ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ LİNEER İNDİRGEME DİZİLERİNE KARŞILIK GELEN POLİNOMLAR VE PERİYODİK SİSTEMLER.

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ LİNEER İNDİRGEME DİZİLERİNE KARŞILIK GELEN POLİNOMLAR VE PERİYODİK SİSTEMLER Semih YILMAZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2015 Her hakkı saklıdır

2 ETİK Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez içindeki bütün bilgilerin doğru ve tam olduğunu, bilgilerin üretilmesi aşamasında bilimsel etiğe uygun davranıldığı, yararlandığım bütün kaynakları atıf yaparak belirttiğimi beyan ederim. 19/01/2015 Semih YILMAZ i

3 ÖZET Doktora Tezi LİNEER İNDİRGEME DİZİLERİNE KARŞILIK GELEN POLİNOMLAR VE PERİYODİK SİSTEMLER Semih YILMAZ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Ali Bülent EKİN Gerçek hayatta karşılaşılan problemlerin birçoğunda bilim insanları, yaptıkları deneyler sonucunda elde ettikleri verileri kullanarak farklı durumlarda deneyin nasıl sonuçlanacağına dair bilgileri bazı matematiksel yöntemlerle üretirler. Bu verileri zamana veya başka bir parametreye bağlı olarak hesaplamak isterler. Bu durumda ortaya çıkan diziler, genellikle bir rekürans (indirgeme) bağıntısıyla üretilen dizilerdir. Bir rekürans dizisinin büyük bir terimini hesaplamak çok zaman alıcı olabilmektedir. Bu sorun için uygulanan çözümlerden birisi rekürans dizisini kompleks sayıların çarpımı olarak elde edebilmektir. Bu tezde ilk olarak polinom rekürans dizileri ve periyodik rekürans sistemleri tanıtıldı. Daha sonra polinom rekürans dizilerinin terimlerinin sıfırları hakkındaki yapılmış çalışmalar verildi. Bu polinomların sıfırları hakkındaki sonuçlar üzerinde bazı düzenlemeler yapılarak yeni yöntemler verildi. Daha sonra ikinci dereceden periyodik rekürans sistemleri için Cooper tarafından verilen bir kompleks çarpanlama ifadesi genelleştirildi. Son olarak Mathematica-9 programı kullanılarak bir rekürans dizisinin herhangi bir terimi farklı metotlarla hesaplandı. Bu metotlar hesaplama sürelerine göre karşılaştırıldı. Ocak 2015, 60 sayfa Anahtar Kelimeler: Rekürans(İndirgeme) Bağıntısı, Polinom Dizileri, Periyodik Sistemler ii

4 ABSTRACT Ph.D. Thesis THE POLYNOMIALS CORRESPONDING TO LINEAR RECURSIVE SEQUENCES AND PERIODIC SYSTEMS Semih YILMAZ Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Ali Bülent EKİN In many of the real life problems encountered scientists produce the data concerning with how the expriments result on the different states by some mathematical methods, by using the data obtained from the pre-expriments that they established. They want to calculate these result depending on time or another parameter. In this case the resulting sequences are in general the sequences defined by a recurrence relation. It maybe time consuming to calculate the big index term of a recursive sequence. One of the methods to overcome this difficulties is to express the general terms of the recursive sequence as a complex factorization. In this thesis first of all polynomial recursive sequences and periodic recursive were introduced, and then the studies about the roots of polynomials appearing in a polynomial recursive sequence are given. The new methods on the result of about the zeros these polynomials together with some modifications. A complex factorization about second order periodic recursive sequence given by Cooper is generalized. Consequently by the help on MATHEMATICA-9 a term of a recursive sequence is calculated. On these calculations we compare running times of each methods. January 2015, 60 pages Key Words: Linear Recursive Sequence, Polynomials, Generating Matrix, Periodic Systems iii

5 TEŞEKKÜR Çalışmamın her aşamasında görüş ve önerileriyle beni yönlendiren ve bana her zaman destek olan danışman hocam Prof. Dr. Ali Bülent EKİN (Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı) e, çalışmalarımda yardımlarını esirgemeyen Doç. Dr. Murat ŞAHİN (Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı) ve Arş. Gör. Elif TAN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü) a çalışmalarım sırasında benden destek ve anlayışını esirgemeyen sevgili aileme en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Semih YILMAZ Ankara, Ocak 2015 iv

6 İÇİNDEKİLER TEZ ONAY SAYFASI ETİK..i ÖZET...ii ABSTRACT...iii TEŞEKKÜR......iv SİMGELER DİZİNİ......vi ŞEKİLLER DİZİNİ.... vii ÇİZELGELER DİZİNİ... viii 1. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR Polinom Dizileri Fibonacci Psödögrup Periyodik Rekürans Dizileri İKİNCİ DERECEDEN LİNEER REKÜRANS İLE ELDE EDİLEN POLİNOMLAR VE SIFIRLARININ YERLERİ İKİ PERİYOTLU İKİNCİ DERECE LİNEER REKÜRANS BAĞINTILARININ KOMPLEKS ÇARPANLARLA İFADE EDİLMESİ SONUÇ Rekürans Dizisinin Terimini Farklı Metotlarla Bilgisayarda Hesaplama Süreleri.. 55 KAYNAKLAR 58 ÖZGEÇMİŞ 60 v

7 SİMGELER DİZİNİ Tamsayılar kümesi Pozitif tamsayılar kümesi Reel sayılar kümesi Kompleks sayılar kümesi [ ] Kompleks katsayılı polinomlar kümesi Fibonacci sayısı vi

8 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 3.1 Şekil 3.2 Şekil 3.3 Şekil 3.4 matrisinin özdeğerleri ve Gerschgorin diskleri...43 matrisinin özdeğerleri ve Gerschgorin diskleri...43 matrisinin özdeğerleri ve Cassini ovalleri..44 matrisinin özdeğerleri ve Cassini ovalleri..45 vii

9 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 2.1 Aylık tavşan çifti sayısı (Koshy 2001) Çizelge 5.1 Wolfram Mathematica programlama dilinde, farklı metotlar kullanarak bir dizinin terimlerini hesaplama süresi viii

