KOMPLEKS FONKSİYONLAR TEORİSİ UYGULAMA SORULARI- Problem. Aşağıdaki (a) ve (b) de olmak üere (a) olduklarını gösterini. (b) (c) Imi Re Çöüm (a) i olsun. i i (b) i olsun. i i i i i i i i i i Im i Re i (c) Problem. ve herhangi iki kompleks saı olmak üere i olduğunu gösterini. Çöüm ve () denklemi elde edilir. () denkleminde nin rolleri değiştirilirse denklemi elde edilir. () ve () den elde edilir. ()
Problem. 4 olmak üere olduğunu gösterini. 4 4 Çöüm elde edilir. Mutlak değerin öelliklerinin kullanılmasıla 4 4 4 4 Problem 4. Herhangi C için olduğunu gösterini. Çöüm (a) Arg (b) Re i olarak alalım. Bu durumda (a) (b) Re ise Arg olur. Buna göre; cos,sin ise cos,sin olarak elde edilir. Problem 5. Re Çöüm : i olsun. Bu durumda olduğunu gösterini. ve Re olarak aılır. Buna göre olarak hesaplanır. Buradan da olduğu görülür. : i ve i ve Re olduğu görülür. Bölece ispat tamamlanmış olur.
Problem 6. Re olduğunu gösterini. Çöüm : i Re : Re elde edilir. Problem 7. c olmak üere arg arg c olduğunu gösterini. Çöüm i ve i olsun. :, ve arg arg ise cos cos ve sin sin olmalıdır. Buradan; ve elde edilir. Bu eşitlikler taraf tarafa bölünürse; c aılabilir. Buradan da c ve c dolaısıla c i c ic c i olduğu elde edilir. : tan ve tan tan ve tan dir. c ve c c ve c i ic c c elde edilir. Buradan ve tan tan ani arg arg elde edilir. Bölece ispat tamamlanmış olur.
Problem 8. Re Im Çöüm olduğunu gösterini. Re Im (Re Re ve Im Re Im Re Re Im Im aabiliri ve bu eşitsilikte ve buradan da Re Im aılırsa Im alınabilir) dir. Re Im Re Re Im Im Re Re Im Im Re Im elde edilir. Bu son eşitsilik doğru olduğundan Bölece ispat tamamlanmış olur. hipotede verilen eşitsilik doğru olur. Problem 9. (a) C olmak üere olduğunu gösterini. (b) ile gösterilen noktanın, ve noktaları arasındaki doğru parçasının orta noktası olduğunu gösterini. Çöüm (a) i olsun. Bu durumda i i i i i i olduğu elde edilir. (b) Şekilden de görüldüğü üere doğru parçasının orta noktası; i i i dir.
Problem. İki karmaşık saının çarpımı sıfır olduğunda, çarpanlardan en a birinin sıfır olması gerektiğini gösterini. Çöüm i ve i,, olsun. ise, ada olduğunu göstereceği.,,,, ve () elde edilir. Eğer ve in her ikisi de sıfır değilse, bunların () deki anı amanda sağlanan homojen denklemlerinin katsaılar determinantı sıfır olmalıdır. Yani ve buradan da çıkar. Demek ki a a ada her ikisi de sıfır olur. Problem. C ve olmak üere ' olacak şekildeki ' kompleks saısının teklikle belli olduğunu gösterini. Çöüm nin ' de başka ani dür. Problem. '' gibi bir tersinin olduğunu kabul edelim. Bu durumda '' olmalıdır. ' ' ' '' ' '' '' ' ' ' '' C saısının sırf reel vea sanal saı olması için gerek ve eter şart olmasıdır gösterini. Çöüm olup buradan da Re : Re Re elde edilir. Bener şekilde Im Im olup buradan da Im elde edilir. : i olsun. elde dilir. Buradan da elde edilir. Yani; dir. i i ve vea Re vea Im
Problem. Aşağıdaki alıştırmalardaki hesaplamaları aparak a bi formunda ifade edini. (a) 4i 6 i (b) i 4 i (c) (d) 4 5i 8 4i i 4i 6 i Çöüm (a) 9 6 6 8i (b) i (c) 5i (d) Ödev 7 7 Problem 4. Aşağıdaki problemlerde cinsinden sonuçları hesaplaını. Çöüm a bi aıp nin reel ve sanal kısımları (a) Re (b) Im (c) Re 4 (d) Im (e) Im (f) (g) i (a) a bi (b) Im ab a b abi Re a b (c) ' 4 a bi a bi 4 a 4 5bi Re' a 4 (d) ' a b a ab bi Im' ab b (e) ' a bi a b Im ' a b b (f) i a b i i a b Problem 5. gösterini. C kompleks saısı için ReiIm ve i Re Im olduklarını Çöüm i olsun. Re i Rei ve Im i Im i ve Im olduğundan ReiIm Re olduğundan i Re elde edilir. Im elde edilir.
