- PDF Free Download

Transkript

1 Bölüm 1 MANTIK ve MATEMAT K Okuma Parças 1.1 ÇA LARI A AN MATEMAT K Mantk tarihine ksa bir bak³ Tümel bir önermeden tikel önerme çkarl³n sa layan yordama usavurma diyoruz. Mantk (usbilim-lojik) usavurma kurallarn konu edinir. Ba³ka bir deyi³le, mantk tümdengelim yöntemlerini inceler. De i³ik kaynaklarda baz nüans farkllklaryla, usavurmaya akl yürütme, tasm (kyas), dedüksiyon, çkarm, vb adlar verilir. [27], [28], [30] Antikça MÖ 8.yy dan ba³layp MS 5.yy da sona eren zaman dilimi içinde eski Yunan ve Roma kültürlerini içine alan felsefeye antikça felsefesi denilir. Buna eski Yunan felsefesi de denmektedir. Bu dönemde uzakdo u, Hint, Msr, Sümer, Akad, Babil, Asur, Hitit, Fenike, srail, Pers, Kartaca vb birçok kültürler daha vardr. Bunlar da içine alan felsefeye ilkça felsefesi denilir. Hemen her olguda oldu u gibi, do ru dü³ünme kurallarnn ortaya çkmas da tarih içinde bir geli³im, bir evrim geçirmi³tir. Buna bir ba³langç noktas seçilemez. Üstelik felsefe ile mant n ayrld tarih çizgisi belirlenemez. Eski Yunan felsefesinin önemli adlar arasnda Parmenides (M.Ö.500), Zeno (M.Ö ), Socrates (M.Ö ), Platon (M.Ö ) ve Aristotles(M.Ö ) anlmaldr. Aristotles, mantk biliminin do mas ve geli³mesinde en etkili olan addr. Kendi zamanna kadar ortaya çkan usavurma kurallarn Aristotles sistemle³tirdi. Organon (alet) adl yaptnda 14 syllogism (usavurma kural) ortaya koydu. Bu kurallar bu günkü iki-de erli mant n temelidir. Bu kurallar,

2 2 BÖLÜM 1. MANTIK VE MATEMAT K yl a³kn bir zaman dilimi içinde insano lunun dü³ünme ve do ruyu bulma eylemini etkisi altnda tuttu u gibi, ça mzn bilim ve teknolojisisnin dayand iki-de erli matematiksel mant n da öncüsü olmu³tur. Ortaça Hristiyanlk en ba³ndan antik ça felsefesine kar³ oldu, onu dü³man sayd. Zaten ba³ka türlü de olamazd. Antik ça felsefesinin yaratt tanrlar veya tek ve mutlak tanr varlktan ayr de ildi, varl n kendisiydi. Ba³ka bir deyi³le, antik ça felsefesinde do a-tanr vardr. Bireysel varlklar mekanda onun parçalar, zamanda anlardr. "Yoktan hiç bir ³ey varolmaz" kural antik ça felsefenin temelidir. Hristiyanlk ise "evreni yoktan yaratan" tanr kavramn getiriyordu. Yalnz o ul ( sa) ve kutsal ruh tanrdan çkm³tr. Öyleyse, onlar da gerçek tanrdr. Yoktan yaratlanlar ile yaratan arasnda mutlak ayrlk vardr. Tanr gerçek ve hayat olan o ulda kendisini göstermi³tir. Mutlak gerçe e sahip oldu una göre, Hristiyan'n gerçe i aramasna gerek yoktur. E er gerçe i aryorsa, sahip oldu u gerçekten (o ul) ³üphe ediyor demektir. Bu da sa'y inkar etmesi anlamna gelir. Ne var ki, çöken hellenizmin brakt miras felsefede izini belli ediyordu. Kilise, red etti i antik ça felsefesinin kar³sna bir felsefe koymak zorundayd. Bu durum hristiyanlk üzerinde verimli bir bask yaratt. Platon, Aristotles ve stoaclarn doktrinleri hristiyan ö retisine uyarland. Hristiyanlk inanc (iman) bir doktrin (dogma) halinde kuruldu, sistemle³ti. Hristiyan do mati inin kurucusu skenderiye hristiyan okulunun kurucusu Origenes (MS 220) dir. skenderiyeli Saccas (MS 300) Aristotles'in eserlerini yorumlayarak ortaça a ta³d. Din devletini kurmak isteyen Hristiyan Kilisesi Aristotles Mant n iyice benimsedi. Ortaça da, Hristiyan din adamlar, Aristotles'in 14 syllogism'ine 5 tane daha eklediler. Ortaya çkan 19 kural, Hristiyan Kilisesi ö retisinin (skolastik ö reti) temeli oldu. Bu ö retide, evrime (de i³im - zaman) yer yoktur; gerekseme de yoktur. Aristotles'in tümelden tikele giden usavurma kurallar, Hristiyan din devletinin yapsna kolayca uyarland. Din devletinin yetkileri Tanr'nn yetkileri sayld. Bu tümel bir gerçek (mutlak gerçek) olarak kabul edildi. Bu gerçek asla sorgulanamazd. Ortaça da yeryüzünde biricik olan islam ho³görüsü, müslüman olan ya da olmayan birçok bilginin islam ³emsiyesi altnda toplanmasna neden oldu. Ortaça larn sonlarna do ru Organon Arapça'ya çevrildi. El Kindi( ), El- Farabi( ), bni Sina( ), bni Rü³d( ) islam uygarl nn mantkla da u ra³an dü³ünürleridir. Matematik, astronomi, tp ve felsefede ileri admlar atld. Ba dat, Msr, Buhara, Kufe, Kurtuba, Grnata, Toledo, Sevilla, Valencia vb yerlerde bilime kaynak olacak okullar açld. Bu okullar batnn felse uyan³na çok yardm etmi³tir. Hristiyan dünyasnda dü³ünce üretimi durmu³ken, islam dünyasndaki bu geli³me sürdürülebilseydi, belki tarihin ak³ de i³ecekti. Ne var ki, akl ve mant n imana ters dü³emeyece ini savunan mam Gazali, bir bakma hristiyan din devleti ö retisine benzer dü³ünceyi savunarak, di er islam bilginlerine kar³ çkt. Ne yazktr ki, Osmanl'da ve islam dünyasnda mam Gazali'nin dü³ünceleri zamanla egemen oldu ve islam dünyasnda dü³ünce üretimi snrland [25].

3 1.1. ÇA LARI A AN MATEMAT K 3 Yeniça nsann, dü³üncenin snrlanmasna ba³kaldrs aniden olmad. Buna bir ba³langç bile konulamaz. Hristiyan dogmasna kar³t tohumlar, kilisenin en güçlü oldu u dönemlerde, hatta hristiyanl n geli³me döneminde atlm³tr. Zamanla ye³eren bu tohumlar yenidendo u³u (rönesas) yaratt. Bir çok bilginin, ka³in, dü³ünürün bitmez çabalaryla yeni kirler olu³tu ylnda Alman Papaz Martin Luther ( ) Wüttenberg kilisesinin kapsna ast ünlü protestosu ile katolik kilisesine kar³ çkt. Bu bir ba³langç de il, sondur!.. Bu sonun geli³i engizisyon mahkemeleriyle, sava³larla, aclarla, insana yaplan eziyetlerle epeyce uzun sürmü³tür. Sonunda bat avrupada ortaça karanl yrtlm³tr. Yenidendo u³ (rönesas), her alanda oldu u gibi felsefe ve mantkta da yeni geli³melere neden oldu. Akl dinden ayrld, özgürce dü³ünmeye ba³lad. Bilgilerini yenileyen insan, bütün dogmalardan ku³kulanmaya ba³lad. Yenidendo u³ felsefesi bir dinsel akm gibi görünse de, onun temel niteli i insanc (hümanist) olmaktr. Jordano Bruno ( ), Francis Bacon ( ), Réne Descartes ( ) cesaretle bilimde yenilik gösteren sistemleri koydular. Bruno bilimin