10 1. GĠRĠġ Kombinatoryal problemlerin çözümleri genellikle sayı dizileri olarak ortaya çıkar ve bu diziler bazen bir takım bağıntıyla tanımlanır. Bu durumda dizinin bir terimini hesaplamak için diziden başka terimler kullanılır. Bir dizide yeni terim kendinden önceki terimlere bağlı olarak hesaplanıyorsa bu diziye rekürans dizisi denir. Yeni terimi hesaplamak için kullanılan bağıntıya ise rekürans bağıntısı denir. Rekürans dizilerinin en ünlü örneği Fibonacci dizisidir. Çiftçilerin hayatlarındaki bir sayma probleminin çözümü olarak ortaya çıkmış ve Leonardo Fibonacci tarafından tanımlanmıştır. İkinci bölümde bahsedeceğimiz dizinin bazı ilginç özelliklerinden dolayı, tanımlandığı zamandan günümüze kadar her daldan çoğu fen bilimci ve matematikçinin hakkında bilgi sahibi olduğu bu tamsayı dizisi üzerine yapılan çalışmalar aslında rekürans dizilerinin tarihini oluşturmuştur. Günümüz matematik literatüründe, Fibonacci dizisinin birçok genelleştirmesi ve Fibonacci ismini içeren yeni dizi tanımları, bunların özellikleri ile diğer dizi ve matematik yapılarıyla aralarındaki ilişkiler büyük bir yer tutmaktadır yılında Eugene Charles Catalan ve E. Jacobsthal tarafından Fibonacci Polinomları adıyla terimleri polinom olan rekürans dizileri tanımlanmıştır yılında Lothar Collatz tarafından sorulan ve henüz ispatlanamamış olan aşağıdaki varsayım birçok tartışmaya konu olmuş ve rekürans dizileri konusunda henüz çok eksikliklerin olduğunu ortaya koymuştur, başlangıç şartı ve için, rekürans bağıntısıyla tanımlı diziler için, olacak şekilde bir terimi vardır. başlangıç şartı ne olursa olsun dizinin 1

11 1965 yılında Alwyn Francis Horadam, o zamana kadar Fibonacci, Lucas, Pell ve diğer isimler altında incelenen ikinci dereceden lineer rekürans dizilerinin en genel halini tanımlamış ve bazı özelliklerini vermiştir yılında Heleman Rolfe Pratt Ferguson, kuantum mekaniğinde çok kullanılan Hamiltonian Operatörü nün bazı özelliklerini incelemiştir. Bunun için üç bant matrislerin özdeğerleri ve karakteristik polinomları üzerine yaptığı incelemede, periyodik lineer rekürans dizilerini tanımlamış ve determinantları bu rekürans dizisini veren matrislerin, özdeğer ve karakteristik polinomlarının bulunmasına dair bazı teoremler vermiştir ve 2000 yılındaki çalışmalarında Ferenc Matyas, ortogonal polinomlar hakkındaki çalışmalardan yararlanarak, ikinci derece lineer polinom rekürans dizilerinin herhangi bir teriminin sıfırlarını içeren kompleks bir bölge bulma problemini incelemiştir yılında Curtis Cooper ve Richard Parry bir konferans bildirisinde, Ferguson tarafından tanımlanan periyodik lineer rekürans dizilerinin oluşturduğu dizilerin, tek indisli terimlerini hesaplamak için kompleks çarpanlardan oluşan bir formül vermiş ve çift indisli terimler için benzer bir formülün olup olamayacağını açık soru olarak bırakmışlardır. Bu çalışmada ilk olarak Matyas ın lineer polinom reküransları incelemekte kullandığı üç bant matrisin farklı formları kullanıldığında, polinomların sıfırlarını içeren daha küçük kompleks bölgelerin elde edilebildiği gösterilecektir. Daha sonra Cooper ve Parry nin çalışmalarında kullandıkları periyodik lineer rekürans dizilerinin bir genelleştirmesi yapılacak ve bu genelleştirmenin çift indisli terimlerini hesaplamak için kompleks çarpanlardan oluşan bir formül verilecektir. Bu formül kullanılarak, Cooper ve Parry nin bıraktıkları bir açık soru kısmi olarak çözülecektir. Son olarak sonuç bölümünde bir bilgisayar programıyla, bir dizinin küçük ve büyük indisli bazı terimleri farklı metotlar ile hesaplanarak çalışma süreleri ölçülecektir. 2

12 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, ileride ihtiyaç duyulacak bazı tanım ve teoremler verilecektir. Her ve sabit katsayıları için (2.1) eşitliğini sağlayan dizisine dereceden homojen lineer rekürans dizi denir. (2.1) eşitliğine ise dereceden homojen lineer rekürans bağıntı denir. dizisinin ilk - tane terimine yani sayılarına dizisinin başlangıç şartları denir. yukarıdaki şekilde bir dizi ise polinomuna dizisinin karakteristik polinomu denir. denklemine ise dizisinin karakteristik denklemi denir. polinomunun sıfırları olmak üzere, Her { } ise, -katlı kök ise, olacak şekilde sabitleri vardır. Bu eşitlikler başlangıç şartları için yazılarak, oluşan denklem sisteminden bilinmeyenleri bulunur. Böylece elde edilen karakteristik polinomun sıfırları ve arasındaki eşitliğe rekürans bağıntısının çözümü denir. dizisinin terimleri vasıtasıyla tanımlanan 3

13 serisine dizisinin üreteç fonksiyonu denir. 12. yüzyılda yaşayan İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci, babasının işi nedeniyle ilköğrenimini günümüzde Cezayir Demokratik Halk Cumhuriyetinin bir kıyı kenti olan Bougie de alır. Daha sonra İtalya ya döndüğünde o dönem Avrupasında kullanılan Romen rakamlarıyla matematik yapmak zor olduğu için öğrendiği Arap rakamlarını anlatmak amacıyla Liber Abaci adlı kitabı yazmıştır. Bu kitabın bir bölümünde aşağıdaki probleme yer verilir. Elimizde biri erkek diğeri dişi olan 1 çift tavşan vardır ve tavşanlarla ilgili aşağıdaki bilinenleri göz önüne alarak, önümüzdeki bir yıl içinde ne zaman kaç tavşana sahip olduğumuzu nasıl hesaplarız? i) Bir yeni doğmuş tavşan bir ay sonra yetişkin hale gelir. ii) Her tavşan çifti yetişkin olduktan sonra 1.aydan itibaren her ay bir çift karma yavru doğurur. iii) Hiçbir tavşan bir yılda ölmemektedir. Kabul edelim ki, 1 Ocakta yeni doğmuş (bebek) 1 çift tavşanımız oldu, bunlar 1 Şubatta yetişkin hale gelerek 1 Martta bir çift bebek tavşan doğurmuş olacaklar, çizelge 2.1 de tavşan çifti sayıları verilmektedir: Çizelge 2.1 Aylık tavşan çifti sayısı (Koshy 2001) Çift sayısı Ocak ġubat Mart Nisan Mayıs Haziran Temmuz Ağustos YetiĢkin Bebek Toplam Buradaki tavşan çifti sayısını veren tamsayı dizisine Fibonacci dizisi adı verilir, ilk birkaç terimi 4

