MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER"

Transkript

1 ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say s b) Sonlu kümeler c) Sonsuz kümeler ç) Bofl kümeler d) Eflit kümeler e) Denk kümeler 4. ALT KÜME (KÜME PARÇASI) a) Alt küme b) Alt kümenin özelikleri c) Alt küme say s ç) Özalt küme I. Özalt küme II. Özalt kümelerin say s d) n elemanl bir kümenin r elemanl alt küme say s e) Kuvvet kümesi 5. KÜMELERDE filemler a) Kümelerin birleflim ifllemi ve özelikleri I. Kümelerin birleflim ifllemi II. Birleflim iflleminin özelikleri b) Kümelerin kesiflim ifllemi ve özelikleri I. Kümelerin kesiflim ifllemi II. Kesiflim iflleminin özelikleri c) Ayr k kümeler ç) Kümelerde da lma özelikleri I. Kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine da lma özeli i II. Birleflim iflleminin kesiflim ifllemi üzerine da lma özeli i 39

2 d) Birleflim kümesinin eleman say s I. ki kümenin birlefliminin eleman say s II. Üç kümenin birlefliminin elaman say s 6. EVRENSEL KÜME a) Evrensel küme b) Evrensel kümenin özelikleri 7. TÜMLEME a) Tümleme b) Tümleme iflleminin özelikleri c) De Morgan kural 8. K KÜMEN N FARKI a) Kümelerde fark ifllemi b) Kümelerde fark iflleminin özelikleri c) ki kümenin simetrik fark ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖZET ALIfiTIRMALAR TEST II 40

3 BU ÜN TEN N AMAÇLARI MATEMAT K 1 * Bu bölümde günümüz matemati inde kullan lan kümeleri tan mlayabilecek, baz nesnelerin kümeye ait olup olmad n aç klayabilecek, * Kümeleri liste, Venn flemas ve ortak özelik yöntemi ile gösterimini yazabilecek, * Kümelerin karfl laflt r lmas nda, kümenin eleman say s n, sonlu kümeler, sonsuz kümeler, bofl kümeler, eflit ve denk kümeleri aç klayabilecek, * Bir kümenin tüm alt kümelerinin say s n ve belirli say da eleman içeren alt kümelerinin say lar n bulabilecek, * Özalt küme ve kuvvet kümesini aç klayabilecek, özalt kümenin eleman say lar n bulabilecek, * Sonlu say daki kümelerin birleflim ve kesiflim ifllemini ve özeliklerini gösterebilecek, ki veya üç kümenin birlefliminin eleman say s n bulabilecek, * Evrensel kümeyi ve bir kümenin tümleyenini aç klayabilecek. Tümleme iflleminin özeliklerini ve De Morgan kurallar n gösterebilecek, * ki kümenin fark n aç klayabilecek. Fark iflleminin özeliklerini gösterebilecek, * Kümelerdeki ifllemleri kullanarak problemler çözebileceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Konunun bir k sm n ilkö retimde gördü ünüzden, konunun iyi anlafl lmas için tekrar ediniz. Eski bilgilerinizi hat rlamaya çal fl n z. * Ders notlar aras ndaki ve konunun sonunda verilen çeflitli örnekleri inceledikten sonra, çözümlerine bakmadan bir de siz çözmeye çal fl n z. Tak ld n z yerde, dönüp çözüme bak n z. * Konuya ait uygun olarak haz rlanm fl kaynak kitaplardan faydalan n z. Çok say da soru çözünüz. * Konu sonunda verilen araflt rma ve de erlendirme testi sorular n cevaplay n z. Tak ld n z yerde, ilgili konuyu tekrar gözden geçiriniz. 41

4 1. TANIM ÜN TE II KÜMELER Kümeler, günümüz matemati inde en önemli konular ndan biridir. Birçok problemin anlat m n ve çözümünü kolaylaflt r r. Küme, matemati in tan ms z terimlerinden biridir. Kümeleri, s n rlar kesin olarak belirtilmifl, nesneler toplulu u olarak kabul edece iz. Kümeyi meydana getiren nesnelerin, herkes taraf ndan ayn flekilde, aç k seçik anlafl lmas ve belli bir anlam olmas gerekir. Bir kümeyi oluflturan nesnelerden her birine, kümenin eleman denir. a elaman A kümesine ait ise a A fleklinde yaz l r. a, A kümesinin eleman d r. diye okunur. a, eleman A kümesine ait de il ise a A fleklinde yaz l r. a, A kümesinin eleman de ildir. diye okunur. Kümeler genellikle büyük harflerle, elemanlar da küçük harflerle gösterilir. ÖRNEK 2.1 Afla daki ifadelerden hangisinin, bir kümeyi belirtip belirtmeyece ini inceleyelim. a) 5 ile 12 aras ndaki do al say lar b) S n f n zdaki çal flkan ö renciler. c) 30 gün süren aylar. d) Alfabemizdeki baz harfler. Örne in a ve c seçene indeki ifadeler, birer küme belirtir. Çünkü hangi nesnelerin hangi kümenin, kapsam na al naca ve hangilerinin al nm yaca kesinlikle bellidir. b ve d seçene indeki ifadeler birer küme belirtmez. Çünkü kümeyi meydana getiren nesneler aç k ve anlafl labilir de ildir KÜMELER N GÖSTER M a. Liste Yöntemi ile Gösterimi Kümeyi meydana getiren nesneler, { } içerisinde ve aralar na virgül konularak yaz l r. Kümenin bu flekilde gösterilmesine, Liste yöntemi ile gösterimi denir. Kümenin liste fleklindeki yaz l fl nda, elemanlar n yaz l fl s ras önemli de ildir. Kümeye her eleman bir defa yaz l r.

5 ÖRNEK 2.2 Alfebemizdeki sesli harflerden oluflan A kümesini liste yöntemi ile yazal m. A = {a,, o, u, e, i, ö, ü} fleklinde yaz l r. b. Venn fiemas ile Gösterimi Kümeyi meydana getiren nesnelerin adlar, resimleri ya da simgeleri kapal bir e ri çizgisinin içine al n r. Kümenin bu flekilde gösterilmesine, Venn fiemas ile Gösterimi denir. Kümenin elemanlar n n, küme içinde yaz ld yerler önemli de ildir. ÖRNEK 2.3 Liste yöntemi ile verilen A = {1, 2, 3, 4} ve B = { 1,3, 5} kümelerini, Venn flemas ile gösterelim. A ve B kümelerin Venn flemas ile gösterimi flekil 2.1 de yap lm flt r. ( fiekil 2.1) Siz de baz kümeler yazarak, bunlar liste yöntemi ve Venn fiemas ile gösteriniz. c. Ortak Özelik Yöntemi ile Gösterimi Kümenin elemanlar aras nda ortak bir özelik varsa, bu özelik belirtilerek küme gösterilebilir. Kümenin bu flekilde yaz lmas na, ortak özelik yöntemi ile gösterimi denir. ÖRNEK 2.4 Liste yöntemi ile verilen A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesini ortak özelik yöntemi ile gösterelim. A kümesinin her bir eleman do al say d r. Bu say lar s f rdan büyük, yediden küçüktür. Bu nedenle bu kümeyi A ={x 0 < x < 7 ve x do al say d r} fleklinde yaz l r. x öyleki, s f rdan büyük yediden küçük ve x do al say d r. diye okunur. 43

6 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a. Kümenin Eleman Say s Bir kümeye ait eleman say s na kümenin eleman say s denir. Bir A kümesinin n tane eleman varsa, s (A) = n fleklinde gösterilir. ÖRNEK 2.5 Verilen A ={ a, b, {a, b}, c} kümesinin eleman say s n bulal m. Verilen A kümesinin eleman say s dörttür. s(a) = 4 fleklinde gösterilir. b. Sonlu Kümeler: Elemanlar say larak belirtilebilen kümelere sonlu kümeler denir. ÖRNEK 2.6 Verilen A = {x 1 < x 4 ve x do al say d r.} kümesi sonlu bir kümedir. Çünkü elemanlar say larak, üç elemanl bir küme oldu u görülüyor. c. Sonsuz Kümeler: Elemanlar say larak belirtilemeyen veya say lam yacak kadar çok elemanl olan kümelere, sonsuz kümeler denir. ÖRNEK 2.7 Bir do ru üzerindeki noktalar kümesi, do al say lar ve tam say lar kümesinin elemanlar say lamayacak kadar çoktur. Bunun için bu kümelere sonsuz küme denir. 44 ç. Bofl Küme Hiçbir eleman olmayan kümeye, bofl küme denir. Bofl küme, ya da { } fleklinde gösterilir. ÖRNEK 2.8 Günlerin say s 32 olan aylar veya Ay da yaflayan insanlar n kümesi bofl kümedir. Çünkü bu kümelerin elemanlar yoktur. Siz de baz kümeler yazarak, bunlar n eleman say lar n söyleyiniz. Sonlu, sonsuz ve bofl kümeye ait çeflitli örnekler yaz n z. Bunun nedenlerini aç klay n z.

