TEMEL MAKİNA DİNAMİĞİ EĞİTİMİ ÇALIŞTAYI MEKANİZMALARIN HAREKET VE KUVVET ANALİZİ

TEMEL MAKİNA DİNAMİĞİ EĞİTİMİ ÇALIŞTAYI 29 OCAK 03 ŞUBAT, 2018 Düzenleyen Kuruluşlar: ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ve MAKİNA TEORİSİ DERNEĞİ Çalıştay Ders Notları: MEKANİZMALARIN HAREKET VE KUVVET ANALİZİ Hazırlayan: Prof. Dr. M. Keal Özgören Makina Mühendisliği Bölüü ODTÜ ISBN: 978-605-84220-4-9

ÖNSÖZ Bu ders notları kitapçığını, 29 Ocak 03 Şubat, 2018 tarihleri arasında Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölüü'nün ve Makina Teorisi Derneği'nin katkı ve destekleriyle düzenlenen "Teel Makina Dinaiği Eğitii" konulu çalıştay kapsaında veriş olduğu "Mekanizaların Hareket ve Kuvvet Analizi" tealı derste anlattığı konulara dayanarak hazırlaış bulunuyoru. Bu çalıştayın düzenlenesinde önayak olan Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölüü Öğreti Üyesi Y. Doç. Dr. Nurdan Bilgin ile Makina Teorisi Derneği Başkanı Prof. Dr. Eres Söyleez'e ve kendilerine özveriyle destek olan herkese teşekkür ederi. Ayrıca, çalıştaya katılıp dersleri ilgiyle izleyen ve çeşitli konularda görüşlerini belirten genç eslektaşlarıa da teşekkür ederi. Bu arada, bu ders notlarının ders verilirken katılıcılara sunulan ilk taslaklarında bulunan çeşitli hataları ve eksiklikleri tesbit edip belirten ve notların iyileştirilesi için faydalı önerilerde bulunan Y. Doç. Dr. Nurdan Bilgin ile Doç. Dr. Gökhan Kiper'e özellikle üteşekkir olduğuu belirtek isteri. Bu kitapçıkta, yer yer uzaysal ekanizaların farklı yönlerine deyineler yapış olsa da, ana içerik olarak düzlesel ekanizalara yer veriş bulunuyoru. Çünkü, düzlesel ekanizalar, he fiziksel he de ateatiksel olarak uzaysal ekanizalara göre daha basittirler ve bu nedenle çok daha fazla tercih edilektedirler. İlgili okuyucuların düzlesel ekanizaların hareket ve kuvvet analizleri konusundaki en teel hususlara zaten yeterince vakıf olduklarını varsaydığı için, bu kitapçığın ana aacı olarak, ayrıntılara fazla gireden, her türlü ekanizaya her türlü çalışa koşullarında uygulanabilecek genel bir sisteatik yaklaşı sunaya çalıştı. Uygulaa ayrıntılarını gösterek için de, sayıca az olakla birlikte, iki tipik örnek kullandı. Bu örneklerden birini tek serbestlik dereceli bir krank-biyel ekanizası; diğerini ise üç serbestlik dereceli bir paralel anipülatör olarak seçti. Bu kitapçığın ilgili okuyucular için yararlı olasını uuyor ve diliyoru. Kendilerinden alabileceği yapıcı eleştiriler ve geliştirici öneriler için de kendilerine şididen çok teşekkür ediyoru. Prof. Dr. M. Keal Özgören 02 Nisan, 2018 1

BÖLÜM 1 MEKANİZMALARIN KONUM ANALİZİ M. Keal Özgören 1.1. Bir Mekanizaya Ait Genel Kineatik Bilgiler Bir ekaniza, n T = n M + 1 uzuvdan oluşur. Bu uzuvlardan n M tanesi, F 0 (O) gibi seçilen bir gözle eksen takıına göre hareket edebilir; bir tanesi ise, aynı eksen takıına göre sabit tutulur. Bir ekanizanın uzuvları, birbirleriyle çeşitli eklelerle bağlanırlar. Bu uzuvlar, ya açık bir zincir biçiinde sıralanış olabilirler (örnek: seri anipülatörler); ya da uzuvların bazıları, çeşitli döngüler oluşturabilirler (örnek: döngülü ekanizalar ve paralel anipülatörler). a) Mekanizanın Serbestlik Derecesi Bir ekanizanın serbestlik derecesi (SD = ), o ekanizanın seçilen F 0 (O) eksen takıına göre duruşunu (pozunu) belirleyen birbirinden bağısız paraetre sayısı olarak tanılanır. Serbestlik derecesi, Kutzbach-Grübler forülüne göre, şöyle belirlenir. λ 1 = λn M k=1 (λ k)j k (1.1.1) (1.1.1) denkleinde aşağıdaki tanılar kullanılıştır. n M : Mekanizanın Hareket Edebilen Uzuvlarının Sayısı (1.1.2) λ : Mekanizanın Çalışa Uzayının Serbestlik Derecesi (1.1.3) j k : Bağıl Serbestlik Derecesi k Olan Bağısız Eklelerin Sayısı (1.1.4) Yukarıdaki tanılarla ilgili olarak aşağıdaki açıklaalar yapılabilir. Mekanizanın çalışa uzayının serbestlik derecesi (λ), ekanizanın uzuvlarından herhangi birinin, diğer uzuvlarla bağlantılı değilken, F 0 (O) eksen takıına göre konuunu (yerini ve yöneliini) belirleyen birbirinden bağısız paraetre sayısıdır. Örneğin, çalışa uzayı üç boyutlu ise, λ = 6 olur. Çünkü, üç boyutlu uzayda serbestçe hareket edebilen bir katı cisi, altı serbestlik derecesine sahiptir. Yani, bu cisin yerini (belli bir noktasıyla) belirleek için x, y, z gibi üç koordinata; yöneliini belirleek için de φ, θ, ψ gibi üç açıya ihtiyaç vardır. Oysa, çalışa uzayı iki boyutlu (yani düzlesel) ise, λ = 3 olur. Çünkü, iki boyutlu uzayda serbestçe hareket edebilen bir katı cisi, üç serbestlik derecesine sahiptir. Yani, bu cisin yerini (belli bir noktasıyla) belirleek için x ve y gibi iki koordinata; yöneliini belirleek için de θ gibi tek bir açıya ihtiyaç vardır. (1.1.4) tanıında sözü edilen bağısız ekleler, ekanizanın uzuvlarını, diğer eklelerin bileşileriyle sağlanaayacak bir biçide bağlayan ikili eklelerdir. Bu eklelerin her birine, yalnızca iki uzvu bağladığı için, bağısız kineatik çift adı da verilir. 2

Örneğin, L i, L j, L k gibi üç uzvun tek bir pile bağlanış olduğu üçlü bir bileşik döner eklede, R ik, R jk, R ij kineatik çiftlerinden yalnızca ikisi (diyeli ki, R ik ve R jk ) bağısız ekle olarak sayılabilir. Çünkü, üçüncünün (yani R ij kineatik çiftinin) ia ettiği bağlantı, bağısız sayılanların oluşturduğu bağlantıyla zaten sağlanış durudadır. Bu örnekte betilenen bileşik döner ekle, Şekil 1.1.1'de gösteriliştir. Şekil 1.1.1: Üç Uzuv Bağlayan Bir Bileşik Döner Ekle Eğer ekanizanın uzuvları arasında hiç bir bağlantı olasaydı, ekanizanın bağlantısız serbestlik derecesi, 0 = λn M olurdu. Ne var ki, uzuvlar eklelerle bağlanınca, her ekle, bağladığı iki uzuv arasında belli bir bağıl hareket kısıtlaasına yol açar. Bu nedenle de, (1.1.1) denkleinde olduğu gibi, ekanizanın bağlantılı serbestlik derecesi (), bağlantısız serbestlik derecesine göre azalış olur. (1.1.1) denkleinde de ifade edildiği gibi, bağıl serbestlik derecesi k olan bağısız bir ekle, çalışa uzayının türüne bağlı olarak, (λ k) kadar bağıl hareket kısıtlaasına neden olur. Dikkat edilirse, serbestlik derecesi λ olan bir çalışa uzayında, bir eklein bağıl serbestlik derecesi en fazla (λ 1) olabilir. Böyle bir çalışa uzayında, bağıl serbestlik derecesi λ olan bir ekle bulunaaz. Çünkü, böyle bir ekle, bulunabilseydi bile, zaten hiç bir kısıtlaa yarataazdı. Yukarıdaki açıklaalara göre, Kutzbach-Grübler forülü, düzlesel ve uzaysal ekanizalar için aşağıdaki özel biçilerde yazılabilir. Düzlesel Mekanizalar için Kutzbach-Grübler forülü (λ = 3): = 3n M (2j 1 + j 2 ) (1.1.5) Uzaysal Mekanizalar için Kutzbach-Grübler forülü (λ = 6): = 6n M (5j 1 + 4j 2 + 3j 3 + 2j 4 + j 5 ) (1.1.6) Farklı görünekle birlikte, Kutzbach-Grübler forülü, aşağıdaki biçilerde de yazılabilir. λ 1 = λ(n M j T ) + k=1 kj k (1.1.7) j T = λ(n M j T ) + i=1 f i (1.1.8) (1.1.7) ve (1.1.8) denklelerindeki j T sigesi, bağısız eklelerin topla sayısını gösterektedir. Yani, λ = 3 j T = j 1 + j 2 (1.1.9) λ = 6 j T = j 1 + j 2 + j 3 + j 4 + j 5 (1.1.10) 3

