7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER:

Transkript

1 7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: Bilindiği üzere, matematikte ortaya konan her yeni kavram, kendinden önceki tanımlanmış kavramlar cinsinden, herhangi bir tereddüt veya muğlâklığa mahal bırakmayacak resmî bir şekilde açık ve net olarak tanımlanır. Bu gayet güzel bir kuraldır. Fakat bu kurala göre matematiğin başlangıcı neresidir? Yani en birinci kavramı nasıl tanımlanır? Bu sorunun cevabı maalesef mükemmellik arayıcılarını üzücü niteliktedir ve insanın acziyetini ortaya koymaktadır. Sonsuz olarak geriye gitmek mümkün olmadığından, son derece tanımlı ve dikkatli bir şekilde bina edilen matematiğin temel taşı, yani başlangıç kavramı, tanımsız olmak zorundadır. (İlk annenin, annesiz olması gerektiği gibi.) Modern matematikte bu başlangıç, "Küme" kavramıdır. Küme kavramı başlangıç olunca, onun ne olduğunu belirtirken matematiğin resmîyetinden yararlanılamaz, sezgi den destek alınır. Küme Küme kavramı, farklı öğeleri birlikte ele almaya yarar. Kümeler bağlamında, ilgilenilen öğelere göre kabul edilen bir evren vardır. İlgi konusu öğeler nelerse, onların hepsinden oluşan kümeye Evrensel küme «Universal set» veya Evren «Universe» (E) denir. K: k 1 k 2 Örneğin doğal sayılardan bahsediyorsak, E bütün doğal sayılardan oluşan kümedir; 10-tabanı rakamlarından bahsediyorsak, E bütün 10-tabanı rakamlarından oluşan kümedir; şekilciklerden bahsediyorsak da, E bütün şekilciklerden oluşan kümedir. Verilen bu örneklerde görüldüğü üzere E, sonsuz da olabilir, sonlu da olabilir. Niceleyiciler: İki temel niceleyici vardır. Bunlarla, bir Söz Konusu Evren e dair önerişler oluşturulur. Bazen söz konusu evrenin ne olduğunun, bağlamdan anlaşılacağı beklenir. Varsal niceleyici: : Vardır «there exists» x E, veya kısaca x: Vardır x öyle ki, şeklinde okunur. Evrensel niceleyici (Tümel niceleyici): : Hepsi «All» x E, veya kısaca x: Her x için, şeklinde okunur. Bir K kümesinin tümleyeni, K : Evrendeki öğelerin, bütün K -nın dışında kalanlarından oluşan kümedir (taralı alan). E: K K Boş küme: = {}. ( = E ve E = ) Küme Gösterimi: (1) Açık Gösterim: K= {k 1, k 2, } şeklindedir. Bu tarzda bir gösterim, sonlu kümeler ile öğeleri bazı serilere uyan ve serinin niteliği ilk birkaç öğesinden anlaşılan kümeler için kullanılabilir. Ör. K 1 = {3, 5, 7, 9}, K 2 = {3, 6, 9,...} D. Çalıkoğlu 7-1

2 (2) Özelliğe Dayalı Gösterim: Ö(x), x -e bağlı bir açık öneriş olsun, K = { x Ö(x) } şeklindedir. { Tipik Öğe { Öğe özelliklerinin önerişle belirtimi Buna göre, evrendeki hangi x için Ö(x) geçerli ise o, K -nın bir öğesidir. Yani K -nın öğeleri, Ö(x) Açık öneriş ini doğru kılan, evrendeki bütün x -lerdir. Herhangi bir x K, E&A Ö(x) ise Ör. K 3 = {x x bir tamsayı; 2<x<10; bir z tamsayısı için x= 2z+1}. Bu tanımda ; şekilciği ve görevini