T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
|
|
- Volkan Renda
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
2
3 Contents 1 Kümeler Cebiri 5
4
5 1 Kümeler Cebiri 1 Doğa olaylarının ya da sosyal olayların açıklanması için, bazen, matematiksel modelleme yapılır. Bunu yapmak demek, incelenecek olaya etki eden etmenleri içine alan matematiksel formülleri ortaya koymak demektir. Bunların büyük çoğunluğu, sayısal işlemlerle yapılabilir. Ama bazı durumlarda, sayısal işlemlere benzemeyen işlemler gerekebilir. Bu farklı işlemlerden bir bölümü, Kümeler Cebiri kullanılarak yapılanlardır. Sayılarda yaptığımız dört işlem, tek tek sayılarla uğraşır. İki sayı arasında yapılan toplama, çıkarma, bölme, çarpma,... işlemleriyle yeni sayılar oluşturur. Kümeler Cebiri, sayılardaki dört işlemden farklı olarak, tek tek öğelerle değil, kümelerle uğraşır. İki küme arasındaki işlemlerle yeni kümeler oluşturur. Bu kavram, birçok modellemede kullanılır. Hemen belirtelim ki, Matematik bir yönüyle, kesin kuralları olan bir dildir. Bir dilin alfabesini, ve dilbilgisini öğrenmeden, o dilde konuşmak ve düşünmek mümkün değildir. Matematiğin alfabesi simgeler, dilbilgisi ise tanımlar ve teoremlerdir. Dolayısıyla, Matematiği kavrayabilmek için, öncelikle, sayısı çok olmayan simgeleri öğrenmeliyiz. Tanım ve teoremler, bunu kolayca izleyecektir. 1 Kümesel İşlemler Kümeleri liste biçiminde gösterirken, kümenin öğelerini { } parantezi içine yazarız. { } ye küme parantezi denilir. Küme parantezi içine yazılan öğelerin sırası önemli değildir. Ayrıca, aynı öğe birden çok yazılmışsa, o öğe bir kez var sayılır. Örnek 1.1. Öğeleri a,b,c olan kümeyi A = {a, b, c}, A = {b, a, c}, A = {c, b, a} vb gibi yazabiliriz. Küme parantezi içine öğelerin hangi sırada yazıldığı önem taşımaz. Kümeleri, genellikle, A, B,..., X, Y,... gibi büyük harflerle, öğelerini ise a, b, c,..., x, y,... gibi küçük harflerle göstereceğiz. Ayrıca 1, 2, 3,... gibi sayıları ya da başka simgeleri de öğe olarak gösterebiliriz. {a, b, c} kümesi ile {a, a, a, b, c} kümeleri aynıdır; çünkü a öğesi
6 6 calculus küme parantezi içine birden çok kez girse bile ancak bir kez var olduğunu kabul ediyoruz. Tanım?? de birinci özelik, kümenin öğelerinin kesinlikle belirli olduğu anlamına gelir. Hangi öğenin kümeye ait olduğu ya da olmadığı konusunda hiç bir kuşku olmaz. Örneğin, K = {kütüphanemizdeki kitaplar} ifadesi kümeyi kesinlikle belirler. Çünkü, kütüphanemizdeki her kitap K kümenin bir öğesidir; kütüphanemizde olmayan hiç bir kitap K kümesine ait değildir. Bunun yanında, {iyi kitaplar} deyimi bir küme tanımlamaz. Çünkü, iyi kitap kavramı kişiden kişiye değişir. Dolayısıyla, Tanım?? in ilk özeliği sağlanmaz. Tanım 1.2. a A simgesi a öğesinin A kümesine ait olduğunu belirtir ve "a öğesi A kümesi içindedir", diye okunur. Tersine olarak, a A simgesi a öğesinin A kümesine at olmadığını belirtir ve "a öğesi A kümesi içinde değildir", diye okunur. Aşağıdaki denklikler vardır. Kapsama 2 a A A a (1.1) a A A a (1.2) Tanım 1.3. A kümesinin her öğesi B kümesine ait ise, "A kümesi, B kümesi tarafından kapsanır" ya da "B kümesi A kümesini kapsıyor," denilir ve A B simgesiyle gösterilir. 2 Kapsama Tanım 1.4. A B ise A kümesi B kümesinin bir altkümesidir ya da B kümesi A kümesinin bir üstkümesidir, denilir. simgesine kapsama bağıntısı denilir. A B ile B A eş anlamlıdır. Kapsamayı simgesel olarak şöyle gösterebiliriz: A B = (x A x B) (1.3) Evrensel Küme 3 Sözlük anlamıyla, evrensel kümeyi her şeyi içeren en büyük küme olarak düşünmeye kalkabiliriz. Oysa, öyle bir küme belirsizdir. Her şeyi içeren küme, kişiden kişiye değişebileceği gibi, böyle bir kümeyi kümeler cebirine katınca sistemde paradokslar oluşur. Paradoksları ileride ele alacağız. Evrensel küme diyeceğimiz tek bir küme yoktur. Figure 1.1: Altküme 3 evrensel
