ÜN TE I ÜÇGENLER 1. ÇOKGEN KAVRAMI VE ÜÇGEN * Üçgen ve Elemanlar * Üçgen Çeflitleri * Üçgende Yard mc Elemanlar * Üçgende Kenarlar ve Aç lar Aras ndaki liflkiler KONUNUN ÖZET. Efi ÜÇGENLER * Efllik Kavram * Üçgenlerin Eflli i KONUNUN ÖZET ARAfiTIRMALAR DE ERLEND RME SORULARI
GEOMETR BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI Bu bölümü çal flt n zda ; * Çokgeni ve çokgen çeflitlerini tan mlayabilecek, * Üçgeni ve temel elemanlar n tan yacak, aç lar na ve kenarlar na göre üçgen çeflitlerini söyleyebilecek, * Bir üçgende yard mc elemanlar ve özeliklerini ö renecek, * Üçgende kenarlar ile aç lar aras ndaki iliflkileri ö renecek ve bunlarla ilgili uygulamalar yapabilecek, * Üçgenlerin eflli ini tan mlayabilecek ve ilgili uygulamalar yapabilecek, * Üçgenlerin eflli i ile ilgili aksiyom ve teoremleri ö renecek, uygulamalar n yapabileceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Ders notlar aras ndaki örnekleri inceledikten sonra, çözümlerine bakmadan, bir de siz çözmeye çal fl n z. Tak ld n z yerde dönüp çözüme bak n z. * Konu içerisinde veya konu sonunda verilen araflt rma ve de erlendirme sorular n yan tlay n z. Tak ld n z yerlerde ilgili konuyu tekrar gözden geçiriniz. * Konularla ilgili, ortaö retim müfredat program na uygun olarak haz rlanm fl olan kitaplardaki al flt rma sorular n çözmeye çal fl n z.
1. ÇOKGEN KAVRAMI VE ÜÇGEN Afla daki flekiller aras nda, daha önceden ilkö retim s ralar nda gördü ünüz flekillerden baz lar yer almaktad r. fiimdi bu flekilleri inceleyelim: Yukar daki flekillerden 1,, 3, 4, 5, 6 ve 7 nolu flekillere çokgen ad verilir. Bunlardan 1,, 3, 4, 5 ve 6 nolu flekillere d fl bükey çokgen, 7 nolu flekle ise iç bükey çokgen denir. Çokgenleri oluflturan do ru parçalar na çokgenin kenarlar, ard fl k iki do ru parças yla oluflan aç ya çokgenin bir iç aç s denir. Çokgenler kenar say lar yla adland r l rlar. Örne in, üç kenar olan çokgene üçgen (1 nolu flekil), dört kenar olan çokgene dörtgen (, 3 ve 6 nolu flekiller), befl kenar olan çokgene beflgen (5 nolu flekil) denir. Genel olarak n kenara sahip olan çokgene n-gen denir. Bu bölümde 3 kenarl çokgeni, yani üçgeni inceleyece iz. 3
Üçgen ve Elemanlar Yandaki gibi, ayn do ru üzerinde olmayan farkl üç nokta iflaretleyelim. Bu noktalar A, B ve C harfleriyle adland ral m. Bu noktalar ikifler ikifler cetvelle birlefltirdi imizde elde edilen do ru parçalar bir kapal flekil oluflturur. Bu kapal flekle üçgen ad n veririz. Yukar da [AB], [BC] ve [AC] do ru parçalar n n oluflturdu u üçgeni bir nokta kümesi olarak, ABC, BAC, ACB biçimlerinde üç noktas yla adland r r z. ABC gösterimini ABC üçgeni diye okuruz. A, B, C noktalar na ABC üçgeninin köfleleri; [AB], [AC], [BC] do ru parçalar na ABC üçgeninin kenarlar ad verilir. ABC üçgeninde; kenarlar n ikifler ikifler belirttikleri ABC, BAC, ACB aç lar na üçgenin iç aç lar veya k saca üçgenin aç lar deriz. Bu aç lar s ra ile köfle harfleriyle B,A,C biçiminde de gösterilir. Üçgen Çeflitleri Kenar özellikleriyle adland r lan afla daki üçgenleri inceleyiniz. fiekillerde ayn iflaretlerle belirtilen kenarlar n uzunluklar eflittir. 4
