I ) MATEMATİK TEMELLER A) TANIMLAR VE İŞLEMLER B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DİFERANSİYEL OPERATÖRLER D) MOMENTUM UZAYI DEĞİŞKENLERİ
A) TANIMLAR ve İŞLEMLER. Vektörler ve Skalarlar Vektörlerin ne lup, ne lmadıkları eğitimin değişik kademelerinde çekingen bir biçimde ve azar azar öğretilen bir knudur. [ B ve öne sahip nesne ] vea [ Sıralı elemanlı küme ] vea [ Knum: r ( x,, z) gibi davranan ifade ] larak sunulan vektör kavramının gerçek tanımı ileride, uza-zaman simetrileri knusunda apılacaktır. Şimdilik bir vektörün kartezen bileşenleri kullanılarak = x,, z A A A A biçiminde ifade edildiği ile etineceğiz.. İşlemler Eşitlik için A B A B, A B, A B lması gerekir; tplama ve x x z z çıkartma ise C A B C A B, C A B, C A B ile verilir. Çarpma ise üç başlık altında incelenecektir. x x x z z z i) Bir saı (skalar) ile çarpılma : B k A B k A, B k A, B k A x x z z ii) Snucu skalar lduğu için Skalar çarpım larak adlandırılan çarpım : s A B Ax Bx AB Az Bz Bu işlemle ilintili bir kavram da A A A A larak tanımlanan, vektörün bu vea Nrm udur. Aˆ A da Birim vektör larak adlandırılır. Bu adın gerekçesi A AˆAˆ sağlaarak, birim Nrm a sahip luşudur. iii) Snucu vektör lduğu için Vektörel çarpım larak adlandırılan çarpım : C A B C A B A B, C A B A B, C A B A B x z z z x x z z x x Bu işlemin B A A B özelliği ve dlaısıla AA 0 luşu dikkat
çekmektedir. Genellikten arılmadan A vektörü x-önünde, B vektörü ise x- düzleminde lacak şekilde kartezen krdinat sistemi eniden önlendirilerek ve B B cs, B sin, 0 A A, 0, 0 seçimi apılınca AB AB cs lduğu görülür. A, B 0 için AB 0 luşu cs 0 90, 70 vea A ve B nin birbirine dik lduğunun göstergesidir. Anı aklaşımla A B vektörünün bu ABsin, önü ise hem A hem de B e dik lmaktadır. Tplama ve skalar ile çarpılma kuralları uarınca herhangi bir A vektörünün x,, z x,0,0 0,,0 z 0,0, A A A A A A A larak azılması snucu kartezen birim vektörleri bulunur : xˆ,0,0, ˆ 0,,0, zˆ 0,0,.. Gemetri Yukarıda incelenen özellikler bazı gemetrik kavramların karakterleri hakkında ipuçları verir. Mesela düzlem plar krdinatlarda tan larak tanımlanan açı nın x x d dx x d dx diferansieli d larak azılınca pa daki x x x ifadenin r dr, pada nın ise r lduğu görülür. Bu da d nin bir vektör lduğuna r dr rˆ dr ve d = = ile verildiğine işaret etmektedir, dlaısıla r r rˆ dr d d d d r r sağlanır. r Diğer gemetrik kavramları da snsuz küçük vektörlerle inşa etmek mümkündür : Uzunluk : d ; Yüze : ds d d
4 Hacım : dv d d d ve sn larak da Katı Açı : d rˆ ds ds ds r r r 4 larak tanımlanırlar. 4. Alanlar Eğer bir skalar belli bir uza parçasının her nktasında tanımlı ise Skalar alan larak adlandırılır. Anı durum W r lur ve bir W r lan bir vektör için geçerli ise bu sefer bir Vektör alanı söz knusudur. Bir dadaki sıcaklık dağılımı T x,, z, bir skalar alana, İstanbul bğazındaki su akıntısının hız dağılımı v v x,, z örnektir. ise bir vektör alana B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER ( DO ). Matematik eğitiminin ilk aşamalarında klalık sağlaması açısından bağımsız değişken saısının az tutulması, hatta ile sınırlanması dğaldır. Ancak içinde aşadığımız Uza- Zaman, prblemlere gerçekçi bir aklaşım için + = 4 bağımsız değişkeni zrunlu kılmaktadır. Zaman değişkeni biraz ertelense bile gerçekçi bir gemetrinin r x,, z ile luşturulması gerekir. Herhangi bir r x,, z fnksinunun diferansieli d dx d dz larak azılınca, ilk akla gelen bu ifadei biri x z dr dx, d, dz vektörü lmak üzere, iki vektörün skalar çarpımı larak rumlamak