(1.1.8) denkleindeki f i sigesi ise, i sayılı bağısız eklein sağlaış olduğu bağıl serbestlik derecesini gösterektedir. Bu tanıa göre, j T λ 1 i=1 f i = k=1 kj k (1.1.11) b) Mekanizanın İçerdiği Bağısız Döngü Sayısı Bağısız ekle sayısı j T ve hareket edebilen uzuv sayısı n M olan bir ekanizanın döngü oluşturan uzuvları varsa, bu ekanizanın sahip olduğu bağısız döngülerin sayısı (n L ), aşağıdaki denklele belirlenir. n L = j T n M (1.1.12) Aslında, ekaniza, topla olarak n LT = n L + 1 döngüye sahiptir. Fakat, bu döngülerden biri diğer n L döngüye bağılıdır çünkü onların küesel toplaı ya da farkı biçiinde oluşturulabilir. Örneğin, Şekil 1.1.2'de gösterilen altı uzuvlu (yani n T = 6 olan) düzlesel ekanizanın uzuvları, yedi bağısız döner eklele (R 12, R 14, R 16, R 23, R 65, R 43, R 45 ) bağlanıştır. L 1 uzvu sabittir. Dikkat edilirse, E noktasındaki üçlü bileşik eklee ait iki bağısız ekle, R 43 ve R 45 olarak alınıştır. Bu ekaniza için, n M = 6 1 = 5 ve n L = 7 5 = 2 olur. Oysa, şekilde de görüldüğü gibi, ekanizanın üç döngüsü vardır. Bu döngüler şunlardır: L 1 = ADEBA, L 2 = BEFCB, L 3 = ADEFCBA (1.1.13) Ne var ki, bu döngülerden yalnızca ikisi bağısızdır. Çünkü, üçüncü döngü, aşağıda belirtildiği gibi, bağısız olarak seçilen diğer ikisinin küesel toplaı ya da farkı biçiinde oluşturulabilir. Bağısız Döngüler: L 1 ve L 2 Bağılı Döngü: L 3 = L 1 + L 2 (1.1.14) Bağısız Döngüler: L 3 ve L 1 Bağılı Döngü: L 2 = L 3 L 1 (1.1.15) Bağısız Döngüler: L 3 ve L 2 Bağılı Döngü: L 1 = L 3 L 2 (1.1.16) 3 5 2 4 6 1 1 Şekil 1.1.2: Altı Uzuvlu Bir Düzlesel Mekaniza c) Mekanizanın Duruşunu Gösteren Ekle Değişkeni Sayısı Bir ekanizanın F 0 (O) eksen takıına göre duruşunu gösterebilek için n V adet ekle değişkeni gerekli ve yeterlidir. Bu sayı şöyle belirlenir. λ = 3 n V = 2n L + (1.1.17) λ = 6 n V = 6n L + (1.1.18) 4

Örnek olarak Şekil 1.1.2'deki ekaniza göz önüne alınırsa, bu ekanizanın serbestlik derecesi = 1 ve bağısız döngü sayısı n L = 2 olduğu için, duruşunu gösterek için n V = 5 adet ekle değişkenine gereksini vardır. Bu değişkenler, A, B, C, D ve F noktalarındaki döner eklelerin döne açıları olarak alınabilir. Bu açılar, L 1 uzvu referans olarak alınıp şöyle tanılanabilirler. θ 2 = θ L2 /L 1, θ 3 = θ L3 /L 1, θ 4 = θ L4 /L 1, θ 5 = θ L5 /L 1, θ 6 = θ L6 /L 1 (1.1.19) 1.2. Mekanizanın Duruşunun Belirlenesi Serbestlik derecesi olan bir ekanizanın ekle değişkenleri, aşağıdaki dikeysıra atrisleriyle gösterilen iki gruba ayrılır. q R : Eyletili Ekle Değişkenleri Dikeysıra Matrisi (1.2.1) p R n : Eyletisiz Ekle Değişkenleri Dikeysıra Matrisi (1.2.2) Mekanizanın serbestlik derecesinin olası, zeine göre duruşunun (yani, tü hareketli uzuvlarının yer ve yönelilerinin) ta olarak belirlenebilesi için ekle değişkenlerinden tanesinin değerlerinin belirtilesini gerektirir. Bu belirte, sözü edilen değişkenin ait olduğu eklelere kuanda eden adet eyleticiye verilen koutlarla sağlanır. Bu nedenle, bu değişkenlerden her birine "eyletili ekle değişkeni" denir. Eyletili bir ekle değişkenine "etken (aktif) ekle değişkeni" de denilebilir. Mekanizanın diğer ekleleri ise, eyletilezler; yani serbesttirler. Dolayısıyla, bu eklelere ait değişkenlerden de her birine "eyletisiz ekle değişkeni" denir. Önceki ikincil tanıa benzer bir biçide, eyletisiz bir ekle değişkenine "edilgen (pasif) ekle değişkeni" de denilebilir. Söz konusu ekanizanın kineatik döngü kapanı denkleleri, q ve p dikeysıra atrislerini içerek üzere, aşağıdaki atris denklei biçiinde yazılabilir. φ (q, p ) = 0 ; φ R n (1.2.3) (1.2.3) denklei, daha ayrıntılı olarak aşağıdaki skalar denkle küesi biçiinde de yazılabilir. φ i (q 1,..., q, p 1,..., p n ) = 0 ; i = 1,..., n (1.2.4) (1.2.3) denkleinde görüldüğü gibi, φ atris işlevi ile p atrisinin boyutları, n olarak aynıdır. Dolayısıyla, (1.2.3) denklei çözülerek belirtiliş olan q atrisine karşılık gelen p atrisi belirlenebilir. Şöyle ki, p = f l(q ) ; l = 1, 2,, n K (1.2.5) Yukarıdaki çözü, incelenen ekanizanın n K adet değişik kapanı biçii ya da kurulu biçii olabileceğini gösterektedir. Çözüdeki l indisi ise, bu kapanı biçilerinden birini tesil etektedir. Mekaniza, bir sonraki bölüün konusu olan hız analizinde görülecek olan devinisel tekil duruşlardan birine girediği sürece, kurulurken seçiliş olan kapanı biçiini değiştireez. 5

Mekanizanın çalışa koşullarına göre uygun bir kapanı biçii seçildikten sonra, (1.2.5) denklei, daha yalın bir biçide, kısaca şöyle de yazılabilir. p = f (q ) (1.2.6) Böylece, p ile birlikte, ekanizanın q tarafından belirlenen duruşu da ortaya çıkış olur. 1.3. Mekanizaya Ait Uzuvların Konularının Belirlenesi Konu analizi kapsaında, ekanizanın uzuvlarının zein eksen takıına göre konularının da belirlenesi yer alır. Bu aaçla, tipik bir L k uzvunun zein eksen takıına göre konuu (yeri ve yönelii), şöyle ifade edilebilir. ξ k = ψ k(q, p ) ; ξ k = [ r k ] (1.3.1) φ k (1.3.1) denkleinde de belirtildiği gibi, ξ k dikeysıra atrisi, L k uzvunun zein eksen takıına göre yerini ve yöneliini tesil eden iki ayrışıdan oluşaktadır. Mekanizanın düzlesel ya da uzaysal oluşuna göre, ξ k dikeysıra atrisinin yer ve yöneli gösteren ayrışıları, aşağıda açıklanan biçilerde tanılanır. Uzvun yeri, uzvun üzerindeki tipik bir P k noktasının koordinatlarıyla tesil edilir. Çoğu kez, P k noktası olarak uzvun kütle erkezi olan C k noktası alınır. Mekaniza düzlesel ise, L k uzvunun konuu, P k noktasının yerini gösteren iki koordinat ve L k uzvunun yöneliini gösteren tek bir açıyla tesil edilir. Yani, r k = [x k y k ] t (1.3.2) φ k = φ k (1.3.3) Mekaniza uzaysal ise, L k uzvunun konuu, P k noktasının yerini gösteren üç koordinat ve L k uzvunun yöneliini gösteren üç açıyla tesil edilir. Yani, r k = [x k y k z k ] t (1.3.4) φ k = [φ k θ k ψ k ] t (1.3.5) Yukarıdaki denklelerdeki t üstyazıtı, transpoz (devrik) anlaına gelektedir. (1.3.5) denkleindeki açılara, Euler Açıları denir. Bu üç açı, L k uzvunun L 0 uzvuna (yani zeine) göre yöneliini seçilen belli bir dönüş sıralaasıyla belirler. Örneğin, uzvun dönüşüne bağlı 1-2-3 sıralaası seçilirse, yöneliin belirlenesi şöyle gerçekleşir. Dönüş-1 (u 1 etrafında φ k açısıyla): L k L k ; L k L 0 Dönüş-2 (u 2 etrafında θ k açısıyla): L k L k Dönüş-3 (u 3 etrafında ψ k açısıyla): L k L k Yukarıdaki u 1, u 2 ve u 3 biri vektörleri, L k uzvuna bağlı eksen takıının birinci, ikinci ve üçüncü eksenlerinin başlangıçta ve uzuv döndükçe aldıkları yönelileri gösterektedir. 6

Döngü kapanı denklelerinden p dikeysıra atrisi, (1.2.6) denkleine göre belirlendikten sonra, (1.3.1) denklei, L k uzvunun konuunu, doğrudan doğruya eyletili ekle değişkenlerine bağlı olak üzere şöyle verir. ξ k = h k(q ) = ψ k(q, f (q )) (1.3.6) 1.4. Örnek 1.1: RRRP Mekanizası (Üç Döner ve Bir Kayar Ekleli Mekaniza) 2 3 2 3 4 = 4 Şekil 1.4.1: RRRP Mekanizası (R: Döner Ekle; P: Kayar Ekle) * Mekanizanın Geoetrik Paraetreleri: OA = h 1, AB = b 2, BC = b 3 AP 2 = d 2, P 2 P 2 = h 2 ; CP 3 = d 3, P 3 P 3 = h 3 ; CP 4 = d 4, P 4 P 4 = h 4 Burada, P k noktası, P k noktasının L k uzvunu belirleyen doğrultu üzerindeki izdüşüüdür. Bu tür yardıcı noktalar, sadelik aacıyla Şekil 1.3.1'de gösterileiştir. * Mekanizanın Serbestlik Derecesi: = 1 * Eyletili Ekle Değişkeni: θ 2 * Eyletisiz Ekle Değişkenleri: θ 3, s 4 * Vektörel Döngü Kapanı Denklei: OA + AB = OC + CB (1.4.1) (1.4.1) denklei, ekanizanın kineatik özelliklerini açıkça gösterecek biçide şöyle de yazılabilir. h 1 j + b 2 u (θ 2 ) = s 4 i + b 3 u (θ 3 + π/2) (1.4.2) Not: Bir vektörün bir eksen takıına göre yönelii, geleneksel olarak o eksen takıının i biri vektörüne göre tanılanır. Bu nedenle, (1.4.2) denklei, (θ 3 + π/2) açısıyla yazılıştır. 7

