KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme, boş küme, sonlu küme, sonsuz küme kavramlarını örneklerle açıklar. 3. Kazanım : Alt küme kavramını ve özelliklerini açıklar. 4. Kazanım : İki kümenin eşitliğini açıklar. Kümelerde İşlemler 1. Kazanım : Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar. Bu işlemler arasındaki ilişkileri ifade eder. 2. Kazanım : İki kümenin kartezyen çarpımını açıklar. 3. Kazanım : Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer.
KÜMELER Küme kavramının tanımı yoktur. Ancak küme denilince, iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğu akla gelmelidir. Kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin elemanı (öğesi) denir. Kümede, bir eleman bir defa yazılır. Kümenin elemanlarının küme içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez. Kümeler, genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle, elemanları da a, b, c, x, y,... gibi küçük harflerle gösterilir. a bir A kümesinin elemanı ise a A biçiminde gösterilir. Eğer b, A kümesinin elemanı değilse, b A biçiminde gösterilir. KÜMELERİN GÖSTERİMİ Liste Yöntemi: Kümenin tüm elemanlarının aralarına virgül konularak küme parantezi içine yazılmasıdır. Örneğin, bir basamaklı asal sayıların kümesi {2, 3, 5, 7 } biçiminde gösterilir. Venn Şeması İle Gösterim: Kümenin elemanlarının kapalı eğrilerin içine, yanına konularak yazılmasıdır. Örneğin A = {2, 3, 5, 7 } kümesinin Venn şeması ile çeşitli şekillerde gösterimi aşağıdakiler gibidir. A 2 3 5 7 A 2 3 5 7 A 2 3 5 7 Ortak Özellik Yöntemi: {x : x elemanlarının ortak özellikleri} veya {x x elemanlarının ortak özellikleri } biçimlerinde kümeler yazılabilir. Bu yazılışta kümenin elemanları x harfi ile gösterilmiştir. Ayrıca : veya sembolleri öyle ki anlamına gelmektedir. Örneğin, bir basamaklı asal sayılar kümesi A = { x : x asal sayı ve x < 10 } biçiminde de gösterilebilir. 10
Eleman Sayısı Bir A kümesinin elemanlarının sayısı s(a) veya n(a) şeklinde gösterilir. Örneğin A = {1, 2, 3, 4, 5 } ise s(a) = 5 tir. Boş Küme Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } veya Ø şeklinde gösterilir. Eşit Küme Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir ve A = B biçiminde gösterilir. Örneğin; A = {1, 2, 3, 4} ve B = {x : 1 x 4, x Z } kümeleri için A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4} olduğundan A = B dir. { Ø } kümesi bir elemanlı bir küme olup boş küme değildir. ÖRNEK 1 A = {x : 3x 1 = 6 ve x tam sayı} kümesi boş küme midir? ALT KÜME A ve B gibi iki kümeden, B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı ise B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir ve B A şeklinde gösterilir. Bir kümenin kendisinden farklı olan her alt kümesine öz alt kümesi denir. Küme Alt Kümeleri Alt küme say s Öz alt küme say s Sonlu ve Sonsuz Küme Eleman sayısı tespit edilebilen kümeye sonlu küme denir. A = {x : x < 6 ve x N} kümesinin eleman sayısı tespit edilebildiğinden bu küme sonlu bir kümedir. Eleman sayısı tespit edilemeyen kümeye sonsuz elemanlı küme denir. Doğal sayılar kümesi ve tam sayılar kümesi sonsuz elemanlı kümeye birer örnektir. ÖRNEK 2 A = {1, 2, 3, 4, 5 } ve B = {x : x tek doğal sayı} kümeleri sonlu mudur? A = { } B = {a} C = {a,b} { }, {a}, {a}, {b}, {a, b}, {a}, {b}, {c}, {a, b} 1 = 2 0 2 = 2 1 4 = 2 2 0 1 3 D = {a,b,c} {a, c}, {b,c}, {a,b,c} 8 = 2 3 7 n elemanlı bir kümenin; Alt küme sayısı 2 n dir. Öz alt küme sayısı 2 n 1 dir r elemanlı alt kümelerinin sayısı n n! f p = dir. r ( n r)!. r! n n n f p + f p+... + f p = 2 n dir. 0 1 n Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her küme kendisinin bir alt kümesidir. 11
ÖRNEK 3 A = {1, 2, 3} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini yazınız. ÖRNEK 7 A = {x : 1 < x < 6, x tam sayı} kümesinin, a. Eleman sayısı kaçtır? b. Alt küme sayısı kaçtır? c. Öz alt küme sayısı kaçtır? d. 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? e. 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ÖRNEK 4 A = {a, {a, b}} kümesinin öz alt kümelerini yazınız. Bu kümeler kaç tanedir? ÖRNEK 5 Aşağıdakilerden hangileri A = {1, 2, {1}, {2, 3}} kümesinin alt kümesidir? a. {1} b. {2} c. {{1}} d. {3} e. {1, {1}} f. {2, 3} g. {2, {1}} h. {1, 2, 3} ÖRNEK 8 İki elemanlı alt kümelerinin sayısı 28 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? ÖRNEK 6 Alt küme sayısı 32 olan küme kaç elemanlıdır? 12
ÖRNEK 9 Bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşitse bu kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ÖRNEK 12 A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a. a elemanı bulunmaz? b. a elemanı bulunur? c. a elemanı bulunur fakat b elemanı bulunmaz? ÖRNEK 10 s(a) = 6 olmak üzere, A kümesinin; a. En çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? b. En az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ÖRNEK 11 A = {1, 2 } ve B = {1, 2, 3, 4, 5 } olmak üzere, B nin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar? 13