Kenar uzunluklar farkl olan üçgene çeflitkenar üçgen, iki kenar n n uzunlu u eflit olan üçgene ikizkenar üçgen, üç kenar n n uzunlu u eflit olan üçgene eflkenar üçgen deriz. ç aç lar n n ölçüleri 90 den küçük olan üçgene dar aç l üçgen deriz. Bir iç aç s n n ölçüsü 90 olan üçgene dik aç l üçgen deriz. Bir aç s n n ölçüsü 90 den büyük olan üçgene genifl aç l üçgen deriz. fiimdi üçgenin yard mc elemanlar n tan yal m: Üçgende Yard mc elemanlar Bir üçgenin, kenar ve aç lar na temel elemanlar ; kenarortay, aç ortay ve yüksekliklerine ise yard mc elemanlar denir. Kenarortay Yandaki üçgende, kenarlar n orta noktalar n karfl lar ndaki köflelere birlefltiren do ru parçalar çizilmifltir. KB = KC, LA = LC ve MA = MB dir. Üçgenin bir köflesini karfl s ndaki kenar n orta noktas na birlefltiren do ru parças na, üçgenin o kenar na ait kenarortay denir. 5
ABC üçgeninin a, b, c kenarlar na ait kenarortaylar n uzunluklar s ra ile V a, V b, V c sembolleriyle belirtilir. fiekle göre; AK = V a, BL = V b ve CM = V c dir. Bir üçgende kenarortaylar bir noktada kesiflir. Kenarortaylar n kesiflim noktas na üçgenin a rl k merkezi denir. Aç ortay Yandaki üçgende, üçgenin iç aç lar n n aç ortaylar çizilmifltir. ABE CBE, BAD EAD ve ACF BCF dir. Üçgenin bir aç s n iki efl aç ya bölen fl n n, kenar kesti i nokta ile aç n n köflesi aras nda kalan parças na üçgenin o aç s na ait aç ortay denir. ABC üçgeninin A,B,C aç lar na ait aç ortaylar n uzunluklar s ra ile n A, n B, n C sembolleriyle belirtilir. fiekle göre; AD = n A, BE = n B, CF = n C Bir üçgende aç ortaylar bir noktada kesiflir. dir. 6
Yükseklik Yandaki üçgende köflelerden karfl kenarlara dikmeler çizilmifltir. AP BC, CT AB ve BS AC dir. Üçgenin bir köflesinden karfl s ndaki kenara çizilen dik do runun, kenar ile köfle aras nda kalan parças na, üçgenin o kenar na ait yüksekli i denir. ABC üçgeninin, a, b, c kenarlar na ait yükseklikleri s ra ile h a, h b, h c sembolleriyle gösterilir. fiekle göre; AP = h a, BS = h b ve CT = h c dir. Bir üçgende yükseklikler bir noktada kesiflir. Genifl aç l bir üçgende, genifl aç n n kenarlar na ait yükseklikler, köfle noktalar n bu kenarlar n uzant s na olan uzakl d r. Yandaki flekil üzerinde bu yükseklikler çizilmifltir. nceleyiniz. 7
Üçgende Kenarlar ve Aç lar Aras ndaki liflkiler Üçgenin iç aç lar n n ölçüleri toplam ile ilgili afla daki teoremi ve ispat n inceleyeleyim: Teorem 3.1 : Bir üçgende iç aç lar n ölçüleri toplam 180 dir. Hipotez : m(a) = m, m( B) = n ve m(c) = p; ABC nde iç aç lar n ölçüleridir. Hüküm : m + n + p = 180 dir. spat : A noktas ndan geçen BC kenar na paralel olan KT do rusunu çizelim. m(kab) = n (KAB ile B, iç ters aç lar) m(bac) = m (A aç s n n ölçüsü) m(cat) = p (CAT ile C, iç ters aç lar) m(kab) + m(bac) + m(cat) = m + n + p (do ru üzerindeki aç lar) m(kat) = m + n + p 180 = m + n + p olur. Bir üçgende, bir kenar uzant s n n di er kenar ile oluflturdu u aç ya üçgenin bir d fl aç s denir. Yandaki flekilde PAC aç s, ABC üçgeninin A köflesindeki d fl aç s d r. Bu aç y sembolle ifade ederiz. A biçiminde de 8
