T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SOFT DİTOPOLOJİK- FUZZY SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR VE TIPTA UYGULAMALAR Tuğba Han DİZMAN DOKTORA TEZİ Matematik Anabilim Dalı Mayıs-2014 KONYA Her Hakkı Saklıdır

2

3 TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work. İmza Öğrencinin Adı SOYADI Tuğba Han DİZMAN Tarih:

4 ÖZET DOKTORA TEZİ SOFT DİTOPOLOJİK- FUZZY SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR VE TIPTA UYGULAMALAR Tuğba Han DİZMAN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Şaziye Yüksel 2014, 60Sayfa Jüri Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Prof. Dr. Cemil YILDIZ Doç. Dr. Kemal AYDIN Doç. Dr. Ayşe Dilek MADEN Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN Bu tezde belirsizliğe farklı bir yaklaşım olarak Molodtsov (1999) tarafından geliştirilmiş soft kümeler ile topolojik yapılar ve soft ilefuzzy kümelerin bir araya getirilmesiyle oluşturulmuş melez bir model olan fuzzy soft kümeler ile fuzzy topolojik kavramlar arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Ayrıca soft kümeleri kullanarak prostat kanserini teşhis etmek için bir uzman sistem tasarlanmıştır. Tezin ikinci bölümünde verilen soft ditopolojik uzaylar birbirinden bağımsız olarak tanımladığımız soft açıklarla ilgili özelliklerin bulunduğu soft topolojik uzaylar ve soft kapalılarla ilgili özelliklerin bulunduğu soft kotopolojik uzaylardan elde edilmiştir.soft topoloji ve soft kotopolojilerde sırasıyla ττ-soft süreklilik, ττ-soft ayırma aksiyomları, κκ-soft süreklilik ve κκ-soft ayırma aksiyomları verilmiştir. Bu kavramlar soft ditopolojik uzaylarda da incelenmiştir. Tezin üçüncü bölümünde fuzzy soft topolojik uzaylar incelenmiş, bu uzaylarda komşuluk, Q-komşuluk, alt uzay, fuzzy soft iç ve kapanış noktaları gibi kavramlar verilmiş vequasi ayırma aksiyomları çalışılmıştır. Tezin dördüncübölümünde son yıllarda erkeklerde sıkça görülen prostat kanserinin teşhisi için soft kümelerden faydalanarak elde ettiğimiz vesoft uzman sistemler olarak adlandırdığımız birtahmin sistemitasarlanmıştır. Tasarladığımız bu sistem,hastanın prostat spesifik antijen (PSA), yaş ve prostat hacmi (PV) verilerinikullanarak prostat kanseri olma riskiyüzdesini hesaplayan bir programdır. Hesaplanan buyüzde ile uzman doktora hasta hakkında bir fikir vermek amaçlanmıştır. Bu yolla maliyeti yüksek olan ve hastada bazı fiziksel zararlara neden olabilen biyopsi işlemini gereksiz yere uygulamak engellenebilir.tasarladığımız sistemin prostat kanseri teşhisi için kullanılması önerilir. Anahtar Kelimeler:.Fuzzy soft quasi ayırma aksiyomları, fuzzy soft topolojik uzaylar, prostat kanseri, soft ayırma aksiyomları, soft ditopolojik uzaylar, soft remote komşuluk, soft uzman sistem. iv

5 ABSTRACT Ph.D THESIS SOFT DITOPOLOGICAL- FUZZY SOFT TOPOLOGICAL SPACES AND THE APPLICATIONS IN MEDICINE Tuğba Han DİZMAN THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCEOF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY INMATHEMATICS Advisor: Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL 2014,60 Pages Jury Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Prof. Dr. Cemil YILDIZ Doç. Dr. Kemal AYDIN Doç. Dr. Ayşe Dilek MADEN Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN In this thesis, both the relation between soft set, defined bymolodtsov as a new method for vagueness, and its corresponding topological structures and the relation between fuzzy soft sets, a combination of fuzzy and soft sets, and its corresponding fuzzy topological structures are investigated. Moreoverby using soft sets an expert system to diagnose the prostate cancer is devised. In the second section, soft ditopology is defined as a synthesis of soft topology which is used to describe soft openness-type properties of a space and the soft cotopology which deals with its soft closedness-type properties. ττ-soft continuity, ττ-soft seperation axioms and κκ-soft continuity, κκ-soft seperation axioms are investigated in soft topological and soft cotopological spaces, respectively.these concepts are also studied in soft ditopological spaces. In the third section fuzzy soft topological spaces are given and the concepts as neihgborhood, Q-neighborhood, relative fuzzy soft topology, fuzzy soft interior and closure points are defined and the quasi seperation axioms are investigated. In the fourth section a prediction system, called soft expert system, is designed to diagnose the prostate cancer which is the second most common cause of cancer death among men. In our system the percantage of prostate cancer risk is obtained by using the data of prostate specific antigen, age and prostate volume. We aim to help to the doctor to decide whether the biopsy is necessary for a patient. It is known that biopsy has high cost and sometimes can lead some complications for patients. For this reason it is important to reduce the number of biopsy operations. Since our system prevents unnecessary biopsy operations, it is suggested to use soft expert system to diagnose the prostate cancer. Keywords:Fuzzy soft quasi seperation axioms, fuzzy soft topological spaces,prostate cancer, soft ditopological spaces, soft expert system, soft remote neighborhood,soft seperation axioms. v

6 ÖNSÖZ Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde soft küme ve fuzzy soft küme teoride yapılmış ve çalışmamız boyunca kullanacağımız temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde birbirinden bağımsız olan soft topoloji ve soft kotopoloji kavramları tanıtılmış ve bu kavramlardan faydalanarak oluşturulmuş soft ditopolojik uzaylar tanımlanmış ve özellikleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde fuzzy soft topolojik uzaylar geliştirilmiş ve fuzzy soft quasi ayırma aksiyomları çalışılmıştır. Dördüncü bölümde soft kümeler kullanılarak prostat kanseri teşhisinde kullanılması önerilen bir program tasarlanmıştır. Beşinci bölümde ise bu çalışmanın sonuçlarına yer verilmiştir. Tez konumun seçilmesi ve yürütülmesi sürecinde özveri ve sabırla yol gösteren, bilgi ve deneyimleriyle yolumu aydınlatan ve akademik hayatıma başladığım günden beri desteğini her zaman hissettiğim danışman hocam Sayın Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL esonsuz teşekkürlerimi sunarım. Hayatımda ve çalışmalarımda en büyük destekçilerim olan değerli annem ve babam Nuran-Fahrettin ŞİMŞEKLER e ve eşim Gürcan DİZMAN a minnet ve teşekkürlerimi sunarım. Tuğba Han DİZMAN KONYA-2014 vi

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ... vi İÇİNDEKİLER... vii SİMGELER VE KISALTMALAR... ix 1. GİRİŞ Temel Kavramlar Fuzzy Kümeler ve Soft Kümeler Fuzzy Soft Kümeler SOFT DİTOPOLOJİK UZAYLAR Temel Kavramlar Soft Açıklar Yardımıyla Tanımlanmış Soft Topolojik Uzaylar ττ-soft Sürekli ve Soft Açık Fonksiyonlar ττ-ayırma Aksiyomları Soft Kapalılar Yardımıyla Tanımlanmış Soft Kotopolojik Uzaylar κκ-soft Sürekli ve Soft Kapalı Fonksiyonlar κκ-soft Ayırma Aksiyomları Soft Ditopolojik Uzaylar FUZZY SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR Fuzzy Soft Topolojik Uzayın Temel Kavramları Fuzzy Soft Quasi Ayırma Aksiyomları SOFT KÜMELERİN PROSTAT KANSERİ TEŞHİSİNDE BİR UYGULAMASI Soft Uzman Sistemleri Sonuç SONUÇLAR VE ÖNERİLER vii

8 5.1 Sonuçlar Öneriler KAYNAKLAR viii

9 SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler ~ 0 UU EE Φ AA II XX xx αα, yy μμ ff AA λλ AA xx ττ ff, ττ ff ττ κκ δδ FF AA xx AA ~ 1 UU EE ~ UU EE PP(UU)(2 UU ) I :Alt küme :Birleşim :Boş fuzzy soft küme :Boş soft küme : Eleman :Eleman değil : En az bir :Her :Fuzzy kümeler ailesi :Fuzzy noktalar :Fuzzy soft küme :Fuzzy soft nokta :Fuzzy soft topolojiler : İnfimum :Kesişim :Soft topoloji :Soft kotopoloji :Soft ditopoloji :Soft küme :Soft nokta :Supremum :Tam fuzzy soft küme :Tam soft küme :U kümesinin kuvvet kümesi :[0,1] kapalı aralığı ix

10 1 1. GİRİŞ George Cantor tarafından verilen küme teori matematiksel düşüncenin gelişmesinde büyük rol oynamıştır. Bir küme elemanlarıyla belirlenir ve bir eleman kümeye aittir ya da değildir. Örneğin doğal sayılar kümesini göz önüne alalım. Bu kümede hiçbir belirsizlik yoktur ve elemanları bellidir. Şimdi bölümümüzdeki zeki öğrencilerin kümesini bulmaya çalışalım. Kolayca anlaşılacağı gibi zeki olma kavramı kesin bir kavram değildir, belirsizdir ve klasik kümeler yardımıyla böyle bir kümeyi oluşturamayız. Olasılık teori, interval matematik, fuzzy küme teori gibi teoriler belirsiz durumlar için geliştirilmiş teorilerden bazılarıdır yılında Zadeh tarafından tanımlanan fuzzy küme teori mühendislik, tıp,bilgisayar bilimleri gibi pek çok alana uygulanmış ve araştırmacıların ilgisini çekmeyi başarmıştır. Fuzzy kümeler üyelik fonksiyonları yardımıyla belirlenir. Bir eleman bir fuzzy kümeye üyelik derecesiyle aittir ve bu derece [0,1] kapalı aralığında bir değerdir. Bu düşünceyle klasik kümelerdeki nesnellik yerini belirsiz durumlar için geçerli olan öznelliğe bırakmıştır yılında Molodtsov belirsiz durumlar için soft küme teori adını verdiği yeni bir teori geliştirdi ve Soft Set Theory- First Results isimli makalesinde soft küme teorinin fuzzy küme teoriden daha iyi bir yöntem olduğunu gösterdi.molodtsov makalesinde fuzzy kümelerde tanımlanan üyelik fonksiyonunun her durum için nasıl belirleneceği sorusunun bu teori için bir zorluk olduğunu belirtti ve bu durumun nedenini parametreleme işleminin olmayışına bağladı. Bu zorluktan kurtulmak için de soft kümeleri bir evren ile bir parametre kümesinden faydalanarak tanımladı ve soft kümeler evrenin parametrelenmiş alt kümeleri olarak verildi. Molodtsov soft kümelerin Perron integrasyonu, oyun teori, olasılık teori, ölçü teori, düz fonksiyonlar gibi alanlara uygulamalarını verdi. Soft küme teori kısa zamanda hızla gelişti. Maji ve arkadaşları (2002) soft kümeleri karar verme problemlerinde kullandı. Pei ve Miao (2005) soft kümeler ile bilgi sistemleri arasındaki ilişkileri gösteren bir çalışma yaptı. Chen (2005) soft kümelerde parametre azaltmayla ilgili bir metot verdi ve bu metodu rough kümelerdeki özellikleriazaltmayla karşılaştırdı. Aktaş ve Çağman (2007) soft kümelerle fuzzy ve rough kümeler arasındaki ilişkiyi gösterdi ve soft kümeleri cebirsel yapılara uyguladı. Jun ve Park (2008) soft kümelerin BCK/BCI cebirlere uygulanmasını gösteren bir çalışma yaptı. Feng ve arkadaşları (2008) soft yarı halkalar üzerine çalışmalar başlattı. Kong ve arkadaşları (2008) en iyi seçimi yapma problemi için soft kümeleri kullandı ve soft kümelerde normal parametre azaltma için bir algoritma verdi. Ma ve

11 2 arkadaşları (2011) soft kümelerde parametre azaltma için yeni bir algoritma verdi ve bu algoritmanın Kong ve arkadaşları (2008) tarafından verilen algoritmadan daha kullanışlı olduğunu gösterdi. Feng ve arkadaşları (2010) soft kümeleri fuzzy ve rough kümelerle bir araya getirdi ve rough fuzzy, rough soft, soft rough, soft rough fuzzy olarak adlandırılan yeni melez kümeleri tanımladı. Shabir ve Naz (2011) soft topolojik uzayları tanımladı ve sonrasında pek çok yazar soft topolojik uzayları geliştirdi(ali ve ark.(2009), Çağman ve ark.(2011), Ahmad ve Hussain (2012), Zorlutuna ve ark. ( 2012 )). Maji ve arkadaşları (2001) fuzzy ve soft kümeleribir araya getirerek fuzzy soft kümeleri tanımladı. Roy ve Maji (2007), fuzzy soft kümelerin uygulamalarına yönelik çalışmalar yaptı. Ahmad ve Kharal (2009) fuzzy soft kümelerde birleşim, kesişim gibi kuralları tanımladı ve fuzzy soft kümelerin De-Morgan ilişkilerini inceledi. Kharal ve Ahmad (2009)fuzzy soft kümelerin sınıfları arasındaki dönüşümleri tanımladı.tanay ve Kandemir (2011) fuzzy soft topolojik uzayları ve bu uzaylardaki temel kavramları tanımladı. Roy ve Samanta (2011) fuzzy soft topolojik uzayları sabit parametre kümeli fuzzy soft kümeler üzerinde tanımladı, fuzzy soft topolojiler için taban ve alt taban kavramlarını verdi Temel Kavramlar Bu bölümde çalışmamız boyunca kullanacağımız tanımlar, teoremler ve lemmalar verilmiştir Fuzzy Kümeler ve Soft Kümeler Bu kesimde belirsizliğe iki farklı yaklaşım olan fuzzy küme teori ve soft küme teorinin tez boyunca kullanılacak olan kavramları verilmiştir Tanım(Zadeh, 1965).UU olmak üzere UU kümesi üzerinde bir fuzzy kümesi, μμ AA : UU II = [0,1] üyelik fonksiyonu ile karakterize edilen AA = { uu, μμ AA (uu) : uu UU} ikililerin oluşturduğu kümedir Tanım(Zadeh, 1965).Boş fuzzy kümeher uu UU için μμ (uu) = 0 üyelik fonksiyonuyla karakterize edilir ve 0 UU simgesi ile gösterilir: 0 UU = {(uu, 0): uu UU}.

12 Tanım(Zadeh, 1965).Tam fuzzy kümeher uu UU için μμ UU (uu) = 1 üyelik fonksiyonuyla karakterize edilir ve 1 UU simgesi ile gösterilir: 1 UU = {(uu, 1): uu UU} Tanım(Zadeh, 1965).AAveBB, UUkümesiüzerinde iki fuzzy küme olsun. ii) Her uu UU için μμ AA (uu) μμ BB (uu) ise AAfuzzy kümesinebbfuzzy kümesininalt kümesidenir ve AA BB simgesiyle gösterilir. iiii) AAveBBkümelerininbirleşimiCCfuzzy kümesidir,aa BB = CCsimgesiyle gösterilir ve uu UUiçinμμ CC (uu) = mmmmmm {μμ AA (uu), μμ BB (uu)} üyelik fonksiyonuyla tanımlanır. iiiiii) AAveBBkümelerininkesişimiDDfuzzy kümesidir, AA BB = DDsimgesiylegösterilir ve uu UUiçinμμ DD (uu) = mmmmmm {μμ AA (uu), μμ BB (uu)} üyelik fonksiyonuyla tanımlanır. iiii) AAfuzzy kümesinin tümleyeniaa cc simgesi ile gösterilir ve uu UUiçinμμ AA cc (uu) = 1 μμ AA (uu) üyelik fonksiyonuyla tanımlanır Tanım(Zadeh, 1965).Bir AAfuzzy kümesinin α-seviye kümesi, FF(αα) = {uu UU: μμ AA (uu) αα}, αα [0,1] şeklinde tanımlanır Uyarı(Aktaş ve Çağman, 2007).Fuzzy küme ile klasik küme arasındaki ilişki αα-seviye fonksiyonu yardımıyla kurulabilir. AAfuzzy kümesi, μμ AA (uu) = ssssss {αα: uu FF(αα) } formülündenαα-seviye kümelerinin herhangi bir ailesi yardımıyla elde edilebilir Tanım (Molodtsov, 1999).UUevren kümesi,ee parametre kümesi ve AA EEolsun. FF: AA PP(UU)bir dönüşüm iseff AA (yada (FF, AA))ikilisineU evreni üzerindesoft kümedenir. Başka bir deyişle soft küme UUevren kümesinin altkümelerinin parametrelenmiş bir ailesidir. Tez boyunca aksi belirtilmediği sürece FF AA, U evreni üzerinde bir soft küme olarak düşünülecektir.

13 Örnek.Bay XX ve Bayan YY evlilik törenleri için bir salon kiralamayı planlamaktalar. FF EE soft kümesi salonun olanaklarını göstersin. UU = {uu 1, uu 2, uu 3, uu 4, uu 5, uu 6 }kiralanabilecek salonları ve EE = {ee 1, ee 2, ee 3, ee 4, ee 5 } parametre kümesi ve FF(ee 1 ) = {uu 2, uu 4 } FF(ee 2 ) = {uu 1, uu 3, uu 4 } FF(ee 3 ) = FF(ee 4 ) = {uu 1, uu 3, uu 5 } FF(ee 5 ) = {uu 1, uu 6 } olsun. O halde FF EE (yyyy dddd (FF, EE))soft kümesi: FF EE = ee 1 = {uu 2, uu 4 }, ee 2 = {uu 1, uu 3, uu 4 }, ee 3 =, ee 4 = {uu 1, uu 3, uu 5 }, ee 5 = {uu 1, uu 6 } dir. U e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 u u u u u u Tablo FF EE soft kümesinin tablosal gösterimi Tanım(Maji ve ark, 2003).UUevreni üzerinde FF AA ve GG BB iki soft küme olsun. AA BBveher aa AAiçinFF(aa) GG(aa)iseFF AA soft kümesi GG BB soft kümesinin altkümesi olarak adlandırılır Tanım(Maji ve ark, 2003).Her aa AA için FF(aa) = ise FF AA soft kümesi boş soft küme olarak adlandırılır ve Φ A simgesi ile gösterilir Tanım(Maji ve ark, 2003).Her aa AA için FF(aa) = UU ise FF AA soft kümesi tam soft küme olarak adlandırılır ve UU ~ AA simgesi ile gösterilir Uyarı.İki soft küme için VVVV, VVVV YYYY işlemleri Molodtsov un makalesindetavsiye ettiği doğrultuda Maji ve arkadaşları tarafından 2003 yılında aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır Tanım(Maji ve ark, 2003).U evreni üzerindeff AA ve GG BB iki soft küme olsun. "FF AA VVVVGG BB "soft kümesi

14 5 (αα, ββ) AA BB, HH(αα, ββ) = FF(aa) GG(bb) olmak üzere FF AA GG BB = HH AA BB şeklinde tanımlanır ve FF AA GG BB simgesi ile gösterilir Tanım(Maji ve ark, 2003).FF AA vegg BB U evreni üzerinde iki soft küme olsun. "FF AA VVVV YYYYGG BB "soft kümesi (αα, ββ) AA BB, OO(αα, ββ) = FF(aa) GG(bb) olmak üzere FF AA GG BB = (OO AA BB ) şeklinde tanımlanır ve FF AA GG BB simgesi ile gösterilir Tanım(Maji ve ark, 2003).AA ii EEveFF AAii : AA ii PP(UU)bir soft küme olmak üzere {FF AAii : ii II} soft kümeler ailesinin kesişimi ~ GG CC = ii II FF AAii, CC = ii II AA ii, GG: CC PP(UU)veheeeeee CC iiçiiiigg CC (ee) = ii II FF AAii (ee) olacak şekilde bir soft kümedir Tanım(Maji ve ark, 2003).AA ii EEveFF AAii : AA ii PP(UU)bir soft küme olmak üzere {FF AAii : ii II} soft kümeler ailesinin birleşimi ~ GG CC = ii II FF AAii, CC = ii II AA ii, GG: CC PP(UU)veheeeeee CC iiçiiiigg CC (ee) = ii II FF AAii (ee) olacak şekilde bir soft kümedir Tanım(Zahiri, 2013).UUbirevren kümesive FF: UU PP(UU)dönüşümü uu UU iiçiiii FF(uu) = {uu} şeklinde tanımlanmış bir fonksiyon olsun. BuradanFF UU soft kümesine U kümesinden üretilmiş basit soft küme denir Uyarı Tanımgereği her kümeden bir soft küme elde edilebileceği açıktır Teorem(Aktaş ve Çağman, 2007).Her fuzzy kümeden bir soft küme elde edilebilir Tanım(Ma ve ark., 2011). UU = {uu 1, uu 2,, uu UU } boş kümeden farklı, sonlu sayıda nesnelerin kümesi, AA = {aa 1, aa 2,, aa AA } boş kümeden farklı sonlu özelliklerin kümesi,vv aa kümesi aa özelliğinin değer kümesi olmak üzere VV = aa AA VV aa, her (uu, aa) UU AAveff(uu, aa) VV aa için ff: UU AA VV bir bilgi fonksiyonu olsun.o halde SS = (UU, AA, VV, ff) dörtlüsü bir bilgi sistemi olarak adlandırılır. Bilgi sistemleri bilgi tabloları şeklinde de gösterilebilir (Bkz. Tablo ). Bir SS = (UU, AA, VV, ff) bilgi