ÖRNEK 13 A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a. a ve b elemanları bulunur? b. a veya b elemanları bulunur? ÖRNEK 15 A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a. a ve b elemanları bulunmaz? b. a veya b elemanları bulunmaz? ÖRNEK 14 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 6 bulunur; ama 7 bulunmaz? ÖRNEK 16 Alt küme sayısı ile öz alt küme sayıları toplamı 63 olan küme kaç elemanlıdır? 14
ALIŞTIRMALAR - 1 1. Aşağıda liste biçiminde gösterilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazınız. a. A = {1, 2, 3, 4, 5 } b. B = {Pazar, Pazartesi, Perşembe } c. C = {2, 4, 6, 8, 10, 12 } d. D = {a, e, ı, i, o, ö, s, ş, u, ü } 6. Aşağıdaki kümelerden sonlu, sonsuz ya da boş küme olanları belirleyerek noktalı yerlere yazınız. a. Çift sayılar kümesi :... b. Asal sayılar kümesi :... c. C = {x : x Z ve 4 < x 23 } :... 2. A = {a, b, {b, c }, {d }, e } kümesine göre aşağıdaki noktalı yerlere veya sembollerinden uygun olanları yerleştiriniz. d. D = {x : x R x 2 = 4 } :... e. E = {x : x tek sayı ve x < 2 } :... a. a... A b. {b }... A c. {b, c }... A d. d... A 7. Aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara D yanlışsa Y yazınız. 3. Aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını bulunuz. a. A = { a, {b, c }, {d }, e } b. B = {x : x Z + ve x < 4 } c. C = { } d. D = {x : x R x 2 0} e. D = {x : x R, x 2 = 1 } Her kümenin öz alt kümesi vardır. Boş kümenin alt kümesi yoktur. A = { } kümesinin alt küme sayısı 2 dir. B = kümesinin alt küme sayısı 1 dir. 4. A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı kaçtır? 5. A = {a, b, c, d } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerini yazınız. 8. A = {a, b, {c }, {d, e } } kümesi için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. s(a) = 5 II. c A III. {d} A IV. {a, b } A V. {d, e } A VI. {{c}} A 15
9. A = {1, 2, {1, 2 }, 3, } kümesinin alt küme sayısı kaçtır? 14. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunur ama 3 bulunmaz? 10. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a. a bulunmaz? 15. K = {a, b, c } ve M = {a, b, c, d, e, f, g } olmak üzere, K L M koşuluna uyan kaç farklı L kümesi yazılabilir? b. a bulunur? c. a ve b bulunur? d. a veya b bulunur? e. a bulunup, b bulunmaz? 16. 5 elamanlı bir kümenin, a. en az 3 elemanlı b. en çok 3 elemanlı 11. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunup, 3 bulunmaz? kaç tane alt kümesi vardır? 17. s(a) = 8 olmak üzere, A kümesinin en az 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı x, en çok 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı y ise x + y kaçtır? 12. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunur? 18. Üç elemanı a, b, c olan bir A kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin 10 tanesinde a, b, c eleman olarak bulunuyorsa A kümesi kaç elemanlıdır? 13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 bulunur? 19. A = {x : 0 x 5 ve x Z} B = {(x, y) : x < y ve x, y A} olmak üzere, s(b) kaçtır? 16
KÜMELERDE İŞLEMLER Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve genellikle E ile gösterilir. Kümelerin Birleşimi ve Kesişimi Yurt içi turlardan birine katılan bir grupta Ali, Orhan, Müge ve Aylin İngilizce; Müge, Pelin, Merve ve Aylin Almanca konuşabilmektedir. İ : İngilizce konuşabilenlerin kümesi A : Almanca konuşabilenlerin kümesini göstermek üzere, Yandaki şemada ifade edilen küme İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşabilenlerin kümesidir. Bu küme İ ile A kümelerinin birleşimi olarak adlandırılıp, İ A olarak gösterilir. A Ali Orhan Müge Aylin Pelin Merve İ A = {x : x İ veya x A} Yandaki şemada ifade edilen küme hem İngilizce hem Almanca konuşabilenlerin kümesidir. Bu küme İ ile A kümelerinin kesişimi olarak adlandırılıp, İ A biçiminde gösterilir. A Müge Aylin İ A = {x : x İ ve x A} A B = {x : x A veya x B} A B A B A B E E E A B = {x : x A ve x B} A B A B A B E E E ÖRNEK 17 A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5, 6 } ise A B kümesini liste yöntemi ile ve Venn şeması ile gösteriniz. ÖRNEK 18 A = {a, b, c, d} ve B = {1, 2, a, c} ise A B kümesini liste yöntemi ve Venn şeması ile gösteriniz. 17
