LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ
I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel bir ablo F cismi üzeride bir m maris adıı alır. F cismi üzerideki üm m lik marisler kümesi mx F ile göserilir. Çoğu kayak maris içi F cismide söz emede, sayı vb. gibi cebirsel eseleri (1) deki gibi oluşurduğu dikdörgesel bir abloya m -ipide bir maris deir aımıı kullamakadır. Biz de zorulu olmadıkça F cismi üzeride bir maris sözü yerie maris sözüü kullaacağız. Marisler geellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle göserilir. (1) deki maris A ile göserilirse her kereside (1) deki abloyu yapmak yerie bu maris, A = [ a ij ] m şeklide göserilebilir ve A, m -ipide bir marisir diye okuur. i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., olmak üzere a ij ler marisi elemalarıdır. (Bazı kayaklar A = [ a ij ] m yerie A a ij m A a ij emekedirler.) [ ] m = ( ), veya sadece A = [ ] a ij göseriliş biçimii ercih = marisi m saırlı, süulu bir maris olup, a ij elemaıı aşıdığı birici idis elemaı saır umarasıı, ikici idis ise süu umarasıı gösermekedir. Öreği 2 ici saır elemaları a 21, a 22, a 23, K, a 2
dir. a 35 ise 3 ücü saır 5 ici süu elemaıdır. Öreği, B = 1 6 1 [ ] = b ij 1 8 bir 2 3 -marisir. Bu marise b = 8 23, b 13 = 1 vb. dir. 1.2. Kare Maris Saır sayısı süu sayısıa eşi ola bir marise kare maris adı verilir. saırlı, süulu bir kare maris geellikle.merebede bir kare maris olarak aılır. kare mariside a11 a12 L a1 a a a A = 21 22 L 2 M M L M a1 a2 L a a 11, a 22, a 33, K, a elemalarıa A kare marisii esas köşege elemaları adı verilir. Öreği, 2 3 5 7 6 9 kare mariside esas köşege elemaları 2, 7, 9 dur. Bir Kare Marisi İzi: A kare marisii esas köşege elemalarıı oplamıa, A marisii izi deir ve İz( A ) ile göserilir. Yukarda verile A marisii izi, İz ( A ) = 2 + 7 + 9 = 18 dir. 1.3. Saır Maris ( veya Saır Vekörü )
Sadece bir saırlı bir marise saır maris veya saır vekörü deir. Öreği, [ 2 1 3 5 7 ] marisi 5 süulu bir saır vekörüdür. Buu, 1 5-ipide saır marisi şeklide okuyabiliriz. 1.4. Süu Maris (Süu Vekörü) Sadece bir süuda oluşa maris bir süu maris (veya süu vekörü) adıı alır. Öreği, 3 1 1 marisi 4 saırlı bir süu marisi (vekörü) dir. Bu maris 4 1-ipide süu marisi şeklide okuur. 1.5. Sıfır Maris Elemalarıı hepsi sıfır ola marise sıfır maris deir. Öreği, marisi bir 2 3-ipide sıfır marisir. Sıfır maris ile göserilebilir. marisleri birer sıfır marisirler. 1.6. Özel Marisler 1.6.1. Köşege Maris: [ ],, A = [ a ij ], x lik kare bir maris olsu. Her j maris deir. i içi a = ise A marisie köşege ij
