SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

Transkript

1 SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan homomorfizme monomorfizm Sadece örten olan homomorfizme epimorfizm Teorem 1: (Temel homomorfizm teoremi I. İzomorfizm teoremi): Ø:G G bir grup homomorfizmi ve K=çekf = {e} olmak üzere K G nin bir normal alt grubu olsun. O halde Ø (G) bir gruptur ve Ø (G) ile G/K arasında bir tabii izomorfizm vardır. Teorem 2 (II. İzomorfizm teoremi): K ve N, (G,o) grubunun iki alt grubu olsun. ayrıca N G olsun.buradan K/K N=KN/N dir. Teorem 3 (III. İzomorfizm teoremi): K ve N, (G,o) grubunun iki normal alt grubu olsun ve N K olsun.buradan (G/K)/(K/N) = (G/K) dir. Tanım 3 (G-cümlesi): (G,o) bir grup ve S de bir cümle olsun. f:gxs S f (g,x) = gx yazdığımızda her g 1, g 2 Є G ve her x Є S için : 1. ex =x 2. (g 1,g 2 )x=g 1 (g 2 )x Şartlarını sağlayan bir f fonksiyonu varsa G grubu S cümlesine etki ediyor denir veya S cümlesine G-cümlesi Tanım 4 (Grubun mertebesi): (G,o) bir grup olsun. G cümlesinin eleman sayısına (G,o) grubunun eleman sayısı Tanım 5 (Devirli grup): (G,o) bir grup olsun. (G,o) grubunun her elemanının ürettiği alt gruplardan birisi G ye eşit ise (G,o) grubuna devirli grup Tanım 6 (Elemanın mertebesi): (G,o) bir grup ve a Є G olsun. (G,o) grubunun a ile üretilen devirli alt grubunun mertebesine a elemanının mertebesi Tanım 7 (İndeks): (G,o) bir sonlu grup ve H<G olsun. H ın G deki birbirinden farklı sağ ve sol ötelemelerinin sayısına H ın G ye göre indeksi denir ve [G;H] ile gösterilir. Teorem 4 (Lagrange teoremi): (G,o) bir sonlu grup ve H<G olsun. H ın mertebesi G nin mertebesini tam böler. İSPAT: G nin eleman sayısı n ve H ın eleman sayısı m olsun. H ın G deki her ötelenmişi m elemanlıdır. (G,o) sonlu olduğundan bu ötelenmişlerin sayısıda sonludur. Ötelenmişlerin sayısı r olsun.bu ötelenmeler G nin bir parçalanışını verir.o halde n=m.r olur.yani H ın eleman sayısı G nin eleman sayısını böler. Tanım 8 (Normal alt grup): (G,o) bir grup ve H<G olsun Her x Є G için x.h =H.x önermesi doğru ise (H,o) grubuna G nin normal alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Tanım 9 (Doğal homomorfizm): (N,o) (G,o) olsun. O halde D:G G/N homomorfizmine doğal homomorfizm 1

2 Tanım 10 (Torsiyon grubu): (G,o) grubunun her elemanının mertebesi sonlu ise (G,o) grubuna torsiyon grubu (G,o) grubunun birim elemandan başka hiçbir elemanı sonlu mertebeden değilse (G,o) grubuna free(serbest) grup Tanım 11 (Basit grup): Bir grubun basit alt gruplarından başka normal alt grubu yoksa bu gruba basit grup Tanım 12 (Bölüm grubu): (G,o) bir grup ve H G olsun.h ın G deki birbirinden farklı ötelenmişlerinin cümlesine bölüm cümlesi denir ve G/H ile gösterilir.g/h cümlesi G nin alt grupları arasındaki çarpma işlemine göre bir gruptur. Bu gruba bölüm grubu Tanım 13 (Betti sayısı): F sonlu üretilmiş bir sonlu abel grup olsun. O halde : F:ZXZX...XZ (m-tane) olacak şekilde pozitif bir m tamsayısı vardır. Bu sayıya F nin betti sayısı Teorem 5 (Cayley teoremi): Her grup uygun bir S cümlesinin permütasyonları grubunun alt grubuna izomorftur. Tanım 14 (İzotropi grubu): Gx = { g Є G gx=x } cümlesi (G,o) grubunun bir alt grubudur. Bu alt gruba x i sabit tutan alt grup yada x in izotropi grubu Tanım 15 (Merkezleştirici): (G,o) bir grup olsun. (G,o) nin bir alt grubu G cümlesine eşlenik olma bağıntısı ile etki etsin.hx = {h Є H hxh -1 = x } izotropi grubuna x in H daki merkezleştiricisi Tanım 16 (P-grubu): G bir grup ve p bir asal sayı olsun. o halde G nin her elemanının mertebesi p nin bir kuvveti ise G grubuna p-grubu Tanım 17 (Sylow p-alt grubu): (G,o) bir grup ve H da G nin bir p-alt grubu olsun. bu alt grup G nin maksimal p-alt grubu ise H a G nin sylow p-alt grubu Teorem 6 (Cauchy teoremi): (G,o) sonlu bir grup ve p bir asal sayı olsun.eğer p sayısı G nin mertebesini bölüyorsa G nin mertebesi p olan bir elemanı vardır. Teorem 7 (I. Sylow teoremi): p bir asal sayı ve (p,m) = 1 olmak üzere G nin mertebesi p n m olsun. 1 i n olacak şekilde G nin mertebesi p i olan her alt grubu G nin mertebesi p i+1 olan alt grubunda normaldir. Teorem 8 (II.Sylow teoremi): (G,o) sonlu bir grup olsun. G grubunun bir p-alt grubu H ve bir sylow p-alt grubu P olsun. H<xPx -1 olacak şekilde x Є G vardır. Ayrıca G nin özellikle iki sylow p-alt grubu eşleniktir. Teorem 9 ( III.Sylow teoremi): (G,o) sonlu bir grup ve p bir asal sayı olsun. O halde G nin sylow p-alt gruplarının sp sayısı O(G) yi böler. Uygun bir k 0 tam sayısı için sp = k.p+1 dir. Tanım 18 (Birli işlem): Boş olmayan bir A cümlesinden A ya tanımlanan fonksiyona yani f:a A ifadesine birli işlem Tanım 19 (İkili işlem): A Ø, α Ø ve α AXA olsun. *: α A şeklinde tanımlanan fonksiyona ikili işlem 2

