KATI CİSİM DİNAMİĞİ

58 KATI CİSİM DİNAMİĞİ A) KATI CİSİMER B) DÖNMEER C) MATRİSER YOUYA VEKTÖR İŞEMERİ D) EUER AÇIARI VE EUER TEOREMİ E) SONSUZ KÜÇÜK DÖNMEER F) HIZ VE İVME G) KATI CİSİM HAREKET DENKEMERİ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A ) KATI CİSİMER Nktasal lmaıp, uada er tutan Katı Cisimlerin dinamiği ugulamada çk önemlidir. Katı cisim, 'kendisini luşturan tüm nktasal unsurlar arasındaki uaklıkların sabit lduğu apı' larak tanımlanır. Bunun matematik ifadesi: tüm i, j çiftleri için ri rj Sabit lması demektir. Bir apının uadaki knumunu belirlemek için kaç tane krdinata gerek lduğu temel bir srudur. Bu saı 'Serbestlik Derecesi' larak adlandırılır ve f ile gösterilir. Katı cisim kısıtlamaları lmaan, Akışkanlar Mekaniği beneri knularda N parçacığın 3 N serbestlik derecesi vardır ve N için bu saının üst sınırı ktur. Katı cisimlerin öel durumunu anlamak için adım adım gitmek ararlı lur. Tek parçacığın serbestlik derecesi f 3 lacaktır. İki parçacıkta f * 3 6 ile başlanır ama r r 1 Sabit kısıtı bu saıı 5 'e indirir. Bu sisteme bir üçüncü parçacık eklersek f 5 3 8 lur ama r r Sabit 3 ve r 3 r 1 Sabit kısıtları bu saıı 6 'a indirir. Bundan snra eklenen her parçacık 3 eni serbestlik derecesi anı sıra 3 de kısıt getireceği için f 'in üst sınırı 6 lacaktır. 6 tane krdinatın akılcı bir biçimde

59 seçiminde önce 'Kütle Merkei' R CM ile ilk 3 'ü aradan çıkartılır. Geri kalan 3 krdinatı seçmeden önce 3-Butlu uada dönmeleri incelemek gerekir. B ) DÖNMEER Dönmelerin matematiksel incelenmesinde smut matris cebri, sut işlemlerden daha kullanışlıdır. Başlangıç nktası : Sabit bir nkta etrafında dönmede merkeden uaklığın x x r r R : 3 3 dönme matrisi lmak üere r r değişmeliği lacaktır :, denklemi 'Transpe' edilerek r T ve R ile verilen 'Dönme' T T R r bulunur. R R, ani T T T T r r r r r r x x labilmesi için gerekli şartın T R R 1 lduğu görülür. T 1 R R sağlaan matrisler 'Ortgnal' larak adlandırılır : iki rtgnal matrisin çarpımının da rtgnal lduğu ve Determinantların 1 lacağı klaca gösterilir. Dönme işleminin öel bir durumu lan Ödeşlik'te determinant +1 lduğu için tüm R matrislerinde bu şart aranır. Determinantı +1 lan 3 3 rtgnal matrisler SO(3) larak adlandırılan bir 'Grup' luştururlar. SO(3) grubunun her karteen ön için bir SO() alt grubu vardır. Örnek larak : x-ekseni etrafında açısıla dönme : x 1 0 0 0 cs sin SO(3) 0 sin cs R ve

60 cs sin R SO() sin cs. Dönme matrislerini 'Üstel' biçimde cs sin sin cs amak ileride hesap klalığı sağlaacağı için exp i denkleminden, 'Jeneratör' larak adlandırılan ve Hermitsel lan 0 i i 0 elde edilir. (1) SO() 'nin tek parametreli ve tek jeneratörlü lmasına karşın SO(3) 'ün 3 parametresi ve 3 jeneratörü vardır, dğal larak bu jeneratörler : 0 0 0 0 0 i 0 i 0 0 0 i ; 0 0 0 ; i 0 0 0 i 0 i 0 0 0 0 0 x i, ile verilirler. Bu matrislerin sağladığı x x i x, i x x bağıntıları kuantum matematiğinin habercisi gibidir. kmütasn C ) MATRİSER YOUYA VEKTÖR İŞEMERİ Dönmeleri incelerken kullanılacak matematik apı larak vektörler etersi kalır. Sut düede 'Kuaternin'lar, smut larak da matris cebiri kullanmak gerekir. Ancak snsu küçük dönmelerin vektör karakterinden de ararlanılır. Snsu küçük bir açının vektör davranışını görmek için x-düleminde 1 1 x d dx x d dx tan d x 1 x x x bağıntısından r dr rˆ dr d genellemesi apılır. Bu denklemden r r snsu küçük açının düleme dik bir vektör lduğu ve ismine ugun larak r önüne dik bir (açı)klığın, butsu bir snuç elde etmek için r 'e bölündüğü görülmektedir.