fiekle göre B ve C iç aç lar na, ABC üçgeninin PAC d fl aç s na komflu olmayan iç aç lar denir. Teorem 3. : Üçgende bir d fl aç n n ölçüsü kendisine komflu olamayan iki iç aç n n ölçüleri toplam na eflittir. Aç klama : ACD aç s, ABC üçgeninin C köflesindeki bir d fl aç olmak üzere; m(acd) = m (A) + m (B) dir. SONUÇ : Bir üçgenin herhangi bir d fl aç s n n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iç aç lar n ölçülerinden büyüktür. Aç klama : "Teorem 1." nin flekline göre; m(acd) > m (A) ve m(acd) > m (B) olur. ÖRNEK 1: Yandaki flekilde t 1 // t dir. m(pab) = 50 ve m(pcd) = 40 oldu una göre m(bpd) kaç derecedir? ÇÖZÜM m(pdc) = m(pab) = 50 (iç ters aç lar) m(bpd) = m(pcd) + m(pdc) (Teorem 3.) = 40 + 50 = 90 olur. 9
ÖRNEK : fiekilde MN = MP ve NP = NR dir. m(pnr) = 36 olduğuna göre m(m) kaç derecedir? ÇÖZÜM : NPR ikizkenar üçgeninde; m(nrp) + m(npr) + 36 = 180 m(p) + 36 = 180 m(p) = 144 m(p) = 7 olur. MNP ikizkenar üçgeninde; m(mnp) + m(mpn) + m(m) = 180 m(p) + m(m) = 180. 7 + m(m) = 180 m(m) = 180-144 m(m) = 36 dir. Teorem 3.3 : Bir üçgende iki aç n n ölçüleri farkl ise, büyük olan aç karfl s ndaki kenar daha büyüktür. Aç klama : fiekle göre; m(c) > m(a) ise AB > BC dir. 10
SONUÇ 1 : Bir do ruya d fl ndaki bir noktadan inilen dikme, bu noktay do ru üzerindeki noktalara birlefltiren do ru parçalar n n en k sa olan d r. Aç klama : fiekle göre; [PH] d ise, PH < PA ve PH < PB dir. SONUÇ : Kenar uzunluklar farkl olan bir üçgende, en büyük kenar karfl s nda en büyük aç bulunur. Aç klama : fiekle göre; a > c > b ise, m(a) > m (C) > m (B) dir. ÖRNEK 1 : Yandaki flekilde PK = PS dir. Verilen ölçülere göre PRS üçgeninin en büyük aç s hangisidir? ÇÖZÜM PS = PK = 6 cm, RS =RK + KS = cm + 7 cm = 9 cm, PR = 7 cm dir. 9 > 7 > 6 s ralamas na göre, RS > PR > PS ve buradan, m(rps) > m(s) > m(r) yaz l r. Bu s ralamaya göre, PRS üçgeninin en büyük aç s RPS d r. 11
ÖRNEK : Yandaki flekilde KA = KB dir. Verilen aç ölçülerine göre ABC üçgeninin en küçük kenar hangisidir? ÇÖZÜM m(kac) = 10-75 = 45 (Teorem 1.) m(b) + m(bak) + 10 = 180 (Teorem 1.1) m(b) = m(bak) (KAB ikizkenar üçgeninde taban açıları) m(b) = 180-10 m(b) = m(bak) = 30 olur. m(bac) = m(bak) + m(kac) (Aç toplama aksiyomu) m(bac) = 30 + 45 = 75 dir. ABC üçgeninin iç aç lar n n ölçüleri, m(a) = m(bac) = 75 m(b) = 30 m(c) = 75 olup, ölçüsü en küçük olan aç karfl s ndaki kenar en küçüktür. Yani B aç s n n karfl s ndaki AC kenar, ABC üçgeninin en küçük kenar d r. Teorem 1.4 (Üçgen Eflitsizli i) : Bir üçgenin herhangi iki kenar n n uzunluklar toplam, üçüncü kenar n uzunlu undan büyüktür. Aç klama : fiekle göre; a + b > c a + c > b ve b + c > a d r. 1
