ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN GEÇEN ÇEMBER N DENKLEM 6. B R D RU LE B R ÇEMBER N B RB R NE GÖRE DURUMLARI 7. K ÇEMBER N B RB R NE GÖRE DURUMU 8. TE ET VE NRMAL N DENKLEMLER I. B i r ç e m b e re, üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemi II. Bir çembere, d fl ndaki bir noktadan çizilen te et denklemi 9. B R ÇEMBER N B R NKTAYA GÖRE KUVVET 10. K ÇEMBER N KUVVETE K S E N 11. ÜÇ ÇEMBER N KUVVET MERKEZ 1. ÇEMBER N PARAMETR K DENKLEM 13. ÇEMBER N DÜZLEMDE AYIRDI I BÖLGELER ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖZET ALIfiTIRMALAR DE ERLEND RME TEST III

BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI * Çember denklemini ve bu denklemin özeliklerini tan abilecek, * Analitik düzlemde bir çemberin belirlenmesi için, gerekli flartlar aç klaabilecek ve çemberin denklemini tan abilecek, * Merkezinin koordinatlar ile ar çap uzunlu u verilen bir çemberin denklemini azabilecek, * Merkezi orijinde olan ve ar çap uzunlu u verilen çemberin denklemini (merkezil çember denklemi) azabilecek, * Merkezleri orijinde, eksenler üzerinde vea eksenlere te et olan çemberlerin denklemlerini örneklerle aç klaabilecek, * Genel denklemi verilen bir çemberin merkezinin kordinatlar n ve ar çap uzunlu unu bulabilecek, * Çember üzerinde üç noktas verilen çemberin denklemini azabilecek ve bunlar n ar çap uzunlu u ile merkezinin koordinatlar n bulabilecek, * Verilen bir do ru ile bir çemberin birbirine göre durumlar n inceleerek de me noktalar n bulabilecek, * Verilen iki çemberin birbirine göre durumlar n inceleebilecek, * Bir çembere, üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemini azabilecek, * Bir çembere d fl ndaki bir noktadan çizilen te et denklemlerini azabilecek, * Bir çemberin bir noktaa göre kuvvetini bulabilecek, * ki çemberin kuvvet ekseni denklemini azabilecek, * Üç çemberin kuvvet merkezini bulabilecek, * Çemberin parametrik denklemlerini azabilecek. * Çemberin düzlemde a rd bölgeleri tesbit edebileceksiniz. 48

NASIL ÇALIfiMALIYIZ? ANAL T K GEMETR 1 * Çemberin analitik incelenmesini daha ii anlaabilmesi için daha önce matematik dersinde okudu unuz çember ve daire konusundaki tan mlar, temel kavramlar ve problemleri tekrar inceleiniz. * fllenen konula, sorulan soru aras nda ba nt kurarak çözülmüfl örneklerden fadalanarak, hangi bilginin kullan labilece ini tespit ediniz. * Konula ilgili çok sa da örnek ve al flt rma çözünüz. * Ünitedeki örnek ve al flt rmalar çözünüz. Analitik düzlemde verilenleri çizerek çal fl n z. * Geçmifl konular tekrar ediniz. * Ünitenin sonundaki al flt rma ve de erlendirme testini çözünüz, de erlendirme testini cevap anahtar ile karfl laflt r n z. 49

ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi Analitik düzlemde an özelikteki noktalar birlefltirilirse, bazen bir do ru, bazen de bir e ri medana getirir. Her do runun bir denklemi oldu u gibi, her e rininde bir denklemi vard r. E rilerin denklemi ikinci dereceden a da daha çok dereceden olabilir. Verilen bir e rinin üzerindeki her noktan n koordinatlar taraf ndan sa lanan ba nt a, e rinin denklemi denir. Çember denklemi ve e göre ikinci dereceden bir denklemdir. Bu bölümde çember denklemini ve çemberin analitik incelenmesini görece iz.. ÇEMBER N DENKLEM Düzlemde sabit bir noktaa eflit uzakl kta bulunan noktalar n kümesine (geometrik erine) çember denir. Verilen sabit noktaa çemberin merkezi, eflit uzakl a da, çemberin ar çap denir. Analitik düzlemde merkezi M a, b ve ar çap uzunlu u MP = r olan çemberin denklemini bulal m. (fiekil3.1) ( ki nokta aras ndaki uzakl k t a n m n d a n ) M(a,b) P(,) MP = - a + - b MP = - a + - b - a + - b = r elde edilir. Bu ba nt çemberin denklemidir. fiekil 3.1 Aalitik düzlemde bir çemberin bilinmesi için, merkezinin koordinatlar n n ve ar çap uzunlu unun bilinmesi gerekir. Denklemi - a + - b = r olan ve bu eflitli ini sa laan her P, noktas, merkezi M a, b ve ar çap uzunlu u r olan çemberin üzerindedir. Karfl t olarak,çember üzerinde verilen her P (, ) noktas - a + - b = r çember denklemini sa lar. 50

ÖRNEK 1 Merkezinin koordinatlar M(, 3) ve ar çap uzunlu u r = 5 birim olan çemberin denklemini azal m. Ar ca P (1, 5) noktas n n bu çemberin üzerinde oldu unu gösterelim. ÇÖZÜM 1 Genel olarak merkezi M(a, b) noktas ve ar çap uzunlu u r birim olan çemberin denklemi, - a + - b = r dir. Buna göre; Merkezi M(, 3) noktas ve ar çap uzunlu u r = 5 birim olan çemberin denklemi - + - 3 = 5 olur. P (1, 5) noktas verilen çemberin üzerinde olabilmesi için, P(1, 5) noktas n n koordinatlar bu, çemberin denklemini sa lamas gerekir. - + - 3 = 5 denkleminde = 1 v - + -3 = denkleminde 1 - + 5 = - 31 ve = 5 = 5 az l rsa - - + - - 3 = 5 denkleminde denkleminde 1 - = + 15 ve - ve 3 = 5 az l rsa, az l rsa, -1 + = 5 1 - - + 5 - - 3 = 5-1 + = 5 5 = 5 eflitli i elde edilir. -1-1 + = 5 5 = 5 elde edilir. Buna göre eflitli i P (1, elde 5) noktas n n edilir. koordinatlar n n, çemberin denklemini sa l or. 5 = 5 eflitli i elde edilir. hâlde, P noktas çember üzerindedir. 3. MERKEZ R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE VEYA EKSENLERE TE ET LAN ÇEMBER N DENKLEM I. Merkezi orijinde olan (merkezcil) çemberin denklemi Merkezi orijinde, [koordinat eksenlerinin kesiflti i nokta (0, 0 )] ve ar çap uzunlu u r birim olan çemberin denklemini azal m. Çemberin genel denklemi olan, - a + - b = r denkleminden - 0 + - 0 = r bulunur. Buradan + = r denklemi elde edilir. fiekil 3. Bu denkleme ar çap uzunlu u r olan merkezcil çemberin denklemi denir. Merkezcil çemberin denklemi + = r dir. (fiekil 3.) 51

ÖRNEK : Yar çap uzunlu u r = 5 birim ve merkezi orijinde olan çemberin denklemini azal m. ÇÖZÜM : M 0, 0 ve r = 5 birim oldu undan, - a + - b = r denkleminden, - 0 + - 0 = 5 ; + = 5 olur. II. Merkezi ekseni üzerinde olan çemberin denklemi Çemberin merkezi ekseni üzerinde oldu undan, a 0 ve b = 0 d r. Yani çemberin merkezi M (a, 0) olur. Yar çap uzunlu u r birim ise çemberin denklemi, - a + = r olur. (fiekil 3.3) ÖRNEK 3: Merkezi ekseni üzerinde 4 noktas nda bulunan ve ar çap uzunlu u r = 3 birim olan çemberin denklemini azal m. M(a,o) Ç Ö Z Ü M 3: Çemberin merkezi ekseni üzerinde a = 4 ve b = 0 oldu undan M (4, 0) d r. r = 3 birim ise çemberin denklemi, - 4 + = 9 olur. fiekil 3.3 III. Merkezi ekseni üzerinde olan çemberin denklemi Çemberin merkezi ekseni üzerinde oldu undan, a = 0 ve b 0 d r. Çemberin merkezi M(0, b) olur. Bu çemberin ar çap u z u n l u u r birim ise çemberin denklemi, + - b = r olur. (fiekil 3.4) Ö R N E K 4: Merkezi ekseni üzerinde noktas nda bulunan ve ar çap uzunlu u 6 birim olan çemberin denklemini azal m. ÇÖZÜM 4 : Çemberin merkezi ekseni üzerinde oldu undan M(0, ) dir. r = 6 birim ise çemberin denklemi, + - = 36 olur. { M(o,b) fiekil 3.4 5