(1.4.2) denkleindeki u (θ) sigesi, biri yön vektörü adıyla şöyle tanılanıştır. u (θ) = i cos θ + j sin θ (1.4.3) Bu vektörün dik ortağı ise, şöyle tanılanıştır. u (θ) = u (θ + π/2) = i sin θ + j cos θ (1.4.4) Yukarıdaki tanılara göre, u (θ) ve u (θ), zein eksen takıının yatay ve dikey eksenlerine göre θ açısıyla dönüş olan biri vektörleri gösterektedir. * Skalar Döngü Kapanı Denkleleri: (1.4.2) ve (1.4.3) vektör denklelerinden aşağıdaki skalar denkleler elde edilir. b 2 cos θ 2 = s 4 b 3 sin θ 3 (1.4.5) h 1 + b 2 sin θ 2 = b 3 cos θ 3 (1.4.6) * Eyletisiz Ekle Değişkenlerinin Belirlenesi: (1.4.5) ve (1.4.6) denkleleri, θ 3 açısını yok etek üzere şöyle de yazılabilir. b 3 sin θ 3 = s 4 b 2 cos θ 2 (1.4.7) b 3 cos θ 3 = h 1 + b 2 sin θ 2 (1.4.8) (1.4.7) ve (1.4.8) denklelerinin karelerinin toplaı, aşağıdaki denklei verir. b 3 2 = (s 4 b 2 cos θ 2 ) 2 + (h 1 + b 2 sin θ 2 ) 2 s 4 2 2(b 2 cos θ 2 )s 4 + (h 1 2 + b 2 2 b 3 2 + 2h 1 b 2 sin θ 2 ) = 0 (1.4.9) (1.4.9) denkleinden aşağıdaki iki alternatif çözü elde edilir. s 4 = b 2 cos θ 2 + σ (b 2 cos θ 2 ) 2 (h 1 2 + b 2 2 b 3 2 + 2h 1 b 2 sin θ 2 ) s 4 = b 2 cos θ 2 + σ b 3 2 (h 1 + b 2 sin θ 2 ) 2 ; σ = ±1 (1.4.10) Buradaki σ, θ 2 aracılığı ile yapılan eyletie ait döngü kapanı işaret değişkeni olarak tanılanıştır. Bu değişkenin (+1) ya da ( 1) olası, ekanizaya ait kineatik döngünün, C noktası B noktasının sağında ya da solunda kalacak biçide kapatılış olduğunu gösterir. Buna göre, ekanizanın Şekil 1.3.1'de gösterilen duruşu, σ = +1 olasını gerektirektedir. Mekanizanın σ = +1 ve σ = 1 için kapanı biçileri ise, karşılaştıralı olarak Şekil 1.3.2'de gösteriliştir. Uygun olan σ seçeneği ile s 4 belirlendikten sonra, (1.4.7) ve (1.4.8) denkleleri, θ 3 açısını ek bir işaret değişkenine gerek kalaksızın aşağıdaki forülle verir. θ 3 = atan 2 [(s 4 b 2 cos θ 2 ), (h 1 + b 2 sin θ 2 )] (1.4.11) 8

2 3 = +1 3 < 0 2 = 1 Şekil 1.3.2: RRRP Mekanizasının θ 2 Eyletiine Göre Kapanı Biçileri * Çift Değişkenli Arktanjant İşlevi Hakkında Açıklaalar: (1.4.11) denkleindeki atan 2 (y, x) işlevi, "çift değişkenli arktanjant işlevi" adıyla anılır. Bu işlev, y ve x değişkenlerine karşılık gelen θ açısını, π θ π olacak biçide verek üzere aşağıdaki özdeşliğe göre tanılanıştır. θ atan 2 (r sin θ, r cos θ) ; r > 0 (1.4.12) Yukarıdaki tanı, pozitif olak koşuluyla, herhangi bir r katsayısı için geçerlidir. Dolayısıyla, atan 2 (y, x) işlevi için (1.4.12) özdeşliğine dayanan aşağıdaki özdeşlik de yazılabilir. atan 2 (y, x) atan 2 (ky, kx) ; k > 0 (1.4.13) Eğer y = x = 0 olursa, atan 2 (y, x) işlevi tanısızlaşır ve belirgin bir θ açısı vereez. Bunun dışında, y = 0 ve x < 0 oladığı sürece, atan 2 (y, x) işlevi, θ için tek bir değer verir. Ancak, y = 0 ve x < 0 olursa, atan 2 (y, x) işlevi, θ için θ = ±π gibi iki değer verir. Bu iki değerden hangisinin alınacağına, y değişkeninin değişi sürecine bakılarak karar verilebilir. Örneğin, y değişkeni, her zaan y 0 olacak biçide değişiyorsa, x < 0 iken y = 0 olduğunda, θ için θ = +π değeri alınır. Öte yandan, eğer x < 0 iken y değişkeni, küçük bir ε > 0 için, y = +ε değerinden y = ε değerine küçük bir değişi geçiriyor olsa bile, θ açısı, θ = π γ değerinden θ = (π γ) değerine θ = θ θ = 2π 2γ radyanlık büyük bir sıçraa yapar. Buradaki γ açısı, γ = atan 2 (ε, x ) ε/ x biçiinde tanılanış küçük bir açıdır. 9

Yukarıda açıklanan büyük sıçraayı engelleek için, atan 2 (y, x) işlevi yerine atan 2 (y, x) = atan 2 (y, x) + 2π biçiinde odifiye ediliş bir işlev kullanılabilir. Bu yeni işlev kullanılırsa, sözü edilen θ açısı, θ = π γ değerinden θ = (π γ) + 2π = π + γ değerine değişiş olur. Böylece, θ açısındaki yeni değişi de, θ = θ θ = 2γ değerini alarak küçülüş olur. * Uzuvlara Ait Noktaların Konularının Belirlenesi: Bu noktalara kineatik zincir üzerinde uygun bir yol (tercihan en kısa yol) izlenerek ulaşılabilir. Şöyle ki, r 2 = OP 2 = OA + AP 2 + P 2 P 2 = h 1 j + d 2 u (θ 2 ) + h 2 u (θ 2 + π/2) (1.4.14) r 3 = OP 3 = OC + CP 3 + P 3 P 3 = s 4 i + d 3 u (θ 3 + π/2) + h 3 u (θ 3 ) (1.4.15) r 4 = OP 4 = OC + CP 4 + P 4 P 4 = s 4 i + d 4 i h 4 j (1.4.16) Yukarıdaki konu vektörleri, zein eksen takıında, r k = x k i + y k j biçiinde bileşenlerine ayrıştırılabilir. Buna göre, yukarıdaki vektör denklelerinden P 1, P 2, ve P 3 noktalarının koordinatları için aşağıdaki ifadeler elde edilir. x 2 = d 2 cos θ 2 h 2 sin θ 2 y 2 = h 1 + d 2 sin θ 2 + h 2 cos θ 2 } (1.4.17) x 3 = s 4 d 3 sin θ 3 + h 3 cos θ 3 y 3 = d 3 cos θ 3 + h 3 sin θ 3 } (1.4.18) x 4 = s 4 + d 4 y 4 = h 4 } (1.4.19) * Eyletili Ekle Değişkeni Olarak Bir Başka Değişkenin Kullanılası: Eğer aynı ekanizanın θ 2 yerine s 4 aracılığı ile eyletilesi istenirse, (1.4.5) ve (1.4.6) denkleleri, bu kez, θ 2 ve θ 3 açılarını s 4 değişkeninin işlevleri olarak bulak üzere çözülürler. Bu aaçla, yine önce θ 3 açısını yok etek üzere, (1.4.5) ve (1.4.6) denkleleri şöyle yazılabilir. b 3 sin θ 3 = s 4 b 2 cos θ 2 (1.4.20) b 3 cos θ 3 = h 1 + b 2 sin θ 2 (1.4.21) (1.4.20) ve (1.4.21) denklelerinin karelerinin toplaı, aşağıdaki denklei verir. b 3 2 = (s 4 b 2 cos θ 2 ) 2 + (h 1 + b 2 sin θ 2 ) 2 s 4 cos θ 2 h 1 sin θ 2 = z 2 (1.4.22) (1.4.22) denkleinde, z 2 = (s 4 2 + h 1 2 + b 2 2 b 3 2 )/(2b 2 ) (1.4.23) (1.4.22) denklei, θ 2 için, aşağıda açıklanan iki yönteden biriyle çözülebilir. 10