SONUÇ : Bir üçgende iki kenar n uzunluklar fark n n mutlak de eri, üçüncü kenar n uzunlu undan küçüktür. Aç klama : Teorem 1.4 deki a + b > c eflitsizli inin her iki taraf n, eflitsizlikte toplama özeli ine göre -b ile toplarsak, a + b + (-b) > c + (-b) ve buradan a > c-b bulunur. Genel olarak; bir üçgenin kenar uzunluklar a, b ve c ise, Teorem 3.4 ve sonuç ifadesine göre, a + b > c > a-b yaz l r. Bu eflitsizli e üçgen eflitsizli i ad verilir. ÖRNEK Yandaki ABC üçgeninde; AC = 6 birim, BC = 7 birim oldu una göre [AB] kenar n n uzunlu u hangi tam say lar olabilir? ÇÖZÜM : Üçgen eflitsizli ine göre; AC + BC > AB > AC - BC 6 + 7 > AB > 6-7 13 > AB > -1 13 > AB > 1 dir. AB, 1 ile 13 aras ndaki tam say lar olabilir. Bu tam say lar n kümesi {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1} dir. 13
Teorem 1.5 : Bir üçgende iki aç n n iç aç ortaylar n n oluflturdu u aç n n ölçüsü, üçüncü aç n n ölçüsünün yar s ndan 90 fazlad r. Hipotez : [BK ve [CK sıra ile B ve C açılarının açıortayıdır. Hüküm : m (BKC) = m(a) + 90 dir. İspat : KBC üçgeninde; m(bkc) + m(b) + m(c) = 180 m(bkc) = 90 + 90 - m(b) + m(c) = 90 + m(a) + m(b) + m(c) - m 90 = 90 + m(a) bulunur. Teorem 1.6 : Bir üçgende iki aç n n d fl aç ortaylar n n oluflturdu u aç n n ölçüsü, 90 den üçüncü aç n n ölçüsünün yar s kadar eksiktir. Aç klama : ABC üçgeninde; B aç s n n aç ortay [BP, C aç s n n aç ortay [CP d r. Bu fl nlar n oluflturdu u BPC aç s n n ölçüsü, m(bpc) = 90 - m(a) dir. 14
ÖRNEK 1 : fiekildeki ABC nde m(a) = 73 ve m(b) = 65 dir. [AP, [BP, s ras yla A ve B köflelerindeki d fl aç ortayl oldu una göre m(apb) kaç derecedir? ÇÖZÜM ABC üçgeninde; m(a) + m(b) + m(c) = 180 dir. 73 + 65 + m(c) = 180 m(c) = 180-138 "Teorem 3.6" ya göre; m(c) = 4 dir. m(apb) = 90 - m(c) = 90-4 = 69 bulunur. ÖRNEK : fiekilde B ile C aç lar n n aç ortaylar P noktas nda kesiflmifllerdir. m(kpb) = 48 oldu una göre m(a) kaç derecedir? ÇÖZÜM m(bpk) + m(bpc) = 180 (komflu bütünler aç lar) 48 + m(bpc) = 180 m(bpc) = 13 olur. "Teorem 3.5"e göre; m(bpc) = 90 + m(a) 90 + 4 = 90 + m(a) m(a) = 4 m(a) = 84 bulunur. dir. Buradan, 15
KONUNUN ÖZET * kifler ikifler uç noktalar ortak olan üç do ru parças n n oluflturdu u kapal flekle üçgen denir. Üçgenin kenarlar ile aç lar na temel elemanlar ; kenarortay, aç ortay ve yüksekliklerine yard mc elemanlar denir. *Üçgenin kenarortaylar bir noktada kesiflir. Üçgenin aç ortaylar bir noktada kesiflir. Üçgenin yükseklikleri bir noktada kesiflir. Üçgende kenarortaylar n kesiflimi, üçgenin a rl k merkezi ad n al r. *Bir üçgenin iç aç lar n n ölçüleri toplam 180 dir. Üçgende bir d fl aç n n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iki iç aç s n n ölçüleri toplam na eflittir. Bir üçgenin ölçüleri farkl olan iki aç s ndan, büyük olan n karfl s ndaki kenar daha büyüktür. Karfl t olarak; kenar uzunluklar farkl olan bir üçgenin en büyük kenar karfl s nda en büyük aç s bulunur. *Bir üçgende herhangi bir kenar uzunlu u, di er iki kenar uzunlu u toplam ndan küçük, fark n n mutlak de erinden ise büyüktür. *Bir üçgende iki iç aç n n aç ortaylar aras nda kalan aç n n ölçüsü, üçüncü aç n n ölçüsünün yar s ndan 90 fazlad r. m(ckb) = 90 + m(a) *Bir üçgende iki d fl aç n n aç ortaylar aras nda kalan aç n n ölçüsü, 90 den üçüncü aç n n ölçüsünün yar s kadar eksiktir. m(cpb) = 90 - m(a) 16