15 6 sisteminde her aa AA için VV aa = {0,1} ise SSdörtlüsüBBBBBBBBBBBBBB-değerli bilgi sistemi olarak adlandırılır. U aa 1 aa 2 aa k aa A uu 1 ff(uu 1, aa 1 ) ff(uu 1, aa 2 ) ff(uu 1, aa kk ) ff(uu 1, aa AA ) uu 2 ff(uu 2, aa 1 ) ff(uu 2, aa 2 ) ff(uu 2, aa kk ) ff(uu 2, aa AA ) uu 3 ff(uu 3, aa 1 ) ff(uu 3, aa 2 ) ff(uu 3, aa kk ) ff(uu 3, aa AA ) uu U ff(uu UU, aa 1 ) ff(uu UU, aa 2 ) ff(uu UU, aa kk ) ff(uu UU, aa AA ) Tablo Bilgi sistemi Teorem(Ma ve ark, 2011).U evreninde FF EE soft kümesi SS = (UU, AA, VV [0,1], ff) biçiminde bir BBBBBBBBBBBBBB-değerli bilgi sistemidir Uyarı.BBBBBBBBBBBBBB-değerli bir bilgi sisteminin bir soft küme olarak gösterilebileceği açıktır Örnekte verilmiş olan FF EE soft kümesi Tabloda olduğu gibi bir BBBBBBBBBBBBBB tablosu olarak gösterilebilir FuzzySoft Kümeler Bu kesimde fuzzy küme ve soft kümeden yararlanılarak Maji ve arkadaşları (2001) tarafından tanımlanmış fuzzysoft küme teorinin tez boyunca kullanılacak genel kavramları verilmiştir Tanım(Maji ve ark, 2001). II UU ya daf(uu)simgesiu kümesinin tüm fuzzy alt kümelerinin ailesini göstersin.aa EEolmak üzereff: AA F(UU)bir dönüşüm ise ff AA ikilisinefuzzysoft kümedenir. Çalışmamız boyunca U evreni üzerinde E parametresine bağlı fuzzysoft kümeler ailesini FFFF(UU, EE)simgesi ile göstereceğiz Uyarı.Roy ve Samanta (2011) çalışmalarında fuzzysoft küme kavramınıaşağıda gösterildiği gibi düzenlediler: Tanım (Roy ve Samanta, 2011).ff: EE F(UU)dönüşümüeğer her ee ee EE AAiçinff AA (ee) = μμ ffaa ee = 0 UU ve her ee AA içinff AA (ee) = μμ ffaa iseff AA ikilisineu evreni üzerinde fuzzysoft küme denir. 0 UU şeklinde tanımlı

16 Tanım(Roy ve Samanta, 2011).ff AA fuzzy soft kümesinintümleyeniff AA cc simgesi ile gösterilir ve şeklinde tanımlanır. ff cc ee AA : EE F(UU), ee EE iiçiiii μμ cc ffaa ee = 1 μμ ffaa Tanım(Maji ve ark, 2001).ff AA, gg BB FFFF(UU, EE)olsun. AA BB vvvv ee AA iiçiiii ff AA (ee) gg BB (ee) iseff AA fuzzy soft kümesinegg BB fuzzy soft kümesininalt kümesi denir ve ff AA gg BB simgesi ile gösterilir. gg BB fuzzy soft kümesiff AA fuzzy soft kümesinin alt kümesi ise ff AA fuzzy soft kümesinegg BB fuzzy soft kümesinin süper kümesidenir Tanım(Maji ve ark, 2001).ff AA, gg BB FFFF(UU, EE)olsun. Bu iki fuzzysoft kümeninbirleşimi ff CC (ee), ee AA BB CC = AA BB vvvv ee CC iiçiiiih CC = gg CC (ee), ee BB AA ff CC (ee) gg CC (ee), ee AA BB şeklinde bir h CC fuzzysoft kümesidir vebu işlem ff AA gg BB = h CC ile gösterilir Tanım(Maji ve ark, 2001).ff AA, gg BB FFFF(UU, EE)olsun. Bu iki fuzzysoft kümenin kesişimicc = AA BB ve ee CC için,h CC (ee) = ff CC (ee) gg CC (ee) şeklinde bir h CC fuzzysoft kümesidir ve bu işlem ff AA gg BB = h CC ile gösterilir Tanım(Maji ve ark, 2001).ff AA FFFF(UU, EE)olsun. Her ee AA için ff AA (ee) = 0ise ff AA fuzzy soft kümesineaaparametre kümesine göreboşfuzzy soft küme denir ve 0 ~ UUAA simgesi ile gösterilir. Her ee EE için ff EE (ee) = 0 ise ff AA boş fuzzy ~ softküme olarak adlandırılır ve 0 UUEE simgesi ile gösterilir Tanım (Maji ve ark, 2001).ff AA FFFF(UU, EE)olsun. Her ee AA için ff AA (ee) = 1 ise ff AA fuzzy soft kümesineaaparametre kümesine göretamfuzzysoft küme denir ve 1 ~ UUAA simgesi ile gösterilir. Her ee EE içinff EE (ee) = 1ise ff AA tam fuzzysoft küme olarak adlandırılır ve 1 ~ UUEE simgesi ile gösterilir Uyarı.(0 ~ UUEE ) cc = 1 ~ UUEE, (1 ~ UUEE ) cc = 0 ~ UUEE olduğuboş fuzzysoft küme ve tam fuzzysoft küme tanımlarından kolaylıkla görülebilir.

17 Tanım(Kharal ve Ahmad 2009).FFFF(UU, EE)veFFFF(VV, PP) sırasıyla U ve V üzerindeki tüm fuzzysoft kümelerin ailesini göstersin. φφ: UU VVveψψ: EE PP iki fonksiyon olsun. φφ ψψ = (φφ, ψψ): FFFF(UU, EE) FFFF(VV, PP)fuzzysoft dönüşümolarak adlandırılır, ii) ff AA FFFF(UU, EE)olsun. ff AA fuzzy soft kümesininφφ ψψ fuzzysoft dönüşümü altındaki görüntüsüvvevreniüzerinde bir fuzzysoft kümedir ve şeklinde tanımlanır. kk ψψ(ee), vv VV iiçiiii φφ ψψ (ff AA )(kk)(vv) = VV φφ(uu)=vvvv ψψ(ee)=kk μμ ee ffaa (uu), uu εε φφ 1 (vv) iiiiii 0 UU, diğer durumlarda iiii) gg BB FFFF(VV, PP)olsun. gg BB fuzzy soft kümesininφφ ψψ fuzzysoftdönüşümü altındakitersgörüntüsüuüzerinde bir fuzzysoft kümedir ve şeklinde tanımlanır. ee ψψ 1 (PP), uu UU iiçiiii φφ 1 ψψ(ee) ψψ (gg BB )(ee)(uu) = μμ ggbb (φφ(uu)) Eğer φφ ve ψψ bire-bir ise φφ ψψ fuzzysoft dönüşümü bire-bir,φφ ve ψψ örtense φφ ψψ fuzzysoft dönüşümü örten olarak adlandırılır.

18 9 2. SOFT DİTOPOLOJİK UZAYLAR DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDkavramı ilk olarak Brown ve Diker (1998) tarafından tanımlanmış ve sonrasında bu konuda pek çok araştırma yapılmıştır. DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDkavramı, Kelly tarafından 1962 yılında tanımlanan bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb kavramıyla ilişkilidir. Bitopolojilerden farklı olarak ditopolojilerde bir küme üzerinde iki farklı yapı vardır, bunlardan biri kümelerin açıklarla ilgili özelliklerini tanımlarken, diğeri kapalılarla ilgili özellikleri tanımlar. Bu yapılar arasında bir bağ olmasına gerek yoktur ancak topolojilerde bu yapılar birbiriyle ilişkilidir. Soft kümeler tümleme işlemi için uygun olmadıklarından soft küme uygulamalarını dddddddddddddddddddddddd uygulamak topolojiye uygulamaktan daha elverişlidir. Çalışmamızın bu kesiminde soft küme ile ilgili yapılmış çalışmalardan soft küme kavramında verilen EE ve AA parametre kümelerinin yorumlanması açısından ayrılmaktayız. EEkümesini potansiyel parametre kümesi ve AAkümesini asıl parametre kümesi olarak düşünebiliriz. Soft kümeyle ilgili çalışmalarda yazarlar, bir parametre AA kümesine ait değilse görüntüsünü boş küme olarak ve ya EE ile AA kümesini aynı (çakışık) olarak kabul etmişlerdir. Biz ise çalışmamızda AA kümesine ait olmayan parametrelerin görüntüsünü tanımlanmamış olarak kabul edeceğiz yani bu parametrelerin görüntüsünü göz önüne almayacağız. Bu durum soft kümelerle ilgili işlemlerde temel bir farklılık yaratmaktadır. Bu bölümde ilk olarak bölüm boyunca kullanacağımız teorem, tanım ve önermeleri vereceğiz. Sonra soft açıklar üzerine kurulmuş soft topolojiyi tanımlayacağız. Soft topolojide vereceğimiz pek çok kavram ve sonuç daha önce çeşitli yazarlar tarafından yapılmış olan çalışmalardaki sonuçlara benzer olduğundan ispatlar kısaca geçilmiştir. Belirtmeliyiz ki, burada tümleyen işlemini kapalıları elde etmek için kullanamıyoruz, çünkü kabul ettiğimiz soft küme modeliyle bu mümkün değildir. Daha sonra soft kapalı kümelerden yararlanarak ssssssss kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk kuracağız. SSSSSSSS kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkyaptığımız tüm işlemlerde soft kapalı kümelerden faydalanacağız ve soft açıkları kullanmayacağız. Son olarakta önceki iki bölümde tanımladığımız ve birbirinden bağımsız olan ssssssss tttttttttttttttt ve ssssssss kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk kavramlarından yararlanarak ssssssss dddddddddddddddddddddddddddd tanımlayacağız ve bu uzaydaki bazı özellikleri çalışacağız.

19 Temel Kavramlar Tanım.U evren kümesi, Epotansiyel parametre kümesi ve AA EEasıl parametre kümesi olsun. FF: AA PP(UU)bir dönüşüm olmak üzere (FF, AA) ikilisinesoft küme denir ve kısaca FF AA simgesiyle gösterilir Burada ee AA ise FF AA (ee) UUolur ancak ee AA durumu göz önüne alınmayacaktır Uyarı. Bu bölüm boyunca soft küme Tanım anlamında düşünülecektir. olur Tanım. FF AA soft kümesinin tümleyeniff AA cc : AA PP(UU)dönüşümüdür ve ee AA iiçiiii FF AA cc (ee) = UU FF AA (ee) Uyarı.Soft kümelerin birleşimi, kesişimi, alt küme işlemleri, UU ~ EE tam soft küme veφ EE boş soft kümei. bölümde verildiği gibidir Teorem. FF AAii : AA ii PP(UU)soft kümelerin bir ailesi olsun. Bu durumda soft kümelerde De-Morgan tipindeki ilişkiler aşağıdaki gibi sağlanır: ii) ( ~ ii II FF ii ) cc ~ ~ AA ii ii II (FF ii ) cc. AA ii iiii) ( ~ ii II FF ii ) cc ~ ~ AA ii ii II (FF ii ) cc. AA ii Teorem. FF AA ~ UU ~ EE olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır: ii) Φ EE ~ FF AA = Φ AA,Φ EE ~ FF AA = FF AA. iiii) UU ~ EE ~ FF AA = FF AA, UU ~ EE ~ FF AA = UU ~ EE Teorem. FF AA, GG BB ~ UU ~ EE olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır: ii) FF AA ~ GG BB ooooooooooı iiçiiii gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu FF AA ~ GG BB = FF AA ooooooooooıddırr. iiii) FF AA ~ GG BB ooooooooooı iiçiiii gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu FF AA ~ GG BB = GG BB ooooooooooıddır Teorem. FF AA, GG BB, HH CC, SS DD ~ UU ~ EE olsun. Aşağıdakiler sağlanır: ii)aa BBolmak üzere FF AA ~ GG BB = Φ AA ooooooooooı iiçiiii gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu FF AA ~ GG cc BB ooooooooooıddırr. iiii) FF AA ~ FF cc ~ AA = UU AA vvvv FF AA ~ FF cc AA = Φ AA eeşiiiiiiiiiiiiiiiiii ssssğllllllırr. iiiiii) FF AA ~ GG BB ooooooooooı iiçiiii gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu GG cc BB ~ FF cc AA ooooooooooıddırr. iiii) FF AA ~ GG BB vvvv GG BB ~ HH CC iiiiii FF AA ~ HH CC oooooooo.

20 11 vv) FF AA ~ GG BB vvvv HH CC ~ SS DD iiiiii FF AA ~ HH CC ~ GG BB ~ SS DD oooooooo Uyarı. Kharal ve Ahmad (2011) Mappings on Soft Classes isimli çalışmalarında soft kümelerin aileleri arasında dönüşümü tanımlamıştır. Bizde bu tanıma benzer olarak soft kümeler arasındaki dönüşümü aşağıdaki gibi düzenledik: Tanım.UU, VViki evren kümesi EE, PP iki potansiyel parametre kümesi, SS(UU, EE) ve SS(VV, PP), sırasıyla (UU, EE) ve (VV, PP) üzerinde tanımlı soft kümelerin aileleri olsun. φφ: UU VVveψψ: EE PP iki fonksiyon olsun. φφ ψψ = (φφ, ψψ): SS(UU, EE) SS(VV, PP)fonksiyonu altında, ii) FF AA SS(UU, EE) soft kümesinin görüntüsü, φφ ψψ ((FF AA )(ee)) = φφ( ee ψψ 1 (pp)ff(ee)), pp ψψ(aa), iiii) GG BB SS(VV, PP)soft kümesinin ters görüntüsü, φφ 1 ψψ ((GG BB )(pp)) = φφ 1 (GG BB (ψψ(ee))), ee ψψ 1 (BB) olaraktanımlanmıştır. φφveψψ dönüşümleri bire-bir ise φφ ψψ dönüşümüne bire-bir,φφ ve ψψ dönüşümleri örtense φφ ψψ dönüşümüne örten adı verilir Uyarı. Sıradaki üç teorem Kharal ve Ahmad (2011) tarafından Mappings on Soft Classes isimli çalışmalarında verilmiştir. Biz bu teoremleri parametre kümesinde değişiklik yaparak tanımladığımız soft kümeler için yeniden düzenledik Teorem.φφ ψψ : SS(UU, EE) SS(VV, PP)bir fonksiyon, FF AA, GG BB SS(UU, EE) ve FF iiaaii, SS(UU, EE) de soft kümelerin bir ailesi olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır: ii) φφ ψψ (Φ AA ) = Φ Ψ(AA), φφ ψψ (UU ~ EE ) ~ VV ~ PP. iiii) φφ ψψ ii II FF iiaaii = ii II φφ ψψ FF iiaaii. iiiiii) φφ ψψ ii II FF iiaaii ~ ii II φφ ψψ FF iiaaii. iiii) FF AA ~ GG BB iseφφ ψψ (FF AA ) ~ φφ ψψ (GG BB ) Teorem.φφ ψψ : SS(UU, EE) SS(VV, PP)bir fonksiyon, HH CC, SS DD SS(VV, PP) ve HH iiccii, SS(VV, PP) de soft kümelerin bir ailesi olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır: ii) φφ 1 ψψ (Φ PP ) = Φ EE, φφ 1 ψψ (V ~ PP ) = U ~ EE. iiii) φφ 1 ψψ ii II HH iiccii = ii II φφ 1 ψψ HH iiccii.

21 12 iiiiii) φφ ψψ 1 ii II HH iiccii = ii II φφ ψψ 1 HH iiccii Teorem. φφ ψψ : SS(UU, EE) SS(VV, PP)bir fonksiyon ve HH CC SS(VV, PP) olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır: ii) φφ ψψ (φφ 1 ψψ (F AA )) ~ FF AA. iiii) φφ 1 ψψ (F cc AA )=(φφ 1 ψψ (F AA )) cc. iiiiii) FF AA ~ φφ 1 ψψ ( φφ ψψ (F AA )). 2.2.Soft Açıklar Yardımıyla Tanımlanmış Soft Topolojik Uzaylar Soft Topoloji Bu kesimdeçağman ve ark.(2011),zorlutuna ve ark. (2011), Kharal ve Ahmad (2011),Aygünoğlu ve Aygün (2011), Shabir ve Naz(2013) tarafından soft topolojide verilmiş bazı kavramları, sonuçları ve yapıları hatırlatacağız. Ancak bu çalışmalarda elde edilen sonuçlardan EEpotansiyelveAA asıl parametre kümelerinin yorumlanışı bakımındanayrılmaktayız. Bunun yanısıra bu kesimde sadece açıklarla ilgili özellikleri kullanırken kapalılarla ilgili özellikleri kullanmaktan kaçınacağız Tanım.UUevren kümesi ve EEpotansiyel parametre kümesi olsun. UU ~ EE tam soft kümesinin alt kümelerinin bir ailesi olan ττ, aşağıdaki özellikleri sağlarsa soft topoloji olarak adlandırılır: ii) Φ AA, UU ~ EE ττ, iiii) ii II iiçiiii FF iiaaii ττ iiiiii ~ ii II FF iiaaii ττ, iiiiii) FF AA, GG BB ττ iiiiii FF AA ~ GG BB ττ. ττailesinin her elemanına soft açık küme ve (UU ~ EE, ττ) ikilisine soft topolojik uzaydenir Tanım.UU ~ EE üzerinde tanımlı ττ 1 ve ττ 2 soft topolojileri verilmiş olsun. Her FF AA ττ 2 için FF AA ττ 1 oluyorsa ττ 2 soft topolojisine ττ 1 soft topolojisinden daha kaba denir Teorem.(UU ~ EE, ττ 1 )ve(uu ~ EE, ττ 2 ) iki soft topolojik uzaysa (UU ~ EE, ττ 1 ττ 2 )uzayı da soft topolojik uzaydır. İspat.ii) Φ A, UU ~ EE ττ 1 ττ 2 olduğu kolayca görülür.