5 x z lacaktır. Diferansiel d,, dx, d, dz larak azıldığında rtaa çıkan,, x z vektörü semblü ile gösterilir. Biraz sutlama apılarak Nabla diferansiel peratörü,, x z larak tanımlanır.. A ve A Elde böle bir vektör diferansiel peratör lunca herhangi bir,, A r A r A r A r vektör alanı ile luşturulacak x z A A Az x z x A tanımlanması dğaldır. vea xˆ ˆ zˆ A işlemlerinin de x z A A A x z. ve A Sn larak A ve A işlemlerinin bileşimi lan tanımlanır. Dönmeler altında değişmeen x z, Laplace peratörü larak adlandırılır ve geniş ugulama alanı vardır. Bu peratörün sadece skalarlara değil, A Z larak vektörlere de etki edebileceği görülmektedir. 4. Vektör DO Çiftleri,, işlemlerinin iki tanesinin üstüste ugulanmasından sadece beş geçerli ve anlamlı ifade elde edilir :
6 A,, A,, A. A 0, 0 lduğu klaca gösterilir. Geri kalan üçü ise aralarında A A A özdeşliğini sağlarlar. C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DO. Jacbian Kartezen krdinat sistemlerinin en önemli özelliği birim vektörlerin önlerinin knumdan bağımsız lmasıdır; dlaısıla herhangi bir nktadaki ˆx ile, bambaşka bir nktadaki ŷ birim vektörleri xˆˆ 0, xˆ ˆ zˆ benzeri eşitlikleri sağlarlar. Ancak dğanın simetrileri açısından kartezen krdinatlar her zaman elverişli değildir. Mesela kartezen krdinatlarda küre denklemi değişken cinsinden r R x z R iken küresel krdinatlarda tek larak azılır. Kartezen dışı,, q q q krdinat sistemleri luştururken eni krdinatların en azından erel larak dik lma şartı aranacaktır. Bölece verilen bir nktada qˆ ˆ q 0, qˆ qˆ ˆ q ve benzeri ifadeler geçerliliğini kruacaktır. Kartezen krdinatlar: x,, z r, r, r dan erel dik krdinatlar q q q e geçerken başlangıç nktası q q r ; i, j,,,, tanımları ve j j i bunların ters üz edilmesi snucu erişilen r r q ; i, j,, ifadeleri lacaktır. i i j Bu aşamada krdinat sistemi değişikliğinin alanları ve hacımları kaçınılmaz bir biçimde amulttuğu hesaba katılmalıdır. x- düzleminde P:,4, Q : 4, nktalarının kartezen krdinatlarda akla getirdiği alan x, x 4,, 4 dğrularının belirlediği birimlik alandır. Öte andan anı nktalar plar krdinatlarda P : r 5, 5, Q : r 5, 7 larak ifade edildikleri için r 5 eğrisi ve 5, 7 dğruları arasında hiç bir alan kalmadığı görülür. Ancak iki
7 krdinat sisteminde de PQ uzaklığının lması dğru çözüm lunu göstermektedir: krdinat sistemleri değişse bile iki nkta arasındaki uzaklık anı kalır. Dlaısıla çıkış nktası çk akın iki nkta arasındaki uzaklığın, vea uzaklık karesinin, değişmezliği lacaktır. x x x dx dq dq dq q q q ile d, dz için azılacak benzeri ifadeler matris gösteriminde x x x dx dq q q q d = dq q q q z z z dz dq q q q biçiminde özetlenebilir. Kısmi türevlerden luşan matris Jacbian larak adlandırılır ve J ile gösterilir. dx dq dx d dz d dq dq dq J J dq İki nkta arasındaki uzaklığın karesi dz dq larak azılırsa, krdinat sisteminin erel dik lma şartının J J çarpımının pzitif ve diagnal bir matris lmasına eşdeğer lduğu anlaşılır.. Metrik Fnksinları ve Birim Vektörler G lmak Gene pzitif ve diagnal bir matris lan Metrik matrisi G ise ii h i üzere dx dx d dz d dz G J J larak tanımlanır ve ifadesi de h dq h dq h dq h dq h dq h dq biçimini alır. Bölece dx d dz nin erini alacak uzunluklar d i hi dqi lmaktadır. Bu nktada erel dik krdinat sistemlerinde hacım elemanının d d d h h h dq dq dq, alan vektör elemanlarının da h h dq dq, h h dq dq, h h dq dq ile verileceği görülmektedir.