7 kümeler cebiri 7 Tanım 1.5. Belli bir iş için, o anda ele alınan bütün öğeleri (nesneleri) içeren kümeye evrensel küme denilir. Örneğin, {1, 3, 5, 7} kümesi ile işlem yaparken, evrensel küme olarak tek sayılar kümesini, doğal sayılar kümesini ya da tam sayılar kümesini almak mümkündür. Evrensel kümeyi belirleyen genel bir kural yoktur. İşleme giren öğelerin hepsini kapsayan en küçük kümeyi evrensel küme olarak seçmek uygundur. Aslında, kümeler cebiri ile ilgili işlemlerin çoğunda evrensel kümenin kim olduğu önemli fark yaratmayacaktır. Ele alınan kümeler soyut ise; yani öğeleri belirtilmiyor ise, o anda söz konusu olan bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme deriz. Bu anlaşma, kümeler cebirinde bir sorun yaratmayacaktır. Evrensel kümeyi, çoğunlukla E simgesiyle göstereceğiz. 1.1 Venn Çizenekleri İngiliz matematikçi John Venn( ) yapılan işlemlerin kolay algılanmasını sağlamak için kümeleri düzlemsel şekillerle gösterdi. Kümeleri istediğimiz şekillerle gösterebiliriz. Ama, duyu organlarımız iki boyutlu şekilleri; yani düzlemsel şekilleri daha kolay algılar. Genellikle, daire ve elips kullanılır. Tümleyen Küme 4 Tanım 1.6. A kümesinin tümleyeni, evrensel kümeye ait olan ama A kümesine ait olmayan öğelerin oluşturduğu kümedir. 4 Tümleyen A kümesinin tümleyeni A, A, A c, E \ A ya da E A simgelerinden birisi ile gösterilir. Simgesel olarak, tümleyen kümeyi A = {x x E x A} (1.4) Figure 1.3: Tümleyen Küme biçiminde yazabiliriz. E tümleyeninin kim olduğunu belirtmek gerekmiyorsa, yukarıdaki ifadeyi yalın biçimiyle yazarız. A = {x x A} (1.5) Theorem 1.7. E evrensel küme ise, her x E ve A E kümesi için aşağıdaki özelikler geçerlidir. İspat: Tümleyen küme tanımından çıkar. x A = x A (1.6) x A = x A (1.7)
8 8 calculus Lemma 1.8. Her A kümesi için (A ) = eşitliği sağlanır. İspat: Boş Küme 5 x A = x A = x (A ) Tanım 1.9. Hiçbir öğesi varolmayan kümeye, boş küme diyecek ve bunu simgesiyle ya da içi boş { } parantezi ile göstereceğiz. 5 Boş Boş kümenin, kümeler cebirinde oynadığı rolü, sıfırın sayılarda oynadığı role benzetebiliriz. Tabii, sıfırın boş küme olmadığını söylemek gerekmez. Örnek Hiçbir insan 200 yıl yaşamadığına göre = { İkiyüz yaşını geçmiş ressamlar.} olur. Theorem Her küme boş kümeyi kapsar. İspat: A herhangi bir küme olsun. x x A (1.8) olduğunu göstermeliyiz. Bunun için olmayana ergi yöntemini (φ ψ ψ φ) kullanabiliriz. Boş kümenin hiç bir öğesi olmadığından, A kümesine ait olmayan hiç bir öğenin boş kümeye ait olamayacağı apaçıktır. O halde, yazılabilir. x A x (1.9) Theorem Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir. İspat: E = ve = E olduğunu göstermeliyiz. Tümleyen küme tanımında A yerine E konulursa E = {x x E x E} Sağdaki küme parantezi içindeki önerme hepyanlış bir önermedir. O halde, önermeyi sağlayan hiçbir x öğesi yoktur. Öyleyse, E tümleyeninin hiçbir öğesi yoktur. E = olur. Teoremin ikinci kısmı da benzer olarak kanıtlanabilir. = {x x E x } Sağdaki küme parantezi içindeki önerme hepdoğru bir önermedir; evrensel kümeye ait her x öğesi önermeyi sağlar. Öyleyse, tümleyeni evrensel kümedir: E = olur.