Ayrık Kümeler A B = Ø ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir. Bir Kümenin Tümleyeni ÖRNEK 20 A = {1, 2, a, b, c} ve B = {2, 3, 4, a} olduğuna göre, A B ve B A kümelerini bulunuz. A E olmak üzere E kümesinin A da bulunmayan elemanlarının kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve A veya A ile gösterilir. A A De Morgan Kuralları E A = {x : x E ve x A} (A B) = A B (A B) = A B ÖRNEK 19 E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {2, 3, 5, 7 } olduğuna göre, A kümesini bulunuz. ÖRNEK 21 A = {a, b, c, d, e} ve B = {d, e, f } olduğuna göre, a. (A B) kümesini bulunuz. b. (A B) kümesini bulunuz. ÖRNEK 22 Kümelerin Farkı A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesine A ile B nin farkı denir ve A B veya A \ B ile gösterilir. A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. s(a B ) = 6 ve s(a B ) = 10 olduğuna göre, s(a B) + s(b A) toplamı kaçtır? A B A B A B E E E A B = {x : x A ve x B} A B = (A B) (B A) kümesine A ve B kümelerinin simetrik farkı denir. 18
Özellikler A A = A A B = B A A Ø = A A E = E A A = E E = Ø (A ) = A A A = A A B = B A A Ø = Ø A E = A A A = Ø Ø = E A = E A ÖRNEK 25 A ve B herhangi iki küme olmak üzere, s(a) = 6 ve s(b) = 8 ise a. s(a B) en az kaçtır? b. s(a B) en çok kaçtır? A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) s(a B C) = s(a) + s(b) + s(c) s(a B) s(a C) s(b C) + s(a B C) ÖRNEK 26 A B = A B A B B A A B A B = B A B A B = A B A olmak üzere, s(a B ) = 8 ve s(b) = 5 ise A kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? ÖRNEK 23 A B = ( 3, 4 ] ve A C = [ 2, 5) olduğuna göre, A (B C) kümesini bulunuz. ÖRNEK 24 A ve B ayrık iki küme olmak üzere, s(a) s(b) = 5 ve s(a B) = 9 ise s(a) kaçtır? ÖRNEK 27 s(a B) = 5, s(b A) = 3 ve A B kümesinin öz alt küme sayısı 15 ise s(a B) kaçtır? 19
ÖRNEK 28 A ve B herhangi iki küme olmak üzere, (A B) A kümesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 29 A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. (A B) (A B) kümesinin eşitini bulunuz. ETKİNLİK Kan nakillerinde vericinin sahip olduğu antijenlerin önemli olduğunu biliyoruz. Bir kişide, A, B ve Rh antijenlerinin en az biri olabilir ya da hiçbiri bulunmayabilir. Aşağıdaki tabloda kan grupları ve bu gruplara sahip kişilerin antijenleri gösterilmiştir. Buna göre tablonun yanındaki Venn şemasını doldurunuz. A B Kan grubu ARh + ARh BRh + BRh ABRh + ABRh 0Rh + 0Rh Antijen A, Rh A B, Rh B A, B, Rh A, B Rh Rh ÖRNEK 30 A ve B herhangi iki küme olmak üzere, [ (B A) (A B) ] (B A) kümesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 31 A B = {1, {2, 3}}, B A = {2 } ve B = {2, {2 }, {1, 2 }} ise A kümesi nedir? 20
ÖRNEK 32 A = {x : x < 100, x N} kümesinin kaç tane elemanı 6 ile bölünebilir? ÖRNEK 35 A = {x : 20 < x < 200, x = 4k, k Z} B = {x : 30 < x < 150, x = 5k, k Z} kümeleri için s(a B) kaçtır? ÖRNEK 33 A = {x : x < 200, x N} kümesinin kaç tane elemanı 3 ve 5 ile bölünebilir? ÖRNEK 36 ÖRNEK 34 A = {x : 10 < x < 100, x tam sayı} kümesinin kaç tane elemanı 3 veya 5 ile bölünebilir? A = {x : x = 2k, k < 50, k Z +} B = {x : x = 5k, k < 30, k Z +} kümeleri için s(a B) kaçtır? 21
KÜME PROBLEMLERİ Futbol oynayanların kümesi: F Basketbol oynayanların kümesi: B a, b, c, d içinde bulundukları kümelerin eleman sayılarını göstersin. E F a b c B d Futbol oynayanların sayısı = a + b Sadece futbol oynayanların sayısı = a Futbol ve basketbol oynayanların sayısı = b Hiçbir oyun oynamayanların sayısı = d En çok bir oyun oynayanların sayısı = a + c + d Basketbol oynayanların sayısı = b + c Sadece basketbol oynayanların sayısı = c Futbol veya basketbol oynayanların sayısı = a + b + c En az bir oyun oynayanların sayısı = a + b + c ÖRNEK 37 32 kişilik bir sınıfta, matematikten 18 kişi ve fizikten 12 kişi başarılı olmuştur. Her iki dersten başarısız 8 kişi olduğuna göre, bu sınıfta bu derslerin sadece birinden başarılı kaç kişi vardır? ÖRNEK 38 Bir sınıftaki öğrenciler matematik veya fizik derslerinin en az birinden bütünlemeye kalmıştır. Sınıftaki öğrencilerin % 60 ı matematikten, % 70 i fizikten bütünlemeye kalmıştır. Her iki dersten bütünlemeye kalan 6 öğrenci varsa, bu sınıfta kaç öğrenci vardır? 22
ÖRNEK 39 Bir iş yerinde A, B, C gazetelerinden en az biri okunmaktadır. A gazetesini 16, B gazetesini 12, C gazetesini 18, A ve B gazetesini 8, A ve C gazetesini 10, B ve C gazetesini 6 ve her üç gazeteyi de okuyan 5 kişi olduğuna göre, sadece bir gazete okuyan kaç kişi vardır? ÖRNEK 41 Herkesin Türkçe bildiği 30 kişilik bir toplulukta, İngilizce bilenler Almanca bilmemektedir. Bu toplulukta sadece bir dil bilen 10 kişi vardır. Türkçe ve Almanca bilen 12 kişi olduğuna göre, Türkçe ve İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır? ÖRNEK 40 50 kişilik bir sınıftaki gözlüksüz kızların sayısı, gözlüklü erkeklerin sayısının 3 katına eşittir. Kızların sayısı, erkeklerin sayısından 8 fazladır. Bu sınıfta gözlüksüz erkeklerin sayısı 12 ise gözlüklü kız sayısı kaçtır? ÖRNEK 42 A, B, C dillerinden en az birinin konuşulduğu 36 kişilik bir sınıfta; B dilini konuşanların hepsi C dilini de konuşmaktadır. Toplulukta üç dili konuşan 6 kişi ve iki dili konuşan 18 kişi olduğuna göre, tek dil konuşan kaç kişi vardır? 23