22 13 iiii) Her ii II için (FF AA ) ii ττ 1 ττ 2 olsun. Buradan (FF AA ) ii ττ 1, (FF AA ) ii ττ 2 vvvv ~ ii II (FF AA ) ii ττ 1, ~ ii II (FF AA ) ii ττ 2 dir. Böylece ~ ii II (FF AA ) ii ττ 1 ττ 2 olur. iiiiii) FF AA, GG BB ττ 1 ττ 2 olsun. Buradan FF AA, GG BB ττ 1, FF AA, GG BB ττ 2 vvvv FF AA ~ GG BB ττ 1,, FF AA ~ GG BB ττ 2 dir. Böylece FF AA ~ GG BB ττ 1 ττ 2 olur Teorem.(UU ~ EE, ττ)bir soft topolojik uzay ise her ee EE için (UU(ee), ττ(ee))uzayı da bir topolojik uzaydır Uyarı Teorem ve Teoremlerin ispatı Shabir ve Naz (2011) tarafından yapılmış çalışmadaki ispatlara benzer olarak yapılmıştır Tanım.xx UU, AA, BB EE ve FF BB ~ UU EE olsun. Her ee AA için xx AA (ee) = xx şeklinde tanımlanan xx AA soft kümesine soft nokta denir. Eğer her ee AA için xx FF BB (ee) ise xx AA soft noktası FF BB soft kümesinin bir elemanıdır denir ve xx AA ~ FF BB şeklinde gösterilir Tanım.(UU ~ EE, ττ)bir soft topolojik uzay, xx AA ~ ~ UU EE ve FF BB ~ UU EE olsun. xx AA ~ GG CC FF BB olacak şekilde bir GG CC soft açığı varsa FF BB soft kümesine xx AA soft noktasının ττ-soft komşuluğu denir. xx AA soft noktasının bütün ττ-soft komşuluklarının ailesininn(xx AA ) ile göstereceğiz Uyarı. UU ~ EE soft kümesinin her xx AA soft noktasının ττ-soft komşuluğu olduğu ve GG BB NN(xx AA ),GG BB HH CC ise HH CC NN(xx AA )olduğu kolaylıkla görülebilir Tanım.(UU ~ EE, ττ)bir soft topolojik uzay ve FF AA, GG BB ~ UU EE olsun. FF AA HH CC GG BB olacak şekilde HH CC soft açığı varsa GG BB soft kümesine FF AA soft kümesinin ττ-soft komşuluğu denir. FF AA soft kümesinin bütün ττ-soft komşuluklarının ailesininn(ff AA ) simgesi ile göstereceğiz Tanım.(UU ~ EE, ττ)bir soft topolojik uzay ve FF AA ~ UU EE olsun. FF AA soft kümesinin soft içiff AA simgesi ile gösterilir ve FF AA = ~ ii II{GG BBii UU ~ EE : GG BBii ττ vvvv GG BBii FF AA } şeklinde tanımlanır.

23 Uyarı.Sıradaki iki teoremin ispatını Çağmanve ark.(2011), Shabir ve Naz(2011),Hussain ve Ahmad. (2011) tarafından yazılmış makalelerde verilmiş benzer teoremlerin ispatlarından faydalanarak elde edebiliriz Teorem.(UU ~ EE, ττ)bir soft topolojik uzay ve FF AA ~ UU EE olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır: ii) FF AA FF AA. iiii) FF AA soft kümesi FF AA soft kümesinde kapsanan en büyük soft açıktır. iiiiii) FF AA ττ ooooooaaaaı iiçiiii gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu FF AA = FF AA ooooooooooıddırr. iiii) (FF AA ) = FF AA. vv) HHHHHH AA EE iiçiiii Φ A = Φ A vvvvuu ~ ~ EE = UU EE oooooooo Teorem. (UU ~ EE, ττ)bir soft topolojik uzay ve FF AA, GG BB ~ UU EE olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır: ii) FF AA GG BB iiiiii FF AA GG BB. iiii) (FF AA GG BB ) = FF AA GG BB. iiiiii) (FF AA GG BB ) ~ FF AA GG BB ττ-soft Sürekli ve Soft Açık Fonksiyonlar Bu kesimde soft topolojik uzaylarda dönüşümlerle ilgili kavramlar tekrar gözden geçirilecektir Tanım(Zorlutuna ve ark, 2012).(UU ~ EE, ττ 1 )ve(vv ~ PP, ττ 2 ) iki soft topolojik uzay, xx AA ~ ~ UU EE bir soft nokta ve φφ: UU VV, ψψ: EE PP fonksiyonlarolmak üzere φφ ψψ : (UU ~ EE, ττ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2 )olsun. φφ ψψ (xx AA )soft noktasının her GG ψψ(aa) ττ-soft komşuluğu için φφ ψψ (HH AA ) GG ψψ(aa) olacak şekilde xx AA soft noktasının bir HH AA ττ-soft komşuluğu varsa φφ ψψ ~ dönüşümüne xx AA soft noktasında ττ-soft sürekli fonksiyon denir. φφ ψψ dönüşümüuu EE soft ~ kümesinin her soft noktasında ττ-soft sürekli ise UU EE üzerinde ττ-soft süreklidir Uyarı. Aşağıdaki dört teoremin ispatı Aygünoğlu ve Aygün(2011), Zorlutuna ve ark. (2012) tarafından yazılmış makalelerde verilmiş benzer teoremlerin ispatlarından faydalanılarak yapılmıştır.

24 Teorem. φφ ψψ : (UU ~ EE, ττ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2 )fonksiyonu için aşağıdaki koşullar eşdeğerdir: ii) φφ ψψ fonksiyonuxx AA soft noktasında ττ-soft süreklidir. iiii) φφ ψψ (xx AA )soft noktasının her GG ψψ(aa) ττ-soft komşuluğu için HH AA ~ φφ 1 ψψ (GG ψψ(aa) ) olacak şekilde xx AA soft noktasının bir HH AA ττ-soft komşuluğu vardır. iiiiii) φφ ψψ (xx AA )soft noktasının her GG ψψ(aa) ττ-soft komşuluğunun ters görüntüsü olan φφ 1 ψψ (GG ψψ(aa) )soft kümesi xx AA soft noktasının bir ττ-soft komşuluğudur Teorem.φφ ψψ : (UU ~ EE, ττ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2 )soft fonksiyonunun ττ-soft sürekli olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuuττ 2 soft topolojisine göre soft açık olan her soft kümenin ters görüntüsünün ττ 1 soft topolojisine göre soft açık bir küme ooooooooooıddırr Teorem.UU, VV, WWevren kümeleri, EE, PP, KKpotansiyel parametre kümeleri, φφ 1 : UU VV,φφ 2 : VV WW, ψψ 1 : EE PP, ψψ 2 : PP KK fonksiyonlar, (UU ~ EE, ττ 1 ), (VV ~ PP, ττ 2 ) ve (WW ~ KK, ττ 3 )soft topolojik uzaylar, (φφ ψψ ) 1 = (φφ 1, ψψ 1 ): (UU ~ EE, ττ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2 )ve(φφ ψψ ) 2 = (φφ 2, ψψ 2 ): (VV ~ PP, ττ 2 ) (WW ~ KK, ττ 3 ) soft fonksiyonlar olsun. (φφ ψψ ) 1, (φφ ψψ ) 2 fonksiyonlarıττ-soft sürekli ise (φφ ψψ ) 2 οο(φφ ψψ ) 1 : (UU ~ EE, ττ 1 ) (WW ~ KK, ττ 3 )bileşke soft fonksiyonu da ττ-soft süreklidir Teorem.φφ ψψ : (UU ~ EE, ττ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2 )bir soft fonksiyon olsun. φφ ψψ soft fonksiyonunun ττ-soft sürekli olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu FF AA ~ ~ VV PP iiçiiii φφ 1 ψψ FF AA ~ (φφ 1 ψψ (FF AA )) oooommmmmmıddırr Örnek.φφ: UU UU, ψψ: EE EEbirim dönüşümler olsun. ii = (φφ, ψψ): (UU ~ EE, ττ 1 ) (UU ~ EE, ττ 2 ) birim soft fonksiyonunun ττ-soft sürekli olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuuττ 2 ~ ττ 1 ooooooooooıddırr Tanım (Aygünoğlu ve Aygün, 2011).φφ ψψ : (UU ~ EE, ττ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2 )soft fonksiyon olsun. Her FF AA ττ 1 için φφ ψψ (FF AA ) ττ 2 ise φφ ψψ soft fonksiyonuna soft açıkfonksiyon denir.

25 Teorem.φφ ψψ : (UU ~ EE, ττ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2 )soft fonksiyonunun soft açık olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu FF AA ~ ~ UU EE iiçiiii φφ ψψ (FF AA ) ~ (φφ ψψ (FF AA )) ooooooooooıddırr. İspat. : FF AA ~ UU ~ EE olsun. FF AA ττ 1 veφφ ψψ soft açık fonksiyonolduğundan φφ ψψ (FF AA ) ττ 2 dir. Diğer taraftan φφ ψψ (FF AA ) ~ φφ ψψ (FF AA ) ve böylece φφ ψψ FF AA = (φφ ψψ (FF AA )) ~ (φφ ψψ (FF AA )) bağıntısı sağlanır. : FF AA ~ UU ~ EE bir soft açık küme olsun. O halde hipotez yardımıyla φφ ψψ (FF AA ) = φφ ψψ FF AA ~ (φφ ψψ (FF AA )) ifadesini elde ederiz. Bu da φφ ψψ soft fonksiyonunun soft açık olduğunu gösterir Teorem.UU, VV, WWevren kümeleri, EE, PP, KKpotansiyel parametre kümeleri, φφ 1 : UU VV, φφ 2 : VV WW, ψψ 1 : EE PP, ψψ 2 : PP KK fonksiyonlar, (UU ~ EE, ττ 1 ), (VV ~ PP, ττ 2 ) ve (WW ~ KK, ττ 3 )soft topolojik uzaylar, (φφ ψψ ) 1 = (φφ 1, ψψ 1 ): (UU ~ EE, ττ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2 ) vvvv (φφ ψψ ) 2 = (φφ 2, ψψ 2 ): (VV ~ PP, ττ 2 ) (WW ~ KK, ττ 3 ) soft fonksiyonlar olsun. Eğer (φφ ψψ ) 1 ve (φφ ψψ ) 2 fonksiyonları soft açıksa (φφ ψψ ) 2 oo(φφ ψψ ) 1 : (UU ~ EE, ττ 1 ) (WW ~ KK, ττ 3 ) bileşke soft fonksiyonu da soft açıktır. İspat.FF AA ~ UU ~ EE bir soft açık küme olsun. O halde (φφ ψψ ) 1 (FF AA ) soft kümesi ττ 2 soft topolojisinde soft açıktır. (φφ ψψ ) 2 soft açık fonksiyon olduğundan φφ ψψ ((φφ 2 ψψ ) 1 (FF AA )) = ((φφ ψψ ) 2 oo(φφ ψψ ) 1 )(FF AA ) soft kümesi de ττ 3 soft topolojisine göre soft açık kümedir. Bu da (φφ ψψ ) 2 oo(φφ ψψ ) 1 bileşke soft fonksiyonunun soft açık olduğunu gösterir ττ-ayırma Aksiyomları Soft topolojik uzaylar için ayırma aksiyomları ilk kez Shabir ve Naz (2011) tarafından verildi. Shabir ve Naz ın çalışmasında ayırma aksiyomları klasik noktalardan faydalanılarak tanımlanmıştır. Biz ise bu çalışmadan farklı olarak soft noktalardan

26 17 yararlanarak ayırma aksiyomlarını aşağıdaki gibi yeniden verdik ve ayırma aksiyomlarını soft topolojik uzaylarda inceledik Tanım. (UU ~ EE, ττ)bir softtopolojik uzay olmak üzere her xx AA, yy AA ~ ~ UU EE farklı soft nokta çifti için xx AA soft noktasının yy AA soft noktasını içermeyen bir GG AA ττ-soft komşuluğu ya da yy AA soft noktasınınxx AA soft noktasını içermeyen birhh AA ττ-soft komşuluğu varsa (UU ~ EE, ττ)uzayınaττsoft TT 00 -uzay, xx AA soft noktasının yy AA soft noktasını içermeyen bir GG AA ττ-soft komşuluğu ve yy AA soft noktasınınxx AA soft noktasını içermeyen bir HH AA ττ-soft komşuluğu varsa (UU ~ EE, ττ)uzayınaττsoft TT 11 -uzay, xx AA veyy AA soft noktalarının GG AA ~ HH AA = Φ AA olacak şekilde sırasıyla GG AA, HH AA ττ-soft komşulukları varsa (UU ~ EE, ττ)uzayınaττ-soft TT 22 -uzay denir Teorem.(UU ~ EE, ττ)birsofttopolojik uzay olmak üzere her xx AA ~ ~ UU EE soft noktası için xx cc AA soft kümesi soft açıksa (UU ~ EE, ττ)soft topolojik uzayıττ-soft TT 1 dır. İspat. xx cc AA soft açık küme ve xx AA, yy AA soft noktalarıuu ~ EE soft kümesinde herhangi iki farklı soft nokta olsun. O halde yy AA ~ xx cc AA, xx AA ~ cc xx AA ve benzer olarak xx AA ~ cc yy AA, yy AA ~ cc yy AA dir. Bu da bize (UU ~ EE, ττ)uzayınınττ-soft TT 1 -uzay olduğunu gösterir Uyarı. Kolaylıkla görebiliriz ki, (UU ~ EE, ττ)ττ-soft TT 2 -uzay ise ττ-soft TT 1 - uzayıdır ve (UU ~ EE, ττ)ττ-soft TT 1 -uzay ise ττ-soft TT 0 -uzayıdır. Bu durumların karşıtı aşağıdaki örneklerde de görüleceği gibi genellikle doğru değildir Örnek.UU = {xx, zz}evren kümesi, EE = {ee 1, ee 2, ee 3, ee 4 }potansiyel parametre kümesi, AA = {ee 1, ee 2 }asıl parametre kümesi ve FF AA = ee 1 = {xx}, ee 2 = {xx, zz}, GG AA = {ee 1 = {xx}, ee 2 = }olmak üzere ττ = {Φ A, UU ~ EE, FF AA, GG AA } bir soft topoloji olsun. (UU ~ EE, ττ)soft topolojik uzayının birττ-soft TT 0 -uzayı olduğunu kolaylıkla görebiliriz. Ancak zz AA soft noktasını kapsayıp xx AA soft noktasını kapsamayan hiçbir ττ-soft açık küme olmadığından (UU ~ EE, ττ)soft topolojikuzayıbir ττ-soft TT 1 -uzayı değildir Örnek.UU = {xx, yy}evren kümesi, EE = {ee 1, ee 2, ee 3 }potansiyel parametre kümesi, AA = {ee 1, ee 2 }, BB = {ee 1 }, CC = {ee 2 } asıl parametre kümeleri, FF AA = ee 1 = {xx}, ee 2 = {xx, yy}, GG AA = ee 1 = {xx, yy}, ee 2 = {yy},

27 18 DD AA = ee 1 = {xx}, ee 2 = {yy}, TT AA = ee 1 = {yy}, ee 2 = {xx}, HH BB = ee 1 = {xx}, KK BB = ee 1 = {yy}, II CC = ee 2 = {yy}, LL CC = ee 2 = {xx} olmak üzere ττ = {Φ AA, UU ~ EE, FF AA, GG AA, DD AA, TT AA, HH BB, KK BB, II CC, LL CC } olsun. (UU ~ EE, ττ)soft topolojik uzayı bir ττ-soft TT 1 -uzayıdır ancak ττ-soft TT 2 -uzayı değildir çünkü xx AA ve yy AA soft noktalarının GG AA ~ HH AA = Φ AA olacak şekilde GG AA, HH AA soft açık kümeleri yoktur Teorem.(UU ~ EE, ττ 1 ), (VV ~ PP, ττ 2 ) iki soft topolojik uzay ve φφ ψψ = (φφ, ψψ): (UU ~ EE, ττ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2 )bire-bir ve ττ-soft sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer (VV ~ PP, ττ 2 )uzayı ττ-soft TT 2 ise (UU ~ EE, ττ 1 ) uzayı da ττ-soft TT 2 -uzayıdır. İspat.xx AA yy AA ikifarklı soft nokta olsun. φφ ψψ soft fonksiyonubire-bir olduğundan φφ ψψ (xx AA ) φφ ψψ (yy AA ) dır. O halde φφ ψψ (xx AA ),φφ ψψ (yy AA ) soft noktalarının FF ψψ (AA) ~ GG ψψ (AA) = Φ AA olacak şekilde sırasıyla FF ψψ (AA) ve GG ψψ(aa) ττ-soft komşulukları vardır. φφ ψψ softfonksiyonu ττsoft sürekli olduğundan φφ 1 ψψ (FF ψψ(aa) ) ve φφ 1 ψψ (GG ψψ(aa) ) soft kümeleri xx AA veyy AA soft noktalarının ττ-soft komşuluklarıdır ve φφ 1 ψψ (FF ψψ(aa) ) ~ φφ 1 ψψ (GG ψψ(aa) ) = Φ AA dır. Bu da (UU ~ EE, ττ 1 )soft topolojik uzayının bir ττ-soft TT 2 -uzayı olduğunu gösterir Teorem.(UU ~ EE, ττ 1 ), (VV ~ PP, ττ 2 ) iki soft topolojik uzay ve φφ ψψ = (φφ, ψψ): (UU ~ EE, ττ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2 )bire-bir, örten ve soft açık bir fonksiyon olsun. Eğer (UU ~ EE, ττ 1 )soft topolojik uzayıττ-soft TT 2 -uzayı ise (VV ~ PP, ττ 2 )soft topolojikuzayı da ττ-soft TT 2 - uzayıdır. İspat.φφ ψψ (xx AA ) φφ ψψ (yy AA )ikifarklı soft nokta olsun. O halde xx AA yy AA dır. (UU ~ EE, ττ 1 )uzayıττ-soft TT 2 olduğundan xx AA ve yy AA soft noktalarının FF AA ~ GG AA = Φ AA olacak şekilde sırasıyla FF AA vegg AA ττ-soft açık komşulukları vardır. φφ ψψ soft açık fonksiyon olduğundan φφ ψψ (FF AA ) veφφ ψψ (GG AA ) soft kümeleri sırasıyla φφ ψψ (xx AA ), φφ ψψ (yy AA ) soft noktalarınınττ-soft açık komşuluklarıdır ve φφ ψψ (FF AA ) ~ φφ ψψ (GG AA ) = Φ ψψ(aa) dır. Böylece (VV ~ PP, ττ 2 )bir ττ-soft TT 2 -uzayıdır.

28 Tanım. (UU ~ EE, ττ)bir soft topolojik uzay olsun. Her xx AA ~ ~ UU EE soft noktası ve xx AA ~ FF cc AA ττ şeklindeki boş kümeden farklı her FF AA ~ UU EE soft kümesi için GG AA ~ HH AA = Φ AA olacak şekilde xx AA soft noktasının veff AA soft kümesinin sırasıyla GG AA ve HH AA ττ-soft açık komşulukları varsa (UU ~ EE, ττ)soft topolojikuzayına ττ-soft regüler uzaydenir. (UU ~ EE, ττ)soft topolojik uzayı hem ττ-soft regüler hem deττ-soft TT 1 -uzayıysa ττ-soft TT 33 -uzayıolarak adlandırılır Uyarı. Aşağıdaki örnekte ττ-soft regüler uzayın her zaman ττ-soft TT 1 -uzayı olmadığı görülür: Örnek.UU = {xx, yy, zz}bir evren kümesi, AA = {ee 1 }asıl parametre kümesi EE = {ee 1, ee 2, ee 3 }potansiyel parametre kümesi ve ττ = {Φ AA, UU ~ EE, FF AA = ee 1 = {xx}, GG AA = ee 1 = {yy, zz}, HH AA = ee 1 = {xx, yy, zz} } olmak üzere (UU ~ EE, ττ) uzayıττ-soft regüler uzaydır ancak ττ-soft TT 1 -uzayı değildir Tanım. (UU ~ EE, ττ)bir soft topolojik uzay olsun. FF AA ~ GG AA = Φ AA veff cc AA, GG cc AA ττ şeklindeki boş kümeden farklı her FF AA, GG AA UU ~ EE soft kümesi için VV AA ~ WW AA = Φ AA olacak şekilde sırasıyla VV AA ve WW AA ττ-soft açık komşulukları varsa (UU ~ EE, ττ)soft topolojikuzayına ττ-soft normal uzay denir. (UU ~ EE, ττ), hem ττ-soft normal hem deττ-soft TT 1 -uzayıysa ττ-soft TT 44 -uzayıolarak adlandırılır. 2.3.Soft Kapalılar Yardımıyla Tanımlanmış Soft Kotopolojik Uzaylar Soft Kotopoloji Tanım.UU bir evren kümesi ve EEpotansiyel parametre kümesi olsun. UU ~ EE tam soft kümesinin alt kümelerinin bir ailesi olan κκ aşağıdaki koşulları sağlarsa soft kotopoloji olarak adlandırılır: ii) Φ AA, UU ~ EE κκ, iiii) {(KK AA ) ii UU ~ EE : ii II} κκκκκκκκ ~ ii II (KK AA) ii κκ, iiiiii) KK AA, LL BB κκκκκκκκkk AA ~ LL BB κκdır. κκailesinin her elemanına soft kapalı küme ve (UU ~ EE, κκ)ikilisinesoft kotopolojik uzaydenir.