9 kümeler cebiri 9 Figure 1.4: Altküme: A B E Tek öğeli küme Tanım Yalnızca bir tek a öğesine sahip kümeyi {a} ile gösterecek ve adına tek öğeli küme diyeceğiz. Uyarı a bir öğedir, {a} ise bir kümedir. Dolayısıyla bu ikisi birbirlerinden farklıdır: a {a}. Alt Küme ve Üst Küme 6 Tanım A kümesi B kümesi tarafından kapsanıyorsa "A kümesi B kümesinin bir alt kümesi dir," ya da "B kümesi A kümesi nin bir üst kümesi dir," diyeceğiz: B A. 6, Eşit Kümeler Tanım A kümesi B kümesinin altkümesi ve B kümesi de A kümesinin altkümesi ise, "A ile B kümeleri birbirlerine eşittir," denilir ve bu durum, A = B simgesiyle gösterilir. A = B = [(A B) (B A) (1.10) Has Alt Küme 7 A B = A kümesi, B nin bir alt kümesidir, olması, A kümesinin B ye eşit olamayacağı anlamına gelmez. Örneğin, her küme kendi kendisinin bir alt kümesidir A A. Neden? Bazen, altkümenin üstkümeye eşit olmadığını vurgulamak gerekir. 7Has Tanım A kümesi, B kümesi tarafından kapsanıyorsa ve A ile B eşit değilseler, A kümesi B kümesi nin bir has alt kümesi dir, denilir.
10 10 calculus Bu durumu simgesel olarak, (A B) (A = B) (1.11) biçiminde göstereceğiz. 8. Kuvvet Kümesi Kümeler cebirinde bir kümenin bütün altkümelerinden oluşan aile önemli bir araç olarak kullanılır. Tanım Boş olmayan A kümesinin kuvvet kümesi A kümesinin bütün altkümelerinden oluşan kümedir; P(A) simgesiyle gösterilir. Öğeleri kümeler olan bir topluluğun kendisi de bir kümedir. Ancak, onlara kümeler ailesi diyeceğiz. Böylece, öğeleri kümeler olan kümeyi algılamak daha kolaylaşacaktır. Aşağıdaki önermenin ispatı ileride yapılabilecektir. 8 Uyarı: Bazı kaynaklarda A B yerine A B simgesi ve (A B) (A = B) yerine de A B simgesi kullanılır. Tabii, bir kavramın hangi simgeyle gösterildiği, o kavrama etkimez; ama hangi kavram için hangi simgenin kullanıldığını daima bilmek ve tutarlı biçimde kullanmak gerekir. Bu derste simgesini kullanacağız Theorem n öğeli bir kümenin bütün alt kümelerinin sayısı 2 n dir. 1.2 Küme İşlemleri Bileşim Ya A kümesine ya B kümesine ya da hem A ya hem de B ye ait olan bütün öğelerden oluşan kümeye, A ile B nin bileşimi, denilir ve A B simgesiyle gösterilir; yani, dir. A B = { x (x A) (x B) } (1.12) Arakesit Hem A kümesine hem de B kümesi ne ait olan bütün öğelerden oluşan kümeye, A ile B nin arakesiti, denilir ve A B simgesiyle gösterilir; yani, dir. A B = { x x A x B} (1.13) Figure 1.5: Bileşim Ayrık Kümeler A ile B kümelerinin arakesiti boş ise; yani, A B = (1.14) ise, A kümesi ile B kümesi birbirlerinden ayrıktırlar (kesişmiyorlar), denilir. Hiçbir ortak öğesi olmayan iki küme ayrıktır. Figure 1.6: Arakesit Kesişen Kümeler A ile B kümelerinin arakesiti boş değilse ; yani, A B = (1.15) ise, A ile B kümeleri ayrık değildir (kesişiyorlar), denilir. Kesişen iki kümenin en az bir tane ortak öğeleri vardır.