14 şeklinde olan dizide ilk iki terimden sonraki herhangi bir terim, öncesindeki iki terimin toplamı olarak elde edilir. Bu dizi Avrupadaki matematikçilerin ilgisini çekmiş ve dizinin sağladığı özelliklerle ilgili çalışmalar yapılmıştır. Ünlü astronom Johannes Kepler 17. yüzyılda bir çalışmasında Fibonacci dizisini veren rekürans bağıntısını kullanmış, ancak Fibonacci dizisi olduğunu yazmamıştır, bunu çağdaşı Albert Girard fark edip Fibonacci dizisinin lineer rekürans bağıntısı ile tanımlanmasını içeren çalışma yapmıştır, burada dizinin ilk terimi olarak sıfır alınmıştır: Fibonacci dizisinin üreteç fonksiyonu, olmak üzere şeklindedir, bu seri açılıma sahip fonksiyonu bulmak için yukarıdaki eşitliğin sağ ve sol tarafı ve terimleriyle çarpılıp hepsi taraf tarafa toplanarak, eşitliği elde edilir, buradan bulunur. 5

15 Fibonacci dizisinin karakteristik denklemi, karakteristik denklem tanımından şeklinde elde edilir. Buradan karakteristik denklemin çözümleri, şeklinde bulunur. Aşağıdaki eşitlikler kolayca görülebilir: Fibonacci dizisinin rekürans bağıntısının çözümü olmak üzere, katsayılarını bulmak için başlangıç şartları kullanılarak ve buradan ( ) ( ) elde edilir. Dolayısıyla yerine yazılırsa eşitliği elde edilir. Bu eşitlik ilk olarak 18. yüzyılda Jacques Philippe Marie Binet tarafından gösterildiği için Binet Formülü olarak adlandırılır (Koshy 2001). 6

16 Fibonacci dizisinin kombinatoryal ifadesi ( * (2.2) şeklindedir (Koshy 2001). Fibonacci dizisinin ardışık terimlerinin oranları, terim numarası büyüdükçe yakınsak bir dizi oluşturur. Yakınsadığı sayıyı bulmak için ardışık terimleri oranlandığında bu durumda ( ) ( ) eşitliği göz önünde bulundurularak her iki taraftan limit alınırsa ( * (, denklemi elde edilir. Limit pozitif olacağı için ( * sonucu bulunur, bu sayıya altın oran adı verilir (Koshy 2001). Altın oran ve Fibonacci sayılarının, bitkilerin büyümeleri ve bazı katıların kristalografik yapılarından, veri tabanlarında arama yapmak için yazılan bilgisayar algoritmalarının geliştirilmesine kadar çok geniş uygulama alanları vardır. Bu yüzden matematikçiler haricinde de Fibonacci dizisi üzerinde birçok çalışma yapılmıştır (Dunlap 1997). 7

17 19. yüzyılda François Édouard Anatole Lucas, Fibonacci dizisinin rekürans bağıntısını aşağıdaki başlangıç şartları ile kullanarak şeklinde tanımladığı yeni diziyi incelemiştir, bu (Koshy 2001). dizisine Lucas dizisi adı verilir Fibonacci dizisi için yapılan çalışmaların bir kısmı Lucas dizisine de uygulanmıştır ve iki dizi için de birçok genelleştirmeler yapılmıştır. Bunun en kapsamlısı 1965 yılında Alwyn Francis Horadam tarafından, olmak üzere şeklinde genel ikinci dereceden lineer bir rekürans dizisi tanımlanarak çalışılmıştır, bu dizinin karakteristik denklemi, şeklindedir ve bu denklemin çözümleri olmak üzere ( * ( * eşitliği sağlanır. Burada olmak üzere ise Fibonacci dizisi 8

18 ise Lucas dizisi eşitlikleri kolayca görülür (Koshy 2001). 2.1 Polinom Dizileri Bu kısımda Polinom dizilerinin tanımı verilecektir. Sayı dizilerindeki benzer düşünceyle rekürans bağıntıları yardımıyla polinom dizileri de tanımlanabilir. Bu şekilde 1883 yılında Eugene Charles Catalan ve E. Jacobsthal tarafından Fibonacci dizisine benzer olarak aşağıdaki tanım verilmiştir. olmak üzere için rekürans bağıntısı ile tanımlanan diziye tek değişkenli Fibonacci polinomları dizisi denir (Koshy 2001). Böylece benzer şekilde sayı dizileri için yapılan tüm tanımlamalar, terimleri polinom olan dizileri kapsayacak şekilde düzenlenebilir. Çeşitli rekürans bağıntıları göz önüne alınarak genelleştirilmiş polinom dizileri tanımlanmış ve bu dizilerin terimleri olan polinomların sıfırları, sıfırlarının oluşturduğu sayı dizilerinin yakınsaklık durumları ve benzeri konular farklı çalışmalarda incelenmiştir (örnek olarak Webb ve Parberry (1969), Matyas (1998 ve 2000), Wang ve Mingfeng (2004), Amdeberhan (2010)). Bu tezin ikinci bölümünde bazı polinom dizilerinin herhangi bir teriminin sıfırlarını içeren kompleks bölgelerin bulunuşu incelenecektir. 9

19 2.2 Fibonacci Psödögrup Bu kısımda, bir kombinatoryal problemde Fibonacci dizisinin nasıl ortaya çıktığı ve rekürans bağıntılarıyla verilmiş bir dizinin genel terimini bulmakta nasıl rol oynadığı gösterilecektir. sonlu bir küme ve bu kümedeki eleman sayısını göstersin., nın tüm altkümelerinin kümesi ve, kümesinin elemana sahip tüm alt kümelerinin kümesi olsun. Böylece olacaktır. Açık olarak ( ) ve ayrıca olduğundan eşitliği yazılır. Burada ( ) { } { } eşitlikleri açık olarak görülebilir. eleman üzerindeki tüm permütasyonların simetrik grubu ve doğal olarak { } kümesi üzerinde bir harekettir. En az iki elemanlı bir kümenin her permütasyonu transpozisyonların çarpımı olarak yazılabilir. Permütasyonlar transpozisyonların çarpımı olarak yazıldığında boş çarpım birim permütasyonu göstersin. Aşağıdaki kümesini göz önüne alalım, olmak üzere 10

