T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

Contents 1 Kümeler Cebiri 5

1 Kümeler Cebiri 1 Doğa olaylarının ya da sosyal olayların açıklanması için, bazen, matematiksel modelleme yapılır. Bunu yapmak demek, incelenecek olaya etki eden etmenleri içine alan matematiksel formülleri ortaya koymak demektir. Bunların büyük çoğunluğu, sayısal işlemlerle yapılabilir. Ama bazı durumlarda, sayısal işlemlere benzemeyen işlemler gerekebilir. Bu farklı işlemlerden bir bölümü, Kümeler Cebiri kullanılarak yapılanlardır. Sayılarda yaptığımız dört işlem, tek tek sayılarla uğraşır. İki sayı arasında yapılan toplama, çıkarma, bölme, çarpma,... işlemleriyle yeni sayılar oluşturur. Kümeler Cebiri, sayılardaki dört işlemden farklı olarak, tek tek öğelerle değil, kümelerle uğraşır. İki küme arasındaki işlemlerle yeni kümeler oluşturur. Bu kavram, birçok modellemede kullanılır. Hemen belirtelim ki, Matematik bir yönüyle, kesin kuralları olan bir dildir. Bir dilin alfabesini, ve dilbilgisini öğrenmeden, o dilde konuşmak ve düşünmek mümkün değildir. Matematiğin alfabesi simgeler, dilbilgisi ise tanımlar ve teoremlerdir. Dolayısıyla, Matematiği kavrayabilmek için, öncelikle, sayısı çok olmayan simgeleri öğrenmeliyiz. Tanım ve teoremler, bunu kolayca izleyecektir. 1 Kümesel İşlemler Kümeleri liste biçiminde gösterirken, kümenin öğelerini { } parantezi içine yazarız. { } ye küme parantezi denilir. Küme parantezi içine yazılan öğelerin sırası önemli değildir. Ayrıca, aynı öğe birden çok yazılmışsa, o öğe bir kez var sayılır. Örnek 1.1. Öğeleri a,b,c olan kümeyi A = {a, b, c}, A = {b, a, c}, A = {c, b, a} vb gibi yazabiliriz. Küme parantezi içine öğelerin hangi sırada yazıldığı önem taşımaz. Kümeleri, genellikle, A, B,..., X, Y,... gibi büyük harflerle, öğelerini ise a, b, c,..., x, y,... gibi küçük harflerle göstereceğiz. Ayrıca 1, 2, 3,... gibi sayıları ya da başka simgeleri de öğe olarak gösterebiliriz. {a, b, c} kümesi ile {a, a, a, b, c} kümeleri aynıdır; çünkü a öğesi

6 calculus küme parantezi içine birden çok kez girse bile ancak bir kez var olduğunu kabul ediyoruz. Tanım?? de birinci özelik, kümenin öğelerinin kesinlikle belirli olduğu anlamına gelir. Hangi öğenin kümeye ait olduğu ya da olmadığı konusunda hiç bir kuşku olmaz. Örneğin, K = {kütüphanemizdeki kitaplar} ifadesi kümeyi kesinlikle belirler. Çünkü, kütüphanemizdeki her kitap K kümenin bir öğesidir; kütüphanemizde olmayan hiç bir kitap K kümesine ait değildir. Bunun yanında, {iyi kitaplar} deyimi bir küme tanımlamaz. Çünkü, iyi kitap kavramı kişiden kişiye değişir. Dolayısıyla, Tanım?? in ilk özeliği sağlanmaz. Tanım 1.2. a A simgesi a öğesinin A kümesine ait olduğunu belirtir ve "a öğesi A kümesi içindedir", diye okunur. Tersine olarak, a A simgesi a öğesinin A kümesine at olmadığını belirtir ve "a öğesi A kümesi içinde değildir", diye okunur. Aşağıdaki denklikler vardır. Kapsama 2 a A A a (1.1) a A A a (1.2) Tanım 1.3. A kümesinin her öğesi B kümesine ait ise, "A kümesi, B kümesi tarafından kapsanır" ya da "B kümesi A kümesini kapsıyor," denilir ve A B simgesiyle gösterilir. 2 Kapsama Tanım 1.4. A B ise A kümesi B kümesinin bir altkümesidir ya da B kümesi A kümesinin bir üstkümesidir, denilir. simgesine kapsama bağıntısı denilir. A B ile B A eş anlamlıdır. Kapsamayı simgesel olarak şöyle gösterebiliriz: A B = (x A x B) (1.3) Evrensel Küme 3 Sözlük anlamıyla, evrensel kümeyi her şeyi içeren en büyük küme olarak düşünmeye kalkabiliriz. Oysa, öyle bir küme belirsizdir. Her şeyi içeren küme, kişiden kişiye değişebileceği gibi, böyle bir kümeyi kümeler cebirine katınca sistemde paradokslar oluşur. Paradoksları ileride ele alacağız. Evrensel küme diyeceğimiz tek bir küme yoktur. Figure 1.1: Altküme 3 evrensel