yenile³mesinde ba³ çekti. Kilise dogmasna kar³ görü³lerinden dolay Roma'da yaklarak öldürüldü. Yaklaca srada, kendisine ölüm kararn bildiren engizisyon yargcna söyledi i ³u söz insan aklnn zulme meydan okuyu³udur: "Ölüm hükmümü bana bildirirken, sen benden daha çok korkuyorsun!.." Bacon, tümdengelime kar³ çkt. Bilimsel bilginin ancak tümevarmla üretilebilece ini savundu. Her ³eyin tam bir listesini çkarp aralarnda kar³la³trma yapmay önerdi. Ama böyle bir listeyi çkarmak mümkün de ildi. Bilimsel bilgi üretiminde, en önemli yöntemi Descartes önerdi: "Her³eyden ³üphelen, çözümle, birle³tir, say, ölç, bütün-parça ili³kisini kur" diye özetlenebilecek bu yöntemin bilimsel yöntemlere büyük etkisi oldu. Ancak, bunlarn biçimsel mant a bir etkisi yoktu. Hatta, biçimsel mantk yenidendo u³un ba³larnda bir bilgi üretme yöntemi olarak kabul görmemeye ba³lad. Kilisenin temel bask arac oldu u gerekçesiyle, Martin Luther, Aristotles'in adn bile duymak istemiyordu. Tabii, zamanla Aristotles'in usavurma yöntemlerinin, yabana atlamayaca ve kilisenin onu kullanm³ olmasnda biçimsel mant n bir günahnn olmad anla³lm³tr. Bundan sonraki dönemlerde, biçimsel mantkta matematiksel yöntemler a r basmaya ba³layacaktr Matematiksel Mantk Blaise Pascal( ): Bir para atld nda, ya yaz ya tura gelir. Herkesin gördü ü, bildi i bu apaçk gerçe i, Pascal, matematik diliyle ifade etti: "Yaz gelme olasl 1/2, tura gelme olasl da 1/2 dir. Bu iki olasl n toplam 1/2 + 1/2 = 1 eder." Matematik diliyle söylenen bu apaçk gerçek, olaslk kuram (probability theory) adl bilim dalnn do masn sa lad. Bu bilim dalnn,

4 4 BÖLÜM 1. MANTIK VE MATEMAT K biçimsel mantkla halâ süren yakn ili³kisi o günlerde hiç sezilmiyordu; çünkü biçimsel mant a matematiksel yöntemler henüz kar³mam³t. Gottfried Wilhelm Leibniz ( ): Usavurma sürecini konu³ulan dilden ba msz klarak ona matematiksel bir yap kazandrmaya çal³an ilk ki³i Alman matematikçisi Leibniz'dir. Yazk ki Leibniz'in yapt i³in önemi ölümünden iki yüzyl sonra anla³labilmi³tir. Dissertatio de Arte Combinatoria (1666), adl eserinde sembolik bir dil yaratmay dü³ündü. Evrensel tam notasyon sistemi diyebilece imiz bu dilde, her kavram en küçük bile³enlerine kadar ayr³trlabilecektir. Ayr³an bu bile³enler her kavrama temel olacak bilgilerdir. Lingua characteristica universalis, Calculus ratiocinator (Akl yürütmenin hesab) adl projeleri teorik düzeyde bile gerçekle³emedi. Logic konulu olan ve ya³arken yaynlanmam³ makalelerinin önemi, daha sonraki dönemlerde anla³lacaktr. Immanuel Kant ( ): Mant n tamamen i³lenmi³, bitirilmi³, sona erdirilmi³ bir doktrin oldu unu 1794 ylnda ifade etmi³tir. Ama Kant yanlyordu. Mant n görkemli dönü³ü henüz ba³layacakt. George Boole ( ): ngiliz matematikçisi Boole, Leibniz'in ba³lad- i³in önemini kavrayan ilk ki³i saylr. Konuyu yeniden ele alarak bugünkü ikide erli mant n yapsn tamamen matematiksel temellere oturtmu³ ve