DİJİTAL KONTROL SİSTEMLERİNDE DAYANIKLI KARARLILIK ANALİZİ Yasi KARATAŞ ve Nusret TAN Yüksek Lisas Öğrecisi İöü Üiversitesi Mühedislik Fakültesi Elektrik-Elektroik Mühedisliği Bölümü 448 Malatya. e-posta: ta@iou.edu.tr Aahtar söcükler: Parametre belirsiliği Kararlılık Kharitoov teoremi Kear teorem Dijital iterval poliomlar Değer kümesi ABSTRACT This paper deals with the robust stability aalysis of digital cotrol systems with ucertaities. It is well kow that the ucertaities i the physical systems is a uavoidable fact. Therefore takig ucertaities ito accout while aalysig cotrol systems gives advatages. I this work the methods related to the stability of digital cotrol systems with parametric ucertaity are studied.. GİRİŞ Kotrol sistemlerii aali ve tasarımı yapılırke belirsiliği hesaba katılması sistemi dayaıklığı açısıda öem aretmektedir. Geellikle kotrol sistemleride parametre belirsiliği ve model belirsiliği olmak üere iki çeşit belirsilik yapısıda bahsedilir []. Parametre belirsiliği kousu öellikle Kharitoov teoremi [] ile beraber öem kaamış ve bu alada birçok çalışmalar yapılmıştır [-5]. Kharitoov teoremi aralık(iterval) belirsilik yapısı içere bir iterval poliomu kararlılığıı kümedeki dört Kharitoov poliomu kararlılığıı test edilmesiyle elde edilebileceğii ifade etmektedir. Dolayısıyla kararlılık problemi sosu bir kümede solu ve sadece dört tae poliom içere bir kümeye idirgemiştir. Fakat bu öemli teorem iterval dijital kotrol sistemlerie uygulaamamaktadır. Çükü Kharitoov teoremi kararlılık bölgesi sol yarı dülem ola sürekli amalı kotrol sistemleri içi geçerlidir. Bu tip sistemleri kararlılığıa Hurwit kararlılık deir. Bir dijital kotrol sistemide ise kararlılık bölgesi birim çemberdir ve bu çeşit sistemleri kararlılığıa da Schur kararlılık deir []. Dolayısıyla Kharitoov teoremii kullaarak iterval bir ayrık amalı poliom kümesii bütü köklerii birim çemberi içeriside olum olmadığıı test edemeyi. Belirsi bir ayrık amalı poliom kümesii kararlılığı içi kullaılabilecek bir metot kear(edge) teoremidir [5]. Bu teoremde yararlaarak parametre belirsiliği içere dijital kotrol sistemlerii aalii yapılabilir. Bu çalışmada ayrık amalı iterval poliomları kararlılığı iceledi. Değer kümelerii hesaplaabilmesi içi bir yötem öerildi. İterval dijital kotrol sistemlerii dayaıklılık aalii ile ilgili çalışmalar yapıldı. Parametre belirsiliği içere dijital kotrol sistemlerii dayaıklı aalii içi kullaılabilecek gerekli programlar Matlab ortamıda yaıldı.. KHARİTONOV TEOREMİ VE DİJİTAL İNTERVAL POLİNOMLAR Bir sürekli amalı iterval poliom kümesi şu formda yaılabilir P ( s q) + as + as + as + + a s () burada q = [ a a... a ] ai [ ai ai ] i =... a i ve a i i. belirsilik a i i alt ve üst limitlerii göstermektedir. Bu poliom kümesii kararlı olabilmesi içi Kharitoov teoremie göre dört Kharitoov poliomuu kararlı olması yeterlidir. Dört Kharitoov poliomu şu şekilde yaılabilir. p p 4 p p + + + + () Bu souç aslıda Mikhailov kriterii kullaarak kolayca ispatlaabilir. Mikhailov kriterie göre.