kümeler cebiri 7 Tanım 1.5. Belli bir iş için, o anda ele alınan bütün öğeleri (nesneleri) içeren kümeye evrensel küme denilir. Örneğin, {1, 3, 5, 7} kümesi ile işlem yaparken, evrensel küme olarak tek sayılar kümesini, doğal sayılar kümesini ya da tam sayılar kümesini almak mümkündür. Evrensel kümeyi belirleyen genel bir kural yoktur. İşleme giren öğelerin hepsini kapsayan en küçük kümeyi evrensel küme olarak seçmek uygundur. Aslında, kümeler cebiri ile ilgili işlemlerin çoğunda evrensel kümenin kim olduğu önemli fark yaratmayacaktır. Ele alınan kümeler soyut ise; yani öğeleri belirtilmiyor ise, o anda söz konusu olan bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme deriz. Bu anlaşma, kümeler cebirinde bir sorun yaratmayacaktır. Evrensel kümeyi, çoğunlukla E simgesiyle göstereceğiz. 1.1 Venn Çizenekleri İngiliz matematikçi John Venn(134-1923) yapılan işlemlerin kolay algılanmasını sağlamak için kümeleri düzlemsel şekillerle gösterdi. Kümeleri istediğimiz şekillerle gösterebiliriz. Ama, duyu organlarımız iki boyutlu şekilleri; yani düzlemsel şekilleri daha kolay algılar. Genellikle, daire ve elips kullanılır. Tümleyen Küme 4 Tanım 1.6. A kümesinin tümleyeni, evrensel kümeye ait olan ama A kümesine ait olmayan öğelerin oluşturduğu kümedir. 4 Tümleyen A kümesinin tümleyeni A, A, A c, E \ A ya da E A simgelerinden birisi ile gösterilir. Simgesel olarak, tümleyen kümeyi A = {x x E x A} (1.4) Figure 1.3: Tümleyen Küme biçiminde yazabiliriz. E tümleyeninin kim olduğunu belirtmek gerekmiyorsa, yukarıdaki ifadeyi yalın biçimiyle yazarız. A = {x x A} (1.5) Theorem 1.7. E evrensel küme ise, her x E ve A E kümesi için aşağıdaki özelikler geçerlidir. İspat: Tümleyen küme tanımından çıkar. x A = x A (1.6) x A = x A (1.7)

8 calculus Lemma 1.8. Her A kümesi için (A ) = eşitliği sağlanır. İspat: Boş Küme 5 x A = x A = x (A ) Tanım 1.9. Hiçbir öğesi varolmayan kümeye, boş küme diyecek ve bunu simgesiyle ya da içi boş { } parantezi ile göstereceğiz. 5 Boş Boş kümenin, kümeler cebirinde oynadığı rolü, sıfırın sayılarda oynadığı role benzetebiliriz. Tabii, sıfırın boş küme olmadığını söylemek gerekmez. Örnek 1.10. Hiçbir insan 200 yıl yaşamadığına göre = { İkiyüz yaşını geçmiş ressamlar.} olur. Theorem 1.11. Her küme boş kümeyi kapsar. İspat: A herhangi bir küme olsun. x x A (1.8) olduğunu göstermeliyiz. Bunun için olmayana ergi yöntemini (φ ψ ψ φ) kullanabiliriz. Boş kümenin hiç bir öğesi olmadığından, A kümesine ait olmayan hiç bir öğenin boş kümeye ait olamayacağı apaçıktır. O halde, yazılabilir. x A x (1.9) Theorem 1.12. Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir. İspat: E = ve = E olduğunu göstermeliyiz. Tümleyen küme tanımında A yerine E konulursa E = {x x E x E} Sağdaki küme parantezi içindeki önerme hepyanlış bir önermedir. O halde, önermeyi sağlayan hiçbir x öğesi yoktur. Öyleyse, E tümleyeninin hiçbir öğesi yoktur. E = olur. Teoremin ikinci kısmı da benzer olarak kanıtlanabilir. = {x x E x } Sağdaki küme parantezi içindeki önerme hepdoğru bir önermedir; evrensel kümeye ait her x öğesi önermeyi sağlar. Öyleyse, tümleyeni evrensel kümedir: E = olur.

