ndrgemel Dzler Ders Notlar

Transkript

1 ndrgemel Dzler Ders Notlar c wwww.sbelian.wordpress.com Bu ders notunda diziler konusunun bir alt konusu olan First Order Recursions ve Second Order Recursions konular anlatlm³ ve bu konularla alakal örnekler çözümleriyle birlikte verilmi³tir. yi çal³malar. 1 Birinci Dereceden ndirgemeler Herhalde matematik olimpiyatlar snavlarna hazrlanpta Fibonacci Saylar'n bilmeyen yoktur. Zaten Fibonacci saylarda f 0 = 0, f 1 = 1 olmak üzere f n+1 = f n + f n 1, n 1 yinelemesi ile tanmlanr. Bir yinelemenin derecesi ise en büyük ve en küçük alt terimlerin farkna e³ittir. Mesela, u n+ u n+1 = birinci derecedendir, ve u n+4 + 9u n = n yinelemesi ise dördüncü derecedendir. E er bir yinelemede tüm ifadelerin üstleri bir ise bu yinelemeye Do rusal Yineleme denir. Mesela, bir do rusal yinelemedir. Ancak u n+ u n+1 = x n + nx n 1 = 1 ve x n + xn 1 = 3 yinelemeleri lineer de illerdir. E er bir yinelemenin tüm terimlerinin kuvvetleri ayn kuvvettense, bu yinelemeye Homojen'dir denir. Mesela, yinelemesi homojendir. Ancak, First Order and Second Order Recursions x m+3 + 8x m+ 9x m = 0 x m+3 + 8x m+ 9x m = m 3 1

2 yinelemesi homojen de ildir. Bir yinelemin sadece indis de i³kenine göre tanmlanan denkleme ise o yinelemenin Kapal Form'u denir. Kapal form sayesinde rahatlkla yinelemenin her hangi bir terimini bulabiliriz. Biz genel manada bu ders notunda ilk olarak, x n = ax n 1 + fn), a 1 formundaki f burada bir polinomdur) yinelemelerin çözümleriyle ilgilenece iz. lgilenirken de a³a da verdi imiz basamaklar takip edece iz. 1. Önce x n = ax n 1 formunda verilen yinelemenin indislerini üste alarak yani, karakteristik denklem olu³turarak, x n = ax n 1 denklemini elde ederiz. Sadele³tirmeler yapt mzda x = a Buna göre, x n = ax n 1 homojen formundaki yinelememiz bize x n = Aa n denklemini verecektir. Burada A bir sabit saydr.. Daha sonra bulunan x n = Aa n + gn) formu test edilir. Burada g, f ile ayn dereceden bir polinomdur. Örnek 1. x 0 = 7 ve x n = x n 1, n 1 ise x n kapal formunu bulunuz. Çözüm. Alt indisleri üs olarak yazarsak karakteristik denklemimizi x n = x n 1 Sadele³tirme yaparsak, x = Buna göre bizim, x n = A n formunda çözüm yapmamz gerekmektedir. Burada, 7 = x 0 = A 0 ise A = 7 olaca ndan, kapal form x n = 7 olarak bulunur. Örnek. x 0 = 7 ve x n = x n 1 + 1, n 1 formunda verilen yinelemenin kapal formunu bulunuz. Çözüm. Karakteristik denklemi yazld nda x n = x n 1 veya x = elde edilir. Buradan çözümlerden birinin x n = A oldu u açktr. Ancak yinelemenin bir parçasda fn) = 1 polinomu oldu una göre, kapal denklemin x n = A n + B formunda olmas gerekmektedir. Buradan, 7 = x 0 = A 0 + B = A + B ve 1 = x 1 = A + B oldu una göre bu iki denklemin çözümünden A = 8 ve B = 1 Öyleyse, soruda istenen kapal form, x n = 8 n ) 1 = n+3 1 Not. Örnek.'nin çözümünde dikkat edilirse olu³turula karakteristik denklem iki parçadan olu³uyor. Bunlardan ilki zaten alt indislerin üs olarak yazlmasyla elde edilirken, ikincisi bir polinom ve bu polinomun derecesi yineleme içersinde ki polinomun derecesi ile ayn. Bundan sonraki çözümlerde de polinom seçimi benzer ³ekilde Örnek 3. x 0 = ve x n = 9x n 1 6n + 63 ise x n kapal formunu bulunuz. Çözüm. Karakterisitk denklem yazld nda karakterisitik denklemimiz x n = 9x n 1 veya x = 9 Buna göre, kapal formun bir ksm x n = A9 formunda Ancak, soruda verilen yinelemenin ikinci ksmn fn) = 6n + 63 polinomu olu³turdu undan, çözüm olarak kullanaca mz polinom gn) = Bn + C Buna göre, yinelememizin kapal formu x n = A9 n + Bn + C x 0, x 1, x için çözümlere bakld nda, = A + C = 9A + B + C 176 = 81A + B + C