61 Vektörlerin çarpımlarını matris işlemlerine indirgemek hesaplarda klalık ve tutarlılık sağlar. İki vektörün A B A B A B A B x x 'Skalar Çarpım' ifadesini bir matris işlemi larak aarken 'Sn Çarpan' B Bx B B larak krunup, 'İlk Çarpan' ve A A A A 'İşlem' x biçiminde ifade edilir. A B A B A B A B A B x x 'Vektör Çarpımı'nda ise 'Sn Çarpan' gene B A B A B x x 0 A A larak krunup, 'İlk Çarpan' ve 'İşlem' için A A 0 A x A A 0 x Bx B B kullanılır. D ) EUER AÇIARI VE EUER TEOREMİ Katı cismin uadaki knumunu saptamak için gerekli 6 krdinatın 3 tanesi kütle merkei larak seçilmişti. Geri kalan 3 krdinatı göümüde canlandırmak için uada sabitlenmiş bir 'Ua' krdinat sistemine ek larak cismin kendisine has ve temel önleri amana göre değişebilen bir 'Cisim' krdinat sistemi lduğu düşünülür. Hesap klalığı açısından ve genellikten arılmadan, bu iki sistem eşmerkesel kabul edilebilir. Cisim krdinatları, Ua krdinatlarının aksine amanın fnksinu larak değişecektir. Bu iki krdinat sistemi arasındaki dönüşümün 3 parametreli lacağını görmek r değildir. Fiiksel aklaşımla: iki sistem arasındaki ilişki belli bir eksen etrafında dönme lduğu için eksen birim vektörü ˆn 'den iki, dönme açısı 'den de bir parametre gelir. Matematiksel aklaşım ise SO(3) grubunun 3 tane SO() alt grubu luşundan ararlanır. Ugulamada tercih edilen l matematiksel aklaşıma daha akındır ve 'Euler Açıları' larak adlandırılan kullanılır. İki krdinat sistemi arasındaki genel dönüşüm 3 adımda sağlanır:,,

6 i) Önce -ekseni etrafında açısıla, ii) Snra 'eni' x-ekseni etrafında açısıla, iii) En snra da 'epeni' -ekseni etrafında açısıla döndürme: R exp( i ) exp( i ) exp( i ) x R R R R ifadesinden x R R R R x x R R R R x x R R R R ödeşlikleri kullanılarak önce R R R R R R x x x R R R, snra da x R R R R R R R R x R R R elde edilir. Bu da x R exp( i ) exp( i ) exp( i ) demektir. Ancak x x ve x AB BA exp( A) exp( B) exp( B) exp( A ) lduğu için R tek bir üstel ifadee indirgeneme. Ancak snsu küçük açılarla işlem apıldığında exp da exp db exp da db sağlanır.