11 kümeler cebiri 11 Fark A kümesinin öğelerinden B kümesine de ait olanları attıktan sonra, geriye kalan öğelerin oluşturduğu kümeye, A ile B nin farkı diyecek ve bunu A \ B ya da A B simgelerinden birisiyle göstereceğiz; yani, A B = A \ B = { x x A x B } (1.16) dir. (A \ B) = (B \ A) olduğu apaçıktır. Simetrik Fark A ile B nin bileşim kümesinden, arakesitlerinin çıkarılmasıyla elde edilen kümeye, A ile B kümelerinin simetrik farkı diyecek ve bunu A B simgesiyle göstereceğiz; yani, Figure 1.7: A \ B: Fark A B = {(A B) \ (A B)} (1.17) dir. olduğu hemen görülür. (A B) = (B A) 1.3 KÜMELER CEBİRİ Bu bölümde bileşim, arakesit, fark, simetrik fark ve tümleme işlemleriyle ilgili başlıca özelikleri çıkaracağız. Figure 1.8: Simetrik Fark Theorem a. Her küme boş kümeyi kapsar. b. Her küme, o kümeyi belirleyen önermenin belirlediği evrensel küme tarafından kapsanır. c. Bir küme ile onun tamlayan kümesinin bileşimi, evrensel kümelerine eşittir. İspat: A = { x p(x) } herhangi bir küme ve E = { x p(x) p (x)} A yı kapsayan evrensel küme olsun. (Evrensel küme tanımına bakınız.) Aşağıdaki bağıntıları göstermeliyiz. a. A b. A E c. E = A A a. Olmayana Ergi Yöntemini kullanalım. Eğer ( A) olsaydı, ( A) = [ x((x ) (x A))] 0 [ x(x x A] 1 [( A)] 1
12 12 calculus olurdu. Sağdaki ilk satırda, [(x ) 0] olduğundan, (x A) önermesi ister doğru, ister yanlış olsun, ((x ) (x A)) bileşik önermesi hepyanlıştır. Bu satırdaki ifadenin olumsuzu, ikinci satırdaki ifadeye eşittir ve hepdoğrudur. Üçüncü satıra geçmek için, alt küme tanımını kullanmak yetecektir. b. x A p(x) x E yazabiliriz. Neden? c. x E = [p(x) p (x)] = [(x A) (x A )] = x A A olduğundan, E (A A ) E (A A ) bağıntıları vardır. Bu isteneni verir. Buradan görüldüğü ve daha önce de söylediğimiz gibi, evrensel küme, ele aldığımız kümeyi belirleyen Φ önermesine bağlı olarak değişmektedir. İşlemlerde kolaylığı sağlamak için, ele alacağımız bütün kümeleri kapsayacak kadar büyük; ama yalnız onları kapsayacak kadar küçük bir evrensel kümenin seçildiğini varsayacağız. Farklı evrensel kümelerin seçilmesi, kümelerle yapacağımız işlemlerin özeliklerini değiştirmeyecektir. Buna göre, E evrensel kümesinin belli bir p açık önermesini sağlayan öğelerinden oluşan A alt kümesi A = { x x E p(x)} = { x Φ(x) p(x)} (1.18) dir. Buradaki p önermesinin, genellikle, E yi belirleyen Φ önermesinden farklı olabileceğine dikkat edilmelidir. Zaten Φ önermesiyle pek ilgilenmeyeceğiz. Ele alacağımız bütün kümeler E ye ait olacağından, yukarıdaki ifadeyi daha kısa olarak, A = { x p(x) } (1.19) biçiminde yazabiliriz. Aşağıdaki teoremlerin ispatları, önermeler cebirinde yaptığımız ilgili bağıntılardan çıkar. Lemma A ile B herhangi iki küme ise, aşağıdaki bağıntılar sağlanır.