3 Tanım 20 (Yarı grup): A cümlesi o işlemine göre kapalı olsun. Eğer o işleminin birleşme özelliği varsa (A,o) ikilisine yarı grup Tanım 21 (Regüler eleman): (A,o) bir yarı grup olsun.her x, y Є A için : aox = aoy x = y önermesi doğru ise a elemanına soldan regüler eleman Her x, y Є A için : xoa = xoy x = y önermesi doğru ise a ya sağdan regüler eleman Tanım 22 (Birim eleman): Bir A cümlesinde tanımlanan o ikili işlemi verilmiş olsun. Her x Є A için e Є A vardır öyle ki xoe =eox =x oluyorsa e ye o işlemine göre birim eleman Tanım 23 (Ters eleman): A cümlesinde o işlemi verilmiş olsun. bu işleme göre A da birim eleman olduğunu ve e ile gösterildiğini kabul edelim. Her x Є A için y Є A vardır öyle ki xoy = yox = e oluyorsa y elemanına x elemanının o işlemine göre tersi Tanım 24 (Cebirsel yapı): Üzerinde en az bir ikili işlem tanımlı boş olmayan bir kümeye cebirsel yapı Tanım 25 (Bağıntı): A ve B cümleleri verildiğinde AXB nin her alt cümlesine A dan B ye bir bağıntı Tanım 26 (Denklik bağıntısı): β A da bir bağıntı olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan β bağıntısına denklik bağıntısı 1. a Є A için a β a ( Yansıma özelliği) 2. (a,b) Є β için (b,a) Є β (Simetri özelliği) 3. (a,b) Є β için (a,b) Є β ve (b,c) Є β ise (a,c) Є β (Geçişme özelliği) Tanım 27 (Grup): (G,o) cebirsel yapısı aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bu yapıya grup 1. G cümlesi o işlemine göre kapalıdır. 2. x,y,z Є G için (xoy)oz = xo(yoz) (Birleşme özelliği) 3. x Є G için y Є G bulmalıyız ki xoy = yox = x olsun. (Birim eleman) 4. x Є G için y Є G bulmalıyız ki xoy = yox = e olsun. (Ters eleman) Tanım 28 (Abel grup): (G,o) bir grup olsun. Eğer x,y Є G için xoy = yox önermesi doğru ise (G,o) bir değişimli yada abel gruptur Tanım 29 (Alt grup): G grubunun boş olmayan bir alt cümlesi olan H G deki işleme göre bir grup oluşturuyorsa H alt cümlesine G grubunun alt grubu Tanım 30 (Alt gruplar ailesi): I indisler cümlesi olmak üzere i Є I için (H i,o) çarpımsal grubu için (H i,o)< (G i,o) ise { H i i Є I } cümlesine G nin alt gruplar ailesi Tanım 31 (Permütasyon): Boş olmayan bir A cümlesi verilmiş olsun. A dan A ya birebir ve örten bir fonksiyona A da bir permütasyon Tanım 32 (Permütasyonlar grubu): Boş olmayan bir A cümlesinin bütün permütasyonlarının oluşturduğu (P A, o) grubuna A nın permütasyonları grubu 3

