Silindirik ve Konik Helislerin Karışık SEM ile Dinamik Analizi

Transkript

1 ĐMO Teknk Derg, , Yazı 265 Slndrk ve Konk Helslern Karışık SEM le Dnamk Analz Konuralp GĐRGĐN * Olca OLGUN ** Kutlu DARILMAZ *** Mehmet H. OMURTAG **** ÖZ Đnşaat mühendslğ uygulamalarında merdvenlerde, makna mühendslğ uygulamalarında se mekank aksamlarda helsel çubuklarla sıkça karşılaşılmaktadır. Bu çalışmada slndrk ve konk geometrye sahp helsel çubukların serbest ttreşm karışık sonlu eleman yöntemyle ncelenmştr. Bu amaçla, Tmoshenko krş kuramına dayanan, değşken eğrlkl ve değşken kestl uzay çubukların eleman matrs ve yayılı kütle matrsler gelştrlmştr. Eleman matrsnn gelştrlmes amacı le elde edlen fonksyonelde değşkenler, Frenet koordnat takımında, üç ötelenme, üç dönme, br eksenel normal kuvvet, k kesme kuvvet, br burulma moment ve k eğlme momentdr. Bu çalışmada elde edlen sayısal sonuçlar, lteratürde mevcut bulunan çalışmalarda elde edlenler le karşılaştırılmış ve yeterl doğrulukta olduğu görülmüştür. ABSTRACT Dynamc Analyss of Cylndrcal and Concal Helces by Mxed FEM Engneers often come face to face wth helcal sprngs especally n the applcatons of cvl and mechancal engneerng. In ths study, free vbraton analyss has been performed regardng cylndrcal and concal helces. For ths purpose, the necessary element matrx based on Tmoshenko beam theory and consstent mass matrx of these helces wth varable cross sectons were derved accordng to the mxed FE method. The consstent mass matrx formulaton s preferred snce ts angular frequences are more accurate compared to the lumped mass formulaton. The numercal results obtaned n ths study are compared wth analytcal, expermental and other numercal studes n the current lterature. Not: Bu yazı - Yayın kurulu na günü ulaşmıştır Aralık 26 gününe kadar tartışmaya açıktır. * Đstanbul Teknk Ünverstes, Đnşaat Fakültes, Đstanbul kgrgn@ns.tu.edu.tr ** Urban Đnşaat San. ve tc. A.Ş., Đstanbul. *** Đstanbul Teknk Ünverstes, Đnşaat Fakültes, Đstanbul kdarlmaz@ns.tu.edu.tr **** Đstanbul Teknk Ünverstes, Đnşaat Fakültes, Đstanbul omurtagm@tu.edu.tr

2 Slndrk ve Konk Helslern Karışık SEM le Dnamk Analz It s observed that, the results of the proposed FE formulaton are qute satsfactory for engneerng requrements. 1. GĐRĐŞ Mmar gereksnmler nedenyle helsel taşıyıcı sstemler nşaat mühendslğnde merdven uygulamalarında sıkça karşımıza çıkmaktadır. Ayrıca makna mühendslğnde kullanılan en öneml yardımcı elemanlardan brs olması neden le helsel yayların davranışlarının gerçekç br bçmde belrlenmes gerekmektedr. Epsten [1], Pearson ve Wttrck [2] helsel çubukların çözümü çn bağ koşullarına ve yükleme durumlarına bağlı olarak çeştl kısıtlamalar çeren analtk yöntemler gelştrmşlerdr. Holmes [3], k ucu ankastre smetrk yüklü helsel çubuklarda genel denklemler kullanarak sınırlı sayıda çözümlemeler yapmıştır. Scordels [4] hels açıklığındak ç kuvvetlern hesabı amacıyla, k ucu ankastre helsel çubuklarda mnmum şekl değştrme eners lkesnden yararlanarak 51 farklı yükleme durumunu çeren tablolar sunmuştur. Cnemre [5] ve Pearson [6] yaklaşık sayısal çözüm yöntemlernden brs olan taşıma matrs yöntemn, Haktanır ve Kıral [7] sonlu elemanlar yöntemn, Abdulbak ve Shukar [8] se esneklk matrsnden elde ettkler rtlk matrsne dayanan sonlu elemanlar yöntemn kullanmak suretyle bu konudak öncü statk analz çalışmalarını yapmışlardır. Helsel çubukların dnamk analz le lgl çalışmalar lteratürde nspeten azdır. Helsel çubuklarda yer değştrme esaslı sonlu elemanlar yöntemn kullanarak Mottershead [9], Haktanır ve Kıral [1] dnamk analze yönelk çalışmalar yapmışlardır. Taşıma matrs yöntem le Nagaya, Takeda ve Nakata [11] slndrk olmayan yayların serbest ttreşm üzernde teork çalışmalar yapmışlar ve elde ettkler serbest ttreşm frekanslarını deneysel çalışmalarında buldukları le karşılaştırmışlardır. Yıldırım [12] taşıma matrs yöntemn kullanarak sınır koşulları, tur sayısı, yükselme açısı gb çeştl parametrelern helslern serbest ttreşm frekanslarına olan etksn araştırmıştır. Yıldırım ve Đnce [13] slndrk olmayan helslern serbest ttreşmn taşıma matrs yöntem le ncelemş ve bu çalışmalarında kayma, uzama ve dönel eylemszlk momentlernn etklern de dkkate almışlardır. Yıldırım ve Sancaktar [14] kompozt malzemeden yapılmış helslern serbest ttreşm konusunda çalışmışlardır. Yıldırım [15] yer değştrme esaslı sonlu elemanlar yöntemn kullanarak slndrk olmayan helslerde geometrk büyüklüklern değşmne bağlı olarak doğal frekansın hesaplanmasına olanak veren bağıntılar önermektedr. Becker ve dğerler [16] helsel yayların serbest ttreşm frekanslarına etk eden parametreler ncelemşlerdr. Busool ve Esenberger [17] değşken kestl slndrk ve slndrk olmayan helslern serbest ttreşm analznde yer değştrme esaslı sonlu elemanlar yöntemn kullanmışlardır. Yıldırım [18] kompozt helslerde serbest ttreşm frekanslarını etkleyen parametreler ncelemştr. Helslern dnamk analz konusunda dğer bazı çalışmalar [19] ve [2] nolu referanslarda verlmektedr. Aköz ve Ark. [21] uzay çubuklar çn Gáteaux dferansyel ve potansyel operatör kavramını kullanarak br fonksyonel gelştrmşlerdr. Daha sonra, bu çalışmadan hareketle Omurtag ve Aköz [22] slndrk helsel çubuklar çn Tmoshenko krş [23] teors ve Đnan [24] dek alan denklemler kullanarak yen br fonksyonel önermştr. Sözü edlen fonksyoneller statk analz amacıyla gelştrlmş olup karışık sonlu eleman formülasyonuna uygundur. Omurtag ve Aköz [22] dek foksyonelden yararlanılarak, bu çalışmada dnamk analz çn dönel eylemszlklern de dkkate alındığı karışık sonlu eleman formülasyonuna uygun br fonksyonel sunulmaktadır. Sonlu eleman formülasyonunda yayılı kütle matrs 44