20 { } Burada, deki belli ayrık transpozisyonların çarpımıdır. Örneğin için { } şeklindedir. için olduğu görülebilir, yani kümesinin her elemanının tersi kendisidir. Böylece elde edilir. olmak üzere, bu iki permütasyonun çarpımlarının yine kümesinin elemanı olması için gerek ve yeter şart permütasyonlarının ayrık olmalarıdır. Ancak kümesindeki herhangi iki eleman ayrık olmayabilir. Bir grubun, birim elemanını içerip ters eleman özelliğini sağlayan ancak grup işlemine göre kapalı olmayan alt kümesine psödögrup denir. Bu durumda olduğundan, eğer ise grup değildir, ancak psödögruptur. Aşağıdaki teoremden dolayı bu kümesine Fibonacci psödögrup denir. 11

21 Teorem 2.2.1: için eşitliği vardır (Ferguson 1978). Ġspat:, kümesinin tane farklı transpozisyon çarpımlarından oluşan permütasyonlarının kümesi olsun. Bu durumda ayrık birleşimdir. Örneğin { } { } { } { } olmak üzere eşitliği elde edilir. Aşağıdaki eşitliğin gösterilmesi ispat için yeterlidir: için ( ) Çünkü (2) numaralı eşitlikten 12

22 ( * olduğu kolayca görülür. Dikkat edilirse işareti dır. kümesinin elemanı olan bir permütasyonun üzerinde aşağıdaki fonksiyonu tanımlayalım, { } yani kümesi, nın sabitlediği, nin altkümesidir. Buradan dir. Benzer şekilde aşağıdaki fonksiyonu da tanımlayalım { } Dikkat edilirse her için ayrık birleşimdir. fonksiyonları kümesine kısıtlandığında, olduğu görülür. nın bir alt kümesini şöyle tanımlayalım (c harfi küçük harf olarak) { } Buradan için 13

23 olduğu görülür. olsun, ve kümeleri yı karakterize ederler. Böylece için ise ve { } { } { } elemanları seçildiğinde elemanları da tamamen belirli olur. Dolayısıyla elemanlı kümesinde bağımlı değişken sayısı olduğundan bağımsız değişkenleri ( ) farklı şekilde seçilebilir. Böylece elde edilmiş olur. ( ) Şimdi Fibonacci Psödögrup yardımıyla bir üç bant matrisin determinantı ve karakteristik polinomunun nasıl bulunabileceği incelenecektir. Bunun için, [ ] matrisi ve vektörleri tanımlanırsa; matrisi, şeklinde vektörlerine bağlı bir 14

24 fonksiyon olarak düşünülebilir. Aşağıdaki teoremler polinomu ve determinantı hakkındadır. matrisinin karakteristik Teorem 2.2.2: i) ii) ( ) (Ferguson 1978). ( ) ( ) Teorem 2.2.3: Bir üç bant matrisin karakteristik polinomu aşağıdaki gibi dereceleri ve olan iki polinomun toplamı şeklinde yazılabilir: burada ve [ (( ) ( ),] Özel durumda ( + ( ) 15

25 eşitlikleri vardır (Ferguson 1978). Bu teorem polinomu hakkında tam olarak bilgi verir. Ayrıca uzayında hiperbol ailesini göz önüne alalım, burada sabitlerdir. olsun, bu durumda, bu hiperbollerin üzerlerindeki noktalar üçbant matrislerinin bir ailesini parametrize ederler. Burada matrisleri aynı özdeğerlere sahiptirler ve bu özdeğerlerin katlılıkları da aynıdır. Çünkü karakteristik polinomdaki tüm terimlerde çarpım olarak bulunur ve çarpımları olacak şekilde sabittir. Aşağıda Ferguson (1978) tarafından tanımlanan bir polinom dizisi ve bu dizinin genel terimini veren bir formül verilecektir. Tanım 2.2.4: keyfi diziler verilsin,, ve için rekürans bağıntısı ile elde edilen diziye bir parametreli lineer rekürans dizi denir (Ferguson 1978). Teorem 2.2.5: için nin genel terimi eşitliğini sağlar (Ferguson 1978). 16

26 Teorem de matrisin determinantı ve karakteristik polinomu, Teorem de ise dizinin genel terimi permütasyonlar üzerinden hesap edilmektedir. Nasıl ki bir matrisin determinantını, tanımlandığı permütasyon ve inversiyonlar yardımıyla hesaplamak kullanışlı bir yöntem değilse, bu formülleri hesaplamak da kullanışlı değildir. Ancak aşağıdaki örnekte olduğu gibi bazı durumlarda hesap kolaylaşabilmektedir. Örnek 2.2.6: sabit diziler olsun., ve için lineer rekürans dizisinin genel terimi için ( ) olduğundan Teorem kullanılarak ( ) (2.3) şeklinde elde edilir. Bu formül dizisinin herhangi bir terimi bulmak için kullanılabilir; diğer bir formülü ise üreteç fonksiyonunu kullanarak aşağıdaki gibi bulabiliriz. fonksiyonunu ( ) çekilirse ile çarpıp üç eşitlik taraf tarafa toplanıp 17

27 bulunur. Burada paydadaki fonksiyonun sıfırları şeklindedir. Bu sıfırlar kullanılarak gibi ayrılır: üreteç fonksiyonu basit kesirlere aşağıdaki. /. / buradan bulunur, dolayısıyla genel terim için (2.3) numaralı formüle alternatif bir formül *( + ( + + şeklindedir. 2.3 Periyodik Rekürans Dizileri Lineer rekürans dizilerinde dizinin terimleri sabitler ile çarpılıp bir sonraki terim elde edilir; ancak bazı gerçek hayat problemlerinde bağıntı indise bağlı bir kurala göre değişebilir. En basit olarak tek indisli terimlerde ve çift indisli terimlerde farklı çarpanlar kullanıldığında oluşan rekürans dizisinden bahsedilebilir. Bu tipte bir dizinin, derecesi 2 olan durumu için, determinantı bu diziyi veren matrisin özdeğerleri 1978 de 18

28 Heleman Ferguson tarafından incelenmiştir de Cooper ve Parry bu dizinin genel terimini kompleks çarpanlarla ifade etmişlerdir. Tanım 2.3.1: keyfi sabitler olmak üzere ve için } (2.4) bağıntılarını sağlayan denir (Ferguson 1978) (Cooper ve Parry 2004). dizisine iki periyotlu ikinci dereceden lineer rekürans dizi dizisi iki tane rekürans bağıntıyla tanımlandığı için iki periyotlu şeklinde isimlendirilmiştir. Teorem 2.3.2: ve yukarıda tanımlı dizi olmak üzere, kabul edelim ki şartı sağlansın, olsun olmak üzere negatif olmayan tamsayısı için aşağıdaki eşitlik vardır: (Ferguson 1978) (Cooper ve Parry 2004). Ġspat: 19

