Fizik 0: Ders 6 Konu: Katı cisin dönesi Döne kineatiği Bir boyutlu kineatik ile benzeşi Dönen sistein kinetik enerjisi Eylesizlik oenti Ayrık parçacıklar Sürekli katı cisiler Paralel eksen teorei
Rotasyon Şidiye kadarki konularıızda cisilerin belirli bir eksen etrafında dönesini üzerine çok duradık. (ötelee hareketi ağırlıklıydı) Kayan cisileri inceledik. Makaraların kütlelerini yok saydık. Rotasyon oldukça önelidir, dolayısıyla rotasyonu anlaalıyız! Türeteceğiiz denklelerin pek çoğu lineer kineatik ve dinaikte çıkardığıız denklelerin benzerleridir.
Katı Cisin Dönesi v v a Şekildeki katı cisi z ekseni etrafında döndürüleye başlansın, bu katı silindir üzerinde P noktası alırsak bu noktanın yaptığı hareket dairesel harekettir. P noktası Dt zaanında A noktasından B noktasına gekirse: ort ani ani Ds Dt li Dt0 dv dt RD Rw Dt Ds ds R Dt dt ani ort d R R d t ortalaa d Rw dt dw dt hiz. ani R P B dθ θ ds A
Rotasyon Değişkenleri. Sabit eksen etrafındaki rotasyon: Merkezinden geçen eksen etrafında dönen bir diske bakalı: Öncelikle Düzgün Dairesel Hareket hakkında öğrendikleriizi hatırlayalı: d dt dx dt (lineer hıza benzer v )
Rotasyon Değişkenleri... Farz-ı uhal zaanın bir fonksiyonu olsun: Açısal ive tanıı: α dω dt d θ dt Açısal ive nin sabit olduğu duruu dikkate alalı. rad/s Bunu integre ederek ve yı zaanın bir fonksiyonu olarak buluruz: α sabit ω ω 0 αt 0 t 0 t
Rotasyon Değişkenleri... sabit 0 0 t t 0 t R v x Döne ekseninden R uzaklıktaki bir nokta için: x = R v = R Bunun türevini alarak: a = R
Özet (-D kineatikle karşılaştıra) açısal α sabit 0 t 0 0t t lineer a sabit v v 0 at x x0 v0t at Rotasyon ekseninden R uzaklığında bir nokta için: x = R v = R a = R
Örnek: Tekerlek ve Sici Yarıçapı R = 0.4 olan bir tekerlek sabit bir eksen etrafında serbestçe dönektedir. Tekerleğin etrafında sarılan bir ip var. t = 0 anında durgunken ip sabit bir ive a = 4 /s ile çekilir. 0 saniye sonra tekerlek kaç tur döner? (Bir tur = radyan) a R
Tekerlek ve Sici... 80 6.8 500 3.4 0 0.4 4 0.5 t t t t R a R at R tur : uerik tur denkleler i ile döne tur Yol tur denkleler le: Çizgisel a R
Tekerlek ve Sici... a R
Tekerlek ve Sici... a R
Rotasyon & Kinetik Enerji Aşağıda gösterilen basit dönen bir sistei dikkate alalı. (Noktasal kütleler kütlesiz bir çubuğa iliştirili) Sistein kinetik enerjisi her bir parçacığın kinetik enerjisinin toplaıdır: 4 r 4 r 3 r 3 r
Rotasyon & Kinetik Enerji... Yani: aa v i = r i K K i i v i i Başka bir şekilde yazı: K I i r i i r i i 4 r 4 r I i r i i Döne ekseni etrafında eylesizlik oenti I nın birii kg. 3 r 3 r
Rotasyon & Kinetik Enerji... Dönen bir sistein kinetik enerjisi nokta parçacığın kinetik enerjisine benziyor: Nokta parçacık Dönen siste K v K I v lineer hız kütle. açısal hız I döne ekseni etrafında eylesizlik oenti. I i r i i
Eylesizlik Moenti sonuç K I burada I i r i i Eylesizlik oenti I sistein kütle dağılıına bağlıdır. Kütlenin döne ekseninden uzaklaşası eylesizlik oentini artırır. Verilen bir cisi için eylesizlik oenti döne eksenini nerde seçtiğiize bağlıdır. (kütle erkezinden farklı). Lineer dinaikteki denklelerde kütlenin yerini döne dinaiğinde I eylesizlik oenti alır!