3 Konuralp GĐRGĐN, Olca OLGUN, Kutlu DARILMAZ, Mehmet H. OMURTAG kullanılmıştır. Slndrk olmayan hels geometrs, eğrlklern şekl fonksyonlarıyla dkkate alınması le yaklaşık olarak fade edlmş, eleman ve kütle matrsler buna göre elde edlmştr. Karışık sonlu eleman formülasyonunda dnamk analz yapılırken, ndrgeme şlemne htyaç duyulmaktadır, Omurtag ve ark. [25]. Frenet hareketl eksen takımı t, n, b ye göre eleman matrsnde blnmeyenler: yer değştrmeler ( u, u, u ), U t n b dönmeler ΩΩΩ ( t, n, Ω b ), kuvvetler T ( Tt, Tn, Tb ) ve momentler M ( M t, M n, M b ) olup br düğüm noktasında 12 serbestlk dereces bulunmaktadır. Tmoshenko krş kuramına göre kayma etklernn de dkkate alındığı k düğüm noktalı eğrsel çubuk eleman, doğrusal şekl fonksyonlarından yararlanmak suretyle gelştrlmştr. 2. ALAN DENKLEMLERĐ ve FONKSĐYONEL Bu çalışmada elastk, homoen ve zotrop çubuklar brnc mertebe kuramı çnde ncelenmştr. 2.1 Slndrk Olmayan Hels Geometrs Helsel çubuk eksen, x eksennden tbaren ölçülen ϕ açısına bağlı olarak değşen R ( ϕ) bçmnde br daresel yarıçaptır. ϕ açısı parametre olarak seçlrse helsn parametrk denklem, x = R( ϕ)cos( α ), y = R( ϕ)sn( α ), z = p( ϕ) ϕ (2.1) olur. Burada R( ϕ ) helsn sarıldığı slndrn yarıçapı, p( ϕ) helsn brm radyana karşı gelen yükselme değerdr ve R( ϕ ) le arasında, se uzunluk boyutunda olup p( ϕ) = R( ϕ) tan( α ) (2.2) şeklnde br lşk vardır. Burada α helsn eğmdr. Sabt eksen takımının brm vektörler,, k sırasıyla x, y ve z eksenler üzernde olup, hels üzerndek herhang br noktanın konumu r = x + y+ zk vektörüyle fade edleblr. Öte yandan Şekl 2.1 de görüldüğü gb çubuk eksen boyunca sürekl hareket eden br başka dk takım olan Frenet brm vektörler t, n, b se, r yer vektörüne dferansyel bağımlı olup, aralarında lşk, dr dt / ds t=, n=, b= t n (2.3) ds dt / ds olarak yazılır. Burada t çubuk eksen doğrultusundak brm teğet vektörü olup, dferansyel yay boyu ds = dx + dy + dz se, 2 2 d s = R ( ϕ) + p ( ϕ) d ϕ = c( ϕ) dϕ (2.4) 45

4 Slndrk ve Konk Helslern Karışık SEM le Dnamk Analz bçmnde hesaplanır. Geometrk dönüşüm formüller se, dt dn db = χ n, = χ t + τ b, = τ n (2.5) ds ds ds şeklnde olup Đnan [24], χ helsn eğrlğ, τ helsn tab burulmasıdır. Şekl 2.1 Hels geometrs Şekl 2.2 Yay elemanı 2.2 Slndrk Hels Geometrs Hels slndrk se, R = sabt olacağından, χ R p =,, c R p, p R tan 2 2 c τ = = + = c α (2.6) brer sabt değerdr. Burada α helsn eğrsnn eğmdr. Hareketl takım (Frenet) le sabt takımı arasında dönüşüm bağıntıları, 46