29 Tanım.κκ 1, κκ 2 aileleriuu ~ EE tam soft kümesi üzerinde iki soft kotopoloji olsun.her FF AA κκ 2 için FF AA κκ 1 oluyorsa κκ 2 ailesine κκ 1 ailesinden daha kabadır denir ve κκ 2 κκ 1 ile gösterilir Teorem. (UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay ise her ee EE için (UU(ee), κκ(ee))uzayı bir kotopolojik uzaydır Teorem.(UU ~ EE, κκ 1 )ve(uu ~ EE, κκ 2 )soft kotopolojik uzaylarsa (UU ~ EE, κκ 1 κκ 2 )uzayı bir soft kotopolojik uzaydır Uyarı.Soft kotopolojik uzayın lokal yapısını daha iyi anlayabilmek için Wang (1983) tarafından verilmiş remote komşuluk kavramını soft kümeler için genelleştirerek vereceğiz Tanım.(UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay, MM BB UU ~ EE soft küme ve xx AA ~ UU ~ EE soft nokta olsun. Eğer xx AA ~ KK CC MM BB olacak şekilde bir KK CC soft kapalı kümesi varsa MM BB soft kümesine xx AA soft noktasınınsoft remote komşuluğu denir. xx AA soft noktasının tüm soft remote komşuluklarının ailesir ℵ (xx AA )simgesi ile gösterilir Tanım. (UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay ve FF AA, MM BB ~ UU EE olsun. Eğer FF AA ~ KK CC ~ MM BB olacak şekilde bir KK CC soft kapalı kümesi varsa MM BB soft kümesine FF AA soft kümesinin soft remote komşuluğu denir Teorem.(UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay,xx AA ~ UU ~ EE,FF BB, GG CC ~ UU EE olsun. Aşağıdakiler sağlanır: ~ ii) Φ EE boş soft kümesi UU EE tam soft kümesindeki her noktanınsoft remote komşuluğudur. iiii) GG CC soft kümesi xx AA soft noktasının bir soft remote komşuluğu ve FF BB ~ GG CC ise FF BB soft kümesi dexx AA soft noktasının bir soft remote komşuluğudur Tanım.(UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay, xx AA ~ UU ~ EE, ve FF AA ~ UU EE olsun. xx AA soft noktasının her MM AA soft remote komşuluğu için FF cc AA ~ ~ MM AA UU AA ise xx AA soft noktasınaff AA soft kümesinin soft kapanış (değme) noktasıdenir. FF AA soft kümesinin tüm soft kapanış noktaları kümesine FF AA soft kümesininsoft kapanışı adı verilir ve FF AA simgesi ile gösterilir Teorem. (UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay ve FF AA ~ UU EE olsun. O halde

30 21 olur. FF AA = ~ {KK AA UU EE ~ : KK AA ssssssssssssssssssı, KK AA FF AA } İspat.xx AA ~ ~ {KK AA UU ~ EE : KK AA soft kapalı, KK AA FF AA }vvvvxx AA ~ FF AA olduğunu varsayalım. O halde FF cc AA ~ ~ LL AA = UU AA olacak şekilde xx AA soft noktasını içermeyen en az bir LL AA soft kapalı kümesi vardır. Bu durumda LL cc AA FF cc AA olur ve buradanff AA LL AA dır. Böylece xx AA ~ LL AA ~ FF AA olacak şekilde bir LL AA soft kapalı kümesi bulanabilir. Buradanxx AA ~ ~ {KK AA UU ~ EE : KK AA ssssssss kkkkkkkkkkı, KK AA FF AA } olur ve bu durumdabir çelişkidir. O zaman xx AA ~ FF AA olmalıdır. Şimdi xx AA ~ FF AA ve xx AA ~ ~ {KK AA UU ~ EE : KK AA ssssssss kkkkkkkkkkı, KK AA FF AA } olduğunu kabul edelim. O halde xx AA ~ KK AA ~ FF AA olacak şekilde bir KK AA soft kapalı kümesi vardır ve böylecekk AA soft kümesinin xx AA soft noktasının bir soft remote komşuluğu olduğu veff cc AA ~ ~ KK AA = UU AA olduğu görülür. Buradanxx AA ~ FF AA olur.bu ise çelişkidir. O zaman xx AA ~ ~ {KK AA UU ~ EE : KK AA soft kapalı, KK AA FF AA } olmalıdır Teorem.(UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay ve FF AA ~ UU EE olsun. O halde aşağıdakiler sağlanır: ii) FF AA FF AA iiii) FF AA soft kümesi FF AA soft kümesini kapsayan en küçük soft kapalı kümedir. iiiiii) FF AA soft kümesinin soft kapalı olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu FF AA = FF AA ooooooooooıddırr. iiii) (FF AA ) = FF AA. İspat.İspat Teoremden açıktır Teorem.(UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay ve FF AA, GG BB ~ UU EE olsun. O halde aşağıdakiler sağlanır: ii) FF AA GG BB iiiiiiff AA GG BB iiii) (FF AA ~ GG BB ) = FF AA ~ GG BB. iiiiii)(ff AA ~ GG BB ) FF AA ~ GG BB. iiii) (UU ~ EE ) = UU ~ EE, (Φ AA ) = Φ AA Tanım.(UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay, FF AA ~ UU EE ve xx AA ~ UU ~ EE olsun.xx AA soft noktasının her MM AA soft remote komşuluğu için (MM AA ~ xx AA ) ~ FF cc ~ AA UU AA ise xx AA soft noktasınaff AA soft kümesinin soft yığılma noktası

31 22 denir.ff AA soft kümesinin tüm soft yığılma noktalarının kümesini FF ~ AA simgesi ile göstereceğiz Uyarı.Her soft yığılma noktasının bir soft kapanış noktası olduğu kolayca görülebilir Teorem.(UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay ve FF AA ~ UU EE olsun. O halde FF AA ~ FF ~ AA soft kümesi bir soft kapalı kümedir. İspat. Varsayalım kiff AA ~ ~ FF AA soft kapalı küme olmasın. O halde xx AA ~ (FF AA ~ FF ~ AA ) ve xx AA ~ FF AA ~ FF ~ AA olacak şekilde bir xx AA ~ ~ UU EE soft noktası vardır. Buradan xx AA ~ FF AA ve xx AA ~ FF ~ AA dir. Bu durumda xx AA soft noktasının (MM AA ~ xx AA ) ~ FF cc ~ AA = UU AA olacak şekilde bir MM AA soft remote komşuluğu vardır. xx AA ~ FF AA olduğundan MM AA ~ FF cc ~ AA = UU AA dır. Böylece, xx AA ~ (FF AA ) = (FF AA ) ~ (FF ~ AA ) = (FF AA ~ FF ~ AA ) olur. Bu durum ise bir çelişkidir Teorem.(UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay ve FF AA ~ UU EE olsun. O halde FF AA ~ FF ~ AA = (FF AA ) dır. İspat.FF AA (FF AA ) veff ~ AA (FF AA ) olduğundan FF AA ~ FF ~ AA (FF AA ) (1) olduğu kolayca görülebilir. Diğer taraftan FF AA FF AA ~ FF ~ AA ve FF AA ~ FF ~ AA soft kümesi soft kapalı olduğundan (FF AA ) FF AA ~ ~ FF AA (2) ifadesini elde ederiz. (1) ve (2) ifadelerindenff AA ~ FF ~ AA = (FF AA ) olduğu görülür Sonuç.(UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay ve FF AA ~ UU EE olsun. FF AA soft kümesinin soft kapalı olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuuff ~ AA FF AA ooooooooooıddırr κκ-soft Sürekli ve Soft Kapalı Fonksiyonlar Tanım.(UU EE ~, κκ 1 )ve(vv PP ~, κκ 2 ) iki soft kotopolojik uzay, xx AA UU EE ~ bir soft nokta ve φφ: UU VV, ψψ: EE PP fonksiyonlar olmak üzere φφ ψψ : (UU EE ~, κκ 1 ) (VV PP ~, κκ 2 )bir

32 23 soft fonksiyon olsun. φφ ψψ (xx AA )soft noktasının her MM ψψ (AA) soft remote komşuluğu için MM ψψ(aa) φφ ψψ (UU ~ EE ) φφ ψψ (NN AA ) olacak şekilde xx AA soft noktasının bir NN AA soft remote komşuluğu varsa φφ ψψ dönüşümüne xx AA soft noktasında κκ-soft sürekli fonksiyon denir. ~ ~ φφ ψψ dönüşümüuu EE soft kümesinin her soft noktasında κκ-soft sürekli ise UU EE üzerinde κκsoft süreklidir denir Uyarı.VV PP = φφ ψψ (UU EE ~ )olmak üzere κκ 2, VV PP üzerinde κκ 2 kotopolojisinden indirgenmiş bir kotopolojidir vekk AA κκ 2 olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu ooooooooooıddırr. KK AA = KK AA VV PP,KK AA κκ Lemma.φφ ψψ : (UU EE ~, κκ 1 ) (VV PP ~, κκ 2 )softfonksiyonunun κκ-soft sürekli olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuuφφ ψψ : (UU EE ~, κκ 1 ) (VV PP, κκ 2 )soft fonksiyonunun κκ-soft sürekli ooooooooooıddırr. İspat. : KK ψψ(aa) κκ 2 veφφ ψψ (xx AA ) ~ KK ψψ(aa) = KK ψψ(aa) VV PP,KK AA κκ 2 olsun. φφ ψψ (xx AA ) ~ KK ψψ(aa) κκ 2 olduğu kolaylıkla görülür. φφ ψψ softfonksiyonuκκ-soft sürekli olduğundanxx AA soft noktasınınkk ψψ(aa) = KK ψψ(aa) φφ ψψ (UU EE ~ ) φφ ψψ (NN AA ) olacak şekilde bir NN AA soft remote komşuluğu vardır. Bu da φφ ψψ : (UU EE ~, κκ 1 ) (VV PP ~, κκ 2 )soft fonksiyonunun κκ-soft sürekli olduğunu gösterir. : KK ψψ(aa) κκ 2 veφφ ψψ (xx AA ) ~ KK ψψ(aa) olsun. KK ψψ(aa) = KK ψψ(aa) φφ ψψ (UU EE ~ ) olduğundan φφ ψψ (xx AA ) ~ KK ψψ(aa) dır. O haldexx AA soft noktasınınkk ψψ(aa) φφ ψψ (NN AA )olacak şekilde bir NN AA soft remote komşuluğu vardır ve böylece φφ ψψ : (UU EE ~, κκ 1 ) (VV PP ~, κκ 2 )fonksiyonu κκ-soft süreklidir Lemmaφφ ψψ : (UU EE ~, κκ 1 ) (VV PP ~, κκ 2 )soft fonksiyonunun κκ-soft sürekli olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuuφφ ψψ (xx AA ) soft noktasının her KK ψψ(aa) remote komşuluğu içinxx AA soft noktasınınkk ψψ(aa) remote komşuluğunun olmasıdır. Üstelik bu durumda KK ψψ(aa) ff(uu EE ~ ) soft φφ ψψ (NN AA )olacak şekilde bir NN AA soft = φφ ψψ (NN AA ) olur Teorem.φφ ψψ softfonksiyonunun xx AA soft noktasında κκ-soft sürekli olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu φφ ψψ (xx AA ) soft noktasının her KK ψψ(aa) VV PP soft remote komşuluğunun ters görüntüsü olan φφ 1 ψψ (KK ψψ(aa) ) UU ~ EE soft kümesininxx AA soft noktasının bir soft remote komşuluğudur.

33 24 İspat. : KK ψψ(aa) soft kümesiφφ ψψ (xx AA ) soft noktasının bir soft remote komşuluğu olsun.kk ψψ(aa) soft kümesini VV PP evreninde φφ ψψ (xx AA ) soft noktasını içermeyen bir soft kapalı olarak varsayabiliriz. φφ ψψ softfonksiyonu xx AA soft noktasında κκ-soft sürekli olduğundan KK ψψ(aa) φφ ψψ (NN AA )olacak şekilde xx AA soft noktasını içermeyen bir NN AA UU EE ~ soft kapalı kümesi vardır. Şimdi φφ 1 ψψ (KK ψψ(aa) ) NN AA olduğunu göstermeliyiz. φφ 1 ψψ (KK ψψ(aa) ) NN AA olduğunu varsayalım. O halde NN AA (φφ 1 ψψ (KK ψψ(aa) )) cc ~ UU EE veφφ ψψ (NN AA ) (KK ψψ(aa) ) cc VV PP dır. Buradan KK ψψ(aa) φφ ψψ (NN AA ) olur ve bu durum bir çelişkidir. O halde φφ 1 ψψ (KK ψψ(aa) ) NN AA dır. Böylece, φφ 1 ψψ (KK ψψ(aa) ) = {NN AA : xx AA φφ 1 ψψ (KK ψψ(aa) )} olur. Bu da gösterir ki; φφ 1 ψψ (KK ψψ(aa) ) soft kümesi xx AA soft noktasının bir soft remote komşuluğudur. : KK ψψ(aa) soft kümesi φφ ψψ (xx AA ) soft noktasının bir soft remote komşuluğu olsun. Varsayımımızdan, φφ 1 ψψ (KK ψψ(aa) ) soft kümesi de xx AA soft noktasının bir soft remote komşuluğudur.φφ ψψ (φφ 1 ψψ (KK ψψ(aa) noktasında κκ-soft süreklidir. )) = KK ψψ(aa) olduğundan, φφ ψψ soft fonksiyonu xx AA soft Sonuç.φφ ψψ softfonksiyonuxx AA soft noktasında κκ-soft sürekli ise φφ ψψ (xx AA ) soft noktasının her KK ψψ(aa) VV PP soft remote komşuluğunun ters görüntüsü olan φφ ψψ 1 (KK ψψ(aa) ) UU EE ~ soft küme xx AA soft noktasının bir soft remote komşuluğudur Lemma. (UU ~ EE, κκ)soft kotopolojik uzayındaff AA ~ UU EE soft kümesinin soft kapalı olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuuff AA soft kümesinin içermediği her noktanın soft remote komşuluğu ooooooooooıddırr Teorem.φφ ψψ = (φφ, ψψ): (UU ~ EE, κκ UU ) (VV ~ PP, κκ VV )softfonksiyonunun κκ-soft sürekli olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuuκκ VV kotopolojisine göre soft kapalı olan her soft kümenin ters görüntüsünün κκ UU topolojisine göre soft kapalı olmasıdır Teorem. (UU ~ EE, κκ 1 )ve(vv ~ PP, κκ 2 ) iki soft kotopolojik olsun. φφ ψψ = (φφ, ψψ): (UU ~ EE, κκ 1 ) (VV ~ PP, κκ 2 )soft fonksiyonunun κκ-soft sürekli olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu her FF AA VV ~ PP için (φφ 1 ψψ (FF AA )) φφ 1 ψψ (FF AA )ooooooooooıddırr.

34 25 İspat. : FF AA VV PP ~ φφ ψψ 1 (FF AA )soft kapalıdır. FFAA olsun. FF AA soft kümesi soft kapalı olduğundan, FF AA olduğundan φφψψ 1 (FF AA ) φφ ψψ 1 (FF AA )dır. Böylece (φφ ψψ 1 (FF AA )) φφ ψψ 1 (FF AA ) olur. :FF AA κκ 2 olsun. Hipotezden,(φφ ψψ 1 (FF AA )) φφ ψψ 1 (FF AA ) = φφψψ 1 (FF AA ) olur. Bu da bize φφ ψψ 1 (FF AA ) soft kümesinin bir soft kapalı küme olduğunu gösterir Teorem.(UU ~ EE, κκ 1 ), (VV ~ PP, κκ 2 ) ve (WW ~ RR, κκ 3 ) soft kotopolojik uzaylar, φφ 1 : UU VV, φφ 2 : VV WW ve ψψ 1 : EE PP, ψψ 2 : PP KK dönüşümler olmak üzere (φφ ψψ ) 1 = (φφ 1, Ψ 1 ): (UU ~ EE, κκ 1 ) (VV ~ PP, κκ 2 ),(φφ ψψ ) 2 = (φφ 2, Ψ 2 ): (VV ~ PP, κκ 2 ) (WW ~ RR, κκ 3 ) iki soft fonksiyon olsun. (φφ ψψ ) 1 ve(φφ ψψ ) 2 κκ-soft sürekli fonksiyonlar ise (φφ ψψ ) 2 οο(φφ ψψ ) 1 bileşke soft fonksiyonu da κκ-soft süreklidir. İspat.KK AA κκ 3 olsun.(φφ ψψ ) 2 soft fonksiyonuκκ-soft sürekli olduğundan (φφ ψψ ) 1 2 (KK AA ) κκ 2 dir. (φφ ψψ ) 1 soft fonksiyonuκκ-soft sürekli olduğundan (φφ ψψ ) 2 οο(φφ ψψ ) 1 = (φφ ψψ ) ((φφ ψψ ) 2 (KKAA ) ) κκ 1 dir. Bu da (φφ ψψ ) 2 οο(φφ ψψ ) 1 bileşke soft fonksiyonununκκ-soft sürekli olduğunu gösterir Tanım.(UU ~ EE, κκ 1 )ve(vv ~ PP, κκ 2 ) iki soft kotopolojik uzay ve φφ ψψ = (φφ, ψψ): (UU ~ EE, κκ 1 ) (VV ~ PP, κκ 2 ) bir soft fonksiyon olsun. Her KK AA κκ 1 için φφ ψψ (KK AA ) κκ 2 ise φφ ψψ soft fonksiyonu soft kapalıolarak adlandırılır Teorem.(UU ~ EE, κκ 1 )ve(vv ~ PP, κκ 2 ) iki soft kotopolojik uzay ve φφ ψψ = (φφ, ψψ): (UU ~ EE, κκ 1 ) (VV ~ PP, κκ 2 ) soft fonksiyon olsun. φφ ψψ softfonksiyonunun soft kapalı olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuuheeeeff AA ~ UU EE iiçiiii φφ ψψ (FF AA ) φφ ψψ (FF AA )ooooooooooıddırr. İspat. : FF AA UU ~ EE olsun. FF AA soft kapalı olduğundan φφ ψψ (FF AA )soft kümesi soft kapalıdır. FF AA FF AA olduğundan φφ ψψ (FF AA ) φφ ψψ (FF AA ) olduğu kolayca görülebilir. : KK AA UU ~ EE bir soft kapalı küme olsun. Hipotezden φφ ψψ (KK AA ) φφ ψψ (KK AA )dırve φφ ψψ (KK AA ) = φφ ψψ (KK AA ) olduğundan φφ ψψ (KK AA ) φφ ψψ (KK AA ) olur Bu da φφ ψψ soft fonksiyonunun soft kapalı olduğunu gösterir.