derecede bir p(s) poliomuu kararlı olabilmesi içi p ( jω) ı poitif reel eksede başlayarak saat yöüü terside eksei kesmesi gerekir. Yai sıfırı dışlaması kuralıa (ero exclusio priciple) [] göre p ( jω) ı orijide geçmemesi gerekir. Dolayısıyla bir iterval poliomu herhagi bir sabit frekastaki değer kümesii şekil de görüldüğü gibi kearları reel ve saal eksee paralel ola bir dikdörtge olduğu kolayca gösterilebilir. Bu dikdörtgei köşelerii Kharitoov poliomları oluşturur ve bu dikdörtgee Kharitoov dikdörtgei deir. Bu dikdörtgei kearları reel ve saal ekselere paralel olduğu içi orijii dikdörtgesel değer kümesii içide veya dışıda kalması köşe oktalarıı kullaarak kolayca test edilebilir. Şekil de de görüldüğü gibi köşe oktaları Kharitoov poliomlarıa karşılık gelmektedir. p (jω) Sa p (jω * ) P(jω * q) p (jω * ) p (jω * ) p (j) p 4 (jω * ) Re Şekil : Kharitoov dikdörtgei ve p i Mikhailov eğrisi Öreği ikici derecede bir iterval poliom P ( s q) + as + as + as () verilmiş olsu burada a [6] a [8] a [48] ve a [ ]. s = jω yerie koursa P ( jω q) aω + j( aω + aω ) (4) elde edilir. Burada reel ve saal kısımda görüle belirsi parametreleri birbiride bağımsı olduğu görülmektedir. Dolayısıyla her bir frekas değeride P( jω q) ı değer kümesi kearları reel ve saal eksee paralel ola bir dikdörtgedir. Bu poliom kümesii değer kümeleri ω 4 aralığıda 5 frekas değeride Şekil de görülmektedir. Sıfır değer kümesii içide olmadığı içi bu belirsi poliom kümesi kararlıdır. Bu kümei dört Kharitoov poliomu p( s) = + 8s + 8s + s p = + s + 8s + s (5) p( s) = 6 + 8s + 4s + s p4 = 6 + s + 4s + s şeklide yaılabilir. Bu dört poliomu da kararlı olduğu test edilebilir. Dolayısıyla sürekli amalı bir iterval poliomu kararlılığı dört Kharitoov poliomu kararlılığı test edilerek buluabilir. Bu soucu ayrık amalı iterval poliomlar içi geçerli olmadığıı aşağıdaki ierval poliomu karalılığıda görebiliri. 4 P ( 4 + a + a + a + a (6) burada a =. 96 a [.6.] a [.4.5] a [. ] ve a 4 =. Dört Kharitoov poliomuu yai 4 p( = +.5.6 +.96 4 p ( =. +.5. +.96 (7) 4 p( = +.4.6 +.96 4 p4 ( =. +.4. +.96 Schur kararlı olduğu test edilebilir. Fakat kümeye ait ola 4 p( =.8 +.4.55 +.96 poliomu Schur kararlı değildir. Dolayısıyla dijital iterval poliomlar içi Kharitoov polyomlarıı kararlı olması yeterli değildir. Buu edei jωt poliomda = e burada T örekleme perytodudur yaıldığıda belirsi parametreler reel ve saal kısımda birbirlerie lieer bağımlı olarak görüleceklerdir. Dolayısıyla değer kümesi kearları reel ve saal ekselere paralel ola dikdörtge değildir. Öyleyse dijital bir iteval poliomu kararlılığıı test edilebilmesi içi poliomu değer kümesii hesaplaabilmesi gerekir. Buu içi kear(edge) teoremi kullaılabilir.. DİJİTAL İNTERVAL POLİNOMLARIN DEĞER KÜMESİ VE KARARLILIĞI Bir dijital iterval poliom kümesi P ( + a + a + + a (9) formuda gösterilebilir. Burada k = [ a a... a ] ai [ ai ai ] i =... a i ve a i i. belirsilik a i i alt ve üst limitlerii göstermektedir. Kear teoremie göre tae belirsi parametre içere bir poliom ailesii herhagi bir sabit frekastaki değer kümesi bir poligodur ve bu poligou tae