. Efi ÜÇGENLER Efllik Kavram Ayn büyüklükte ve türde iki aç lmam fl kurflun kalem, ayn pozdan elde edilmifl iki vesikal k foto raf efllik kavram hakk nda bize bilgi verir. Geometride efllik kavram n genel anlamda flöyle tan mlar z: Üst üste konuldu unda bütün noktalar çak flan flekillere efl flekiller denir. Daha önceki bölümlerde, uzunluklar eflit olan do ru parçalar n n efl do ru parçalar oldu unu söylemifltik. Benzer flekilde, ölçüleri eflit olan iki aç n n efl aç lar oldu unu incelemifltik. fiimdi ise üçgenlerin eflli inin hangi durumlarda mümkün oldu unu görece iz. Üçgenlerin Eflli i Üçgenler aras ndaki eflli i, flekillerin eflli inden yararlanarak flöyle aç klayabiliriz : Efl üçgenler üst üste konuldu unda bütün noktalar çak flan üçgenlerdir. Matematiksel yap içerisinde üçgenlerin eflli inden söz edebilmemiz için, üçgenlerin karfl l kl elemanlar aras nda yap labilecek bire bir efllemeye göre bu elemanlarla ilgili eflliklerden söz etmemiz gerekir. Bir ABC üçgeni ile bir KLM üçgeni aras ndaki ABC KLM efllemesinin anlam ; s ra ile ABC üçgeninin A, B, C köfleleri ile KLM üçgeninin K, L, M köfleleri aras nda bire bir eflleme yap ld d r. 17
Yap lan ABC KLM efllemesini afla daki flekillerden yararlanarak aç klayal m: Üçgenlerin köfle noktalar aras ndaki efllemeler; A K, B L, C M biçimindedir. Üçgenlerin s ra ile kenarlar ve aç lar aras ndaki bire bir efllemeler; [AB] [KL] [BC] [LM] [AC] [KM] biçimindedir. ve A K B L C M KLM PRS efllemesine göre KLM ile PRS üçgenlerinin köfleleri, kenarlar ve aç lar aras ndaki efllemeleri yaz n z. Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni aras nda ABC DEF efllemesi verilmifl olsun. Bu efllemeye göre üçgenlerin karfl l kl kenarlar ve karfl l kl aç lar efl ise, bu iki üçgen efltir. Üçgenler aras ndaki bu efllik ABC DEF biçiminde yaz l r ve ABC üçgeni DEF üçgenine efltir. diye okunur. Tan mda belirtilen ABC DEF efllik gösterimine göre üçgenlerin karfl l kl kenarlar ile karfl l kl aç lar aras ndaki efllik efllemesinden flu anlafl l r: 18
AB =DE m(a) m(d) ABC DEF AC =DF ve m(b) m(e) BC =EF m(c) m(f) Efl iki üçgenin (eflkenar, ikizkenar üçgenler hariç) köfleleri aras nda yap lan farkl efllemelerden sadece birisi bu üçgenlerin eflli ini ifade eder. Bu da üçgenlerin karfl l kl efl olan kenarlar ile efl olan aç lar n gösteren efllemedir. Örne in, ABC EDF efllemesi, yukar daki üçgenlerin eflli ini belirtmez. Çünkü bu efllemeye göre karfl l kl kenarlardan [BC] ile [DF] efl de ildir. ÖRNEK Afla daki efl üçgenlerin, efl olan kenarlar ve efl olan aç lar ayn iflaretlerle belirtilmifltir. Bu üçgenlerin eflli ini sembolik olarak ifade edelim: fiekle göre; M P N S O R [MN] [PS] ve [MO] [PR] oldu undan MNO PSR yaz l r. [ON] [RS] 19