5 Konuralp GĐRGĐN, Olca OLGUN, Kutlu DARILMAZ, Mehmet H. OMURTAG R p snϕ cosϕ snϕ c c t R p cosϕ snϕ cosϕ = n c c k p R b c c R R p snϕ cosϕ snϕ t c c c n = cosϕ snϕ p p R b snϕ cosϕ k c c c (2.7) (2.8) şeklndedr. 2.3 Slndrk Helste Alan Denklemler Elastk çubuğun hareket denklemler, dt dm ρ Auɺɺ + p= ; + t T ρiωɺɺ + m= (2.9) ds ds dr. Burada A çubuk kest alanı, I eylemszlk moment, u dk kestn ağırlık merkezndek ötelenme vektörü, Ω ağırlık merkeznden geçen eksenler etrafındak dönme vektörü, T 2 2 kuvvet vektörü, M moment vektörü ve ɺɺu = u / t olup, vektörlern açık halde gösterm, u= utt+ unn+ ubb Ω= Ωtt+ Ωnn+ Ωbb T= Tt t+ Tnn+ Tbb M = M tt + M nn + M bb (2.1) şeklndedr. Tmoshenko [23] krş çn knematk lşkler, du dω γ = + t Ω ve κ= (2.11) ds ds olarak fade edlr. Burada γ brm kayma açısı vektörü ve κ brm dönme vektörüdür. Bünye bağıntıları, C T γ= ve C M κ= (2.12) γ κ 47

6 Slndrk ve Konk Helslern Karışık SEM le Dnamk Analz bçmnde yazılır. Hooke yasasına uyan homoen zotrop çubuk çn komplyans matrsler, C γ 1/ EA 1/ EI t = 1/ GA, Cκ= 1/ EIn 1/ GA 1/ EI b (2.13) dır. Burada E elastste modülü, G kayma modülü, A kest alanı olmak üzere tbar kayma alanı A = A / k, I, I, I sırasıyla ( t, n, b ) eksenlerne göre eylemszlk momentler ve t n b k kayma alanı katsayısıdır. 2.4 Fonksyonel Gâteaux türev ve potansyel operatör kavramı kullanılarak statk analz çn eğrsel uzay çubukların karışık sonlu eleman formülasyonuna uygun olacak fonksyonel Aköz ve ark. [21] ve slndrk hels bçml çubuklar çn Omurtag ve Aköz [22] tarafından elde edlmştr. Olgun [26] de slndrk helsel çubukların harmonk dnamk analz çn gelştrlen fonksyonel, dt dm 1 1 I( y) = u, [, ], [, ] [, ] 2 2 ds + t Ω T Ω ds Cκ M M Cγ T T ρ Aω [ u, u] ρω [ IΩΩ, ] [( T Tˆ, u)] [( ˆ, )] [ ˆ, ] [ ˆ σ + M M u σ + u T ε + Ω, M] ε (2.14) olup, ρ çubuğun özkütles, ω doğal açısal frekans ve I = { I I I } eylemszlk t n b moment vektörüdür. (2.14) de uωtm ˆ, ˆ, ˆ, ˆ sınırlarda blnen değerler çn sıfırdan farklı olup, ε ve σ alt ndsl termler sırasıyla geometrk ve dnamk sınır koşullarıdır. Fonksyonel yapısı gereğ karışık sonlu eleman formülasyonuna uygundur. Bu çalışmada (2.14) den hareketle slndrk olmayan helslern dnamk analz çn aşağıda açıklanan yaklaşık çözüm yöntem gelştrlmştr. 3. SONLU ELEMAN FORMÜLASYONU 3.1 Sonlu Eleman Matrsler Fonksyoneldek serbest değşkenler üstünde türevler brnc mertebeden daha yüksek olmadığı çn, kullanılan doğrusal şekl fonksyonları, ϕ ϕ ve ϕ ψ = ψ ϕ =, ( ϕ ϕ ϕ ) ϕ ϕ (3.1) 48

7 Konuralp GĐRGĐN, Olca OLGUN, Kutlu DARILMAZ, Mehmet H. OMURTAG dr. Burada, ϕ= ϕ ϕ (3.2) olup, Şekl (2.1) de görüldüğü gb eğrsel elemanın düğüm noktaları alt nds bçmnde ve le gösterlmştr. Böylece (2.4) den yararlanılarak eleman boyu, e s = ( cψ + c ψ ) ϕ (3.3) bçmnde fade edlr. Eğer slndrk hels çözülecekse c= c= c = sabt olur ve eleman yay boyu, e s = c ϕ (3.4) bçmnde hesaplanır. Bu düşünce le (2.14) bağıntısındak u, Ω, T ve M değşkenler, e sonlu eleman formülasyonuna göre u ( ϕ) = u ψ + u ψ,..., şeklnde fade edlrler. Değşken kestl çubukta, çubuk elemanın eksen boyunca rtlklern değşm şekl fonksyonları aracılığı le, 1 1 A( ϕ) = ψ + ψ ( AE) ( AE) 1 1 K ( ϕ) = ψ + ψ ( GA ) ( GA ) 1 1 It ( ϕ) = ψ + ψ ( GI ) ( GI ) t t 1 1 In ( ϕ) = ψ + ψ ( GIn ) ( GIn ) 1 1 I ( ϕ) = ψ + ψ ( GI ) ( GI ) b b b (3.5) bçmnde fade edlr. Eğer hels slndrk değlse, R= R( ϕ ) olur ve eleman düğüm noktalarında yarıçaplar R R dr. Bu durumda (2.6) bağıntısından yararlanılarak her br düğüm noktası çn p, p, c, c, χ, χ, τ, τ değerler hesaplanır. Bunların eleman çndek değşmlern fade etmek amacıyla şekl fonksyonlarından yararlanılarak, = + e τ τ ψ τ ψ = + e χ χψ χ ψ e c cψ c ψ = + (3.6) 49