7 d. Eflit Kümeler Herhangi iki A ve B kümeleri verilmifl olsun. A kümesinin her eleman, B kümesinin de bir eleman ysa ve B kümesinin her eleman da, A kümesinin bir eleman ysa, A ile B kümeleri eflittir. Ayn elemanlardan oluflan kümelere, eflit kümeler denir. A = B fleklinde gösterilir. A kümesi B kümesine eflittir diye. okunur. Herhangi iki küme eflit de ilse, bu kümelere, farkl kümeler denir. ÖRNEK 2.9 A = {x 1 < x < 6 ve x do al say d r.} kümesi ile B = {2, 3, 4, 5} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin eflit kümeler oldu unu gösterelim. A kümesinin her eleman, B kümesinin bir elam n d r. B kümesinin her elaman da, A kümesinin bir elam n d r. O halde, A ve B kümeleri eflit kümelerdir. A = B dir. e. Denk Kümeler: Herhangi iki A ve B kümeleri verilmifl olsun. A ve B kümesinin elemanlar, bire bir efllenebiliyorsa bu kümelere, denk kümeler denir. Tan ma göre, eleman say lar eflit olan kümeler denk kümelerdir. A ve B gibi iki küme birbirine denk ise A B fleklinde gösterilir. A kümesi B kümesine denktir. diye okunur. Bütün eflit kümeler denk kümelerdir. Fakat denk kümeler eflit kümeler olmayabilir. ÖRNEK 2.10 A = {3, 5, 7} ile B = { a, b, c} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin denk kümeler oldu unu gösterelim. A ve B kümelerin eleman say lar eflit oldu undan, bu kümelerin elemanlar aras nda birebir eflleme yap labilmektedir. O halde, A ve B kümeleri denk kümelerdir. Sizde eflit ve denk kümeler yaz n z. Nedenlerini aç klay n z. 45

8 4. ALT KÜME (KÜME PARÇASI) a) Alt Küme Herhangi iki A ve B kümeleri verilmifl olsun. A kümesinin her eleman B kümesinin de bir eleman ise A kümesine B kümesinin bir alt kümesi denir. A B fleklinde yaz l r A alt küme B diye okunur. Bu tan ma göre, (A B) ( x A x B) dir. A B yi flekil 2.2 deki gibi Venn flemas ile gösterelim. (fiekil: 2.2) fiekil 2.2 deki Venn flemas nda B kümesi, A kümesini içine ald ndan, B A d r. Bu da B kapsar A diye okunur. A kümesinde olup B kümesinde olmayan en az bir eleman varsa, A kümesi B kümesinin bir alt kümesi de ildir. Bu durumda B kümesi A kümesini kapsamaz B A veya A B fleklinde gösterilir. ÖRNEK 2.11 A = {a, b, c, d, e} ve B = {a, c, e} kümeleri veriliyor. B kümesi, A kümesinin bir alt kümesi oldu unu Venn flemas yla gösterelim. (fiekil: 2.3) 46 fiekil 2,3 de Venn flemas nda A ile B kümeleri gösterilmifltir. Burada B A d r.

9 b. Alt Kümenin Özelikleri: 1. Etkisiz eleman özeli i: Bofl küme, her kümenin bir alt kümesidir. ( A) 2. Yans ma özeli i: Her küme, kendisinin bir alt kümesidir. (A A) 3. Geçiflme özeli i: A, B ve C kümeleri için, A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B kümesi de C kümesinin alt kümesi ise A kümesi C kümesinin bir alt kümesidir. (A B)Λ (B C) (A C) (geçiflme özeli i) 4. Ters simetri özeli i: A ve B kümeleri için, A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B kümesi de A kümesinin alt kümesi ise A kümesi B kümesine eflittir. (A B) Λ (B A) (A = B) O halde, karfl l kl olarak birbirinin alt kümesi olan iki küme, birbirine eflittir. Siz de baz kümeler yazarak, alt küme özeliklerinin do rulu unu gösteriniz. c. Alt Küme Say s Verilen bir kümenin alt küme say s n bir örnekle aç klayal m. ÖRNEK 2.12 Verilen A = {1, 2, 3 } kümesinin eleman say s s (A) = 3 tür. Bu kümenin alt kümelerini yazal m. Bofl küme (eleman olmayan alt küme): Bir elemanl alt kümeleri: {1 }, { 2}, { 3 } ki elemanl alt kümeleri: {1, 2} {1, 3}, {2, 3} Üç elemanl alt küme (Kümenin kendisi) : {1, 2, 3} dir. A kümesinin bütün alt kümelerini yazarsak,, {1 }, { 2}, { 3 }, {1, 2} {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} fleklindedir. Böylece A kümesinin bütün alt kümelerin say s sekiz tane olur. Eleman say s verilen alt küme say s Eleman olmayan bofl kümenin alt küme say s, Bir elemanl bir kümenin alt küme say s, ki elemanl bir kümenin alt kümesi say s, Üç elemanl bir kümenin alt küme say s, 2 0 = 1 dir. 2 = 2 1 = 2 dir. 2 x 2 = 2 2 = 4 tür. 2 x 2 x 2= 2 3 = 8 dir. 47

10 Bu flekilde devam edersek n elemanl bir kümenin alt küme say s 2 x 2 x... x 2 = 2 n olur. n tane Bir kümenin alt kümelerinin say s bulunurken, kümenin eleman say s kadar 2 yan yana yaz larak çarp l r. O halde, n elemanl bir kümenin alt küme say s 2 n ile bulunur. ÖRNEK 2.13 A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin kaç tane alt kümesi oldu unu bulal m. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin eleman say s s (A) = 6 oldu undan, Alt küme say s : 2 n = 2 6 = 64 tanedir. ç. Özalt Küme I. Özalt Küme Bir kümenin e er varsa kendisinden baflka her alt kümesine, bu kümenin bir özalt kümesi denir. ÖRNEK 2.14 A = {a, b, c } kümesinin özalt kümelerini yazal m. Tan ma göre, yazmam z gereken kümeler;, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, (b, c} olur. II. Özalt kümelerin say s n elemanl bir kümenin alt küme say s 2 n dir. Her küme kendisinin alt kümesidir. Kendinden baflka her alt küme bir özalt küme olaca ndan, özalt kümelerinin say s 2 n - 1 olur. ÖRNEK 2.15 Özalt küme say s 31 olan kümenin, eleman say s n bulal m. Kümenin eleman say s n olsun. Özalt küme say s 2 n - 1 dir. Bu ifadeye göre, 2 n - 1= 31 ; 2 n = 32 ; 2 n = 2 5 ; n = 5 dir. O halde, kümenin eleman say s 5 olur. 48

11 ÖRNEK 2.16 Alt küme say s ile özalt küme say s n n toplam 63 olan kümenin, kaç elemanl oldu unu bulal m. 2 n + 2 n - 1 = 63 ; 2. 2 n = 64 ; 2 n = 32 2 n = 2 5 ; n = 5 dir. O halde, küme 5 elamanl d r. d. n elemanl bir kümenin r elemanl alt küme say s 1. n elemanl bir kümenin r elemanl alt kümelerinden her birine, n nin r li kombinasyonu denir. Buna göre, n elemanl bir kümenin r elemanl alt kümelerinin say s ; C n, r = n r = n! r! n - r! n r ifadesi ile hesaplan r. 2. n elemanl bir kümenin en çok r elemanl alt küme say s, n 0 + n 1 + n n r ifadesi ile hesaplan r. 3. n elemanl bir kümenin en az r elemanl alt küme say s, n r + n r+1 + n r n n ifadesi ile hesaplan r. 4. n elemanl bir kümenin alt küme say s, n 0 + n 1 + n n n = 2n olur. ÖRNEK 2.17 Befl elemanl bir A kümesinin, üç tane eleman olan alt kümelerinin say s n bulal m. C 5,3 = 5! 3! 5-3! = 5! 3!. 2! = 5. 4 = 10 tanedir. 2 49

12 ÖRNEK 2.18 Alt tane eleman olan bir A k ü m e s i n i n, en az üç eleman olan alt kümelerinin say s n bulal m. I. Yol: Alt elemanl bir kümenin en az üç elemanl alt küme say s, kombinasyonu ile hesaplan r. = 6! 3! 6-3! + 6! 4! 6-4! + 6! 5! 6-5! + 6! 6! 6-6! = 6! 3!. 3! + 6! 4!. 2! + 6! 5!. 1! + 6! 6!. 0! = = = 42 tanedir. II. Yol A, kümesinin alt kümelerinin say s, 2 6 = 64 tanedir. Bofl küme (eleman olmayan küme), 1 tanedir. Bir eleman olan alt kümelerinin say s, 6 tanedir. ki eleman olan alt kümelerinin say s, 6, 2 = 6! 2! 6-2! = 6! 2!. 4! = 15 tanedir. Buna göre, en az üç tane eleman olan alt kümelerinin say s, ( ) = = 42 tanedir. ÖRNEK 2.19 A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesi veriliyor. Bu kümenin en çok iki elemanl alt küme say s n bulal m. A = { 1, 3, 5, 7, 9 } oldu undan s (A) = 5 tir. Buna göre, en çok iki elemanl alt küme say s, = 5! 0! 5-0! + 5! 1! 5-1! + 5! 2! 5-2! 50 = 5! 5! + 5! 4! + 5! = = 16 tanedir. 2!. 3!