a köşe kear a a a a a Şekil : Deklem () teki iterval poliomu ω 4 içi değer kümesi Belirsilik küpü a) köşesi ve tae de etki(exposed) kearı vardır. Böyle bir poliom kümesii Schur kararlı olabilmesi içi bütü etki kearları Schur kararlı olması gerekir veya değer kümesii sıfırı içie almaması gerekir. Öreği üç tae belirsi parametre içere bir poliomu parametre dülemideki belirsilik küpü ve kompleks dülemdeki yasıması Şekil (a) ve (b) de görülmektedir. Sa c c c 4 c 7 c 6 c 8 Deklem (9) daki poliomu tae köşe poliomu aşağıdaki düede yaılabilir. c ( + a + a + K + a c ( + a + a + K + a c( + a + a + K + a M () c ( + a + a + K + a Etki kearlar elde edilirke köşe poliomlarıda yararlaılır. Öreği deklem () a baktığımıda c ( ve c ( poliomlarıda sadece a parametresi alt ve üst limitlerdeki değerleri almaktadır ve diğer parametreler belirsiliği alt limitideki değerleride sabitlemişlerdir. Öyleyse uç oktaları c ( ve c ( ola bir etki kear mevcuttur. Bu etki kear şu şekilde gösterilebilir e ( c c ) = λc ( + ( λ) c ( λ [] () Böyle bir etki kear bir ayırt(segmet) diye de adladırılır. Beer şekilde diğer etki kearlar da oluşturulabilir. Bu etki kearlar kullaılarak dijital iterval poliomu değer kümesi elde edilir. c c 5 b) Şekil : Üç tae belirsi parametre içere bir poliomu a) parametre dülemideki belirsilik küpü ve b) kompleks dülemdeki yasıması 4. ÖRNEKLER Re Örek : Bir dijital ierval poliom şu şekilde verilsi P ( = [.5].5.85 +.8 () görüldüğü gibi bu ierval poliom kümesi sadece bir tae parametre belirsiliği içermektedir. Dolayısıyla bu poliom kümesi içi tae köşe poliomu ve bir tae kear elde edilebilir. Köşe poliomları c ( =.5.5.85 +.8 () c ( =.5.85 +.8 c ( ve c ( i Schur kararlı olduğu Jury testii uygulayarak veya c ( ve c ( i köklerii bularak test edilebilir. Bütü poliom kümesii kararlı olup olmadığıı test edebilmek içi öceki bölümde verile yötem kullaılabilir. Köşe veya uç poliomlarıı kullaarak
e( c c ) = λc ( + ( λ) c ( (4) = (.5λ).5.85 +.8 etki kearı elde edilebilir burada λ []. Bu kearı ω 4 içi değer kümesi Şekil 4 de görülmektedir. Şekilde de gölediği gibi sıfır değer kümesii dışıda kalmaktadır. Dolayısıyla verile poliom kümesi Schur kararlıdır. Şekil 4: Delem () de verile poliomu ω 4 içi değer kümesi Örek : Birim geribeslemeli bir dijital iterval kotrol sistemide a + a G( = ( + a ) (5) a [.6.5] a [.5.5] ve a [.45.5] ise kotrol sistemii kararlılığıı iceleyelim. Sistemi karakteristik deklemi P ( = + G( = (6) şeklide yaılabilir. Burada P ( = + a + a + a (7) elde edilir. Dolayısıyla dijital iterval kotrol sistemii kararlılık problemi dijital iterval poliomları kararlılık problemie döüştürülmüş oldu. Deklem (7) deki belirsi poliom kümesii kararlılığıı test edebilmek içi değer kümesi yaklaşımı kullaılabilir. Bu poliomda tae belirsi parametre olduğu içi =8 tae köşe poliomu ve x = tae de etki kear elde edilebilir. Köşe poliomları c ( =.6.5 +.45 + c( =.5.5 +.45 + c( =.6 +.5 +.45 + c4( =.5 +.5 +.45 + c5( =.6.5 +.5 + (8) c6( =.5.5 +.5 + c7 ( =.6 +.5 +.5 + c8 ( =.5 +.5 +.5 + ve deklem () de yararlaarak e( c c) e ( c c) e ( c c5) e ( c c4) e( c c6) e ( c c4) e ( c c7 ) e ( c 4 c8 ) e( c 5 c6) e ( c 5 c7) e ( c 6 c8 ) ve e( c 7 c8 ) etki kearları elde edilir. Bu etki kearları kullaarak deklem (7) deki iterval poliomu değer kümesi elde edilebilir. Öreği ω = rad/s içi değer kümesi Şekil 5 te görülmektedir. ω 8 içi değer kümeleri Şekil 6 da görülmektedir. Şekil 6 bie dijital kotrol sistemii kararlı olduğuu yai kararkteristik deklemi bütü köklerii birim çemberi içeriside olduğuu ifade etmektedir. Ayrıca kear teoremie göre etki kearları kök uayı iterval poliomu kök uayıı içie alır. Deklem (7) deki iterval poliomu etki kearlarıı kök uayı Şekil 7 de verilmiştir. Şekilde de görüleceği gibi kök uayı birim çemberi içide kalmaktadır. Dolayısıyla sistem kararlıdır. Şekil 5: Deklem (7) deki poliomu ω = rad/s deki değer kümesi
