SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT
.Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri Açılımları Çeşitli problemlerde karşılaşıla karmaşık apıdaki matematik iadeleri daha kola kullaılabilir iadeler şeklie getirebilmesi içi Talor, McLaure açılımları kullaılır. Bölece Matematiksel iadeler Talor, McLaure açılımları soucuda poliomial iadeler şeklie döüşürler. z (, Foksiouu taımlı olduğu bir (, ) Noktası Civarıdaki Talor Açılımı: (, (, ) ( ) (, ) ( ) (, )! ( ) (, ) ( )( ) ( )! ( ) ( ) ( ) ( )( )!. ( )! R R : Kala Terim (Hata Paı). limr olur. limr olduğu durum poliomial bir iadedir. Karmaşık bir matematiksel iadede sııra aklaşır. Formüldeki katsaıları Biom Katsaıları olduğua dikkat edilmelidir. Örek(ug) (, l( ) oksiouu P(,) oktası civarıdaki ilk 4 terim içi Talor açılımıı buluuz? (. Mertebe türevli terime kadar) Çözüm: P(,) de oksio taımlı mı? Nokta erie koulur. (,) l( ) olduğuda taımlıdır. (, ) (, ) P(,) deki değerleri alalım (, ) (, ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) (, ) (, ) ( ) ( )
(, ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) (, (, ) ( ) (, ) ( ) (, )! ( ) (, ) ( )( ) ( )! ( ) ( ) ( ) ( )( )! ( ) (,!! (, ( ) ( )! ( ). ( ).( ) ( ) ( ) ( )( ). ( ) ( )! ( ). ( ) ( ).( ) ( )( ). ( ).( ) R! ( ) ( ) ( ) ( )! R ( ) (, ( şeklide geel bir iade elde edilir. Bu iade ardımıla çok saıda terim azılabilir. Örek:(çöz) (, 5 oksiouu ( ),( ) i kuvvetlerie göre azıız. Çözüm: (,-) oktasıda Talor Açılımı (, )..( ) 4..( ) 5 7 4 4 4. mertebe türevleri değeri olduğu içi. mertebe türevli terime kadar serie açılır. (, 7 ( ). ( ). ( )..( )( ). ( ).( 4)!! ( ). ( ) ( ). ( )( ) ( 4) ( ). R!
Örek:(öğr) z (, 6 4 oksiouu (+) ve (-) i kuvvetlerie göre azıız. Noktalarıda Talor açılımı (türevi bittiği ere kadar açılım apılır) ( (,, ) ) 6 (,) ( ) (,) ( ). 6 6 (,).( ) 6. ( ). 6( ). 4 6,, Üçücü mertebe türevler sıırdır. (,! (, ( ) ( ). ( ). ( ).( ).( ).( ). ( ).6!.( ).( ).( ) 4
Mc Laure Açılımı Özel olarak (,) oktasıdaki Talor Serisie açılımdır. Örek(ug): buluuz. (, e si oksiouu Mc Laure açılımıı. mertebeli terime kadar Çözüm: Şimdi aşağıdaki açılım ormülüe göre türevleri ve (,) daki değerlerii bulalım; (, = (,) +! [. +. ] +! [. +. +. ] +! [. +. +. +. ] + R =, = (, ) = (,) = e si = = e si = e si = = e cos = e cos = = e si = e si = = e cos = e cos = = e si = e si = = e si = e si = = e cos = e cos = = e si = e si = = e cos = e cos = Bulua türev değerleri açılım ormülüde erie koularak kısaltmalar apıldığıda, (, = + ( + 6 ( ) (, = + + McLauri açılım iadesi elde edilir. 6 Örek(öğr): (, e Cos oksiouu Mc Laure açılımıı. mertebeli terime kadar buluuz. 5
..Çok Değişkeli Foksiolarda Etremum Noktalar Tek değişkeli oksiolarda etremum oktaları bulumasıı hatırlaalım: Gerek Şart(.mertebe türe bakılır) = () de = () = apa değerleri kritik oktalardır. Yai etremum okta adalarıdır. Burada bulua değeri içi; Yeter Şart: (. Türeve bakılır) = de ( ) < ise = Maimum Nokta ( ) > ise = Miimum Nokta ( ) = ise şüpheli hal vea Semer Noktası deir idi. Bezer şekilde Çok değişkeli oksiolarda etremum oktalarıı buluması içi: Gerek Şartlar:. Mertebede Kısmî türevleri apa (, ), (, ) oktaları kritik oktalardır. Etremum okta adalarıdır. = = Deklemlerii ortak çözümleri kritik oktaları verir. Yeter Şartlar:Elde edile oktaları durumu içi,,. Mertebe türevlerie bakılır. = (, diskirimiat),, de e az biri sıırda arklı olmalıdır. Bir (, ) Kritik oktasıı ekstremum olup olmadığıa şöle bakılır;. > ve < ise (, )= Maimum Nokta. > ve > ise (, )= Miimum Nokta. < ise (, ) etremum oktası değil. 4. = ise Şüpheli haldir. Örek:z = (, = + 6 + oksiouu etremum oktalarıı araştırıız. Çözüm: Gerek şartlara göre: (.mert.kısmi türevlerde) = + 6 = = 6 6 = Deklemlerii ortak çözümüde + = (. deklem, ) = (. deklem, ).deklemde ( ) = =, = =, = değerleri -. deklemde erie koularak bulara karşılık gelecek ei ve değerleri ile oktalar elde edilir. = içi, = => ( ) = = ve = değerler buluur ve burada A(,) ve B(,) oktaları oluşturulur. = içi, + = => = = burada da C(,) ve D(-,) oktaları elde edilir. A, B, C, D oktaları kritik oktalardır, ai etremum okta adalarıdır. 6