ALIŞTIRMALAR - 2 1. Aşağıdaki noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz. a. A B ise A B =... 4. A = {x : 10 < x < 50, x Z} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 2 ve 3 ile tam bölünebilir? b. A B ise... = B c. Her A kümesi için A B = A ise... d.... = s(a) + s(b) s(a B) e.... = A B 2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara D yanlışsa Y yazınız. A A = A A = A A E = E A E = A A B B A A B ve B C A C 5. A = {1, 2, 3 } ve B = {3, 4, 5, 6 } olduğuna göre, A B = B C koşulunu sağlayan C kümesi, a. en az kaç elemanlıdır? b. en çok kaç elemanlıdır? 6. A = {x : 10 < x < 100, x Z} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 ile bölünebilir fakat 5 ile bölünemez? 3. Aşağıdaki kümeleri karşı sütunda bulunan eşitleri ile eşleştiriniz. a 1 (A B) (A B) A 7. A ve B ayrık olmayan iki kümedir. s(a) = 6 ve s(b) = 8 olduğuna göre, s( A B) en çok kaç olabilir? b (A B) (A B) 2 (A B) (A C) c (A B) (B A ) c 3 A (B C) 3 E 8. A ve B herhangi iki küme olmak üzere, [B (A B) ] A kümesinin en sade hâli nedir? 24
9. A, B, C kümeleri için s(a) + s(b) + s(c) = 35 olduğuna göre, s(a B C) en az kaçtır? 14. A = {x : x = 3n, n N, 1 n 36 } B = {x : x = 2n, n N, 1 n 30 } olduğuna göre, s( A B) kaçtır? 10. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(a) + s(b ) = 11 ve s(a ) + s(b) = 17 olduğuna göre, s(e) kaçtır? 15. s(a B) + s(a B) = 24 s(a) s(b) = 4 olduğuna göre, s(a) kaçtır? 11. A ve B herhangi iki küme olmak üzere, s(a B) = 5 s(a B) = 16 s(a) = 2.s(B) olduğuna göre, s( A B) kaçtır? 16. (A B) (A B) kümesinin eşitini bulunuz. 12. A B olmak üzere, [A (A B )] kümesinin eşitini bulunuz. 17. s(a B) = 6 s(a B) = 2.s(A B ) olduğuna göre, s( A B ) kaçtır? 13. s(a B) = 6, s(b A) = 5 ve s(a) = 8 olduğuna göre, s( A B) kaçtır? 18. A B ve s(a) + 2.s(B) = 14 olduğuna göre, s(a B) en az kaçtır? 25
19. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerden oluşan bir grubun % 60 ı İngilizce, % 50 si Almanca biliyor. Her iki dili bilinler 5 kişi olduğuna göre, sadece Almanca bilen kaç kişidir? 23. Bir grupta Almanca ve Fransızca dillerinden sadece birini bilen 15, en az birini bilen 19, en çok birini bilen 29 kişi olduğuna göre, bu grup kaç kişiliktir? 20. Basketbol ve futbol sporlarından en az birinin oynandığı bir toplulukta basketbol oynayanların % 60 ı futbol oynamıyor. Futbol oynayanların % 80 i basketbol oynamıyor. Grupta yalnız futbol oynayan 8 kişi olduğuna göre yalnız basketbol oynayan kaç kişi vardır? 21. Bir sınıfta Almanca bilenlerin sayısı, İngilizce bilenlerin sayısının üçte biridir. Bu sınıfta Almanca bilmeyip, İngilizce bilen 27 kişi, İngilizce bilmeyip Almanca bilen 3 kişi vardır. İngilizce veya Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının üçte biri ise bu sınıfın mevcudu kaçtır? 24. 12 erkek, 18 kadının bulunduğu bir grupta 24 kişi gözlüksüzdür. Bu grupta, gözlüklü veya kadın olanların sayısı 22 olduğuna göre, gözlüksüz kadınların sayısı kaçtır? 25. Bir şantiyede sıva, boya, elektrik ve su işlerinden en az birini yapabilenler vardır. En az üç işi yapanlar 16, en fazla dört işi yapabilen 20 kişi bulunduğuna göre, en çok iki iş yapabilen kaç kişi vardır? 22. Erkek ve kız öğrencilerin bulunduğu 45 kişilik bir sınıfta gözlüklü erkeklerin sayısı gözlüksüz kızların sayısının 4 katıdır. Sınıfta 14 erkek gözlüksüz ve 6 kız gözlüklü olduğuna göre, erkeklerin sayısı nedir? 26. Futbol veya basketbol oynayanların bulunduğu 30 kişilik bir sınıfta 6 kişi hem futbol hem basketbol oynayabilmektedir. Futbol oynayanların sayısı basketbol oynayanların sayısının 2 katı olduğuna göre, bu sınıfta sadece basketbol oynayan kaç kişi vardır? 26
SIRALI İKİLİ KARTEZYEN ÇARPIM A ve B boş olmayan herhangi iki küme olmak üzere, A x B = {(x, y) : x A ve y B} kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir. Kartezyen çarpımının özellikleri aşağıda gösterilmiştir. A x A = A 2 A x B B x A (A x B) x C = A x (B x C) Milli futbol takımımızın 2005 ile 2010 yılları arasında aldığı galibiyet sayılarını bu yıllarla ilişkilendirip ikililer elde etmeye çalışalım. İkililerin birinci bileşenleri yılı, ikinci bileşenleri o yıla ait galibiyet sayısını göstersin. Bu durumda, (2005, 6), (2006, 8), (2007, 5) (2008, 5), (2009, 4), (2010, 4) olur. a ve b elemanlarının (a, b) biçiminde yazılmasıyla elde edilen elemana sıralı ikili veya kısaca ikili denir. (a, b) sıralı ikilisinde a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşen denir. Sıralı ikilide bileşenlerin sırası önemlidir. Yani, (a, b) (b, a) dır. (a, b) = (c, d) a = c ve b = d ÖRNEK 43 (a + 2, b 1) = ( 3, 2) olduğuna göre, a + b kaçtır? s(a x B) = s(a). s(b) A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B C) = (A x B) (A x C) ÖRNEK 45 A = {1, 2 } ve B = {a, b} olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerini yazınız. ÖRNEK 46 A = { x : 2 < x < 3, x Z} B = { x : 1 x 1, x Z} olduğuna göre, s(a x B) kaçtır? ÖRNEK 44 (3 n, 25) = (27, 5 m 1 ) olduğuna göre, m. n kaçtır? ÖRNEK 47 s[(a x B ) (A x C)] = 12 ve s(b C) = 3 olduğuna göre, s(a) kaçtır? 27