kümeler cebiri 9 Figure 1.4: Altküme: A B E Tek öğeli küme Tanım 1.13. Yalnızca bir tek a öğesine sahip kümeyi {a} ile gösterecek ve adına tek öğeli küme diyeceğiz. Uyarı 1.14. a bir öğedir, {a} ise bir kümedir. Dolayısıyla bu ikisi birbirlerinden farklıdır: a {a}. Alt Küme ve Üst Küme 6 Tanım 1.15. A kümesi B kümesi tarafından kapsanıyorsa "A kümesi B kümesinin bir alt kümesi dir," ya da "B kümesi A kümesi nin bir üst kümesi dir," diyeceğiz: B A. 6, Eşit Kümeler Tanım 1.16. A kümesi B kümesinin altkümesi ve B kümesi de A kümesinin altkümesi ise, "A ile B kümeleri birbirlerine eşittir," denilir ve bu durum, A = B simgesiyle gösterilir. A = B = [(A B) (B A) (1.10) Has Alt Küme 7 A B = A kümesi, B nin bir alt kümesidir, olması, A kümesinin B ye eşit olamayacağı anlamına gelmez. Örneğin, her küme kendi kendisinin bir alt kümesidir A A. Neden? Bazen, altkümenin üstkümeye eşit olmadığını vurgulamak gerekir. 7Has Tanım 1.17. A kümesi, B kümesi tarafından kapsanıyorsa ve A ile B eşit değilseler, A kümesi B kümesi nin bir has alt kümesi dir, denilir.

10 calculus Bu durumu simgesel olarak, (A B) (A = B) (1.11) biçiminde göstereceğiz. 8. Kuvvet Kümesi Kümeler cebirinde bir kümenin bütün altkümelerinden oluşan aile önemli bir araç olarak kullanılır. Tanım 1.18. Boş olmayan A kümesinin kuvvet kümesi A kümesinin bütün altkümelerinden oluşan kümedir; P(A) simgesiyle gösterilir. Öğeleri kümeler olan bir topluluğun kendisi de bir kümedir. Ancak, onlara kümeler ailesi diyeceğiz. Böylece, öğeleri kümeler olan kümeyi algılamak daha kolaylaşacaktır. Aşağıdaki önermenin ispatı ileride yapılabilecektir. 8 Uyarı: Bazı kaynaklarda A B yerine A B simgesi ve (A B) (A = B) yerine de A B simgesi kullanılır. Tabii, bir kavramın hangi simgeyle gösterildiği, o kavrama etkimez; ama hangi kavram için hangi simgenin kullanıldığını daima bilmek ve tutarlı biçimde kullanmak gerekir. Bu derste simgesini kullanacağız Theorem 1.19. n öğeli bir kümenin bütün alt kümelerinin sayısı 2 n dir. 1.2 Küme İşlemleri Bileşim Ya A kümesine ya B kümesine ya da hem A ya hem de B ye ait olan bütün öğelerden oluşan kümeye, A ile B nin bileşimi, denilir ve A B simgesiyle gösterilir; yani, dir. A B = { x (x A) (x B) } (1.12) Arakesit Hem A kümesine hem de B kümesi ne ait olan bütün öğelerden oluşan kümeye, A ile B nin arakesiti, denilir ve A B simgesiyle gösterilir; yani, dir. A B = { x x A x B} (1.13) Figure 1.5: Bileşim Ayrık Kümeler A ile B kümelerinin arakesiti boş ise; yani, A B = (1.14) ise, A kümesi ile B kümesi birbirlerinden ayrıktırlar (kesişmiyorlar), denilir. Hiçbir ortak öğesi olmayan iki küme ayrıktır. Figure 1.6: Arakesit Kesişen Kümeler A ile B kümelerinin arakesiti boş değilse ; yani, A B = (1.15) ise, A ile B kümeleri ayrık değildir (kesişiyorlar), denilir. Kesişen iki kümenin en az bir tane ortak öğeleri vardır.