13 e. Kuvvet kümesi A herhangi bir küme olmak üzere, A kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine, A kümesinin kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir. n elemanl bir A kümesinin kuvvet kümesinin eleman say s 2 n dir. s [p(a)] = 2 n olur. ÖRNEK 2.20 A = {3, 5, 7} kümesi veriliyor. A kümesinin kuvvet kümesini yazal m. Kuvvet kümesinin eleman say s n bulal m. Verilen A kümesinin bütün alt kümelerini yazarsak, P(A) = {, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7} olur. Böylece A kümesinin kuvvet kümesini yazm fl oluruz. A kümesinin eleman say s n = 3 oldu undan, s[p(a)] = 2 n ifadesinden, 2 3 = 8 dir. O halde, A kümesinde kuvvet kümesinin eleman say s 8 olur. 5. KÜMELERDE filemler a. Kümelerin Birleflimi Ve Özelikleri I. Kümelerin Birleflimi Ave B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlar ndan oluflan kümeye, bu iki kümenin bileflimi denir. A B fleklinde gösterilir. A bileflim B diye okunur. A ile B kümelerinin bileflimi, A B = {x x A Vx B} fleklinde tan mlan r. Bu tan ma göre göre, A (A B) ve B (A B) dir. ÖRNEK 2.21 Afla daki ifllemlerde verilen kümeler için birleflim kümesini yazal m. 1. {1, 2, 3, 4} {5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} 3. {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} 4. {1, 2, 3, 4} { } = {1, 2, 3, 4} 5. {1, 2, 3, 4} {3, 4} = {1, 2, 3, 4} 51

14 Yukar da verilen örnekleri dikkatlice inceleyiniz. Sizde bunlara ait örnekler yaz n z. Venn flemas nda gösteriniz. II. Birleflim flleminin Özelikleri 1. Tek kuvvet özeli i: Her A kümesi için, A A = A d r. 2. De iflme özeli i: Her A ve B kümesi için, A B = B A d r. 3. Birleflme özeli i: Her A, B ve C kümesi için, (A B) C) = A (B C) d r. 4. Etkisiz eleman özeli i: Her A kümesi için, A = A = A d r. Birleflim iflleminde birim (etkisiz) eleman dir. ÖRNEK 2.22 A = {1, 2, 3, 5}, B = {3, 5} ve C = {3, 4, 6} kümeleri veriliyor. Buna göre (A B) C kümesini Venn flemas ile gösterelim. Liste yöntemi ile yazal m. (A B) C kümesi fiekil 2.4 de Venn flemas ile gösterilmifltir. (fiekil 2.4) A, B ve C kümelerinin birleflimini liste yöntemi ile yazmak istersek A B = {1, 2, 3, 5} kümesidir. (A B) C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi olur. 52

15 b. Kümelerin Kesiflimi ve Özelikleri I. Kümelerin Kesiflimi A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlar ndan oluflan kümeye, bu iki kümenin kefliflimi denir. A B fleklinde gösterilir. A keflisim B diye okunur. A ile B kümelerinin kesiflimi A B = {x x A Λ x B} fleklinde tan mlan r. Bu tan ma göre, (A B) A ve (A B) B dir. ÖRNEK 2.23 Afla daki ifllemlerde verilen kümeler için kesiflim kümelerini yazal m. 1. {1, 2, 3, 4} {5, 6} = { } 2. {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5} = {3, 4 } 3. {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} 4. {1, 2, 3, 4} { } = { } 5. {1, 2, 3, 4} {3, 4} = {3, 4} Yukar da verilen örnekleri dikkatlice inceleyiniz. Siz de bunlara ait örnekler yaz n z. Venn flemas nda gösteriniz. II. Kesiflim flleminin Özelikleri 1. Tek kuvvet özeli i: Her A kümesi için, A A = A d r. 2. De iflme özeli i: Her A ve B kümesi için, A B = B A d r. 3. Birleflme özeli i : Her A, B ve C kümesi için, A (B C) = (A B) C dir. 4. Yutan eleman özeli i : Her A kümesi için, A = A = d r. Kesiflim iflleminde yutan eleman ( ) Bofl kümedir. ÖRNEK 2.24 A = {a, b, c, d, e} ve Β = {c, d, e, f, g} kümeleri veriliyor. A B kümesini liste fleklinde yazal m ve Venn flemas ile gösterelim. A ve B kümelerin kesiflimini liste yöntemi ile yazarsak, A B = {c, d, e} d i r. 53

16 Venn flemas fiekil 2.5 de gösterilmifltir. (fiekil 2.5) c. Ayr k Küme Kesiflimleri bofl küme olan iki kümeye ayr k kümeler denir. O halde, A ve B kümeleri ayr k kümeler ise A B = dir. ÖRNEK 2.25 A = {a, b, c, d} ve B= {e, f, g, h} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin ayr k kümeler oldu unu gösterelim. A ve B kümelerin kesiflim ifllemini yaparsak, A B = {a, b, c, d} {e, f, g, h} = { } dir. O halde, A ve B kümelerin kesiflimleri bofl küme oldu undan ayr k kümelerdir. ç. Da lma Özelikleri I. Kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine da lma özeli i A, B ve C herhangi üç küme olsun. A (B C) = (A B) (A C) dir. Bu özeli e, kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine soldan da lma özeli i denir. (A B) C = (A C) (B C) dir. Bu özeli e, kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine sa dan da lma özeli i denir. 54

17 Kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine hem soldan hem de sa dan da lma özeli i oldu undan, kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine da lma özeli i vard r denir. II. Birleflim iflleminin kesiflim ifllemi üzerine da lma özeli i A, B ve C herhangi üç küme olsun. A (B C) = (A B) (A C) dir. Bu özeli e, birleflimi iflleminin, kesiflim ifllemi üzerine, soldan da lma özeli i denir. (B C ) A = (B A) (C A) d r. Bu özeli e birleflim iflleminin, kesiflim ifllemi üzerine, sa dan da lma özeli i denir. Birleflim iflleminin kesiflim ifllemi üzerine hem soldan, hem de sa dan da lma özeli i oldu undan, birleflim iflleminin kesiflim ifllemi üzerine da lma özeli i vard r denir. d. Birleflim Kümesinin Eleman Say s I. ki kümenin birlefliminin eleman say s Bofl küme olmayan farkl ve sonlu A ve B kümeleri için, s (A B) = s (A) + s (B) - s (A B) dir. A ve B kümeleri ayr k kümeler ise, A B = ve s (A B) = 0 olaca ndan, s (A B) = s (A) + s (B) olur. II. Üç kümenin birlefliminin eleman say s Bofl küme olmayan farkl ve sonlu A, B ve C kümeleri için, s(a B C) = s(a) + s(b) + s(c) - s(a B) - s(a C) - s(b C) + s(a B C) dir. ÖRNEK 2.26 Verilen A ve B kümeleri için s (A) = 8, s (B) = 9 ve s (A B) = 3 oldu una göre, s (A B) bulal m. s (A B) = s (A) + s (B) - s( A B) ifadesinden, s (A B)= = 14 olur. 55

18 ÖRNEK 2.27 Bir s n ftaki ö rencilerden 25 i matematik 18 i ingilizce kursuna gidiyor. Bunlardan 9 u her iki kursada gitti ine göre, bu s n fta kurslara kat lan ö rencilerin, kaç kifli oldu unu bulal m. Problemde verilenlere göre, s ( M) = 25, s ( ) =18 ve s ( M ) = 9 dur. s (M ) = s (M) + s ( ) - s (M ) ifadesinden, s ( M ) = = 34 kifli olur. 6. EVRENSEL KÜME a. Evrensel küme Elemanlar incelenen kümeye göre, yap lmas gereken bütün ifllemleri içine alabilecek flekilde belirlenen, en genifl kümeye evrensel küme denir. Genel olarak E ile gösterilir. Evrensel küme sonlu veya sonsuz küme olabilir. Evrensel küme, incelenen probleme göre de iflir. Hiç bir zaman bofl küme olamaz. Evrensel kümeyi Venn flemas ile gösterirken, di er kümelerden ay rt etmek için dikdörtgen fleklinde gösterilir. ÖRNEK 2.28 Do al say larda çözülen probemler için evrensel küme, bütün do al say lard r. Tam say larda çözülen problemler için evrensel küme, bütün tam say lard r. b. Evrensel kümenin özelikleri A çözüm kümesi çözüm için al nan E evrensel kümenin bir alt kümesidir. Buna göre, A E dir. A çözüm kümesi, çözüm için al nan E evrensel küme ile kesiflimi, A çözüm kümesine, A çözüm kümesinin çözüm için al nan E evrensel küme ile birleflimi E evrensel kümesine eflittir. Buna göre, A E = A ve A E = E olur. 56

19 7. TÜMLEME a. Tümleme E evrensel kümesi içinde bir A kümesi veriliyor. A kümesi, E evrensel kümenin bir alt kümesidir. Buna göre, E evrensel kümesine ait olup, A kümesine ait olmayan elemanlar n oluflturdu u kümeye, A kümesinin tümleyeni denir. A veya A sembolü ile gösterilir (fiekil 2.6). (fiekil 2.6) Buna göre, A = {x x E Λ x A} fleklinde yaz l r. Burada, A A = E ve A A = dir. Bir kümenin tümleyeni evrensel kümeye göre belirtilir. Buna göre, bir kümenin farkl evrensel kümelerde tümleyenleri de farkl d r. Bir A kümesinden A kümesini elde etme ifllemine, tümleme ifllemi denir. ÖRNEK 2.29 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ve A = {1, 3, 5, 7, 9} kümeleri veriliyor. A kümesinin tümleyenini liste yöntemi ile yazal m. Venn flemas ile gösterelim. A kümesinin tümleyenini liste yöntemi ile yazmak istersek, A = {2, 4, 6, 8} kümesi olur. Venn flemas ile gösterimi (fiekil. 2.7) de gösterilmifltir. (fiekil 2.7) 57