IV. eksenine te et olan çemberin denklemi Çember eksenine te et oldu undan b = r dir. Çemberin merkezi M (a, r ) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi - a + - r = r olur. (fiekil 3.5) M(a,r) Ö R N E K 5: Çemberin merkezi M (-3, ) ve eksenine te et olan çemberin denklemini azal m. ÇÖZÜM 5: Çemberin merkezi M(-3, ) ve eksenine te et oldu undan b = r = birimdir. Buna göre çember denklemi, fiekil 3.5 - a + - b = r ifadesinden, + 3 + - = 4 olur. V. eksenine te et olan çemberin denklemi Çember eksenine te et oldu undan a = r dir. Çemberin merkezi M (r, b ) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi - r + - b = r olur. (fiekil 3.6) M(r,b) ÖRNEK 6: Çemberin merkezi M(3, 1) ve eksenine te et olan çemberin denklemini azal m. ÇÖZÜM 6 : Çemberin merkezi M(3, 1) ve eksenine te et oldu undan a = r = 3 b i r i m d i r. fiekil 3.6 Buna göre çember denklemi, - a + - b = r ifadesinden - 3 + - 1 = 9 olur. 53

VI. Her iki eksene te et olan çemberin denklemi Eksenlere I. ve III. bölgede te et olan çemberlerin merkezi, = denklemile verilen I. aç orta do rusu üzerindedir. Eksenlere II. ve IV. bölgede te et olan çemberlerin merkezleri de = - olan, II. aç orta do rusu üzerinde bulunur. (fiekil 3.7) M 1 merkezli çemberde; M 1 (r, r) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi: - r + - r = r olur. M r M 1 r M 3 M 4 fiekil 3.7 M merkezli çemberde; M (-r, r) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi : + r + - r = r olur. M 3 merkezli çemberde; M 3 (-r, - r) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi: + r + + r = r olur. M 4 merkezli çemberde; M 4 (r, - r) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi: - r + + r = r olur. ÖRNEK 7: Merkezi - - 4 = 0 do rusu üzerinde bulunan ve her iki eksene I. bölgede te et olan çemberin denklemini azal m. ÇÖZÜM 7: Çember her iki eksene te et ve I. bölgede oldu u için çemberin merkezi M(r, r) dir. (fiekil. 8) Çemberin merkezi - = 0 olan do ru üzerinde oldu undan, koordinatlar bu denklemi sa lar. r - r = 4, r = 4 birim olur. Buna göre çember denklemi: M - b = r ifadesinden 54 - a + - b = r ifadesinden - 4 + - 4 = 16 olur. - 4-4 + - 4 = 16 olur. fiekil 3.8

4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM Merkezi M(a, b) ve ar çap uzunlu u r birim olan çemberin denklemi, - a + - b = r fleklindedir. Parantezler aç l r ve gerekli düzenlemeler ap l rsa; + - a - b +a + b - r = 0 elde edilir. -a= D, -b= E ve a + b - r = F al narak, + + D + E + F = 0 çemberin genel denklemi bulunur. Bu denklemden, çemberin merkezinin koordinatlar : D = a ise a= - D ; E = -b ise b = - E ve M - D, - E olur. F = a +b - r ; F = - D + - E - r ise F = D + E - r dir. 4 4 Buradan ar çap uzunlu u; r = D + E - F ise, r = 1 4 4 D +E - 4F birim olur. Verilen + + D +E + F = 0 çember denkleminde, D + E - 4F ifadesine çemberin diskriminantı denir. a. 4F ise, çember denklemi reel çemberi gösterir. a. - 4F ise, çember Bu çemberin merkezi denklemi, - reel çemberi gösterir. a. D + E - 4F > 0 ise, çember noktas ve ar çap uzunlu u, Bu çemberin merkezi - denklemi D +E, - reel çemberi gösterir. noktas ve ar çap uzunlu u, Bu çemberin merkezi M - D 4F birimdir. r D +E, - E noktas ve ar çap uzunlu u, - 4F birimdir. r = 1 b. D +E - 4F birimdir. - 4F ise, çember denklemi bir nokta gösterir. b. D + E - 4F = 0 ise, çember denklemi Bu nokta çemberin merkezi olup - bir, - nokta gösterir. dir. Bu nokta çemberin merkezi olup M - D c., - E dir. - 4F ise, çember denklemi sanal bir çemberi gösterir. c. D Böle + E bir - 4F < 0 ise, çember denklemi sanal bir çemberi gösterir. çember, koordinat düzleminde çizilemez. Böle bir çember, koordinat düzleminde çizilemez. A + B + C + D + E + F = 0 biçiminde verilen denklemler hem, hem de e göre ikinci dereceden bir denklemdir. Bu denklemin bir çember denklemi olabilmesi için; A= C 0, B = 0 ve D +E - 4F > 0 olmal d r. Verilen + + D + E + F = 0 çember denkleminde; a. F < 0 ise denklem bir çember belirtir. b. D = 0 ise çemberin merkezi ekseni üzerindedir. c. E = 0 ise çemberin merkezi ekseni üzerindedir. d. D = 0 ve E = 0 ise, çemberin merkezi orijindedir. 55

ÖRNEK 8: + - 8 + 6 + 15 = 0 olan çemberin merkezinin koordinatlar n ve ar çap n n uzunlu unu bulal m. ÇÖZÜM 8: Çember denkleminde, D = -8, E = 6 ve F = 15 tir. Buna göre, Çemberin Çemberin merkezi merkezi : a = - D ise, -8 tür. ise, tür. ise, a = - -8 = 4 tür. b = - E ise, b = - 6 = - 3 tür. halde, halde, M 4, - 3 olur. olur. Çemberin Çemberin ar çap n n uzunlu u: ar çap n n uzunlu u: r = 1 D 4F ise, -8-4 15 = 1 64 +36-60 D + E - 4F ise, r = 1-8 + 6-4.15 = 1 64 +36-60 r = 40 10 birim olur. 1 40 = 10 birim olur. ÖRNEK 9 Afla daki denklemlerden hangisinin analitik düzlemde bir çember belirtti ini bulal m. a. + + 3 + + 3-1 = 0 b. 3 + 4-5 = 0 c. + - + 4 + 5 = 0 d. + + 3 + + 9 = 0 e. + + - 6-15 = 0 ÇÖZÜM 9 a. + + 3 + + 3-1 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez. Çünkü bu denklemde li terim vard r. b. 3 + 4-5 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez. Çünkü bu denklemde ve nin katsa lar farkl d r. c. + - + 4 + 5 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez. Çünkü, D + E - 4F = - + 4-4. 5 = 4 +16-0 = 0 oldu undan bu bir noktad r. 16-0 = 0 Bu bir noktad r. Bu noktan n koordinatlar : b= - D = - 4 = - olup M 1, - dir. a = - D = - - = 1 dir. b = - E = - 4 = - dir. M 1, - olur. d. + + 3 + + 9 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtmez. 56 Çünkü, D + E - 4F = 3 + 1-4.9 = 9 + 1-36 = - 6 < 0 d r.

e. + + - 6-15 = 0 denklemi, analitik düzlemde bir çember belirtir. Bu çemberin merkezi, a = - D = - = -1 ve b= - E - -6 = 3 tür. halde, M -1, 3 olur. Yar çap uzunlu u : r = 1 D +E -4F ifadesinden r = 1 + -6-4 -15 r= 1 4 + 36 + 60 = 1 100 = 10 = 5 birim olur. 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN GEÇEN ÇEMBER N DENKLEM Çemberin geçti i üç nokta A( 1, 1 ), B(, ) ve C( 3, 3 ) olsun. Bu üç noktadan geçen bir çember denklemini azabiliriz. Çemberin genel denklemi + + D + E + F = 0 oldu undan ve A( 1, 1 ) noktas çember üzerinde oldu undan, 1 + 1 + D 1 + E 1 + F = 0 (I.) B, noktas çember üzerinde oldu undan + + D + E + F = 0 (II.) C 3, 3 noktas çember üzerinde oldu undan 3 + 3 + D 3 + E 3 + F = 0 (III.) çember denklemi bulunur. I., II. ve III. denklem sisteminden D, E ve F bilinmeenleri bulunarak çember denklemi bulunur. Bu denkleme, köflelerinin koordinatlar A 1, 1, B, ve C 3, 3 olan üçgenin çevrel çemberinin denklemi denir. ÖRNEK 10 A(0, -4), denklemini bulal m. B(0, 4) ve C(4, 0) noktalar ndan geçen çemberin ÇÖZÜM 10 Çemberin genel denklemi + + D + E + F = 0 d r. Çemberin genel denklemi + + D + E + F = 0 dir. A(0, - 4) noktas için, 0 + -4 + D 0 + E -4 + F = 0 0 + 16 + 0-4E + F = 0-4E + F + 16 = 0 d r. (I.) -4E + F 16 = 0 dir. (I.) B (0, 4) noktas için, 0 + 4 + D 0 + E 4 + F = 0 0 + 16 + 0 + 4E + F = 0 4E + F + 16 = 0 d r. II. 57

