T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

Contents 1 Kümeler Ailesi 5 Bibliography 17

1 Kümeler Ailesi 1.1 Damgalı Kümeler 1 Bazen çok sayıda küme ile çalışırız. Ele alınan kümelerin sayısı n taneyse onları X 1, X 2,..., X n simgeleriyle temsil edebiliriz. Bu durumda, her bir X i i = 1, 2,..., n) kümesi i ile damgalanmış 2 olur. Bazen alt damga yazmak yerine, kümeleri A, B, C,..., Y gibi alfabenin harfleri ile de yazabiliriz. Bu kavramı biraz daha genelleştirelim. Herhangi bir I kümesi düşünelim. Her i I öğesine karşılık bir D i kümesi var olsun. Bütün bu kümelerden oluşan topluluğu B ile gösterelim: 1damga= index 2 damga terimini indis index) yerine kullanacağız. D = {D i i I}. 1.1) 1.2 Kümeler Ailesi 3 1.1) uyarınca, D topluluğu, öğeleri D i kümeleri olan bir kümedir. Ancak "Kümelerin kümesi" kavramı, bizi, ileride açıklayacağımız Russel paradoksuna götürdüğü için, bu deyimi kullanmayacak, bunun yerine, B ye "kümeler ailesi", "kümeler topluluğu" ya da "sınıf" diyeceğiz. Burada I kümesine ailenin damga indis, index) kümesi, her bir C i kümesine i ile damgalanmış indislenmiş) küme ve herbir i I öğesine de bir damga index) diyeceğiz. 1.1) ailesini, bazen 3Aile B = {C i } 1.2) biçiminde yazacağız. Hattâ, aileyi oluşturan kümeler C 1, C 2,..., C n şeklindeyse, bunu diye de gösterebiliriz. {C 1, C 2,..., C n } 1.3)

6 calculus Altaile 4 Tanım 1.1. Bir B = {C i i I} ailesi verilsin. J I olmak üzere 4Altaile D = {C j j J} 1.4) ailesine, B nin bir alt ailesi, denilir ve D B biçiminde gösterilir. Kuvvet Kümesi 5 Daha önce yaptığımız tanımı anımsayalım. Bir X kümesinin kuvvet kümesi, X kümesinin bütün altkümelerinin oluşturduğu ailedir. X in kuvvet kümesini PX) simgesiyle göstereceğiz: 5Power set PX) = {A A X} 1.5) olur. Teorem?? gereğince boşküme X kümesinin bir alt kümesidir ; yani X dir. O halde her X için PX) dir. Örneğin, X = {a, b} kümesinin kuvvet kümesi PX) = {, {a}, {b}, {a, b}} olur. 1.3 İşlemler 6 Kümeler Ailesi Üzerinde Cebirsel İşlemler 6işlemler Kümeler Ailesinin Bileşimi 7 Aileye ait kümelerin öğelerinin oluşturduğu kümedir. Bunu simgelerle açıklamak daha doğrudur: B = {C i i I} ailesinin bileşimi 7Birleşim B = C i = {b ii I) b C i )} 1.6) kümesidir. Burada, sağ yandaki ifadeyi şöyle okuyacağız: b B olması için gereki ve yeterli koşul, b C i olacak biçimde bir i I damgasının olmasıdır. 1.6) ifadesinde, I indis kümesi iki öğeli ise 1.6) ifadesi, özel olarak,??) biçimini alır.

kümeler ailesi 7 Küme ailesinin bileşimini aşağıdaki simgelerden birisiyle göstereceğiz: B = B B B = C i = {C i i I} 1.7) Bir öğenin ailenin bileşimine ait olup olmadığını, aşağıdaki teorem belirler. Theorem 1.2. B = {C i i I} ailesi verilsin. b öğesinin B ailesinin bileşimine ait olması için gerekli ve yeterli koşul, aileye ait bir kümenin b öğesini içermesidir. Küme Ailesinin Kesişimi 8 Ailedeki her kümeye ait olan öğelerin oluşturduğu kümedir. Kesişimin simgesel ifadesi şöyledir: 8Kesişim B = C i = {b ii I) b C i ))} 1.8) Burada, sağ yandaki ifadeyi şöyle okuyacağız: b B olması için gereki ve yeterli koşul, her i I damgası için b C i olmasıdır. 1.8) ifadesinde, I indis kümesi iki öğeli ise 1.8) ifadesi, özel olarak,??) biçimini alır. Arakesiti aşağıdaki simgelerden birisiyle göstereceğiz: B = B B B = C i = {C i i I} 1.9) Bir öğenin ailenin arakesitine ait olup olmadığını, aşağıdaki teorem belirler. Theorem 1.3. B = {C i i I} ailesi verilsin. b öğesinin B ailesinin arakesitine ait olması için gerekli ve yeterli koşul, aileye ait her kümenin b öğesini içermesidir. Ayrık Aile 9 Kesişmeyen iki kümeye birbirlerinden ayrık kümeler demiştik. Şimdi bu kavramı bir kümeler ailesine genelleştireceğiz. 9 Kesişmeyen Tanım 1.4. Bir B = {C i i I} ailesi verilsin. Aileyi oluşturan kümeler ikişer ikişer birbirlerinden ayrık iseler, "B ailesine ayrık bir ailedir", denilir. Ayrık aileyi simgelerle ifade edebiliriz: i, j I) i = j) C i C j = 1.10)