klasik mant n dile ba ml zayf yann yokeden simgesel mant yaratm³tr. Buna Boole mant, Boole cebiri, matematiksel mantk, simgesel mantk, vb adlar verilmektedir. Boole mant nda bu gün kulland mz simgeleri yaratan ki³i Ernst Schröder ( )'dir. Simgesel mant n üstünlü ü ³udur: Akl yürütmede kullanlan kavramlar sözcüklerden, nesnelerden, duyulardan arndrmakta, onlar soyut simgelerle temsil etmekte ve o simgeler arasnda matematiksel i³lemler kullanarak akl yürütme sürecini kesin sonuca ula³trmaktadr. Kulland cebirsel yap, mant n istedi i sa laml sa lamaktadr. Predicate calculus Simgesel mant n birisi ötekine kenetlenmi³ iki ayr dal vardr: Önermeler mant ve predicate calculus. Birincisi, önermeleri tek tek ele alr ve onlarn do ru ya da yanl³ olduklarn belirler. kincisi ise, bir küme üzerinde tanml önerme fonksiyonlarn ele alr. Predicate terimi, matematik dilindeki fonksiyon'dan ba³ka bir ³ey de ildir. Belirsizlik (uncertainty) Matematiksel (simgesel) mant n sa lam ve soyut cebirsel bir yap olarak ortaya konmas, klâsik (sözel) mantkta ancak 2000 yl sonra yaplabilen çok büyük bir a³amadr. Ama, Boole mant da klâsik mant n ortaya koydu u iki-de erlili i korumaktadr. ki-de erli mantkta belirsizlik olamaz. Orada bir önerme ya do ru ya da yanl³'tr. Oysa, gerçek ya³amda önermeler biraz do ru, biraz yanl³ olabilir. Daha ötesi, gözlemlere dayal önermeler belli bir olaslk katsaysna ba ldr ([2],[4],[6],[8]).

5 1.1. ÇA LARI A AN MATEMAT K 5 ki-de erli mantktan çok-de erli mant a geçi³ ki-de erli matematiksel mantk, 20.yy biliminin ve teknolojisinin temelidir. Hiç bir matematikçi, onun sa laml ndan, öneminden, heybetinden ku³kulanamaz. Ama do a olaylaryla ilgilenen bilim adamlar, baz do a olaylarn açklamak için iki-de erli mant n yetmedi ini çaresizlik içinde görüyorlard. ki-de erli mant n istedi i kesinli in elde edilemedi i yerlerde, do a bilimciler olaslk kuramna ba³vurmaya ba³ladlar. Bu arada, baz mantkçlar üç-de erli mantk(lar) kurmaya çal³tlar. ki-de erli mant n ald do ru ve yanl³ de erler yanna belirsiz ya da nötr adn verdikleri üçüncü bir de er kattlar. Lukasiewicz, Bochvar, Kleene, Heyting, Reichenbach gibi mantkçlar birbirlerinden farkl üç-de erli mantk sistemleri olu³turdular. Bunlarn her biri kendi içinde tutarl olmakla birlikte, simgesel mant n kulland (,,,, ) i³lemleri arasnda tanm farkllklar yarattlar. Dolaysyla, hiç biri mant n evrensel kurallar olarak dü³ünülemez. Bu arada, Jan Lukasiewicz ( ) üç-de erli mant n da yetmedi ini gördü ve 1930 lu yllarda (L 2,L 3,...,L ) mantk dizisini kurdu. Bunlardan ilki olan L 2 iki-de erli mantktr. Di erleri artarak sonsuz-de erli L mant na kadar uzanr. L mant nn de erleri [0,1] aral ndaki rasyonel saylardr. Bu dü³ünce, elbette çok önemlidir ve sonsuz de erli mant a yürüyü³ün kaçnlmazl n ortaya koymaktadr. Heisenberg Belirsizlik lkesi Werner Karl Heisenberg( ), yirmimci yüzyl zi inin büyük adlarndan