35 κκ-soft Ayırma Aksiyomları Tanım. (UU ~ EE, κκ)bir softkotopolojik uzayolsun. Her farklıxx AA, yy AA ~ UU ~ EE soft nokta çifti için xx AA soft noktasınınyy AA soft noktasını içeren bir MM AA soft remote komşuluğu ya da yy AA soft noktasınınxx AA soft noktasını içeren bir NN AA soft remote komşuluğu varsa (UU ~ EE, κκ)soft kotopolojik uzayınaκκ-softtt 00 -uzay denir. dır Teorem.(UU EE ~, κκ)softkotopolojik uzayıκκ-soft TT 0 -uzay ise xx AA yy AA (xx AA ) (yy AA ) İspat.(UU ~ EE, κκ)birκκ-soft TT 0 -uzay olsun. xx AA yy AA farklı soft noktaları için (xx AA ) = (yy AA ) olsun. O halde xx AA ~ (xx AA ), (xx AA ) = (yy AA ) olduğundan xx AA ~ (yy AA ) ve yy AA ~ (yy AA ), (xx AA ) = (yy AA ) olduğundan yy AA ~ (xx AA ) dır. xx AA ~ (yy AA ) olduğundan, xx AA soft noktasının her MM AA soft remote komşuluğu içinmm AA ~ yy cc AA UU ~ AA dır. O halde MM AA (ee) ~ (UU yy AA (ee)) UU olacak şekilde biree AA vardır. Buradan yy MM AA (ee) ve böylece yy AA ~ MM AA olur. Yukarıdaki işlem benzer şekilde xx AA soft noktası için de gösterilebilir. Bu ise (UU ~ EE, κκ) uzayınınκκ-soft TT 0 -uzay olmasıyla çelişir Tanım. (UU ~ EE, κκ)bir softkotopolojik uzay olmak üzere her farklıxx AA, yy AA ~ UU ~ EE soft nokta çifti için, xx AA soft noktasınınyy AA soft noktasını içeren bir MM AA soft remote komşuluğu ve yy AA soft noktasınınxx AA soft noktasını içeren bir NN AA soft remote komşuluğu varsa(uu ~ EE, κκ)uzayınaκκ-softtt 11 -uzaydenir Teorem. (UU ~ EE, κκ)softkotopolojik uzayının κκ-soft TT 1 olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu her xx AA (xx UU, AA EE) soft noktasının soft kapalı bir küme ooooooooooıddırr. İspat. : xx AA (xx AA ) olsun. O halde zz AA ~ (xx AA ) olacak şekilde bir zz AA ~ ~ UU EE soft noktası vardır. Buradan zz AA soft noktasının birmm AA soft remote komşuluğu için MM AA ~ xx cc AA UU ~ AA dır. Böylecexx AA ~ MM AA olur. Bu ise (UU ~ EE, κκ) uzayınınκκ-soft TT 1 olmasıyla çelişir. : xx AA soft kapalı bir küme olsun. Bu durumda xx AA = (xx AA ) dır. Farklı bir yy AA soft noktası için,yy AA ~ (xx AA ) ve (xx AA ) = xx AA olduğundan xx AA soft noktasıyy AA soft

36 27 noktasınınbir soft remote komşuluğudur. Benzer şekilde yy AA soft noktası daxx AA soft noktasının bir soft remote komşuluğudur. Böylece (UU ~ EE, κκ)uzayıbirκκ-soft TT 1 -uzayıdır Uyarı.Herκκ-soft TT 1 -uzayı bir κκ-soft TT 0 -uzayıdır. Ancak karşıtı aşağıdaki örnekte de olduğu gibi genellikle doğru değildir Örnek.U reel sayılar kümesi, E doğal sayılar kümesi KK EEλλ = {(ee, [ee + λλ, [ ): λλ N, ee EE λλ } vvvv κκ = KK EEλλ ~ UU ~ EE ~ {Φ AA, UU ~ EE } olsun. (UU ~ EE, κκ)uzayı bir κκ-soft TT 0 -uzayıdır ancakκκ-soft TT 1 -uzayı değildir Uyarı.κκ-soft TT 2, κκ-soft regüler ve κκ-soft normal uzayların özelliklerini verebilmek için soft remote komşuluktan daha kuvvetli bir yapıya ihtiyaç duyarız: Tanım. (UU ~ EE, κκ)bir soft kotopolojik uzay, xx AA ~ ~ UU EE bir soft nokta ve SS BB ~ UU EE bir soft küme olsun. ee CC iiçiiii xx KK CC (ee) SS BB (ee) olacak şekilde bir KK CC soft kapalı kümesi varsa SS BB soft kümesinexx AA soft noktasınınstrong soft remote komşuluğu denir. ee CC iiçiiii FF AA (ee) ~ KK CC (ee) SS BB (ee) olacak şekilde bir KK CC soft kapalı kümesi varsa SS BB soft kümesineff AA soft kümesininstrong soft remote komşuluğu denir Tanım.(UU ~ EE, κκ)bir softkotopolojik uzay olmak üzere herxx AA, yy AA farklı soft nokta çifti içinxx AA ve yy AA soft noktalarınınmm AA ~ NN AA = UU ~ AA olacak şekilde sırasıyla MM AA ve NN AA soft strong remote komşulukları varsa(uu ~ EE, κκ)uzayınaκκ-softtt 22 -uzay denir. dır Teorem(UU EE ~, κκ)birκκ-soft TT 2 -uzay ise xx AA = ~ {KK AA ~ UU EE ~ : xx AA ~ KK AA κκ} İspat. xx AA ~ UU ~ EE olsun. xx AA soft noktasından farklı bir yy AA soft noktasını göz önüne alalım.(uu ~ EE, κκ)uzayıκκ-soft TT 2 -uzay olduğundan her ee AA için, xx MM AA (ee), yy NN AA (ee) ve MM AA ~ NN AA = UU ~ AA olacak şekilde MM AA ve NN AA soft kapalı kümeleri vardır. O halde xx AA ~ NN AA veyy AA ~ MM AA dır.bu da bize gösterir ki, xx AA soft noktasını içeren bir soft kapalı küme yy AA soft noktasını içermez. Böylece xx AA = ~ {KK AA ~ UU ~ EE : xx AA ~ KK AA κκ}olur.

37 Teoremxx AA = ~ {KK AA ~ UU ~ EE : xx AA ~ KK AA κκ} ise (UU ~ EE, κκ)uzayı birκκ-soft TT 0 -uzayıdır. İspat.xx AA, yy AA ~ UU ~ EE iki farklı soft nokta olsun.bu durumdayy AA ~ ~ {KK AA ~ UU ~ EE : xx AA ~ KK AA κκ} olur. ~ {KK AA ~ UU ~ EE : xx AA ~ KK AA κκ}softkümesiniss AA olarak adlandıralım. O halde SS AA soft kümesi yy AA soft noktasının bir soft remote komşuluğudur ve xx AA soft noktasını içerir. Bu da bize(uu ~ EE, κκ)uzayınınbirκκ-soft TT 0 -uzayı olduğunu gösterir Uyarı.Her κκ-soft TT 2 -uzayı bir κκ-soft TT 1 -uzayıdır ancak karşıtı aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi doğru değildir: Örnek UU = Revren kümesi, EE = {ee 1, ee 2, ee 3 } veaa EE parametre kümeleri,λλ N ve(kk AA ) λλ = {(ee ii, VV): ii {1,2,3}, ee ii EE ve VV R sonlu bir küme} olmak üzere κκ = {(KK AA ) λλ ~ UU ~ EE } ~ {UU ~ EE }şeklinde alınırsa (UU ~ EE, κκ)uzayı bir soft kotopolojik uzayıdır ve bir κκ-soft TT 1 -uzayıdır ancakκκ-soft TT 2 -uzayı değildir.xx AA yy AA soft noktaları için, MM AA = {(ee ii, {yy}): ee ii AA} ve NN AA = {(ee ii, {xx}): ee ii AA} soft kümeleri sırasıyla xx AA ve yy AA soft noktalarının soft remote komşuluklarıdır veyy AA ~ MM AA,xx AA ~ NN AA dır. Buradan (UU ~ EE, κκ) bir κκ-soft TT 1 -uzayıdır.ancakxx AA ve yy AA soft noktalarınınmm AA ~ ~ NN AA = R AA olacak şekilde strong soft remote komşulukları olmadığından (UU ~ EE, κκ)uzayıbir κκ-soft TT 2 -uzay değildir Tanım. (UU ~ EE, κκ)softkotopolojik uzay olmak üzere herxx AA ~ UU ~ EE soft noktası ve xx AA soft noktasını içermeyen her soft kapalıkk AA Φ AA soft kümesi içinxx AA soft noktasının ve KK AA soft kümesininmm AA ~ ~ NN AA = UU AA olacak şekilde sırasıyla MM AA ve NN AA strong soft remote komşulukları varsa (UU ~ EE, κκ)uzayınaκκ-soft regüler uzay denir Tanım. (UU ~ EE, κκ)soft kotopolojik uzayı hem κκ-soft TT 1 hemde κκ-soft regüler uzay ise κκ-softtt 33 -uuuuuuuuolarak adlandırılır Teorem.(UU ~ EE, κκ)uzayıκκ-soft regüleruzay ise xx AA ~ ~ UU EE soft noktasının her MM AA soft remote komşuluğu için MM AA ~ LL AA olacak şekilde bir LL AA R ℵ (xx AA )vardır. İspat.MM AA R ℵ (xx AA )olsun. O halde xx AA KK AA MM AA olacak şekilde bir KK AA soft kapalı kümesi vardır. (UU ~ EE, κκ)uzayıκκ-soft regüler olduğundan xx AA soft noktasının ve KK AA soft kümesininll AA ~ ~ SS AA = UU AA olacak şekilde sırasıyla LL AA ve SS AA strong soft remote komşulukları vardır. Buradan MM AA KK AA LL AA olur ve ispat tamamlanır.

38 Teorem (UU EE ~, κκ)soft kotopolojik uzayıκκ-soft TT 3 ise κκ-soft TT 2 -uzayıdır. İspat.xx AA yy AA iki farklı soft nokta olsun. (UU ~ EE, κκ)uzayı κκ-soft TT 1 olduğundan yy AA soft kapalı bir kümedir ve xx AA yy AA dır. Diğer taraftan(uu ~ EE, κκ)uzayıκκ-soft regülerolduğundan xx AA veyy AA soft noktalarınınmm AA ~ ~ NN AA = UU AA olacak şekilde sırasıyla MM AA ve NN AA strong soft remote komşulukları vardır. Bu da bize (UU ~ EE, κκ)softkotopolojik uzayınınκκ-soft TT 2 olduğunu gösterir Tanım.(UU ~ EE, κκ)birsoft kotopolojik uzay olsun. KK 1 AA KK 2 AA Φ AAolacak şekilde herkk 1 AA, KK 2AA soft kapalı altkümesi için MM AA ~ ~ NN AA = UU AA olacak şekilde sırasıyla MM AA ve NN AA strong soft remote komşulukları varsa (UU ~ EE, κκ)soft kotopolojik uzayınaκκ-soft normal uzaydenir. (UU ~ EE, κκ)soft kotopolojik uzayı hem κκ-soft TT 1 hem de κκ-soft normal uzay ise κκsoft TT 44 -uzayolarak adlandırılır Soft Ditopolojik Uzaylar Bu kesimde soft ditopolojik uzayları tanımlayacağız. Soft ditopolojik uzaylar 2.2 ve 2.3kesimlerinde verdiğimiz birbirinden bağımsız olan soft topolojik uzaylar ve soft kotopolojik uzayların bir kombinasyonu olarak düşünülebilir. ~ ~ Tanım.ττailesiUU EE üzerinde bir soft topoloji ve κκ ailesiuu EE üzerinde bir soft kotopoloji ise (UU ~ ~ EE, ττ, κκ)üçlüsüne UU EE üzerinde bir soft ditopolojik uzay denir.δδ = (ττ, κκ)çifti ise UU ~ EE soft kümesi üzerinde bir soft ditopoloji olarak adlandırılır Tanım.UU ~ EE üzerinde iki soft ditopoloji δδ 1 = (ττ 1, κκ 1 ) ve δδ 2 = (ττ 2, κκ 2 ) verilsin. Eğer ττ 2 ττ 1 ve κκ 2 κκ 1 ise δδ 1 soft ditopolojisi δδ 2 soft ditopolojisinden dahakabadırdenir ve δδ 1 δδ 2 sembolü ile gösterilir Tanım. (UU ~ EE, ττ, κκ)bir soft ditopolojik uzay, FF BB, MM CC ~ UU EE ve xx AA ~ ~ UU EE olsun. Eğer FF BB soft kümesixx AA soft noktasının bir soft ττ-komşuluğu ve MM CC soft kümesixx AA soft noktasının bir soft remote komşuluğu ise (FF BB, MM CC ) ikilisine xx AA soft noktasının bir soft komşuluğu denir Tanım. (UU ~ EE, ττ, κκ)soft ditopolojik uzayında herhangi bir FF AA ~ UU EE kümesinin içi ve kapanışı aşağıdaki gibi tanımlanır:

39 30 FF AA = ~ ii II {GG AA ii UU ~ EE : GG AA ii ττ, GG AAii FF AA }, FF AA = ~ ii II {KK AA ii UU ~ EE : KK AA ii κκ, FF AA KK AA ii } Tanım. (UU ~ EE, δδ 1 )ve(vv ~ PP, δδ 2 )iki soft ditopolojik uzay olsun.φφ: UU VVve ψψ: EE PPsoftfonksiyonlar olmak üzere φφ ψψ = (φφ, ψψ): (UU ~ EE, ττ 1, κκ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2, κκ 2 )bir soft fonksiyon olsun. Eğer φφ ψψ = (φφ, ψψ): (UU ~ EE, ττ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2 )soft fonksiyonuxx AA soft noktasında ττ-sürekli ve κκ-sürekli ise φφ ψψ = (φφ, ψψ): (UU ~ EE, ττ 1, κκ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2, κκ 2 ) fonksiyonuxx AA soft noktasında soft sürekli olarak adlandırılır Teorem.φφ ψψ = (φφ, ψψ): (UU ~ EE, ττ 1, κκ 1 ) (VV ~ PP, ττ 2, κκ 2 )softfonksiyonununxx AA soft noktasında soft sürekli fonksiyon olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuuφφ ψψ (xx AA ) soft noktasının her soft komşuluğu (FF ψψ(aa), MM ψψ (AA) ) için (φφ 1 ψψ (FF ψψ(aa) ), φφ 1 ψψ (MM ψψ(aa) )) soft kümesininxx AA soft noktasının bir soft komşuluğu ooooooooooıddırr. İspat Teorem ve Teoremin sonucudur Teorem. φφ ψψ = (φφ, ψψ): (UU EE ~, ττ 1, κκ 1 ) (VV PP ~, ττ 2, κκ 2 )softfonksiyonunun soft sürekli olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu her TT ψψ(aa) ττ 2 için φφ ψψ 1 (TT ψψ(aa) ) ττ 1 ve her KK ψψ(aa) κκ 2 için φφ ψψ 1 (KK ψψ(aa) ) κκ 1 ooooooooooıddırr. İspat Teorem ve Teoremin sonucudur Teorem.φφ ψψ = (φφ, ψψ): (UU EE ~, ττ 1, κκ 1 ) (VV PP ~, ττ 2, κκ 2 )soft softsürekli olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu heeee FF AA VV PP ~ için, fonksiyonunun ooooooooooıddırr. φφ ψψ 1 (iiiiiiff AA ) iiiiii φφ ψψ 1 (FF AA ) vvvv (φφ ψψ 1 (FF AA )) φφ ψψ 1 (FF AA ) İspat Teorem ve Teoremin sonucudur Tanım.(UU ~ EE, ττ)soft topolojik uzayı ττ-soft TT 00 (sırasıylaττ-softtt 11, ττsofttt 22, ττ-ssssssssssssssüllllll, ττ-softtt 33,ττ-soft normal,ττ-softtt 44 ) ve (UU ~ EE, κκ)κκsofttt 00 (sırasıylaκκ-softtt 11,κκ-softTT 22,κκ-soft regüler,κκ-soft TT 33,κκ-softnormal, κκsofttt 44 ) ise (UU ~ EE, ττ, κκ) soft ditopolojik uzayına soft TT 00 (sırasıylasoft TT 11, soft TT 22, soft regüler, soft TT 33, soft normal, soft TT 44 ) denir.

40 Teorem.(UU ~ EE, ττ, κκ)soft ditopolojik uzay ve xx AA ~ ~ UU EE olsun. Eğer xx cc AA soft kümesi soft açık ve xx AA soft kümesi soft kapalıysa (UU ~ EE, ττ, κκ)soft ditopolojik uzayı soft TT 1 - uzayıdır. İspat Teorem ve Teoremin sonucudur Uyarı. Her soft TT 1 ditopolojik uzay bir soft TT 0 ditopolojik uzaydır. Karşıtı aşağıdaki örnekte görüldüğü gibi genelde doğru değildir: Örnek. UU = R evren kümesi, EE = N, AA EE parametre kümeleri, ve FF EEλλ = {(ee, ], ee + λλ[ ): ee EE λλ, λλ N} vvvv ττ = {(FF EE ) λλ UU EE } {Φ AA, UU EE }, KK EEλλ = {ee, [ee + λλ, [ ) ee EE λλ, λλ N}vvvvvv = {(KK EE ) λλ UU EE } {Φ AA, UU EE }olsun. O halde (UU EE, ττ, κκ) bir soft TT 0 ditopolojik uzaydır ancak soft TT 1 ditopolojik uzay değildir.

41 32 3.FUZZYSOFT TOPOLOJİK UZAYLAR ~ Bu bölümde Tanay ve Kandemir (2011)tarafından 1 UUEE tam fuzzy soft kümesi üzerinde tanımlanmış olan fuzzy soft topoloji kavramından yararlanarak, herhangi bir ff AA fuzzy soft kümesi üzerinde fuzzy soft topoloji tanımladık. Bu uzayda fuzzy soft açık, fuzzy soft kapalı, fuzzy soft nokta, fuzzy soft komşuluk, fuzzy soft Q-komşuluk vb. gibi temel kavramları verdik ve bu özelliklerle ilgili teorem ve sonuçları elde ettik. 3.1.Fuzzy Soft Topolojik Uzayın Temel Kavramları Tanım.ff AA FFFF(UU, EE),PP(ff AA ), ff AA fuzzy soft kümesinin tüm fuzzysoft altkümelerinin ailesi ve ττ ff,pp(ff AA )ailesinin bir alt ailesi olsun. ττ ff ailesiaşağıdaki koşulları sağlayan bir aile ise ff AA fuzzy soft kümesi üzerinde fuzzysoft topoloji ve (ff AA, ττ ff ) ikilisi defuzzysoft topolojik uzay olarak adlandırılır: ii) 0 ~ UUEE, ff AA ττ ff, iiii) gg AA, h AA ττ ff gg AA h AA ττ ff, iiiiii) ii II, ff ii AA ττ ff ii II (ff iiaa ) ττ ff. ττ ff ailesinin her elemanına fuzzy soft açık küme denir.fuzzysoft açık kümenin tümleyenine fuzzy soft kapalı küme denir Uyarı.ff AA fuzzy soft kümesi tam soft küme olan 1 ~ UUEE olarak alınırsa (ff AA, ττ ff )uzayı için elde edilen bütün sonuçlar (1 ~ UUEE, ττ ff )uzayı için de geçerli olur Teorem. (ff AA, ττ ff ) uzayıff AA fuzzy soft kümesi üzerinde bir fuzzysoft topolojik uzay olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır: ii) 1 ~ UUEE, ff cc AA fuzzysoft kapalı kümelerdir, iiii)fuzzysoft kapalı kümelerin keyfikesişimleri de fuzzysoft kapalıdır. iiiiii) İki fuzzysoft kapalı kümeninbirleşimi de fuzzysoft kapalıdır. İspat Tanım gereği ispat açıktır Örnek.UU = {aa, bb, cc, dd, ee}, EE = {ee 1, ee 2, ee 3, ee 4 }, AA = {ee 1, ee 2, ee 3 }ve ff AA = {ee 1 = {aa 0.3, bb 0.4, cc 0.5, dd 0.6, ee 0.7 }, ee 2 = {aa 0.8, bb 0.5, cc 0.9, dd 0.5, ee 1 }, ee 3 = {aa 0.6, bb 0.7, cc 0.4, dd 0.5, ee 0.8 }}, ff 1AA = {ee 1 = {aa 0.2, bb 0.4, cc 0.1, dd 0.3, ee 0.5 }, ee 2 = {aa 0.7, bb 0.4, cc 0.8, dd 0.3, ee 0.9 },