C(4, 0) noktas için, 4 + 0 + D 4 + E 0 + F = 0 16 + 0 + 4D + 0 + F = 0 4D + F + 16 = 0 d r. III. I. ve II. denklemlerinin çözümünden; I. ve III. denklemlerinin çözümünden; + -4E -4Ee + -4Ee F + F + + 16-4Ee F 16 = + = 0+ 160 F = + 016 = 0 4E 4E + + 4E F F + + 16 F 16 4E = + = + 0160 F = + 016 = 0 F F + + F 3 3 = + = 03 F 0 = + 03 = 0 F F = = - F - 16 16 = olur. - olur. 16 F = olur. - 16 olur. -4E + F + 16 = 0 +4D + F + 16 = 0-4E - 4D = 0 E = -D olur. Bu de erler (I. ) denklemde ugulan rsa -4E - 16 + 16 = 0-4E = 0 oldu undan E = 0 d r ve D = 0 olur. halde, çemberin denklemi + - 16 = 0 olur. 6. B R D RU LE B R ÇEMBER N B RB R NE GÖRE DURUMLARI Düzlemde bir çember ile bir do ru verildi inde üç durum vard r. Analitik düzlemde bir d do rusu ile merkezi M(a, b) ve ar çap uzunlu u r birim olan bir çember alal m. Çember merkezinin d do rusuna dik olarak uzakl l olsun. Bu üç durumu gösterelim. d d d M(a,b) M(a,b) M(a,b) B H H A H l > r Do ru çemberi kesmez l = r Do ru çembere te ettir l < r Do ru çemberi farkl iki noktada keser fiekil 3.9 fiekil 3.10 fiekil 3.11 Analitik düzlemde denklemi = m + n olan do ru ile denklemi + = r olan çemberin kesim noktalar n bulal m. 58 Denklemi = m + n olan do ru ile denklemi + = r olan çemberin kesim noktalar n bulmak için bu denklemlerin + m + nortak - r çözümü = 0 denklemini ap l r. çözersek, + m + n - r = 0 denklemini çözersek, + m + n - r = 0 denklemini çözersek, + m + mn + n - r = 0 m + n - r = 0 denklemini çözersek, + m + mn + n - r = 0 + m + mn + n - r = 0 1 + m +mn + n - r = 0 + m + mn n - 1 + m +mn + n - r = 0 1 + m +mn + n - r = 0 Bu denklemin köklerini bulursak, 1 + m +mn + n - r = 0 Bu denklemin köklerini bulursak, Bu denklemin köklerini bulursak, Bu denklemin köklerini bulursak,

Δ = b - ac = m n - 1 + m Δ = r m + 1 - n olur. n - r denklemini sadelefltirirsek 1, = -mn ± 1 + m r - n 1 + m ve 1, = n + 1+m r - n 1 + m bulunur. A 1, 1 ve B, noktalar do ru ile çemberin kesim noktalar d r. r m + 1 - n = 0 ifadesine, de me flart denir. a. r m + 1 - n < 0 ise, do ru çemberi kesmez. (fiekil 3. 9) b. r m + 1 - n > 0 ise, do ru çemberi keser ve iki kesim noktas vard r. (fiekil 3.11) c. r m + 1 - n = 0 ise, do ru çembere te ettir. (fiekil 3.10) + = r çemberine, = m + n do rusu te et ise bu te etin de me noktas ; H 0, 0 olsun Δ = 0 oldu undan, 0 = -mn d r. 1 + m 0 = n 1 + m dir. Ar ca ; r 1 + m - n = 0 oldu undan, 1+ m = n r Buradan ; 0 = -mn n r = -rm n d r. 0 = n n r halde, de me noktas H - r m n, r n olur. = r n dir. dir. ÖRNEK 11: = + 3 do rusu ile + + 6 - + 5 = 0 çemberi verilior. Do ru ile çemberin kesim noktalar n bulal m. ÇÖZÜM 11: Verilen do ru ile çemberin kesim noktalar n bulmak için, bu denklemlerin ortak çözümü ap l r. + + 3 + 6 - + 3 + 5 = 0 + + +6 + 9 + 6 - - 6 + 5 = 0 Bu denklemi sadelefltirirsek 1 = 1 + 3 ; 1 = -4 + 3 ; 1 = -1 dir. + 10 + 8 = 0 vea + 5 + 4 = 0 olur. Bu denklemi çözersek, Δ = b -4ac = 5-4 1 4 = 5-16 = 9 1, = -5 ± 3 1 1 = -5-3 -8 = - 4 ve = -5 + 3 = - = -5 ± 3 1 1 = -5-3 = -8 = - 4-5 - = -5 ± 3 oldu undan, 1 = -5-3 = -8 = - 4 tür. ve = -5 + 3 = - = - = - 1-1 dir. dir. Bu de erler do ru denkleminde ugulan rsa, = + 3 ; = -1 + 3 ; = dir. halde, do ru ile çemberin kesim noktalar A -4, -1 ve B -1, olur. 59

7. K ÇEMBER N B RB R NE GÖRE DURUMLARI Denklemleri; + + D 1 + E 1 + F 1 = 0 ve + + D + E + F = 0 olan çemberlerin birbirine göre durumlar n incelerken, bu çember denklemlerinin oluflturdu u denklem sisteminin çözümü ap l r. + + D 1 + E 1 + F 1 = 0 + + + D + E + F = 0 D 1 - D + E 1 - E + F 1 - F = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemlerden a da çekilerek çember denklemlerinin birinde erine az l rsa, ikinci dereceden bir denklem medana gelir. Bu denklemi çözerken, önce denklemin diskriminant n n de eri bulunur. Buna göre; a. Δ < 0 ise, çemberler kesiflmezler. rtak noktalar oktur. b. Δ = 0 ise, çemberler birbirine te ettir. c. Δ > 0 ise, çemberler A ve B gibi farkl iki noktada kesiflir. A ve B noktalar verilen iki çemberin kesim noktalar olsun. A ve B noktalar ndan geçen baflka çemberler de vard r. Bütün bu çemberler, bir çember demeti oluflturur. Bu çemberlerin denklemleri k R olmak üzere, + + D 1 + E 1 + F 1 + k + + D + E + F = 0 d r. ÖRNEK 1 + = 4 ve + - - 5 = 0 çemberlerinin kesim noktalar n n koordinatlar n bulal m. ÇÖZÜM 1 Verilen çember denklemlerinin medana getirdi i denklem sisteminin çözümü ap l rsa, + - 4 = 0 + = 4 + - 4 = 0 + + ± - + 4 = - ± - 0 4 5 = = 0 + + + ± ± ± 0-1 + = 4 + 5 = 0 ± + 1 = 0 ± + ± ± 5 ± = 0 5 = 0-1 + = 4 = 4-1 - + 1 = 0 + 1 = 0 + 1 = 4 = - 1 = + 4-1 = = - 1 4 = 15 4 + 1 = 0 = - 1 = 4 = - 1-1 dir. dir. = - 1 - = - dir. = ± 15 dir. - 1 = 4 - = 1 4 = - 1 4 = - 115 44 = 15 4 dir. dir. = ± 15 = ± dir. 15 dir. halde verilen iki çemberin kesim noktalar : A - 1, - 15 halde verilen iki iki çemberin kesim noktalar : A : A - 1-1, - 15 ve B - 1, 15, - 15 ve B - 1, 15 olur. 60 ve B - 1, 15