8 Slndrk ve Konk Helslern Karışık SEM le Dnamk Analz yazılır. Sonuç olarak eleman matrs le değşkenler vektörü, ˆ χ [ k] [ k ] χ ˆ τ [ k ] [ k] [ k ] τ [ ] [ ˆ k k] ˆ χ [ k] [ k ] k k kˆ k ˆ e k k k [ k ]{ x} = A [ k ] K [ k ] K [ k ] I t [ k ] In smetrk [ k ] [ Ib k ] u t u n u b Ω t c χ τ [ ] [ ] [ ] [ ] Ω n c τ [ ] [ ] [ ] Ω b Tt T n T b M t M n M b (3.7) dr. (3.7) de kullanılan tüm alt kare matrsler 2 2 boyutunda olup, ɵ.5.5 [ k] =.5.5 (3.8) fonksyoneldek sınır termlernden eleman matrsne gelen sınır koşullarıdır. (3.5) de kullanılan üst ndsl alt matrsler, [ k c A ],, [ k c K ],, [ k c K ], I [ k t ], I [ k n ], I [ k b ], [ k c ],, [ k c χ, ], [ k c τ ] hels geometrs le kest boyutlarındak değşmler barındırmaktadır. Burada kullanılan üst ndsler (3.5) ve (3.6) le lşkl olup, eleman alt matrs formülasyonu çne yerleştrlecek olan değşkenlklerden hangsnn yer aldığını şaret etmektedrler. Buna göre k değşkenl alt matrs termler, d 1 k = ϕ [3 c (4 d+ d ) + c (3d+ 2 d )] 6 d d 1 k = k = ϕ [ c (3d+ 2 d ) + c (2d+ 3 d )] 6 d 1 k = ϕ [ c (2d+ 3 d ) + 3 c ( d+ 4 d )] 6 (3.9) dr. Burada ϕ= ϕ ϕ olup, ϕ ve ϕ elemanın ve düğüm noktalarındak blnen açı değerlerdr. Tek değşkenl alt matrs çn, (3.9) de d= d = d yazılırsa, söz konusu termler 41

9 Konuralp GĐRGĐN, Olca OLGUN, Kutlu DARILMAZ, Mehmet H. OMURTAG c 1 k= d ϕ (3 c+ c ) 12 c c 1 k= k = d ϕ ( c+ c ) 12 c 1 k = d ϕ ( c+ 3 c ) 12 (3.1) şeklne dönüşür. Değşken kestl hels çubukta, eleman eksen boyunca değşecek kest özellkler, A ( ϕ) = A, ψ + Aψ In ( ϕ) = ( In ) ψ + ( In ) ψ ( ) ( ) ( ), It ϕ = It ψ + It ψ Ib ( ϕ) = ( Ib ) ψ + ( Ib ) ψ (3.11) bçmnde fade edlr. Her br düğüm noktasında kest alanı A,( β=, ) ve eksenlere göre eylemszlk momentler ( I, I, I ),( β=, ) dr. Ayrıca yay uzunluğu (3.3) den yararlanılırsa, kütle matrs t n b β β A [ ] m A [ m ] A [ ] m I t [ m ] I n [ ] m e I b [ m ] = [ m ] smetrk (3.12) elde edlr. Burada kullanılan alt kare matrsler 2 2 boyutunda olup, burada A,I t,i n,i b kest geometrk özellklern, c se eğrlğ fade etmektedr. Kütle alt matrs termler, (3.9) dak gb, 411