42 33 ee 3 = {aa 0.5, bb 0.6, cc 0.1, dd 0.3, ee 0.8 }}, ff 2AA = {ee 1 = {aa 0.3, bb 0.3, cc 0.2, dd 0.5, ee 0.6 }, ee 2 = {aa 0.8, bb 0.3, cc 0.7, dd 0.4, ee 0.8 }, ee 3 = {aa 0.4, bb 0.7, cc 0.2, dd 0.2, ee 0.6 }}, ff 3AA = {ee 1 = {aa 0.2, bb 0.3, cc 0.1, dd 0.3, ee 0.5 }, ee 2 = {aa 0.7, bb 0.3, cc 0.7, dd 0.3, ee 0.8 }, ee 3 = {aa 0.4, bb 0.6, cc 0.1, dd 0.2, ee 0.6 }}, ff 4AA = {ee 1 = {aa 0.3, bb 0.4, cc 0.2, dd 0.5, ee 0.6 }, ee 2 = {aa 0.8, bb 0.4, cc 0.8, dd 0.4, ee 0.9 }, ee 3 = {aa 0.5, bb 0.7, cc 0.2, dd 0.3, ee 0.8 }}, ff 5AA = {ee 1 = {aa 0.1, bb 0.2, dd 0.2, ee 0.4 }, ee 2 = {aa 0.5, bb 0.1, cc 0.4, dd 0.1 }, olsun. O halde, ee 3 = {aa 0.2, bb 0.4, cc 0.1, dd 0.1, ee 0.4 }} ττ ff = {0 ~ UUEE, ff AA, ff 1AA, ff 2AA, ff 3AA, ff 4AA, ff 5AA } ailesiff AA fuzzy soft kümesi üzerinde bir fuzzysoft topolojidir.fuzzysoft kapalı kümeler ailesini de tümleme işlemi yardımıyla elde edebiliriz Teorem.(1 ~ UUEE, ττ ff )bir fuzzy soft topolojik uzay olsun. O halde her ee EEiçin bir fuzzy topolojidir. ττ ffee = {gg AA (ee): gg AA ττ ff } İspatii)0 ~ UUEE, 1 ~ UUEE ττ ff olduğundan her ee EE için 0 UU, 1 UU ττ ffee dir. iiii) gg AA, h AA ττ ff olsun. gg AA h AA ττ ff olduğundan her ee EE içingg AA (ee) h AA (ee) ττ ffee dir. iiiiii) Her ii II içinff ii AA ττ ff olsun. ii II (ff iiaa ) ττ ff olduğundan her ee EE için ii II (ff iiaa (ee)) ττ ffee olur Uyarı Teoremin karşıtı aşağıdaki örnekte görüldüğü gibi genellikle doğru değildir Örnek.UU = {xx, yy, zz}, EE = {ee 1, ee 2 }olsun. ff 1EE (ee 1 ) = {xx 0.3, yy 0.5, zz 0.8 }, ff 1EE (ee 2 ) = {xx 0.1, yy 0.6, zz 0.3 }, ff 2EE (ee 1 ) = {xx 0.2, yy 0.8, zz 0.5 }, ff 2EE (ee 2 ) = {xx 0.2, yy 0.4, zz 0.5 }, ff 3EE (ee 1 ) = {xx 0.3, yy 0.8, zz 0.8 }, ff 3EE (ee 2 ) = {xx 0.1, yy 0.4, zz 0.3 }, ff 4EE (ee 1 ) = {xx 0.2, yy 0.5, zz 0.5 }, ff 4EE (ee 2 ) = {xx 0.2, yy 0.6, zz 0.5 }. olmak üzere

43 34 ττ ff = 0 ~ UUEE, 1 ~ UUEE, ff 1EE, ff 2EE, ff 3EE, ff 4EE, ff 5EE olsun.ff 1AA ff 2AA ττ ff olduğundanττ ff fuzzy soft topoloji değildir. Ancakττ ffee 1 ve ττ ff ee 2 fuzzy topolojidir Tanım. ff AA FFFF(UU, EE)bir fuzzy soft küme ve VV UU olsun.ff AA fuzzy soft kümesinin(vv, EE)ikilisi üzerindekialt fuzzy soft kümesi ff VV AA (ee) = VV ff AA (ee), ee EE. şeklinde tanımlanır ve ff VV AA simgesi ile gösterilir Tanım.(ff AA, ττ ff ) bir fuzzy soft topolojik uzay ve VV UU olsun. ττ ffvv = {gg VV AA : gg AA ττ ff } fuzzy soft topolojisine ff VV AA üzerinde fuzzysoft relative topoloji ve (ff VV AA, ττ ffvv ) ikilisine de(ff AA, ττ ff ) uzayınınfuzzy soft alt uzayı denir Tanım.xx λλ (xx UU, λλ (0,1]), fuzzy nokta olsun.aa EEolmak üzere uu UU, ee EE iiçiiii μμ ee λλ; uu = xx iiiiii AAxx λλ (uu) = 0, uu xx iiiiii λλ şeklinde tanımlanan fuzzysoft kümeye fuzzysoft nokta denir ve AA xx şeklinde gösterilir Sonuç.ff AA FFFF(UU, EE)bir fuzzy soft küme ve AA xx λλ (xx UU, λλ (0,1]) bir fuzzysoftnokta olsun. Buradan, ii) AA xx λλ ~ ff AA ooooooooooı iiçiiii gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu AA xx λλ ff AA ooooooooooıddırr. iiii) AA λλ ~ xx ff AA = 0 UUEE iiiiii AA λλ xx ~ ff AA oooooooo Tanım. (ff AA, ττ ff )birfuzzysoft topolojik uzay, gg AA ff AA ve AA xx λλ bir fuzzysoft nokta olsun. AA xx λλ ~ h AA gg AA olacak şekilde bir h AA fuzzysoft açık kümesi varsa gg AA fuzzy soft kümesineaa xx λλ fuzzy soft noktasınınfuzzysoft komşuluğu denir.aa xx λλ fuzzy soft noktasının tüm fuzzy soft komşuluklarının ailesi ℵ (AAxx λλ ) simgesi ile gösterilir Örnek Örnekte verilmiş(ff AA, ττ ff )fuzzysoft topolojisini göz önüne alalım. AA cc 0.2 birfuzzysoft nokta olsun. O halde ff AA, ff 2AA ve ff 4AA fuzzysoft kümeleri AA cc 0.2 fuzzy soft noktasınınfuzzysoft komşularıdır Teorem. (ff AA, ττ ff )fuzzysoft topolojik uzay, AA xx λλ fuzzy soft nokta ve gg AA, h AA ff AA olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:

44 35 ii) gg AA ℵ (AAxx λλ ) ise AA xx λλ gg AA dır. iiii) gg AA, h AA ℵ (AAxx λλ ) ise gg AA h AA ℵ (AAxx λλ ) dır. iiiiii) gg AA ℵ (AAxx λλ ), gg AA h AA ise h AA ℵ (AAxx λλ ) dır. İspat Tanım gereğince ispat açıktır. λλ Tanım. (ff AA, ττ ff )fuzzy soft topolojik uzay, AA xx bir fuzzy soft nokta ve gg AA, h AA ff AA olsun. AA λλ xx ~ λλ gg AA h AA olacak şekilde bir gg AA fuzzy soft açığı varsa AA xx fuzzy soft noktasınah AA fuzzy soft kümesinin fuzzy soft iç noktası denir ve AA λλ xx ~ (h AA ) simgesi ile gösterilir Teorem. (ff AA, ττ ff )fuzzy soft topolojik uzay ve gg AA ff AA olsun. Aşağıdakiler sağlanır: ii) (gg AA ) fuzzy soft kümesigg AA fuzzy soft kümesinin kapsadığı tüm fuzzy soft açık kümelerin birleşimine eşittir. iiii) (gg AA ) gg AA. iiiiii) (gg AA ) bir fuzzy soft açık kümedir. iiii) (gg AA ), gg AA fuzzy soft kümesinin kapsadığı en büyük fuzzy soft açık kümedir. vv) gg AA fuzzy soft kümesinin fuzzy soft açık küme olması içingggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuugg AA = (gg AA ) ooooooooooıddırr. İspat. ii) (gg AA ) = {h AA : h AA gg AA, h AA ττ ff }olduğunu göstermeliyiz. AA λλ xx (gg AA ) olsun Tanım gereğiaa λλ xx h AA gg AA olacak şekilde bir h AA ττ ff vardır. Böylece AA λλ xx h AA : h AA gg AA, h AA ττ ff (1) olur. Varsayalım ki AA xx λλ {h AA : h AA gg AA, h AA ττ ff } olsun. O halde Tanım gereği AA λλ xx (gg AA ) (2) olur. (1) ve (2) gereği (gg AA ) = {h AA : h AA gg AA, h AA ττ ff } elde edilir. iiii), iiiiii), iiii)vevv) şıklarının ispatları ii) den açıktır.

45 Teorem. (ff AA, ττ ff )fuzzy soft topolojik uzay ve gg AA, h AA ff AA olsun. Aşağıdakiler sağlanır: ~ ii) 0 UUEE = 0 ~ UUEE, (ff AA ) = ff AA. iiii) ((gg AA ) ) = (gg AA ). iiiiii) gg AA h AA iiiiii(gg AA ) (h AA ) dir. iiii) (gg AA ) (h AA ) = (gg AA h AA ). vv) (gg AA ) (h AA ) (gg AA h AA ). İspat. ii), iiii)veiiiiii)3.1.1.tanımdan açıktır. iiii) (gg AA ) gg AA ve(h AA ) h AA olduğundan ve iiiiii) gereği (gg AA ) (h AA ) gg AA h AA olur. gg AA h AA fuzzy soft kümesinin içindeki en büyük fuzzy soft açık küme (gg AA h AA ) fuzzy soft kümesi olduğundan olur. (gg AA ) (h AA ) (gg AA h AA ) (1) Diğer taraftan (gg AA h AA ) (gg AA ) ve (gg AA h AA ) (h AA ) olduğundan (gg AA h AA ) (gg AA ) (h AA ) (2) olur. (1)ve(2) den (gg AA ) (h AA ) = (gg AA h AA ) olduğu görülür. vv)(gg AA ) gg AA ve(h AA ) h AA olduğundan (gg AA ) (h AA ) gg AA h AA olur. gg AA h AA fuzzy soft kümesinde kapsanan en büyük fuzzy soft açık küme (gg AA h AA ) fuzzy soft kümesi olduğundan olur. (gg AA ) (h AA ) (gg AA h AA ) Uyarı Teoremin vv)şıkkının karşıtı aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi genellikle doğru değildir Örnek Örnekte verilmiş fuzzy soft topolojik uzayı göz önüne alalım.gg AA = {ee 1 = {aa 0.2, bb 0.3, cc 0.5, dd 0.5, ee 0.5 }, ee 2 = {aa 0.5, bb 0.2, cc 0.8, dd 0.2, ee 0.3 }, ee 3 = {aa 0.4, bb 0.5, cc 0.4, dd 0.2, ee 0.5 }}ve h AA = {ee 1 = {aa 0.3, bb 0.4, cc 0.4, dd 0.3, ee 0.6 }, ee 2 = {aa 0.8, bb 0.4, cc 0.7, dd 0.4, ee 0.9 }, ee 3 = {aa 0.5, bb 0.7, cc 0.3, dd 0.4, ee 0.9 }}

46 37 iki fuzzy soft küme olsun. Bu durumda gg AA = ff 5AA ve h AA = ff 3AA olup gg AA (h AA ) = ff 3AA dır. Diğer taraftan, gg AA h AA = {ee 1 = {aa 0.3, bb 0.4, cc 0.5, dd 0.5, ee 0.6 }, ee 2 = {aa 0.8, bb 0.4, cc 0.8, dd 0.4, ee 0.9 }, ee 3 = {aa 0.5, bb 0.7, cc 0.4, dd 0.4, ee 0.9 }} olup (gg AA h AA ) = ff 4AA dır Tanım.(ff AA, ττ ff )fuzzy soft topolojik uzayı ve gg AA ff AA olsun. gg AA fuzzy soft kümesini içeren tüm fuzzy soft kapalı kümelerin kesişimine gg AA fuzzy kümesininkapanışıdenir ve gg AA = {h AA : gg AA h AA, h AA ττ cc ff } gg AA simgesi ile gösterilir. soft Teorem. (ff AA, ττ ff )fuzzy soft topolojik uzayı ve gg AA, h AA ff AA olsun. Aşağıdakiler sağlanır: ii) gg AA bir fuzzy soft kapalı kümedir. iiii) gg AA gg AA. iiiiii) gg AA fuzzy soft kümesigg AA fuzzy soft kümesini içeren en küçük fuzzy soft kapalı kümedir. iiii) gg AA h AA iiiiii (gg AA ) (h AA ) dır. vv) (gg AA ) (h AA ) (gg AA h AA ). vvvv) (gg AA ) (h AA ) = (gg AA h AA ). vvvvvv) ((gg AA ) ) = (gg AA ). vvvvvvvv) gg AA fuzzy soft kümesinin fuzzy soft kapalı olması için gggggggggg vvee yyyyyyyyyy gg AA = (gg AA ) ooooooooooıddırr. İspat.vv)(gg AA h AA ) (gg AA ) ve(gg AA h AA ) (h AA ) olduğundan (gg AA h AA ) (gg AA ) (h AA ) dır. gg AA h AA fuzzy soft kümesini kapsayan en küçük fuzzy soft kapalı küme (gg AA haa) dır. Buradan (ggaa) (haa) (ggaa haa) olur. vvvv)(gg AA ) (gg AA h AA ), (h AA ) (gg AA h AA ) olduğundan (gg AA ) (h AA ) (gg AA h AA ) (1) olur. Diğer taraftan gg AA h AA (gg AA h AA ) ve gg AA h AA (gg AA ) (h AA ) dır. gg AA h AA fuzzy soft kümesini kapsayan en küçük fuzzy soft kapalı küme (gg AA h AA ) olduğundan

47 38 (gg AA h AA ) (gg AA ) (h AA ) (2) dır. (1) ve (2) ifadelerinden (gg AA ) (h AA ) = (gg AA h AA ) olduğu görülür Uyarı Teoremin vv) şıkkının karşıtı genellikle doğru değildir Örnek Örnekte verilmiş fuzzy soft topolojik uzayı göz önüne alalım. gg AA = {ee 1 = {aa 0.2, bb 0.3, cc 0.5, dd 0.5, ee 0.5 }, ee 2 = {aa 0.5, bb 0.2, cc 0.8, dd 0.2, ee 0.3 }, ee 3 = {aa 0.4,bb 0.5, cc 0.4, dd 0.2, ee 0.5 }}ve ss AA = {ee 1 = {aa 0.3, bb 0.4, cc 0.4, dd 0.3, ee 0.6 }, ee 2 = {aa 0.8, bb 0.4, cc 0.6, dd 0.4, ee 0.9 }, fuzzy soft kümeleri için ee 3 = {aa 0.5, bb 0.7, cc 0.3, dd 0.4, ee 0.9 }} gg AA = UU EE ~ vess AA = UU EE ~ olduğundan gg AA ss AA = UU EE ~ dir. Diğer taraftan, gg AA ss AA = {ee 1 = {aa 0.2, bb 0.3, cc 0.4, dd 0.3, ee 0.5 }, ee 2 = {aa 0.5, bb 0.2, cc 0.6, dd 0.2, ee 0.3 }, ee 3 = {aa 0.4, bb 0.5, cc 0.3, dd 0.2, ee 0.5 }} oooooooo (gg AA ss AA ) cc = ff 5AA dir Tanım. AA xx λλ bir fuzzy soft nokta ve ff AA bir fuzzy soft küme olsun. ee AA iiçiiii λλ + μμ ee ffaa (xx) > 1 iseaa xx λλ fuzzy soft noktası, ff AA fuzzy soft kümesiyle quasi çakışıktır denir ve AA xx λλ qqff AA simgesi ile gösterilir Tanım. ff AA, gg AA FFFF(UU, EE) olsun. ee AA iiçiiii μμ ee ffaa (uu) + μμ ee ggaa (uu) > 1 olacak şekilde bir uu UU varsa ff AA fuzzy soft kümesiylegg AA fuzzy soft kümesi quasi çakışıktırdenir ve ff AA qqgg AA simgesi ile gösterilir Tanım.(ff AA, ττ ff )fuzzy soft topolojik uzay, AA xx λλ bir fuzzy soft nokta ve vv AA ff AA olsun. AA xx λλ qqww AA vv AA olacak şekilde bir ww AA fuzzy soft açığı varsa vv AA fuzzy soft kümesineaa xx λλ fuzzy soft noktasınınq-fuzzy soft komşuluğu denir Teorem.(ff AA, ττ ff )fuzzy soft topolojik uzayında aşağıdakiler sağlanır: λλ λλ ii) gg AA fuzzy soft kümesiaa xx fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu ise AA xx fuzzy soft noktası gg AA fuzzy soft kümesiyle quasi çakışıktır. λλ iiii) gg AA,h AA fuzzy soft kümeleri AA xx fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu λλ isegg AA h AA fuzzy soft kümesi deaa xx fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğudur.

48 39 iiiiii) gg AA fuzzy soft kümesiaa xx λλ fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu ve gg AA h AA iseh AA fuzzy soft kümesi AA xx λλ fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğudur. olduğundan İspat.ii) Tanımdan açıktır. iiii)gg AA,h AA fuzzy soft kümeleriaa xx λλ fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu ee AA iiçiiii λλ + μμ ee ggaa (xx) > 1 vvvv λλ + μμ ee haa (xx) > 1 olur. Buradan heree AA içinλλ + min {μμ ee ggaa (xx), μμ ee haa (xx)} > 1 olduğu görülür. iiiiii) gg AA fuzzy soft kümesi AA xx λλ fuzzy soft noktasının Q-fuzzy soft komşuluğu olduğundan her ee AA iiçiiii, λλ + μμ ee ggaa (xx) > 1 ve gg AA h AA olduğundan heree AA iiçiiii, μμ ee ggaa (xx) μμ ee haa (xx) olur. Böylece heree AA iiçiiii, λλ + μμ ee haa (xx) > 1 olduğu görülür Sonuç.gg AA, h AA FFFF(UU, EE)olsun. gg AA h AA olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyyyyyyşuuuugg AA fuzzy soft kümesinin(h AA ) cc fuzzy soft kümesiyle quasi çakışık ooooooooooooooıddırr. İspat.gg AA h AA olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu ee EE, uu UU iiçiiii μμ ee ggaa (uu) μμ ee haa (uu) ooooooooooıddırr. Başka bir deyişle gg AA h AA olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu ooooooooooıddırr.buradan, ee EE, uu UU iiçiiii μμ ee ggaa (uu) + (1 μμ ee haa (uu)) 1 μμ ee ggaa ee (uu) + μμ cc haa (uu) 1 olur. Sonuç olarakgg AA fuzzy soft kümesi(h AA ) cc fuzzy soft kümesiyle quasi çakışık değildir Teorem. (ff AA, ττ ff )fuzzy soft topolojik uzay olsun, AA xx λλ bir fuzzy soft nokta vegg AA ff AA olsun. AA xx λλ ~ gg AA olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkooşuuuu AA xx λλ fuzzy soft noktasının her Q-fuzzy soft komşuluğunun gg AA fuzzy soft kümesiylex noktasında quasi çakışık ooooooooooıddırr. İspat.AA xx λλ ~ gg AA olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuugg AA fuzzy soft kümesini kapsayan her vv AA fuzzy soft kapalı kümesi içinaa xx λλ ~ vv AA olmasıdır, yani ee AA iiçiiii λλ μμ ee vvaa (xx) olmasıdır. O halde AA xx λλ ~ gg AA olması için gggggggggg vvvv yyyyyyyyyy kkkkşuuuu gg AA cc fuzzy soft kümesinde kapsanan her kk AA fuzzy soft açık kümesi için

49 40 1 λλ μμ ee kkaa (xx), ee AA, olmasıdır. Böylece 1 λλ < μμ ee cc kkaa (xx)koşulunu sağlayan her kk AA fuzzy soft açık kümesi gg AA fuzzy soft kümesinde kapsanmaz Sonuçtankk AA fuzzy soft kümesiningg AA fuzzy soft kümesiyle quasi çakışık olmadığı görülür. 3.2.Fuzzy Soft Quasi Ayırma Aksiyomları Tanım. ff AA, ττ ff fuzzy soft topolojik uzay olsun.her AA λλ xx, AA μ yy (xx, yy UU, xx yy)farklıfuzzy soft nokta çifti için. AA λλ xx qqgg AA (AA μμ yy ) cc yyyy dddd AA μμ yy qqh AA (AA λλ xx ) cc olacak şekilde gg AA, h AA fuzzy soft açık kümeleri varsa (ff AA, ττ ff )uzayınafuzzy soft quasitt 00 denir Lemma.AA xx λλ qqgg AA iiiiii AA xx λλ ~ (gg AA ) cc dir. İspat.AA xx λλ qqgg AA olsun. O halde olur ve buradanλλ > 1 μμ ee ggaa görülür. ee AA iiçiiii λλ + μμ ee ggaa (xx) > 1 ee (xx)=μμ ggaa cc (xx) elde edilir. Sonuç olarakaa λλ xx ~ (gg AA ) cc olduğu Teorem.(ff AA, ττ ff )bir fuzzy soft quasi TT 0 -uzay ise AA λλ xx, AA μμ yy (xx, yy UU, xx yy) farklı fuzzy soft noktaları için AA λλ xx (AA μμ yy ) yyyy dddd AA μμ yy (AA λλ xx ) dır. İspat.HerAA λλ xx, AA μ yy (xx, yy UU, xx yy) farklı fuzzy soft noktası için ff AA, ττ ff fuzzy soft quasi TT 0 -uzay olduğundan AA λλ xx qqgg AA (AA μμ yy ) cc yyyy dddd AA μμ yy qqh AA (AA λλ xx ) cc olacak şekilde gg AA, h AA ττ ff vardır. İlk durumu göz önüne alalım LemmadanAA λλ xx ~ (gg AA ) cc ve AA μμ yy gg cc AA dir. gg cc AA fuzzy soft kümesi fuzzy soft kapalı olduğundan (AA μμ yy ) cc gg AA olur. Böylece AA λλ xx ~ (AA μμ yy ) dır. Benzer işlem ikinci durum için de yapılabilir ve ispat tamamlanır Tanım (Ghanim ve ark, 1997).(XX, ττ)bir fuzzy topolojik uzay olsun. Herxx λλ, yy μμ (xx, yy XX, xx yy) farklı fuzzy nokta çifti için eğer