4 Tanım 33 (Tek ve çift permütasyon): Bir permütasyon σ Є S n olsun. σ permütasyonu çift sayıda transpozisyonun çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa σ ya çift permütasyon Eğer σ permütasyonu tek sayıda transpozisyonun çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa σ ya tek permütasyon Tanım 34 (Grup homomorfizmi): (G,o) ve (H,*) iki grup olsun.f:g H fonksiyonu x,y Є G için : f(xoy) = f(x)*f(y) şartını sağlıyorsa f fonksiyonuna G den H a bir grup homomorfizmi Tanım 35 (İzomorfizm): f: G H homomorfizmi birebir ve örten ise bu homomorfizme izomorfizm Tanım 36 (Halka): Boş olmayan H cümlesinde + ve * işlemleri tanımlansın. O halde (H,+,*) cebirsel yapısı aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa bu matematiksel yapıya halka 1. (H,+) bir abel gruptur. 2. H cümlesi * işlemine göre kapalıdır. 3. H cümlesi * işlemine göre birleşme özelliğine sahiptir. 4. * işleminin + işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. Tanım 37 (Halkanın sıfırı): (H,+,*) bir halka olsun. (H,+,*) halkasının + işlemine göre birim elemanına halkanın sıfırı Tanım 38 (Değişimli ve birimli halka): (H,+,*) bir halka olsun. Eğer ikinci işlemin değişme özelliği varsa (H,+,*) halkasına değişimli halka Eğer ikinci işlemin birim elemanı varsa bu halkaya birimli halka Tanım 39 (Yarı cisim): Birimli bir halkada halkanın sıfırı dışındaki her elemanının ikinci işleme göre tersi varsa bu halkaya yarı cisim Tanım 40 (Cisim): Değişimli yarı cisme cisim Tanım 41 (Alt halka): (H,+,*) bir halka olsun. S ise H ın boş olmayan bir alt cümlesi olsun. (S,+,*) cebirsel yapısı bir halka ise bu halkaya (H,+,*) halkasının alt halkası ({O},+,*) ve (H,+,*) alt halkalarına (H,+,*) halkasının basit halkaları Bunlardan başka alt halkalarına tam halka Tanım 42 (Asal cisim): Herhangi bir cismin kendisinden başka alt cismi yok ise bu cisme asal cisim Örneğin : (IR,+,*) bir asal cisim değildir çünkü (IR,+,*) cisminin bir alt halkası (Q,+,*) dır. Tanım 43 (Sıfırın bölenleri): (H,+,*) halkasının sıfırı O olsun. Bazı a,b Є H lar için : a O ve b O a*b=o önermesi doğru ise a ya sıfırın sol böleni ve b ye sıfırın sağ böleni Eğer halka değişimli ise a ve b ye sıfırın bölenleri Örneğin: (Z,+,*) sonlu olmadığından sıfırın bölenleri yoktur. Tanım 44 (Tamlık bölgesi): Değişimli ve birimli bir halkada sıfırın bölenleri yoksa bu halkaya tamlık bölgesi Örneğin: (Z,+,*) birimli ve değişimli bir halkadır ve sıfırın bölenleri yoktur. O halde bir tamlık bölgesidir. (C,+,*) bir tamlık bölgesi değildir. 4