10 Slndrk ve Konk Helslern Karışık SEM le Dnamk Analz d 1 m = ρ ϕ [3 c (4 d+ d ) + c2 (3d+ 2 d )] 6 d d 1 m = m = ρ ϕ [ c (3d+ 2 d ) + c (2d+ 3 d )] 6 d 1 m = ρ ϕ [ c (2d+ 3 d ) + 3 c ( d+ 4 d )] 6 (3.13) bağıntılarında elde edlr. Burada elemanın ve düğüm noktaları Şekl (2.1) de belrtldğ gbdr. 3.2 Sonlu Eleman Çözüm Yöntem Sonlu eleman yöntemnde serbest ttreşm problem, K ω M w (3.14) 2 ([ ] [ ]){ } = { } bçmnde br özdeğer problemne ndrgenr. Burada ω çubuğun açısal doğal frekansları, [ K ] sstem matrs, [ M ] sstem kütle matrs, w ( u,ω ) yer değştrmeler le dönmelerden oluşan br kolon vektörüdür. Karışık sonlu elemanlar yöntemnde (3.14) bağıntısı, { } { } { } { } [ K11] [ K12 ] 2 [ ] [ ] F ω = [ 21] [ 22 ] [ ] [ ] K K m w (3.15) bçmndedr. (3.15) de {F} kuvvetler le momentlere at kolon vektördür. Đndrgeme şlem { F } vektörüne uygulanırsa, ndrgenmş denklem takımı, ([ K * ] 2 [ m] ){ w} = { } halne dönüşür. Burada, ω (3.16) [ K ] = [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] (3.17) * T * olup, [ K ] ndrgenmş sstem matrsdr. (3.16) br özdeğer programı kullanılarak çözülür ve özdeğerler doğal açısal frekansları ve bunlara karşı gelen özvektörler se mod şekllern fade eder. 4. ÖRNEKLER Bu bölümde slndrk olmayan değşken kestl helslern serbest ttreşm çn karışık SE yöntemne dayanan HL programından Omurtag ve Aköz [22] yararlanılmıştır. HL 412

11 Konuralp GĐRGĐN, Olca OLGUN, Kutlu DARILMAZ, Mehmet H. OMURTAG programında kondensasyon (kuvvet türü büyüklüklern deplasman türü büyüklükler üzerne ndrgenmes) sonrasında blnmeyen sayısı her düğüm noktasında 6 deplasman bleşennden oluşmaktadır 4.1 Örnek-1: Sabt dare kestl slndrk hels HL programı le bulunan sonuçları doğrulamak çn lteratürden seçlerek kullanılan bu örnekte daresel kestl slndrk helsn geometrs le malzeme özellkler, Geometrk Özellkler Malzeme Özellkler Tur sayısı (n) : 7.6 tur Elastste modülü (E) : N/m 2 Kest yarıçapı (r) :.5 mm Posson oranı (υ) :.3 Helsn yarıçapı R : 5 mm Özkütle (ρ) : 79 kg/m 3 Helsn eğm (α) : Helsn yükseklğ (H) :.36 m dr. Tablo 4.1 de slndrk helsn lk altı moduna at ω,( = 1, 2,..., 6) doğal açısal frekanslar, f= ω / 2π bağıntısı kullanılarak doğal frekanslara çevrlerek, lteratürdek çeştl araştırmalar le karşılaştırılmış ve sonuçların oldukça uyumlu olduğu görülmüştür. Bu problemde kullanılan sonlu eleman sayısı 1 dür. Elde edlen sonuçlar Mottershead [9] nn deney sonuçları le karşılaştırıldığında lk altı mod çn rölatf farklılık 1. moddan başlamak üzere sırasıyla %.38, % 1.2, %.82, %.39, % 1.8 ve %.34 dür. Ortalama farklılığın %.8 den az olduğu görülmektedr. Görüldüğü gb bu verler dğer yöntemler le elde edlen sonuçlara göre çok daha ydr. Tablo 4.1 Slndrk helsn doğal frekansları ( f = ω / 2π Hz) Araştırmalar f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 HL Mottershead, 198 D Mottershead, 198 FEM Pearson, 1982 TMM Xyong-Tabarrok, 1992 FEM Yıldırım, 1996 TMM Becker, 22 TMM D: Deneysel, SEM: sonlu eleman metodu, TMM: taşıma matrs metodu. 413

12 Slndrk ve Konk Helslern Karışık SEM le Dnamk Analz Örnek-2: Sabt dare kestl konk hels Bu örnekte sabt dare kestl ve geometrs Şekl 4.1 de görülen konk hels çn R 1 tavan yarıçapının, R taban yarıçapı oranına bağlı olarak lk 6 moduna at serbest ttreşm frekansları hesaplanmıştır. Konk helsn uç noktaları ankastredr. Konk helsn herhang br noktasındak yatay yarıçapı, ( R1 R ) ϕ R= R+ 2π n bağıntısına göre değşmektedr. Burada ϕ helsn yatay taban açısını fade etmektedr. Şekl 4.1 Konk hels geometrs Konk helsn geometrs ve malzeme özellkler: Geometrk Özellkler Malzeme Özellkler Tur sayısı (n) : 6.5 tur Elastste modülü (E) : N/m 2 Kest yarıçapı (r) : 1 mm. Posson oranı (υ) :.3 Taban yarıçapı (R ) : 25 mm. Özkütle (ρ) : 785 kg/m 3 Tavan yarıçapı (R 1 ) : Değşken Eğm (α) : 4.8 dr. Şekl 4.2 de R1 / R oranına bağlı olarak lk altı moda at frekans değerlernn değşm verlmektedr. Şekl 4.2 ncelendğnde R1 / R oranı küçüldükçe frekans değerlernn büyüdüğü görülmektedr. Đlk altı mod çn R1 / R =.8,.6,.4 ve.2 değerlerne karşı gelen frekanslar, yarıçapı 25 mm olan slndrk hels çn hesaplananlar le karşılaştırıldığında, ortalama rölatf artma mktarı sırası le %22.5, %5.66, %84.58 ve % değerlern almaktadır (Bakınız Tablo ). Sadece brnc mod değerlernn verldğ Yıldırım [15] le yapılan karşılaştırmalarda, sonuçların büyük br uyum gösterdğ görülmektedr. Đlk altı mod çn, sonuçlar Yıldırım-Đnce [13] le karşılaştırılmış ve en büyük ve en küçük farklılıkların -%2.53 le %1. arasında değştğ görülmüştür. Doğrusal elemanların kullanıldığı SAP2 [27] programında se, gerçeğe yakın sonuçların elde edleblmes çn helsn 1 elemana kadar bölünmes gerekmştr. Şekl 4.3 de gözönüne 414