kümeler cebiri 11 Fark A kümesinin öğelerinden B kümesine de ait olanları attıktan sonra, geriye kalan öğelerin oluşturduğu kümeye, A ile B nin farkı diyecek ve bunu A \ B ya da A B simgelerinden birisiyle göstereceğiz; yani, A B = A \ B = { x x A x B } (1.16) dir. (A \ B) = (B \ A) olduğu apaçıktır. Simetrik Fark A ile B nin bileşim kümesinden, arakesitlerinin çıkarılmasıyla elde edilen kümeye, A ile B kümelerinin simetrik farkı diyecek ve bunu A B simgesiyle göstereceğiz; yani, Figure 1.7: A \ B: Fark A B = {(A B) \ (A B)} (1.17) dir. olduğu hemen görülür. (A B) = (B A) 1.3 KÜMELER CEBİRİ Bu bölümde bileşim, arakesit, fark, simetrik fark ve tümleme işlemleriyle ilgili başlıca özelikleri çıkaracağız. Figure 1.8: Simetrik Fark Theorem 1.20. a. Her küme boş kümeyi kapsar. b. Her küme, o kümeyi belirleyen önermenin belirlediği evrensel küme tarafından kapsanır. c. Bir küme ile onun tamlayan kümesinin bileşimi, evrensel kümelerine eşittir. İspat: A = { x p(x) } herhangi bir küme ve E = { x p(x) p (x)} A yı kapsayan evrensel küme olsun. (Evrensel küme tanımına bakınız.) Aşağıdaki bağıntıları göstermeliyiz. a. A b. A E c. E = A A a. Olmayana Ergi Yöntemini kullanalım. Eğer ( A) olsaydı, ( A) = [ x((x ) (x A))] 0 [ x(x x A] 1 [( A)] 1

12 calculus olurdu. Sağdaki ilk satırda, [(x ) 0] olduğundan, (x A) önermesi ister doğru, ister yanlış olsun, ((x ) (x A)) bileşik önermesi hepyanlıştır. Bu satırdaki ifadenin olumsuzu, ikinci satırdaki ifadeye eşittir ve hepdoğrudur. Üçüncü satıra geçmek için, alt küme tanımını kullanmak yetecektir. b. x A p(x) x E yazabiliriz. Neden? c. x E = [p(x) p (x)] = [(x A) (x A )] = x A A olduğundan, E (A A ) E (A A ) bağıntıları vardır. Bu isteneni verir. Buradan görüldüğü ve daha önce de söylediğimiz gibi, evrensel küme, ele aldığımız kümeyi belirleyen Φ önermesine bağlı olarak değişmektedir. İşlemlerde kolaylığı sağlamak için, ele alacağımız bütün kümeleri kapsayacak kadar büyük; ama yalnız onları kapsayacak kadar küçük bir evrensel kümenin seçildiğini varsayacağız. Farklı evrensel kümelerin seçilmesi, kümelerle yapacağımız işlemlerin özeliklerini değiştirmeyecektir. Buna göre, E evrensel kümesinin belli bir p açık önermesini sağlayan öğelerinden oluşan A alt kümesi A = { x x E p(x)} = { x Φ(x) p(x)} (1.18) dir. Buradaki p önermesinin, genellikle, E yi belirleyen Φ önermesinden farklı olabileceğine dikkat edilmelidir. Zaten Φ önermesiyle pek ilgilenmeyeceğiz. Ele alacağımız bütün kümeler E ye ait olacağından, yukarıdaki ifadeyi daha kısa olarak, A = { x p(x) } (1.19) biçiminde yazabiliriz. Aşağıdaki teoremlerin ispatları, önermeler cebirinde yaptığımız ilgili bağıntılardan çıkar. Lemma 1.21. A ile B herhangi iki küme ise, aşağıdaki bağıntılar sağlanır.