8. TE ET VE NRMAL N DENKLEMLER Bir do ru ve bir çember verildi inde, do ru ile çemberin bir tek ortak noktalar varsa bu do rua, çemberin te eti ve ortak noktaa da te etin de me noktas denir. Bir te ete de me noktas nda dik olan do rua da çemberin bu noktadaki normali d e n i r. I. Bir ç e m b e re üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemi a. Merkezinin koordinatlar M(a, b) ve çember üzerindeki P ( 1, 1 ) noktas ndan çizilen te et ve normalin denklemini azal m. (fiekil 3.1) Normalin denklemi (fiekil 3.1) deki çembere üzerindeki P( 1, 1 ) noktas ndan çizilen te etin e imi m T ve normalin e imi de m N olsun. α M(a,b) P( 1, 1 ) Normalin e imi: m N = tan α = 1 - b 1 - a d r. Normalin denklemi P( 1, 1 ) noktas ndan geçti inden Normal do rusunun denklemi Te etin denklemi Te et de me noktas nda normale dik oldu undan te etin e imi, Bu denklem çemberin ar çap n n uzunlu u kullan larak, ( 1 - a) ( - a) + ( 1 - b) ( - b) = r fleklinde de az labilir. fiekil 3.1-1 = 1 - b 1 - a - 1 1 - b - - 1 1 - a = 0 d r. - 1 olur. m T = - 1 a m T = - 1-1 b dir. a Te et do rusu P 1, - b dir. Te et do rusu P 1, 1 noktas ndan geçti inden, - 1 = - 1 - a - 1 vea - 1 1 - a + - 1 1 - b = 0 fleklinde az labilir. 1 - b ÖRNEK 13: Merkezinin koordinatlar M (1, ) olan çemberin üzerindeki P(0, 4) noktas ndan çizilen te et ve normalin denklemini azal m. ÇÖZÜM 13: Te etin denklemi; ( - 1 ) ( 1 - a) + (- 1 ) ( 1 - b) = 0 oldu undan ( - 0) (0-1) + ( - 4) (4 - ) = 0; - + - 8 = 0 vea - + 8 = 0 olur. Normalin denklemi; ( - 1 ) ( 1 - b) - ( - 1 ) ( 1 - a) = 0 oldu undan ( - 0) (4 - ) - ( - 4) (0-1) = 0 dan; + - 4 = 0 olur. 61

b. Çember denklemi + + D + E + F = 0 fleklinde ise çember üzerindeki P ( 1, 1 ) noktas ndan çizilen te et ve normalin denklemini azal m. Denklemi + + D + E + F = 0 olan çemberin merkezinin koordinatlar M a, b ise, a= - D ve b= - E dir. Yar çap uzunlu u da r = 1 D +E - 4F dir. a. fl kk ndaki denklemlerde gerekli ifllemler ap ld nda, Te et denklemi : 1 + 1 + D 1 + + E 1 + + F = 0 olur. Normalin denklemi : 1 + D + E - 1 + E + D = 0 olur. ÖRNEK 14: Denklemi + - - 6 + 5 = 0 olan çember ile bu çember üzerinde P(3, 4) noktas verilior. Bu çemberin P(3, 4) noktas ndaki te etin ve normalin denklemini azal m. ÇÖZÜM 14: Denklemi + - - 6 + 5 = 0 olan çember ile çember üzerindeki nokta P(3, 4) oldu undan, Te etin denklemi : 1 + 1 + D 1+ + E 1 + + F = 0 ifadesinden, 3 + 3 4 + + 4 - + - 3 + + -6 4 + +5 =0? 3 + + -6 4 + + 5 = 0 3 3 + 4 4-3 - - 1-3 + 5 = 0 + 4-0 = 0 olur. + - 10 = 0 olur. Normalin denklemi : 1 + D Normalin + E denklemi - Normalin 1 + E : denklemi + = 0 ifadesinden, 1 + D : + E - 1 E +D = 0 ifadesind 1 + D + E - 1 + E Normalin denklemi : +D = 1 + D + E - 1 + E + 3 + - + 3 + -6-4 -6 + - - + -6 = 0 3 + - - 6-6 + - = 0 + -6-6 + -6 + - 3 + - + -6-6 + -6 + = - 0 3-1 - 3-4 - 3-1 = 0 3-1 - 3-4 - 3-1 = 0-3 - - 1 = 3-30 - 1-3 - 4-3 - 1 = 0-1 = 0-6 - - 1 = - 0-3 - - 1 = 0 6 1 = 0 - + 7 = 0 - olur. - 6 -- 6 -- 1 - = 1 0 = 0 + 7 = 0 olur. - + 7 = 0 olur. c. Çember denklemi + = r fleklinde olsun. + = r çemberine üzerindeki P ( 1, 1 ) noktas ndan çizilen te etin denklemi 1 + 1 = r dir. = 0 6 + = r çemberine üzerindeki P ( 1, 1 ) noktas ndan çizilen normalin denklemi : 1-1 = 0 olur.

ÖRNEK 15: Denklemi + = 5 olan çembere üzerindeki P(3,4) noktas ndan çizilen te etin ve normalin denklemini azal m. ÇÖZÜM 15: Denklemi + = r olan çemberin üzerindeki P( 1, 1 ) noktas ndaki te etin denklemi: 1 + 1 = r oldu undan, 3 + 4 = 5 olur. Normalin denklemi : 1-1 = 0 oldu undan 3-4 = 0 olur. II. Bir çembere d fl ndaki bir noktadan çizilen te et denklemleri a. Ç e m b e r d e n k l e m i - a + - b = r ve d fl ndaki nokta P 1, 1 olsun. Te et denklemleri te et denklemini sa lad ndan = m + n fleklindedir. (fiekil 3.13) P 1, 1 noktas 1 = m 1 + n ve n = 1 - m 1 olur. (I.) Çemberin merkezi olan M(a, b) noktas n n te ete olan uzakl r birim ise, r = ma- b + n vea ma- b + n = r 1 + m (II.) fleklinde az l r. 1+m (I.) ile (II.) denklemleri ortak çözülürse, ma- b + 1 - m 1 = 1+m r denklemi bulunur. Bir bilinmeenli bu ikinci derece denklemi çözülürse m 1 ve m d e e r l e r i bulunur. Bu de er (1) de erine konursa n 1 ve n de erleri bulunur. A M(a,b) B P( 1, 1 ) Bölece te et denklemleri; t 1 : = m 1 + n 1 ve t : = m + n fleklinde olur. fiekil 3.13 ÖRNEK 16-3 + - 3 = 4 çemberi ve bu çember d fl nda P -1, 3 noktas verilior. P noktas ndan geçen bu çembere te et olan do rular n denklemlerini azal m. ÇÖZÜM 16: fiekil 3.14 te, P noktas ndan çembere çizilen te et denklemleri = m + n dir. P(-1, 3) oldu undan, 3 = - m + n ise, n = m + 3 (I) Çemberin Merkezi M (3, 3) noktas n n, bu te etlere olan uzakl ar çapa eflit olaca ndan, = 3 m - 3 + n ise, 4 1 + m = 3m - 3 + n dir. 1 + m 63

Bu eflitlikte (I ) deki ba nt erine konursa, 3m - 441 1 + + m = = 3m 3m - - 4m 3 3 + + m + + 33 441 1 + + m 4m = = 4m 4m 44 + + 4m 1m 4m - = = 16m 16m 1m 1m - 3m - 4 4 - = = 00 443m3m - - 11 = = 00 m = = 1 1 33 ise P(-1,3) A M(3,3) m = ± 1 3 = ± 3 3 m 1-3 1 = - 3 ve m = 3 3 33 olur. Buradan ; dür. tür. t 1 B n = m+3 eflitli inden. n 1 = - 3 3 + 3 = - 3 + 9 3 ve n = 3 + 9 3 tür. fiekil 3.14 Te et denklemlerini azarsak t 1 : = - 3 3-3-9 3 ve t : = 3 3 + 3 +9 3 tür. b. Çember denklemi; + +D + E + F = 0 ve d fl ndaki bir nokta P( 1, 1 ) olsun. P ( 1, 1 ) noktas ndan geçen e imi m ve çembere te et olan do runun denklemi - 1 = m ( - 1 ) dir. = m - m 1 + 1 olur. Bu da + + D + E + F = 0 çemberinde ortak çözüm ap larak vea den biri ok edilir. Do ru çembere te et oldu undan denklemin diskriminant s f r olmal d r. Burada elde edilecek m 1 ve m ard m la n 1 ve n bulunur. Bölece çembere te et olan çember d fl ndaki P( 1, 1 ) noktas ndan geçen te etlerinin denklemleri az lm fl olur. ÖRNEK 17: + - 4-4 - 1 = 0 çemberine d fl ndaki P (0, 6) noktas ndan çizilen te etlerinin denklemlerini azal m. ÇÖZÜM 17: P(0, 6) noktas ndan geçen e imi m olan do runun denklemi - 1 = m ( - 1 ) den - 6 = m ( - 0) ise = m + 6 d r. + - 4-4 - 1 = 0 denkleminde erine konulursa 64