13 Konuralp GĐRGĐN, Olca OLGUN, Kutlu DARILMAZ, Mehmet H. OMURTAG alınan eleman sayısına göre R1 / R =.2 olan konk helste 1.mod peryodunun değşm görülmektedr Frekans R 1 /R O 1.mod 2.mod 3.mod 4.mod 5.mod 6.mod Şekl 4.2 Örnek 2 çn lk altı moda at frekansların R 1 /R o oranına göre değşm Tablo 4.2 R 1 /R O =.2 olan sabt kestl konk helsn serbest ttreşm frekansları Yıldırım- Sap2 HL Yıldırım Mod Đnce (22) Eleman sayısı Eleman sayısı (1997) Tablo 4.3 R 1 /R O =.4 olan sabt kestl konk helsn serbest ttreşm frekansları Sap2 HL Yıldırım Yıldırım Mod Đnce Eleman sayısı Eleman sayısı (22) (1997)

14 Slndrk ve Konk Helslern Karışık SEM le Dnamk Analz Tablo 4.4 R 1 /R O =.6 olan sabt kestl konk helsn serbest ttreşm frekansları Sap2 HL Yıldırım Yıldırım Mod (22) Đnce Eleman sayısı Eleman sayısı 1 eleman (1997) Tablo 4.5 R 1 /R O =.8 olan sabt kestl konk helsn serbest ttreşm frekansları Sap2 HL Yıldırım Yıldırım Mod (22) Đnce Eleman sayısı Eleman sayısı 1 eleman (1997) Brnc mod frekansı SAP2-1 eleman HL Programı Eleman Sayısı Şekl 4.3 R 1 /R O =.2 çn sabt kestl konk helste eleman sayısına göre 1.mod frekansının değşm(örnek2) 416

15 Konuralp GĐRGĐN, Olca OLGUN, Kutlu DARILMAZ, Mehmet H. OMURTAG 4.2 Örnek-3: Değşken dare kestl konk hels Bu örnekte değşken dare kestl ve geometrs Şekl 4.1 de tanımlanan konk helsn serbest ttreşm problem, taban yarıçapı R ve tavan yarıçapı R 1 nn değşk oranları çn ncelenmştr. Đk ucu ankastre mesnetl olan konk helsn geometrk ve malzeme özellkler Geometrk Özellkler Malzeme Özellkler Tur sayısı (n) : 6.5 tur Elas. modülü (E) : N/m 2 Kest yarıçapı (alt uçta) d 1 : 1 mm. Posson oranı (υ) :.3 Kest yarıçapı (ortada) d 2 : β d1 Özkütle (ρ) : 785 kg/m 3 Kest yarıçapı (üst uçta) d 3 1 mm Taban yarıçapı (R ) : 25 mm. Tavan yarıçapı (R 1 ) : değşken Eğm (α) : 4.8 olarak verlmektedr. Konk helsn dare kestnn yarıçapı başlangıç noktasından hels yükseklğnn orta noktasına kadar doğrusal olarak azalmakta, bu noktadan sonra btş noktasına kadar tekrar doğrusal olarak artmaktadır. Başlangıç ve btş noktalarında dare enkestn yarıçapları d1= d3= 1mm dr, konk helsn orta noktasındak yarıçapı se d2= β d1 dr. Tablo (4.6) da tavan yarıçapının taban yarıçapına oranı R1 / R =.2 olan konk helsn, değşken dare kest durumu çn lk altı moduna at frekansları SAP2 programı le karşılaştırılarak doğrulama yapılmıştır. Doğrusal elemanların kullanıldığı SAP2 çözümlernde helsn 1 elemana bölünmes elde edlen sayısal sonuçların, 5 elemanlı (294 blnmeyen) HL programı le bulunan sonuçlarla yeterl yakınsaklığı sağladığı görülmektedr. R1 / R =.4,.6 ve.8 oranları çn lk altı moda at frekanslar sadece HL programı le hesaplanmış ve sonuçlar Tablo (4.7)-Tablo (4.9) verlmştr. Đlk altı mod çn, değşken dare kestn β=1,.75,.5,.25 oranları le konk helsn R / R =.4,.6 ve.8 oranlarına karşı gelen frekansların değşm grafk olarak Şekl (a), (b),...,(f) de çzlmştr. Burada R 1 /R o oranı büyüdükçe ve β değer küçüldükçe frekansların azaldığı görülmektedr. Tablo 4.1 da sabt dare kestl (β=1.) konk helsn R / R oranlarına bağlı olarak hesaplanan brnc mod doğal frekansları, β=.75,.5 ve 1.25 çn hesaplanan frekanslar le karşılaştırılarak aralarındak değşm % bçmnde fade edlmştr. 417

16 Slndrk ve Konk Helslern Karışık SEM le Dnamk Analz Tablo 4.6 R 1 /R O =.2 çn değşken kestl konk helsn serbest ttreşm frekansları Sap2 HL β Mod Eleman sayısı Eleman sayısı Tablo 4.7 R 1 /R O =.4 çn değşken kestl konk helsn serbest ttreşm frekansları HL β Mod Eleman Sayısı