a) Faz Açısı Yöntei Bu çözü yönteinde, iki ara değişken (r 2 ve β 2 ), aşağıdaki tanılarla işin içine katılır. s 4 = r 2 cos β 2 (1.4.24) h 1 = r 2 sin β 2 (1.4.25) Yukarıdaki denkle çiftinden, r 2 ve β 2 değişkenleri, bilinenlere bağlı olarak şöyle belirlenir. r 2 = s 4 2 + h 1 2 (1.4.26) β 2 = atan 2 (h 1, s 4 ) (1.4.27) Bu arada, (1.4.24) ve (1.4.25) denkleleri sayesinde, (1.4.22) denklei, şu şekli alır. r 2 cos β 2 cos θ 2 r 2 sin β 2 sin θ 2 = z 2 cos β 2 cos θ 2 sin β 2 sin θ 2 = z 2 /r 2 cos(θ 2 + β 2 ) = ξ 2 (1.4.28) (1.4.28) denkleindeki görünüü nedeniyle, β 2 açısı, "faz açısı" olarak adlandırılır. Aynı denkledeki ξ 2 boyutsuz değişkeni ise şöyle tanılanıştır. ξ 2 = z 2 /r 2 = z 2 / s 4 2 + h 1 2 (1.4.29) (1.4.28) denkleinden θ 2 açısı, iki aşaada, aşağıda gösterilen biçide elde edilir. sin(θ 2 + β 2 ) = η 2 = σ 1 ξ 2 2 ; σ = ±1 (1.4.30) θ 2 = atan 2 (η 2, ξ 2 ) β 2 (1.4.31) Buradaki σ, eyletili hale getirilen s 4 değişkenine ait döngü kapanı işaret değişkeni olarak tanılanıştır. Bu değişkenin (+1) ya da ( 1) olası, ekanizaya ait kineatik döngünün B noktası AC doğrusunun üstünde ya da altında kalacak biçide kapatılış olduğunu gösterir. Mekanizanın σ = +1 ve σ = 1 için kapanı biçileri ise, karşılaştıralı olarak Şekil 1.3.3'de gösteriliştir. Yukarıdaki analize göre, ekanizanın Şekil 1.3.1'de gösterilen duruşu, σ = +1 olasını gerektirektedir. Uygun olan σ seçeneği ile θ 2 açısı belirlendikten sonra, (1.4.20) ve (1.4.21) denkleleri, θ 3 açısını ek bir işaret değişkenine gerek kalaksızın aşağıdaki forülle verir. θ 3 = atan 2 [(s 4 b 2 cos θ 2 ), (h 1 + b 2 sin θ 2 )] (1.4.32) 11

2 < 0 2 3 = 1 Şekil 1.3.3: RRRP Mekanizasının s 4 Eyletiine Göre Kapanı Biçileri b) Yarı Açılı Tanjant Yöntei Bu çözü yönteinde, aşağıdaki τ tanıı ve onunla ilgili trigonoetrik özdeşlikler kullanılır. τ = tan(θ/2) (1.4.33) sin θ 2τ/(1 + τ 2 ) (1.4.34) cos θ (1 τ 2 )/(1 + τ 2 ) (1.4.35) Yukarıdaki denkleler kullanılarak (1.4.22) denklei, aşağıda gösterildiği gibi bir polino denkleine dönüştürülebilir. τ 2 = tan(θ 2 /2) (1.4.36) s 4 cos θ 2 h 1 sin θ 2 = z 2 s 4 (1 τ 2 2 ) h 1 (2τ 2 ) = z 2 (1 + τ 2 2 ) (z 2 + s 4 )τ 2 2 + 2h 1 τ 2 + (z 2 s 4 ) = 0 (1.4.37) (1.4.37) denkleinin τ 2 için çözüü şöyledir. τ 2 = [ h 1 + σ h 1 2 (z 2 + s 4 )(z 2 s 4 )]/(z 2 + s 4 ) τ 2 = [ h 1 + σ s 4 2 z 2 2 + h 1 2 ]/(s 4 + z 2 ) ; σ = ±1 (1.4.38) 12

Uygun bir σ seçiiyle, τ 2 bulunduktan sonra, (1.4.34) ve (1.4.35) denkleleri, yeni bir işaret değişkenine gerek kaladan θ 2 açısını şöyle verir. θ 2 = atan 2 [(2τ 2 ), (1 τ 2 2 )] (1.4.39) Bunun üzerine, θ 3 açısı da, aşağıda tekrar yazıldığı gibi (1.4.32) denkleiyle belirleniş olur. θ 3 = atan 2 [(s 4 b 2 cos θ 2 ), (h 1 + b 2 sin θ 2 )] (1.4.40) Tabii, bu yöntedeki σ işaret değişkeni ile önceki yöntedeki σ işaret değişkeni, genel olarak birbirlerinden farklı olabilirler. Öte yandan, (1.4.39) denkleine göre, θ 2 ile τ 2 arasında aşağıdaki işaret ilişkisi vardır. sgn(θ 2 ) = sgn(τ 2 ) (1.4.41) Dolayısıyla, Şekil 1.3.3'te gösterilen iki kapanıa göre σ şu değerleri alır. Birinci kapanıda, θ 2 her zaan pozitif olasa bile, σ = +1 değeri alınalıdır. Böylece, (1.4.38) denkleine göre, hiç değilse, s 4 2 z 2 2 + h 1 2 > h 1 olduğu sürece, θ 2 açısının pozitif olası sağlanış olur. İkinci kapanıda ise, θ 2 her zaan negatiftir. Bu özelliği sağlayabilek için de, yine (1.4.38) denkleine göre, σ = 1 değeri alınalıdır. 1.5. Örnek 1.2: Üç PRR Bacaklı Düzlesel Paralel Manipülatör * Manipülatörün Kineatik Yapısı: Şekil 1.5.1: Üç PRR Bacaklı Düzlesel Paralel Manipülatör Bu anipülatörün DE platforu, üç bacak tarafından taşınaktadır. Bu bacaklardan her biri, zeine bir kayar (P) ve bir döner (R) eklele bağlıdır. Aynı bacak, anipülatörün platforuna ise yine bir döner (R) eklele bağlıdır. Bu nedenle, bacaklarının sayısına ve yapısına bakılarak, bu anipülatör için "Üç PRR Bacaklı" tanılaası kullanılıştır. 13

* Manipülatörün Geoetrik Paraetreleri: AD = b 4, BD = b 5, CE = b 6, DE = b 7, QD = QE = d 7 = b 7 /2, QP = h 7 * Manipülatörün İşle Aygıtı: DE platforuna (L 7 uzvuna) bağlı QP doğru parçası ile tesil edilen işle aygıtı * Manipülatörün Serbestlik Derecesi: = 3 * Eyletili Ekle Değişkenleri: s 1, s 2, s 3 * Eyletisiz Ekle Değişkenleri: θ 4, θ 5, θ 6, θ 7 = φ * Bağısız Vektörel Döngü Kapanı Denkleleri: AD = AB + BD b 4 u (θ 4 ) = (s 2 s 1 )i + b 5 u (θ 5 ) (1.5.1) AD + DE = AC + CE b 4 u (θ 4 ) + b 7 u (θ 7 ) = (s 3 s 1 )i + b 6 u (θ 6 ) (1.5.2) * Skalar Döngü Kapanı Denkleleri: b 4 cos θ 4 = (s 2 s 1 ) + b 5 cos θ 5 (1.5.3) b 4 sin θ 4 = b 5 sin θ 5 (1.5.4) b 4 cos θ 4 + b 7 cos θ 7 = (s 3 s 1 ) + b 6 cos θ 6 (1.5.5) b 4 sin θ 4 + b 7 sin θ 7 = b 6 sin θ 6 (1.5.6) * İşle Aygıtının Uç Noktasının Konuu: OP = OA + AD + DQ + QP xi + yj = s 1 i + b 4 u (θ 4 ) + d 7 u (θ 7 ) + h 7 u (θ 7 + π/2) x = s 1 + b 4 cos θ 4 + d 7 cos θ 7 h 7 sin θ 7 (1.5.7) y = b 4 sin θ 4 + d 7 sin θ 7 + h 7 cos θ 7 (1.5.8) * Eyletisiz Ekle Değişkenlerinin Belirlenesi: Birinci döngünün (1.5.3) ve (1.5.4) denkleleri, θ 5 açısını yok etek üzere şöyle yazılırlar. b 5 cos θ 5 = (s 2 s 1 ) b 4 cos θ 4 (1.5.9) b 5 sin θ 5 = b 4 sin θ 4 (1.5.10) 14

(1.5.9) ve (1.5.10) denklelerinin karelerinin toplaı, aşağıdaki denklei verir. b 5 2 = [(s 2 s 1 ) b 4 cos θ 4 ] 2 + (b 4 sin θ 4 ) 2 2b 4 (s 2 s 1 ) cos θ 4 = (s 2 s 1 ) 2 + b 4 2 b 5 2 (1.5.11) Eğer s 2 s 1 ise, (1.5.11) denkleinden θ 4 için iki alternatif çözü aşağıda gösterilen biçide elde edilir. cos θ 4 = ξ 4 = [(s 2 s 1 ) 2 + b 4 2 b 5 2 ]/[2b 4 (s 2 s 1 )] (1.5.12) sin θ 4 = η 4 = σ 1 1 ξ 4 2 ; σ 1 = ±1 (1.5.13) θ 4 = atan 2 (η 4, ξ 4 ) (1.5.14) Buradaki σ 1, birinci döngüye ait döngü kapanı işaret değişkenidir. Bu döngünün Şekil 1.4.1'de olduğu gibi, yani D noktası yukarıda ya da sin θ 4 > 0 olacak biçide kapanabilesi için σ 1 = +1 olalıdır. θ 4 açısı belirlendikten sonra, (1.5.9) ve (1.5.10) denkleleri, θ 5 açısını, ek bir işaret değişkenine gerek kalaksızın şöyle verir. θ 5 = atan 2 {(b 4 sin θ 4 ), [(s 2 s 1 ) b 4 cos θ 4 ]} (1.5.15) İkinci döngüye gelince, (1.5.5) ve (1.5.6) denkleleri, θ 7 açısını yok etek üzere şöyle yazılırlar. b 7 cos θ 7 = b 6 cos θ 6 + (s 3 s 1 ) b 4 cos θ 4 (1.5.16) b 7 sin θ 7 = b 6 sin θ 6 b 4 sin θ 4 (1.5.17) (1.5.16) ve (1.5.17) denklelerinin karelerinin toplaı, aşağıdaki denklei verir. b 7 2 = [b 6 cos θ 6 + (s 3 s 1 ) b 4 cos θ 4 ] 2 + (b 6 sin θ 6 b 4 sin θ 4 ) 2 (b 4 sin θ 4 ) sin θ 6 [(s 3 s 1 ) b 4 cos θ 4 ] cos θ 6 = z 6 (1.5.18) (1.5.18) denkleinde, z 6 = [(b 6 2 + b 4 2 b 7 2 ) + (s 3 s 1 ) 2 2b 4 (s 3 s 1 ) cos θ 4 ]/(2b 6 ) (1.5.19) θ 6 açısını belirleek üzere, Örnek 1.1'de açıklanan "faz açısı yöntei" kullanılabilir. Bu aaçla, r 6 ve β 6 ara değişkenleri, aşağıdaki denklelerle tanılanır. r 6 sin β 6 = b 4 sin θ 4 r 6 cos β 6 = (s 3 s 1 ) b 4 cos θ 4 Yukarıdaki tanılar sayesinde, (1.5.18) denklei, aşağıdaki denklee dönüşür. cos(θ 6 + β 6 ) = ξ 6 (1.5.20) (1.5.20) denkleinde, β 6 = atan 2 {(b 4 sin θ 4 ), [(s 3 s 1 ) b 4 cos θ 4 ]} (1.5.21) 15