13 kümeler cebiri A = B = [(x A) = (x B)] 2. x A = x A 3. x A = x A 4. A B = A B = B 5. A B = A B = A 6. A (A B) 7. B (A B) 8. (A B) A 9. (A B) B 10. (A A ) = Lemma A, B, C herhangi üç küme ise, aşağıdaki bağıntılar sağlanır. a. A = A b. A = B B = A c. (A B) (B C) (A C) d. (A = B) (B = C) (A = C) e. A \ B = B \ A Lemma A, B ve C herhangi üç küme ise, aşağıdaki bağıntılar sağlanır. 1. A = A (Boş küme bileşim işleminin birimidir) 2. A = (Boş küme, arakesit işleminin yok edicisidir) 3. A A = A (Bileşimde Eşgüçlülük Kuralı) 4. A A = A (Arakesitte Eşgüçlülük Kuralı) 5. A B = B A (Bileşim İşleminin Yer Değiştirebilirliği) 6. A B = B A (Arakesitin Yer Değiştirebilirliği) 7. (A B) C = A (B C) (Bileşimin Birleşebilirliği) 8. (A B) C = A (B C) (Arakesitin Birleşebilirliği) 9. A (B C) = (A B) (A C) (Arakesit Üzerine Dağılma) 10. A (B C) = (A B) (A C) (Bileşim Üzerine Dağılma) Bunlara kümeler cebirinin kuralları diyeceğiz. İspat: Örnek olarak, burada son eşitlik ispatlanacaktır. Ötekilerin ispatını öğrenciye bir alıştırma olarak bırakıyoruz. 1. Yol: Önermeler Cebiri ile Kümeler Cebiri nin bilinen özeliklerini kullanarak, istenen bağıntıyı çıkarabiliriz.
14 14 calculus x A (B C) = x A x B C arakesit tanımı = x A (x B x C) bileşim tanımı = (x A x B) (x A x C) dağılma = (x A B) (x A C) dağılma = x (A B) (A C) bileşim tanımı 2. Yol: Gösterilecek eşitliğin sol ve sağındaki önermelerin doğruluk tablolarını düzenleyip; doğruluk değerlerinin aynı olduğunu görebiliriz. Bunun için, her iki yandaki önermeleri yalın bileşenlerine ayırıp, herbirisinin doğruluk değerlerini bir tabloda göstereceğiz. Eşitliğin sol ve sağındaki önermelere, P(x) = x A (B C) Q(x) = x (A B) (A C) diyelim. Bu iki önermenin mantıksal denk olduğunu göstermek için, Aşağıdaki tabloyu düzenleyelim. x A x B x C x A B x A C x B C P(x) Q(x) Bu tablodan, evrensel kümeye ait her x için, P(x) Q(x) olduğu görülmektedir. O halde, A (B C) = (A B) (A C) eşitliği çıkmış olur. Lemma E evrensel küme, A ile B bunun birer alt kümesi iseler, aşağıdaki eşitlikler sağlanır.