Problem 6. (a) (b) (c) ifadelerinin doğruluğunu gösterini. Çöüm, i ve, i olarak alalım. olduğunu göstermelii. Buna göre; elde edilir. Bu son eşitsilik doğru olduğundan istenen elde edilmiş olur. (a) sonucunu kullanarak (b) ve (c) i çöünü. Problem 7., A ve, B noktalarının konum vektörleri sırasıla ve olmak üere; (a) Bu iki vektör arasındaki açı ise; sin ve cos değerlerini hesaplaını. (b) AB vektörünü bir kompleks saı formunda ifade edini. (c) A ve B noktaları arasındaki uaklığı bulunu. Çöüm
Yukarıdaki şekil gö önüne alındığında; cos cos isin sin (a) cos cos sin sin sin cos i cos sin (b) AB OB OA i i i (c) AB olarak elde edilir. i Problem 8. i ve i olmak üere, ve nin skaler ve vektörel çarpımları sırasıla; (a) cos (b) sin şeklinde tanımlanır. Bu eşitliklerin doğruluğunu ispatlaını. Çöüm Bir önceki problemin (a) şıkkında elde edilen sonuçları kullanırsak; (a) cos (b) sin olduklarını elde ederi. Problem 9. i ve i kompleks saıları ile doğrusal vea paralel olmaan iki vektörü gösterelim. Eğer a ve b ; a b şartını sağlaan reel saılar ise a b olduğunu gösterini. Çöüm a elde edilir. Buradan da i b i a b ia b b a a b ve a b elde edilir. Bu vektörler doğrusal vea paralel olmadıklarından a b bulunur. dir. Dolaısıla
Problem. Bir paralel kenarın köşegenlerinin birbirini ortaladığını gösterini. Çöüm Yukarıdaki şekil gö önüne alındığında; AC olduğundan AC dir. Bu taktirde AP m, m aılabilir. OB olduğundan OP n, n aılabilir. Arıca; OA AP OP, ani m n vea m n m n dır. Bu nedenle bir önceki örnekten; m n, m n vea m, n ve bölece P iki köşegenin orta noktası olur. Problem. A, ve, Çöüm B noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunu. I. ol AP ve PB doğrusal olduklarından m, n için; m AP n PB vea m n aabiliri. Buradan m n m n m n vea, m n m n m n elde edilir ki buna simetrik form denir. II. ol i ve i sırasıla A ve B nin konum vektörleri olsun. i, A ve B i birleştiren doğru üerindeki herhangi bir P noktasının konum vektörü olsun. Yukarıdaki şekilden; OA AP OP vea AP ani AP OA AB OB vea AB ani AB AP ve AB doğrusal olduğundan AP t AB vea; t, t ve istenen denklem t, t vea t t dir. i ve i nin kullanılmasıla bu denklem; t, t () vea
() () denklemlerine doğrunun parametrik denklemi, () denklemine standart formdaki doğru denklemi denir. Problem. 4 i kompleks saısının karekökünü hesaplaını. Çöüm 4 i a bi 4 i a b abi 4 a b ve ab b elde edilir. Bu değer 4 a b denkleminde erine aılırsa ; a 9 4 4 a 4a 6a 9 bulunur. Bu son denklemde a t aılırsa 4a t t 9 buradan da a bulunur. Dolaısıla i 4 i i olarak elde edilir. Problem. Aşağıdaki kompleks saıların her birini trigonometrik olarak ifade edini. (a) i (b) i Çöüm (a) a bi kompleks saısı verildiğinde r a b, a r cos ve b r sin olmak üere kompleks saısı trigonometrik olarak a bi r cos isin şeklinde ifade edilir. Buna göre i kompleks saısı için b r 4 ve tan a olup buradan buluru. O halde i 4cos isin şeklinde trigonometrik olarak ifade ederi. (b) i kompleks saısını gö önüne aldığımıda 7 r ve 4