20 b. Tümleme iflleminin özelikleri A, B herhangi iki küme, E evrensel küme ve A kümesi A kümesinin, B kümesi B kümesinin tümleyeni ise tümleme iflleminin afla daki özelikleri vard r. 1. (A ) = Α 2. Ε = 3. = Ε 4. Α Α = 5. A A = E 6. A E = E 7. A E = A 8. A B B A 9. s (A) + s (A ) = s (E) c. De Morgan Kural A ve B herhangi iki küme olsun. Bu kümeler üzerinde yap lan birleflim, kesiflim ve tümleme ifllemleri aras nda De Morgan kurallar vard r. Buna göre, I. ( A B) = A B ve II. (A B) = A B dir. ÖRNEK Verilen [A (B A)] ifadesini en sade flekilde yazal m. [A (B A )] = (Α ) (B A) = A (B A ) = (A B ) (A A ) = (A B ) = A B olur. 58

21 8. K KÜMEN N FARKI a. Kümelerde fark ifllemi A ve B iki küme olsun. A kümesine ait olup B kümesine ait olmayan elemanlardan meydana gelen kümeye A fark B kümesi denir. A \ B veya A B fleklinde gösterilir. Buna göre, A \ B = { x x A ve x B} olur. fiekil 2.8 de Venn flemas ile gösterilmifltir. (fiekil 2.8) ÖRNEK 2.31 A = {1, 2, 3, 6, 8} v e B = {1, 3, 5, 7, 9} kümeleri veriliyor. A \ B v e B \ A k ü m e l e r i n i liste yöntemi ve Venn flemas ile gösterelim. Verilen A ve B kümeleri için, A\B = { 2, 6, 8} ve B\A = {5, 7, 9} olur. Fark ifllemi fiekil 2.9 da Venn flemas ile gösterilmifltir. (fiekil 2.9) Sizde iki kümenin fark na ait örnekler yaz n z. Venn flemas nda gösteriniz. 59

22 b. Kümelerde fark ifllemin özelikleri: A, B ve C herhangi üç küme ve E evrensel küme veriliyor. A kümesinin tümleyeni A, B kümesinin tümleyeni B ise verilen kümelerde fark iflleminin afla daki özelikleri vard r. 1. A \ A = 2. A \ = A 3. \ A = 4. A \ B = A B 5. A \ B B \ A 6. E \ A = A, E \ A = A 7. A B ise A \ B = dir. 8. A \ B = A \ (A B) 9. A B = ise A \ B = A 10. A \ A = A, A \ A = A 11. (A \ B) \ C = A \ (B C) 12. A B = ise A \ B = A ve B \ A = B 13. (A \ B) (A B) = A 14. (B \ A) (A B) = B 15. (A \ C) \ (B \ C) = (A \ B) \ C = (A \ C) \ B 16. ( A \ B) = A B 17. (A \ B) B = A B 18. (A \ B) \ C = A \ (B C) 19. s (A B) = s (A) + s (B \ A ) 20. s (A B) = s (B) + s (A \ B) 21. s (A B) = s (A \ B) + s (B \ A) + s ( A B) c. ki Kümenin Simetrik Fark Herhangi A ve B kümeleri için, A\B ile B\A kümelerinin birleflimine A ile B kümelerinin simetrik fark denir. A ile B kümelerin simetrik fark A Δ B fleklinde gösterilir. Buna göre, A Δ B = (A \ B) (B \ A ) d r. Bunu, A Δ B = (A B) \ (A B ) fleklinde de yazabiliriz. ÖRNEK 2.32 A = {a, b, c, d, e } ve B = {c, d, f, g, h} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin simetrik fark n liste yöntemi ve Venn flemas ile gösterelim. 60

23 A \ B = {a, b, e } B \ A = {f, g, h} A Δ B = (A \ B) (B \ A) A Δ B = {a, b, e} {f, g, h} A Δ B = {a, b, e, f, g, h } olur. A ve B kümesinin simetrik fark Venn flemas nda fiekil 2.10 da gösterilmifltir. fiekil 2.10 Sizde iki kümenin simetrik fark na ait örnekler yaz n z Venn flemas nda gösteriniz. ÖRNEK 2.33 Verilen 1, 2, 3, 4, 5, 6 do al say lar, bir A kümesinin elemanlar olsun. Bu kümeyi, a) Liste yöntemi, b) Venn flemas yla, c) Ortak özelik yöntemi ile yazal m. a) A kümesinin liste yöntemi ile A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} fleklinde yaz l r. b) A kümesinin Venn flemas fiekil 2.11 de yap lm flt r. (fiekil 2.11) 61

24 c. A kümesinin ortak özelik yöntemi ile A = {x 1 x 6, x do al say } fleklinde yaz l r. ÖRNEK 2.34 A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {3, 4, 5} kümeleri veriliyor. A B kümesini liste yöntemi ile yaz p, Venn flemas ile gösterelim. A B kümesinin listele yöntemi ile yazarsak, A B = {1,2, 3, 4, 5} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} olur. Burada B A oldu undan, A B = A ve B (A B) olur. A B kümesi fiekil 2.12 de Venn flemas ile gösterilmifltir. (fiekil 2.12) ÖRNEK 2.35 A = {e, l, m, a} ve B = {elma} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin eflit veya denk olup olmad n belirtelim. A kümesinin elemanlar, e, l, m, a oldu undan, s(a) = 4 tür. B kümesinin eleman, elma oldu undan, s(b) = 1 dir. A ve B kümeleri eflit veya denk kümeler de ildir. Çünkü elemanlar ve eleman say lar eflit de ildir. 62

25 ÖRNEK elemanl bir A kümesinin en çok iki elemanl kaç tane alt kümesinin oldu unu bulal m. s (A) = 6 oldu undan A kümesinin en çok iki elemanl alt küme say s, = = 22 tane olur. ÖRNEK 2.37 A = {2, 4, 6} kümesi ile E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} evrensel kümesi veriliyor. A kümesinin tümleyenini bulal m. Venn flemas ile gösterelim. Verilen A kümesinin tümleyeni, A = {1, 3, 5} kümesidir. fiekil 2.13 de Venn flemas ile gösterilmifltir. (fiekil 2.13) ÖRNEK 2.38 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve B = {2, 4, 6, 8} kümeleri veriliyor. A fark B kümesini bulal m. Venn flemas ile gösterelim. Verilen A ve B kümeleri için, A \ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \ {2, 4, 6, 8} = {1, 3, 5} olur. fiekil de Venn, flemas ile gösterilmifltir. (fiekil 2.14) 63

26 ÖRNEK kiflilik bir s n fta 18 kifli veleybol, 20 kifli futbol oynamaktad r. Bu s n fta 5 kifli de bu sporlar n ikisini de oynamad na göre, her iki sporu oynayan kaç kifli oldu unu bulal m. fiekil 2.15 e göre, yaln z veleybol oynayanlar x, yaln z futbol oynayanlar z ve her iki sporu oynayanlar y olsun. (fiekil 2.15) Buna göre, x + y + z = 32-5 = 27 kiflidir. x + y = 18 + y + z = 20 x + 2y + z = 38 x + 2y + z = 38 + x + y + z = + 27 y = 11 kifli olur. ÖRNEK 2.40 s (A) = 9, s (B) = 7 ve A B oldu una göre, A B kümesinin en çok kaç eleman oldu unu bulal m. A B nin en çok eleman olmas için A B nin az eleman olmal d r. A B oldu undan, s (A B) = 1 dir. 64 Buna göre, s (A B) = s (A) + s (B) - s (A B) ifadesinden, s (A B) = = 15 o l u r.

27 ÖRNEK 2.41 A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesi olsun. s (A) + s (B) = 24, s (A ) = 10, s (B ) = 6 oldu una göre, A kümesinin kaç tane üç elemanl alt kümeleri oldu unu bulal m. s (A) + s (A ) = s (E) dir. Ayn düflünce ile s (B) + s (B ) = s (E) olur. s (A) + s (A ) + s (B) +s (B ) = 2 s (E) = 2 s (E) 2 s (E) = 40 s (E) = 20 s (E) = 20 ve s (A ) = 10 ise s (A) = = 10 olur. 5 3 = 5! 3!(5-3)! = 5! 3! 2! = 5. 4 = 10 tanedir. 2 ÖRNEK 2.42 Bir uçaktaki yolculardan her biri, ngilizce, Almanca ve Frans zca dillerinden en az bir tanesini konuflmaktad r. Yolculardan 30 u ngilizce, 38 i Almanca, 20 si Frans zca konuflabiliyor. Bunlardan 10 u ngilizce ve Almanca, 9 u ngilizce Frans zca 8 i Almanca ve Frans zca, 5 tanesi de her üç dili konuflabilmekedir. Bu uçakta kaç yolcu oldu unu bulal m. I. Çözüm (Formülle) s ( A F) = s ( ) + s (A) + s (F) - s ( A) - s ( F) - s (A F) +s ( F A ) s ( A F) = s ( A F) = 66 yolcu vard r. II. Çözüm (Venn flemas yla) Venn flemas nda bilgileri yerlefltirirken önce, s ( A F ) sonra s ( A), s ( F), s (A F) de erleri yaz ld ktan sonra, s ( ), s ( A ), s ( F) de erleri yerlefltirilir. Sonra bu de erlerin hepsi toplan r (fiekil 2.16). 65