17 Konuralp GĐRGĐN, Olca OLGUN, Kutlu DARILMAZ, Mehmet H. OMURTAG Tablo 4.8 R 1 /R O =.6 çn değşken kestl konk helsn serbest ttreşm frekansları HL β Mod Eleman sayısı Tablo 4.9 R 1 /R O =.8 çn değşken kestl konk helsn serbest ttreşm frekansları HL β Mod Eleman sayısı

18 Slndrk ve Konk Helslern Karışık SEM le Dnamk Analz Tablo 4.1 β=.75,.5 ve.25 değerlerne karşı gelen frekansların β=1. çn elde edlen frekanslar le karşılaştırılması Brnc mod frekansları R 1 /R O β=1. β=.75 β=.5 β=.25 (%) farklılık A B C D (B-A)/A (C-A)/A (D-A)/A Ortalama (%) farklılık = Beta=.25 Beta=.5 Beta=.75 Beta= Beta=.25 Beta=.5 Beta=.75 Beta=1. Frekans 8 6 Frekans Frekans (a) R 1 / R O Beta=.25 Beta=.5 Beta=.75 Beta= Frekans R 1 / R O (b) 18 Beta= Beta=.5 14 Beta=.75 Beta= (c) R 1 / R O (d) R 1 / R O 42

19 Konuralp GĐRGĐN, Olca OLGUN, Kutlu DARILMAZ, Mehmet H. OMURTAG 25 2 Beta=.25 Beta=.5 Beta=.75 Beta= Beta=.25 Beta=.5 Beta=.75 Beta=1. Frekans 15 1 Frekans R 1 / R O (e) (f) Şekl 4.4 Örnek 3 çn (a) 1.mod, (b) 2.mod, (c) 3.mod, (d) 4.mod, (e) 5. mod ve (f) 6.mod frekanslarının R 1 /R o oranına göre değşm 5. SONUÇLAR ve TARTIŞMA Bu çalışmada, Omurtag ve Aköz [22] de eğrsel uzay çubukların statk hesabı çn verlmş olan karışık sonlu eleman formülasyonu, değşken kestl slndrk ve konk helslern serbest ttreşm problemn çözecek şeklde gelştrlmştr. Bu amaçla Olca [26] da elde edlen yayılı kütle matrsnden yararlanılmıştır. Eğrsel uzay çubukların eleman matrsler, Tmoshenko çubuk varsayımına göre elde edldğnden nspeten kalın helsel çubuklara da uygulanablmektedr. Ayrıca karışık sonlu eleman formülasyonu kullanıldığı çn elemanda kayma kltlenmes problem bulunmamaktadır. Daha hassas sonuçların elde edleblmes çn, topak kütle (lumped mass) matrs yerne yayılı kütle matrs (consstent mass) yöntem kullanılmıştır. Gerek eleman ve gerekse kütle matrsler, değşken kest özellklern de gözetecek bçmde gelştrlmştr. Bu çalışmada kullanılan sonlu eleman matrs, slndrk hels çubuk çn gelştrlmş olup, konk hels çn eğrlklerdek değşmler, şekl fonksyonları yardımıyla gözönüne alınmıştır. HL programıyla elde edlen sayısal sonuçlar, lteratürde mevcut olan deneysel ve sayısal çalışmaların yanı sıra SAP2 programı le de karşılaştırılmış ve sonuçların uyum çnde olduğu görülmüştür. Bu çalışmada, slndrk helsten uyarlanan ve yaklaşık konk geometr çn gelştrlen karışık sonlu eleman le hesaplanan frekanslar, lteratürde kesn geometrnn gözönüne alındığı yer değştrme esaslı sonlu elemanlar le elde edlen frekanslar le karşılaştırılmış, aynı sayıda eleman kullanılarak benzer sonuçlara ulaşılabldğ görülmüştür. Ayrıca, serbest ttreşm analznde gelştrlen karışık S.E. yöntem, doğru eksenl elemanların kullanıldığı yapı analz paket programlarına göre çok daha az sayıda eleman kullanılması le gerçeğe yakın frekansların elde edlmesne olanak sağlamaktadır. Tablo 4.2-Tablo 4.5 de verlen SAP2 (1 eleman) ve HL programı le elde edlen lk altı moda at serbest ttreşm modlarına karşı gelen frekanslar le karşılaştırılmıştır. Burada rölatf farklılık (SAP2-HL)/SAP2 1 olarak gözönüne alınacaktır. R 1 /R o =.2 olan konk helste HL programında 1, 75, 5 ve 3 elemanın kullanıldığı çözümler çn hesaplanan rölatf farklılıklar sırasıyla %.1, %.19, %.79 ve % 9.6 dır. Benzer R 1 / R O 421