olduğu görülür. Buna göre verilen kompleks saının trigonometrik gösterimi 7 7 i cos isin 4 4 olarak bulunur. Problem 4. Aşağıdaki 5 5 4cos i sin cos isin 8 8 8 8 çarpımını hesaplaarak bulunan sonucu trigonometrik ve standart biçimde hesaplaını. Çöüm Verilen çarpımın sonucu 5 5 4cos i sin cos isin 4cos isin 8 8 8 8 4 4 şeklinde trigonometrik olarak bulunur. Bu kompleks saının standart şekli olarak hesaplanır. i Problem 5. 7 bulunu. Çöüm i ifadesinin değerini De Moivre Teoremini kullanarak standart şekilde De Moivre Teoreminden bilioru ki eğer k poitif bir tamsaı ve rcos isin trigonometrik şekilde bir kompleks saı ise o aman k k r cos k isin k dır. a ve b olmak üere r ve tan olup buradan olarak bulunur. O halde i kompleks saısının trigonometrik şekli 6 i cos isin 6 6 olup buna göre De Moivre Teoreminden 7 7 7 7 7 i cos isin cos isin 6 6 6 6 olarak buluru. Bu trigonometrik gösterime sahip olan kompleks saıı formunda aacak olursak istenilen sonuç olarak bulunur. 7 i 64 64i a bi standart
Problem 6. i kompleks saısının küp köklerini hesaplaını. Çöüm Her bir r cos isin kompleks saısı C de tam olarak n farklı köke sahiptir ve bunlar k,,,..., n için n tamsaısı için sıfırdan farklı herhangi bir k k r n cos isin n n olarak verilir. Buna göre verilen kompleks saıı trigonometrik formda aalım. olup buradan buluru. O halde 6 r,cos ve sin i cos isin 6 6 dır. Bölece i küp kökleri cos i sin 8 8 cos i sin 8 8 5 5 cos i sin 8 8 olarak bulunur. Problem 7. i denkleminin çöümleri olan bütün kompleks saıları bulunu. Bulunan bu kompleks saıları a bi şeklinde standart formda aını. Çöüm Öncelikle aşağıdaki gibi trigonometrik formda aalım. i i i cos isin olup k k cos isin eşitliğinden k,, için aşağıdaki değerler bulunur.
cos i sin 6 6 5 5 cos i sin 6 6 cos i sin i bölece istenen elde edilmiş olur. i i Problem 8. C kompleks düleminde bulunan C : Im 4 açık küme olduğunu gösterini. Çöüm G sonsu şeridinin G, G de kefi bir nokta olsun. Bu taktirde Im 4 eşitsiliği sağlanır. Bu eşitsilik baı poitif saıları için Im 4 olduğunu ifade eder. ise bu taktirde Im kümesi bir, olur ve sonuç olarak Im 4 olduğu elde edilir. Bölece G açık diskini içerir. Arıca verilen kümenin grafiği çiilerek açık bir küme olduğu açıkça görülebilir. Problem 9. Her n N için G n, olsun. n n N G n kesişimini bulunu. Sonsu saıda açık kümenin kesişiminin açık olması gerekmediğini gösterini. C de açık kümelerin bir koleksionunun tüm kesişimlerinin ne açık ne de kapalı olması gerekmediğine dair bir örnek verini. Çöüm n N G n kesişimi sadece noktasından ibarettir. Gerçekten, bu nokta her kümesinde içerilir ve n için kompleks dülemin diğer herhangi bir noktası G n kümelerinde içerilme. Tek nokta kümesi herhangi bir açık disk içermediğinden açık küme değildir. Bir önceki örnekte kesişim kapalı bir kümedir. Bu, açık kümelerin sonsu kesişimi için her aman geçerli olan bir durum değildir. Örneğin; G n kümelerinin C : Im açık şeritleri olduğunu far edelim. G n kümelerinin kesişimleri n C : Im arı açık şerididir. G n
Problem. A,C nin boş olmaan bir alt kümesi ve A kümesini A w C : w A şeklinde tanımlaalım. Bölece A kümesi A nın reel eksene göre ansımasından elde edilir. A kümesinin açık küme olduğunu gösterini. Çöüm A nın açık olduğunu kabul edelim ve olduğundan D r A A olsun. Bu taktirde A ve A açık, olacak şekilde baı r saıları vardır. İddia edioru ki D, r A dır. Bunu görmek için w D, r w w w r dir. Bu w D r A ani D, r A dır. bu nedenle A açıktır. Problem. a ve kompleks saıları, : alalım. Bu taktirde w r ve, olduğunu belirtir ve bölece w A D birim uvarının elemanları ise a w kompleks saısının da bu birim uvarın elemanı olacağını gösterini. a Çöüm w a ve a aabiliri. Bölece; a a a ww a a a w w a a a Rea a a a Rea a a a a elde edilir. Bölece ispat tamamlanmış olur. a