3 e³itlikleri için A =, B = 7 ve C = 0 Buna göre soruda istenen kapal form, yada genel çözüm x n = 9 n ) + 7n olarak bulunur. Örnek 4. x 0 = 1 ve x n = 3x n 1 n + 6n 3 ise x n kapal formunu bulunuz. Çözüm. Yinelemenin karakterisitk denklemini yazdktan sonra kolaylkla x n = A3 indirgemesini elde edebiliriz. Ancak yinelememizin bir parçasda fn) = n + 6n 3 ³eklinde ki ikinci dereceen bir polinom oldu undan özel çözümümüzde kullanaca mz gn) polinomu Bn + Cn + D olmaldr. Buna göre, yinelememizin indirgenmi³ hali, x n = A3 n + Bn + Cn + D ³ekline E er bilinen x i, i = 0, 1,, 3 için katsayalar bulmaya çal³rsak, 1 = A + D, 4 = 3A + B + C + D, 13 = 9A + 4B + C + D, 36 = 7A + 9B + 3C + D denklemlerini elde ederiz. Buradan da, A = B = 1, C = D = 0 olaca ndan, istenen kapal form x n = 3 n + n Örnek. x 0 = ve x n = x n n 1 ise kapal formu bulunuz. Çözüm. E er gerekli i³lemleri yaparsak, genel formun x n = A n + B3 n denklemi elde edilir. Burada, x 0 = ve x 1 = ) = denklemlerinden, = A + B 7 = A + 3B e³itliklerini elde edilir. Buna göre, A = 1 ve B = 1 olaca ndan istenen kapal form x n = n + 3 n Örnek 6. x 0 = 7 ve x n = x n 1 + n, n 1 ise x n için kapal formu bulunuz. Çözüm. imdi bu çözümü siz yapmaya çal³n. Kapal formu, olarak bulmanz gerekmektedir. x n = 7 + nn + 1) imdiye kadar çözdüklerimizde genel olarak, lineer yinelemeler hakimdi. imdiki örne imizde de 3

4 lineer olmayan ancak lineerle³tirilebilir, birinci drecen yinelemeler den birini çözece iz. Örnek 6. u 0 = 3 ve u n+1 = u n, n 1 ise yinelemin kapal formunu bulunuz. Çözüm. Varsayalm, v n = log u n olsun. Buna göre, Burada, oldu undan, Buradan, oldu undan istenilen kapal form, olarak bulunur. v n = log u n = log u 1/ n 1 = 1 log u n 1 = v n 1 v n = v n 1 v n = v 0 n log u n = log u 0 n u n = 3 1/n kinci Dereceden ndirgemeler Bir evvelki konumuzda birici dereceden yinelemeleri ele alm³tk. Öyleki, her bir terim kendisinden bir önceki terime ba ml olarak veriliyordu. imdi verece imiz formda ise durum artk biraz daha farkl. Öyleki artk kar³laca mz yinelemeler x n = ax n 1 + bx n ³eklinde Bu tür yinelemelerin çözümleri içinde takip etmemiz gerekn baz çözüm basamaklar vardr. Buna göre, 1. Önce alt indisleri üs olarak alp karakteristik denklemi x n = ax n 1 + bx n oldu undan kökleri r 1 ve r olan x ax b = 0 olarak bulunur.. E er kökler birbirinden farkl ise genel form ³eklinde 3. E er kökler ayn ise genel form ³eklinde x n = Ar 1 + Br x n = Ar 1 + Bnr 1 Örnek 7. x 0 = 1, x 1 = 1 ve x n+ + x n+1 + 6x n = 0 yinelemesinin kapal formunu bulunuz. Çözüm. Soruda verilen yinelemenin karakteristik denklemi x + x + 6 = x + 3)x + ) = 0 4

5 olarak elde edilir.buna göre kapal formumuz x n = A + B 3 Buradan da, A = ve B = 1 olaca ndan soruda istenilen kapal form, x n = 3 Örnek 8. Fibonacci yinelemesi için kapal formu, f 0 = 0, f 1 = 1 ve f n = f n 1 + f n bilgilerini kullanarak bulunuz. Çözüm. Karakterisitk denklemimiz f f 1 = 0 olaca ndan kapal formumuz f n = A B ³eklinde Ba³langç de erleri kullanld nda, 1 1 = A B 1 0 = A + B = 1 A + B) + A B) = A B) olaca ndan A = 1, B = 1 Sonuç olarakta Cauchy-Binet Formülü olarakta bilinen f n = kapal form bulunacaktr. Örnek 8.Tübitak Deformesi 1 ) x 0 = 1, x 1 = 4, x n = 4x n 1 4x n ise kapal formu bulunuz. Çözüm. Karakteristik denklemimiz x 4x + 4 = x ) = 0 Burada köklerin birbirine e³it oldu u açktr. Buna göre kapal formumuz, x n = A n + Bn n formunda E er ba³langç de erlerini kullanrsak, 1 = A 4 = A + B A = 1 ve B = 1 olarak bulunur. Buna göre, istenilen kapal form x n = n + n n 1 Benzer bir soru TÜB TAK matematik olimpiyatlarnda da sorulmu³tur.

6 3 Al³trmalar A³a daki sorulardan 1 ) için kapal formlar bulunuz. 1. x 0 = 3, x n = x n x 0 = 1, x n = x n 1 0n + 3. x 0 = 1, x n = x n 1 + 1n 4. x 0 =, x n = x n n 1 ). a 0 =, a j+1 = a j + a j, j 0 6. AIME, 1984) x 19 = 94 ve x n + x n 1 = n, n 1 ise x 94 'ün 1000 ile bölümünden kalan kaçtr? A³a daki 6 10) için ikinci dereceden yinelemelerin kapal formlarn bulunuz. 7. x 0 = 0, x 1 = 1, x n = 10x n 1 1x n 8. x 0 = 0, x 1 = 1, x n = 10x n 1 x n 9. x 0 = 0, x 1 = 1, x n = 10x n 1 1x n + n 10. x 0 = 0, x 1 = 1, x n = 10x n 1 1x n + n 11. Bir düzlem üzerine çizilen n çember düzlemi parçalara ayrmaktadr. Buna göre, düzlem üzerindeki n çemberin ayrd parçalarn saysn veren denklemi bulunuz. 1. Bir düzlem üzerine çizilen n do runun düzlem üzerinde ayrd parçalarn saysn veren denklemi bulunuz. 6