+ (m + 6) - 4-4(m + 6) - 1 = 0 + m + 1m + 36-4 - 4m - 4-1 = 0 m +1 + 4m - + 11 = 0 Δ = b - ac ifadesinden Δ = 4m - - 11 1 + m ; Δ = 0 oldu undan, P(0,6) A t 1 16m - 16m + 4-11 - 11 m = 0 d r. sadelefltirirsek, 5m - 16m - 7 = 0 olur. Bu denklemi çözersek, Δ = 64 + 35 = 99 B M(,) m 1,m = 16 + 99 buradan 5 m 1 = 16-3 11 ve m = 16 + 3 11 5 5 olur. fiekil 3.15 P(0, 6) noktas ndan geçen verilen çembere te et olan te etlerinin denklemleri: t 1 : - 6 = 16-3 11 5 t : - 6 = 16 + 3 11 5 ( - 0) ise, = 16-3 11 + 6 olur. 5 ( - 0) ise, = 16 + 3 11 + 6 olur. (fiekil 3.15) 5 c. Çember denklemi + = r v e d fl n d a k i nokta P( 1, 1 ) olsun. P noktas ndan çizilen te etlerinin d e n k l e mlerini örnekle aç klaal m. ÖRNEK 18: + = 9 çemberine d fl ndaki P(0, 5) noktas ndan çizilen te et denklemlerini azal m. (fiekil 3. 16) ÇÖZÜM 18: E imi m olan ve P(0, 5) n o k t a s n d a n geçen do runun denklemi : - 5 = m ( - 0) ; = m + 5 tir. Bu do ru ile + = 9 çemberin kesiflme noktalar n bulal m. P(0,5) A fiekil 3.16 B t + m + 5 = 9 ise, + m + 10 m + 5-9 = 0 olur. m + 1 + 10m + 16 = 0 denklemini çözelim: Δ = 5m - 16 m + 1 Δ = 5m - 16m - 16 9m - 16 = 0 m = 16 9 m 1 = - 4 3 den 65 m 1 = - 4 3 ve m = 4 3 olur.

m 1, = ± 4 3 ten, m 1 = - 4 3 ve m = 4 3 olur. m nin bu de erleri = m + 5 denkleminde az l rsa, P (0, 5) noktas ndan geçen çembere çizilen te etlerinin denklemleri; t 1 : = - 4 3 + 5 ve t : = 4 3 + 5 olur. 9. B R ÇEMBER N B R NKTAYA GÖRE KUVVET Merkezi M(a, b) ar çap uzunlu u r olan bir çember düzleminde, K (1, 1) noktas verilsin. K noktas ndan geçen herhangi bir kirifl çemberi A ve B gibi iki noktada kesiorsa, KA. KB de erine K noktas n n ç e m b e re göre kuvveti d e n i r. Bu kuvvet p = KA. KB fleklinde az l r. (fiekil 3. 17) KM = d dersek, KA = d - r ve KB = d + r dir. p = (d - r) (d + r) = d - r olur. ki nokta aras ndaki uzakl k ba nt s ndan KM = ( 1 - a) + ( 1 - b) = d dir. d de eri p = d - r ba nt s nda erine az l rsa, p = ( 1 - a) + ( 1 - b) - r olur. Bu da bir çemberin bir noktaa göre kuvvetidir. K( 1, 1 ) + + D + E + F = 0 fleklinde ver ilen bir ç e m b e r denkleminde K( 1, 1 ) noktas n n koor dinatlar er ler ine az l r sa C A r d D M(a,b) T fiekil 3.17 r B p = 1 + 1 + D 1 + E 1 + F de erine K noktas n n çembere göre kuvveti denir. 66 B i r çember in bir noktaa göre kuvetinin özelikler i a. Kuvvet pozitif (p > 0 ) ise nokta çemberin d fl bölgesindedir. b. Kuvvet s f r (p = 0 ) ise nokta çemberin üzerindedir. c. Kuvvet negatif (p < 0 ) ise nokta çemberin iç bölgesindedir. d. Kuvvet -r ( p = - r ) ise nokta çemberin merkezindedir. e. K noktas ndan geçen kesenler de iflse de kuvvet de iflmez.

ÖRNEK 19: + + 4 + - 4 = 0 denklemile verilen çemberin K( 1, ) noktas na göre kuvvetini bulal m. K noktas çemberin hangi bölgesindedir? ÇÖZÜM 19: Ve r i l e n çemberin K noktas na göre kuvveti, p = (1) + () + 4(1) + () - 4 = 1 + 4 + 4 + 4-4 = 9 olur. p = 9 > 0 oldu undan K noktas çemberin d fl ndad r. 10. K ÇEMBER N KUVVET E K S E N ki çembere göre eflit kuvvetteki noktalardan oluflan do rua iki çemberin kuvvet ekseni d e n i r. Kuvvet ekseni bir do rudur iki çember denklemi verildi inde, kuvvet eksenini bulmak için çember denklemindeki v e li terimler ok edilir. ki çember in kuvvet eksenine ait özelikler a. Merkezleri, birbirinin d fl bölgelerinde ve kesiflmeen iki çemberin kuvvet ekseni, çemberlerin merkezlerini birlefltiren do rua dik bir do rudur. b. Çemberin kesiflmesi halinde kuvvet ekseni, kesim noktalar n birletiren d o r u d u r. c. Çemberlerin d fltan te et vea içten te et olmalar halinde kuvvet ekseni, çemberlerin de me noktas ndaki ortak te ettir. ÖRNEK 0: + +3-4 - 9 = 0 ve + -+3-5 = 0 olan çemberlerin kuvvet ekseninin denklemini bulal m. ÇÖZÜM 0: Çember denklemlerini alt alta azarak taraf tarafa ç karal m: + +3-4 - 9 = 0 + + ± + 3 ± 5 = 0 5-7 - 4 = 0 denklemi, kuvvet ekseninin denklemidir. 11. ÜÇ ÇEMBER N KUVVET E K S E N Üç çembere göre eflit kuvvette olan noktaa, bu çemberlerin kuvvet merkezi denir. a. Üç çemberin merkezleri do rusal de ilse bu üç çemberin kuvvet merkezi, çemberlerin ikifler ikifler kuvvet eksenlerinin kesim noktas d r. b. Üç çemberin merkezleri do rusal ise bu üç çemberin kuvvet merkezi okt u r. 67

ÖRNEK 1: + = 16, + - 10 + 4 = 0, + - 8 + 8 + 16 = 0 çemberlerinin kuvvet merkezini bulal m. ÇÖZÜM 1 + - 16 = 0 + - 16 = 0 + + ± 10 +4 = 0 10-40 = 0 10 = 40 = 4 tür. + + ± 8 ± 8 + 16 = 0 8-8 -3 = 0 8-8(4) -3 = 0 8 = 3 + 3 8 = 64 = 8 dir. halde, üç çemberin kuvvet merkezi K (8, 4) olur. 1. ÇEMBER N PARAMETR K DENKLEM Bir çemberin noktalar na ait koordinatlar bir parametrenin fonksionu olarak ifade eden denkleme, o çemberin par ametr ik denklemi d e n i r. Bir çemberin t parametresine ba l olan denklemi; = f (t), = g (t) fonksionlar ile ifade edilir. a. Çember in mer kezi or ijinde ise Çemberin denklemi; M (0, 0) oldu undan, + = r d i r. Çember üzerinde hareketli bir nokta P(, ) olsun. 0 t π o l m a k üzere (t: parametre) (fiekil 3.18) PH dik üçgeninde, r t H P(, ) cos t = H P = r sin t = PH P = r ise, = r cos t ise, = r sin t olur. 68 = r cos t = r sin t } fiekil 3.18 sistemine, mer kezil çember in par ametrik denklemi d e n i r. Burada; r pozitif sabit bir reel sa, t de iflken bir reel sa d r. ve nin ba l olduklar t de iflkeni parametredir. Merkezil çember = {(r cost, r sint ) : r R +, t R} olur.