28 (fiekil 2.16) Buna göre, s ( A F) = s ( A F) = 66 olur. 66

29 ÖZET - Küme matemati in tan ms z terimlerinden biridir. Kümeleri, s n rlar kesin olarak belirtilmifl nesneler toplulu u olarak kabul edece iz. Bir kümeyi oluflturan nesnelerden her birine, kümenin eleman denir. - Kümeleri liste yöntemi, Venn flemas ve ortak özelik yöntemi ile gösterebiliriz. - Bir kümeye ait eleman say s na, kümenin eleman say s denir. s (A) = n fleklinde gösterilir. - Elemanlar say larla belirtilebilen kümelere, sonlu kümeler denir. Elemanlar say larla belirtilemeyen veya say lamayacak kadar çok elemanl olan kümelere, sonsuz kümeler denir. Hiç bir eleman olmayan kümeye, bofl küme denir. veya { }fleklinde gösterilir. - Ayn elemandan oluflan kümelere, eflit küme denir. Elemanlar bire bir efllenebilen kümelere, denk küme denir. - A kümesinin her eleman B kümesinin de bir eleman ise A kümesine B kümesinin bir alt kümesi denir. A B fleklinde gösterilir. Bu tan ma göre, (A B) ( x Ax B) dir. - Alt kümenin özelikleri 1. Bofl küme, her kümenin bir alt kümesidir. 2. Her küme, kendisinin bir alt kümesidir. 3. A, B ve C kümeleri için, A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B kümesi de C kümesinin alt kümesi ise A kümesi C kümesinin bir alt kümesidir. 4. A ve B kümeleri için, A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B kümesi de A kümesinin alt kümesi ise A kümesi B kümesine eflittir. - Bir kümenin alt kümelerinin say lar bulurken kümenin eleman say s kadar 2 yan yana yaz larak çarp l r. Buna göre, n elemanl bir kümenin alt küme say s 2 n d i r. - A herhangi bir küme olmak üzere, A kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine, A kümesinin kuvvet kümesi denir. p(a) ile gösterilir. - Ave B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlar ndan oluflan kümeye, bu iki kümenin birleflimi denir. A B fleklinde gösterilir. Bu tan ma göre, A B = { x x A V x B} dir. - Ave B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlar ndan oluflan kümeye bu iki kümenin kesiflimi denir. A B fleklinde gösterilir. Bu tan ma göre, A B = { x x A Λ x B} dir. - Kesiflimleri bofl olan iki kümeye ayr k küme denir. - Kümelerin da lma özeli i vard r. 1. Kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine soldan da lma özeli i: A (B C) = (A B) (A C) dir. 67

30 2. Kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine sa dan da lma özeli i: (A B) C = (A C) (B C) dir. 3. Birleflim iflleminin kesiflim ifllemi üzerine soldan da lma özeli i: A (B C) = (A B) (A C) dir. 4. Birleflim iflleminin kesiflim ifllemi üzerine sa dan da lma özeli i: (B C) A = (B A) (C A) d r. * Birleflim kümesinin eleman say s : 1. Bofl küme olmayan farkl ve sonlu A ve B kümeleri için, s (A B) = s (A) + s (B) - s (A B) dir. 2. Bofl küme olmayan farkl ve say l A, B ve C kümeleri için, s (A B C) = s (A) + s (B) + s (C) - s (A B) - s (A C) - s (B C) + s (A B C) dir. * Elemanlar incelenen kümeye göre, yap lmas gereken bütün ifllemleri içine alabilecek flekilde belirlenen en genifl kümeye, evrensel küme denir. E ile gösterilir. * Verilen bir E evrensel kümeye ait olup, A kümesine ait olmayan elemanlar n oluflturdu u kümeye, A kümesinin tümleyeni denir A veya A sembolü ile gösterilir (fiekil 2.17). Buna göre, A = {x x E Λ x A}, A A = E ve A A = dir. (fiekil 2.17) Bundan baflka tümleme iflleminin birçok özelikleri vard r. * A ve B herhagi iki küme olsun. Bu kümelerde, (A B) = A B ve (A B) = A B ba nt s vard r. Bu ba nt ya De Morgan Kural denir. 68

31 * A ve B iki küme olsun A kümesine ait olup B kümesine ait olmayan elemanlardan meydana gelen kümeye, A fark B kümesi denir. A \ B veya A - B fleklinde gösterilir. Buna göre, A \ B = {x x A ve x B} dir. * A ve B kümeleri için, A \ B ile B \ A kümelerinin birleflimine A ile B kümelerinin simetrik fark denir. A Δ B fleklinde gösterilir. 69

32 ALIfiTIRMALAR 1. A = { x 1 x 5, x Do al say } ve B = {x 3 x 7, x do al say } kümeleri veriliyor. A B kümesini liste yöntemi ile yaz n z. Venn flemas nda gösteriniz. 2. A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ve B = {1, 3, 5} oldu una göre, A kümesini liste yöntemi ile yaz n z. Bunlar Venn flemas ile gösteriniz. 3. A = {a, b, c, d, e} kümesi veriliyor. A, A, A A ve A A kümelerini liste yöntemi ile yaz n z. Bunlar n eleman say lar aras ndaki ba nt y söyleyiniz. 4. Afla daki Venn flemas ndan faydalanarak, afla daki kümeleri liste yöntemi ile yaz n z (fiekil 2.18). (fiekil 2.18) I. (A B) (A C) II. (A B) C III. (A C B) C IV. A (B C) 5. s (A) = 6, s (B) = 5 ve s (A B) = 3 oldu una göre, s (A B) yi hesaplay n z. 6. A ve B bofl olmayan iki küme veriliyor. s ( A) = 2 s (B) ve s (A B) + s (A B) = 18 i s e s (B) yi bulunuz. 7. Bir oteldeki turistler ngilizce veya Almanca dillerinden en az birini biliyor. ngilizce bilenlerin say s 40, Almanca bilenlerin say s 32 dir. Otelde 60 turist oldu una göre, her iki dili bilen turist say s kaçt r? 70

33 8. s (A) = 3x + 5, s (B) = 2x + 1 ve s (A B) = 6 d r. s (A B) = 10 oldu una göre, A kümesinin eleman say s n bulunuz elemanl bir A kümesinin kaç tane 4 elemanl alt kümesi vard r? tane eleman olan A kümesinin en az iki eleman olan alt kümelerinin say s n bulunuz. 11. Bir A kümesinin eleman say s, B kümesinin eleman say s ndan 2 fazlad r. Bu iki kümenin özalt kümelerinin toplam 78 oldu una göre, A kümesinin eleman say s n bulunuz. 12. Evrensel küme E = { x x, bir basamakl do al say }, A = { 1, 3, 5, 7} kümeleri veriliyor. Bunlar Venn flemas nda göstererek A kümesini taray n z ve liste yöntemi ile yaz n z. 13. E = { x 0 < x < 10, x do al say } evrensel kümesinde, A = {x x asal say ve x E} B = {1, 3, 5, 7, 9} kümeleri veriliyor. Buna göre, B A kümesini yaz n z. 14. A \ B = { 1, 2, 3, 4} ve B \ A = { 0, 6, 9} kümeleri veriliyor. A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} oldu una göre, A B kümesini yaz n z. 15. A \ B = {1, 3, 5} ve A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} oldu una göre, B kümesini yaz n z. 16. s (A B) = 10 s (A \ B) = 4 ve s (A B) = 2 oldu una göre, B \ A kümesinin eleman say s n bulunuz. 17. Bir s n fta ngilizce veya Frans zca dillerinden en az biri okutulmaktad r. ngilizce okuyup, Frans zca okumayan 12 kifli, Frans zca okuyup ngilizce okumayan 18 kiflidir. Her iki dili de okuyan 8 kifli oldu una göre, s n fta kaç kifli oldu unu bulunuz. 71

34 18. Bir s n ftaki ö rencilerin %60 n n bisikleti %75 inin bilgisayar vard r. Bisikleti ve bilgisayar olan ö renci say s 14 kifli oldu una göre, bu s n ftaki ö renci say s n bulunuz. 19. Bir spor salonundaki sporcular voleybol, basketbol veya futboldan en az birini oynuyor. Sporcular n 10 u veloybol ve futbol, 9 u voleybol ve basketbol, 6 s futbol ve basketbol, 5 i hem voleybol hem futbol hem de basketbol oynamaktad r. Di er taraftan sporcular n 20 si futbol, 19 u basketbol oynamaktad r. Sporcular n say s 40 oldu una göre voleybol oynayanlar n say s n bulunuz. 20. fiekil 2.19 da E evrensel kümesinin A, B ve C alt kümeleri verilmifltir. Buna göre, çizelgede bofl bulunan yerleri doldurunuz. (fiekil 2.19) 72 Kümenin ad A B A B A C B C A \ (B C) E \ (A B C) A B \ E C \ C E \ (A B) Kümenin Liste Yöntemi ile Gösterimi

35 . TEST II 1. A açkakan kelimesindeki harflerden oluflan kümenin, eleman say s kaçt r? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 2. { 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 ve 3 eleman bulunur? A) 4 B) 8 C) 16 D) s (A) = 6 ve s (B) = 5 ise A B kümesinin en çok kaç eleman olabilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 4. fiekildeki taral bölgeyi afla daki kümelerden hangisi gösterir? (fiekil 2.20). A) (A B) (C \ B) B) (B \ A) (C \ B) C) (A \ B) (C \ A) D) C \ (A B) (fiekil 2.20) 73

