İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek
Verler değşkelk durumuu ve dağılışı şekl belrlemek ç kullaıla ölçülere dağılış ölçüler der. A sııfıda rastgele seçle 5 erkek öğrec ağırlık ortalamasıı 50 kg ve B sııfıda rastgele seçle 30 erkek öğrec ağırlık ortalamasıı da tesadüfe de olsa 50 kg olduğuu varsayalım. A sııfıdak varyasyo mu, yoksa B sııfıdak varyasyo mu daha fazladır? şeklde soruya ortalama (yer ölçüler) cevap veremez. Bu soruu cevabıı dağılış ölçüler le alablrz. Dağılış ölçüler, br ver grubudak varyasyou belrlemede veya k ver set gösterdkler varyasyo bakımıda karşılaştırmada kullaılable statstklerdr.
Değşm Geşlğ (Rage) Değşm geşlğ, br ver setde e yüksek değerle e küçük değer arasıdak farka der. D. G. maks m Örek: = {, 5, 1, 6, 7, 13, 9, 4} se değşm geşlğ hesaplayıız. D.G =13-1 = 1 olarak elde edlr.
Değşm geşlğ, e bast ve e klask br dağılış ölçüsüdür. Bua karşılık değşm geşlğ bazı dezavatajlı yöler de vardır. Bular: a) Değşm geşlğ hesaplaırke tüm verler göz öüde tutulmamaktadır. Bu da ver kaybıa ede olur. b) İk grup varyasyo bakımıda karşılaştırılmak stese tesadüfe de olsa ayı değşm geşlğe sahp olablrler. Bu da grupları varyasyo bakımıda karşılaştırılmasıda yaıltıcı olablr. DG Varyas 5 7 8 10 11 14 16 1 1-5=16 8 5 1 13 14 14 16 17 1 1-5=16 1 5 13 13 13 13 13 13 1 1-5=16 18
c) Grupları varyasyo bakımıda karşılaştırılmasıda eğer gruplarda eşt sayıda gözlem değer yoksa hesaplaa değşm geşlkler bz yaıltablr.
Ortalama Mutlak apma sayıdak gözlem değer ortalama mutlak sapması, bu gözlem değerler her br ortalama sapmalarıı mutlak değer ortalaması alıarak hesaplaır. Eştlkte; O.M. : Ortalama mutlak sapmayı, : : O. M. 1 değşkee at. gözlem değer, : değşkee at artmetk ortalamayı, Toplam gözlem sayısıı göstermektedr.
Örek: = {3, 6,, 4, 1, 8} değerlere at ortalama mutlak sapmayı hesaplayıız 1 3... 8 6 3 4... 8 4 1 O. M. 6 6 Ortalama mutlak sapmaı brm, gözlem değerler brmdr. Ya gözlem değerler brm kg se ortalama mutlak sapmaı brm de kg dır, cm se bu statstğ brm de cm dr. 4
Dezavatajı Ortalama mutlak sapmada elde edle değşkelk, kayaklarıa göre aalz edlemez. Ya ortalama mutlak sapma statstk testlere uygu br ölçü değldr.
Varyas ve tadart apma Gözlemler ortalamada sapmalarıı kareler ortalamasıa varyas der. Varyası brm yoktur. Öreğ gözlemler brm kg se varyası brm olarak kg dedğmzde br alam fade etmez. Populasyo varyası, örek varyası se le gösterlr. Bua göre; s N 1 ( ) N 1 ( 1 )
Uygulamada çok fazla gözlem değer olduğuda mevcut formülü kullamak zor olduğu ç bu formül aşağıdak şeklde kısaltılarak kullaılablr. 1 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1
O halde örek varyası kısaca aşağıdak gb yazılablr. Örek: 1 1 4, 5, 6,,14 se örek varyasıı hesaplayıız. 4 16 5 5 6 36 4 1 77 5 1 (31) 5 1. 14 196 31 77
tadart sapma, varyası kareköküdür. Varyası brm olmadığı veya gözlemler brm kares olarak fade edldğ ç buu yere daha çok stadart sapma hesaplaır. tadart sapmaı brm vardır. Gözlem değerler brm eyse stadart sapmaı brm de odur. tadart sapma, populasyo ç s le örek ç le gösterlr.
µ±1σ aralığı verler %68 µ±σ aralığı verler %95 µ±3σ aralığı verler %99 uu %68 %95 %99
4, 5, Örek : sapmayı hesaplayıız. 6,, 14 değerlere at stadart Bu öreğe at varyas ( ) daha öcede 1. olarak hesaplamıştı. Bua göre stadart sapma, 1. 4.604 olur. Varyası Özellkler 1) Tek br gözlem değere at varyas hesaplaamaz. ) Eğer gözlem değerler heps brbr ayı se aralarıda br varyasyo (farklılık) olmadığı ç varyas sıfır olur.