ÖRNEK 48 ÖRNEK 51 A = {1, 2 } ve B = {1, 2, 3} B olduğuna göre, A x B kümesini yazıp analitik düz- 3 lemde gösteriniz. 2 1 4 A Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre, A B kümesini bulunuz. ÖRNEK 49 A = [1, 4) ve B = {1, 2 } olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerinin grafiklerini çiziniz. ÖRNEK 52 A = {1, 2, 3} olmak üzere A x A kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük çaplı dairenin çapı kaç birimdir? ÖRNEK 50 A = ( 1, 2] ve B = [1, 3] olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerinin grafiklerini çiziniz. 28
ALIŞTIRMALAR - 3 1. (x 3, 2 x + y) = (8, 9) olduğuna göre, x.y kaçtır? 5. A = {1, 2, 3 } B = {2, 3, 4, 5 } olmak üzere A x B kümesinin birbirine en uzak iki elamanı arasındaki uzaklık kaç birimdir? 2. AxB = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2) } ise A kümesini bulunuz. 6. s(a x A) = 64 olduğuna göre, s(a) kaçtır? 3. A = {0, 1, 2, 3, 4 } B = {0, 2, 4, 6, 8 } C = {2, 3, 4, 5, 6 } olduğuna göre, s[(a x B) (A x C)] kaçtır? 7. Aşağıda grafiği verilen A x B kümesi için A B ve A B kümelerini bulunuz. 3 2 B 1 2 3 A 4. Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanlar için boş kutuya D yanlış olanlar için Y yazınız. A x B = B x A s(a x B) = s(b x A) A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B x C) = (A x B) x C 8. Aşağıda grafiği verilen A x B kümesi için A B ve A B kümelerini bulunuz. B 4 2 A B ve C D ise (A x C) (B x D) 1 3 A 29
9. s(a B) = 4 s(b) = 6 s(a x B) = 42 olduğuna göre, s( A B) kaçtır? 13. A = {1, 2, 3, 4, 5 } B = {2, 3, 4, 6 } C = {1, 2, 3, 6 } olduğuna göre, (A x B) (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? 10. A = [1, 3) ve B = {1, 3 } olduğuna göre, A x B kümesinin grafiğini çiziniz. 14. s(a) = 3, s(b) = 4, s(c) = 5 olmak üzere, (A x B) (A x C) kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir? 11. A = [ 1, 2] ve B = ( 3, 2) olduğuna göre, B x A kümesinin grafiğini çiziniz. 15. B C olmak üzere, s[(a x C) (A x B)] = 15 ise s(a) en çok kaçtır? 12. A = {x: 2 x 5, x R} 16. y olduğuna göre, A x A kümesinin koordinat düzleminde oluşturduğu düzlemsel bölgenin alanı kaç br 2 dir? 2 1 3 x 3 Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre A B kümesi nedir? 30
Yazılıya Hazırlık Soruları 1. A ve B boş olmayan iki kümedir. 2.s(A) = 3.s(B) = 5.s(A B) olduğuna göre, s(a B) en az kaçtır? 4. A ve B iki kümedir. s(a) = 12 n, s(b) = 2n + 6 ve s(a B) = 4 olduğuna göre, s( A B) en çok kaçtır? 2. A = {x: 2 x 5 } ve B = {x: 2 < x < 7 } olduğuna göre ( A B) kümesini bulunuz. 5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur ama 2 bulunmaz? 3. A ve B gibi iki kümeden A nın bir, B nin iki elemanı A B kümesinin elemanı değildir. dışında A B nin alt kümeleri sayısı 15 olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? 6. A B ve s(a B) = 8 olmak üzere, B kümesinin alt küme sayısı, A kümesinin alt küme sayısının 4 katı ise s( A B) en az kaçtır? 31
7. Bir sınıftaki öğrencilerin % 40 ı kız öğrencidir. Kız öğrencilerin % 90 ı, erkek öğrencilerin % 80 i matematik dersinden başarılıdır. 9. A = {x: x < 100, x N } olmak üzere, A kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 veya 5 ile tam bölünür? Buna göre, bu sınıfın matematik dersinden başarısı yüzde kaçtır? 8. (2a + b, 7) = (2, a b + 3) olduğuna göre a.b kaçtır? 10. Bir kümenin eleman sayısını 2 artırdığımızda öz alt küme sayısı 48 artmaktadır. Bu kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? 32