kümeler cebiri 13 1. A = B = [(x A) = (x B)] 2. x A = x A 3. x A = x A 4. A B = A B = B 5. A B = A B = A 6. A (A B) 7. B (A B) 8. (A B) A 9. (A B) B 10. (A A ) = Lemma 1.22. A, B, C herhangi üç küme ise, aşağıdaki bağıntılar sağlanır. a. A = A b. A = B B = A c. (A B) (B C) (A C) d. (A = B) (B = C) (A = C) e. A \ B = B \ A Lemma 1.23. A, B ve C herhangi üç küme ise, aşağıdaki bağıntılar sağlanır. 1. A = A (Boş küme bileşim işleminin birimidir) 2. A = (Boş küme, arakesit işleminin yok edicisidir) 3. A A = A (Bileşimde Eşgüçlülük Kuralı) 4. A A = A (Arakesitte Eşgüçlülük Kuralı) 5. A B = B A (Bileşim İşleminin Yer Değiştirebilirliği) 6. A B = B A (Arakesitin Yer Değiştirebilirliği) 7. (A B) C = A (B C) (Bileşimin Birleşebilirliği) 8. (A B) C = A (B C) (Arakesitin Birleşebilirliği) 9. A (B C) = (A B) (A C) (Arakesit Üzerine Dağılma) 10. A (B C) = (A B) (A C) (Bileşim Üzerine Dağılma) Bunlara kümeler cebirinin kuralları diyeceğiz. İspat: Örnek olarak, burada son eşitlik ispatlanacaktır. Ötekilerin ispatını öğrenciye bir alıştırma olarak bırakıyoruz. 1. Yol: Önermeler Cebiri ile Kümeler Cebiri nin bilinen özeliklerini kullanarak, istenen bağıntıyı çıkarabiliriz.

14 calculus x A (B C) = x A x B C arakesit tanımı = x A (x B x C) bileşim tanımı = (x A x B) (x A x C) dağılma = (x A B) (x A C) dağılma = x (A B) (A C) bileşim tanımı 2. Yol: Gösterilecek eşitliğin sol ve sağındaki önermelerin doğruluk tablolarını düzenleyip; doğruluk değerlerinin aynı olduğunu görebiliriz. Bunun için, her iki yandaki önermeleri yalın bileşenlerine ayırıp, herbirisinin doğruluk değerlerini bir tabloda göstereceğiz. Eşitliğin sol ve sağındaki önermelere, P(x) = x A (B C) Q(x) = x (A B) (A C) diyelim. Bu iki önermenin mantıksal denk olduğunu göstermek için, Aşağıdaki tabloyu düzenleyelim. x A x B x C x A B x A C x B C P(x) Q(x) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bu tablodan, evrensel kümeye ait her x için, P(x) Q(x) olduğu görülmektedir. O halde, A (B C) = (A B) (A C) eşitliği çıkmış olur. Lemma 1.24. E evrensel küme, A ile B bunun birer alt kümesi iseler, aşağıdaki eşitlikler sağlanır.

kümeler cebiri 15 1. A E = E E, Bileşimin Birim Öğesidir 2. A E = A E, Arakesitin Birim Öğesidir 3. A = E \ A 4. A = E \ A 5. (A ) = A 6. E = 7. = E 8. (A B) = A B De Morgan Kuralı 9. (A B) = A B De Morgan Kuralı 10. (A B) A B İspat: Aşağıdaki gerektirmeler, Önermeler Cebirinde ve Kümeler Cebirinde gördüğümüz özeliklerdir. Her bir adımı nedenleriyle açıklayınız. 1. A E A E = E 2. A E A E = A 3. x A = x A = x E \ A 4. x A = x A = x E \ A 5. x (A ) = x A = x A 6. x E = x E = Ω(x) x 7. x = x = Ω(x) = x E 8. x (A B) = x A B = (x A) (x B) = (x A ) (x B ) = x A B ) 9. x (A B) = x A B = (x A) (x B) = (x A ) (x B ) = x A B 1.4 ALIŞTIRMALAR 1. A, B, C, D birer küme ve E evrensel küme ise, aşağıdaki eşitlikleri sağlayınız. (a) (A \ B) = B A (b) A \ B = A (E \ B) (c) (A B) C = A (B C) (d) (A \ B) (C \ D) = (A C) \ (B D) 2.(a) A \ B = A = (A B = = B \ A = A B = A \ B = (b) A \ B = B \ A = A C = B = B C = A (c) (A C B C) = A B C

16 calculus (d) (C A C B) = C (A B (e) A B = B A (f) A B = A B = B = A B = A