15 kümeler cebiri A E = E E, Bileşimin Birim Öğesidir 2. A E = A E, Arakesitin Birim Öğesidir 3. A = E \ A 4. A = E \ A 5. (A ) = A 6. E = 7. = E 8. (A B) = A B De Morgan Kuralı 9. (A B) = A B De Morgan Kuralı 10. (A B) A B İspat: Aşağıdaki gerektirmeler, Önermeler Cebirinde ve Kümeler Cebirinde gördüğümüz özeliklerdir. Her bir adımı nedenleriyle açıklayınız. 1. A E A E = E 2. A E A E = A 3. x A = x A = x E \ A 4. x A = x A = x E \ A 5. x (A ) = x A = x A 6. x E = x E = Ω(x) x 7. x = x = Ω(x) = x E 8. x (A B) = x A B = (x A) (x B) = (x A ) (x B ) = x A B ) 9. x (A B) = x A B = (x A) (x B) = (x A ) (x B ) = x A B 1.4 ALIŞTIRMALAR 1. A, B, C, D birer küme ve E evrensel küme ise, aşağıdaki eşitlikleri sağlayınız. (a) (A \ B) = B A (b) A \ B = A (E \ B) (c) (A B) C = A (B C) (d) (A \ B) (C \ D) = (A C) \ (B D) 2.(a) A \ B = A = (A B = = B \ A = A B = A \ B = (b) A \ B = B \ A = A C = B = B C = A (c) (A C B C) = A B C
16 16 calculus (d) (C A C B) = C (A B (e) A B = B A (f) A B = A B = B = A B = A
B A. A = B [(A B) (B A)] (2)
Bölüm 5 KÜMELER CEB R Do a olaylarnn ya da sosyal olaylarn açklanmas için, bazan, matematiksel modelleme yaplr. Bunu yapmak demek, incelenecek olaya etki eden etmenleri içine alan matematiksel formülleri
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların
Detaylısayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye
KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da
DetaylıİÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48
İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Operatörler 5 Bibliography 19 Index 23 1 Operatörler İşlemler 1.1 Operatör Nedir? İlkokulden
DetaylıBMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,
Detaylı10.Konu Tam sayıların inşası
10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir
DetaylıÖrnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER
Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,
DetaylıİÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal
DetaylıT.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN
DetaylıÖnermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar
Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010)
DetaylıL İ S E S İ MATEMATİK. Kümeler. Üzerine Kısa Çalışmalar
MTEMTİK T T Ü R K N D O L U L İ S E S İ M T E M T İ K Üzerine Kısa Çalışmalar KONY \ SELÇUKLU 017 MTEMTİK KÜMELER (CÜMLELER).1 Küme (Cümle) Kavramı Matematiğin dili mantıktır., matematiğin kendisini anlatabilmesini
DetaylıMantıksal İşlemler. 7.1 true, false, nil
7 Mantıksal İşlemler 7.1 true, false, nil Doğru ya da Yanlış değer alan önermelere (ifadelere) mantıksal (logic) deyimler ya da boolean deyimler denilir ([5]). Bir çok dilde mantıksal işlemler true ve
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 9 Index 13 CONTENTS 5 0.1 Doğru, Düzlem, Uzay Bu derste sık sık doğru, düzlem ve
DetaylıKÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.
1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıKüme Temel Kavramları
Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa
DetaylıKümeler ve Küme İşlemleri
Kümeler ve Küme İşlemleri ÜNİTE 2 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; küme kavramını, küme işlemlerini, küme işlemlerinin özelliklerini ve kullanılan simgeleri tanıyacaksınız. küme ailelerini, kümelerin
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
Detaylı0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c
0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade
DetaylıCebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.
Detaylı1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR
1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B
DetaylıKÜMELER 05/12/2011 0
KÜMELER 05/12/2011 0 KÜME NEDİR?... 2 KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ... 2 KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ... 2 EŞİT KÜME, DENK KÜME... 3 EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜMELER... 3 BOŞ KÜME... 3 ALT KÜME - ÖZALT KÜME... 4 KÜMELERDE
Detaylı1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI
Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,
DetaylıSAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıA = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A
Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha
Detaylı7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER:
7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: Bilindiği üzere, matematikte ortaya konan her yeni kavram, kendinden önceki tanımlanmış kavramlar cinsinden, herhangi bir tereddüt veya muğlâklığa mahal bırakmayacak resmî
Detaylı1 MATEMATİKSEL MANTIK
1 MATEMATİKSEL MANTIK Bu bölümde ilk olarak önerne tanımıverilip ispatlarda kullanılan düşünce biçimi incelenecektir. Tanım 1 Bir hüküm bildiren ve hakkında doğru veya yanlış denilmesi anlamlı olan ifadelere
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıKÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR
KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg
Detaylı1. KÜMELER 2. ELEMAN
1. KÜMELER Kümenin matematiksel tanımı oldukça karmaşık olduğu için bu aşamada verilmeyecektir. Şimdilik bir küme, ne oldukları tam olarak belirlenmiş nesnelerin oluşturduğu [1] [2] [3] bir topluluk olarak
DetaylıÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik
ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım 9.1.1.1: Küme kavramını
DetaylıÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR
MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
DetaylıStarboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç
Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi
DetaylıÖrnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?
KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.
Detaylı1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler
. ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.
DetaylıMATEMATİK ADF. Önermeler - I ÜNİTE 1: MANTIK. Önerme. örnek 2. Bir önermenin değili (olumsuzu) örnek 3. Doğruluk Tablosu. örnek 1.
MATEMATİK ÜNİTE 1: MANTIK Önermeler - I ADF 01 Önerme Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere... denir. R Doğru hüküm bildiren önermeye..., Yanlış hüküm bildiren önermeye... denir. R Önermelerin
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
Detaylı1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/
Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;
Detaylı1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
DetaylıDers 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve
Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz
Detaylı8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar
8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY- H AY D A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K
T I M U R K A R A Ç AY- H AY D A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K Copyright 2017 Timur Karaçay-Haydar Eş-İbrahim İbrahimoğlu BU KITAP BAŞKENT ÜNIVERSITESINDE
DetaylıSunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER
Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..
DetaylıAYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a
DetaylıBOOLEAN İŞLEMLERİ Boolean matematiği sayısal sistemlerin analizinde ve anlaşılmasında kullanılan temel sistemdir.
BOOLEAN MATEMATİĞİ İngiliz matematikçi George Bole tarafından 1854 yılında geliştirilen BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin tasarımında ve analizinde kullanılması 1938 yılında Claude Shanon tarafından
DetaylıOlasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere
Detaylı12.Konu Rasyonel sayılar
12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama
Detaylıharfi almanca kökenli (Zahlen) Z X bir sonlu küme ise, X = X deki öğelerin sayısını gösterir
BÖLÜM 1 Kümeler harfi almanca kökenli (Zahlen) Z X bir sonlu küme ise, X = X deki öğelerin sayısını gösterir Tanım 1.1.1: X ve Y herhangi iki küme olsunlar. Eğer X Y= ise, X ve Y kümelerine ayrıktırlar
DetaylıAYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
DetaylıKÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4
KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
Detaylı1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
DetaylıMikroişlemcilerde Aritmetik
Mikroişlemcilerde Aritmetik Mikroişlemcide Matematiksel Modelleme Mikroişlemcilerde aritmetik işlemler (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) bu iş için tasarlanmış bütünleşik devrelerle yapılır. Bilindiği
DetaylıKÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.
KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının
DetaylıMAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise =
MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR 1. : bir dönüşüm, olsunlar. a) ( ) = ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) olduğunu c) ( ) nin eşitliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli bir koşulun nin 1 1 olması ile mümkün olduğunu
Detaylı10. DİREKT ÇARPIMLAR
10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü
DetaylıDÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü
DÜZGÜN ÖLÇÜM Ali DÖNMEZ Doğuş Ünirsitesi, Fen Bilimleri Bölümü Halit ORHAN Atatürk Ünirsitesi, Matematik Bölümü Özet: Düzgün ölçüm üzerine bazı teoremler ispatlandı. Anahtar sözcükler: Ölçüm, düzgün ölçüm,
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
DetaylıÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.5 ÇÖZÜM
Biçimselleştirme Burada sunulan haliyle bu sembolik gösterim diline önermeler mantığı dili denir. Şimdi günlük dilden çeşitli cümlelerin sembolik biçimler şeklinde nasıl ifadelendirilebileceğini (yani
Detaylıolsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
DetaylıOlasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.