36 5. E evrensel kümesinde, bofl olmayan A ve B kümeleri için, (A B ) (B \ A) kümesi afla dakilerden hangisine eflittir? A) A B) B C) D) A B 6. fiekildeki taral bölgeyi afla daki kümelerden hangisi gösterir? (fiekil 2.21). 74 A) A B B) A Β C) B \ A D) B A 7. A ve B kümeleri E evrensel kümenin alt kümeleri olsun s (E) = 28, s (B \ A ) = 6 ve s (A B ) = 15 ise s (A ) kaçt r? A) 5 B) 7 C) 9 D) A ve B kümeleri için s (A \ B) = 6, s (B \ A ) = 2 ve A B kümesinin özalt küme say s 15 oldu una göre, s (A B) kaçt r? A) 9 B) 11 C) 12 D) 15 (fiekil 2.21)

37 9. E evrensel kümesinde, s (A) + s (B) = 10, s (A ) + s (B ) = 12 ve s (B ) = 5 ise s (A) kaçt r? A) 3 B) 4 C) 5 D) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve B = (2, 4} kümeleri için B C A flart n sa layan kaç tane C kümesi vard r? A) 3 B) 4 C) 5 D) alt kümesi olan bir A kümesinin 3 ve 3 ten az elemanl kaç alt kümesi vard r. A) 20 B) 24 C) 26 D) A ve B kümeleri için, s (A \ B) = 4, s (B \ A), s (A B) = s (B \ A) ve s (A) = 40 ise, s (A B) kaçt r? A) 42 B) 48 C) 54 D) E evrensel kümesinde, s (A) + s (B ) = 18, s (A ) = 6 ve s (B) = 4 dür. A B = oldu una göre s (E) kaçt r? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 75

38 14. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin kaç tane 2 elemanl alt kümesi vard r? A) 8 B) 9 C) 10 D) A ve B iki küme olmak üzere, A B dir. s (A \ B) = 8 ve s (B \ A) = 12 oldu una göre, A B kümesinin eleman say s en az kaçt r? A) 17 B) 19 C) 21 D) A kümesinin alt küme say s, B nin alt küme say s ndan 8 fazlad r. s (A) = 4 ve s (A B) = 2 ise s (A B) kaçt r? A) 5 B) 8 C) 10 D) A B = { a, b, c, d, e } ve A C = {a, c, e, f, h} oldu una göre A (B C) kümesi afla dakilerdan hangisine eflittir? A) {a, b, c, d} B) {a, c, e} C) {a, c, f, h} D) {a, b, c} kiflilik bir s n fta yaln z ngilizce bilen, yaln z Frans zca bilen ve her ikisini de bilenlerin say s eflittir. Bu iki dilden yaln z birini bilenlerin say s, hiç birini bilmeyenlerin say s n n 3 kat oldu una göre, her iki dili bilen kaç ö renci vard r? A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 76

39 19. Bir s n fta Türkçe veya Matematik derslerinden geçen 25 kiflidir. Yaln z Türkçe dersinden geçenlerin say s, yaln z Matematik dersinden geçenlerin say s n n 4 kat d r. Hem Türkçe hemde matematik desinden geçenlerin say s 5 kifli oldu una göre, Matematik dersinden geçen kaç kiflidir? A) 6 B) 7 C) 8 D) Bir okulda Türkçe, Matematik ve ngilizce kurslar verilmektedir. Yaln z Türkçe kursuna 8 kifli, Türkçe ve Matematik kursuna 11 kifli, Türkçe ve ngilizce kursuna 9 kifli ve her üç dersten kursa kat lanlar n say s 5 kifli oldu una göre, Türkçe kursuna kat lan kaç ö renci vard r? A) 15 B) 18 C) 23 D) 33 77

40

BU ÜN TEN N AMAÇLARI

BU ÜN TEN N AMAÇLARI ÜN TE I A. KÜMELER 1. Kümeler Aras liflkiler 2. Kümelerle fllemler a) Birleflim ve Kesiflim fllemi b) ki Kümenin Fark ve Tümleme fllemi ALIfiTIRMALAR ÖZET DE ERLEND RME SORULARI B. DO AL SAYILAR 1. Do

Detaylı

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 TARAMA TESTİ 1 KÜMELER 1. A= x N : x 6 A B x N : x 8 B \ A aşağıdakikerden hangisidir? A)7,8 B)6,7,8 C)8 D)7 E) 2. A = x N : 2 x 7, B = x N : 2 x 5 olduğuna göre,a \ B nin eleman sayısı kaç? 3. A = x N

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. KÜMELER urada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. iyi tanımlanmış: herkes tarafından kabul edilen

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz.

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler 1. kümesini venn şeması ile gösteriniz. 6. M kümesine denk olan N kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. 2. B kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.

Detaylı

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir. KÜMELER Küme : Nesnelerin iyi tanımlanmış listesine küme denir ve genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,a A biçiminde

Detaylı

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya

Detaylı

ÖRNEK 2: A) K L M B) (K L) \ M C) (M L) \ K D) (K M ) \ (K L M)

ÖRNEK 2: A) K L M B) (K L) \ M C) (M L) \ K D) (K M ) \ (K L M) TET ÜEER ÖRNE 1: ofl kümeden farkl ve kümeleri için 3. s( ) = 4. s( ) = 5. s( ) oldu una göre, kümesinin eleman say - s en az kaçt r? ÖRNE 2: ) 12 ) 27 ) 35 D) 47 E) 60 (ÖSS - 1999) Yukar daki flemada

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

KÜMELER 05/12/2011 0

KÜMELER 05/12/2011 0 KÜMELER 05/12/2011 0 KÜME NEDİR?... 2 KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ... 2 KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ... 2 EŞİT KÜME, DENK KÜME... 3 EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜMELER... 3 BOŞ KÜME... 3 ALT KÜME - ÖZALT KÜME... 4 KÜMELERDE

Detaylı

III. ad m: 5 i afla ya indiririz. 5 in içinde 5, 1 defa vard r. A aç dikme kampanyas nda günde ortalama 201 a aç dikilmifltir.

III. ad m: 5 i afla ya indiririz. 5 in içinde 5, 1 defa vard r. A aç dikme kampanyas nda günde ortalama 201 a aç dikilmifltir. Do al Say larla Bölme fllemi BÖLME filem Ankara daki ilkö retim okullar fiehrimizi Yeflillendirelim kampanyas bafllatt lar. Befl gün boyunca bofl alanlara toplam 1005 a aç dikildi ine göre günde ortalama

Detaylı

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4 KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)

Detaylı

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI BU ÜN TEDE NELER Ö RENECE Z? A-YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI B-YÜZDE HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI C-FA Z HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI D-YÜZDE VE

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait

Detaylı

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN,

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYIN KURULU Hazırlayanlar İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi

Detaylı

DO A VE MATEMAT K. Kufllar n ve kurba alar n toplam say s n n 3 e bölümü kaçt r?

DO A VE MATEMAT K. Kufllar n ve kurba alar n toplam say s n n 3 e bölümü kaçt r? DO A VE MATEMAT K DO AL SAYILARLA BÖLME filem Afla daki sorular resme göre cevaplay n z. Kufllar n ve kurba alar n toplam say s n n 3 e bölümü kaçt r? A açtaki kufllar 2 dala eflit olarak konsayd, her

Detaylı

MATEMAT K 6 ÜN TE III

MATEMAT K 6 ÜN TE III ÜN TE III A. KES RLER 1. Kesirleri Karfl laflt rma ve Say Do rusunda Gösterme 2. Denk Kesirlerden Yararlanma 3. Kesirlerle Toplama ve Ç karma fllemi 4. Kesirlerle Çarpma fllemi 5. Kesirlerle Bölme fllemi

Detaylı

1. Afla daki flekillerin boyal k s mlar n bütün, yar m ve çeyrek olarak belirtiniz.

1. Afla daki flekillerin boyal k s mlar n bütün, yar m ve çeyrek olarak belirtiniz. Ad : Soyad : S n f : 2. SINIF Nu. : Kesirler 53 Uygulamal Etkinlik 1. Afla daki flekillerin boyal k s mlar n bütün, yar m ve çeyrek olarak belirtiniz. 4. Afla daki boflluklar uygun ifadelerle tamamlay

Detaylı

ZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + =

ZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + = ZARLARLA OYNAYALIM Zar kullanarak toplama ve ç karma ifllemleri yapabiliriz. Zarda karfl l kl iki yüzdeki say lar n toplam daima 7 dir. Zarda 2 gözüküyorsa karfl s ndaki yüzeyin 7 2 = 5 oldu unu bulabilirsiniz.

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

4. Ünite Ö retmen K lavuz Kitab

4. Ünite Ö retmen K lavuz Kitab . Ünite Ö retmen K lavuz Kitab S n f: 1 : Matematik Ünite Numaras : 1 Ünite Süresi: ders saati / GEOMETR Örüntü ve Süslemeler Örüntü ve Süslemeler EK M EYLÜL Do al Do al 1. Bir örüntüdeki iliflkiyi belirler..

Detaylı

SIVILARI ÖLÇME. Marketten litreyle al nan ürünlerden baz lar afla da verilmifltir.