63 Euler Teremi: Bir nirengi nktasına ( mesela kütle merkei ) sahip bir katı cismin en genel hareketinin nktadan geçen bir eksen etrafında dönme lacağını öngörür. Bunun bir adım snrası da katı cismin en genel hareketinin Öteleme + Dönme lmasıdır. () Euler tereminin ispatı tamamen matematiksel lup, matris ve reel katsaılı cebirsel denklemlerin öellikleri kullanılır: *) R SO(3) Ortgnal, dlaısıla Reel ve Üniter'dir, *) Üniter matrislerin ödeğerleri Ünimdüler'dir, ani 1 sağlarlar, *) 3 3 reel bir matrisin ödeğerleri, 3. Derece bir cebirsel denklem lan 'Karakteristik Denklem'in kökleridir, *) 3, tek bir saı lduğu için karakteristik denklemin en a bir reel kök vardır, *) Reel katsaılı cebirsel denklemlerde eğer bir kök ise * da bir köktür, *) Ortgnal matrisler Det R 1 sağlar, bu da 1 demektir, 1 3 *) Dlaısıla Spektrum 1, exp i, exp i Bu terem,, R lur. R R geçişinin öngördüğü eksen ve açıı nˆ belirlemee arar. Bir dönme'de anı kalan övektör, eksen önünü vereceği için 1 'e karşılık gelen nrmalie övektör, dönme ekseni ˆn 'i verir. 1 0 0 R,, R 0 expi 0 nˆ diagnalleştirme 0 0 exp i işleminde 'İ' anı kalacağı için de 1 Tr 1 R bulunur. 1 cs Tr cs R

64 E ) SONSUZ KÜÇÜK DÖNMEER Artık ugulamaa geçip 'Ua' ve 'Cisim' krdinatları arasındaki ilişki ele alınabilir. Snsu küçük d açısı ile dönme, ukarıda elde edilen,, x kullanılarak 1 exp 1 temsilleri R R d d i d i d 0 d d dr d 0 d x d d 0 x R d 0 0 x x 0 biçimini alır ve temsili lduğu görülür. Çk önemli bir ilke : Dğrusal bir 'İtme' elde edilir, bunun da ' ' işleminin matris x x u t, öel bir Galile dönüşümüdür ve sistemi belli bir çerçeveden, anı dğa asaların geçerli lduğu başka bir çerçevee taşır. Açısal 'İtme' ise sistemi anı asaların geçerli lmadığı, ivmelenmiş bir çerçevee taşıdığı için bu geçişte Newtn asalarının geçerli lması ancak baı 'Sanal Kuvvetler' eklenerek sağlanır. t F ) HIZ VE İVME Newtn asalarının geçerli lduğu 'Ua' krdinat sistemi ile bu sisteme göre sabit açısal hı ile dönmekte lan 'Cisim' krdinat sistemi arasındaki ilişkinin 'Knum' vektörüne ugulanmasını r R r denklemi ile gösterelim. Bu ifadenin amana göre türevi U nˆ C R d r d r d d r R r R r U C C C C

65 ile verilir, ancak R lduğu için d r U d rc R r v v R larak aılır. Bir türev daha alarak, 'İvme' ifadesi C U C C d vu a R a r v v U C C C C R a v + C C r C lur. Dinamiğe dğrudan etkili lmaan, sadece krdinat eksenlerinin önlerini belirleen R 'den kurtularak, kısaca r r, v v r ve U C U C C a a v + r aılır. U C C C v ifadesi 'Crilus İvmesi', r C C larak adlandırılır. Cisim sisteminde er alan bir gölemci a v + r C C C Kendi etrafında 7.3 10 5 ivmelerin gölenmesi için ideal bir rtamdır. ise 'Merkecil İvme' 'Sanal İvme'lerini hissedecektir. radan / sanie açısal hıla dönen dünamı bu r Yönler için ˆr : Yukarı ; ˆ : Güne ; ˆ : Dğu xˆ sin cs cs cs sin rˆ ˆ sin sin cs cs cs ˆ ˆ cs sin 0 ˆ seçimi apıp, ˆ cs rˆ sin ˆ bağıntılarını kullanarak önce Crilis kuvvetini inceleelim : İstanbul enleminde (3), Güne'e dğru, hıının üç katı hıla atılan bir ata mermie etki eden kuvvet 3 v 10 m / s, ses