TEST - 1 Kümeler 1. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi bir küme belirtir? l. Asal sayılar II. Türkiye deki iller III. Haftanın A ile başlayan günleri IV. Güzel olan harfler V. En güzel meyve 5. A = {a, b, {a}, c, {a, c } } olmak üzere aşağıdakilerden hangisi A kümesinin hem elemanı hem de alt kümesidir? A) a B) {a, c } C) {b} D) {a, b } E) {c} A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. A = {a, b, c, d, e } kümesi için aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur? l. {a} A li. Ø A lii. Ø A lv. {Ø} A V. {a, b } A VI. {e} A A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 6. A = {1,2, 3, 4, 5, 6 } B = {4, 6, 8, 10 } kümelerinin kaç tane ortak alt kümesi vardır? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32 3. A = {1, {2}, 3, {1, 2 }, 4, 5 } olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) s(a) = 6 B) {1, 4, 5 } A C) {1, 2 } A D) {2} A E) {1, {2} } A 7. A ve B kümeleri için s(a) = 6, s(a B) = 9 ve A B olduğuna göre, A B nin en fazla kaç alt kümesi olabilir? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 4. Alt kümelerinin sayıları toplamı 40 olan iki kümenin elemanlarının sayıları toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 8. 2 elemanlı alt küme sayısı 28 olan bir kümenin en çok 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 34 B) 35 C) 36 D) 37 E) 38 33
9. A B kümesinin alt küme sayısı 2 ve A ile B kümelerinin alt küme sayılarının toplamı 24 ise, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 13. Boş olmayan n elemanlı bir A kümesinin, k tane öz alt kümesi vardır. A kümesine 2 eleman daha katılırsa, kaç tane alt kümesi olur? A) k + 3 B) 4k + 4 C) 4k D) 2k + 4 E) k + 4 10. M = {a, b, c, d } N = {a, b, c, d, e, f, g } kümeleri için M ve N den farklı olması koşulu ile N nin alt kümelerinden kaç tanesi M yi kapsar? 14. A = {x : x 2 < 50 ve x asal sayı } kümesinin kaç alt kümesinde 3 ve 5 bulunur? A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 14 11. A = {a, b, c } ve A B = {a, b, c, d, e, f } koşullarını sağlayan en çok kaç tane B kümesi yazılabilir? 15. 25 kişilik bir sınıf Türkçe ve İngilizce dillerinden en çok ikisini bilenlerden oluşmaktadır. Sadece Türkçe bilen 10 kişi ve Türkçe bilmeyen 8 kişi olduğuna göre, her iki dili bilen kaç kişi vardır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 A) 3 B) 4 C) 7 D) 8 E) 16 12. (x 3, y + 1) = (4, 3) olduğuna göre, x + y kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 16. 30 kişilik bir sınıfta futbol oynayanların sayısı 12, basketbol oynayanların sayısı 10, futbol ve basketbol oynayanların sayısı 4 kişidir. Buna göre, sınıfta futbol veya basketbol oynamayanların sayısı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 34
TEST - 2 Kümeler 1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur? A) 56 B) 64 C) 112 D) 116 E) 120 5. A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, a veya b den en çok birisi eleman olarak bulunur? A) 64 B) 48 C) 32 D) 16 E) 8 6. A B = A 2. A B ve s(a B) = 25 olmak üzere, B kümesinin en çok bir elemanlı alt küme sayısı 17 ise A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) A B = A B) A = B C) A B D) A B = A E) B A = B 3. Öz alt küme sayısı 63 olan bir kümenin eleman sayısı 1 azaltılırsa alt küme sayısı kaç azalır? A) 32 B) 28 C) 16 D) 8 E) 4 7. A B = ( 2, 5] ve A C = [1, 7) olduğuna göre, A (B C) neye eşittir? A) [1, 5] B) [ 2, 1] C) [5, 7] D) (1, 5] E) [1, 5) 4. 3 elemanlı alt kümeleri sayısı, 2 elemanlı alt kümeleri sayısına eşit olan bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümeleri sayısı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 15 D) 16 E) 26 8. A = {x : 2 < x < 3, x R } B = {x : 3 < x < 2, x R } olduğuna göre, A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 2, 2) B) [ 1, 1] C) ( 3, 3) D) { 1, 0, 1 } E) { 2, 1, 0, 1, 2 } 35
9. A B, A B ve B A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 1, 16 ve 8 ise s(a B) kaçtır? 13. B 3 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2 2 1 A Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre, A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 2, 1) B) ( 1, 2) C) ( 2, 2) 10. Bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı ile 4 elemanlı alt küme sayısı birbirine eşittir. Bu kümenin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? D) ( 1, 3) E) (2, 3) A) 28 B) 21 C) 15 D) 14 E) 7 14. s(a B) = 3 ve s(a B) = 4 olduğuna göre, s(a x B) en az kaçtır? 11. (2 x+1, y 1 ) = (16, 6) A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) 24 olduğuna göre, x.y kaçtır? A) 6 1 B) 4 1 C) 3 1 D) 2 1 E) 1 15. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ının bisikleti, % 72 sinin bilgisayarı vardır. Öğrencilerin en az yüzde kaçında hem bisiklet hem de bilgisayar vardır? A) 12 B) 28 C) 32 D) 40 E) 60 12. K, L, M birbirinden farklı ve boş kümeden farklı kümeler olmak üzere, s[(k x L) (K x M)] = 24 ise s(k) en çok kaç olabilir? A) 24 B) 12 C) 8 D) 6 E) 4 16. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ının bisikleti, % 72 sinin bilgisayarı vardır. Öğrencilerin en çok yüzde kaçında hem bisiklet hem de bilgisayar vardır? A) 12 B) 28 C) 32 D) 40 E) 60 36