SIVILARI ÖLÇME. Marketten litreyle al nan ürünlerden baz lar afla da verilmifltir. S v lar Ölçme MATEMAT K SIVILARI ÖLÇME Marketten litreyle al nan ürünlerden baz lar afla da verilmifltir. Baflka hangi ürünleri litreyle al rs n z? S v lar ölçme birimi litredir. Litre = L Arda, evlerindeki

Detaylı

Öncelikle tamamen dolu olan albümlerde toplam kaç foto raf oldu unu bulal m. 20 x 5 ifllemini çözümleyerek yapal m. 25 x 17 175 + 255 425

Öncelikle tamamen dolu olan albümlerde toplam kaç foto raf oldu unu bulal m. 20 x 5 ifllemini çözümleyerek yapal m. 25 x 17 175 + 255 425 Do al Say larla Çarpma fllemi MATEMAT K DO AL SAYILARLA ÇARPMA filem Tolga Bey amatör bir foto rafç d r. Çekti i foto raflar her birinde 25 foto raf olan 17 albümde toplam flt r. 18. albümüne ise henüz

Detaylı

DERS K TABI YAZARLAR. Komisyon DEVLET K TAPLARI B R NC BASKI..., 2011

DERS K TABI YAZARLAR. Komisyon DEVLET K TAPLARI B R NC BASKI..., 2011 6 DERS K TABI YAZARLAR Komisyon DEVLET K TAPLARI B R NC BASKI..., 0 M LLÎ E T M BAKANLI I YAYINLARI...: 509 DERS K TAPLARI D Z S...: 5.?.Y.000.446 Her hakk sakl d r ve Millî E itim Bakanl na aittir. Kitab

Detaylı

ÜN TE V SAYMANIN TEMEL LKELER

ÜN TE V SAYMANIN TEMEL LKELER ÜN TE V A. OLASILIK 1. Sayman n Temel lkeleri 2. Olas l kla lgili Temel Kavramlar 3. Olay Çeflitleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST V - I SAYMANIN TEMEL LKELER B. STAT ST K 1. Araflt rmalar çin Sorular Oluflturma

Detaylı

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z. MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

MATEMAT K. Doç. Dr. Ergün ERO LU stanbul Üniversitesi letme Fakültesi

MATEMAT K. Doç. Dr. Ergün ERO LU stanbul Üniversitesi letme Fakültesi LETME, KT SAT ve SOSYAL B L MLER Ç N MATEMAT K Doç. Dr. Ergün ERO LU stanbul Üniversitesi letme Fakültesi DORA STANBUL 2013 DORA Bas m Yay n Da t m Ltd. ti. letme, ktisat ve Sosyal Bilimler çin Matematik

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN

Detaylı

Bir oteliniz var. Otelinizin sonsuz say da odas var. Her odan n

Bir oteliniz var. Otelinizin sonsuz say da odas var. Her odan n Sonsuz Odal Otel 1 Bir oteliniz var Otelinizin sonsuz say da odas var Her odan n bir numaras var: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Böylece sonsuza kadar gidiyor En sonuncu oda yok Sonsuz numaral oda da yok Her odan n

Detaylı

YGS TEMEL MATEMA MA T TEMA T K KONU ANLATIMLI

YGS TEMEL MATEMA MA T TEMA T K KONU ANLATIMLI YGS TEMEL MATEMAT K KONU ANLATIMLI YGS KONU ANLATIMLI TEMEL MATEMAT K Bas m Yeri ve Y l stanbul / 0 Bask Cilt Ek Bil Matbaac l k Tel: 0 () 87 ISBN 978 60 70 6 Copyright Ayd n Bas n Yay n Matbaa Sanayi

Detaylı

MATEMAT K. BÖLME filem

MATEMAT K. BÖLME filem Do al Say larla Bölme fllemi MATEMAT K BÖLME filem 12 çile i 3 taba a eflit olarak paylaflt rd m zda bir taba a kaç çilek düfler? Tabaklara çilekleri birer birer paylaflt ral m. Üç tabak oldu u için çilekler

Detaylı

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ

ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ ÖZEL SMNYOLU LİSELERİ 4. İLKÖĞRETİM MTEMTİK YRIŞMSI 2008 / MRT KİTPÇIĞI BİRİNCİ BÖLÜM Çoktan seçmeli 30 Test sorusundan oluşan ün süresi 90 dakikadır. Bu bölümün bitiminde kısa bir ara verilecektir. Elinizdeki

Detaylı

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi. KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

SAYILAR - 3. 2) Birbirinden farklı üç basamaklı üç doğal sayının toplamı 2685 tir. Bu üç sayıdan en küçüğü en az kaç olabilir?

SAYILAR - 3. 2) Birbirinden farklı üç basamaklı üç doğal sayının toplamı 2685 tir. Bu üç sayıdan en küçüğü en az kaç olabilir? SAYILAR - 3 1) (x + y) ile (y + z) aralarında asal sayılardır. 7x + 3y = 4z olduğuna göre x - z farkı kaçtır? A) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 1 2) Birbirinden farklı üç basamaklı üç doğal sayının toplamı 2685

Detaylı

1) Aşağıdaki şekilleri altlarındaki kesirli sayılara göre boyayınız. a) b) c) d) e)

1) Aşağıdaki şekilleri altlarındaki kesirli sayılara göre boyayınız. a) b) c) d) e) BÖLÜM KESİRLER KESİRLER TEST ) Aşağıdaki şekilleri altlarındaki kesirli sayılara göre boyayınız. a) b) c) 6 0 8 d) e) ) Aşağıdaki şekillerde, boyalı bölgelerin kesir sayısı olarak karşılıklarını yazınız.

Detaylı

İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001

İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001 T.C. ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİMDALI İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001

Detaylı

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

Yol (km) a) 50 cm 2 m b) 140 km 1040 m c) 8000 m 8 km

Yol (km) a) 50 cm 2 m b) 140 km 1040 m c) 8000 m 8 km .2 Uzunluklar Ölçme Kilometre 1. Grafik: Servis Arac n n Ald Yollar 1. Yandaki grafik, okul servis arac n n bir hafta boyunca ald yolu (km) göstermektedir. Grafi e göre afla daki sorular cevaplay n z.

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

B anka ve sigorta flirketlerinin yapm fl olduklar ifllemlerin özelli i itibariyle

B anka ve sigorta flirketlerinin yapm fl olduklar ifllemlerin özelli i itibariyle B anka ve sigorta flirketlerinin yapm fl olduklar ifllemlerin özelli i itibariyle bu ifllemlerin üzerinden al nan dolayl vergiler farkl l k arz etmektedir. 13.07.1956 tarih 6802 say l Gider Vergileri Kanunu

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Tablo 3.3. TAKV YES Z KANAL SAC KALINLIKLARI (mm)

Tablo 3.3. TAKV YES Z KANAL SAC KALINLIKLARI (mm) 3. KANAL KONSTRÜKS YONU Türk Standart ve fiartnamelerinde kanal konstrüksiyonu üzerinde fazla durulmam flt r. Bay nd rl k Bakanl fiartnamesine göre, bas nç s - n fland rmas na ve takviye durumuna bak lmaks

Detaylı

Matematik. Uygulamal Etkinlik. Afla daki boflluklar uygun ifadelerle tamamlay n z. 1. Afla daki ç karma ifllemlerinin sonuçlar n

Matematik. Uygulamal Etkinlik. Afla daki boflluklar uygun ifadelerle tamamlay n z. 1. Afla daki ç karma ifllemlerinin sonuçlar n Ad : Soyad : S n f :. SINIF Nu. : Do al Say larla Ç karma fllemi TEST 6 1. Afla daki ç karma ifllemlerinin sonuçlar n bulunuz. Uygulamal Etkinlik 9 1 8 2 1 8 1 6 0 6 2 0 8 89 0 8 1 0 8 16 1 2. 2 01 10

Detaylı

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam

Detaylı

ÜN TE III ORGAN K K MYA HAKKINDA GENEL B LG LER

ÜN TE III ORGAN K K MYA HAKKINDA GENEL B LG LER ÜN TE III ORGAN K K MYA HAKKINDA GENEL B LG LER 3.1. ORGAN K K MYANIN TAR HÇES VE KONUSU 3.2. ORGAN K MADDELERDE C, H, O ve N ARANMASI a. Organik Maddelerde C ve H Aranmas b. Organik Maddelerde N Aranmas

Detaylı

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak ÖNÜfiÜLRL GTR ¾ Homoteti (Homothet) üzlemde sabit bir nokta ve k bir reel sa olmak üzere; P = + k.(p ) ÖRNK üzlemde (5, 6) noktas n n (, 7) merkezli ve k = oranl homoteti ini bulal m. eflitli ini sa laan

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

Kendimiz Yapal m. Yavuz Erol* 16 Sütunlu Kayan Yaz

Kendimiz Yapal m. Yavuz Erol* 16 Sütunlu Kayan Yaz Kendimiz Yapal m Yavuz Erol* 16 Sütunlu Kayan Yaz Bu yaz da 8 sat r, 16 sütundan oluflan LED li kayan yaz projesi anlat l yor. Projenin en önemli özelli i gerek donan m gerekse yaz l m olarak basit olmas.

Detaylı

Yeni Sınav Sistemi (TEOGES) Hakkında Bilgilendirme

Yeni Sınav Sistemi (TEOGES) Hakkında Bilgilendirme Yeni Sınav Sistemi (TEOGES) Hakkında Bilgilendirme 8. SINIF Sevgili Ö renciler, SBS nin kald r lmas ile bunun yerine yaz l s navlar n merkezî bir uygulamayla yap lmas n esas alan bir sistem getirilmifltir.

Detaylı

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER 1. Patates ve sütün miktar nas l ölçülür? 2. Pinpon topu ile golf topu hemen hemen ayn büyüklüktedir. Her iki topu tartt n zda bulaca n z sonucun ayn olmas n bekler misiniz?

Detaylı

Temel Bilgisayar Programlama

Temel Bilgisayar Programlama BÖLÜM 9: Fonksiyonlara dizi aktarma Fonksiyonlara dizi aktarmak değişken aktarmaya benzer. Örnek olarak verilen öğrenci notlarını ekrana yazan bir program kodlayalım. Fonksiyon prototipi yazılırken, dizinin

Detaylı

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý..