8 calculus Ayrışım 10 Tanım 1.5. Boş olmayan bir X kümesi verilsin. Aşağıdaki özeliklere sahip bir E ailesine X kümesinin bir ayrışımı denilir: 10 ayrışım i) E ya ait kümeler X kümesinin altkümeleridir. Figure 1.1: Ayrışım ii) Boşküme E ailesine ait değildir. iii) E ailesi ayrıktır. iv) E ailesinin bileşimi X kümesine eşittir. Bunu simgelerle açıklamak istersek şöyle diyebiliriz: Aşağıdaki özeliklere sahip E ailesine X kümesinin bir ayrışımıdır, denilir: i) E PX) ii) / E iii) [E α, E β E ) α = β)] [E α E β = ] iv) X = E E ailesi X kümesinin bir ayrışımı ise, X kümesinin her öğesi, E ailesine ait bir ve yalnızca bir küme tarafından içerilir. Örtü 11 X kümesi ile C = {C i i I} ailesi verilsin. X C = C i 1.11) C C oluyorsa, C ailesine X kümesinin bir örtüsüdür, denilir. 11 örtü Theorem 1.6. Boş ailenin arakesiti evrensel kümeye, bileşimi ise boşkümeye eşittir. Kanit: B ailesi boş ise, B ailesine ait hiçbir küme yoktur. Öyleyse, ailesi boş bir ailedir. B = {C i i } 1.12) C i = E 1.13) i i olduğunu göstereceğiz. 1.8) ve 1.6) uyarınca C i = 1.14)

kümeler ailesi 9 i) x i C i = ii ) x C i ) ii) x i C i = ii ) x C i ) olduğunu biliyoruz. i) için α önermesi yanlıştır.??) uyarınca, evrensel kümeye ait her x öğesi için α ) x D α ) önermesi hepdoğrudur. O halde 1.13) sağlanır. ii) için β ) yanlış bir önerme olduğundan, gene??) uyarınca, evrensel kümeye ait her x öğesi için β ) x C β ) önermesi hepyanlıştır. Demek ki bileşime ait hiç bir öğe yoktur. O halde 1.14) sağlanır. Genelleşmiş de Morgan Kuralı 12 Theorem 1.7. 12de Morgan ailesi için aşağıdaki eşitlikler sağlanır: D = {D i i I} Kanit: 1.15): D i 1.15) D i) = D i 1.16) D i) = ) ) x D i = x / D i = { ii I) x D i )} = { ii I) x / D i )} = { ii I) x D i ) )} = x D i 1.16) eşitliğinin kanıtı da benzer düşünüşle yapılabilir. Genelleşmiş Dağılma Kuralları 13 Theorem 1.8. A = {D i i I} ve B = {C j j J} aileleri için aşağıdaki eşitlikler sağlanır: 13 Dağılım

10 calculus ) D i C j = i C j ) 1.17) j J j JD ) = D i C j ) j J ) D i C j = i C j ) 1.18) j J j JD ) = D i C j ) j J Kanit: 1.17) ) ) x D i C j x D i x C j j J j J ii I) x D i )) jj J) x C j ) ) ii I) jj J)) x D i C j ) ii I) ) x j JD i C j ) x i C j ) j JD 1.18) nin kanıtı da benzer yolla yapılır. 1.4 Küme Dizileri 14 15 Tanım 1.9. Her n doğal sayısına karşılık bir D n kümesi verilmiş olsun. Böylece {D 0, D 1, D 2,..., D n,...} 14 Küme dizileri 15 D 0, D 1, D 2,..., D n,...} gibi bir kümeler ailesi elde edilir. Bu aileye bir kümeler dizisi denir. Başka bir deyişle, bir D = {D i i I} ailesinin I indis kümesi N = {0, 1, 2,..., n,...} doğal sayılar kümesine eşitse, D ye bir kümeler dizisi, denilir.