TEST - 5 Kümeler 1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 7 eleman olarak bulunur? A) 32 B) 56 C) 64 D) 120 E) 128 5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 6 eleman olarak bulunup, 7 bulunmaz? A) 8 B) 16 C) 28 D) 32 E) 64 2. s(a) + s(b) = 22 s(a B) = 5 olduğuna göre, s( A B) kaçtır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) 20 6. A ve B boştan farklı iki kümedir. s(a B) + s(a B) = 24 s(a) = 2.s(B) olduğuna göre, s(a) kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 18 7. K L = {a, b, c, d } 3. A = {x : x < 100, x N } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünür? A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) 36 K M = {a, c, e, f } olduğuna göre, K (L M) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) Ø B) {a, b, c, d } C) {a, c, e, f } D) {a, c } E) {e, f } 4. A = {x : x < 100, x N } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 ile bölünüp, 5 ile bölünemez? A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29 8. A = { x : 0 < x < 100, x = 2k, k Z } B = { x : 0 < x < 75, x = 3k, k Z } kümeleri için s( A B) kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 41
9. s(a B) = 3 s(a B) = 7 olduğuna göre, s( A x B) en çok kaçtır? 13. 3 y A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 28 1 1 0 2 x Yukarıdaki grafik A x B kümesine ait olduğuna göre A B kümesini gösteren aralık aşağıdakilerden hangisidir? 10. A = {x : 2 x < 1, x Z } B = {x : x 1 1, x Z } olduğuna göre, s( A x B) kaçtır? A) [1, 2] B) (1, 2] C) (1, 2) D) [1, 2) E) [0, 2) A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 14. A 11. s(a) = 6 s(a B) = 3 s[(b x B) (B x A)] = 40 olduğuna göre, s( B A) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 B C Şekildeki taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) A (B C)B) A (B C) C) A (B C)D) B (A C) E) C (A B) 12. 32 kişilik bir sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı 20, Almanca bilmeyenlerin sayısı 18, en çok bir dil bilenlerin sayısı 24 olduğuna göre, bu sınıfta İngilizce ve Almanca bilmeyen kaç kişi vardır? A) 6 B) 8 C) 12 D) 24 E) 26 15. M ve N aynı evrensel kümenin iki alt kümesi olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) M N ise M N = N B) M N ise N M C) (M N) = M N D) (M N) M = M N E) M N = (M N) N 42
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları 1. 1987 ÖYS A = {1, 2, 3 }, A B = {1, 2, 3, 4, 5 } ve A B = {1, 2 } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {5 } B) {4, 5 } C) {3, 4, 5 } D) {3, 4} E) {1, 3, 5 } 5. 1988 ÖYS A = { 2, 1, 0 } ve B = {1, 2, 3 } kümelerinin, A x B ( kartezyen çarpım) kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan, en küçük çemberinin yarıçapı kaç birimdir? 1 A) B) v3 C) v2 D) 2 E) 1 3 2. 1988 ÖSS A ve B birer küme olmak üzere A B kümesinin eleman sayısı 4, B A kümesinin eleman sayısı 5, A kümesinin eleman sayısı 6 dır. Buna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15 3. 1988 ÖYS Futbol, voleybol ve basketbol oynayanlardan oluşan bir sporcu kafilesinde, üç oyunu da oynayanlar 5, futbol ve voleybol oynayanlar 9, voleybol ve basketbol oynayanlar 8, futbol ve basketbol oynayanlar 6 kişidir. Futbol oynayanlar 23, voleybol oynayanlar 21, basketbol oynayanlar 15 kişi olduğuna göre, kafilede kaç sporcu vardır? A) 64 B) 59 C) 53 D) 41 E) 39 6. 1989 ÖSS Bir sınıftaki öğrencilerden 35 i İngilizce, 33 ü Almanca kursuna gidiyor. Bunlardan 15 i her iki kursada gittiğine göre, bu sınıfta bu kurslara katılan öğrencilerin tümü kaç kişidir? A) 50 B) 53 C) 68 D) 78 E) 83 7. 1989 ÖYS En az birer elemanı bulunan A ve B kümeleri için, (A B) B = A eşitliği gerçekleniyorsa, bu kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B A B) A B C) A B = Ø D) A B = B E) (A B) = B 4. 1988 ÖYS A ve B kümeleri için, A B, B A, s(a B) = 8, s(a B) = 2 olduğuna göre, A kümesinde en çok kaç eleman olabilir? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 8. 1990 ÖYS s(a B) = 9, s(b A) = 7 ve A B nin alt küme sayısı 64 olduğuna göre, s(a B) kaçtır? A) 16 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28 43