29 dizisinin üreteç fonksiyonu dizinin çift indisli ve tek indisli terimleri için ikiye ayrılarak kullanılır, yani şeklinde tanımlanır. (2.4) bağıntısında eşitlikler sırasıyla ve ile çarpılıp düzenlenirse, ve elde edilir. Buradan (2.5) (2.6) toplam eşitlikleri elde edilir, burada 20

30 eşitlikleri göz önüne alınıp (2.5) ve (2.6) eşitlikleri düzenlenirse denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi çözülerek [ ] [ ] * + bulunur. Böylece elde edilir. Paydanın çarpanları: olduğundan basit kesirlere ayırma metoduyla buradan bulunur, böylece 21

31 (2.7) elde edilir. Teorem 2.3.2: pozitif tamsayısı için [ ] olsun, matrisinin determinantıyla dizisinin terimleri arasında eşitliği vardır. ( ) nin tek sayı olması durumunda Cooper ve Parry (2004) determinantının ne zaman sıfıra eşit olacağını aşağıdaki teoremle vermişlerdir: matrisinin Teorem 2.3.3: ( ) ( * olacak şekilde bir vardır. Ġspat: 22

32 İlk olarak ( ) ise sıfır olabilir, ise ( ) olur. ( ) olsun. iki periyotlu ikinci dereceden lineer rekürans dizisidir. Böylece ( ) ( ) ( ) buradan ( ) ( ) ( * ( ) ( ) (. / + ( ) Böylece ( * Bazı için olsun. Buradan 23

33 ( ) burada çünkü. Böylece eşitliğinde sol taraf paranteze alınıp kareköklü kısım yalnız bırakılırsa, elde edilir, burada eşitlikleri kullanılırsa, elde edilir, eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa, bulunur, buradan ( * 24

34 bu eşitlikte, ve yerine yazılırsa bir için ( * olduğu elde edilir. Cooper ve Parry önceki teoremin bir sonucu olarak aşağıdaki şekilde vermişlerdir: matrisinin özdeğerlerini Teorem 2.3.4: matrisinin özdeğerleri ve ( ) sayılarıdır. Ġspat: Bir polinom dizisi, ve için şeklinde tanımlanırsa, matrisinin özdeğerleri denkleminin çözümleridir. 25

35 Teorem 2.3.3, x sürekli değişkeni göz önüne alınarak tekrarlandığında veya için ( * eşitliği sağlanır. Böylece matrisinin özdeğerleri ve aşağıdaki kuadratik denklemin çözümleridir ( * burada dir. Tam kareye tamamlama yapılarak ( * ( * ( * elde edilir. Böylece, matrisinin özdeğerleri ve için ( ) ( * sayılarıdır. Teorem 2.3.5: dizisinin tek indisli terimleri için, ( ( ) ) 26

36 eşitliği sağlanır. Ġspat: Teorem ile bulunan özdeğerlerin çarpımı, matrisinin determinantını verecektir, dolayısıyla Teorem gereğince bu determinant terimine eşit olacaktır. 27

37 3. ĠKĠNCĠ DERECEDEN LĠNEER REKÜRANS ĠLE ELDE EDĠLEN POLĠNOM- LAR VE SIFIRLARININ YERLERĠ başlangıç şartları ve için lineer rekürans bağıntısı ile oluşturulan polinom rekürans dizi denir. Burada polinom dizisine ikinci dereceden lineer [ ] keyfi polinomlardır. polinom dizisi, ikinci dereceden lineer rekürans bağıntısı ile tanımlanan tüm polinom dizilerinin en genel hâlidir. dizisinin üreteç fonksiyonunun olduğu ve karakteristik denkleminin olduğu kolayca görülebilir. Bu karakteristik denklemin çözümleri olmak üzere, dizisi aşağıdaki eşitliği sağlar ( * ( * 28

38 Ferenc Matyas(2000) çalışmasında bir matrisin özdeğerlerinin spektrumu için kullanılan Gershgorin Çember Teoremi ve Brauer Teoremi yardımıyla ikinci dereceden lineer polinom rekürans dizisinin genel terimi olan polinomun sıfırlarının bulunduğu kompleks bölgeleri incelemiştir. Bir polinomun sıfırlarının bulunduğu kompleks bölgenin bilinmesi nümerik metotlarla sıfırları bulmak için kolaylık sağlar. Kompleks bölge ne kadar küçükse nümerik metotlarla sıfırların bulunması daha kolaylaşır. Bu bölümde dizinin genel terimini bir üç bant matrisin determinantı ile ifade edecek aşağıdaki teoremi ve sonrasında Gershgorin Çember Teoremi ile Brauer Teoreminin ifadeleri ve Matyas ın kompleks bölgelerin bulunuşu için verdiği ana teorem verilip, Matyas ın kullandığı matris yerine farklı matris alınarak bu matris üzerinden polinom sıfırları için yeni bir kompleks bölge bulma teoremi verilecektir. Teorem 3.1: matrisi [ ] şeklinde olmak üzere, her için eşitliği sağlanır (Matyas 2000). Ġspat: Tümevarım metoduyla ispat yapalım. için sağlanır; 29

39 30 için olsun; için determinantının son satıra göre kofaktör açılımı yapılırsa, burada ilk determinantın son sütuna göre kofaktör açılımı yapılırsa

40 eşitliği görülür, tümevarım aksiyomu gereği sağlanır. Teorem 3.2: (Gershgorin Çember Teoremi): ve olmak üzere [ ] matrisi verildiğinde için { } olmak üzere, matrisinin tüm özdeğerleri kümesinin elemanlarıdır (Bernstein 2009). Teorem 3.3: (Brauer Teoremi): için ve olmak üzere [ ] matrisi verildiğinde, { (, (,} olmak üzere, matrisinin tüm özdeğerleri 31

41 kümesinin elemanlarıdır. Burada (Bernstein 2009). kompleks bölgelerine Cassini ovalleri adı verilir Teorem 3.4: için polinomlarının tüm sıfırları, -, - { }, - kümelerinin elemanlarıdır (Matyas 2000). Ġspat: matrisinin özdeğerleri ise matrisinin karakteristik polinomu olur. Böylece için polinomunun bir sıfırı ise Teorem 3.1 den ( ) bir özdeğerdir. matrisi için Gershgorin Çember Teoremi uygulanırsa: { }, -, - 32

42 elde edilir, o halde veya ve özdeğer olduğu için veya dir, dolayısıyla veya eşitsizlikleri elde edilir. Buradan polinomunun bir sıfırı ise veya eşitsizlikleri sağlanır. Böylece elde edilmiş olur. matrisi için Brauer teoremi uygulanırsa: { } { } { } olduğu görülür. Buradan, özdeğer olduğu için veya dir. Böylece elde edilmiş olur. 33