Yeter şarta göre: = 6, = 6 6, = 6 = => = 6. 6 (6 6) = 6 (6 6) A(,) oktasıa bakalım;. A = 6. (6. 6) = 6 => A < olduğuda A oktası etremum okta değildir. B(,) oktasıa bakalım: B = 6. (6. 6) = 6, => B < olduğuda B oktası etremum okta değildir. C(,) oktasıa bakalım: C = 6. (6. 6) = 6, = 6 = 6. = 6 C > ve > olduğuda C oktası Miimum oktadır. D(-,) oktasıa bakalım: C = 6. ( ) (6. 6) = 6, = 6 = 6. ( ) = 6 C > ve < olduğuda D oktası Maimum oktadır. C ve D oktaları etremum oktalardır. Not: Etremum oktaları maimum vea miimum olmak üzere e azla tae olur. Foksio doğrusal olursa maimum vea miimum oktası olmaz. Örek: Bir projei toplam malieti kaliie ve kaliie olmaa elema saılarıa bağlı olarak C(, = 4 + 9 7 + 9 oksiou ile belirlemiştir. a) Toplam malieti miimize ede elema saılarıı buluuz. b) Miimum malieti buluuz. Çözüm: a) Gerek şartlara göre: C = 7 7 = C = 7 + 8 = Deklemlerii ortak çözüm.deklemde => 7 = 8 => = 4 Bu iade.deklem C de erie koulursa, 7 7 4 = => =, = buluur. = içi, = 4 te = buluur. A(,) oktası elde edilir. = içi, = 4 te = 4. = 8 buluur. B (, 8 ) oktası elde edilir. Yeter şartlara göre: C = 54 C = 7 C = 8 7
= C C C => = 54. 8 ( 7) A(,) içi; A = 54 8 ( 7) < olduğuda A oktası etremum okta değildir. B (, 8 ) içi; A = 54.. 8 ( 7) > ve C = 54 = 54. oktadır. b) C(, 8 > olduğuda B oktası Miimum ) oktası oksioda erie koularak miimum maliet elde edilir. Elema saısı kesirli olamaacağı içi ve 4 değerleri gereke elema saısıı gösterir ve maliet bu değerler ile hesaplamalıdır. Miimum maliet: C(,4) = 4 + 9. () 7 4 + 9 (4) = 4-979-456+664 C(,4) = 66 Olarak elde edilir...ya Şartlı Ekstremumlar z = (, aa oksiou ve g = (, = g = (, =. g m = (, =, a şartları verilmiş olsu. Böle a şartlar(kısıtlar) altıdaki ekstremum problemlerie Ya şartlı ekstremum problemleri adı verilir. Bu problemleri çözümü içi her bir a şarta karşılık gelmek üzere λ, λ,, λ m Lagrage çarpaları kullaılarak, L(, g, g,, λ, λ, ) = (, + λ g + λ g Lagrage oksiou oluşturulur. Burada λ, λ,, λ m Lagrage çarpaları a şartları aa oksio üzerideki etkisii iade eder. Problemi çözümü içi; L i. Mertebe kısmî türevlerii= apılmasıla oluşa Gerek şartlar ardımıla Kritik Noktalar araştırılır. Örek: z = (, = + + üretim oksiou içi, g (, = = g (, = + = a şartları verilmiştir. Bu şartlar altıdaki üretim oksiouu alabileceği miimum vea maimum değerler elerdir? Araştırıız. 8
Çözüm: Lagrage oksiou L(, g, g, λ, λ, ) = (, + λ g + λ g L(, g, g, λ, λ, ) = + + + λ ( + λ ( + ) Gerek şartlara göre: L i.mertebe kısmî türevleri = olmalı. L = + + + λ + λ = L = + λ + λ = L λ = = L λ = + = So iki deklemi ortak çözümüde; = => = 4.deklemde koulursa + =, => + = => = ve = buluur. Bu değerler L ve L de erie koulursa; L =. + + + λ + λ = L =. + λ + λ = şeklide elde edile deklemlerde; λ + λ = 5 λ + λ = elde edilir. Buları ortak çözümde λ = 5, λ = buluur. Bu durumda (,, λ, λ ) (,, -5, -) Kritik Nokta, ai Tek Etremum okta adaıdır. Acak bu özelliği taşıa tek bir okta elde edildiğide, bu oktaa a şartlar altıdaki e ii vea Optimum çözüm deir. Eğer birde azla kritik okta çıkarsa bu oktalarda Lagrage oksioua e üksek değer verdire okta maksimum e az değer verdire okta miimum oktadır. Eğer tek okta bulumuş ise bu oktaa Optimum vea eii okta adı verilir. Ya şart oksioları aa oksio üzerideki etkisi şu şekilde orumlaabilir;. oksiou etkisi içi; λ = 5 değerie bakıldığıda.a şart oksiouu aa oksio üzeride -5 birim sevieside egati etkie sahip olduğuu,. Foksiou etkisi içi ise; λ = Değerie bakıldığıda.a şart oksiouu aa oksio üzeride - birim sevieside egati bir etkie sahip olduğuu gösterir.. =, =, λ = 5, λ = a şartlar altıda üretimi e ii=optimum (e ugu) değeri; (,) = 4 + +. = 5 tir. 4. Diğer açıda bakılırsa;. Ya şartı,. Ya şarta göre aa oksio üzerideki etkisi kat seviesidedir. 9