3) Gözlem değerler hepse a gb sabt br sayı eklerse varyası değer değşmez, esks le ayı kalır. Y a se y x olur.
se bu değerler tamamıa 3 gb sabt br sayı ekledğzde elde edle Y değşkee at varyas e olur? Daha öcede, değşkee at varyas 1. olarak hesaplamıştı. O halde, Y değşke varyası da 1. olur. Örek: 4, 5, 6,, 14 Y Y 4 16 7 49 5 5 8 64 6 36 9 81 4 5 5 14 196 17 89 31 77 46 508 Y 1 (31) 77 1. 5 1 5 1 46 508 1. 5 1 5
4) Gözlem değerler hepsde a gb sabt br sayı çıkartılırsa, ye elde edle değşke varyası değşmez, esks le ayı kalır. Y a se, y x Örek: 4, 5, 6,, 14 se bu değerlerde gb sabt br sayı çıkartıldığıda elde edle Y değşkee at varyas e olur? y x 1. y
5) Gözlem değerler heps a gb sabt br sayı le çarpılırsa, ye elde edle değşke varyası esksde a değer le çarpımı kadar değşr. Y a a y x 4, se 5, 6,, 14 Örek: se bu değerler tamamı gb br değerle çarpıldığıda elde edle Y değşke varyası e olur? a y x y 4x1. 84.8
6) Gözlem değerler heps a gb sabt br sayıya bölüdüğü zama, elde edle değşke varyası esksde 1/a kadar değşr. 4, 5, 6, Y, 14 1 a 1 y x a se olur. Örek: se bu değerler tamamı gb sabt br sayıya bölüdüğüde elde edle Y değşke varyası e olur? Y 1 a d 1 y 1. 5.3 4
tadart Hata DAĞILIŞ ÖLÇÜLERİ İstatstkte hesaplaa her statstk değer mutlaka hatası da hesaplamalıdır. Çükü hesaplaa statstkler, tahm br değer olduğu ç mutlaka hataları da vardır. tadart hatalar, gerek güve aralıklarıı oluşturulmasıda gerekse hpotez testler yapılmasıda kullaılacaktır. tadart hata, populasyo ve örek ç sırası le aşağıdak formüllerde hesaplaır. x / N / / x
Örek: DAĞILIŞ ÖLÇÜLERİ 3, 5, 6, 4, değerler stadart hatasıı hesaplayıız. 1 1 1 90 5 1 0 5.5 x 0.707
Varyasyo Katsayısı DAĞILIŞ ÖLÇÜLERİ Şu aa kadar alatıla dağılış ölçüler farklı populasyolara at varyasyou karşılaştırmada yetersz kalmaktadır. Öreğ sığırlarda ve koyularda calı ağırlık bakımıda varyasyo karşılaştırılmak stese, ayrıca dağılış ölçüsü olarak da stadart sapma kullaılsa, sığırları stadart sapması koyularıkde her zama büyük çıkacaktır. Çükü sığırlarda elde edle calı ağırlık değerler dama cebrsel olarak koyularıkde büyüktür. Bu yüzde bu tp karşılaştırmalarda varyasyo katsayısı kullaılmalıdır.
Varyasyo katsayısı aşağıdak durumlar ç kullaılır. 1) Farklı populasyolarda ayı özellkler varyasyo bakımıda karşılaştırılacağı zama kullaılır. ) Ayı populasyoda farklı özellkler varyasyo bakımıda karşılaştırılacağı zama kullaılır. Öreğ, ayı sııfta statstk ve kmya otları varyasyo bakımıda karşılaştırılmak stedğde bu statstk kullaılır. 3) Varyasyo katsayısı, br araştırmaı güvelrlğ kotrol etmek stedğde kullaılır. Geellkle varyasyo katsayısı %30 u üzerde ola araştırma etcelere güvelmez.
Varyasyo katsayısı % olarak fade edlp, aşağıdak formülde hesaplaır. Eştlkte; V.K(%) V. K(%).100 : % Varyasyo katsayısıı, : tadart sapmayı, : Ortalamayı göstermektedr.
Örek: 1, 4, 6,,13, 5 varyasyo katsayısıı hesaplayıız. değerlere at 1 1 1 394 6 1 0 4. 47 4 6 0 1 x 1... 5 7 6 4.47 V. K (%).100.100 7 63.89
Örek: A sııfıda rastgele seçle 7 öğrec matematk otları 3, 7, 9, 5, 5, 8, ve B sııfıda rastgele seçle 10 öğrec matematk otları 9, 7, 1, 6,, 5, 8, 8, 3, 4, olarak tespt edlmştr. Bua göre matematk otları bakımıda A sııfıdak varyasyo mu B sııfıdak varyasyo mu daha fazladır? Nç? A 1 57 7 1 39 7 6.619 A 6.619.573 A 1 3... 7 5.571
.573 V. K(%).100.100 5.571 46.19 B 7.567.751 B 1 9... 10 4 5.3.751 V. K(%).100.100 5.3 51.91 B sııfıdak varyasyo A sııfıa göre daha fazladır. Çükü bu sııftak varyasyo katsayısı dğerde daha büyüktür.