öss Matematik-1/Fonksiyonlar

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "öss Matematik-1/Fonksiyonlar"

Gizem Kurtar
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 H.FONKSiYONLARDA BiLESKE islemi A B c bo9olmayanbirerkumeolmakuzere, öss Matematik1/Fonksiyonlar b)(gof)(x)=glf(x)) oldujundan (g O f)(x)= g(2x+ 1) dir. f:a +B,f(x)=z ve g:b.ac,g(z)=y Bujnagöre, g g of:a +C,(gof)(x)= glf(x)j=y kurali(e yaz lrsa, tanlm lfonksiyona f iie g nin bilejkefonksiyonu gtx)= x2 5:s:4 g(2x+ 1)=(2x+ 1)2 5 denir. :4(g of)(x)= 4x2+4x 4 Butanlmlapajldakiyekileinceleyelim. Burada,(gof)(:)fonksiyonundaA ktimesininelemanlarlyazlarak (go f)(x) ingörtinti kömesi C =(gof)(a) bulunur. O halde,a dan B ye f fonksiyonu iie B den C ye g fonksiyonunu kullanarak A ktim esinin elemanlarlnlc ktim esinin elem anlarlna ekleyen fonksiyona f iie g nin bilepkesidenirve g o f qeklinde göste riiir. A =( 1,0,1,2)ve (gof)(x)= 4x2+4x 4 oiduùundan,(g of)( 1).k 4,(gof)(O)= 4, (gof)(1)=4,(g o f)(2)= 20 oiur Bunagöre,(gof)(x) iyemaiie gösterelim. A 9 O f c 1* o4 0* *4!* *20 2 * Ornek. a)fve g fonksiyonlarlnlkemai!egösterefim. b)g o f fonksiyonunun kuralnlbulup kema ile gösterelim. çöztjm: a)a =( 1,0,1,2)ve f(z)=2x+ 1 ise f( 1)= 1, f(1)= 3, B =( 1, 1, 3, 5)ve g(x)= x2 5 ise g( 1)= 4,g(1)= 4,g(3)= 4,g(5)=20 dir. Buna göre, f ve g fonksiyonlarlnln pema ile gösteriliqiajajldakigibidir. A f B (? (:l 1@ 4 * 0* 1 * 1@ 3 * 20 * 2 * (g o f)(x)= g:f(z)1oldulundan, (gof)( 1)=glf( 1))= g( 1)= 4,(f( 1)= 1) (gof)(0)=glf(0)(1= g(1)= 4, (f(o)= 1) (gof)(1)=glf(1)q= g(3)=4, (f(1)=3) (gof)(2)=g(f(2)(1=g(5)=2o, (f(2)= 5) dir. gof àa7

3 öss Matematik1/Fonksiyonlar oldujunèai, fo g = a b c d (g of)(x)= gef(x))= g(2x+3)=(2x+3) 2+2 a d c b = 4x2 + 12x + 11 olur., (fog)(x)=flg(x)j=f(x2+2)=2.4x2+2)+3 = 2x2 + 7 dir. Buradan,genelikle (g o f)(x)* (fo g)(x) olduju görulmektedir. ôrnek: f(x)=x+ 2 ve ise 3 f x < 7 ise Bileyke Fonksiyonun özelikleri 1)Bilepkeipleminindejikmeözelijiyoktur. fog* g of (f* l ve g:g1) I: Birim fonksiyon Ancak,fog = gof oldujudurumlarda olabitir. örnejin,f(x)= 2x 1 veg(x)= 2 x ise, keklinde R den R ye,tanlm llfve g fonksiyonlarlveriliyor.buna göre,(gof)(x)fonksiyonunubulalm. çözim: (gof)(x)= glf(x)joldujundan (gof)(x)ibulmak için g(x) fonksiyonunda x gördiljtimi)zyere f(x)= x+2 yazalm. 3 S x + 2 < 7 ise x < 1 ise 1f x < 5 ise 5< x ise ornek: A =(a,b,c,d ) olmakuzere,a da tanlm lfveg permutasyon fonksiyonlarl, f= (j,aobc,da) g(ayobcjlda) çeklinde verildijinegöre, n u n u buialim. bilejke fonksiyo (fog)(a)=flgla)j=f(d)= a, (g(a)=d) (fog)(b)= flg(b)(1=ftc)=d, (g(b)=c) (fog)(c)=flgtc))= f(b)= c, (g(c)=b) (fog)(d)= fegtd))= fta)= b, (g(d)=a) (fog)(x)=flg(x)(1=f(2 x)=2.(2 x) 1 z;c/ (fog)(x)=3 2x ve (gof)(x)=glf(x))= g(2x 1)= 2 (2x 1) = (g of)(x)=3 2x oldujundan, (fog)(x)=(g of)(x) oldujudurumlarlndavarltjs gö rlïlii)r. 2)Bilepke iplemininbirlepmeözelijivardlr. Burada, fogoh= fo(goh)=(fog)oh (fogoh)(x)=f((goh)(x))= f(g(h(x))j jeklinde ijlem yapllr. Ornek: f(x)=2x, gtx)=3x 1, h(x)= 1 x2 fonksiyon Iarlveriliyor. Buna göre, a)(fogoh)(x) fonksiyonununkuralnlbulalm. b)(fog oh)( 1)ve (gohof)( 1) delerlerlni bulalm. çözim: a)(fog oh)(x)= (fog)oh(x)ve (fog)(x)=2(3: 1)= 6x 2 oldu/undan, 332

