Soru Toplam Puanlama Alnan Puan

Transkript

1 ..04 No: Ad-Soyad: mza: Soru Toplam Puanlama Alnan Puan CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI ( K NC Ö RET M) Not: Süre 90 Dakika. stedi iniz 7 soruyu cevaplaynz.. R üzerinde standart topoloji tanml, A = [0, ] (, 3] R ve B = [0, ] R olmak üzere A ve B üzerinde alt uzay topolojisi tanml olsun. x, 0 x f : A B, f(x) = x, < x 3 dönü³ümünü ele alalm. a) (, 3] A nin kapal oldu unu gösteriniz ve f(a) görüntü kümesini bulunuz. b) f fonksiyonunun homemorzma olmad n açklaynz. a) (, 3] A kümesi (, 3] = A [ 3, 4] ³eklinde yazlabildi inden kapaldr. A uzaynn f altndaki görüntüsü de f(a) = B ³eklindedir. b) f dönü³ümü homeomorzma olsayd A nn kapal alt kümelerini B nin kapal alt kümelerine götürmesi gerekirdi. a) ³kknda (, 3] kümesi A da kapal olmasna ra men f((, 3]) = (, ] kümesi B de kapal olmad undan f dönü³ümü homeomorzma olamaz.

2 . Konveks küme tanmn veriniz. Konveks olma özelli inin topolojik uzay olup olmad n açklaynz. V, F cismi üzerinde bir vektör uzay A V alt kümesi olsun. E er A kümesinde herhangi iki a, b nokta ikilisi için t R, 0 t için ta + ( t)b noktas A nn eleman oluyorsa A kümesine konveks denir. Konveks uzay olma özelli i topolojik özellik de ildir. A³a daki iki ³ekil R vektör uzaynn iki alt kkümesi olarak ele alnsn. Bu iki küme birbirine homeomorftur ancak sa daki konveks uzay iken sa daki konveks uzay de ildir. 3. a) p : X Y sürekli dönü³üm olsun. E er p f = Y olacak ³ekilde f : Y X sürekli dönü³ümü varsa bu takdirde p identikasyon dönü³ümdür. spatlaynz. b) R üzerinde standart topoloji ve R üzerinde çarpm topolojisi mevcut iken g : R R, (x, y) g(x, y) = x + y dönü³ümünün identikasyon dönü³ümü oldu unu gösteriniz. a) p f = Y oldu undan p dönü³ümü örtendir. ( ) p dönü³ümü hipotezde sürekli oldu undan V Y açk için p (V ) X açktr. p (V ) X açk olsun. f sürekli oldu undan f p (V ) Y açk kümedir. Buradan elde edilir. O halde V kümesi Y de açktr. (p f) (V ) = V b) g dönü³ümü polinom fonksiyonu oldu undan süreklidir. f : R R, t (0, t)

3 olarak alalm. Bile³enleri sürekli oldu undan f süreklidir. Ayrca g f(t) = g(0, t) = t oldu undan a) ³kkndaki hipotezler sa lanm³ olur. O halde g dönü³ümü identikasyon dönü³ümdür. 4. R üzerinde alt limit topoloji tanml ve Y = Z tamsaylar kümesi olmak üzere f : R Y, x f(x) = [ x ] tam de er fonksiyonu verilsin. Bu durumda Y üzerindeki identikasyon topolojisinin ayrk(diskret) oldu unu gösteriniz. Y üzerindeki identikasyon topolojisinin ayrk oldu unu göstermek³e z Y için {z} tek noktal kümelerinin identikasyon topolojisinde açk oldu unu göstermekle ayndr. Y üzerindeki identikasyon topolojisi τ Y = {G Y : f (G) R açk} ³eklinde tanmlanr. Buna göre z Y için f ({z}) = [z, z + ) alt kümesi R üzerindeki alt limit topolojisine göre açk oldu undan {z} kümesi Y de açk olacaktr. 5. A³a da ³ekilde verilen kahve ncan ve altl nn bir ekli uzay yapsna sahip oldu unu açklaynz. Kahve ncan ve altl n R 3 ün birer alt kümeleri gibi dü³ünelim. Buna göre X uzay kahve barda, A kapal alt kümesini barda n taban ve Y uzayn da ncan taba olarak dü³ünelim. A kapal alt kümesi diske homeomorftur. A alt kümesi Y nin ortasndaki diske gömülece inden f : A Y sürekli dönü³ümünü bu ³ekilde alabiliriz. Buna göre ³ekildeki resmi X f Y ekli uzay gibi dü³ünebiliriz. 6. X bir topolojik uzay, x 0, x, x X olmak üzere f : I X x 0 dan x e bir yol ve g : I Y x den x ye bir yol olsun. Bu durumda f g = g f oldu unu ispatlaynz.

4 f(( s)), 0 s f g(s) = (f g)( s) = g(( s) ), s f( s), = s g( s), 0 s elde edilir. imdi de e³itli in öteki tarafna bakalm. g( s), 0 s g(s) f(s) = g( s) f( s) = f( s ), s g( s), 0 s = f( s), s 7. X ve Y uzaylar verildi inde [X, Y ] notasyonu X den Y uzayna giden sürekli dönü³ümlerin homotopi snarnn kümesini göstersin. Bu takdirde I = [0, ] R birim aralk olmak üzere a) X den I uzayna giden herhangi iki f, g : X I sürekli dönü³ümünün birbirine homotop oldu unu gösteriniz. b) a) ³kkndan hareketle [X, I] kümesinin tek elemanl oldu unu gösteriniz. a) f ile g arasnda H : X I I, (x, t) H(x, t) = ( t)f(x) + tg(x) dönü³ümünü tanmlayalm. I uzay konveks oldu undan bu dönü³üm tanmldr. Ayrca R de toplama ve çarpma i³lemi sürekli oldu undan H dönü³ümü süreklidir. H(x, 0) = f(x), ve H(x, ) = g(x) oldu undan H homotopi fonksiyonudur. b) X den I ya giden herhangi iki sürekli dönü³üm birbirine homotop oldu undan ayn denklik snfnda yer alacaklardr. O halde [X, I] kümesi tek elemanldr. 8. X bir topolojik uzay olsun. E er f : X X birim dönü³ümü sabit bir dönü³üme homotop ise bu takdirde key bir Y topolojik uzay için g : Y X sürekli dönü³ümü de sabit bir dönü³üme

5 homotop olur. spatlaynz. f birim dönü³ümünün bir x 0 X noktas üzerindeki c : X X, x c(x) = x 0, x sabit dönü³üme homotop oldu unu kabul edelim. O zaman H(x, 0) = f(x) = x, ve H(x, ) = c(x) = x 0 olacak ³ekilde H : X I X sürekli dönü³ümü vardr. Y herhangi bir topolojik uzay olmak üzere g : Y X sürekli dönü³ümünü alalm. K : Y I g id X I H X K dönü³ümü H (g id) ³eklinde tanmlansn. H ve g id sürekli oldu undan K da süreklidir. Ayrca K(x, 0) = H (g id)(y, 0) = H(g(y), 0) = g(y) K(x, ) = H (g id)(y, ) = H(g(y), ) = c(g(y)) = x 0 oldu undan g dönü³ümü de sabit dönü³üme homotoptur. Ba³arlar Dilerim. Prof. Dr. smet KARACA