birisidir. Bu yüzyln en önemli bulu³larndan birisi olan kuantum mekani inde, atom çekirde inin yapsn belirlemek için, içindeki küçük parçacklarn hareketlerinin belirlenmesi gerekiyordu. Ancak, kesin ölçümler yaplamad için, hareketli parçacklarn yörüngeleri ancak olaslk hesabyla verilebildi. Heisenberg Belirsizlik lkesi diye adlandrlan bu yöntem, atom çekirde inin yaps hakknda çok ³ey söylemektedir. Ama, Albert Einstein ( ) "Tanrnn zar att na inanamam!" diyerek do a olaylarnn olaslk yöntemleriyle açklanmasna kar³ çkm³tr. Elbette, matematikçiler ve zikçiler, belirsizlikten saknmak isterler ve daima kesinli in pe³inde ko³arlar ([3],[6],[8],[11],[15],[20]) Yüzylda Matemati i Sarsan Dü³ünceler Alt bin ylda insano lunun yaratt en büyük dü³ünce yapt olan matemati- in temellerinin ne oldu u konusu, özellikle, 20-inci yüzyln ilk yarsnda büyük tart³malara neden olmu³tur. Bu tart³malarda, hiç biri ötekine üstün saylamayacak üç okul ortaya çkt. Bu okullar ve savlar ksaca ³öyledir: Sezgisellik: Matematik insan aklnn eseridir. Saylar, peri masallarndaki kahramanlar gibi yalnzca akln yaratsdr. E er insan akl olmasayd, onlar asla var olmayacaklard. Bu görü³ün en büyük temsilcisi L. E. J. Brouwer ( ) dir.

6 6 BÖLÜM 1. MANTIK VE MATEMAT K Formalizm: Matematik bir dildir, onun bir dilden ne fazlas ne de eksi i vardr. Bu görü³ün temsilcisi saylan David Hilbert ( ) e göre, matematik, basitçe, simgelerle oynanan bir oyundur. Matemati in bütün teoremleri, Formal Lojik kullanlarak Aksiyomatik Kümeler Kuramndan elde edilebilir. Platonizm: Saylar, insan aklndan ba msz olarak var olmak zorunda olan soyut varlklardr. Matematiksel varlklar hakkndaki do rular insan akl ke³feder. Matemati in temelleri aksiyomlar de il, matematiksel nesnelerin gerçek dünyasdr. O nedenle tabiatn kanunlar ile matemati in kanunlar ayn statüdedir. Bu dü³üncenin en önemli temsilcisi Kurt Gödel ( ) dir. [31] Dü³ünen Makina: 1970 ylnda Alan Colmerauer PROLOG (PROgramming LOGic) adn verdi i bir bilgisayar dili yaratt. Bu dil, daha önceki bilgisayar dillerinden tamamiyle farkl idi. PROLOG mantk kurallarn kullanarak (çözülebilir) problemleri usavurma yöntemiyle çözecekti. Bu dilin önemi ba³langçta anla³lamad. Belki de, kapsaml problemlerin çözümünde PROLOG'un gerekseme duydu u büyük ana bellek yoklu u (RAM), onun prati e geçi³ini geciktirdi. Mantksal programlama kavram 1974 ylnda Kowalski tarafndan önerilmi³tir. Uzun zaman hiç bir ses getirmeyen bu öneriden 20 yl sonra binlerce makale yaymlanm³tr. O alana özgü bilimsel dergiler çkmaya ba³lam³tr. Üniversiteler ve hatta devletler ara³trma projeleri ba³latm³lardr. Bu geli³meyi PROLOG dili ba³latm³tr. Bu gün mantksal programlama diye bilinen bilgisayar dil(ler)inin ortaya çkmasnda Colmerauer, Warren ve Kowalski 'nin çal³malar önemli rol oynam³tr. Fuzzy Mant : Do a olaylarn açklamak için kulland mz matematiksel yöntemlerin ve modellerin