50 41 xx λλ qqqq (yy μμ ) cc yyyy dddd yy μμ qqqq (xx λλ ) cc olacak şekilde UU, VVfuzzy açık kümeleri varsa (XX, ττ) fuzzy topolojik uzayına quasitt 00 - uzay denir Teorem.(ff AA, ττ ff )fuzzy soft quasi T 0 -uzay ise her ee EE için(ff AA (ee), ττ ffee )fuzzy quasi TT 0 -uzaydır. λλ İspat.Her xx λλ, yy μμ farklı fuzzy noktaları içinaa xx ve AA μμ yy iki farklı fuzzy soft noktadır. (ff AA, ττ ff )bir fuzzy soft quasi T 0 -uzay olduğundan, AA λλ xx qqgg AA (AA μμ yy ) cc yyyy dddd AA μμ yy qqh AA (AA λλ xx ) cc olacak şekilde gg AA, h AA ττ ff vardır. Buradan ee EE iiçiiii xx λλ qqgg AA (ee) (yy μμ ) cc yyyy dddd yy μμ qqgg AA (ee) (xx λλ ) cc olacak şekilde gg AA (ee), h AA (ee) ττ ffee vardır. O halde (ff AA (ee), ττ ffee ) bir fuzzy quasi T 0 - uzaydır Teorem.(1 ~ UUEE, ττ ff )bir fuzzy soft quasi T 0 -uzay ise(1 ~VV EE, ττ ffvv ) de bir fuzzy soft quasi T 0 -uzaydır. İspat.(ff AA, ττ ff )bir fuzzy soft quasi T 0 -uzay olsun. Her AA xx λλ, AA yy μ (xx, yy VV, xx yy) farklı fuzzy soft noktası için AA xx λλ qqgg AA (AA yy μμ ) cc yyyy dddd AA yy μμ qqh AA (AA xx λλ ) cc olacak şekilde gg AA, h AA ττ ff vardır. İlk durumu göz önüne alalım. xx VVolduğundan AA xx λλ qq(1 EE ~VV gg AA ) (AA yy μμ ) cc vvvv 1 EE ~VV gg AA ττ ffvv sağlanır. İkinci durum için de ispat benzer şekilde yapılır. Sonuç olarak (1 EE ~VV, ττ ffvv ) de bir fuzzy soft quasi T 0 -uzaydır Tanım. ff AA, ττ ff birfuzzy soft topolojik uzay olsun. HerAA λλ xx, AA μ yy (xx, yy UU, xx yy)farklı fuzzy soft nokta çifti için AA λλ xx qqgg AA (AA μμ yy ) cc vvvv AA μμ yy qqh AA (AA λλ xx ) cc olacak şekilde gg AA, h AA ττ ff varsa (ff AA, ττ ff ) uzayınafuzzy soft quasitt 11 uzayıdddddddddd Teorem.Her xx UU için AA xx 1 fuzzy soft kapalı küme ise(ff AA, ττ ff ) bir fuzzy soft quasit 1 uzayıdır.

51 42 İspat. HerAA λλ xx, AA μ yy (xx, yy VV, xx yy) farklı fuzzy soft noktası için.aa 1 xx, AA 1 yy fuzzy soft kümeleri fuzzy soft kapalı olduğundan,(aa 1 xx ) cc, (AA 1 yy ) cc fuzzy soft kümeleri fuzzy soft açıktır. Kolayca görülebilir ki, AA λλ xx qq(aa 1 yy ) cc vvvv AA μμ yy qq(aa 1 xx ) cc vvvv(aa 1 yy ) cc (AA μ yy ) cc vvvv (AA 1 xx ) cc (AA λλ xx ) cc dir. Böylece (ff AA, ττ ff )uzayı fuzzy soft quasi TT 1 uzayıdır. sağlanmaz Uyarı Teoreminin karşıtı genelde aşağıdaki örnekte görüldüğü gibi Örnek. UU = {xx, yy}, EE = {ee 1, ee 2 } ve ττ ff = {0 ~ UUEE, ff AA, ff 1AA, ff 2AA, ff 3AA, ff 4AA } bir fuzzy soft topoloji olsun öyle ki, ff AA = ee 1 = {xx 0.8, yy 0.9 }, ee 2 = {xx 0.9, yy 0.8 }, ff 1AA = ee 1 = {xx 0.7, yy 0.3 }, ee 2 = {xx 0.8, yy 0.4 }, ff 2AA = ee 1 = {xx 0.5, yy 0.9 }, ee 2 = {xx 0.4, yy 0.8 }, ff 3AA = ee 1 = {xx 0.5, yy 0.3 }, ee 2 = {xx 0.4, yy 0.4 }, ff 4AA = ee 1 = {xx 0.7, yy 0.9 }, ee 2 = {xx 0.8, yy 0.8 }. Sonuç olarak ff AA, ττ ff fuzzy soft quasi TT 1 uzayıdır ancakaa xx 1 ve AA yy 1 fuzzy soft kümeleri fuzzy soft kapalı değildir Tanım (Ghanim ve ark, 1997).(XX, ττ)bir fuzzy topolojik uzay olsun. Herxx λλ, yy μμ (xx, yy XX, xx yy) farklı fuzzy nokta çifti için eğer xx λλ qqqq (yy μμ ) cc vvvv yy μμ qqqq (xx λλ ) cc olacak şekilde UU, VVfuzzy açık kümeleri varsa (XX, ττ) fuzzy topolojik uzayına quasitt 11 - uzaydenir Teorem.(ff AA, ττ ff )bir fuzzy soft quasi TT 1 -uzay ise her ee EE için(ff AA (ee), ττ ffee ) fuzzy quasi TT 1 -uzaydır. İspat.xx λλ, yy μμ fuzzy noktaları için AA xx λλ ve AA yy μμ iki farklı fuzzy soft noktadır. (ff AA, ττ ff )uzayıbir fuzzy soft quasi TT 1 -uzay olduğundan AA λλ xx qqgg AA (AA μμ yy ) cc vvvv AA μμ yy qqh AA (AA λλ xx ) cc olacak şekilde gg AA, h AA ττ ff vardır. Buradan ee EE iiçiiii xx λλ qqgg AA (ee) (yy μμ ) cc vvvv yy μμ qqgg AA (ee) (xx λλ ) cc olacak şekilde gg AA (ee), h AA (ee) ττ ffee vardır. O halde (ff AA (ee), ττ ffee ) bir fuzzy quasi TT 1 -uzaydır.

52 Teorem.(UU EE ~, ττ ff )bir fuzzy soft quasi TT 1 -uzay ise (1 EE ~VV, ττ ffvv ) de bir fuzzy soft quasi TT 1 -uzaydır. İspat Teoremin ispatına benzer olarak yapılır Uyarı.Her fuzzy soft quasi TT 1 -uzay fuzzy soft quasi TT 0 -uzaydır. Karşıtı aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi her zaman doğru değildir Örnek.UU = {xx, yy}, EE = {ee 1, ee 2, ee 3 } ve ff 1AA = ee 1 = {xx 1, yy 0 }, ee 2 = {xx 1, yy 0. } olmak üzere ττ ff = {0 ~ UUEE, UU ~ EE, ff 1AA } bir fuzzy soft topolojidir ve ff AA, ττ ff fuzzy soft quasi TT 0 uzayıdır ancak fuzzy soft quasi TT 1 uzayı değildir Tanım. ff AA, ττ ff fuzzy soft topolojik uzay olsun.her AA λλ xx, AA μ yy (xx, yy UU, xx yy)farklıfuzzy soft nokta çifti için AA λλ xx qqgg AA (AA μμ yy ) cc, AA μμ yy qqh AA (AA λλ xx ) cc vvvv gg AA çaaaaışıkk ddddğiiii h AA olacak şekilde gg AA, h AA ττ ff varsa (ff AA, ττ ff ) uzayına fuzzy soft quasitt 22 uzayıdenir Tanım (Ghanim ve ark, 1997).(XX, ττ)bir fuzzy topolojik uzay olsun. Her xx λλ, yy μμ (xx, yy XX, xx yy) farklı fuzzy nokta çifti için xx λλ qqqq (yy μμ ) cc,yy μμ qqqq (xx λλ ) cc vvvv UU çaaaaışıkk ddddğiiii VV olacak şekilde UU, VVfuzzy açık kümeleri varsa (XX, ττ) fuzzy topolojik uzayına fuzzyquasitt 22 -uzay denir Teorem.(ff AA, ττ ff )bir fuzzy soft quasi T 2 -uzay ise her ee EE için (ff AA (ee), ττ ffee ) fuzzy quasi T 2 -uzaydır. İspat Teoremin ispatına benzer olarak yapılır Teorem.(1 ~ UU, ττ EE ff )bir fuzzy soft quasi T 2 -uzay ise (1 ~VV EE, ττ ffvv ) de bir fuzzy soft quasi T 2 -uzaydır. İspat Teoremin ispatına benzer olarak yapılır Tanım.(1 ~ UU, ττ EE ff )ve(1 ~ VV, ττ PP ff )iki fuzzy soft topolojik uzay olsun. φφ ψψ = (φφ, ψψ): 1 ~ UU, ττ EE ff 1 ~ VV, ττ PP ff

53 44 bir fuzzy soft dönüşümolsun.φφ ψψ (AA xx λλ )fuzzy soft noktasının her Q-fuzzy soft komşuluğunun ters görüntüsü AA xx λλ fuzzy soft noktasının bir Q-fuzzy soft komşuluğu ise φφ ψψ dönüşümünefuzzy soft Q-sürekli denir Lemma.φφ ψψ = (φφ, ψψ): (1 ~ UU, ττ EE ff ) (1 ~ VV, ττ PP ff )bire-bir bir fuzzy soft dönüşüm olsun. Eğer ff AA qqgg AA ise φφ ψψ 1 (ff AA )qqφφ ψψ 1 (gg AA )dır. İspat.ff AA qqgg AA olsun. O halde olacak şekilde bir vv VV vardır. Buradan pp PP iiçiiii μμ pp ffaa (vv) + μμ pp ggaa (vv) > 1 ee ψψ 1 (PP) iiçiiii φφ 1 ψψ (ff AA )(ee)(uu) + φφ 1 ψψ(ee) ψψ(ee) ψψ (gg AA )(ee)(uu) = μμ ffaa φφ(uu) + μμggaa φφ(uu) = μμ pp ffaa (vv) + μμ pp ggaa (vv) > 1 olacak şekilde bir uu UU vardır. O halde φφ ψψ 1 (ff AA )qqφφ ψψ 1 (gg AA )dır Teorem.(1 ~ UU, ττ EE ff )ve(1 ~ VV, ττ PP ff )iki fuzzy soft topolojik uzay ve φφ ψψ = (φφ, ψψ): (1 ~ UU, ττ EE ff ) (1 ~ VV, ττ PP ff ) bire-bir ve Q-sürekli bir fuzzy soft dönüşüm olsun. Eğer (1 ~ VV, ττ PP ff )uzayı fuzzy soft quasi TT 2 ise (1 ~ UU, ττ EE ff ) uzayı da fuzzy soft quasi TT 2 dir.. İspat.AA xx λλ veaa yy μμ (xx, yy UU, xx yy) farklı fuzzy soft noktalar olsun. O halde φφ ψψ (AA xx λλ ) φφ ψψ (AA yy μμ ) dır. (1 ~ VV, ττ PP ff )fuzzy soft quasi TT 2 -uzay olduğundan vv AA (φφ ψψ (AA yy μμ )) cc, ww AA (φφ ψψ (AA xx λλ )) cc vvvv vv AA çaaaaışıkk ddddğiiii ww AA olacak şekilde φφ ψψ AA xx λλ, φφ ψψ (AA yy μμ ) fuzzy soft noktalarının sırasıyla vv AA, ww AA Q-fuzzy soft komşulukları vardır. Sonuç olarak (1 ~ UU, ττ EE ff ) uzayı fuzzy soft quasi TT 2 -uzayıdır. λλ Tanım.(ff AA, ττ ff )bir fuzzy soft topolojik uzay, AA xx bir fuzzy soft nokta ve AA λλ cc cc xx qqgg AA olacak şekilde gg AA bir fuzzy soft kapalı küme olsun. Eğer ss AA qqtt AA olacak şekildeaa λλ xx fuzzy soft noktasının ve gg AA fuzzy soft kapalı kümesinin sırasıyla ss AA,tt AA Q-fuzzy soft komşulukları varsa (ff AA, ττ ff ) uzayına fuzzy soft quasi regüler uzay denir Örnek.UU = {xx, yy}, EE = {ee 1, ee 2, ee 3 }, AA = {ee 1, ee 2 }olsun. ff 1AA = ee 1 = {xx 0.6, yy 0.7 }, ee 2 = {xx 0.6, yy 0.8 },

54 45 ff 2AA = ee 1 = {yy 0.9 }, ee 2 = {yy 0.8 }, ff 3AA = ee 1 = {xx 0.8 }, ee 2 = {xx 0.8 }, ff 4AA = ee 1 = {xx 0.9, yy 0.9 }, ee 2 = {xx 0.8, yy 0.8 }, ff 5AA = ee 1 = {xx 0.6, yy 0.9 }, ee 2 = {xx 0.6, yy 0.8 }, ff 6AA = ee 1 = {yy 0.7 }, ee 2 = {yy 0.8 }, ff 7AA = ee 1 = {xx 0.8, yy 0.7 }, ee 2 = {xx 0.8, yy 0.8 }, ff 8AA = ee 1 = {xx 0.6 }, ee 2 = {xx 0.6 }, ff 9AA = ee 1 = {xx 0.8, yy 0.9 }, ee 2 = {xx 0.8, yy 0.8 }, ff 10AA = ee 1 = {xx 1, yy 0.9 }, ee 2 = {xx 1, yy 0.8 }, ff 11AA = ee 1 = {xx 0.9, yy 0.1 }, ee 2 = {xx 0.8, yy 1 } olmak üzere ττ ff = {0 ~ UU, 1 ~ EE UU, ff EE 1AA, ff 2AA, ff 3AA, ff 4AA, ff 5AA, ff 6AA, ff 7AA, ff 8AA, ff 9AA, ff 10AA, ff 11AA } fuzzy soft topolojidir ve (1 ~ UU, ττ EE ff ) uzayı fuzzy soft quasi regüler uzaydır Tanım.(ff AA, ττ ff ) hem fuzzy soft quasi regüler hemde fuzzy soft quasi T 1 - uzayı ise (ff AA, ττ ff ) uzayına fuzzy soft quasitt 33 dddddddddd Uyarı.Fuzzy soft quasi regüler olma özelliği aşağıdaki örnekte de görülebileceği gibi kalıtımsal bir özellik değildir Örnek Örneği göz önüne alalım. (1 ~ UU, ττ EE ff ) uzayı fuzzy soft quasi regüler olmasına rağmenvv = {xx} olmak üzere (1 EE ~VV, ττ ffvv ) alt uzayı fuzzy soft quasi 0.3 cc regüler değildir. Çünkü AA xx fuzzy soft noktası veff 10AA fuzzy soft kapalı kümesi için ss AA qqtt AA cc olacak şekilde sırasıyla ss AA, tt AA Q-fuzzy soft komşulukları yoktur Tanım. ff AA, ττ ff bir fuzzy soft topolojik uzay, gg AA veh AA, gg AA qq h AA cc olacak şekilde iki fuzzy soft kapalı küme olsun. gg AA veh AA fuzzy soft kümelerinin, ss AA qqtt AA cc olacak şekilde sırasıyla ss AA ve tt AA Q-fuzzy soft komşulukları varsa ff AA, ττ ff uzayınafuzzy softquasi normal uzaydenir Örnek.UU = {xx, yy}, EE = {ee 1, ee 2, ee 3 }, AA = {ee 1, ee 2 }olsun. ff 1AA = ee 1 = {xx 0.3, yy 0.5 }, ee 2 = {xx 0.5, yy 0.4 }, ff 2AA = ee 1 = {xx 0.6, yy 0.4 }, ee 2 = {xx 0.2, yy 0.7 }, ff 3AA = ee 1 = {xx 0.6, yy 0.5 }, ee 2 = {xx 0.5, yy 0.7 },

55 46 ff 4AA = ee 1 = {xx 0.3, yy 0.4 }, ee 2 = {xx 0.2, yy 0.4 }, ff 5AA = ee 1 = {xx 0.9, yy 0.9 }, ee 2 = {xx 0.8, yy 0.8 }, ff 6AA = ee 1 = {xx 1, yy 0.4 }, ee 2 = {xx 1, yy 0.5 } fuzzy soft kümeleri ile kurulanττ ff = {0 ~ UU, 1 ~ EE UU, ff EE 1AA, ff 2AA, ff 3AA, ff 4AA, ff 5AA, ff 6AA } bir fuzzy soft topolojidirve (1 ~ UU, ττ EE ff ) uzayı bir fuzzy soft quasi normal uzaydır Tanım.(ff AA, ττ ff ) hem fuzzy soft quasi normal hem de fuzzy soft quasi T 1 - uzayı isefuzzy soft quasitt 44 -uzay olarak adlandırılır Uyarı. Fuzzy soft quasi normal olma özelliği aşağıdaki örnekte de gösterildiği gibi kalıtımsal bir özellik değildir Örnek Örneği göz önüne alalım. (1 ~ UU, ττ EE ff ) bir fuzzy soft quasi normal uzay olmasına rağmen VV = {xx} olmak üzere (1 EE VV, ττ ffvv ) alt uzayı fuzzy soft quasi cc cc normal değildir. Çünkü ff 1AA ve ff 5AA (öyle ki ff cc 1AA qff 5AA ) fuzzy soft kapalı kümelerinin ss AA cc qtt AA olacak şekilde sırasıyla ss AA ve tt AA Q-fuzzy soft komşulukları yoktur.

56 47 4. SOFT KÜMELERİN PROSTAT KANSERİ TEŞHİSİNDE BİR UYGULAMASI Endüstriyel ülkelerde prostat kanseri erkeklerde ölüme neden olan en yaygın ikinci kanser tipidir. Prostat kanserinin nedenleri arasında yyyyş, eeeeeeeeee ggggçmmmmş,kkkkkkkkkkkkkk pppppppppppppp ssssssssssssssss aaaaaaaaaaaaaa (PPPPPP) ssssssssssssssss, aaiiiiiiiiiiiihaaaaaaaaaaığaaaaaaaaaaınnnnığıgibi farklı faktörler vardır. Kandaki PSA seviyesi hastalığın teşhisi için kullanılan önemli yöntemlerden biridir (Catolana ve ark. (1998), Egawa ve ark. (1997), Van Cagh ve ark. (1996)). Ne varki, kandaki PSA seviyesi prostatın iltihaplanması ve prostatta iyi huylu büyümenin(bph) sonucu olarak ta artabilir. Bu yüzden kandaki PSA seviyesine bakarak kesin teşhis koymak mümkün olmayabilir. Bunun yanı sıra rektal muayene ve transrektal bulgular da doktora hastalığın teşhisi açısından bilgi verir (Nguyen ve ark. (2001), Metlin ve ark. (1991), Şeker ve ark. (2003)). Prostat kanserinin kesin teşhisi ise ancak bbbbbbbbbbbbbb ile mümkündür. Ne var ki, bbbbbbbbbbbbbb işleminin bazı zorlukları vardır, hastada bazı zaralara neden olabilir ve maliyeti yüksektir. Bu yüzden hastalara biyopsi işlemini uygulamak önemli bir karadır ve düşük risk altındaki hastalara uygulamaktan kaçınılmalıdır. Biyopsinin gerekli olup olmadığına karar vermek için pek çok yöntem geliştirilmiştir. Bunlardan birisi hastaların PSA, prostat hacmi (PV) ve yaş verilerini kullanarak oluşturulmuş kural tabanlı ffffffffff uuuuuuuuuu ssssssssssssss (FES) dir ve bu sistem uzman doktora bbbbbbbbbbbbbb yapıp yapmaması hakkında fikir vermeyi amaçlar (Sarıtaş ve ark. (2003)). Benecchi (2006) hastaların kandaki total prostat spesifik antijen, free prostat spesifik antijen seviyeleri ve yaş faktörlerini kullanarak bir nnnnnnnnnn- ffffffffff ssssssssssss geliştirdi ve kandaki total prostat spesifik antijen seviyesinin prostat kanserini teşhis etmede ne ölçüde etkili olduğunu göstermeyi amaçladı. Keleş ve ark.(2007), prostat kanseri ve prostattaki iyi huylu büyümeyi ayırt etmek için bir nnnnnnnnnn-ffffffffyy ssınnıffffffffffırrrrrr ssssssssssssss tasarladılar. Bu iki hastalığın belirtileri çok benzer olduğundan birbirinden ayırt etmek son derece önemlidir. Sarıtaş ve ark. (2010), hastanın total prostat spesifik antijen, free prostat spesifik antijenve yaş verilerini kullanarak kanserin teşhisine yardımcı olmayı amaçlayan yyyyyyyyyy ssssssssss aağı tasarladılar. Bu bölümde bizim amacımız PSA, PV ve yaş faktörlerini kullanarak kanser yüzdesini hesaplayan soft küme tabanlı bir tahmin sistemi tasarlamaktır. Tasarladığımız sistem kural tabanlıdır. Amacımız uzman doktora biyopsinin gerekli olup olmadığı konusunda yardımcı olmaktır.