KAYNAKLAR Şekil 6: Deklem (7) deki poliomu ω 8 içi değer kümesi Şekil 7: Deklem (5) deki dijital kotrol sistemi karakteristik deklemii kök uayı 5. SONUÇLAR Bu bildiride parametre belirsiliği içere dijital kotrol sistemleri dayaıklı kararlılık aalii iceledi. Kharitoov teoremi dijital iterval poliomları kararlılık aalii içi geçerli değildir. Kear teoremii kullaarak bir dijital iterval poliomu değer kümesi elde edilebilir. Değer kümesiyle beraber sıfırı dışlaması kuralıı kullaarak bir dijital ierval poliomu Schur kararlılığıı test edilebileceği gösterildi. Matlab ortamıda gerekli yaılımlar geliştirilmiş olup bu yaılımlar parametre belirsiliği içere dijital kotrol sistemlerii aalii içi kullaılabilecektir. İleriye yöelik olarak belirsilik içere dijital kotrol sistemlerii frekas cevabı aalii yai Bode Nyquist ve Nichols diyagramlar iceleecektir. [] Bahattacharyya S. P. Chapellat H. Keel L. H. Robust Cotrol: The Parametric Approach Pretice Hall 995. [] Kharitoov V. L. Asymptotic Stability of a Equilibrium Positio of a Family of Systems of Liear Differetial Equatios Differetial Equatios Vol. 4 979 48-485. [] Bartlett A. C. Tesi A. Vicio A.: Frequecy Respose of Ucertai Systems with Iterval Plats IEEE Tras. Automat. Cotr. Vol. 8 99 99-9. [4] Hollot C. V. Bartlett A. C.. O the Nyquist Evelope of a Iterval Plat Family IEEE Tras. Automat. Cotr. Vol. 9 994 9-96. [5] Ta N. Atherto D. P. Frequecy Respose of Ucertai Systems: A q-covex Parpolygoal Approach IEE Proc. Cotrol Theory ad Applicatio Vol. 47 547-555. [6] Ta N. Computatio of the Frequecy Respose of Multiliear Affie Systems IEEE Tras. o Automatic Cotrol Vol. 47 69-696. [7] Ta N. Atherto D. P. Stability ad Performace Aalysis i a Ucertai World Computig ad Cotrol Egieerig Joural Vol. 9-. [8] Fu M.: Computig the Frequecy respose of Liear Systems with Parametric Perturbatios Syst. Cotr. Lett. Vol. 5 99 45-5. [9] Barmish B. R. New Tools for Robustess of Liear Systems MacMilla NY 994. [] Djaferis T. E. Robust Cotrol Desig: A Polyomial Approach Kluwer Academic Publishers Bosto 995. [] Ackerma J. Robust Cotrol: Systems with Ucertai Physical Parameters Spriger-Verlag 99. [] Hollot C. V. Bartlett A. C.. O the Nyquist Evelope of a Iterval plat family IEEE Tras. Automat. Cotr. Vol. 986 55-56. [] Katbab A. Jury E. I.. Robust Schur-Stability of Cotrol Systems with Iterval Plats It. J. of Cotrol Vol. 5 99 4-5. [4] Katbab A. Jury E. I. Geeraliatio ad Comparsio of Two Recet Frequecy Domai Stability Robustess Results It. J. of Cotrol Vol. 5 99 46-475. [5] Bartlett A. C. Hollot C. V. Li H. Root Locatio of a Etire Polytope of Polyomials: It Suffices to Check the Edges Mathematics of Cotrols Sigals ad Systems. Vol. 988 6-7.
Yasi KARATAŞ: 979 Sivas Gürü doğumludur. Yüksek öğreimii yılıda tamamladı. İöü Üiversitesi Mühedislik Fakültesi Elektrik- Elektroik Mühedisliği Bölümü de 5 yılıda yüksek lisas eğitimie başladı. Şu ada yüksek lisas te aşamasıda çalışmalarıı sürdürmektedir. Kotrol sistemleri ve uygulamaları ile ilgilemektedir. Nusret TAN: 97 yılıda Malatya Doğaşehir doğumludur. 994 yılıda Hacettepe Üiversitesi Elektrik-Elektroik Mühedisliği Bölümü de meu oldu. 995 yılıda İöü Üiversitesi Mühedislik Fakültesi Elektrik-Elektroik Mühedisliği Bölümü de araştırma görevlisi olarak göreve başladı. Ayı yıl doktora eğitimi içi İgiltere de Sussex Üiversitesie gitti. Doktora eğitimii yılıda tamamlayarak tekrar İöü Üiversitesie dödü. 4 yılıda doçetlik üvaıı aldı. Geel olarak kotrol sistemlerii aalii ve tasarımıyla ilgilemektedir.