görmektedir. Yani burada Ö(x)= (x bir tamsayı) ve (2<x<10) ve (bir z tamsayısı için x= 2z+1) olmaktadır. Genelde, Ö(x) -in sağlanması demek, x K olması için x -in gerekli ve yeterli özellikte olması demektir. Bu örnek için Ö(x) -i doğru kılan x değerleri, 3, 5, 7 ve 9 -dur. Böylece, K 3 = K 1 çıkmaktadır. Herhangi iki küme K 1 ve K 2 için K 1 K 2 (K 1 altkümesi K 2 ) olur, şayet x(x K 1 x K 2 ) geçerliyse. Buna göre K 1 = K 2 olduğunda da K 1 K 2 -dir.) K 1 K 2 (K 1 öz-altkümesi K 2 ) olur, şayet K 1 K 2 fakat K 1 K 2 ise. K 1 K 2 (K 1 üstkümesi K 2 ) olur, şayet K 2 K 1 ise. Küme işlemleri: K 1 K 2 (Bileşim); K 1 K 2 (Kesişim); K 1 - K 2 = K 1 K 2 (Küme farkı) Eğer K 1 K 2 ise K 1 - K 2 = olur. Eğer K 1 - K 2 = ise K 1 K 2 olur. (K 1 = K 2 olması şart değil.) Demek ki K 1 - K 2 =, E&A K 1 K 2 ise. Eğer K 1 - K 2 ise K 1 K 2 demektir. Fakat K 1 K 2 ise K 1 - K 2 olmayabilir. K 1 K 2 için gerekli ve yeterli şart: (K 1 - K 2 ) (K 2 - K 1 ). K 1 = K 2 E&A (K 1 - K 2 ) (K 2 - K 1 ) = ise. == Kümelerin nicelikleri (büyüklükleri, çoklukları): Gösterim: Genel olarak, herhangi bir x için bir nicelik söz konusu olduğunda, o nicelik x şeklinde ifade edilir. x -in cinsine göre, x -in anlamı farklılık gösterse de ana fikir aynıdır. Sayılarda x : x -in işaret dikkate alınmayan, mutlak büyüklüğü. Dizgilerde x : x -in uzunluğu. Meselâ, abba şeklindeki bir şekilcik dizgisi için, abba = 4. Kümelerde x : x -in büyüklüğü, niceliği, (öğelerinin) çokluğu, öğelerinin ne kadar olduğu. Sonlu kümeler için bu, öğe sayısıdır. Sonlu olmayan bir kümenin niceliği ise sonsuz olarak nitelenir-sıfatlandırılır. Bir adet öğesi olan bir kümeye birli «singleton» denir. O bir öğe x ise, o kümeye x-birlisi denir. Örneğin 0-birlisi, {0} kümesi demektir. { }: Boş küme değil, boş küme birlisidir. Örnekler: A= {a 1 } ve B= {b 1, b 2, b 3 } olsun. A = 2, B = D. Çalıkoğlu 7-2

3 = 0, { }={{}} {{ }}={{{}}}, { } = {{ }} = 1. Kuvvet kümesi: Bir A kümesinin kuvvet kümesi 2 A şeklinde gösterilir ve onun bütün altkümelerinden oluşur. 2 A = {α α A} (Standart küme gösterimi) Örnek: = {a 1 } için 2 = {{}, {a 1 }, { a 2 }, { a 1 }}= {, {a 1 }, { a 2 }, } A 2 = {1, 2, 3} için 2 A 2 = {,{1},{2},{3},{1,2},{2,3}{1,3}, {1, 2, 3}} Dikkat: {a 1 } 2, {{a 1 }} 2, 2 = { }, 2 { } = {, { }} Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her kuvvet kümesinin de öğesidir. Genelde cinslere Dikkat Alıştırım: 2 {, { }} =? Küme Kavramının Tanımsızlığının Bir Sonucu: Başlangıç kavramı olan küme nin tanımsızlığından doğan bir kargaşa ve sonucu ilgi çekicidir. Modern matematiğin yaygınlaşması ve küme kavramının yoğun bir şekilde kullanılmaya başlanmasıyla bazı matematikçiler, öğeleri küme olan kümeler, yani kümeler kümesi tarzında ifadeler kullanmaya başlamışlardır. Bunun üzerine ünlü düşünür Bertrand Russel aşağıdaki ikilemi ortaya koymuştur: Öğeleri