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý.. Kümeler II. KÜMLR. TNIM Küme, bir nesneler topluluðudur. Kümeyi oluþturan nesneler herkes tarafýndan ayný þekilde anlaþýlmalýdýr. Kümeyi oluþturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeyi genel olarak,,

Detaylı

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır?

Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır? www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com (a, b) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne

Detaylı

YÖNETMELİK ANKARA ÜNİVERSİTESİ YABANCI DİL EĞİTİM VE ÖĞRETİM YÖNETMELİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM. Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar

YÖNETMELİK ANKARA ÜNİVERSİTESİ YABANCI DİL EĞİTİM VE ÖĞRETİM YÖNETMELİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM. Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar 24 Mart 2016 PERŞEMBE Resmî Gazete Sayı : 29663 YÖNETMELİK ANKARA ÜNİVERSİTESİ YABANCI DİL EĞİTİM VE ÖĞRETİM YÖNETMELİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar Amaç MADDE 1 (1) Bu Yönetmeliğin

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARINI BULMA. 3. Aşağıda verilen sayıların çarpanlarından asal olanları belirleyelim.

ÇARPANLAR VE KATLAR BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARINI BULMA. 3. Aşağıda verilen sayıların çarpanlarından asal olanları belirleyelim. ÇARPANLAR VE KATLAR 8.1.1.1. Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade yada üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar. BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARINI BULMA Her doğal

Detaylı

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir

Detaylı

KOOPERAT F GENEL KURUL TOPLANTISINA KATILMA VE OY HAKKI BULUNAN K MSELER

KOOPERAT F GENEL KURUL TOPLANTISINA KATILMA VE OY HAKKI BULUNAN K MSELER KOOPERAT F GENEL KURUL TOPLANTISINA KATILMA VE OY HAKKI BULUNAN K MSELER Merdan ÇALIfiKAN* I. G R fi 1163 say l Kooperatifler Kanunu na göre kooperatiflerin zaruri 3 organ bulunmaktad r. Bunlardan en yetkili

Detaylı

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN GEOMETR Geometrik Cisimler Uzunluklar Ölçme 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Prizmalar n temel elemanlar n belirler. Tabanlar n n karfl l kl köflelerini birlefltiren ayr tlar tabanlara

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

4. Lale bir günde 4 çeyrek elma yedi. 1. Afla daki flekillerden hangisinin çeyre i boyanm flt r? Buna göre, Lale bir günde kaç bütün elma yemifltir?

4. Lale bir günde 4 çeyrek elma yedi. 1. Afla daki flekillerden hangisinin çeyre i boyanm flt r? Buna göre, Lale bir günde kaç bütün elma yemifltir? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : Kesirler Simetri MATEMAT K TEST 17 1. Afla daki flekillerden hangisinin çeyre i boyanm flt r? 4. Lale bir günde 4 çeyrek elma yedi. Buna göre, Lale bir günde kaç bütün

Detaylı

YÖNTEM 1.1. ÖRNEKLEM. 1.1.1. Örneklem plan. 1.1.2. l seçim ölçütleri

YÖNTEM 1.1. ÖRNEKLEM. 1.1.1. Örneklem plan. 1.1.2. l seçim ölçütleri BÖLÜM 1 YÖNTEM Bu çal flma 11, 13 ve 15 yafllar ndaki gençlerin sa l k durumlar ve sa l k davran fllar n saptamay hedefleyen, kesitsel tan mlay c ve çok uluslu Health Behavior in School Aged Children,

Detaylı

VOB-DOLAR/ONS ALTIN. VOB-DOLAR/ONS ALTIN VADEL filem SÖZLEfiMES

VOB-DOLAR/ONS ALTIN. VOB-DOLAR/ONS ALTIN VADEL filem SÖZLEfiMES VOB-DOLAR/ONS ALTIN VOB-DOLAR/ONS ALTIN VADEL filem SÖZLEfiMES Copyright Vadeli fllem ve Opsiyon Borsas A.fi. Aral k 2010 VOB-DOLAR/ONS ALTIN VADEL filem SÖZLEfiMES V A D E L fi L E M V E O P S Y O

Detaylı

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit

Detaylı

VERİ, SAYMA ve OLASILIK ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİT

VERİ, SAYMA ve OLASILIK ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİT VERİ, SAYMA ve OLASILIK ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİT VERİ SAYMA. Kazanım : Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri Aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, en büyük değer, en küçük değer ve açıklık

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

2. Projelerle bütçe formatlar n bütünlefltirme

2. Projelerle bütçe formatlar n bütünlefltirme 2. Projelerle bütçe formatlar n bütünlefltirme Proje bütçesi haz rlarken dikkat edilmesi gereken üç aflama vard r. Bu aflamalar flunlard r: Kaynak belirleme ve bütçe tasla n n haz rlanmas Piyasa araflt

Detaylı

4. Sistem dengede oldu una. hareketli piston. P o. esnek CEVAP E. balon ESEN YAYINLARI P X. 6atm 5L. .g 200 = 8 (20 + V D. Buna göre; 25 = 20 + V D

4. Sistem dengede oldu una. hareketli piston. P o. esnek CEVAP E. balon ESEN YAYINLARI P X. 6atm 5L. .g 200 = 8 (20 + V D. Buna göre; 25 = 20 + V D AZ BASINCI ES - 1 1. Balona etki eden toplam bas nç; aç k ava bas nc - na, yüksekli ine ve un a rl na ba l - d r. Bu büyüklükler kald rma kuvvetini etkiledi inden, gerilme kuvvetini de etkiler. areketli

Detaylı

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden

Detaylı

standartlar Standartlar ve Sertifikalar sertifika

standartlar Standartlar ve Sertifikalar sertifika standartlar Standartlar ve Sertifikalar sertifika Standartlar ve Sertifikalar.1. Genel Önceki bölümlerde paslanmaz çeliklere ait pek çok özellikler, standartlar ve karfl l klar hakk nda baz bilgiler verilmiflti.

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birinci Bölüm Soru Kitapçığı Türü DENEME-7 Bu sınav iki bölümden

Detaylı

50 ELEKTR K VE ELEKTRON K

50 ELEKTR K VE ELEKTRON K 50 EETR E EETRO ODSTÖRER ODE SORU DE SORURI ÇÖZÜER. ε. ba nt - s na göre, ε azal nan konan- satörün s as azal r. I. yarg o ruur. + onansatör üretece ba l iken, levhalar aras naki potansiyel fark e iflmez.

Detaylı

3.1 3. ÜN TE. ÖLÇÜP TARTALIM, GERÇEKLERE ULAfiALIM. S v lar Ölçelim, Nesneleri Tartal m

3.1 3. ÜN TE. ÖLÇÜP TARTALIM, GERÇEKLERE ULAfiALIM. S v lar Ölçelim, Nesneleri Tartal m 3. ÜN TE ÖLÇÜP TARTALIM, GERÇEKLERE ULAfiALIM 3. S v lar Ölçelim, Nesneleri Tartal m S v lar Ölçelim. Litre ve mililitre ile ölçülebilen ürünlerin listesini yap n z. Litre Mililitre 2. 7 litreyi gösteren

Detaylı

Kay s 9 Armut 12 Çilek 15 Elma 9

Kay s 9 Armut 12 Çilek 15 Elma 9 Nesne Grafi i ve Tablo MATEMAT K 17. Afla daki tablolardan hangisi bu grafikteki verilere göre düzenlenmifltir? a. Meyve Say s b. Meyve Say s c. Kay s 3 Armut 4 Çilek 5 Elma 3 Kay s 9 Armut 12 Çilek 15

Detaylı

Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker. KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 978-605-318-091-3. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker. KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 978-605-318-091-3. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 97860518091 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı

Detaylı

ANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER

ANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER ANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER Şekil-1: BREADBOARD Yukarıda, deneylerde kullandığımız breadboard un şekli görünmektedir. Bu board üzerinde harflerle isimlendirilen satırlar ve numaralarla

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

0 dan matematik. Bora Arslantürk. çalışma kitabı

0 dan matematik. Bora Arslantürk. çalışma kitabı 0 dan matematik 0 dan matematik 1 çalışma kitabı Sıfırdan başlanarak matematik ile ilgili sıkıntı yaşayan herkese hitap etmesi, Akıllı renklendirme ile göz yoran değil ayrım yapmayı, istenileni bulmayı

Detaylı

Ek 1 Kaynakl Yap larda Tasar m Prensipleri

Ek 1 Kaynakl Yap larda Tasar m Prensipleri İMO - 01 / 2005 EK 1 E 1-1 Ek 1 Kaynakl Yap larda Tasar m Prensipleri E1.1. Kayna a Uygun Tasar m Kaynak dikiflleri afla daki durumlarda çentik etkisi yarat r: a) Kesit yüksekli ince uygun olmayan gerilme

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Uygulama Önerisi 1110-2: ç Denetim Yöneticisi- Hiyerarflik liflkiler

Uygulama Önerisi 1110-2: ç Denetim Yöneticisi- Hiyerarflik liflkiler Uygulama Önerileri 59 Uygulama Önerisi 1110-2: ç Denetim Yöneticisi- Hiyerarflik liflkiler Uluslararas ç Denetim Meslekî Uygulama Standartlar ndan Standart 1110 un Yorumu lgili Standart 1110 Kurum çi Ba

Detaylı