5 öss Matematik 1/Fonksjyonlar b)(fogo h)(x)=4 6>2 = (fogo h)( 1)= 4 6.( 1)2= 2 dir. Burada,(fogo h)( 1) deleri, (fogo h)( 1)f(g(h( 1)) flg(0)j,(h( 1)= 0) f( 1), (g(o) 1) = 2 peklinde de bulunur. deje rinibuiaim. 4)f:A.4A ya fbirebirve örtenbirfonksiyonolmak ùzere, fof1=f1o f=1 (f:a +A) Burada, f:a..ab ye bire birve örten birfonksiyon ve A B ise fo f 1:x:f 1o f olur. # Ornek. 9e (f()goh)( olmadlgörtilmektedir. 1)# (go fo h)( 1)oldujundan,bu örnekten debilepkeijleminin dejiyme özelijinin 3)Bilepkeiplemininetkisiz(birim)elemanlI(x)= x birim fonksiyonudur. foi= Io f= f (f:a.>a) Bi ra kumesinde tanlm lffonksiyonu için, f:a +A,f(x) fonksiyonuileibirim fonksiyonunun bileëkesi (f o1)(x)= f(1(x))= f(x)ve (1of)(x)=I(f(x)= f(x) oldujugörilmektedir. Ornek: m ve n gerçel(reel)saylarolmaközere, f(x)= x 1 3 ve glx)=(m 1)x+n+1 peklinde R den R ye fve g fonksiyonlarlveriliyor. (fo g )(x)= f(y) oldujuna göre, m.n çarplmlnl bula lm. (fog)(x)=f(x)=> g(x)=l(x)= x olnnahdlr. Bunagöre,gtx)=(m 1)x+ n+ 1=x = m 1 = 1 ve n + 1 = 0 = m = 2 ve n = 1 olur. O halde)m.n= 2.( 1)= 2 dir. ' q (fcf1)(x)=(2x3)o(x+3) 2 =2.(X+3)a 2 (f1of)(x)=(x+3)o(2xa) 2 = 2 y 3 + a 2 Oldultlndan, f1 of=fof1 oldujugörtlör. Uyarl: (fog)(x)=h(x)eçitlijinden f(x)inbulunabilmesi iin h(x)te x yerine g1(x) yazlmaldlr. 4.2 z;:zflx)= h(g1(x) tir. Ornek: (fog)(x)=3x 4 ve g(x)=2x+1 ise f(x)fonksiyonunu bulallm.

7 öss Matematik1/Fonksiyonlar jinde x yerineg 1(x)= x 1 2 yaz lrsa, çözitm: 1. yol: f(x)=4x 3, '* Orne jy.. Ornek: f(x)=4r 3ve (fog)'(y)=12y+17 ise g(x) fonksiyonunu bulallm. f 1(x)= X+3 otdujundan (fog)(x)=12x+17 4 dejerif1(y)te x yerineyazillrsa, f1 o( fo g)(x)=f1o(12x+ 17) (f 1of)ogtx)= X+3 o(12x +17) 4 oldujundan, (fo g)(x)= f(2x+ 1)= 3x 4 ekitli oldujunagöre,ftx)fonksiyonunubulalm. Q(X)= 12x = 3:+ 5 tir. x + 1! 2x + 1 g(x)= olsun.o halde, g (x)= 3x 2 3x 1 dejerif(x) yerine yazlrsa, f( x +1 )= x+ 1c:z/(fog)(x)= x+ 1 3x 2 2.yol: f(x)=4: 3 = f(g(x))=4.g(x) 3 = 12x+ 17=4.g(x) 3 uu :)x 4(5 tir. Uyarl: 5x 5)f, ùzere, u:>f(x)= 3 dir. x 1 fog)1=g1of1 h bire birve örten fonksiyonlarolmak ( (fog oh)1= h1og1o f1 (fog)(x)= h(x) ekitlijinden g(x)inbulunabilmesi için f1 (x) te x yerine h(x)yazllmaldlr. ve zc.1 g(x)= f1(h(x) tir. f 1 x :F:l+R, g(x)= x + 3 fonksiyonlarlveriliyor. (f1og)1(1) ifadesinindejerinibulalm. 342

9 öss Matematik 1/Fonksiyonlar ornek: 9 f(x) 9(X)='JV g1(2)= a.t.4,gla)=2 örnek: 1 a = = 2 a + 3 Uygun koyu larda, = 1 a = 2a = a = 3 oldujundan, olarak bulunur. ftx)= x+ 5 ve g(x)= 2x+ 3 3x 2 3x 2 fonksiyonlarlveriliyor. Bunagöre)(fogog)1(x) fonksiyonununkuralnl bulalm. (h(x)= ax+b ved= a)c>h(x)=h, (x) cx + d B 2x + 3 urada,g(x)= 3x 2 için a= 2 ve d = 2 = a oldujundang(x)= g 1(x),dolaylslyla,(gog)(x)= x olur. Buna göre, olur. C 2 4 x 0 1 i 6 Yukarldakikekilde,f(x) fonksiyonu iie fonksiyonunun grafikleriverilmiktir. Bunagöre,(fcg1of)(O)dejerinibulalm. (fog1of)(o)= (fog 1)42), (f(o)= 2) g(x)=vv 4:4.g1(/V )=x oldujundan, x= 4içing1(/zf)=4= g1(2)=4 tir. O halde, (fog1of)(0)=(fog1)(2),(g1(2)= 4) = f(4)= 3 tir. i g(x)=#f' 341

Benzer belgeler

FONKSİYONLAR. Örnek: (2x-2,y-3)=(10,-3) olduğuna göre x ve y sayılarını bulunuz.

FONKSİYONLAR. Örnek: (2x-2,y-3)=(10,-3) olduğuna göre x ve y sayılarını bulunuz. 1 FONKSİYONLAR Sıralı İkili: A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, aa ve bb iken (a, b) ifadesine bir sıralı ikili denir. Burada a ya, sıralı ikilinin birinci bileşeni, b ye de ikinci bileşeni denir.