43 Tanım 3.5 (Birinci ÇeĢit Chebyshev Polinomları): Birinci çeşit Chebyshev polinomları dizisi ile gösterilir ve rekürans bağıntısıyla tanımlanır, yani şartları altında özel ikinci derece rekürans polinom dizisi olduğu görülür. başlangıç Bu rekürans bağıntısının karakteristik denklemi olmak üzere, bu denklemin çözümleri, olarak bulunur. Buradan dizisinin rekürans bağıntısının çözümü olmak üzere, başlangıç değerleri sağlatılırsa, ( ) ( ) elde edilir. Buradan eğer ise elde edilir. 34

44 eğer ise elde edilir. Burada veya buradan, elde edilir (Mason ve Handscomp 2002). Birinci ÇeĢit Chebyshev Polinom Dizisine Teorem 3.4 ün UygulanıĢı: olduğu için { } { } { } { } { } { } { } 35

45 { } elde edilir. Dolayısıyla Birinci Çeşit Chebyshev Polinomları dizisinin tanımından trigonometrik özdeşlikler yardımıyla bulunan sonucun aynısı Teorem 3.4 ile de bulunmuş oldu. Tanım 3.6 (Ġkinci ÇeĢit Chebyshev Polinomları): İkinci Çeşit Chebyshev Polinomları dizisi ile gösterilir ve rekürans bağıntısıyla tanımlanır, yani başlangıç şartları altında özel bir ikinci derece rekürans polinom dizisi olduğu görülür. Rekürans bağıntısının karakteristik denklemi olmak üzere, bu denklemin çözümleri, olarak bulunur. Buradan dizisinin rekürans bağıntısının çözümü olmak üzere, başlangıç değerleri sağlatılırsa, ( ) ( ) 36

46 elde edilir. Buradan eğer ise ( ) eğer ise ( ) bulunur. Dolayısıyla ( ) veya ( ) Buradan elde edilir (Mason ve Handscomp 2002). 37

47 Ġkinci ÇeĢit Chebyshev Polinom Dizisine Teorem 3.4 ün UygulanıĢı: { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } elde edilir. Dolayısıyla İkinci Çeşit Chebyshev Polinomları dizisinin tanımından trigonometrik özdeşlikler yardımıyla bulunan sonucun aynısı Teorem 3.4 ile de bulunmuş oldu. Şimdi matrisi yerine, dizisini determinantla üretecek farklı bir matris kullanarak Teorem 3.4 ün bir benzerini yeni matris için verelim. Gerek Teorem 3.4 gerekse aşağıda verilecek Teorem 3.8 in Chebyshev polinom dizilerine uygulanmasında aynı sonuçlar alınacaktır, ancak farklı polinom dizileri için farklı bölgeler bulunabilir, verilen dizisi için hangi teoremin kullanımının daha küçük bir kompleks bölge olduğunun incelenmesi gerekir. Teorem 3.7 : matrisi [ ] şeklinde olmak üzere, her için 38

48 eşitliği sağlanır. Teorem 3.8 : için polinomlarının tüm sıfırları { } { } { } ve { } { } { } { } kümelerinin elemanlarıdır. Ġspat: matrisinin özdeğerleri ise matrisinin karakteristik polinomu olur. Böylece için polinomunun bir sıfırı ise Teorem 3.1 den ( ) bir özdeğerdir. matrisi için Gershgorin teoremi uygulanırsa: { } { } 39

49 { } { } elde edilir, o halde özdeğer olduğu için veya veya veya dir, dolayısıyla veya veya veya elde edilir. Buradan veya veya dir. Böylece elde edilmiş olur. matrisi için Brauer teoremi uygulanırsa: { } { } { } { } { } { } Buradan, özdeğer olduğu için veya 40

50 veya veya veya veya olur. Dolayısıyla veya veya veya elde edilir. Böylece olduğu görülür. Teorem 3.8 ve Teorem 3.4 karşılaştırılırsa verilen polinom dizisine göre bu teoremlerde bulunan kompleks bölgenin büyüklüğü değişir. Bu yüzden kendi verdiğimiz Teorem 3.8 in Matyas tarafından verilen Teorem 3.4 den daha iyi sonuç verdiği bir örnek inceleyelim, işlemlerin kısa olması ve grafik üzerinde kompleks bölgelerin gösterimini kolaylaştırmak amacıyla dizinin tüm başlangıç şartları ve katsayılarını sabit polinomlar olarak alalım. Örnek 3.9: dizisi, başlangıç şartları ve için şeklindeki rekürans bağıntısı ile tanımlansın. 41

51 Burada için ve [ ] [ ] olduğu elde edilir, matrisine Gerschgorin teoreminin uygulanması ile elde edilen kompleks bölgelerin grafiği şekil 3.1 de, matrisine Gerschgorin teoreminin uygulanması ile elde edilen kompleks bölgelerin grafiği ise şekil 3.2 de görülmektedir. Grafiklerdeki mavi noktalar sırasıyla matrisinin ve matrisinin eşit olan özdeğerleridir. 42

52 Şekil 3.1 matrisinin özdeğerleri ve Gerschgorin diskleri Şekil 3.2 matrisinin özdeğerleri ve Gerschgorin diskleri 43

53 Burada iki matrisin de özdeğerleri kümesi { şeklindedir. } Grafiklerden de görüldüğü üzere verdiğimiz Teorem 3.8 den elde edilen Gerschgorin Diskleri Teorem 3.4 den elde edilen disklerden daha küçük bir bölgedir. Şimdi aynı örnek üzerinde Brauer Teoremini uygulayalım. matrisine Brauer Teoreminin uygulanması ile elde edilen kompleks bölgelerin yani Cassini Ovallerinin grafiği şekil 3.3 de, matrisine Brauer Teoreminin uygulanması ile elde edilen kompleks bölgelerin grafiği ise şekil 3.4 de görülmektedir. Yine grafiklerdeki mavi noktalar sırasıyla matrisinin ve matrisinin yukarıda verilen özdeğerleridir. Şekil 3.3 matrisinin özdeğerleri ve Cassini ovalleri 44

54 Şekil 3.4 matrisinin özdeğerleri ve Cassini ovalleri Şekil deki grafiklerden de görüldüğü üzere verdiğimiz Teorem 3.8 kullanılarak elde edilen Cassini ovalleri Teorem 3.4 ile elde edilen Cassini ovallerinden daha küçük bir bölgedir. 45