8 dr dx xˆ d ˆ dz zˆ d qˆ d qˆ d qˆ ve x x x dx q q q dr d = dq dq dq q q q z z z dz q q q x x x q q q d d d h q h q h q z z z q q q eşitliklerinin karşılaştırılmasından qˆ i x q i h i q i z qi lduğu anlaşılır. Ancak daha kestirme bir l : snucun birim vektör lacağı bilindiğine göre Jacbian matrisinin sütunlarını nrmalize ederek q ˆi birim vektörlerini bulmak, nrmalizasn için gerekli bölmei aparken kullanılan ifadei de h i larak belirlemektir. Knua tam hakim lmadan apılacak hesaplarda uzun lu tercih etmek, kestirme lu ise kntrl için kullanmak en emnietli aklaşımdır.. Alternatif Tanım Kartezen krdinatlarda tanımlanan diferansiel peratör işlemlerini erel dik krdinatlarda da ifade edebilmek için q q q x x q x q x q benzeri kısmi türev zincir kuralları kullanmak uzun ve zahmetli bir ldur. Bunun erine
9 d dr dq dq dq q q q ile verildiğine ve dr h dq, h dq, h dq lduğuna göre,, h q h q h q larak klaca azılır. 4. A ve A Alternatif Tanımları Ancak A ve A ifadeleri için kestirme bir gemetrik aklaşım benimsenerek ds kapalı bir üze üzerindeki alan elemanı, V de bu kapalı üzein içinde kalan hacım lmak üzere A ds A Lim ve ds kapalı bir eğri bunca l elemanı, V V 0 S de bu kapalı eğrinin içinde kalan alan lmak üzere Lim A S0 Ad S Sˆ kullanılır. Uzun ancak basit işlemler snucu h h A h h A h h A A hh h q q q ve A h qˆ h qˆ h qˆ h h h q q q h A h A h A bulunur. Karmaşık hesaplarda emniet açısından başlangıç nktasının A = ˆq hh q ˆq hh ˆq hh q q ha ha ha
0 lması tavsie edilir. 5. Alternatif Tanım Laplace peratörü ise hh hh hh hh h q h q q h q q h q peratörün gereğinde vektörlere de etkili lacağı unutulmamalıdır. lmaktadır; ancak bu 6. İki Temel Terem A ds A Lim eşitliği V 0 kşulundan dlaı erel bir ifadedir. V V 0 Öte andan kmşu iki hacmın rtak duvarlarından birinde pzitif lan negatif lacağı için net katkı sıfır lur. Bu işlem rtak duvarı lmaan sınıra kadar A ds, ötekisinde sürdürülerek, erelden glbale bir genelleme sağlanır ve A dv AdS elde edilir. Anı mantıkla A ds A d lmaktadır. S V S 7. Elektrdinamik İçin Uarı Küresel krdinatlarda bir merkez nktasından uzaklığı ifade eden r değişkenini, silindir krdinatlarda z-ekseninden uzaklığı ifade etmek için de kullanmak karışıklığa l açar. Genelde ile gösterilen bu değişken, elektrdinamikte ük ğunluğu semblü larak da işlev aptığı için silindir krdinatlarda erine s kullanmak gerekir.