kümeler ailesi 11 Üstlimit 16 16 superior Tanım 1.10. {D n n N} kümeler dizisinin üstlimiti aşağıdaki eşitlikler ile tanımlanır. lim sup D n = D n+k 1.19) n N ) = D k n=1 k=n 1.20) Altlimit Tanım 1.11. {D n n N} kümeler dizisinin altlimiti aşağıdaki eşitlikler ile tanımlanır. lim inf D n = D n+k 1.21) n N ) = D k 1.22) n=1 k=n diye tanımlanır. Tanım 1.12. Üst ve altlimitleri eşit olan kümeler dizisinin limiti vardır, denir ve bu limit, lim D n 1.23) simgesiyle gösterilir. Theorem 1.13. {D n } ve {C n } kümeler dizisi için aşağıdaki kapsama sağlanır: lim sup D n C n ) lim sup D n ) lim sup C n ) 1.24)

12 calculus Kanit: x lim supd n C n ) = x D n+k C n+k ) n N = n N x D n+k C n+k ) = n N k N) x D n+k C n+k )) = n N k N) x D n+k ) x C n+k ) = n N k N) x D n+k ) k N) x C n+k ) = n N x D n+k ) x C n+k )) = n N x D n+k ) n N x C n+k ) = x D n+k x C n+k ) n N n N = x lim sup = x lim sup D n ) x lim sup C n ) ) D n ) lim sup C n ) Theorem 1.14. {D n } ve {C n } kümeler dizisi için aşağıdaki eşitlik sağlanır: Kanit: lim sup D n C n ) = lim sup D n lim sup C n 1.25) x lim supd n C n ) x D n+k C n+k ) n N n N x D n+k C n+k ) n N k N) x D n+k C n+k )) n N k N) x D n+k ) x C n+k ) n N k N) x D n+k ) k N) x C n+k ) ) ) n N x D n+k x C n+k n N x x D n+k ) n N x lim sup x D n+k ) n N x ) D n ) lim sup x n N x lim sup C n+k ) C n+k ) ) C n ) D n ) lim sup C n ) Theorem 1.15. Her kümeler dizisinden aynı bileşime sahip ayrık bir dizi türetilebilir. )

kümeler ailesi 13 Kanit: D = {D n n N} bir kümeler dizisi olsun. C 0 = D 0 C 1 = D 1 D 0 = D 1 C 0 C 2 = D 2 D 0 D 1 ) = D 2 C 1 C 3 = D 3 D 0 D 1 D 2 ) = D 3 C 2 C 4 = D 4 D 0 D 1 D 2 D 3 ) = D 4 C 3. n 1 C n = D n D n 1 = D n C n 1. k=1 biçiminde özyinelgen olarak tanımlanan C = {C n n N} 1.26) kümeler dizisini düşünelim. Göstereceğiz ki, C dizisi aşağıdaki iki özeliğe sahiptir. i) C ailesi ayrık kümelerden oluşur. ii) C ailesinin bileşimi D ailesinin bileşimine eşittir. Kanit i): n = m olduğunda C n C m = olduğunu göstermeliyiz. n > m olduğunu varsayalım. x C m x D m x x / n 1 k=1 x / C n D k m < n) D n x / C n C m C n C m = olacaktır. Öyleyse C ailesi ayrıktır. Kanit ii): n 1 k=1 D n = C n n=1 n=1 D k ) olduğunu kanıtlamak için her bileşimin ötekini kapsadığını göster-

14 calculus meliyiz. ve olur. x D n nn N x D n ) n=1 n nn N) x C m ) m=1 C n n=1 D n C n n=1 n=1 x x C n nn N x C n ) n=1 nn N) x D n ) x D n n=1 C n D n n=1 n=1 1.5 Alıştırmalar 17 1. {D i i I} ailesi ile B kümesi verilsin. Her i I için D i B ise aşağıdaki kapsamanın varlığını gösteriniz. D i B 17 Alıştırmalar 2. {D i i I} ailesi verilsin. Eğer J I ise aşağıdaki kapsamanın varlığını gösteriniz. D j D i j J 3. {D i i I} ile {C i i I} aileleri verilsin. Aşağıdaki eşitliklerin varlığını gösteriniz. ) D i \ C j = i \ C j ) j J j JD ) D i \ C j = i \ C j ) j J j JD

kümeler ailesi 15 4. D = {D i i I} ve C = {C i i I} aileleri verilsin. Eğer her i I için D i C i ise aşağıdaki kapsamaların varlığını gösteriniz. D i C i D i C i

Bibliography

0130 bibliography 19