66 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ m cs r sin v m v cs sin r ile verilir. Bu ifadenin ˆr bileşeni, anı öndeki er çekimi kuvvetine göre küçük ( < % 1 ) lduğu için gö ardı edilir. ˆ, ani Batı önündeki kuvvet ise 10 km uaktaki bir hedefte 5 m bir sapmaa sebep lur. Anı şartlarla Dğu'a atılan bir mermi de anı ölçüde Güne'e sapacaktır. D uaklığında bir hedefe v hıı ile gönderilen bir merminin sapma miktarı s v D cs ile verilir. Kue arıkürede genel kural sağa sapmaktır ve bu üden alçak basınç bölgelerine önelen rügarlar saat önü tersine bir dönme hareketi luştururlar. Crilis sapmasının ilginç ve pratik bir ugulaması 'Fucault Sarkacı'dır : uun bir ipin ucundaki kütle ata dülemde salınım aparken, snsu küçük bir aman aralığındaki açısal sapması Yana sapma v cs d cs Buna mesafe v Gün bunca tplam açısal sapma ise cs 1 Gün ile verilir. lacaktır. Yüksekten düşen cisimlerde de Crilus sapması gölenir; bu prblemdeki hı değişken lduğu için çöüm bira daha rdur. ˆ ˆ ˆ H üksekliğinden serbest düşüşte v g t r, cs r sin a g t sin ˆ geçerlidir. Bu ivmenin amana göre iki kere integrali alınarak Crilis sapması H kullanılarak g s 3 a 8 H bulunur. 9 g

67 Merkekaç ivmesi r ise C a R cs sin ˆ + sin rˆ snucunu verir. ˆr önündeki ivme, C anı öndeki er çekimi ivmesine göre çk küçük gö ardı edilir. günee dğru g R 0.4 % ˆ önündeki bileşen, uun bir ipe bağlı kütlenin gerçek dik g R sin cs açısal sapma apmasını öngörür. lduğu için gene ˆr önünden G ) KATI CİSİM HAREKET DENKEMERİ Nktasal bir parçacık için geçerli v p 0 lduğu için, dp F bağıntısının r ile vektörel çarpımı, dp d r p r r F denklemini verir. Açısal Mmentum : r p ve Trk : r F tanımları ile dp F beneri d elde edilir. v d r dm dm r r dm r r r bağıntısının açık aılışı dx x x x d dm x x d x x ifadesinin integrali alınarak 'Elemsilik Mmenti' matris elemanları :,, Ixx I I dm dm x dm x

68 I I x x I I x x I I dm x, dm x, dm lmak üere, ulaşılır. Genelde x I I I xx x x x I I I x I snucuna I I I x I I 1 lmadığı için ve anı önde değildir. I matrisinin 'Simetrik', ani 'Reel' ve 'Hermitsel' lması ödeğerlerinin reel, övektörlerinin de birbirine dik luşunu sağlar. Övektörlerin anı amanda pitif lduğunu anlamak için Kinetik Enerji ifadesini beklemek gerekecektir. Dönme ifade eden ve 'Asal Eksen Dönüşümü' adı verilen bir benerlik dönüşümü ile I matrisi diagnal hale getirilebilir, dlaısıla bundan snra genellikten arılmadan I 0 0 1 I 0 I 0 ve k k k 0 0 lduğu kabul edilecektir. Katı cismi luşturan snsu küçük unsurların Kinetik Enerjisi de E dm dm d v v r ifadesinin integrali alınarak T I I I 1 1 3 3 dinamiği prblemleri,,, I I I I değerlerine göre : 1 3 *) I I I 1 3 : SO(3) Simetrik Tpaç ( Küre Simetrisi ) *) I I I 1 3 : SO() Simetrik Tpaç ( Silindir Simetrisi ) I 3 I snucuna ulaşılır. Katı Cisim I I, I 0 : -Butlu Tpaç *) 1 3 *) I I I 1 3 : Asimetrik Tpaç larak sınıflandırılır. Çöümlere gelince : SO(3) simetrisi lan prblemler hesap gerektirmeecek kadar basittir; açısal mmentum bileşenleri arı arı krunur, ve