Ayrıca, ξ 6 = z 6 /r 6 (1.5.22) r 6 = (b 4 sin θ 4 ) 2 + [(s 3 s 1 ) b 4 cos θ 4 ] 2 (1.5.23) (1.5.20) denklei ise, θ 6 açısını iki aşaada şöyle verir. sin(θ 6 + β 6 ) = η 6 = σ 2 1 ξ 6 2 ; σ 2 = ±1 (1.5.24) θ 6 = atan 2 (η 6, ξ 6 ) β 6 (1.5.25) Buradaki σ 2, ikinci döngüye ait döngü kapanı işaret değişkenidir. Bu döngünün Şekil 1.4.1'de olduğu gibi, yani E noktası yukarıda ya da θ 6 > 0 olacak biçide kapanabilesi için σ 2 = +1 olalıdır. θ 6 açısı da belirlendikten sonra, (1.5.16) ve (1.5.17) denkleleri, θ 7 açısını, ek bir işaret değişkenine gerek kalaksızın şöyle verir. θ 7 = atan 2 {(b 6 sin θ 6 b 4 sin θ 4 ), [b 6 cos θ 6 + (s 3 s 1 ) b 4 cos θ 4 ]} (1.5.26) * İşle Aygıtının Duruşunu Belirleyen İleri Konu Çözüü: Eyletisiz ekle değişkenleri (θ 4, θ 5, θ 6, θ 7 ) belirlendikten sonra, (1.5.7) ve (1.5.8) denkleleri kullanılarak işle aygıtının zein eksen takıına göre duruşu da, yani platforun φ açısı ile P noktasının x ve y koordinatları da, belirleniş olur. Şöyle ki, φ = θ 7 (1.5.27) x = s 1 + b 4 cos θ 4 + d 7 cos θ 7 h 7 sin θ 7 (1.5.28) y = b 4 sin θ 4 + d 7 sin θ 7 + h 7 cos θ 7 (1.5.29) * Manipülatörün İleri Konu Çözüüne Ait Konusal Tekil Duruşu: Eğer s 2 = s 1 olursa, (1.5.11) denklei, 0 = 0 biçiine dönüşerek dejenere olur. Tabii, böyle bir duru, ancak b 4 = b 5 olası koşuluyla gerçekleşebilir. Manipülatör, böyle bir konusal tekil duruşa girerse, θ 4 açısı (kendisiyle eşitleşen θ 5 açısıyla birlikte) belirsizleşir. Bunun sonucunda, anipülatör kontroldan çıkar. Diğer bir deyişle, kontrol edileeyen bir dört-çubuk ekanizasına dönüşüş olur. Dolayısıyla, anipülatör kullanılırken, sözü edilen konusal tekil duruştan (yani s 2 = s 1 olasından) utlaka kaçınılası gerekir. Bunun da en basit ve garantili yolu, sietrinin biraz bozulasına razı olup, anipülatörü b 4 ile b 5 uzuv boyları farklı olacak biçide tasarlaaktır. * İşle Aygıtının Duruşuna Karşılık Gelen Ters Konu Çözüü: Eğer işle aygıtının duruşu belirtilişse, yani φ açısı ile P noktasının x ve y koordinatları verilişse, anipülatörün buna karşılık gelen duruşunu oluşturan eyletili ve eyletisiz ekle değişkenleri, hep birlikte, aşağıda anlatılan üç aşaada belirlenebilir. 16

İlk aşaada, D ve E noktalarının koordinatları, belirtiliş olan konu değişkenleri (x, y, φ) cinsinden belirlenir. Bu belirlee şöyle yapılır. r D = OD = OP + PQ + QD = (xi + yj) h 7 u (θ 7 + π/2) d 7 u (θ 7 ) x D = x + h 7 sin θ 7 d 7 cos θ 7 (1.5.30) y D = y h 7 cos θ 7 d 7 sin θ 7 (1.5.31) r E = OE = OP + PQ + QE = (xi + yj) h 7 u (θ 7 + π/2) + d 7 u (θ 7 ) x E = x + h 7 sin θ 7 + d 7 cos θ 7 (1.5.32) y E = y h 7 cos θ 7 + d 7 sin θ 7 (1.5.33) İkinci aşaada, D ve E noktalarının koordinatları, ilgili ekle değişkenleri cinsinden ifade edilir. Bu ifadeler şöyledir. r D = OD = OA + AD = s 1 i + b 4 u (θ 4 ) x D = s 1 + b 4 cos θ 4 (1.5.34) y D = b 4 sin θ 4 (1.5.35) r D = OD = OB + BD = s 2 i + b 5 u (θ 5 ) x D = s 2 + b 5 cos θ 5 (1.5.36) y D = b 5 sin θ 5 (1.5.37) r E = OE = OC + CE = s 3 i + b 6 u (θ 6 ) x E = s 3 + b 6 cos θ 6 (1.5.38) y E = b 6 sin θ 6 (1.5.39) Üçüncü aşaada, ikinci aşaada elde edilen denkleler, ekle değişkenlerini belirleek üzere çözülürler. Bu çözüler aşağıda açıklanan biçide gerçekleştirilir. (1.5.35), (1.5.37), ve (1.5.39) denkleleri, eyletisiz ekle değişkenlerini şöyle verir. sin θ 4 = η 4 = y D /b 4 cos θ 4 = ξ 4 = σ 4 1 η 4 2 ; σ 4 = ±1 θ 4 = atan 2 (η 4, ξ 4 ) (1.5.40) sin θ 5 = η 5 = y D /b 5 cos θ 5 = ξ 5 = σ 5 1 η 5 2 ; σ 5 = ±1 θ 5 = atan 2 (η 5, ξ 5 ) (1.5.41) sin θ 6 = η 6 = y E /b 6 cos θ 6 = ξ 6 = σ 6 1 η 6 2 ; σ 6 = ±1 θ 6 = atan 2 (η 6, ξ 6 ) (1.5.42) 17

Yukarıdaki işaret değişkenleri, anipülatörün ayaklarının ileri adılı ı yoksa geri adılı ı olduğunu gösterir. Manipülatörün Şekil 1.4.1'deki duruşunda, A ayağı geri adılıdır. Yani, θ 4 dar açı olup cos θ 4 pozitiftir. Bu ise, σ 4 = +1 olduğunu gösterir. Diğer ayaklar (B ve C ayakları) ise, ileri adılıdır. Yani, θ 5 ve θ 6 geniş açı olup cos θ 5 ile cos θ 6 negatiftir. Bu ise, σ 5 = σ 6 = 1 olduğunu gösterir. (1.5.34), (1.5.36), ve (1.5.38) denkleleri ise, eyletili ekle değişkenlerini yukarıda belirlenen eyletisiz ekle değişkenlerine bağlı olarak şöyle verir. s 1 = x D b 4 cos θ 4 = x D σ 4 b 4 1 η 4 2 (1.5.43) s 2 = x D b 5 cos θ 5 = x D σ 5 b 5 1 η 5 2 (1.5.44) s 3 = x E b 6 cos θ 6 = x E σ 6 b 6 1 η 6 2 (1.5.45) İşaret değişkenleri için önceki paragrafta belirtilen değerler kullanılınca, yukarıdaki denkleler, ekanizanın Şekil 1.4.1'de gösterilen duruşunu daha belirgin bir biçide yansıtak üzere, aşağıdaki görünüleri alırlar. s 1 = x D b 4 1 η 4 2 (1.5.46) s 2 = x D + b 5 1 η 5 2 (1.5.47) s 3 = x E + b 6 1 η 6 2 (1.5.48) 18