55 4. ĠKĠ PERĠYOTLU ĠKĠNCĠ DERECEDEN LĠNEER REKÜRANS BAĞINTI- LARININ KOMPLEKS ÇARPANLARLA ĠFADE EDĠLMESĠ Bu bölümde, kısım 2.3 de Ferguson (1978) ve Cooper ve Parry (2004) çalışmalarında tanımlanan iki periyotlu ikinci dereceden lineer rekürans dizisinin bir genelleştirmesi üzerine yaptığımız çalışma ve Cooper ve Parry nin bıraktıkları bir açık problemin kısmi çözümü incelenecektir. Tanım 4.1: (GenelleĢtirme) keyfi sabit, ve için şeklindeki rekürans bağıntısıyla üretilen lineer rekürans dizi denir. dizisine iki periyotlu ikinci dereceden Şahin vd. (2014) çalışmalarında yukarıdaki tanımı -periyot için aşağıdaki gibi ifade etmişler ve üreteç fonksiyonunu bulup dizinin genel terimini bir formülle vermişlerdir. Tanım 4.2: sıfırdan farklı reel sayılar olsun, keyfi başlangıç şartları ve için { rekürans bağıntısı ile üretilen diziye denir. -periyotlu ikinci dereceden lineer rekürans dizisi İki periyotlu ikinci dereceden lineer rekürans dizisinde, 46

56 ve kabul edelim ki (2014) yılındaki çalışmalarındaki Teorem 6 ve Teorem 9 dan olsun. Aşağıdaki iki eşitlik Şahin vd. başlangıç değerleriyle elde edilmiştir. dizisinin üreteç fonksiyonu şeklindedir ve dizisinin çift indisli terimleri aşağıdaki eşitliği sağlar (4.1) burada ve sayıları polinomunun sıfırlarıdır. kabulümüzden dolayı ve farklıdırlar. Teorem 4.3: iki periyotlu ikinci dereceden lineer rekürans dizisi ve pozitif tamsayısı için [ ] 47

57 olmak üzere, için eşitliği doğrudur. İspat tümevarımla kolayca gösterilebilir. ( ) Teorem 4.4: için ( ) ( * burada. Ġspat: Teorem 4.3 ve 4.1 eşitliğinden ( ) elde edilir. Burada yazılabilir. Böylece, ( * ( * ise 48

58 ( ) Dikkat edilirse olduğundan. Buradan bulunur ve eşitlikleri kullanılırsa ( * ( * bulunur. Her iki tarafın karesi alınarak ( * ( ( * * ( * ( * ( * elde edilir. Bu eşitlikte ve yerine yazılırsa bir için ( * 49

59 bulunur. Teorem 4.5: olsun. matrisinin özdeğerleri ( ) ( * sayılarıdır. Ġspat: Bir polinom dizisi, ve için şeklinde tanımlansın. matrisinin özdeğerleri denkleminin çözümleridir. Teorem 4.4, x sürekli değişkeni göz önüne alınarak tekrar düzenlendiğinde { ( * hâlini alır. Böylece, matrisinin özdeğerleri ve aşağıdaki kuadratik denklemin çözümleridir, 50

60 ( * Bu eşitliğin sol tarafı tam kareye tamamlama yapılarak ( * ( * ( * ifadesi elde edilir. Böylece, matrisinin özdeğerleri ve ( ) ( * sayılarıdır. Verilen teoremlerin bir sonucu olarak iki periyotlu ikinci dereceden lineer rekürans dizisinin bazı terimlerini, kompleks çarpanlar ile hesaplamak için kullanılabilecek aşağıdaki teoremi verelim. Teorem 4.6: iki periyotlu ikinci dereceden lineer rekürans dizisi ve indisli terimleri aşağıdaki şekilde elde edilebilir, olsun, dizinin çift ( ( ) ( *) Ġspat: Teorem 4.3 den ( ) ve bir matrisin determinantı özdeğerleri çarpımıdır bilgisi göz önüne alındığında Teorem 4.5 kullanılırsa ispat açıktır. 51

61 Teorem 4.7: iki periyotlu ikinci dereceden lineer rekürans dizisi ve, olsun, bu durumda aşağıdaki eşitlik vardır, Ġspat: Eğer Tanım 4.1 de alırsak ve için elde edilir, Teorem 4.6 dan ( ( ) ) elde edilir, ve burada dizisinin tanımından bulunur. Örnek 4.8: ve için 52

62 rekürans dizisi, Cooper ve Parry nin (2004) çalışmalarındaki terim olarak 0 eklenmiş dizidir. Yani dizisinin başına ilk olur. Buradan ( ( ) ( *) bu çarpanlara ayrılış Cooper ve Parry nin bulduğunun aynısıdır. Onlar dizisinin kompleks çarpanlarına ayrılışını açık soru olarak bırakmışlardır. Teorem 4.7 den şartı altında bulunur ve bu açık problem için bir özel çözümdür. Sonuç 4.9: sayılarıdır. Buradan ise dizisi Fibonacci ( ( *+ elde edilir. Bu sonuç Cahill vd. (2003) de bulunan 4.1 eşitliğidir. Sonuç 4.10: Buradan ise dizisi Pell sayılarıdır. 53

63 ( ( *+ ( ( *+ elde edilir. Sonuç 4.11: sayılarıdır. Buradan ise dizisi Jacobsthal ( ( *+ elde edilir. Sonuç 4.12: ise dizisi (2014) sitesinde belirtilen A numaralı dizidir. Bu dizinin çift terimleri yani dizisi Fibonacci sayı dizisini verir. Buradan ( ( *+ elde edilir. Bu sonuç Cahill vd. (2003) de bulunan 1.1 eşitliğidir. Sonuç 4.13: sayıları dizisidir. Buradan ise dizisi Mersenne ( ( *+ 54