D) MOMENTUM UZAYI DEĞİŞKENLERİ Kuantum fiziğinin anısıra elektrdinamik hesaplarda da knum uzaı kadar mmentum uzaına gerek vardır. İki uza arasında geçişleri sağlaan Furier dönüşümleri katlı integraller larak karşımıza çıkar. Bu üzden bunlarda er alan exp i k r vea kısaca teriminin k r ifadesinin değişik krdinat sistemlerinde azılışı çk önemlidir. Kartezen krdinatlarda,,,,, r x z k k k k k r k x k k z x z x z klaca azılır. Ancak erel dik sistemlerde mmentum krdinatlarını dikkatle tanımlamak gerekir. Silindir krdinatlarda r s cs, s sin, z k luşuna paralel larak k biçiminde tanımlanır ve cs cs, sin, z k r r k z elde edilir. Küresel krdinatlarda ise r r sin cs, r sin sin, r cs luşuna paralel larak k k sin cs, k sin sin, k cs tanımlanır ve sin sin cs biçiminde k r r k cs cs elde edilir. İncelenen prblemlerin simetrileri bu karmaşık ifadeleri integral aşamasında basitleştirecek lsa da la en genel biçimlerle başlamak, simetrileri kullanarak ifadeleri kademe kademe basitleştirmek en sağlıklı ldur. Diğer bir önemli bilgi ise exp i k r ifadesinin küresel krdinatlarda küresel harmnikler ve hatta Legendre plinmları kullanarak açılımını veren Raleigh bağıntısıdır : * i k r i j kr Y rˆ Y k ˆ exp 4 m m 0 m 0 i j kr P rˆ kˆ. Bu knuda eğitici ve önemli bir ugulama küresel simetrik bir f r f r fnksinunun Furier dönüşümüdür. k r çarpımı ve f r f r r d r d d d hacım elemanı, fnksinu birer skalar ldukları için z
f k d r exp ik r f r f k snucu da skalar lacaktır. Dlaısıla f k sağlar ve, açılarından bağımsız lur. Bu durumda ve için akılcı değerler seçerek işlemi basitleştirmek gerekir. sin sin cs cs cs ifadesinde 0 seçimi aparak cs exp cs f k r dr f r d ikr d 0 ara snucu elde edilir. Çk basitleşen bu ifadeden, Hankel dönüşümü larak adlandırılan f k r dr sin kr f r k snucuna klaca ulaşılır. 0 PROBLEMLER P. ) A 0 lduğunu, dlaısıla B 0 durumunda B A azılabileceğini gösterin. P. ) 0 lduğunu, dlaısıla E 0 durumunda E V azılabileceğini gösterin. P. ) A A A özdeşliğini ispatlaın. P.4 ) Bir vektör alanı Ar, r x,, z nktasında A F, G, H değerini alır. A vektörünün silindir krdinat bileşenlerini hesaplaın.
P.I.5 ) Bir vektör alanı Ar, r x,, z nktasında A F, G, H değerini alır. A vektörünün küresel krdinat bileşenlerini hesaplaın. P.6 ) x s cs, s sin, z z larak tanımlanan s,, z silindir krdinatlar için hs, h, hz metrik fnksinlarını, sˆ, ˆ, zˆ birim vektörlerini,, A, A, ifadelerini elde edin. P.7 ) x r sin cs, r sin sin, z r cs larak tanımlanan,, fnksinlarını, ˆ, ˆ, ˆ r küresel krdinatlar için hr, h, h metrik r birim vektörlerini,, A, A, ifadelerini elde edin. ifadesini w cs kullanarak eniden azın. P.8 ) x,, z z larak tanımlanan,, z parablik krdinatlar için metrik fnksinlarını, ˆ, ˆ, zˆ h, h, h z silindir birim vektörlerini,, A, A, ifadelerini elde edin. P.9 ) x cs, sin, z larak tanımlanan,, parablik krdinatlar için h, h, h metrik fnksinlarını, ˆ, ˆ, ˆ birim vektörlerini,, A, A, ifadelerini elde edin.
4 P.0 ) x x, x x, z z krdinat sisteminde h, h, h z vektörlerini, metrik fnksinlarını, ˆ, ˆ, zˆ, A, A, Laplace denklemini Z z expik z metdu ile çözün. z ifadelerini elde edin; birim özel durumu için Değişkenlere Arıştırma 0 P. ) z x i kmpleks değişkeni kullanarak azılan basitleştirin. 0 * z z DD 'ini P. ) A B ifadesinin açılımını apın. P. ) Dr ctn ˆ r için D ifadesini hesaplaın. P.4 ) a) k V B vektör çarpım ifadesinde, bir Vx V V z vektörüne etki edecek k işleminin 0 kz k k 0 k x z k k 0 x matrisi ile temsil edilebileceğini gösterin, b) V B V k k B çözümünün mümkün lmadığını gösterin, c) k V c skalar çarpım ifadesinde ise k işleminin matris temsilinin k k k x z lduğunu gösterin,
5 d) sn larak iki işlemi bir arada ele alıp k V B denkleminin bir bileşenini feda edip, nun erine k V c denklemini erleştirerek elde edilen, mesela k 0 için 0 kz k Vx Bx kz 0 k x V B kx k k z Vz c matris denkleminden V vektörünü elde edin. İpucu : V kxk k kz kzk x x x B V = kz kx kxk k k z B kz kx k kz V z k c kz kzkx k z Bu çözüm bir anlamda V ve V verilince, V vektörünün elde edilebileceğinin, mmentum uzaına taşınmış ispatıdır. ( Helmhltz teremi ) P.5 ) -Butta Hankel dönüşümü : SO() simetrisine sahip bir f s, f s fnksinunun Furier dönüşümünün f s ds J s f s gösterin. İpucu : J z d cs n z sin n 0 lduğunu 0