şeklide göserilir. a11 L a22 A L = = diag( a M M L M L a 11, a 22,..., a ) 1.6.2. Skaler Maris: Köşege üzerideki büü elemaları ayı skalere eşi ola köşege marise skaler maris deir. 1.6.3. Birim Maris: Köşege üzerideki büü elemaları 1 e eşi ola skaler marise birim maris deir. x lik birim maris I ile göserilir. 1.6.4. Üs Üçgesel Maris: A bir kare maris olmak üzere her i >j içi a = ise A marisie, üs üçgesel maris deir. 1.6.5. Al Üçgesel Maris: ij A bir kare maris olmak üzere her i <j içi a = ise A marisie, al üçgesel maris deir. ij 1.7. İki Marisi Eşiliği Her ikisi de m -maris ola A [ a ] B = [ ] =, marisleride karşılıklı elemalar ij b ij eşise yai her i, j içi a = b ise A ve B marislerie eşiirler deir ve A = B yazılır. ij ij Örek 1.7.1 x x 1 1 k A = B y = 3 1, 3 5 3 5 2 ve A = B olduğua göre x, y ve k sayılarıı belirelim:
x = 3 k = x 1 = 3 1 = 2 y = 2 buluur. 1.8. Bir Marisi Bir Skaler ile Çarpımı A bir maris ve k bir skaler olmak üzere ( k F), A ı her elemaıı k ile çarpmakla elde edile maris ka marisidir. Yai a11 a12 L a1 a21 a22 L a2 k M M L M a 1 a 2 L a ka ka L ka ka ka L ka = M M L M ka 1 ka 2 L ka 11 12 1 21 22 2 dir. Öreği, 2 3 1 A = 4 6, 3A = 1 2 3 6 9 3 12 18 3 6 9 dır. ( 1) A yerie A yazılır. 1.9. İki Marisi Toplamı İki marisi oplamı = [ ], B = [ b ij ] A a ij m m olmak üzere [ ij ij ] A + B = a + b m şeklide aımlaır. Görüldüğü gibi acak ve acak ayı ipe iki maris oplaabilir ve karşılıklı elemaları oplamasıyla elde edilir. Öreği,
dir. 1 2 3 x y 3 1 + x 2 + y 6 2 4 + 4 1 2 = 4 1 6 5 1 4 1 z 2 6 1+ z 2 1.1. İki Marisi Çarpımı A = [ ], B ] a ij m [ b ij p = olmak üzere AB C = [ ] elemaları her i = 1,2,..., m; j = 1, 2,..., p içi c ij = marisi bir m p -maris olup c ij c = a b + a b + a b + a b ij i1 1 j i2 2 j i3 3 j L i j şeklide aımlamışır. Bu aımda da alaşılacağı gibi acak A marisii süu sayısı B marisii saır sayısıa eşi ise AB çarpımı aımlıdır. Açıklama : A = [ ], ve B = ] ike AB marisii i.saır j. süu elemaıı bulmak içi A a ij m [ b ij p ı i.saır elemalarıı B i j. süu elemalarıyla karşılıklı olarak çarpılmasıı oplamı alıır. Yai A ı i.saırı B i j. süuu a, a i1, ai2, ai3, L b b b, b 1 j, 2 j, 3 j, L i j olup, buları karşılıklı olarak çarpımlarıı oplamı c = a b + a b + a b + + a b ij i1 1 j i2 2 j i3 3 j L i j dir. i = 1, 2,..., m ve j = 1, 2,..., p olduğuda AB marisi m p -ipide bir marisir. Örek 1.1.1