69 sabit ve paraleldir. Öteki uçtaki Asimetrik Tpaç prbleminde ise lineer lmaan diferansiel denklemlerin genel ve analitik çöümü, ahmetine değmeecek ölçüde karmaşıktır. (4) Simetrik Tpaç prbleminin ise matematiği kla, fiiği engindir. Açısal hı'ın bir bileşeninin sabit luşu denklemleri lineer apar ve klaca çöüme varılır. d ve I k k k dx I I I 3, 1 başlangıç nktası alınarak varılan d I I I denklemleri I I öel durumunda 1 1 3, x d I I I 1 3 x dx I I I 3 1, 1 d I I I 1 3, 0 x 1 d biçimini alır. Çöümü en kla lan 3. denklem : Sabit snucunu verir. Bunun diğer iki denkleme erleştirilmesi snucu elde edilen denklemler tanımıla dx, göre birer türevi daha alınarak, d d x x I I I 3 1 biçimini alırlar. Bunların amana x, d 1 elde edilir. Snucu amadan önce ileride 'Başlangıç Kşulu' aşamasında ararlı lacak bir ödeşliği elde etmek gerekir : denklemlerinden 'e ek larak dx, d d x, 0 d d 0 0 lduğu açıktır. Bunun anlamı x ve 'nin de sabit luşudur. Bölece cs t cs t x x sin t sin t 0 0

70 snucu elde edilir. vektörünün ata bileşeninin bir daire çimesi laı 'Presesn' larak adlandırılır ve çcuk uncaklarından, dünamıa kadar dönen pek çk cisimde gölenir. (5) Smut bir örnek larak dünanın çekim alanında, uç nktası sabit bir tpaçın hareketini inceleelim : M kütlesi dügün dağılmış H üksekliğinde, R arıçaplı bir kninin kütle merkei uç nktadan 3H 4 uaktır ve ana eksen etrafında dönme için elemsilik mmenti ise 3 10 d MR ile verilir. D Mg ˆ CM 3 M R 3 ; DCM d 5Hg H bağıntılarından elde edilen ˆ R 10 4 denklemi ukarıdaki prbleme bener biçimde çöülür ve cs t x sin t 0 elde edilir. 5Hg lmak üere R

71 PROBEMER C.1 ) AB C B AC C A B ödeşliğini vektör ve işlemlerin matris temsillerini kullanarak elde edin. R ifadesinin D.1 ) exp( i ) exp( i ) exp( i ) 3 3 temsilini luşturun. x D. ) Tplam dönme açısının, Euler açıları cinsinden cs cs cs larak verildiğini gösterin. F. ) -Butta genel hareket : ˆ r r rˆ, rˆ cs, sin, sin, cs bağıntılarını ve d d d, tanımlarını kullanarak -Butlu Plar krdinatlarda v ve a ifadelerini luşturun, tüm terimleri adlandırıp, rumlaın. G.1 ) Ucundan sürtünmesi bir menteşe ile duvara bağlı, m kütleli, uunluğunda dügün bir çubuğun ata durumdan dike knuma düşme amanını hesaplaın. İpucu : 4 g 1 4

7 G. ) Dügün dağılımlı, -Butlu bir 45 dik üçgenin kütle merkei etrafındaki I, I, I 1 3 değerlerini ve 'Asal Eksenler'ini hesaplaın. (Gldstein) G.3 ) a,0,0 ; 0, a, a ; 0, a, a nktalarında er alan üç eşit m kütlesinin 0,0,0 etrafındaki,, hesaplaın. (Gldstein) I I I değerlerini ve 'Asal Eksenler'ini 1 3 G.4 ) armr frekansı : di elektrik akımını taşıan r arıçaplı bir halka'nın Magnetik d di Alan n ile verilir. hııla dönen, Q elektrik ükü ve Dipl Mmenti * ˆ M kütlenin bener dağıldığı bir apı için alanla etkileşmesi hareketinin açısal hıını hesaplaın. Q lduğunu gösterin. Magnetik M B ile verilen bir magnetik mmentin presesn 5) Açısal hı bileşenlerinin, Euler açıları ve amana göre türevleri cinsinden cs sin sin x sin sin cs cs Ile verildiğini gösterin.

73 EKER VE NOTAR cs sin sin cs (1) En kestirme l : exp i 0 () Chasles teremi. işlemi ugulamaktır. denklemine (3) açısının 'Enlem' lmaıp, kue arıkürede 90 Enlem, Güne arıkürede ise 90 + Enlem lduğu unutulmamalıdır. (4) Dünamıın dönme ekseninin presesn peridu aklaşık 5 800 ıldır ; bu da mevsimlerin 5 Yüılda 1 haftalık kaması, ani 1 900 ıl snra bugün Ocak aında aşadığımı sğukların Temmu aına taşınması demektir. (5) Çöümler Eliptik fnksin bilgisi gerektirir.