kümelerden oluşan kümeler olduğuna göre, bir kümenin öğelerinden birisi neden kendisi olmasın? Ör. Soyut kavramlar kümesi. Bu bir soyut kavram olduğu için, soyut kavramlar kümesinin, yani kendisinin bir öğesidir. Diğer tarafta boş küme gibi, kendi kendisinin öğesi olmayan kümeler de vardır. Dolayısıyla şöyle bir küme tanımlanabilir: A= {α α α}. Yani A, kendi kendisinin öğesi olmayan kümeler kümesi. (A -nın tanımında α -nın bir küme olduğu işareti kullanımından anlaşılmaktadır.) Hal böyle olunca, acaba A kendi kendisinin öğesi midir, değil midir? 1. Farz edelim A A. O takdirde A -nın tanımına göre A A demektir. 2. Farz edelim A A. O takdirde A -nın tanımına göre A A demektir. Yani durum her hal-u kârda çelişki taşımaktadır. Bu çelişkinin ortadan kalkması için, herhangi bir kayda tabi olmaksızın kümeler kümesi veya küme kümeleri tarzı ifadelerin kullanılmasının doğru olmadığı sonucuna varılmıştır. Halen altkümeler kümesi tarzında ifadeler kullanılabildiği gibi, kümeleri kümeler-üstü bir seviyede kümelemek amacıyla küme sınıfları tarzında ifadeler kullanılabilmektedir ve buna göre henüz yeni bir ikilem ortaya çıkmamıştır D. Çalıkoğlu 7-3

4 Sonlu-Sonsuz: Sonsuz kavramı genelde karıştırıldığı için üzerinde durmakta yarar vardır. Öncelikle dikkat etmek gerekir ki, sonsuz isim olarak tanımlı değildir, sıfat olarak tanımlıdır, sonlu değil veya sonu yok anlamına gelmektedir. Yani, kendisine sonsuz denen bir şey yoktur; nasıl ki, sonlu denen bir şey de yoktur. Sonluya eşit, sonluya gitmek, eksi sonludan artı sonluya kadar gibi sözlerde bariz olan anlamsızlık ve hatanın aynısı, sonsuza eşit, sonsuza gitmek, veya eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar gibi sözlerde de vardır. Hâsılı, sonlu ve sonsuz sıfat olarak kullanılabilir, fakat isim olarak kullanılamaz, hata olur. Doğal sayıları tanımlamıştık. Öğeleri bütün doğal sayılardan oluşan kümeye, Doğal Sayıların Kümesi «The Set of Natural Numbers» (N) denir; bazen Doğal Sayılar Kümesi dendiğinde de bu kastedilir; fakat şayet Doğal Sayı Kümesi denirse, öğeleri doğal sayı cinsinden olan herhangi bir küme anlaşılır. Doğal sayılar kümesinin ilgi çeken özellikleri vardır. Bu kümenin tüm öğeleri sonludur. Hangisini alırsak alalım (sıfır hariç) bir doğal sayıya 1 ilave edilerek elde edilebilir ve kendisine 1 ilave edilmesiyle de başka bir doğal sayı çıkar. Bu sebeple her doğal sayının daha büyüğü vardır; fakat en büyük doğal sayı diye bir sayı yoktur. Bu kümenin içinde sonsuz olarak nitelenebilecek bir öğe de yoktur; çünki hiç bir doğal sayının bir fazlası böyle nitelenemez. Teorem: N -nin öğelerinin en büyüğü yoktur. İspat: Aksini varsayalım. z, doğal sayıların en büyüğü olsun. Fakat o halde z + 1 de bir doğal sayı olur. Bu durumda z + 1> z olur ki bu bir çelişkidir. Demek ki, doğal sayıların en büyüğü yoktur. İspat tamam! Bir