ARALARINDA ASAL SAYILAR Bir ( 1 ) sayısı her sayının bölenidir. İki tamsayının birden başka ortak böleni yoksa böyle iki tamsayıya aralarında asal tam sayılar denir. İki tamsayı asal sayı olmak zorunda değildir, sadece ortak bölenleri olmamalıdır. 8 ve 15 sayılarının bölenlerini inceleyelim 8 in bölenleri; 1,, 4, 8 15 in bölenleri: 1, 3, 5, 15 Görüldüğü gibi 8 ve 15 asal sayı değil fakat aralarında asal sayılardır. 1) Aşağıdaki sayılardan aralarında asal olanlarını bölenlerini inceleyerek bulunuz. a) 8 ve 9 ) Aşağıdaki ardışık sayıların aralarında asal olup olmadığını bulunuz. a) 1 ve 35 ve 36 48 ve 49 10 ve 11 e) 55 ve 56 f) 86 ve 87 g) ve 14 3) Aşağıdaki ardışık tek sayıların aralarında asal olup olmadığını bulunuz. a) 17 ve 19 35 ve 37 1 ve 15 51 ve 53 145 ve 147 1 ve 5 e) 15 ve 17 18 ve e) 17 ve 19 f) 33 ve 35 4) Aşağıdaki ardışık çift sayıların aralarında asal olup olmadığını bulunuz. a) 18 ve 0 f) 7 ve 5 g) 36 ve 4 1 ve 14 64 ve 66 10 ve 104 e) 348 ve 350
5) Aşağıdaki boşlukları doldurunuz. a) Ardışık tek sayılar aralarında... Ardışık çift sayılar aralarında... Ardışık sayılar aralarında... 5'in katı olan sayılar aralarında... 6) n bir tamsayı olmak üzere aşağıdaki ifadelerden aralarında asal olanları bulunuz. a) n, n+1 aralarında asal mıdır? n, n-1 aralarında asal mıdır? n, 3n aralarında asal mıdır? n, n aralarında asal mıdır? e) n çift sayı olmak üzere n, n+ aralarında asal mıdır? f) n tek sayı olmak üzere n, n+ aralarında asal mıdır? Aşağıdaki kesirleri sadeleştiriniz. 1 1 = 18 18 3 = 3 pay ve payda yani ve 3 aralarında asaldır 3 65 65 = 85 17 85 = 17 pay ve payda yani ve 17 aralarında asaldır 17 Pay ve paydası aralarında asal olan kesirler en sade haldedirler. Aşağıdaki kesirlerin pay ve paydasının aralarında asal olup olmadığını inceleyiniz. Aralarında asal olmayan kesirleri sadeleştirerek aralarında asal duruma getiriniz. 15 a) 18 1 ile 5 sayısının aralarında asal olduğunu bölme algoritması ile gösterelim. Bölme algoritmasını uyguladığımızda her iki sayıyı ortak bölen bir sayı olmadığını görüyoruz. O halde 1 ve 5 aralarında asaldır. 35 5 48 39 51 4 Aşağıdaki sayıların aralarında asal olup olmadığını bölme algoritması ile bulunuz. a) 18 ile 35 4 ile 65 60 e) 83 ( bilgi) 1 4 4 1 = = 1 ve 4 aralarında asaldır. 16 4 16 4 1 sayısı her sayı ile aralarında asaldır. 1 ve 1 aralarında asaldır. 1 ve 35 aralarında asaldır. 55 ve 1 aralarında asaldır.
a + ve b-1 aralarında asaldır. a+ 1 b-1 15 4 a + 1 1 = = b-1 15 5 15 4 = 5 a + 4 = a + = 4 b-1= 5 b-1 5 a =, b = 6 a) a 8 b 10 (bilgi) Aralarında asal sayıların ortak bölenleri 1 dir. Aynı zamanda en küçük ortak bölende 1 dir. a ve b aralarında asal sayılar olmak üzere =1 'dir. Aşağıdaki sayıların ebobunu bulunuz. a) 1, 19 = 8, 9 = 5, 3 = 8, 17 = e) 45, 64 = f) 7, 84 = g), 39 = ( bilgi) Aralarında asal sayıların en küçük ortak katları birbiri ile çarpımıdır. 8 ile 15 'in en küçük ortak katını bulalım. a ve b + 3 aralarında asaldır. a 1 b+3 18 a- ve b +1 aralarında asaldır. a- 4 b+1 35 a +1 ve 3b aralarında asaldır. a +1 33 3b 30 8,16, 4, 3, 40, 48,56, 64, 7, 80, 88, 96,104,11, 10 15, 30, 45, 60, 75, 90,105, 10 8 ile 15 'in en küçük ortak katının 10 olduğu görülüyor. Yani 8.15 = 10 'dir. 8, 15 = 8.15 =10'dir. a ve b aralarında asal sayılar olmak üzere a,b = a.b Aşağıdaki sayıların ekokunu bulunuz. a) 10,19 = 75,8 = 4,5 = 3, 8 = e) 11,15 = f) 1,15 =
=1 = 7 a ve 8 aralarında asal sayılar olmak üzere ekokları 40 ise a kaçtır? Ebobu 1 olarak gördüğümüzde a ve b sayılarının aralarında asal olduğunu anlıyoruz. O halde a ve b nin ekoku a.b dir. a ve aralarında asal sayılar olmak üzere ekokları 65 ise a kaçtır? a.b=7 dir. a) =1 = 36 18 aralarında asal hangi sayının ekokları 16 dır? =1 = 48 Aralarında asal iki sayının ve unun toplamı 43 olduğuna göre bu iki sayının çarpımları kaçtır? =1 = 54 Aralarında asal sayıların A, B =1 A, B = A.B =1 = 7 A, B + A, B = 43 1 A.B 43-1= 4 e) =1 = 35 A, B = A.B = 4 olur. a ve 15 aralarında asal sayılar olmak üzere ekokları 60 ise a kaçtır? Aralarında asal sayıların en küçük ortak katı çarpımları olduğu için, a.15=60 deriz. a= 4 olur. (a,15) ekok = a.15 = 60 a = 4 a) a ve 1 aralarında asal sayılar olmak üzere ekokları ise a kaçtır? a) Aralarında asal iki sayının ve unun toplamı 57 olduğuna göre bu iki sayının çarpımları kaçtır? Aralarında asal iki sayının ve unun toplamı 73 olduğuna göre bu iki sayının çarpımları kaçtır? Aralarında asal iki sayının ve unun toplamı 3 olduğuna göre bu iki sayının çarpımları kaçtır? + =145 olduğuna göre a.b =?
Aralarında asal iki sayının u 7 ise bu iki sayı kaç olabilir? = a.b = 7 a.b = 1.7 1 her sayı ile aralarında asaldır a.b =.36 aralarında asal değil a.b = 3.4 aralarında asal değil a.b = 4.18 aralarında asal değil a.b = 6.1 aralarında asal değil a.b = 8.9 aralarında asal o halde; a ve b sayısı, 1 ve 7 olabilir. a ve b sayısı, 8 ve 9 olabilir. a) Aralarında asal iki sayının u 4 olduğuna göre bu sayılar kaç olabilir? = 90 olduğuna göre a +b en fazla kaç olabilir? =150 olduğuna göre a +b en az kaç olabilir? Aralarında asal iki sayının u 144 olduğuna göre bu sayılar toplamı en az kaç olabilir?