sabiti k=,9 N/m olan bir yayın ucuna bağlıdır. Sisteme sürtünmeler nedeniyle hız ile orantılı bir sönüm kuvveti etkimektedir. Sönüm sabiti b=, kg/s dir. Bu sisteme F(t) = F cosωt ile verilen bir harmonik dış kuvvet etki ettiriliyor. Burada F = 3, N dır. a) Rezonans frekansını (ω R ) hesaplayınız. b) Rezonans durumunda kararlı durumun genliğini hesaplayınız. c) Rezonans durumunda sürücü dış kuvvetin sisteme uyguladığı ortlama gücü hesaplayınız. d) Hızın rezonansta olduğu frekansta, dış kuvvetin sisteme uyguladığı gücü hesaplayınız. e) c ve d şıklarında bulduğunuz değerleri karşılaştırın. Çözüm: Genlik rezonans frekensının ω R = ω γ ifadesi ile verildiğini biliyoruz (Ders notlarına bakınız). Verilen m =,15 kg, k =,9 N/m değerleri kullanılarak ω = k m =,9,15 = 6 s ve γ = b m =,,15 = 4 3 s 1 elde edilir. Bu sonuçlar kullanılarak ω R frekansı için 31

32 bulunur. bulunur. ω R = ω γ = = = 46,6 s 1 3 b) Rezonans durumda genlik için F A = m [(ω ω R ) + γ ω R ] 1 = 3,,15 [(6 (,6) ) + ( ) (,6) ] c) Sürücü kuvvet tarafından sisteme aktarılan ortalama gücün (P ort ) x = ω F γ m[(ω ω ) + ω γ ] ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Bu ifade yeniden düzenlenerek veya veya yazılabilir. Buradan (P ort ) x = 1 ω γm [ (P ort ) x = 1 bω [ F /m [(ω ω ) + ω γ ] 1/] F m [(ω ω ) + ω γ ] (P ort ) x = 1 bω A = = 6,33 m 3,16 1 ] bulunur. (P ort ) x = 1 ω A = 1 x,x(,6) x(6.33) =,5 watt d) Kararlı durumda uzanımın x(t) = Acos(ωt δ) ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Buradan hız için v = dx yazabiliriz. Hızın genliği (v ) için ise v = Aω = = Aωsin(ωt δ) f ω [(ω ω ) + ω γ ] 1 ifadesinin yazılacağı açıktır. Hızın rezonansta olduğu frekans değerini hesaplamak gerekecek. Yani hızın genliğini maksimum yapacak frekans değerini bulacağız. 3

33 dv dω = f [(ω ω ) + ω γ ]1 1 f ω [(ω ω ) + ω γ ] 1 [γ ω 4ω(ω ω )] (ω ω ) = + ω γ Buradan f [(ω ω ) 1 + ω γ 1 ] f ω [(ω ω ) + ω γ ] 1 [γ ω 4ω(ω ω )] = [(ω ω ) + γ ω ] 1 ω [γ 4(ω ω )] = (ω ω ) + γ ω γ ω + ω (ω ω ) = (ω ω ) +(ω ω ) = (ω ω )(ω ω + ω ) = (ω ω )(ω + ω ) = Buradan ω = ω olması gerektiği anlaşılır. Başka bir deyişle hızın rezonansta olduğu frekans ω vr = ω dır. Bu frekansta aktarılan güç (P ort ) v = 1 bω A v Burada A v için A nın ω = ω daki değerin alınacağına dikkat edelim. A v = f [(ω (ω )) + γ ω ] 1 = f = F γω bω (P ort ) v = 1 bω A v = 1 bω F b ω = 1 F b = 1 x 9, =,5 watt e) Burada (P ort ) v > (P ort ) x olduğuna dikkat ediniz. Bu sonuç sadece bu özel problem için geçerli değildir. Yani güç aktarımı, hızın rezonansta olduğu frekansta, maksimum olur. 33

34 ÖRNEK-8 Kütlesi m =,1 kg olan bir blok kuvvet sabiti k = 4 N/m olan yayın ucuna bağlıdır. Bu sistem sönüm sabiti b =,1 kg/s olan bir kuvvetin etkisindedir. a) Bu kütleyi x = denge konumundan x = 15 cm noktasına getirecek sabit F 1 kuvvetinin değerini bulunuz. b) Sisteme genliği F ve frekansı ω olan F(t) = F cosωt sürücü dış kuvveti uygulanıyor. Hız rezonansı durumunda kararlı durum hareketinin genliğinin A = 15 cm olması için sürücü kuvvetin genliği olan F nin değeri ne olmalıdır? Çözüm: Veriler m =,1 kg, k = 4 N m, b =,1 kg s ω = k m = 4,1 = 4 s ω = s 1, γ = b m =,1,1 = 1 s 1 a) F 1 = kx = 4x,15 = 6 N b) Kararlı durum çözümünün x p = Acos(ωt φ) bağıntısı ile verildiğini biliyorsunuz. Burada A için A = F m [(ω ω ) + γ ω ] 1 yazabiliriz. Sürücü kuvvet F(t) = F cosωt şeklinde verildiği için F = F olur. Hız rezonansı durumunda ω = ω olduğunu biliyoruz (Örnek-7 ye bakınız). Bu durumda A = F m = [(ω ω ) +γ ω ] 1 F m b m ω = F bω F = Abω =,15x,1x =,3 N Statik F 1 = 6 N luk kuvvet yayı 15 cm geriyor. Buna karşı sisteme F(t) =,3cosωt şeklinde harmonik bir kuvvet uygulandığında, kuvvetin frekansı ω = ω olduğunda, yay 15 cm gerilebiliyor. Ancak harmonik dış kuvvetin genliğinin,3 N olduğuna dikkat ediniz. Kuvvetler oranı için F =,3 = 1 yazabiliriz. Başka bir deyişle, hız F 1 6 rezonansı durumunda, genliği küçük harmonik bir kuvvetle yayı uzatmak daha kolay olmaktadır. 34