ÖRNEK : Yar çap birim olan merkezil çemberin parametrik denklemini a z a l m. ÇÖZÜM : Merkezil çemberin parametrik denklemi, = r cos t = r sin t } 0 t π fleklinde oldu undan; = cos t = sin t } 0 t π olur. b. Çember in Mer kezi M (a, b) noktas nda ise, Çemberin merkezi M(a, b) ve ar çap uzunlu u r birim oldu undan çemberin denklemi ( - a) + (- b ) = r dir. D r. sint C b M(a,b) r t H t prametre olmak üzere; = A + AB = a + MH = a + r cos t r. cost a A B = C + CD = b + PH = b + r sin t dir. (fiekil 3.19) Çmberin parametrik denklemi = a + r cos t } 0 t π fleklinde az l r. = b + r sin t fiekil 3.19 ÖRNEK 3: Merkezi M (, 3) ve ar çap 4 birim olan çemberin parametrik denklemini azal m. ÇÖZÜM 3: Burada; a =, b = 3 ve r = 4 tür. Çemberin parametrik denklemi, = a + r cos t = b + r sin t } 0 t π denklem sisteminden, = +4 cos t = 3+ 4 sin t } 0 t π olur. 69

13. ÇEMBER N DÜZLEMDE AYIRDI I BÖLGELER Bir çember bulundu u düzlemi üç bölgee a r r. I. Mer kezinin koor dinatlar M (a, b) ve ar çap uzunlu u r olan çember in düzlemde a r d bölgeler a. - a + - b < r ise, bu eflitli i sa laan noktalar kümesi çemberin iç bölgesini, b. - a + - b > r ise, bu eflitli i sa laan noktalar kümesi çemberin d fl bölgesini, c. - a + - b = r ise, bu eflitli i sa laan noktalar kümesi de çember üzerindeki noktalar belirtir. ÖRNEK 4 ( + 1) + ( - 3 ) 4 eflitsizli inin çözüm kümesini analitik düzlemde gösterelim. ÇÖZÜM 4 + 1 + - 3 4 eflitsizli i merkezinin koordinatlar M -1, 3 ve ar çap uzunlu u r = birim olan çember ile iç bölgesini belirtir. (fiekil 3. 0) M(-1,3) fiekil 3.0 II. Denklemi: + +D + E + F = 0 olan bir çemberde, P ( 1, 1 ) noktas verilsin. a. 1 + 1 + D 1 + E 1 + F = 0 ise, P 1, 1 noktas çemberin üzerindedir. b. 1 + 1 + D 1 + E 1 + F < 0 ise, P 1, 1 noktas çemberin iç bölgesindedir. c. 1 + 1 + D 1 + E 1 + F > 0 ise, P 1, 1 noktas çemberin d fl bölgesindedir. ÖRNEK 5: + + 4-6 - 8 = 0 çemberinde P (, 1) noktas verilior. Bu noktan n çemberin hangi bölgesinde oldu unu bulal m. ÇÖZÜM 5: + + 4-6 - 8 = 0 çemberinde, P, 1 noktas 70 + 1 + 4-6 1-8 = 4 +1 + 8-6 - 8 = - 1-1 < 0 oldu undan P, 1 noktas çemberin iç bölgesindedir.

ÖRNEK 1 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER + (a - 1 ) - 4a + 4 - (a + 3) = 0 denklemin bir çember belirtmesi için a kaçt r? Bu çemberin merkezinin koordinatlar n ve ar çap uzunlu unu bulal m. Çemberi analitik düzlemde çizelim. ÇÖZÜM 1 Verilen denklemin bir çember belirtmesi için ve nin katsa lar eflit o l m a l d r. 1 = a - 1 ise a = dir. Çember denklemi, + - 8 + 4-5 = 0 olur. Merkezin koordinatlar : a = - D = - -8 = 4 ; b = - E = - 4 = - olup M 4, - dir. Çemberin ar çap uzunlu u: r = 1 D + E - 4F ; r = 1-8 + 4-4 -5 = 1 64 + 16 + 0 = 1 100 r = 1 10 = 5 birimdir. Çember analitik düzlemde, (fiekil 3.1) de çizilmifltir. 4 - M(4,-) ÖRNEK fiekil 3.1 a. Merkezi bafllang ç noktas nda olan ve A(3, 4) noktas ndan geçen çemberin denklemini, b. Merkezi (-1, 1) noktas nda olan ve A(3, 4) noktas ndan geçen çemberin denklemini azal m. 71

ÇÖZÜM a : Çemberin merkezi (0, 0) ve bir nokta A(3, 4) oldu undan ar çap uzunlu u; AH dik üçgeninde pisagor teoremine göre, (fiekil 3. ) 4 A(3,4) 4 r = A = H + AH 3 H r = 9 + 16 = 5 ise, r = 5 birimdir. halde çemberin denklemi + = 5 olur. fiekil 3. b. Çemberin merkezi M(-1, 1) ve çemberin üzerindeki bir nokta A(3, 4) oldu undan ar çap uzunlu u; r = MA = 3 + 1 + 4-1 = 16 + 9 r = 5 = 5 birimdir. halde, çemberin denklemi + 1 + - 1 = 5 olur. ÖRNEK 3 Merkezinin koordinatlar, + + 5 = 0 ve - 3-3 = 0 do rular n n kesim noktas nda olan ve 3 + 4 + = 0 do rus una te et olan çemberin denklemi bulal m. ÇÖZÜM 3 + + 5 = 0 + + 5 = 0 + ± 3 ± 3 = 0 - + 5 = 0 4 + 8 = 0 + 3 = 0 = - dir. Çemberin merkezi M ( - 3, -) olur. = - 3 tür. M noktas n n 3 + 4 + =0 do rusuna uzakl çemberin ar çap na eflit o l d u u n d a n, r = - 3 3 + - 4 + 9 + 16 = - 9-8 + 5 = -15 5 = 3 birimdir. 7 halde, çemberin denklemi, + 3 + + = 9 olur.

ÖRNEK 4 Merkezi = - 3 do rusu üzerinde bulunan ve koordinat eksenlerine te et olan çemberlerin denklemlerini azal m. ÇÖZÜM 4 Çemberin merkezi = - 3 do rusu üzerinde ve çember koordinat eksenlerine te et oldu undan, çemberin merkezi = vea = - do rular üzerinde de olacakt r. (fiekil 3. 3) = - 3 = = - 3 = 3 ve = 3 tür. v e a = - 3 = - } } Denklem sisteminin çözümünden, M 1 (3, 3) olur. Denklem sisteminin çözümünden, halde; iki tane çember denklemi vard r. M M 1 fiekil 3.3 - = - 3 3 = 3 = 1 ve = -1 dir. M (1, - 1) olur. I. çember ; - 3 + - 3 = 9 olur. II. çember - 1 + + 1 = 1 olur. ÖRNEK 5 Çemberin merkezi = + 3 do rusu üzerinde bulunan, A(3, 1) ve B(, ) noktalar ndan geçen çemberin denklemini azal m. B(,) H ÇÖZÜM 5 M A(3,1) Çemberin merkezi; [AB] k i r i fl i ni n o r t a dikmesi ile, = - + 3 do rusunun kesim noktas d r. (fiekil 3.4) [AB] kirflinin orta noktas, H ( 0, 0 ) olsun 0 = + 3 halde, H 5, 3 = 5 dir. 0 = + 1 olur. = 3 dir. fiekil 3.4 73

AB kiriflinin e imi m AB = - 1-3 = 1-1 = - 1 dir. AB kirifline dik olan do runun e imi de m = 1 olur. Bu do ru H noktas ndan geçti inden denklemi; - 3 = 1-5, = - 5 + 3 den = - 1 olur. - + 3 = - 1 = - 1 den = 4 = - 1 = dir. = 1 dir. halde, çembarin merkezi M (, 1 ) olur. Çemberin ar çap n n uzunlu u, çember merkezinin çember üzerinde bulunan herhangi bir noktaa uzakl na eflit olaca ndan r = MB = - + - 1 = 0 + 1 = 1 birimdir. halde, istenilen çemberin denklemi: - + - 1 = 1 olur. ÖRNEK 6: Denklemi, - 3 + = 0 ve -6 + 9 + 4 = 0 olan do rulara te et olan çemberin ar çap uzunlu unu bulal m. ÇÖZÜM 6: Verilen - 3 + = 0 do rusunun e imi - 6 + 9 + 4 = 0 do rusunun e imi m = 6 9 = 3 dir. m 1 = 3 dir. - 6 + 9 + 8 = 0 m 1 = m oldu undan bu do rular paraleldir. Paralel do rular aras ndaki uzakl k çemberin çap n n uzunlu una eflit olaca ndan, r = c 1 - c a + b = -6-4 36 + 81 = 10 117 Çemberin ar çap ; r = 5 13 39 = 10 13 39 birim olur. birimdir. Ö R N E K 7: D e n k l e m i, 4 + 3 + 3 = 0 olan - 1 + - 1 = 16 olan çemberin içinde kalan kiriflinin uzunlu unu bulal m. ÇÖZÜM 7: Verilen çemberin merkezi, M(1, 1) ve ar çap uzunlu u r = 4 birimdir. Çemberin merkezinin do rua olan uzakl ; A H M(1,1) B 74 MH = 4 1 + 3 1 + 3 16 + 9 = 10 5 = birimdir. fiekil 3.5 4+3+3=0