5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya
DetaylıSayılar Kuramına Giriş Özet
Eğer bir b noktası bir a noktasının sağındaysa, o zaman a, b den küçük ve b, a dan büyük olarak sayılır, ve Sayılar Kuramına Giriş Özet David Pierce a < b, b > a yazılır. Tanıma göre a a, a < b a b, a
DetaylıTAM SAYILAR. Tam Sayılarda Dört İşlem
TAM SAYILAR Tam Sayılarda Dört İşlem Pozitif ve negatif tam sayılar konu anlatımı ve örnekler içermektedir. Tam sayılarda dört işlem ve bu konuyla ilgili örnek soru çözümleri bulunmaktadır. Grup_09 29.11.2011
DetaylıTanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
DetaylıMatematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız
Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol
DetaylıA { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER
KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
DetaylıÖrnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.
KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
DetaylıKÜMELER. a. Doğal sayılar b. Elimdeki parmaklar c. Yaşayan dahi insanlar d. Üç ayaklı hayvanlar e.
1 KÜMELER KÜME KVRMI Modern matematiğin en önemli ve temel öğelerinden biri küme kavramıdır. Kümeler teorisinin dili ve teknikleri matematiğe ve bilimin diğer birçok branşına temel teşkil eder. Kümenin,
DetaylıAYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a
DetaylıMatematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız
Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe
DetaylıLimit. 1.1 Soldan ve Sağdan Yaklaşım. 1.2 Fonksiyonun Limiti
Bölüm Limit. Soldan ve Sağdan Yaklaşım değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma soldan yaklaşım denir ve a biçiminde gösterilir. değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa,
DetaylıDERS 2 : BULANIK KÜMELER
DERS 2 : BULNIK KÜMELER 2.1 Gİriş Klasik bir küme, kesin sınırlamalarla verilen bir kümedir. Örneğin, klasik bir küme aşağıdaki gibi belirtilebilir: = { x x > 6 }, Kapalı sınır noktası burada 6 dır.burada
DetaylıLisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler:
Lisans Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2013 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıBiçimselleştirme. - 4 sayısını gösterir. Mantıktaki örnekte ise parantezleri kullanarak P S) ifadesini elde ederiz
Biçimselleştirme Burada sunulan haliyle bu sembolik gösterim diline önermeler mantığı dili denir. Şimdi günlük dilden çeşitli cümlelerin sembolik biçimler şeklinde nasıl ifadelendirilebileceğini (yani
Detaylıx = [x] = [x] β = {y (x,y) β} (8.5) X = {x x X}. x,y X [(x = y) (x y = )]. b(b [x]) b [y] [x] [y] (8.8)
Bölüm 8 DENKL K BA INTILARI 8.1 DENKL K BA INTISI 8.1.1 E³itlik Kavramnn Genelle³mesi Matematikte ve ba³ka bilim dallarnda, birbirlerine e³it olmayan, ama e³itli e benzer niteliklere sahip nesnelerle sk
DetaylıHESAP. (kesiklik var; süreklilik örnekleniyor) Hesap sürecinin zaman ekseninde geçtiği durumlar
HESAP Hesap soyut bir süreçtir. Bu çarpıcı ifade üzerine bazıları, hesaplayıcı dediğimiz somut makinelerde cereyan eden somut süreçlerin nasıl olup da hesap sayılmayacağını sorgulayabilirler. Bunun basit
DetaylıSINIFLARA GÖRE ALGILARININ KARŞILAŞTIRILMASI
ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI 2014-DP-002- ORTA ÖĞRETİMDE CEBİRSEL SOYUT KAVRAMLARIN GELİŞİMİ VE ÖĞRENCİLER TARAFINDAN SINIFLARA GÖRE ALGILARININ KARŞILAŞTIRILMASI
Detaylı11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler
11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler
DetaylıAtatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Detaylı5. A ve B gibi iki cümleden A nın bir, B nin iki elemanı A B cümlesinin elemanı değildir. dışında A. 9. A ve B iki kümedir.
1. KÜMELER 5. A ve B gibi iki cümleden A nın bir, B nin iki elemanı A B cümlesinin elemanı değildir. dışında A B nin alt cümleleri sayısı 63 olduğuna göre, A B cümlesinin alt cümleleri sayısı kaçtır? (51)
DetaylıNormal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41
Detaylı