5 Tanım 45 (Halkanın karakteristiği): (H,+,*) halkasının sıfırı O olsun. O halde x Є H için n Є Z + olacak şekilde n*x = O şartını sağlayan en küçük pozitif n tamsayısına halkanın karakteristiği Eğer böyle bir n tamsayısı yok ise halkanın karakteristiği O dır Tanım 46 ( İdeal): (H,+,*) bir halka I H ve I Ø olsun. O halde (I,+) (H,+) olmak üzere : 1. x Є H ve a Є I için x*a Є I ise I ya halkanın sol ideali 2. x Є H ve a Є I için a*x Є I ise I ya halkanın sağ ideali I halkanın hem sağ hem de sol ideali ise I ya halkanın ideali Örneğin : 3Z idealdir. Tanım 47 (Basit ideal): (H,+,*) halkasının sıfırı O olsun. O halde {O} ve H ideallerine halkanın gerçek olmayan idealleri veya basit idealleri Eğer halkanın bunlardan başka bir ideali varsa bu ideale halkanın gerçek ideali Tanım 48 (Basit halka): Gerçek ideali olmayan halkaya basit halka Tanım 49 (Temel ideal): (H,+,*) halkasının sol ideali I olsun. I = { x Є H h Є H, n Є Z için x = h*a } olarak yazılabiliyorsa I ya halkanın sol temel ideali (H,+,*) halkasının sağ ideali I olsun.i = { x Є H hє H, n Є Z için x = a*h } yazılabiliyorsa I ya halkanın sağ temel ideali I halkanın hem sol hem de sağ temel ideali ise I ya halkanın temel ideali Örneğin : 3Z cümlesi (Z,+,*) halkasının temel idealidir. Çünkü 3Z cümlesi (Z,+,*) halkasının idealidir. Ayrıca 3Z = {x Є H h Є H için x = 3h = h3 } olarak yazılabildiğinden dolayı burada 3Z cümlesi (Z,+,*) halkasının bir temel idealidir. Tanım 50 (Temel ideal halkası): Değişimli ve birimli bir halkanın her ideali temel ideal ise bu halkaya temel ideal halkası Tanım 51 (Asal ideal): Değişimli bir (H,+,*) halkasının H dan farklı bir ideali I olsun. h, k Є H için h*k Є I h Є H ve k Є I önermesi doğru ise I ya asal ideal Tanım 52 (Maximal ideal): (H,+,*) halkasının bir ideali I olsun. I yı gerçek ideal olarak alan bu halkanın gerçek ideali yok ise I ya halkanın maximal ideali Örneğin : 3Z (Z,+,*) halkasının bir maksimal idealidir. Tanım 53 (Bölüm halkası): (H,+,*) halkasının ideali I olsun. O halde a + I, b + I Є H/I için (a +I) (b + I) = a + b ve ayrıca (a + I) (b + I) = a*b +I şeklindedir. H/I cümlesi ve işlemlerine göre bir halkadır. Bu halkaya bölüm halkası Tanım 54 (Halka homomorfizmi): (H,+,*) ve (T,, ) iki halka olsun. f:h T fonksiyonu x,y Є H için : 1. f(x +y) = f(x) f(y) 2. f(x*y) = f(x) f(y) şartlarını sağlıyorsa f fonksiyonuna halka homomorfizmi Tanım 55 (Halkanın çekirdeği): (H,+,*) halkasının sıfırı O ve (H,, ) halkasının sıfırı e olsun. f:h H bir halka homomorfizmi olmak üzere K = çekf = { x Є H f(x) =e } cümlesine f homomorfizminin çekirdeği 5

6 Tanım 56 (Polinom): H bir halka olsun. H ın a 0,., a n. Elemanlarının sonlu sayıdakileri sıfırdan farklı ve diğerleri sıfır olmak üzere (a 0,., a n ) dizisine H üzerinde bir polinom Tanım 57 (Polinom halkası): (H,+,*) halkası üzerindeki polinomların H[X] = {p p = (a 0,.a n ),a i Є H } cümlesi (a 0,.a n ) (b 0,.b n ) = (a 0 + b 0,., a n + b n ) ve (a 0,.a n ) (b 0,.b n ) = (d 0,., d n ) işlemlerine göre bir halkadır bu halkaya polinom halkası Tanım 58 (Halkanın belirsizi): (H[X],, ) polinom halkasının x = (0,1,0,..) elemanına halkanın belirsizi Tanım 59 (Öklidiyen halka): Değişimli (H,+,*) halkasının sıfırı O olsun. H-{O} da Z + {O} cümlesine aşağıdaki iki şartı sağlayan bir d fonksiyonu varsa (H,+,*) halkasına öklidiyen halka 1. a,b Є H-{O} için d(a) d(ab) 2. a,b Є H-{O} için a =bt +r olacak şekilde H da t ve r elemanları r =0 ve d(r) <d(b) olacak şekilde bulunurlar. Teorem 10: Sonlu sıradan bir cismin karakteristiği pozitiftir. Teorem 11: Bir cismin gerçek ideali yoktur. Teorem 12: Her cisim bir tamlık bölgesidir. Teorem 13: Bir cismin karakteristiği ya sıfırdır yada asaldır. Teorem 14: (H,+,*) bir tamlık bölgesi olsun. H sonlu ise (H,+,*) bir cisimdir. Teorem 15: Devirli her grup değişmelidir. Teorem 16: n. Basamaktan devirli her grup (Z n, ) grubuna izomorftur. Teorem 17: Sonsuz basamaktan devirli her grup (Z,+) grubuna izomorftur. Teorem 18: Her cismin bir asal alt cismi vardır. Teorem 19: Değişimli ve birimli bir halkanın gerçek ideali yok ise bu halka bir cisimdir. Teorem 20: (H,+,*) tamlık bölgesi I cümlesi bunun bir ideali olsun. (H/I,+,*) halkasının cisim olması için gerek ve yeter şart I nın maximal ideal olmasıdır. 6

7 7