BÖLÜM 2 MEKANİZMALARIN HIZ ANALİZİ M. Keal Özgören 2.1. Mekanizaya Ait Eklelerarası Hız İlişkileri Bölü 1'de sözedildiği gibi, serbestlik derecesi olan bir ekanizanın ekle değişkenleri, aşağıdaki dikeysıra atrisleriyle gösterilen iki gruba ayrılır. q R : Eyletili Ekle Değişkenleri Dikeysıra Matrisi (2.1.1) p R n : Eyletisiz Ekle Değişkenleri Dikeysıra Matrisi (2.1.2) Söz konusu ekanizanın kineatik döngü kapanı denkleleri, q ve p dikeysıra atrislerini içerek üzere, aşağıdaki atris denklei biçiinde yazılabilir. φ (q, p ) = 0 ; φ R n (2.1.3) (2.1.3) denklei, daha ayrıntılı olarak aşağıdaki skalar denkle küesi biçiinde de yazılabilir. φ i (q 1,..., q, p 1,..., p n ) = 0 ; i = 1,..., n (2.1.4) (2.1.3) denklei çözülerek p atrisi, q atrisine bağlı olarak belirlenebilir. Mekanizanın hız duruunu belirleek üzere (2.1.3) denkleinin türevi alınınca, aşağıdaki denkle elde edilir. Ψ (q, p )p + Φ (q, p )q = 0 (2.1.5) (2.1.5) denkleindeki n n boyutlu Ψ (q, p ) atrisi ile n boyutlu Φ (q, p ) atrisinin eleanları, (2.1.4) denklei de göz önüne alınarak şöyle oluşturuluştur. [Ψ (q, p )] ij = Ψ ij (q, p ) = φ i (q 1,..., q, p 1,..., p n )/ p j (2.1.6) [Φ (q, p )] ij = Φ ij (q, p ) = φ i (q 1,..., q, p 1,..., p n )/ q j (2.1.7) (2.1.5) denklei, aşağıdaki skalar denkleler küesi biçiinde de yazılabilir. n j=1 Ψ ij p j + j=1 Φ ij q j = 0 ; i = 1,..., n (2.1.8) (2.1.8) denkle küesinde p j ve q j ile gösterilen ekle değişkeni türevleri, kısaca ekle hızları olarak adlandırılır. Buna dayanarak (2.1.5) denkleindeki p ve q dikeysıra atrisleri de, ekle hızları dikeysıra atrisleri olarak adlandırılır. Mekaniza zaanın işlevleri olarak belirtiliş olan eyletili ekle değişkenlerine göre hareket ettirilirken, eyletisiz ekle hızları dikeysıra atrisi, belli olan eyletili ekle hızları dikeysıra atrisine bağlı olarak (2.1.5) denkleinden aşağıdaki ifadeyle elde edilir. 19

p = G (q, p )q (2.1.9) (2.1.9) denkleindeki n boyutlu G (q, p ) atrisi, Ψ (q, p ) atrisinin tekil olaası, yani det[ψ (q, p )] = 0 olaası koşuluyla şöyle tanılanıştır. G (q, p ) = Ψ 1 (q, p )Φ (q, p ) (2.1.10) (2.1.10) denkleiyle tanılanan G (q, p ) atrisi, hız etki atrisi olarak adlandırılır. Bu atris, aynı zaanda, eyletili ve eyletisiz ekle hızları arasındaki Jacobi (Yakobi) atrisi olarak da adlandırılır. Bu arada, (2.1.9) denklei, aşağıdaki skalar denkleler küesi biçiinde de yazılabilir. p i = j=1 G ij q j ; i = 1, 2,..., n (2.1.11) Bu denkle küesindeki G ij = G ij (q, p ) katsayısı ise, q j ekle hızının p i ekle hızı üzerindeki etkisini gösteren hız etki katsayısı olarak adlandırılır. 2.2. Mekanizanın Devinisel Tekil Duruşları Eğer Ψ (q, p ) atrisi tekil olursa, ekanizanın alış olduğu duruşa devinisel tekil duruş denir. Böyle bir tekil duruşta, Ψ (q, p ) atrisinin rankı, n değerinden n değerine düşer. Bu rank düşesi nedeniyle, p dikeysıra atrisinin öğelerinden n = n n tanesi belirsizleşir. Aynı atrisin geri kalan n öğesi ise, belirsizleşiş olan n öğeye bağılı hale gelir. Böylece, onlar da bu bağılılık nedeniyle dolaylı olarak belirsizleşiş olur. Yukarıda sözü edilen bağılılığı ifade etek üzere, (2.1.5) denklei, ikiye ayrıştırılarak şöyle yazılabilir. Ψ aa (q, p )p a + Ψ ab (q, p )p b = Φ a(q, p )q (2.2.1) Ψ ba (q, p )p a + Ψ bb (q, p )p b = Φ b(q, p )q (2.2.2) (2.2.1) ve (2.2.2) denkleleri, aşağıdaki özelliklere göre ayrıştırılışlardır. p b R n : p atrisinin bağısızca belirsizleşiş kısı p a R n : p atrisinin p b atrisine bağılı hale geliş kısı det[ψ aa (q, p )] 0 rank[ψ aa (q, p )] = n Bu özellikler sayesinde, p a atrisinin, q atrisinin yanısıra, p b atrisine bağılılığı, (2.2.1) denklei kullanılarak şöyle ifade edilebilir. p a = Ψ aa 1 (q, p )[Ψ ab (q, p )p b + Φ a(q, p )q ] (2.2.3) (2.2.3) denklei, (2.2.2) denkleinde yerine konunca aşağıdaki denkle elde edilir. [Ψ bb (q, p ) Ψ ba (q, p )Ψ aa 1 (q, p )Ψ ab (q, p )]p b = [Ψ ba (q, p )Ψ aa 1 (q, p )Φ a(q, p ) Φ b(q, p )]q (2.2.4) 20

Öte yandan, Ψ (q, p ) atrisinin tekilliği nedeniyle rankındaki n kadar düşe, aşağıdaki eşitliğe yol açar. Ψ bb (q, p ) = Ψ ba (q, p )Ψ aa 1 (q, p )Ψ ab (q, p ) (2.2.5) (2.2.5) eşitliği nedeniyle, p b ayrışıı, (2.2.4) denkleinde yok olur ve dolayısıyla belirsiz keyfi değerler alabilir. Sonuçta (2.2.4) denklei, aşağıdaki basitleşiş biçie indirgeniş olur. Φ b (q, p )q = 0 (2.2.6) (2.2.6) denkleindeki n boyutlu Φ b (q, p ) atrisi şöyle tanılanıştır. Φ b (q, p ) = Φ b(q, p ) Ψ ba (q, p )Ψ aa 1 (q, p )Φ a(q, p ) (2.2.7) Φ b (q, p ) atrisi n boyutlu olduğu için, (2.2.6) denkleinden iki farklı sonuç ortaya çıkar. a) Eğer n ise ve çok özel bir duru olarak rank[φ b (q, p )] < değil ise, eyletili ekle hızları aşağıdaki kısıtlaaya uyak zorunda kalırlar. q = 0 (2.2.8) Böyle bir duruda, evcut eyleticiler ekanizayı hareket ettireez. Diğer bir deyişle, ekaniza evcut eyleticilere karşı kilitleniş olur. Buna karşılık, daha önce de sözedildiği gibi, eyletisiz eklelerden n tanesi, tüüyle belirsiz bir hareket serbestliği kazanış olur. b) Eğer > n ise, bu duruda (2.2.6) denklei de kendi içinde ayrıca ayrıştırılabilir. Şöyle ki, Φ bc (q, p )q c + Φ bd (q, p )q d = 0 (2.2.9) Bu ayrıştıra, şu özelliklere sahiptir. q c R n, q d R n ; rank[φ bc (q, p )] = n (2.2.10) Böyle bir duruda ise, evcut eyleticilerden ancak q d atrisine kuanda eden ( n ) tanesi, sınırlı bir biçide de olsa, ekanizayı hareket ettirebilir. Sayısı n olan diğer eyleticiler ise, (2.2.9) denkleince belirlenen aşağıdaki hareket bağılılığına uyak zorunda kalırlar. q c = [Φ bc (q, p )] 1 Φ bd (q, p )q d (2.2.11) Bu arada, eyletisiz eklelerden n tanesi, yine tüüyle belirsiz bir hareket serbestliği kazanış olur. 2.3. Eyletilen Eklelerin Değiştirilesi Hız etki katsayıları ve onlardan oluşan hız etki atrisi, belli bir eyletili ekle takıı için elde edildikten sonra, eğer bu ekle takıında değişiklik yapılacak olursa, yeni hız etki katsayılarını yeni baştan elde etek gerekez. Yeni katsayılar, önceki katsayılardan yararlanılarak elde edilebilir. Bu aaçla, (2.1.9) denklei, aşağıda gösterilen biçide iki kısa ayrıştırılır. p a = G aa (q, p )q a + G ab (q, p )q b (2.3.1) p b = G ba (q, p )q a + G bb (q, p )q b (2.3.2) 21

Yukarıdaki ayrıştıra, q a ile p a ayrışılarının yer değiştiresi isteiyle yapılıştır. Bu istee göre, yeni eyletili ekle değişkenleri, p a ile q b ayrışıları içinde; yeni eyletisiz ekle değişkenleri ise, q a ile p b ayrışıları içinde yer alacaktır. Diğer bir deyişle, önceki q ve p ile yeni q ve p dikeysıra atrisleri, karşılaştıralı olarak şöyle ifade ediliş olacaklardır. q = [ q a, p = [ p a ] q = [p a, p = [ q a q b] p b q b] ] (2.3.3) p b Önceki ve yeni hız ilişkileri ise, yine karşılaştıralı olarak şöyle ifade ediliş olacaktır. p = G (q, p )q p = G (q, p )q (2.3.4) Bu yer değiştireye göre, (2.3.1) ve (2.3.2) denklelerinin aşağıdaki gibi yazılası gerekir. q a = G aa 1 (q, p )p a [G aa 1 (q, p )G ab (q, p )]q b (2.3.5) p b = [G ba (q, p )G aa 1 (q, p )]p a + [G bb (q, p ) G ba (q, p )G aa 1 (q, p )G ab (q, p )]q b (2.3.6) Tabii, burada, söz konusu yer değiştirenin G aa (q, p ) atrisi tekil olayacak biçide yapıldığı varsayılıştır. Yukarıdaki denkleler, yeni oluşan hız etki atrisinin, yani G (q, p ) atrisinin ayrışıları kullanılarak kısaca şöyle de yazılabilir. q a = G aa (q, p )p a + G ab (q, p )q b (2.3.7) p b = G ba (q, p )p a + G bb (q, p )q b (2.3.8) G (q, p ) atrisinin ayrışıları ise, önceki G (q, p ) atrisinin ayrışılarına bağlı olarak aşağıdaki ifadelere sahip olurlar. G aa (q, p ) = G aa 1 (q, p ) (2.3.9) G ab (q, p ) = G aa 1 (q, p )G ab (q, p ) (2.3.10) G ba (q, p ) = G ba (q, p )G aa 1 (q, p ) (2.3.11) G bb (q, p ) = G bb (q, p ) G ba (q, p )G aa 1 (q, p )G ab (q, p ) (2.3.12) 2.4. Mekanizaya Ait Uzuvların Hızlarının Belirlenesi Bölü 1'de sözedildiği gibi, tipik bir L k uzvunun zein eksen takıına göre konuu (yeri ve yönelii), şöyle ifade edilebilir. ξ k = ψ k(q, p ) ; ξ k = [ r k ] (2.4.1) φ k (2.4.1) denkleindeki ξ k dikeysıra atrisinin yer ve yöneli gösteren iki ayrışıı aşağıda gösterilen biçilerde tanılanır. 22