iddianın ispatı için, onun aksi kabul edildiği takdirde çelişkiye düşüleceğinin gösterildiği yönteme, olmayana ergi denir. Doğal sayıların her biri sonlu olmasına rağmen, "en büyük doğal sayı" diye bir öğesi olmadığı için doğal sayılar kümesi sonlu bir küme değildir. Yani sonsuz bir kümedir. düşünüm düşünelim beyin esintisi, fırtınası değil de... bu ifadeler eşdeğer mi, birisi diğerinin yerini tutar mı? N -nin öğelerinin en büyüğü yoktur. N -nin öğelerinin en büyüğü bilinemez. N -nin öğelerinin en büyüğü bulunamaz. Hangisi daha kuvvetli, hangisi daha bilgilendirici? Hangisi daha doğru, doğru doğru değil mi de dahası var, doğruya doğru gri tonları mı var? Yoksa bilinemez. Bilinemezse yoktur. Bilinse bulunur. Bulunsa bilinir. Bu esinti nasıl devam ettirilebilir? Belki vardır da bilinemez. Belki bilinir fakat yoktur. Bulunur fakat bilinemez. Bilinir fakat bulunamaz İkisi de doğru, Birisi doğru ise hangisi Bilinemezse bulunamaz Bulunamazsa bilinemez D. Çalıkoğlu 7-4

5 Teorem: Sonlu bir A kümesi için, 2 A = 2 A olur. İspat (tümevarımla): Bir sonlu küme olarak A -yı alalım ve A üzerinden tümevarım yapalım. Yani tümevarımdaki indisimiz, A olsun. 1. adım: A = 0 olsun. Bu takdirde, A= ve 2 A ={ }, buradan da 2 A = 1 olur. Diğer tarafta ise, 2 A = 2 0 = 1 olur. Böylece 2 A = 2 A çıkar. 2. adım: Varsayalım, A = k 0 için tümevarım hipotezi olan 2 A = 2 A doğrudur. 3. adım: Gösterelim, A = k+1 için de 2 A = 2 A olur. Şimdi, k+1 öğeli bir küme olarak A -yı alalım ve A -dan, içindeki herhangi bir z öğesini ayırıp, kalanına diyelim. = A-{z}, = k olur; dolayısıyla, kümesi için tümevarım hipotezi varsayımı olan 2 A1 =2 A1 geçerlidir. A -nın altkümeleri arasında, içinde z olanlar da, olmayanlar da vardır. B 1 = {α α A; z α } yani, A -nın altkümelerinden, içinde z olmayanların kümesi olsun. B 2 = {α α A; z α } yani, A -nın altkümelerinden, içinde z olanların kümesi olsun. Bu durumda şu gözlemleri yapabiliriz: Gözlem-1: B 1 = 2 A1 (çünki, α A, z α ise α demektir), B 2 = 2 A - 2 A1 Gözlem-2: B 1 B 2 = yani bu ikisi ayrık (ortak öğesi olmayan) kümelerdir. Gözlem-3: B 1 B 2 = 2 A çünki, bu bileşim, A -nın bütün altkümelerinin kümesi olmaktadır. Gözlem-4: 2 A = B 1 + B 2 (Gözlem-1, Gözlem-2 ve Gözlem-3 -den) Gözlem-5: B 2 = { α {z} α 2 A1 } Gözlem-5 -i B 2 = { α {z} α B 1 } olarak da yazabiliriz. Yani bir m 1 için eğer B 1 = {α 1, α 2,, α m } ise, B 2 = {α 1 {z}, α 2 {z},, α m {z}} olur. Bu şekilde B 1 ile B 2 -nin öğelerinin birebir karşılıklı geldikleri görülmektedir. Buradan B 1 = B 2 çıkmaktadır. Öyleyse, 2 A = B 1 + B 2 = 2 B 1 = 2(2 A1 )= (2 A1 +1 )= 2 A İspat tamam! Çapraz Çarpım (Kartezyen Çarpım «Cartesian Product»):, A 2 : Kümeler olsun. Bu ikisinin çapraz çarpımı şöyledir... = {(a 1 ) a 1 A 2 } Burada (a 1 ) bir sıralı ikilidir. Yani, çapraz çarpımın öğeleri, birinci (soldaki) öğesi -in, ikinci (sağdaki) öğesi A 2 -nin öğesi olan sıralı ikililerdir. Sıralı ikililerde, E&A a b ise, (a, b) (b, a) olur, çünki sıra önemlidir. Örnek: A B a 1 b 1 A= {a 1 } İki küme: b 2 B= {b 1, b 2, b 3 } a 2 b 3 A B={(a 1, b 1 ), (a 1, b 2 ), (a 1, b 3 ), (a 2, b 1 ), (a 2, b 2 ), (a 2, b 3 )} A B = A B = 2 3 = D. Çalıkoğlu 7-5