Eylesizlik Moenti Hesabı Sabit bir eksen etrafında dağılış N ayrık noktasal parçacık için eylesizlik oenti: I N r i i i burada r kütlenin döne eksenine olan uzaklığı. Örnek:Kenar uzunluğu L olan bir karenin köşelerinde 4 () kütlesi var ve kare erkezinden geçen bir eksen etrafında dönektedir. Kütle sisteinin eylesizlik oentini hesaplayınız: L
Eylesizlik Moenti Hesabı... I 4 ir i i L 4 I L L / L r
Eylesizlik Moenti Hesabı... I yı şidide erkezden kenara paralel olan bir döne ekseni için hesaplayalı: r L
Eylesizlik Moenti Hesabı... Son olarak aynı sistein eylesizlik oentini bir kenarından geçen bir eksen için hesaplarsak: r L
Eylesizlik Moenti Hesabı... Aynı cisi için I döne eksenine açıkça bağlıdır!! I = L I = L I = L L
Ders 6, Soru Eylesizlik Moenti Üçgen şeklindeki cisi 3 özdeş kütle ve katı kütlesiz çubuktan oluşaktadır. a, b, ve c eksenlerine göre eylesizlik oenti I a, I b, ve I c dir. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur: (a) (b) (c) I a > I b > I c I a > I c > I b I b > I a > I c a b c
Ders 6, Soru Eylesizlik Moenti Kütleler ve uzaklıları işaretleyeli: Eylesizlik oentini hesaplayalı: I a L L 8L I b L L L 3L I c L 4L (b) doğru: I a > I c > I b L L a b c
Eylesizlik Moenti Hesabı... Ayrık nokta kütleleri için eylesizlik oenti: I N r i i i Sürekli kütle dağılıı gösteren bir cisi için her bir sonsuz küçük d kütle eleentinden gelen r katkısını verilen bir eksen için toplaalıyız. Yani eylesizlik oenti I integralden elde edilir: d I I r r d ρ(r)dv r ρ(r)d 3 r 3 boyutlu r
Eylesizlik Moenti... Katı cisi için eylesizlik oentine bazı örnekler: I MR R M kütleli ve R yarıçaplı bir çeber için erkezinden geçen ve silindir düzleine dik eksene göre eylesizlik oenti R I MR M kütleli ve R yarıçaplı bir çeber için, çaptan geçen eksene göre eylesizlik oenti
Eylesizlik Moenti... Katı cisi için eylesizlik oentine bazı örnekler: I 5 MR R M kütleli ve R yarıçaplı katı küre için Merkezinden geçen eksene göre eylesizlik oenti. I MR R M kütleli ve R yarıçaplı katı disk yada silindir için erkezden geçen dik eksene göre eylesizlik oenti.
Ders 6, Soru Eylesizlik Moenti Kütleleri ve yarıçapları aynı iki küreden biri katı alüinyudan diğeri içi boş altın kabuğundandır. Merkezden geçen eksene göre hangisinin eylesizlik oenti daha büyüktür? (a) Katı alüinyu (b) oyuk altın (c) aynı katı oyuk M & R aynı
Ders 6, Soru Eylesizlik Moenti Eylesizlik oenti kütleye (her iki ciside de aynı) ve döne ekseninden olan uzaklığın karesine bağlıdır. Oyuk kürede esafe daha büyüktür, çünkü kütlesi daha dışarıdadır. Küresel kabuk (altın) daha büyük eylesizlik oentine sahiptir. I KATI < I KABUK katı oyuk M & R aynı
Eylesizlik Moenti... Katı cisiler için I ya bazı örnekler : L I ML M kütleli ve L uzunluklu bir çubuk için erkezinden geçen dik eksene göre eylesizlik oenti. I 3 ML L M kütleli ve L uzunluklu bir çubuk için bir köşesinden geçen eksene göre eylesizlik oenti.
Paralel Eksen Teorei M kütleli bir katı cisin kütle erkezinden geçen eksene göre eylesizlik oentini I KM, bildiğiizi farz edeli. KM inden geçen eksene paralel ve ona D uzaklığında başka bir eksene göre eylesizlik oenti: I PARALEL = I KM + MD Eğer I KM biliyorsak KMzinden geçen eksene paralel eksene göre eylesizlik oentini hesaplaak kolaydır.
Paralel Eksen Teorei:Örnek Kütlesi M ve uzunluğu D olan düzgün bir çubuk dikkate alalı. Çubuğun en ucuna göre eylesizlik oentini bulun. I PARALEL = I KM + MD D=L/ x CM M L I UÇ I KM
Enerji Korunuuna Dair Sistein topla kinetik enerjisi lab gözle çerçevesine göre: ELAB v v aa v v V V KM KM V * V * yani v * * v v VKM V VKM V (v için aynısı söz konusu E LAB v * v * * * V V v v KM KM = K REL = K KM = P NET,KM = 0
KM hareketi ile bağlantı Önceki slaytte parçacıklar sistei için bulduğuuz kinetik enerji terii : K NET u i i MVKM K REL K KM KM etrafında dönen katı cisi için birinci teri: K REL iu i Yerine koyarak ui ri K REL ir i iri I KM K TOP I KM ω MV KM
KM hareketi ile bağlantı... Kütle erkezi etrafında dönen katı bir cisi için KM hareket halinde ise: K NET I KM ω MV KM V KM Önüüzdeki derste daha sı var...
Özet Döne kineatiği Bir boyutlu kineatik ile benzeşi Dönen sistein kinetik enerjisi Eylesizlik oenti Ayrık parçacıklar Sürekli katı cisiler Paralel eksen teorei