9. 1991 ÖYS A = {Sınıftaki gözlüklü öğrenciler } B = {Sınıftaki sarışın öğrenciler } C = {Sınıftaki erkek öğrenciler } D = {Sınıftaki kız öğrenciler } olduğuna göre, C A (B D) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {Sınıftaki sarışın olmayan, gözlüklü erkek öğrenciler} B) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın erkek öğrenciler} C) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın kız öğrenciler} D) {Sınıftaki gözlüklü erkek öğrenciler} E) {Sınıftaki sarışın kız öğrenciler} 12. 1993 ÖSS A = {a, b, c, d, e } kümesinin, 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 13. 1993 ÖYS A ve B herhangi iki küme ve A B, A B, B A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 512, 32 ve 4 olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 10. 1991 ÖYS M = {a, b, {1, 2 }, } N = {a, 1, 2, { }} olduğuna göre, M N fark kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 14. 1994 ÖYS E evrensel küme olmak üzere, s(e) = 9, s(a B) = 3, s(a B) = 6 ve s(b) = 4 olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni olan A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 11. 1992 ÖSS A = { x : 11 x 1200, x = 4n, n N} B = { y : 8 < y < 900, y = 6k, k N} olduğuna göre, (A B) nin eleman sayısı kaçtır? A) 64 B) 66 C) 68 D) 70 E) 74 15. 1994 ÖYS A = {a, c, d } B = {a, b, c, d, e, f, g } olduğuna göre, B nin alt kümelerinin kaç tanesi, A kümesini kapsar? A) 16 B) 32 C) 48 D) 96 E) 112 44
16. 1996 ÖYS A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? A) 24 B) 22 C) 20 D) 16 E) 8 20. 2000 ÖSS Bir sınıfta Almanca veya Fransızca dillerinden en az birini bilen 40 öğrenci vardır. Almanca bilenlerin sayısı; Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı, her iki dilide bilenlerin sayısının ise 4 katıdır. Buna göre, sınıfta Almanca bilenlerin sayısı kaçtır? A) 18 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32 17. 1997 ÖYS 18 kişilik bir sınıfta öğrenciler İngilizce, Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin üç katıdır. Buna göre sadece Fransızca bilenlerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? 21. 2001 ÖSS Pozitif tam sayılardan oluşan A = {x : x < 100, x = 2n, n Z + } B = {x : x < 151, x = 3n, n Z + } A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 kümeleri veriliyor. Buna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 49 B) 65 C) 74 D) 83 E) 99 18. 1998 ÖSS A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, s(e) =12, s(a B) = 4 ve s(a B ) = 3 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 22. 2002 ÖSS Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına 3 oranı dir. Erkeklerin % 20 si futbol oynadığına 7 göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm sınıfın yüzde kaçıdır? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 19. 1999 ÖSS Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için 3.s(A B) = 4.s(A B) = 5.s(B A) olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? A) 12 B) 27 C) 35 D) 47 E) 60 23. 2002 ÖSS A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur; ama 4 bulunmaz? A) 10 B) 15 C) 20 D) 50 E) 70 45
24. 2003 ÖSS Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri için, s(n) = 4.s(M) s(n M) = 5.s(M N) olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır? A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 28. 2010 YGS A = {a, b, e } B = {a, b, c, d } olduğuna göre, (A B) K (A B) koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9 25. 2005 ÖSS A = {a, b, c, d } B = {b, c, d, e, f, g, k, l } C = {c, d, e, r } olduğuna göre, kartezyen çarpımların kesişimi olan (A x B) (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 29. 2011 YGS n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n yi kalansız bölen pozitif tam sayıların kümesi S(n) ile gösteriliyor. Buna göre, S(60) S(72) kesişim kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 6 D) 5 E) 4 30. 2011 LYS 26. 2008 ÖSS K = { 2, 1, 0, 1, 2, 3 } kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya eşittir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A = {n Z + : n 100; n, 3 e tam bölünür. } B = {n Z + : n 100; n, 5 e tam bölünür. } olduğuna göre, A B fark kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 33 B) 32 C) 30 D) 28 E) 27 27. 2009 ÖSS Herhangi A ve B kümeleri için (A B) (A B) fark kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A (A B)B) A (A B) C) (A B) (B A)D) (A B) (B A) E) (A B) (A B) 31. 2012 YGS 3 A = =, 5 G 2 16 B = > 3, H 3 kapalı aralıkları için (A B) Z kümesinin eleman sayısı kaçtır? ( Z, tam sayılar kümesidir.) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 46
32. 2012 LYS Bir öğrenci, doğru olduğunu düşündüğü aşağıdaki iddiayı ispatlarken bir hata yapmıştır. İddia: A, B, C herhangi kümeler olmak üzere, A ( B C ) ( A B ) ( A C ) dir. Öğrencinin ispatı: A ( B C ) kümesinin her elemanının ( A B ) ( A C ) kümesinde olduğunu gösterirsem ispat biter. Şimdi, x A ( B C ) alalım. I. Buradan x A ve x ( B C ) olur. II. Buradan x A ve ( x B ve x C ) olur. III. Buradan ( x A ve x B ) ve ( x A ve x C ) olur. IV. Buradan x A B ve x A C olur. V. Buradan x [ ( A B ) ( A C ) olur. Bu öğrenci, numaralandırılmış adımların hangisinde hata yapmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) V 47
48