64 5. SONUÇ 5.1 Rekürans Dizisinin Terimini Farklı Metotlarla Bilgisayarda Hesaplama Süreleri Rekürans dizilerinin kompleks çarpanlarının bulunmasının bir faydası da, dizinin terimlerini rekürans bağıntılarıyla hesaplamak uzun işlem zamanı gerektirirken, kompleks çarpanlar yardımıyla hesaplamak belli bir terimden büyük tüm terimler için rekürans bağıntısına göre çok daha az işlem, dolayısıyla daha az zaman gerektirmesidir. Bunu görebilmek için aşağıdaki Wolfram Mathematica 9.0 Programı sonuçlarını inceleyelim. Program, verilen değeri için terimini hesaplayıp sonucu yazıyor. Hesaplama işini genel terimin formülüyle, determinantla, rekürans bağıntısıyla ve kompleks çarpanlamayla, ayrı ayrı yapıp her birinde harcadığı süreyi de ekrana çıktı veriyor. İlk olarak 36. terimi bulduralım: n=18;$recursionlimit=infinity; m=2*n;s1=0;s2=0;s3=0;s4=0;s5=0;s6=0;s7=0;s8=0;s9=0;s10=0;s11=0;s12=0; v[0]=0; v[1]=1; a0=1;b0=5;a1=7;b1=-1; ba=a0*a1+b0+b1; bb=b0*b1; s10=s10+first[timing[alfa=(ba+sqrt[ba^2-4*bb])/2]]; s11=s11+first[timing[beta=(ba-sqrt[ba^2-4*bb])/2]]; s8=s8+first[timing[vm=a0*v[1]*(alfa^n-beta^n)/(alfa-beta)]]; s12=s12+first[timing[v[x_]:=if[oddq[x],a1*v[x-1]+b1*v[x-2],a0*v[x-1]+b0*v[x-2]]]]; s7=s7+first[timing[tmat=sparsearray[{{1,1} v[1],band[{2,2},{m,m}] {a0,a1},band[{2,3},{m,m} ] {b1,b0},band[{2,1}] -1},m]]]; s1=s1+first[timing[print["determinant:",det[tmat]]]]; Print["determinant süre:",s1+s7," sn"]; s2=s2+first[timing[print["reküranstan:",v[m]]]]; Print["rekürans süre:",s2+s12," sn"]; s3=s3+first[timing[print["formülden:",n[vm,20]]]]; 55

65 Print["formül süre:",s3+s8+s10+s11," sn"]; s4=s4+first[timing[oz1[k_]:=((a0+a1)/2)+sqrt[((a0-a1)/2)^2-b0- b1+2*sqrt[b0*b1]*cos[(k*pi)/n]]]]; s5=s5+first[timing[oz2[k_]:=((a0+a1)/2)-sqrt[((a0-a1)/2)^2-b0- b1+2*sqrt[b0*b1]*cos[(k*pi)/n]]]]; s9=s9+first[timing[fdet=a0*v[1]*n[product[oz1[k]*oz2[k],{k,1,n-1}],20]]]; s6=s6+first[timing[print["çarpanlamadan:",round[re[fdet]]]]]; Print["çarpanlama süre:",s4+s5+s6+s9," sn"]; Üstteki programın çıktısı aşağıdaki gibidir: determinant: determinant süre: sn reküranstan: rekürans süre: sn formülden:_ formül süre: 0. Sn çarpanlamadan: çarpanlama süre: sn Programı farklı terimler için çalıştırarak elde edilen sonuçlar çizelge 5.1 de verilmiştir, hesaplanması uzun sürecek değerler atlanmış, diğer hesaplamalar çalıştırılmıştır: büyük değerler için çarpanlama ve formül hesabındaki 20 basamak hassasiyet 2000 basamağa çıkarılmıştır. 56

66 Çizelge 5.1 Wolfram Mathematica programlama dilinde, farklı metotlar kullanarak bir dizinin terimlerini hesaplama süresi Terim Numarası Determinant Süre(sn.) Rekürans Süre(sn.) Formül Süre(sn.) Çarpanlama Süre(sn.) Hesaplanmadı Hesaplanmadı Hesaplanmadı Hesaplanmadı Hesaplanmadı Hesaplanmadı Sonuç olarak çizelge 5.1 incelendiğinde, kompleks çarpanlama ile bir dizinin terimlerinin hesaplanması, dizinin terimlerini bulmak için verilmiş Binet formülü benzeri bir formülle hesaplamaya alternatif olarak değerlendirilebilir, ayrıca çarpanlama ile hesaplama yapıldığında ayrıca dizinin terimlerini hesaplamak için kullanılan matrisin özdeğerlerinin de hesaplanmış olduğu, ancak formülle hesaplamada böyle bir bilginin olmadığı göz önünde tutulmalıdır. 57

67 KAYNAKLAR Amdeberhan, T A note on Fibonacci-Type Polynomials. Integers, 10-1, Anonymous, 2014 Web Sitesi: (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) Erişim Tarihi: Ekim Bernstein, D.S Matrix Mathematics. Princeton University Press, 1059 s. Cahill, D. N., D'Errico J. R. and Spence J. P Complex Factorizations of the Fibonacci and Lucas Numbers. The Fibonacci Quarterly, 41, No.1, Cooper, C. and Parry, R. July Factorizations Of Some Periodic Linear Recurrence Systems. The Eleventh International Conference on Fibonacci Numbers and Their Applications. Germany. Dunlap, R.A., Aktaş B.(Çevirmen) Altın Oran ve Fibonacci Sayıları. Tübitak, 166s. Ferguson, H The Fibonacci Pseudogroup, Characteristic Polynomials and Eigenvalues of Tridiagonal Matrices, Periodic Linear Recurrence Systems and Application to Quantum Mechanics. The Fibonacci Quarterly, 16.4, Koshy, T Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, 652s., Canada. Matyas, F Bound for the Zeros of Fibonacci Type Polynomials. Acta. Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae, 25, Matyas, F A note on the location of zeros of polynomials defined by Linear Recursions. Acta. Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae, 27,

68 Mason, J.C. and Handscomb, D Chebyshev Polynomials. Chapman & Hall/Crc, 360p. Panario, D., Sahin, M. and Wang, Q A Family of Fibonacci-like conditional sequences. INTEGERS Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. 13, A78. Varga, R.S Gerschgorin Disks, Brauer Ovals of Cassini (a vindication), and Brualdi Sets. Information, 4, Wang, Y. and Mingfeng, H Zeros of a class of Fibonacci-type polynomials. The Fibonacci Quaterly, 42, Webb, W.A. and Parberry, E.A Divisibility properties of Fibonacci polynomials. Fibonacci Quaterly, 7,

69 ÖZGEÇMĠġ Adı Soyadı : Semih YILMAZ Doğum Yeri : Sivas Doğum Tarihi : Yabancı Dili : İngilizce Eğitim Durumu(Kurum ve Yıl): Lise : Sivas Lisesi (1994) Lisans : Kırıkkale Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2000) Yüksek Lisans : Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü (2006) Doktora : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü (2015) ÇalıĢtığı Kurum/Kurumlar ve Yıl: İmranlı Atatürk İlköğretim Okulu ( ) Kırıkkale Üniversitesi Matematik Bölümü Araştırma Görevlisi ( ) Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı (2008-) Yayınları: Yılmaz, S., Ekin, A. B., Complex factorization of some two-periodic linear recurrence systems. Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Series A1, Vol 63, No 2. 60