MH < r oldu undan 4 + 3 + 3 = 0 do rusu çemberi A ve B gibi iki noktada keser. (fiekil 3.5) de MHB dik üçgeninde pisagor teoremine göre; HB = MB - MH dir. HB = 16-4 = 1 ise, HB = 3 birimdir. Bir çemberde merkezden kirifle inilen dikme kirifli ortalaaca ndan AB = HB = 3 = 4 3 birim olur. ÖRNEK 8: Analitik düzlemde; = 4 cost, = 4 sint eflitli ini sa laan P(, ) noktalar n n kümesini belirtelim. ÇÖZÜM 8: = 4 cos t ise, = 16 cos t = 4 sin t ise, = 16 sin t elde edilir. Bu eflitlikler taraf tarafa toplan rsa + = 16 (cos t + sin t ) elde edilir. cos t + sin t = 1 oldu undan + = 16 olur. Bu denklem merkezi orijinde ve ar çap uzunlu u 4 birim olan bir çember belirtir. Ö R N E K 9: Denklemi ( - 3 ) + ( - 1 ) = 6 olan çember ile bu çember üzerinde P(c, ) noktas verilior. a. P(c, ) noktas n n koordinatlar n bulal m. (c < 0 olacak) b. Çemberin P noktas ndaki te etinin denklemini azal m. c. Çemberin P noktas ndaki normalinin denklemini azal m. ÇÖZÜM 9: a. Çember üzerinde verilen P(c, ) noktas n n koordinatlar, çember denklemini sa laaca ndan, c - 3 + - 1 = 6 c - 3 = 6-1 den, c - 3 = 5 ise, c - 3 = + 5 tir. c 1-3 = - 5 ise, c 1 = -5 + 3 = - vea c - 3 = 5 ise, c = 5 + 3 = 8 dir. c < 0 oldu undan c=- ve P (-, ) olur. b. Çemberin P -, noktas ndaki te etinin denklemi: - 1 1 - a + - 1 1 - b = 0 + - - 3 + - - 1 = 0 + -5 + - 1 = 0 denklemi sadelefltirirsek, 5 - + 1 = 0 olur. c. Çemberin P -, noktas ndaki normalin denklemi: - 1 1 - b - - 1 1 - a = 0 + - 1 - - - - 3 = 0 + - 1 - - - - 3 = 0 + 1 - - -5 = 0 + 1 - - -5 = 0 + 1 + 5-10 = 0 + + 5-10 + = 5 0-8 = 0 + 5-8 = 0 olur. 75

ÖRNEK 10 Denklemleri + + 6 + 8 +16 = 0 ve + - + + = r olan çemberler verilior. Bu çemberler birbirine d fltan te et oldu una göre r kaç olmal d r? ÇÖZÜM 10 + + 6 + 8 +16 = 0 çember denkleminde; a = - D ise, a 1 = - 6 = - 3 tür. b= - E ise, b 1 = - 8 = - 4 tür. halde, merkezin koordinatlar ; M 1-3, -4 olur. Çemberin ar çap uzunlu u : r 1 = 1 D + E -4F ; r 1 = 1 36 + 64-64 = 1 36 = 6 = 3 birimdir. + - + + = r çember denkleminde, a = - D ise, a = - - = 1 dir. b= - E ise, b = - = - 1 dir. halde merkezinin koordinatlar M 1, - 1 olur. kinci çemberin ar çap uzunlu u r birim ise, bu çemberler birbirine d fltan te et oldu undan, r 1 + r = M 1 M olmas gerekir. Buna göre, 3 + r = -3-1 + -4 + 1 r = 16 + 9-3 ; r = 5-3 = birim olur. 76

Ö Z E T ANAL T K GEMETR 1 Düzlemde sabit bir noktaa eflit uzakl kta bulunan noktalar n kümesine çember denir. Analitik düzlemde bir çemberin bilinmesi için merkezinin koordinatlar ve ar çap uzunlu unun bilinmesi gerekir. dir. Merkezi M(a, b) ve ar çap uzunlu u r olan çemberin denklemi ( - a) + ( - b) = r + + D + E + F = 0 denklemine çemberin genel denklemi denir. Verilen bu denklemden çemberin merkezinin koordinatlar n ve ar çap uzunlu unu bulabiliriz. a = D ; b = - E oldu undan merkezinin koordinatlar M - D, - E dir. Yar çap n n uzunlu u, r = 1 D + E - 4F birimdir. B i r Do r u ile Bir Çember in Bir bir ine Gör e Dur umlar Analitik düzlemde denklemi = m + n olan do ru ile denklemi + = r olan çember verilsin. a. r (m + 1) - n < 0 ise, do ru çemberi kesmez. b. r (m + 1) - n > 0 ise, do ru çemberi iki noktada keser. c. r (m + 1) - n = 0 ise, do ru çembere te ettir. Te et ve Normal Denklemleri Bir do ru ile bir çemberin bir ortak noktas varsa bu do rua çemberin te eti denir. Çember denklemi ( - a) + (- b) = r ve bu çember üzerindeki P( 1, 1 ) noktas nda çizilen te etin denklemi; ( - 1 ) ( 1 - a) + ( - 1 ) ( 1 - b) = 0 d r. Bir te ete de me noktas nda dik olan do rua nor mali d e n i r. çemberin bu noktadaki ( - a) + (- b) = r olan çembere üzerindeki P( 1, 1 ) noktas nda çizilen normalin denklemi; ( - 1 ) ( 1 - b) - ( - 1 ) ( 1 - a) = 0 77

Bir Noktan n Bir Çembere Göre Kuvveti Bir çember düzleminde K( 1, 1 ) noktas verilsin. K noktas ndan geçen herhangi bir kirifl çemberi A ve B gibi iki noktada kesiorsa KA. KB de erine K noktas n n çembere göre kuvveti denir. K( 1, 1 ) noktas n n denklemi ( - a) + (- b) = r olan çembere göre kuvveti p = ( 1 - a ) + ( 1 - b) - r dir. ki çemberin kuvvet ekseni: ki çembere göre, eflit kuvvetteki noktalar n medana getirdi i do rua iki çemberin kuvvet ekseni denir. Kuvvet ekseni bir do rudur. Üç çemberin kuvvet merkezi: Üç çembere göre eflit kuvvette olan noktaa, bu çemberlerin kuvvet merkezi denir. Üç çemberin kuvvet merkezi çemberlerin ikifler ikifler kuvvet eksenlerinin kesim noktas d r. Çemberin parametrik denklemi: Bir çemberin noktalar na ait koordinatlar bir parametrenin fonksionu olarak ifade eden denkleme, o çemberin parametrik denklemi denir. + = r olan merkezcil çemberin parametrik denklemi = r cos t, = r sin t 0 t π fleklinde az l r. Merkezil çember = {(r cost, r sint ) : r R +, t R } olur. Çemberlerin Düzlemde A rd Bölgeler: Çember bulundu u düzlemi üç bölgee a r r. a. ( - a) + (- b) < r ise, çemberin iç bölgesini, b. ( - a) + (- b) > r ise, çemberin d fl bölgesini, c. ( - a) + (- b) = r ise, çember üzerindeki noktalar belirtir. 78

ANAL T K GEMETR 1 ALIfiTIRMALAR 1. Denklemleri, = - ve = 6 do rular na te et olan çemberin merkezi M(a, a) d r. Bu çemberin denklemini az n z.. + + (k - ) - k + 3k - 3 = 0 denklemi bir çember belirtti ine göre, bu çemberin merkezinin koordinatlar n ve ar çap uzunlu unu bulunuz. 3. Denklemi, + + 4-6 - 1 = 0 olan çemberi ile orijin aras ndaki en büük ve en küçük uzakl bulunuz. 4. Denklemi, + - 6 + 4-1 = 0 olan çember üzerindeki P(6, ) noktas ndan çizilen te et ve normalin denklemlerini az n z. 5. Denklemi, + = 9 olan çembere, d fl ndaki P(-4, 1) noktas ndan çizilen te etlerinin denklemlerini az n z. 6. A(1, ) ve B(0, 1) noktalar ndan geçen ve merkezi = + 5 do rusu üzerinde bulunan çemberin denklemini az n z. 7. P(-, 1) noktas n n + - 5 + 6 + 8 =0 çember denklemlerine göre kuvvetini bulunuz. 8. Denklemleri, + - + 3 + 5 = 0 ve + + 3 + + 1 = 0 olan çemberlerin kuvvet eksenlerinin denklemini bulunuz. 9. + - 3 - = 0 ve + - 4-3 = 0 çember denklemleri verilior. P(1, ) noktas n n kuvvet eksenine olan uzakl kaç birimdir? 10. + = 4 çemberi ile - + = 0 do rusu verilior. Do ru ile çemberin kesim noktalar ndan medana gelen kiriflin uzunlu u kaç birimdir? 11. = 5 cos t ve = 5 sin t eflitli ini sa laan P(, ) noktalar n n kümesini belirtiniz. 1. Denklemleri, + - 4 + 9 + 8 = 0 olan çember ile P(4, k) noktas verilior. P noktas n n çemberin iç bölgesinde olmas için k hangi reel de erleri almal d r? 13. A(0, 0), B (-6, 0) ve C(0, 8) noktalar ndan geçen çemberin denklemini az n z. 79