20 Slndrk ve Konk Helslern Karışık SEM le Dnamk Analz şeklde R 1 /R o oranının.8 olduğu konk helste se, HL programında 1, 75, 5 ve 3 elemanın kullanıldığı çözümler çn hesaplanan rölatf farklılıklar sırasıyla %.6, %.16, %.75 ve % 9.52 olduğu görülmüştür. Elde edlen sayısal sonuçlara göre, konk helsn karışık S.E. yöntem le serbest ttreşm analznde 5 elemana bölünmes (kondensasyon sonrası toplam blnmeyen sayısı=294) mühendslk uygulamaları açısından yeterl düzeyde olduğu sonucuna varılmıştır. TEŞEKKÜR Yazarlar bu araştırmayı destekleyen ĐTÜ Blmsel Araştırma ve Gelştrme Destekleme Programı na teşekkür ederler. Proe No: 11_5_15. KAYNAKLAR [1] Epsten, I., The moton of concal col sprngs, Journal of Appled Physcs, 18, s , [2] Pearson, D., Wttrck, W.H., An exact soluton for the vbraton of helcal sprngs usng a Bernoull-Euler model, Internatonal Journal of Mechancal Scences, 28, s , [3] Holmes, A.M.C, Analyss of helcal beams under symmetrc loadng, Journal of Structural Dvson ASCE, 83/6, s. 1-37, [4] Scordels, A.C., Internal forces n unformly loaded helcodal grders., Journal of Amercan Concrete Insttue, 56, s , 196. [5] Cnemre, V., Başlangıç değerler metodu le helsel çubukların statk hesabı. DoktoraTez Đ.T.Ü., 196 [6] Pearson, D., The transfer matrx method for the vbraton of compressed helcal sprngs., Journal of Mechancal Engneerng Scence, 24, s , [7] Haktanır, V. ve Kıral, E., Helsel çubukların statk davranışının rtlk matrs metodu le ncelenmes., Çukurova Ünverstes Müh. Mm. Fak. Dergs, Adana, [8] Abdülbak, A. ve Shukar, A., Contnuous helcal grders, Journal of Constructon Engneerng and Management, 99/ST 1, [9] Mottershead J.E., Fnte elements for dynamcal analyss of helcal rods, Internatonal Journal of Mechancal Scences, 22, s , 198. [1] Haktanır, V. ve Kıral, E., Hels eksenl merdvenlern blgsayarda dnamk hesabı, Đnşaat Mühendslğnde Blgsayar Kullanımı Đknc Sempozyomu, Đ.T.Ü. Đnşaat Fakültes, 199. [11] Nagaya K., Takeda S. ve Nakata Y., Free vbraton of col sprngs of arbtrary shape, Internatonal Journal of Numercal Methods n Engneerng, 23, s , [12] Yıldırım, V., Investgaton of parameters affectng free vbraton frequency of helcal sprngs, Journal of Numercal Methods n Engneerng, 39, s , [13] Yıldırım, V. ve Đnce, N., Natural frequences of helcal sprngs of arbtrary shape, Journal of Sound and Vbraton, 24(2), s ,

21 Konuralp GĐRGĐN, Olca OLGUN, Kutlu DARILMAZ, Mehmet H. OMURTAG [14] Yıldırım, V. ve Sancaktar, E., Lneer free vbraton analyss of cross-ply lamnated cylndrcal helcal sprngs, Internatonal Journal of Mechancal Scences, 42, s , 2. [15] Yıldırım, V., Expressons for predctng fundamental natural frequences of noncylndrcal helcal sprngs, Journal of Sound and Vbraton, 252, (3), s , 22. [16] Becker, L.E. ve Chasse, G.G. ve Cleghorn, W.L., On the natural frequences of helcal compresson sprngs, Internatonal Journal of Mechancal Scences, 44, s , 22. [17] Busool, W., Esenberger, M., Free vbraton of helcodal beams of arbtrary shape and varable cross secton, Journal of Vbraton and Acoustcs,124, ASME, s , 22. [18] Yıldırım, V., A parametrc study on the natural frequences of undrectonal composte concal sprngs., Commun. Numer. Meth. Engng., 2, , 24. [19] Gudo, A.R., Petra, L.D., Valle, S.D., Transverse vbratons of cylndrcal helcal sprns, Meccanca 13, 9-18, [2] Jang, W., Jones, W.K., Wang, T.L., ve Wu, K.H., Free vbratons of helcal sprngs, Int. J.of Mechancal Scences, 58, , [21] Aköz, A.Y., Omurtag, M.H., ve Doğruoğlu, A.N., The Mxed Fnte Element Formulaton for Three Dmensonal Bars, Internatonal Journal of Solds Structures, 28, , [22] Omurtag, M.H. ve Aköz, A.Y., The mxed fnte element soluton of helcal beams wth varable cross-secton under arbtrary loadng, Computers & Structures, 43, , [23] Tmoshenko, S.P., On the correcton for shear of the dfferental equaton for transverse vbraton of prsmatc bars, Phlosophcal Magazne, 41, , [24] Đnan, M., Elastk çubukların genel teors, Đ.T.Ü. yayını, [25] Omurtag, M.H. ve Özütok, A. Aköz, A.Y., ve Özçelkörs, Y., Free vbraton analyss of Krchhoff plates restng on elastc foundaton by mxed fnte element formulaton based on Gateaux dfferantal, Inernatonal Journal of Numercal Methods n Engnerng, 4, , [26] Olgun, O, Helsel çubuklarda statk ve dnamk problemlern karışık sonlu elemanlar metodu le ncelenmes, ĐTÜ Fen Blmler Ensttüsü, Yüksek Lsans Tez, 24. [27] SAP2, Structural analyss program, CSI, Berkeley, USA. 423