Mekaniza düzlesel ise, r k = [x k y k ] t (2.4.2) φ k = φ k (2.4.3) Mekaniza uzaysal ise, r k = [x k y k z k ] t (2.4.4) φ k = [φ k θ k ψ k ] t (2.4.5) Söz konusu L k uzvunun hızını belirleek üzere, (2.4.1) konu denkleinin türevinden yola çıkılarak aşağıdaki hız denklei elde edilir. η k = L k(q, p )q + N k(q, p )p ; η k = [ v k (2.4.6) ω k] (2.4.6) denkleindeki η k dikeysıra atrisi, L k uzvunun hız atrisi olarak adlandırılır. Denklede de görüldüğü gibi, η k atrisi, L k uzvunun he ötelee he de açısal hız ayrışılarından oluşur. Bu ayrışılar şöyle tanılanır. Mekaniza düzlesel ise, v k = [v kx v ky] t = r k = [x k y k] t (2.4.7) ω k = ω k = φ k (2.4.8) Mekaniza uzaysal ise, v k = [v kx v ky v kz] t = r k = [x k y k z k] t (2.4.9) ω k = [ω kx ω ky ω kz] t (2.4.10) Burada dikkat edilecek husus, uzaysal ekanizalarda ω k atrisinin doğrudan doğruya φ k atrisinin türevine eşit olaasıdır. Bununla birlikte, tabii ki, aralarındaki bir ilişki vardır ve bu ilişki aşağıdaki tipik denklele ifade edilebilir. ω k = E k(φ k)φ k (2.4.11) (2.4.11) denklei için verilebilecek en tipik örnek, bir rijit cisin sabit eksen takıındaki açısal hız bileşenleri ile Euler açılarının türevleri arasındaki ilişkidir. Eğer kullanılan Euler açı üçlüsü (φ, θ, ψ), cisin dönüşüne bağlı 1-2-3 sıralaasına göre tanılanışlarsa, sözü edilen ilişki, aşağıda gösterilen biçide ortaya çıkar. ω = E (φ )φ ω x 1 0 sin θ φ [ ω y ] = [ 0 cos φ sin φ cos θ] [ θ ] (2.4.12) ω z 0 sin φ cos φ cos θ ψ 23

Tekrar L k uzvuna dönülecek olursa, (2.4.6) ve (2.1.9) denkleleri birleştirilerek bu uzvun hızı, doğrudan doğruya eyletili ekle değişkenlerinin türevlerine bağlanabilir. Şöyle ki, η k = L k(q, p )q + N k(q, p )p ; p = G (q, p )q η k = J k(q, p )q (2.4.13) (2.4.13) denkleinde, J k(q, p ) = L k(q, p ) + N k(q, p )G (q, p ) (2.4.14) (2.4.14) denkleiyle tanılanan J k(q, p ) atrisi, L k uzvuna ait hız etki atrisi olarak adlandırılır. Bu atris, aynı zaanda, L k uzvuna ait Jacobi (Yakobi) atrisi olarak da adlandırılır. Tabii, J k(q, p ) atrisi de, G (q, p ) atrisi gibi, ekanizanın devinisel tekil duruşlardan birinde oladığı, yani (2.1.10) denkleindeki Ψ (q, p ) atrisinin tekil oladığı anlar için tanılanıştır. (2.4.13) denklei, eğer istenirse, aşağıdaki skalar denklelere ayrıştırılabilir. η ki = j=1 J kij q j (2.4.15) Yukarıdaki i indisi, ekanizanın düzlesel ya da uzaysal olasına göre, şu değerleri alır. i = 1, 2, 3 ya da i = 1, 2,, 6 2.5. Örnek 2.1: RRRP Mekanizası (Üç Döner Bir Kayar Ekleli Mekaniza) Şekil 2.5.1: RRRP Mekanizası * Mekanizanın Geoetrik Paraetreleri: OA = h 1, AB = b 2, BC = b 3 AP 2 = d 2, P 2 P 2 = h 2 ; CP 3 = d 3, P 3 P 3 = h 3 ; CP 4 = d 4, P 4 P 4 = h 4 * Mekanizanın Serbestlik Derecesi: = 1 24

* Eyletili Ekle Değişkeni: θ 2 * Eyletisiz Ekle Değişkenleri: θ 3, s 4 * Vektörel Döngü Kapanı Denklei: OA + AB = OC + CB (2.5.1) (2.5.1) denklei, ekanizanın kineatik özelliklerini gösterecek biçide şöyle de yazılabilir. h 1 j + b 2 u (θ 2 ) = s 4 i + b 3 u (θ 3 + π/2) (2.5.2) (2.5.2) denkleindeki u (θ) sigesi, biri yön vektörü adıyla şöyle tanılanıştır. u (θ) = i cos θ + j sin θ (2.5.3) Bu vektörün dik benzeri ise, şöyle tanılanıştır. u (θ) = u (θ + π/2) = i sin θ + j cos θ (2.5.4) Yukarıdaki tanılara göre, u (θ) ve u (θ), yatay ve dikey eksenlere göre θ açısıyla dönüş olan biri vektörleri gösterektedir. * Skalar Döngü Kapanı Denkleleri: (2.5.2) ve (2.5.3) vektör denklelerinden aşağıdaki skalar denkleler elde edilir. b 2 cos θ 2 = s 4 b 3 sin θ 3 (2.5.5) h 1 + b 2 sin θ 2 = b 3 cos θ 3 (2.5.6) * Mekanizanın Hız Denkleleri: (2.5.5) ve (2.5.6) denklelerinin türevleri, aşağıdaki hız denklelerini verir. s 4 = (b 3 cos θ 3 )θ 3 (b 2 sin θ 2 )θ 2 (2.5.7) (b 3 sin θ 3 )θ 3 = (b 2 cos θ 2 )θ 2 (2.5.8) * Eklelerarası Hız Etki Katsayıları: Eğer sin θ 3 0 ise, yani ekaniza bir devinisel tekil duruşa gireişse, (2.5.8) ve (2.5.7) denklelerinden θ 3 ve s 4 eyletisiz ekle hızları için aşağıdaki çözüler elde edilir. θ 3 = b 2 cos θ 2 b 3 sin θ 3 θ 2 = G 32 θ 2 (2.5.9) s 4 = b 2 cos(θ 2 θ 3 ) sin θ 3 θ 2 = G 42 θ 2 (2.5.10) Görüldüğü gibi, elde edilen çözüler, θ 2 eyletili ekle hızına göre ekaniza bir devinisel tekil duruşta değilken tanılanış olan aşağıdaki hız etki katsayılarını da içerektedir. 25

G 32 = G 32 (θ 2, θ 3 ) = b 2 cos θ 2 b 3 sin θ 3 (2.5.11) G 42 = G 42 (θ 2, θ 3 ) = b 2 cos(θ 2 θ 3 ) sin θ 3 (2.5.12) * Mekanizanın Eyletilen Eklee Göre Devinisel Tekil Duruşları: Eğer sin θ 3 = 0 olursa, yani θ 3 = 0 ya da θ 3 = π olursa, ekaniza, θ 2 eyletiine göre bir devinisel tekil duruşa girer. Bu tekil duruşta, (2.5.8) denklei, aşağıdaki özel biçie dönüşür. (b 2 cos θ 2 )θ 2 = 0 θ 3 = 0 (2.5.13) Eğer cos θ 2 0 ise, (2.5.13) denklei şu iki sonucu ortaya koyar. θ 2 = 0 (2.5.14) θ 3 =? (belirsiz) (2.5.15) Bu sonuçlara göre, ekaniza, θ 2 eyletiine göre kilitleniş olur. Öte yandan, böyle bir tekil duruşta, (2.5.7) denklei aşağıdaki biçie dönüşür. s 4 = σ 3 b 3 θ 3 ; σ 3 = sgn(cos θ 3 ) = { +1, θ 3 = 0 ise 1, θ 3 = π ise (2.5.16) (2.5.16) denklei ise, belirsizleşiş θ 3 türevine bağlı olarak s 4 türevinin de nasıl bir belirsizlik kazandığını gösterektedir. Mekanizanın θ 2 eyletiine göre tekil duruşları, Şekil 2.5.2'de gösteriliştir. Dikkat edilirse, bu tekil duruşlar, ancak, BC < OA + AB (yani b 3 < h 1 + b 2 ) olursa ortaya çıkabilir. Görüldüğü gibi, ekaniza, bir kere girişse, bu tekil duruşlardan θ 2 eyletiiyle hiç bir zaan çıkaaz. Çıkabilesi, ancak dışarıdan alınabilecek ek bir destekle, örneğin θ 2 eyletii yerine bir an için s 4 eyletiinin kullanılasıyla (yani kayar uzvun kısa bir süre ittirilesiyle) ükün olabilir. Ne var ki, bu dış üdahelenin yönüne bağlı olarak ekanizanın kapanı biçii (yani C noktasının B noktasının sağında ya da solunda ola özelliği) değişebilir. 2 2 < 0 3 = 0 3 = Şekil 2.5.2. RRRP Mekanizasının θ 2 Eyletiine Göre Tekil Duruşları 26