6 Örnek: {1, 2, 3} {2, z}={(1, 2), (2, 2), (3, 2), (1, z), (2, z), (3, z)} Soru: A=, veya B= ise, A B ne olur. (Tanıma göre cevaplamak gerekir.) Teorem: Boş olmayan A, B kümeleri için, E&A A= B ise A B= B A olur. İspat: Eğer kısmı, yani A= B olduğunda A B= B A olacağı açıkça görülmektedir. Ancak kısmı, yani A= B olmadığında A B= B A olmayacağı: Boş olmayan A, B kümeleri için A B kabul edelim. Yani, (A-B) (B-A). x (A-B) (B-A) olsun. Eğer x (A-B) ise, bir y B için, (x, y) A B olur fakat (x, y) B A olmaz. Aynı şekilde, eğer x (B-A) ise, bir y A için, (x, y) B A olur fakat (x, y) A B olmaz. Demek ki, her halükârda, A B ile B A arasında fark olur. İspat Tamam. Çapraz Çarpımın Çapraz Çarpımı:, A 2 : Kümelerinin çapraz çarpımını, ={(a 1 ) a 1 A 2 } olarak tanımlamıştık. Bu çarpımdaki kümelerden birisi yine = 1 gibi başka iki kümenin çapraz çarpımı olabilir. Hal böyle ise, bir (a 1 ) demek, a 1 = 1 demektir. Dolayısıyla, bir a 11 1 ve bir a 12 2 için a 1 = (a 11 ) demektir. Sıkı (katı) tutum altında, = (1 ) şeklinde parantezle yazmak gerekir. Böyle bir kümenin herhangi bir öğesi de, ((a 11 ) ) şeklinde yazılır. Genelde, herhangi bir çapraz çarpımda yer alan her bir küme, yine bir çapraz çarpım olabilir. Dolayısıyla, keyfi adet iç içe yerleşik parantez çiftleriyle derinliğine yapılar ifade edilebilir. Genellikte bir adım daha ilerleyip çapraz çarpımı n( 2) adet küme için n-li çapraz çarpım olarak şöyle tanımlayalım:, A 2,..., A n (n 2): Kümeler olsun. Bunların n-li çapraz çarpımı, öğelerini (a 1,..., a n ) şeklinde sıralı n-lilerin teşkil ettiği şu kümedir:... A n = {(a 1,..., a n ) n 2, a 1 A 2,..., a n A n } 2-li çapraz çarpımda olduğu gibi, geneldeki n-li çapraz çarpımlarda da iç içe yerleşik parantez çiftleriyle derinliğine yapılar ifade edilebilir. Sıkı tutum altında, (1 ) = 1 (2 ) olmadığı gibi, (1 ) = 1 dahi değildir; çünki taraflar farklı yapıları yansıtmaktadır. Ne var ki, iç-içelik yapısının önemsenmediği daha gevşek (yumuşak) bir tutum altında, (1 ) = 1 ve ((a 11 ) )= (a 11 ) gibi kabul edilebilir. Durum açıkça belirtilmezse bağlamdan anlaşılır. Tamsayılar «Integers»: Matematiksel resmiyetin inceliklerini biraz öne çıkarmak için tamsayıları şöyle tanımlayalım: D. Çalıkoğlu 7-6

7 Eksi Tamsayılar Kümesi: Z - = {-} (N- {0})= {(-, 1), (-, 2), } Tamsayılar Kümesi: Z= Z - N Bir x Z için -x: Eğer x= 0 ise -x= 0 olur. Eğer x (N- {0}) ise -x= (-, x) olur. Böylelikle, (-, 1), (-, 2), yerine -1, -2, yazılır. Eğer bir y (N- {0}) için x= -y ise -x= y olur D. Çalıkoğlu 7-7