57 Soft Uzman Sistemleri Tasarladığımız sistemde kullandığımız veriler Necmettin Erbakan Üniversitesi, Meram Tıp Fakültesi, Üroloji bölümünden alınmıştır. Veri kümesi 78 hastanın PSA, PV ve yaş değerlerinden oluşmaktadır (Bkz. Tablo 4.1.). Tasarladığımız sistemdegiriş değerleri olarak PSA, PV ve yaş kullanılarak çıkış değeri olarak prostat kanser riskinin yüzdesi elde edilmiştir. Soft uzman sistemini tasarlarken kullandığımız yöntemin adımları Şekil.4.1.de gösterilmiştir. U=Hastalar PSA PV Yaş u u u u u 46 4, u u u 68 20, u 72 8, u Tablo.4.1. Bazı hastaların giriş değerleri Şekil.4.1. Soft uzman sistemi için adımlar 1. Adım: Veri Kümesini Bulanıklaştırma Veri kümesindeki değerler ssssssssssümmmmolarak gösterime uygun olmadığından değerler için öncelikle bulanıklaştırma işlemini yaptık. Değerleri bulanıklaştırırken

58 49 PSA için çok yüksek (ÇY), yüksek (Y), orta (O), düşük (D) ve çok düşük (ÇD) değişkenleri, PV için çok küçük (ÇK), küçük (K), orta (O), büyük (B) ve çok büyük (ÇB) değişkenleri, Yaş için ise genç (G), orta yaş (OY), ve yaşlı (Y) değişkenleri kullanılmıştır. Veri kümesindeki değerlerin bulanıklaştırma işlemi yapılırken(1), (2) ve (3) üyelik fonksiyonlarını kullandık. Bu fonksiyonlar uzman doktor ve literatür yardımıyla belirlenmiştir: PPPPPP(aa) = μμ aa; 0 aa < 100, 1; 100 aa PPPP(bb) = μμ bb; 30 < bb < 120 1; bb 120 0; cc 20, YYYYş(cc) = μμ cc ; 20 < cc < 65, 1; cc 65 (1) (2) (3) (1), (2) ve (3) formüllerinden giriş değerlerinin üyelik fonksiyonları Şekil.4.2.,Şekil.4.3.,Şekil.4.4., te verilmiştir: Şekil.4.2. PSA için üyelik fonksiyonu Şekil.4.3. PV için üyelik fonksiyonu

59 50 Şekil.4.4. Yaş için üyelik fonksiyonu Tüm hastaların giriş değerlerini yukarıdaki üyelik fonksiyonları yardımıyla bulanıklaştırdık. Bazı hastaların üyelik fonksiyonları Tablo 4.2. de gösterilmiştir. U=Hastalar PSA PV Yaş u 3 1 ÇY 0.53 K, 0.47 O 0.47 O, 0.53 Y u ÇD, 0.8 D 0.77 K, 0.23 O 1 Y u D, 0.52 O 0.8 K, 0.2 O 1 Y u ÇD, 0.72 D 0.4 K, 0.6 O 0.33 O, 0.67 Y u ÇD, 0.16 D 1 O 0.13 O, 0.87 Y u ÇD, 0.4 D 0.93 O, 0.07 B 1 Y u D, 0.59 O 0.6 O, 0.4 B 1 Y u ÇD, 0.82 D 0.4 O, 0.6 B 1 Y u ÇD, 0.34 D 0.27 O, 0.73 B 0.33 O, 0.67 Y u D, 0.64 O 0.37 O, 0.63 B 1 Y Tablo.4.2. Bazı hastaların giriş değerleri 2. Adım. Fuzzy Kümeleri Soft Kümelere Dönüştürme Teorem gereği her fuzzy küme bir soft küme olarak ifade edilebilir. Öncelikle üyelik fonksiyonlarını kullanarak parametre kümesini seçelim. Parametre kümesinin seçiminin belli bir kuralı yoktur. Biz parametre kümelerini belirlerken hastaların o verideki en düşük ve en yüksek üyelik değerlerini göz önüne alarak bu değerler arasından seçtik. Böylece parametre kümesi için nümerik değerler elde ettik. Fuzzy kümelerden elde ettiğimiz soft kümelerin bazıları aşağıdaki gibidir: UU = {uu 1, uu 2, uu 3,, uu 77, uu 78 }, EE = {0, 0.25, 0.5, 0.75, 1},

60 51 (FF OO PPPPPP, EE) = {0 = {uu 4, uu 5, uu 6, uu 11, uu 13, uu 15, uu 20, uu 22, uu 23, uu 25, uu 30, uu 32, uu 34, uu 38, uu 41 uu 42, uu 43, uu 44, uu 53, uu 60, uu 64, uu 73, uu 75 },0.25 = {uu 4, uu 6, uu 11, uu 13, uu 15, uu 20, uu 22, uu 23, uu 25, uu 34, uu 38, uu 41, uu 43, uu 44, uu 60, uu 64, uu 75 }, 0.5 = {uu 4, uu 11, uu 13, uu 15, uu 20, uu 22, uu 23, uu 25, uu 38, uu 41, uu 44, uu 60, uu 64, uu 75 }, 0.75 = {uu 13, uu 20, uu 23, uu 38, uu 41 }, 1 = {uu 20, uu 38 }}. UU = {uu 1, uu 2, uu 3,, uu 77, uu 78 }, EE = {0, 0.185, 0.37, 0.555, 0.74}, (FF BB PPPP, EE) = {0 = {uu 11, uu 17, uu 35, uu 36, uu 45, uu 46, uu 49, uu 53, uu 55, uu 60, uu 65, uu 68, uu 72, uu 73, uu 75 }, = {uu 11, uu 17, uu 36, uu 45, uu 60, uu 68, uu 72, uu 73, uu 75 }, 0.37 = {uu 36, uu 45, uu 60, uu 68, uu 72, uu 73, uu 75 },0.555 = {uu 45, uu 68, uu 72, uu 75 }, 0.74 = }. UU = {uu 1, uu 2, uu 3,, uu 77, uu 78 }, EE = {0.06, 0.31, 0.56, 0.81,0.94}, FF OO YYYYŞ, EE = {0 = {uu 3, uu 8, uu 9, uu 22, uu 32, uu 33, uu 35, uu 42, uu 43, uu 44, uu 46, uu 48, uu 49, uu 52, uu 56, uu 58, uu 63, uu 66, uu 67, uu 69, uu 70, uu 72, uu 74, uu 76, uu 78 }, 0.31 = {uu 3, uu 22, uu 33, uu 35, uu 42, uu 43, uu 44, uu 48, uu 52, uu 58, uu 63, uu 66, uu 69, uu 70, uu 72, uu 74, uu 76, uu 78 }, 0.56 = {uu 43, uu 48, uu 52, uu 58, uu 63, uu 70, uu 74, uu 78 },0.81 = {uu 48, uu 52, uu 70 }, 0.94 = }. 3. Adım. Soft Kümelerin Parametre Azaltma UU = {h 1, h 2,, h nn } nesneler kümesi EE = {ee 1, ee 2,, ee mm }parametre kümesi olmak üzere (FF, EE) soft kümesi tablosal gösterimiyle verilmiş olsun (Bkz. Tablo ) ve h iijj sembolü (FF, EE) soft kümesinin tablodaki girdilerini göstersin Tanım (Ma ve ark, 2011).(FF, EE)soft kümesi için SS ee jj = ii h iijj yönlüparametre toplamı olarak adlandırılır Tanım (Ma ve ark, 2011).(FF, EE)soft kümesi için AA EE olmak üzere SS AA = jj SS ee jj AA parametre kümesinintüm toplamı olarak adlandırılır Tanım (Ma ve ark, 2011).(FF, EE)soft kümesi ve ee jj EE için eğer iseee jj parametresi ee jj 1 olarak gösterilir. h 1jj = h 2jj = = h nnjj = Tanım (Ma ve ark, 2011).(FF, EE)soft kümesi ve ee jj EE için eğer h 1jj = h 2jj = = h nnjj = 0

61 52 iseee jj parametresi ee jj 0 olarak gösterilir Sonuç.Ma ve arkadaşları (2011), soft kümelerde parametre azaltma yapmak için aşağıdaki algoritmayı verdiler: ii) (FF, EE)soft kümesini ve EE parametre kümesini gir, 1 iiii) Eğer ee jj ve ee 0 jj varsa bu parametrelericc ile gösterilen indirgenmiş parametre kümesine koy ve UU = {h 1, h 2,, h nn }, EE = {ee 1, ee 2,, ee mm } olmak üzere parametre 1 kümesinde ee jj ve ee 0 jj olmadan yeni (FF, EE ) soft kümesini oluştur, iiiiii) (FF, EE )soft küme olmak üzerejj = 1, 2,, tt içinee jj parametresi için TanımdanSS(ee jj ) yönlü-parametre toplamını hesapla, iiii) Tanımdan AA parametre kümesinin tüm toplamını olan SS AA kümesini bul, SS AA tüm toplam kümesi UU kardinalitisinin katı olacak şekilde AA EE alt kümesini bul ve AA aday indirgenmiş parametre kümesinin içine koy, vv) Her aday indirgenmiş parametre kümesi AA için ff AA (h 1 ) = ff AA (h 2 ) = = ff AA (h nn ) durumunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol et, eğer bu durum sağlanıyorsa AA kümesiaday indirgenmiş parametre kümesi olarak kalsın, aksi durumdaaa kümesini aday indirgenmiş parametre kümesi olmaktan çıkar, vvvv) Aday indirgenmiş parametre kümesinde mmmmmmmmmmmmmmmm kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk sahip olan AA kümesini bul, EE (AA CC) kümesioptimal normal parametre indirgeme kümesidir Uyarı. İkinci adımda her fuzzy kümeye karşılık gelen soft kümeyi elde ettik. Üçüncü adımda ise Ma ve ark. (2011),tarafından verilen soft kümelerde parametre azaltma işleminin yöntemini verdik. Böylece yeni parametre kümeleri ve yeni soft kümeler elde ettik. Bu soft kümelerden bazıları aşağıdaki gibidir: UU = {uu 1, uu 2,, uu 78 }, EE = {0.25,0.5,0.75,1}(FF OO PPPPPP, EE) = {0.25 = {uu 4, uu 6, uu 11, uu 13, uu 15, uu 20, uu 22, uu 23, uu 25, uu 34, uu 38, uu 41, uu 43, uu 44, uu 60, uu 64, uu 75 },0.5 = {uu 4, uu 11, uu 13, uu 15, uu 20, uu 22, uu 23, uu 25, uu 38, uu 41, uu 44, uu 60, uu 64, uu 75 }, 0.75 = {uu 13, uu 20, uu 23, uu 38, uu 41 }, 1 = {uu 20, uu 38 }}. UU = {uu 1, uu 2, uu 3,, uu 77, uu 78 }, EE = {0.185, 0.37, 0.555}, (FF BB PPPP, EE) = {0.185 = {uu 11, uu 17, uu 36, uu 45, uu 60, uu 68, uu 72, uu 73, uu 75 },0.37 = {uu 36, uu 45, uu 60,

62 53 uu 68, uu 72, uu 73, uu 75 }, = {uu 45, uu 68, uu 72, uu 75 }}. UU = {uu 1, uu 2, uu 3,, uu 77, uu 78 }, EE = {0.31, 0.56, 0.81}, FF OO YYYYŞ, EE = {0.31 = {uu 3, uu 22, uu 33, uu 35, uu 42, uu 43, uu 44, uu 48, uu 52, uu 58, uu 63, uu 66, uu 69, uu 70, uu 72, uu 74, uu 76, uu 78 },0.56 = {uu 43, uu 48, uu 52, uu 58, uu 63, uu 70, uu 74, uu 78 }, 0.81 = {uu 48, uu 52, uu 70 }. 4. Adım. Soft Kuralları Elde Etme Bu adımda üçüncü adımda elde edilensoft kümelerle "VVVV" işleminden yararlanarak kurallar elde ettik ve hangi hastanın hangi kurala uyduğunu tespit ettik. Elde ettiğimiz bazı kurallar aşağıdaki gibidir: FF ÇDD PPPPPP (0.35) FF OO PPPP (0.25) FF YY YYYYş (0.59) = {uu 7, uu 10, uu 14, uu 16, uu 27, uu 31, uu 33, uu 39, uu 46, uu 49, uu 50, uu 51, uu 54, uu 55, uu 56, uu 57, uu 61, uu 62, uu 63, uu 65, uu 67, uu 71, uu 72 } FF DD PPPPPP (0.2875) FF KK PPPP (0.275) FF OO YYYYş (0.31) = {uu 22, uu 33, uu 42, uu 43, uu 44, uu 48, uu 52, uu 58, uu 63, uu 70, uu 74, uu 78 } FF OO PPPPAA (0.25) FF OO PPPP (0.25) FF YY YYYYş (0.325) = {uu 6, uu 11, uu 15, uu 20, uu 34, uu 41, uu 44, uu 60, uu 75 }. FF OO PPPPPP (0.25) FF OO PPPP (0.5) FF YY YYYYş (0.325) = {uu 6, uu 11, uu 15, uu 34, uu 41, uu 44, uu 60 }. FF YY PPPPPP (0.2225) FF SS PPPP (0.785) FF YY YYYYş (0.59) = {uu 8 }. FF YY PPPPPP (0.2225) FF SS PPPP (0.53) FF YY YYYYş (0.325) = {uu 5, uu 8 }. FF ÇYY PPPPPP (0.6875) FF SS PPPP (0.785) FF YY YYYYş (0.59) = {uu 8 }. FF ÇYY PPPPPP (1) FF SS PPPP (0.275) FF YY YYYYş (0.59) = {uu 5, uu 8, uu 34 }. Bu şekilde 400 kural elde ettik. Bu kurallardan aynı çıktıyı (aynı hasta) verenleri eledik ve böylece 285 kurala indirgedik. 5. Adım. Soft KurallarınAnalizi Bu adımda soft kuralları analiz ettik ve prostat kanseri yüzdesini hesapladık. Dördüncü adımda her kurala karşılık gelen hasta kümesini elde etmiştik. Bu adımda elde ettiğimiz bu kümeleri göz önüne alarak her kurala karşılık gelen kümedeki hastaların kaç tanesinin prostat kanseri olduğunu gözlemledik ve her bir kümedeki prostat kanseri olan hasta sayısını tüm hasta sayısına böldük. Böylece her kural için prostat kanser riskini elde ettik. Eğer bir hastanın verileri birden fazla kurala ve böylece

63 54 birden fazla yüzdeye uygunsa o zaman en yüksek yüzdeyi hastanın prostat kanseri olma riski yüzdesi olarak kabul ettik. Aşağıda kurallara karşılık gelen yüzdelerin bazıları verilmiştir: Kural 1. FF ÇDD PPPPPP (0.35) FF OO PPPP (0.25) FF YY YYYYş (0.59) = {uu 7, uu 10, uu 14, uu 16, uu 27, uu 31, uu 33, uu 39, uu 46, uu 49, uu 50, uu 51, uu 54, uu 55, uu 56, uu 57, uu 61, uu 62, uu 63, uu 65, uu 67, uu 71, uu 72 } Kural 1 e uyan 23 hasta var ve bu hastaların 8 tanesinin prostat kanseri olduğunu biliyoruz. Böylece Kural 1 in risk yüzdesi (8 23) 100 = dir. PSA, PV ve yaş verileri Kural 1 e uyan hastaların kanser olma riskinin %34.78 olduğunu söyleyebiliriz. Aşağıda bazı kuralların risk yüzdesi verilmiştir: Kural 1: Bir hasta FF ÇDD PPPPPP (0.35) ve FF OO PPPP (0.25) ve FF YY YYYYş (0.59) verilerine sahipse kanser olma riski % 34 tür. Kural 2: Bir hasta FF DD PPPPPP (0.2875) ve FF KK PPPP (0.275) ve FF OO YYYYş (0.31) verilerine sahipse kanser olma riski % 34 tür. Kural 3: Bir hasta FF OO PPPPPP (0.25) ve FF OO PPPP (0.25) ve FF YY YYYYş (0.325) verilerine sahipse kanser olma riski % 74 tür. Kural 4: Bir hasta FF OO PPPPPP (0.25) ve FF OO PPPP (0.5) ve FF YY YYYYş (0.325) verilerine sahipse kanser olma riski % 83 tür. Kural 5: Bir hasta FF YY PPPPPP (0.2225) ve FF KK PPPP (0.785) ve FF YY YYYYş (0.59) verilerine sahipse kanser olma riski % 100 dür. Kural 6: Bir hasta FF YY PPPPPP (0.2225) ve FF KK PPPP (0.53) ve FF YY YYYYş (0.325) verilerine sahipse kanser olma riski % 100 dür. Kural 7: Bir hasta FF ÇYY PPPPPP (0.6875) ve FF KK PPPP (0.785) ve FF YY YYYYş (0.59) verilerine sahipse kanser olma riski % 100 dür. Kural 8: Bir hasta FF ÇYY PPPPPP (1) ve FF KK PPPP (0.275) ve FF YY YYYYş (0.59) verilerine sahipse kanser olma riski % 100 dür. Sonuç olarak PSA, PV ve yaş verilerini girerek kanser olma riskini hesaplayan soft uzman sistemini yazarız. Soft uzman sistemin tüm adımlarını tasarlarken Microsoft Visual Studio 2008

64 55 ve C + programlama dili kullanılmıştır. Şekil 4.5 te hesaplama sonuçlarından iki tanesi verilmiştir. Şekil Sonuç Bu bölümde, soft kümeleri kullanarak soft uzman sistemi elde edilmiştir ve bu sistem yardımıyla soft kümeler tıpta teşhis yapmak için kullanılmıştır. Bu bağlamda, çalışma soft kümelerin tıpta kullanımını içeren ilk çalışmalardan biri olma niteliğini taşımaktadır.sistem tasarlanırken; Birinci adımda fuzzy üyelik fonksiyonları kullanılarak girdiler bulanıklaştırılmıştır. İkinci adımda veri kümeleri soft kümeler şeklinde ifade edilmiştir. Girdikümeleri olan PSA, PV ve yaş faktörleri, gösterilendilsel ifadelerle sınıflandırılmış ve parametre kümeleri en düşük ve en yüksek üyelik dereceleri göz önüne alınarak seçilmiştir. Üçüncüadımda Ma ve ark. (2011) tarafından verilen soft kümelerde parametre azaltma işlemi uygulanarak indirgenmiş yeni parametre kümeleri ve dolayısıyla yeni soft kümeler elde edilmiştir. Dördüncüadımda kural çıkarımı yapılmıştır. Beşinci adımda tüm bu kurallara göre kanser olma riski hesaplanmıştır. Tasarlanan ssssssss uuuuuuuuuu sssssssssssssssayesindeprostat şikâyetiyle gelen hastanın PSA, PV ve yaş verileri yardımıyla prostat kanseri olma riskinin yüzdesi elde edilmiştir. Elde edilen bu bilgiler ışığında uzman doktor, prostat şikâyetiyle gelen herhangi bir hastanın kanser olma riskini hesaplayarak, biyopsi işlemine ilişkin karar verebilir ve dolayısıylayapılması gerekli olmayan biyopsi işlemlerinin önüne geçilmiş olur.