14. A(0, 0) ve B(4, ) noktas ndan geçen ve merkezi = - +1 do rusu üzerinde olan çemberin denklemini az n z. 15. A(1, 4) ve B(5, 0) noktalar verilior AB do ru parças n çap kabul eden çemberin denklemini az n z. 16. Denklemleri, + + + 5-8 = 0 ve + - 4 + = 0 olan çemberlerin kuvvet eksenini bulunuz. 17. Denklemleri, + = 0, + - - + 1 = 0 ve + - 10 = 0 olan çemberlerin kuvvet merkezini bulunuz. 18. Denklemleri, + = 5, + - -1 = 0 ve + + 4-10 + 5 = 0 olan çemberlerin kuvvet merkezini bulunuz. 19. Yar çap 6 birim olan merkezil çemberin parametrik denklemini az n z. 0. Merkezinin koordinatlar M(-3, ) ve ar çap uzunlu u 5 birim olan çemberin parametrik denklemini az n z. 1. D e n k l e m i, + - 8 + 4-5 = 0 olan çemberin parametrik denklemini az n z.. A(1, ) ve B(-3, -1) noktalar na uzakl klar n n kareleri toplam 5 olan noktalar n geometrik erini bulunuz. 3. Denklemi, + + + 6 + 1 = 0 olan çember ile dik kesiflen ve merkezinin koordinatlar M(-4, 3) olan çemberin ar çap uzunlu u kaç birimdir? 4. Denklemi, + - 4 + + 4 = 0 olan çember ile merkezinin koordinatlar M(-4, 7) ve ar çap uzunlu u m birim olan çember verilior. a. Çemberler aras ndaki en k sa uzakl k 3 birim olmas için m kaç olmal d r? b. Bu çemberler birbirine d fltan te et ise m kaçt r? 5. D e n k l e m i, + - 4 + 8 + 5 = 0 olan çemberin eksenini kesti i noktalar A ve B ise, AB kaç birimdir? 80

. DE ERLEND RME TEST III ANAL T K GEMETR 1 1. Denklemi + + 6-8 + 4 = 0 olan çemberin merkezinin koordinatlar afla dakilerden hangisidir? A) (-6, 8) B) (-3, 4) C) (8, -6) D) (4, -3). Merkezi M(-3, ) olan ve eksenine te et olan çemberin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) + + 6-4 + 4 = 0 B) + - 6 + 4 + 9 = 0 C) + - + 6 + 9 = 0 D) + + 3 - + 4 = 0 3. Koordinat eksenlerine A(4, 0) ve B(0, 4) noktalar nda te et olan çemberin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) + = 16 B) + + 4 + 4 = 0 C) + - 8-8 + 16 = 0 D) + + 8 + 8 + 3 = 0 4. Merkezi (, 4) olan ve 3 + 4 + 8 = 0 do ru denklemine te et olan çemberin denklemi, afla dakilerden hangisidir? A) + + + 4 + 8 = 0 B) + + 4 + 8-6 = 0 C) + + 8 + - 1 = 0 D) + - 4-8 - 16 = 0 5. Merkezi (3,) olan ve P (1,4) noktas ndan geçen çemberin denklemi, afla dakilerden hangisidir? A) + - 6-4 + 5 = 0 B) + - 6 + 4 + 8 = 0 C) + - 3 - + 6 = 0 D) + + 6 + 4 + 1 = 0 6. Merkezi = do rusu üzerinde bulunan ve = - 1 ve = 5 do rular na te et olan çemberin denklemi, afla dakilerden hangisidir? A) (- 4) + (- ) = 6 B) (+ 1) + (- 5) = 36 C) (- ) + (- 4) = 9 D) ( + 4) + (+ ) = 18 81

7. 3 + 3 + (m - 6) - m - m + m - 3 = 0 denklemi bir çember belirtti ine göre, bu çemberin ar çap uzunlu u kaç birimdir? A) 1 B) C) 3 D) 4 8. Denklemi (- ) + ( + 1) = 5 olan çember; denklemi = 3 olan do ruu A ve B noktalar nda kesti ine göre, AB uzunlu u kaç birimdir? A) 1 B) C) 3 D) 4 9. Denklemi + = 13 olan çembere, üzerindeki P(3, ) noktas ndan çizilen te etin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) + 3-13 = 0 B) 3 + - 13 = 0 C) - 3 = 0 D) 3 - = 0 1 0. Denklemi + = 5 olan çembere, üzerindeki P(1, ) noktas ndan çizilen normalin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) + - 5 = 0 B) = C) + - 5 = 0 D) = 11. Denklemi + = 9 olan çember, denklemi = + n olan do rusuna te et ise, n nin pozitif de eri afla dakilerden hangisidir? A) 3 B) C) 3 D) 5 3 5 1. Denklemi + = 0 olan çemberin d fl ndaki P(, 6) noktas ndan çembere çizilen te etlerden birinin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) + - 10 = 0 B) + 3-0 = 0 C) - + 15 = 0 D) + 3 +5 = 0 13. Denklemi ( + ) + ( - 3) = 9 olan çember verilior. Bu çember üzerindeki P(3, 1) noktas ndan çizilen te etin denklemi, afla dakilerden hangisidir? 8 A) - 3-9 = 0 B) 5 - - 13 = 0 C) 3 + + 0 = 0 D) + 5 +1 = 0

14. Denklemleri + = 9 ve ( - 1) + ( + ) = 16 olan çemberlerinin kuvvet ekseni afla dakilerden hangisidir? A) - + 1 = 0 B) + 3-5 = 0 C) - 3 +1 = 0 D) + + = 0 15. Denklemleri + = - 6 + 1 = 0 ve + + 4 - - 11 = 0 çemberler verilior. Bu çemberler için afla daki durumlardan hangisi do rudur? A) D fltan te ettirler. B) çten te ettirler. C) Birbirlerinin d fl ndad rlar. D) Birbirini iki noktada keserler. 16. Denklemi + - 4 + 4 + m - 5 = 0 olan çember, = +1 do rusuna te et ise, m kaçt r? A) 1 B) 1 C) 3 D) 17. Denklemi + + 8-4 + 5 = 0 olan çemberin eksenini kesti i noktalar aras ndaki kiriflin uzunlu u kaç birimdir? A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 18. Denklemi + =5 olan çemberin, 6 birim uzunlu undaki kirifllerinin orta noktalar n n kümesi, afla daki denklemlerin hangisi ile ifade edilebilir? A) + = 9 B) + = 1 C) + = 16 D) + = 36 19. Çemberin d fl ndaki A(1, 4) noktas ndan, denklemi + + + 6-7= 0 olan çembere çizilen te et parças n n uzunlu u kaç birimdir? A) B) 4 C) 6 D) 8 0. Denklemi 3 + 4-11 = 0 olan do runun, denklemi ( + 1) + ( - 1) = 16 olan çemberi kesen kiriflin uzunlu u kaç birimdir? A) B) 3 C) 4 D) 4 3 83

1. Ç = {(, ) = 3 + 4 cos t, = -1 + 4 sin t, t R} kümesi afla daki çember denklemlerden hangisini gösterir? A) ( + 3) + ( - 1) = 4 B) ( - 1) + ( + 3) = 1 C) ( - 3) + ( + 1) = 16 D) ( - 4) + ( - 4) = 0. Denklemi + = 9 ve + - 4 + - 5 = 0 olan çemberlere göre kuvvetleri an olan nokta P(a, 4) ise, a kaçt r? A) 1 B) C) 3 D) 4 3. P(5, 6) noktas n n denklemi + =r olan çembere göre kuvveti 1 ise bu çemberin ar çap n n uzunlu u kaç birimdir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 4. P(a, a) noktas n n denklemi + - + 4-5 = 0 olan çemberin, iç bölgesinde olmas için a hangi aral kta bulunmal d r? A) - 1 < a < 1 B) 1 < a < C) a < -1 D) a > 1 5. Merkezi = - 3 do rusu üzerinde bulunan ve eksenlere te et olan çemberin denklemi afla dakilerden hangisidir? A) + - 6-6 + 9 = 0 B) + = 9 C) + - 3-3 - 9 = 0 D) + + 6 + 6 + 9 = 0 84