yarar, gücü ve heybeti tart³lamaz. Ancak, matemati in kesin deterministik niteli inin uygulamada gerçe e ço unlukla uymamas, yüzyllar boyunca bilim adamlarn ve dü³ünürleri u ra³trm³tr. Matematiksel temsiller, evrenin karma³kl ve snrszl kar³snda daima yetersiz ve çok yapay kalmaktadr. Bu nedenle, do a olaylarn açklarken, ço unlukla, kesinli i (exactness - certainty) de il, belirsizli i (vagueness - uncertainty) kullanrz. [17] Do al diller, do a olaylarn açklamakta ço unlukla iki-de erli mant a dayal matematiksel modellerden daha etkilidir. Örne in, 'bu gün hava güzeldir - de ildir' ikilemi, hemen her konu³ma dilinde kavurucu çöl sca ndan ba³layp, dondurucu kutup so u una kadar varan derecelendirmeyi anlatabilir. "Bu gün hava güzeldir" deyimi tatilini bir yaz günü plajda geçiren ki³i için ba³ka, bir k³ günü kayak merkezinde geçiren ki³i için ba³kadr. Yer ve zamana ba l olarak farkl anlamlara sahip olan bu deyim, hemen hemen her söyleni³inde istenen anlam verir; yani muhataba istenen mesaj iletir. ki-de erli mant n kesinli ine sahip olmayan do al dil, bir do a olayn ondan daha iyi anlatabilmektedir.

7 1.1. ÇA LARI A AN MATEMAT K 7 Bu olgu, mant ve matemati i yeni aray³lara itmektedir. Fuzzy Kümeleri ve onun do al yolda³ olan Fuzzy Mant bu aray³lardan birisidir. Geleneksel matematikteki kesinlik (certainty) deyimi yerine, Fuzzy mant nda belirsizlik (vagueness-uncertainty-imprecision) deyiminin konulmas, belki do al bir talihsizliktir. Gerçekte Fuzzy Kümelerinde belirsiz (fuzzy-bulank) olan hiç bir ³ey yoktur. O, belirsizli i, bulankl inceleme pe³indedir. [20], [3] Bu ders için yararl olacak kitaplar: [4],[12], [22], [5], [26], [16], [28], [14], [13],[23], [1], [31], [30] [8], [32], [9] Bilimsel Bilgi Üretimi Bilimsel yöntemler diye adlandrlan ve do ru bilgi üretimine yarayan yöntemler yalnzca iki tanedir: tümdengelim ve tümevarm. Tümdengelim Tümdengelim, tümel (genel) bir önermeden tikel (özel) önerme çkarma eylemidir. Örne in, zikte genel çekim yasasn biliyorsanz, uzaya frlataca nz bir ileti³im uydusunun istenen yörüngeye oturmas için, nereden, hangi hzla, hangi e imle frlatlmas gerekti ini de hesaplayabilirsiniz. Bu örnekte söylendi i gibi, tümel bir önermeden tikel önerme çkarl³n sa layan yordama usavurma diyece iz. De i³ik kaynaklarda, buna tümdengelim, akl yürütme, tasm (kyas), dedüksiyon, çkarm adlar verilir. Mantk (usbilim-lojik), usavurma kurallarn konu edinen bilim daldr. Ba³ka bir deyi³le, o, tümdengelim yöntemlerini inceler; önermelerin do ru ya da yanl³l ile ilgilenmez. Mantk, ba³ka bilim dallarnn ortaya koydu u do ru önermelerden do ru önerme çkarma sanatdr. Usavurma kurallar denilen bu sanat, ayrntlaryla göreceksiniz. Tümevarm Baz do a olaylarnn neden ve nasl olduklarn belirten genel kurallar, elimizde yoktur. Bu durumlarda, o do a olayn açklayabilmek için, tümdengelimin tersi olan tümevarm yöntemi izlenir. Tümevarm, tikel (özel) önermelerden tümel (genel) önerme olu³turma yordamdr. Tümevarm gözlem, deney, hesap vb yollarla bir do a olaynn genel yasasn kurmaya çal³r. Baz do a olaylar insanlk tarihi boyunca gözlendi i ve her seferinde aynen tekrarland için tart³masz do ru bilgidir. Örne in, lman ku³akta ya³ayanlar, ylda dört mevsimin olu³tu unu gözlemi³lerdir. Bunun nedeninin bilinmedi i eski zamanlarda bile, insan bunu do ru bir bilgi olarak kabul etmi³tir. Bu bilgiye gözlemle varlm³tr. (Tabii, gök cisimlerinin hareketleriyle ilgili bilgilerin ortaya konmasyla birlikte, mevsimlerin neden ve nasl olu³tu u, tümdengelim kullanan hesap yöntemleriyle de gösterilmi³tir.) Baz do a olaylar, ancak laboratuar ortamnda defalarca denenmi³ ve varlan sonucun do rulu u kabul edilmi³tir. Örnekse, bir bitkinin tohumunu topra a eker ve belirli ko³ullar altnda belirli süre bekletirseniz, onun lizlendi ini görürsünüz. Bu deneyi bir çok kez tekrarlayp, ayn sonuca ula³rsanz, bunun genel bir yasa oldu unu söyleyebilirsiniz. Bu bilgiye deneyle varm³

8 8 BÖLÜM 1. MANTIK VE MATEMAT K olursunuz. Tümevarm ilkesi bilim ve teknikte, ba³lca bilgi üretme arac olmu³tur ve bu i³levini sürdürmektedir. Tabii, bir çok admdan olu³an bir bilimsel çal³mada, hem tümdengelim, hem de tümevarm yöntemleri kullanlabilir. Ama kullanlan yöntemi, daha basite indirgenemeyen admlarna ayrd mzda, her admn bu iki yöntemden birisi oldu unu görürüz. Terim Bir bilim, sanat, meslek dalyla ya da bir konu ile ilgili özel ve belirli bir kavram olan sözcük. Örne in, küp, basamak, hane, daire, pay,... gibi sözcüklerin matematikteki anlamlar, konu³ma dilindeki anlamlarndan farkldr. ³lem, çokgen, çarpma, nokta, düzlem, aç, sonsuz,... gibi sözcükler birer matematik terimidirler. Tanm anlam. Bir varl a, bir ³eye özgü niteliklerin belirtilmesi, bir sözcü ü belirleyen Tanml ve Tanmsz Terimler Bir terimi tanmlarken, daha önceden tanmlanm³ ba³ka terim ve kavramlar kullanarak, o terimin bütün niteliklerini ve yalnzca onlar ortaya koyarz. Böyle terimlere tanml terimler denilir. Ancak, her terimi tanmlarken, kendisinden önceki terimlere ba³vurmay sürdürürsek, bir ba³langç noktasna ula³malyz. Ba³ka bir deyi³le, tanmlar, ba³ka kavramlara dayanmayan terimlerin olmas gerekir. Bu terimlere ilkel terimler ya da tanmsz terimler denilir. Bu terimler, kendilerinden daha basit terimler ya da kavramlarla açklanamazlar. Ama, onlar, sezgilerimizle kolayca alglarz. Örne in, nokta, do ru, düzlem, üzerinde, düz, yüzey, e³de erli,... matemati in tanmsz terimlerindendir. Öte yandan, üçgen, i³lem, rasyonel say, karekök, bölüm,... gibi terimler ise, tanml terimlerdir. Teorem Kantlanabilen bilimsel önerme. Mantksal usavurma ile kantlanan önermenin ya da özeli in bildirimi. Örnek: E³açl bir üçgen e³kenardr. Aksiyom (belit) spatsz kabul edilen önerme. Belit yerine aksiyom ya da postülat da denilir. Örnek: ki nokta bir do ru belirler.