Bu arada, çok özel bir duru olarak eğer BC = OA + AB (yani b 3 = h 1 + b 2 ) ise, ekaniza, tekil duruşa cos θ 2 = 0 yani θ 2 = ±π/2 olunca girer. Bu çok özel duruşta, (2.5.8) denklei, 0 θ 3 = 0 θ 2 biçiine girer ve yalnızca θ 3 ekle hızı değil, θ 2 ekle hızı da (önceki gibi sıfır olayıp) belirsizleşir, yani eyleti serbestliği kazanır. Böyle olunca da, ekaniza yine θ 2 eyletiiyle tekil duruştan çıkabilir. Diğer bir deyişle, dış desteğe hiç gerek kaladan yalnızca θ 2 eyletiiyle çalışasına deva edebilir. Öte yandan, eğer BC > OA + AB (yani b 3 > h 1 + b 2 ) olursa, ekaniza hiç bir zaan söz konusu tekil duruşlara gireez ve böylece θ 2 eyletiiyle sorunsuzca çalıştırılabilir. * Eyletilen Eklein Değiştirilesi: Eğer eyletili ekle değişkeni olarak θ 2 yerine s 4 kullanılacak olursa, s 4 eyletiine göre tanılanan G 24 ve G 34 hız etki katsayıları, θ 2 eyletiine göre tanılanan G 32 ve G 42 hız etki katsayılarını içeren (2.5.9) ve (2.5.10) denklelerinden aşağıda gösterilen biçide elde edilirler. sin θ 3 θ 2 = b 2 cos(θ 2 θ 3 ) s 4 = G 24 s 4 (2.5.17) cos θ 2 θ 3 = + b 3 cos(θ 2 θ 3 ) s 4 = G 34 s 4 (2.5.18) Yukarıdaki denklelere bakınca, önceki ve şidiki hız etki katsayıları arasında aşağıdaki ilişkilerin olduğu görülür. G 24 = 1/G 42 G 24 = G 24 (θ 2, θ 3 ) = sin θ 3 b 2 cos(θ 2 θ 3 ) (2.5.19) G 34 = G 32 G 24 = G 32 /G 42 G 34 = G 34 (θ 2, θ 3 ) = cos θ 2 b 3 cos(θ 2 θ 3 ) * Mekanizanın Değiştirilen Eyletili Eklee Göre Devinisel Tekil Duruşları: (2.5.20) (2.5.17) ve (2.5.18) denkleleri, s 4 eyletiine göre tekil duruşların aşağıda belirtilen koşullarda ortaya çıkacağını gösterektedir. cos(θ 2 θ 3 ) = 0 θ 2 θ 3 = ±π/2 (2.5.21) Bu tekil duruşlarda, ekaniza s 4 eyletiine göre kilitlenir ve s 4 = 0 olur. Buna karşılık θ 2 ve θ 3 türevleri belirsizleşir. Bu tekil duruşlar, Şekil 2.5.3'te gösteriliştir. Dikkat edilirse, ekanizanın Şekil 2.5.3'teki tekil duruşlara giresi, geoetrik paraetreleri ne olursa olsun kaçınılazdır. Dolayısıyla, ekanizanın bu tekil duruşlarda kilitlenip kalaası için kuandalı s 4 eyletiinin yanısıra L 2 uzvunun da volan gibi kinetik enerji depolayan bir hareket sürdürücüsüyle desteklenesi gerekir. 27

( 2 3 = /2) ( 2 3 = + /2) 2 < 0 2 3 3 4 = 4 = Şekil 2.5.3. RRRP Mekanizasının s 4 Eyletiine Göre Tekil Duruşları * Uzuvlara Ait Noktaların Hızlarının Belirlenesi: Bölü 1'deki konu analizi kapsaında, uzuvlara ait P 1, P 2, ve P 3 noktalarının koordinatları için aşağıdaki ifadeler elde edilişti. x 2 = d 2 cos θ 2 h 2 sin θ 2 y 2 = h 1 + d 2 sin θ 2 + h 2 cos θ 2 } (2.5.22) x 3 = s 4 d 3 sin θ 3 + h 3 cos θ 3 y 3 = d 3 cos θ 3 + h 3 sin θ 3 } (2.5.23) x 4 = s 4 + d 4 y 4 = h 4 } (2.5.24) Yukarıdaki denklelerin türevleri alınarak aynı noktaların hızları, aşağıda gösterilen biçide elde edilebilir. x 2 = (d 2 sin θ 2 + h 2 cos θ 2 )θ 2 y 2 = +(d 2 cos θ 2 h 2 sin θ 2 )θ 2 } (2.5.25) x 3 = s 4 (d 3 cos θ 3 + h 3 sin θ 3 )θ 3 y 3 = (h 3 cos θ 3 d 3 sin θ 3 )θ 3 } (2.5.26) x 4 = s 4 y 4 = 0 } (2.5.27) Bu denkleler, eyletili ekle değişkenin θ 2 olduğu kabul edilerek ve hız etki katsayıları kullanılarak aşağıda olduğu gibi düzenlenebilir. x 2 = (d 2 sin θ 2 + h 2 cos θ 2 )θ 2 = X 22 θ 2 y 2 = +(d 2 cos θ 2 h 2 sin θ 2 )θ 2 = Y 22 θ 2 } (2.5.28) x 3 = [G 42 (d 3 cos θ 3 + h 3 sin θ 3 )G 32 ]θ 2 = X 32 θ 2 y 3 = [(h 3 cos θ 3 d 3 sin θ 3 )G 32 ]θ 2 = Y 32 θ 2 } (2.5.29) x 4 = G 42 θ 2 = X 42 θ 2 y 4 = Y 42 θ 2 = 0 } (2.5.30) 28

Görüldüğü gibi, uzuvlara ait hız etki katsayıları da, eklelerarası hız etki katsayıları kullanılarak ifade edilişlerdir. Dolayısıyla, onların da aşağıda belirtilen tanıları, ekaniza bir devinisel tekil duruşta değilken geçerlidir. X 22 = (d 2 sin θ 2 + h 2 cos θ 2 ) (2.5.31) Y 22 = +(d 2 cos θ 2 h 2 sin θ 2 ) (2.5.32) X 32 = G 42 (d 3 cos θ 3 + h 3 sin θ 3 )G 32 (2.5.33) Y 32 = (h 3 cos θ 3 d 3 sin θ 3 )G 32 (2.5.34) X 42 = G 42 (2.5.35) Y 42 = 0 (2.5.36) 2.6. Örnek 2.2: Üç PRR Bacaklı Düzlesel Paralel Manipülatör Şekil 2.6.1: Üç PRR Bacaklı Düzlesel Paralel Manipülatör * Manipülatörün Geoetrik Paraetreleri: AD = b 4, BD = b 5, CE = b 6, DE = b 7, QD = QE = d 7 = b 7 /2, QP = h 7 * Manipülatörün İşle Aygıtı: DE platforuna (L 7 uzvuna) bağlı QP doğru parçası ile tesil edilen işle aygıtı * Manipülatörün Serbestlik Derecesi: = 3 * Eyletili Ekle Değişkenleri: s 1, s 2, s 3 * Eyletisiz Ekle Değişkenleri: θ 4, θ 5, θ 6, θ 7 = φ 29

* Skalar Döngü Kapanı Denkleleri: b 4 cos θ 4 = (s 2 s 1 ) + b 5 cos θ 5 (2.6.1) b 4 sin θ 4 = b 5 sin θ 5 (2.6.2) b 4 cos θ 4 + b 7 cos θ 7 = (s 3 s 1 ) + b 6 cos θ 6 (2.6.3) b 4 sin θ 4 + b 7 sin θ 7 = b 6 sin θ 6 (2.6.4) * İşle Aygıtının Uç Noktasının Konuu: OP = OA + AD + DQ + QP xi + yj = s 1 i + b 4 u (θ 4 ) + d 7 u (θ 7 ) + h 7 u (θ 7 + π/2) x = s 1 + b 4 cos θ 4 + d 7 cos θ 7 h 7 sin θ 7 (2.6.5) y = b 4 sin θ 4 + d 7 sin θ 7 + h 7 cos θ 7 (2.6.6) * Manipülatörün Hız Denkleleri: Döngü kapanı denklelerinin türevleri, aşağıdaki hız denklelerini verir. b 4 θ 4 sin θ 4 = b 5 θ 5 sin θ 5 (s 2 s 1) (2.6.7) b 4 θ 4 cos θ 4 = b 5 θ 5 cos θ 5 (2.6.8) b 4 θ 4 sin θ 4 + b 7 θ 7 sin θ 7 = b 6 θ 6 sin θ 6 (s 3 s 1) (2.6.9) b 4 θ 4 cos θ 4 + b 7 θ 7 cos θ 7 = b 6 θ 6 cos θ 6 (2.6.10) * İşle Aygıtının Hız Denkleleri: İşle aygıtının uç noktasının hız bileşenleri, (2.6.5) ve (2.6.6) denklelerinin türevi alınarak aşağıdaki ifadelerle elde edilir. x = s 1 b 4 θ 4 sin θ 4 (d 7 sin θ 7 + h 7 cos θ 7 )θ 7 (2.6.11) y = b 4 θ 4 cos θ 4 + (d 7 cos θ 7 h 7 sin θ 7 )θ 7 (2.6.12) İşle aygıtının açısal hızı ise, şudur. ω 7 = θ 7 = φ (2.6.13) * Eyletisiz Ekle Hızlarının Belirlenesi: Eyletisiz ekle hızlarından ilk ikisini (θ 4 ve θ 5) belirleek üzere, (2.6.7) ve (2.6.8) denkleleri birlikte aşağıdaki atris denklei biçiinde yazılabilir. [ b 5 sin θ 5 b 4 sin θ 4 ] [ θ b 5 cos θ 5 b 4 cos θ 4 5 θ 4 ] = [ (s 2 s 1) ] (2.6.14) 0 30