ike 2 1 1 A = 3 2 4 5 3 2 1 ; B = 3 4 7 2. 2 + 13. + ( 1).( 4) 21. + 1. + ( 1). 7 AB = 32. + 2. 3 +.( 4) 31. + 2. +. 7 4. 2 + 5. 3 + ( 3).( 4) 41. + 5. + ( 3). 7 4 + 3 + 4 2 7 11 5 = 6 + 6 3 = 12 3 8 + 15 + 12 4 21 35 17 dir. AB aımlı olmasıa karşı BA aımlı değildir. Çükü B i süu sayısı 2, A ı saır sayısı 3 ve 2 3 ür. Örek 1.1.2 2 1 A = 6 3, B = 3 1 6 2 2 AB = 6 1 3 3 6 1 2.3 + ( 1).6 = 2 6.3 + ( 3).6 2.1 + ( 1).2 = 6.1 + ( 3).2 3 BA = 6 1 2 2 6 1 3.2 + 1.6 = 3 6.2 + 2.6 3.( 1) + 1.( 3) 12 = 6.( 1) + 2.( 3) 24 6 12 Görüldüğü gibi AB = ise A veya B i sıfır maris olması gerekmez. Ayrıca geel olarak AB BA dır. 1.11. Toplama ve Skalerle Çarpma ile İlgili Özellikler A, B, C marisleri birer m -maris ve k, k birer skaler olmak üzere 1 2
1) ( A + B) + C = A + ( B + C) (Toplama işlemii birleşme özelliği) 2) A + B = B + A (Toplamaya göre değişme özelliği) 3) A + = + A = A 4) ( k k ) A = k ( k A) 1 2 1 2 5) k ( A + B) = k A + k B 1 1 1 6) ( k + k ) A = k A + k A 1 2 1 2 özellikleri vardır. Bu özellikleri ispaları kolay olduğuda burada verilmeyecekir. Örek 1.11.2 3 1 A = B = 1, 2 4 5 olduğua göre AX = X + 3 B eşiliğii gerçekleye X marisii belirelim: A marisi 2 2-ipide, B marisi 2 1-ipide birer maris olduğua göre çarpma ve oplama aımıda X marisi 2 1-ipide bir maris olmak zorudadır. X a = b diyelim. Bua göre AX = X + 3 B 3 1 1 3 2 4 a = a + b b 5 3a + b a 3 2a + 4b = b + 15 3a + b = a 3 2a + b = 3
2a + 4b = b + 15 + 2a + 3b = 15 4b = 12 b = 3 ve 2a + 9 = 15 2a = 6 a = 3 X = 3 3 olarak buluur. 1.12. Bir Marisi Traspozesi [ a ij ] m A = marisii saırlarıı ayı umaralı süu yaparak elde edile marise A ı devriği veya A ı raspozesi deir. A ı raspozesi A veya A ' ile göserilir. [ a ij ] m A = i raspozesi bir m marisir. Öreği, dir. 2 1 3 A = 5 7 2 5 ise A = 1 7 3 1.13. Toplama ve Çarpma ile İlgili Özellikler A, B, C uygu ipe birer maris ve k bir skaler olmak üzere 1) ( AB) C = A( BC) 2) A( B + C) = AB + AC ( B + C) A = BA + CA 3) k ( AB) = ( ka) B = A( kb) 4) AB = ise A veya B marisii sıfır maris olması gerekmez.
5) AB i aımlı olması BA ı da aımlı olmasıı gerekirmez. 6) ( A + B) = A + B 7) ( AB ) = B A 8) ( A ) = A 9) ( ka) = ka dir. Simerik maris: Trapozesi, kedisie eşi ola marise simerik maris deir. Ters-simerik maris: A = A ise A marisie ers-simerik maris deir. Problemler: 1) A ve B simerik marisler olsu. (a) A+B marisi simerik bir marisir, ispalayıız. (b) AB marisii simerik olması içi gerek ve yeer koşul AB=BA olmasıdır, ispalayıız. 2) (i) c bir skaler olmak üzere İz ( ca) = ciz( A) (ii) İz ( A + B) = İz( A) + İz( B) (iii) İz ( AB) = İz( BA) olduğuu göseriiz.
KAYNAKLAR [1] B. Kolma, D.R. Hill, Iroducory Liear Algebra, Pearso Preice Hall, 25. [2] C. Koç, Basic Liear Algebra, Maemaik Vakfı, 1995. [3] E. Balkaay, Lieer Cebir Ders Noları. [4] J.B.Fraleigh, R.A. Beauregard, Liear Algebra, Addiso-Wesley, [5] K.Hoffma, R. Kuze, Liear Algebra, Preice-Hall, 1971. [6] S.H. Friedberg, A.J. Isel, L.E. Spece, Liear Algebra, Preice-Hall, 1989.