1. Örnekte verilen MNO ile PSR üçgenleri aras nda OMN RPS eflli i yaz labilir mi?. XOY ve KLM üçgenleri çeflitkenar üçgenler ve XOY KLM oldu una göre afla daki ifadelerden hangileri do rudur? Do ru olanlar n yan na (D), yanl fl olanlar n yan na (Y) yaz n z. YOX MKL... (Y) [OY] [LM]... ( ) OYX LMK... ( ) LK OY... ( ) LKM XOY... ( ) L Y... ( ) ki üçgenin eflli ini daha az elemanla ifade edebiliriz. fiimdi üçgenlerin eflli i ile ilgili aksiyom ve teoremleri görelim: Aksiyom (Üçgenlerde Kenar Aç Kenar Efllik Aksiyomu): ki üçgen aras nda yap lan bir efllemede; karfl l kl ikifler kenarlar ile bu kenarlar n oluflturdu u aç lar efl ise üçgenler efltir. Bu eflli e k saca K.A.K. eflli i denir. Aç klama ABC DEF olsun. [BC] [EF] yani BC = EF C F yani m(c) = m(f) ise ABC DEF dir. [AC] [DF] yani AC = DF 0
SONUÇ 1 : Bir ikizkenar üçgende tabana ait kenarortay, tepe aç s n iki efl parçaya ay r r. Aç klama : ABC üçgeninde, AB = AC ve BD = DC ise BAD CAD dir. SONUÇ : Bir ikizkenar üçgende tabana ait kenarortay tabana diktir. Aç klama : ABC üçgeninde, AB = AC ve BD = DC ise [AD] [BC] dir. SONUÇ 3 : Efl iki üçgenin karfl l kl kenarortaylar efltir. Aç klama : fadeye göre flekilde; ABC DEF ise [AP] [DK] dir. BP = PC EK = KF Efl üçgenlerde; karfl l kl kenarortaylar, karfl l kl aç ortaylar ve karfl l kl yükseklikler birbirine efltir. 1
Teorem 1.7 : Tabanlar ortak olan iki ikizkenar üçgenin tepe noktalar n birlefltiren do ru parças, tepe aç lar n n aç ortay d r. Aç klama : Teorem ifadesine göre [BC] kenar ABC ve DBC ikizkenar üçgenlerinde ortak ve AD do rusu bu üçgenlerin tepe noktalar n birlefltiren do ru ise, A 1 A ve D 3 D 4 tir. ÖRNEK 1 : Yandaki flekilde KN =KL, MN =ML, m(kml) = 5 ve m(mkn) = 55 oldu una göre KNM aç s n n ölçüsü kaç derecedir? ÇÖZÜM : N ve L noktalar n cetvelle birlefltirelim. Bu durumda tabanlar [NL] olan iki ikizkenar üçgen oluflur. [KM] bu üçgenlerin tepe aç lar n n aç ortay oldu undan, m(kmn) = m(kml) = 5 dir. KMN üçgeninde, m(knm) + m(nkm) + m(kmn) = 180 olup, m(knm) + 55 + 5 = 180 ve m(knm) = 100 bulunur.
ÖRNEK : KLM üçgeninde KL =KM, KT kenarortay ve m(m) = 65 oldu una göre TKL aç s n n ölçüsü kaç derecedir? ÇÖZÜM : KLM üçgeninde KL = KM oldu undan bunlar n karfl lar ndaki aç lar n ölçüleri de efltir. m(l) = m(m) = 65 olur. Bu durumda K tepe aç s n n ölçüsü, m(l) + m(m) + m(k) = 180 65 + 65 + m(k) = 180 m(k) = 50 olur. kizkenar üçgende tabana ait kenarortay tepe aç s n n ayn zamanda aç ortay oldu undan, olur. m(tkl) = 50 m(tkl) = 5 3
Teorem 1.8 (Aç -Kenar-Aç Eflli i) : ki üçgen aras nda yap lan bir efllemede, üçgenlerden birinin iki aç s ve bu aç lar n ortak kenar, di er üçgenin bunlara karfl l k gelen elemanlar na efl ise, üçgenler efltir. Bu eflli e k saca A.K.A. eflli i denir. Aç klama : Teoremin ifadesine göre ABC DEF efllemesinde; A D B E AB DE ise ABC DEF olur. Teorem 1.9 : Bir üçgenin bir kenar n ortalayarak kesen ve ikinci bir kenar na paralel olan do ru, üçgenin üçüncü kenar n da ortalayarak keser. Aç klama : Teoremin ifadesine göre d do rusu ABC üçgeninin [AC] kenar n P noktas nda ortalayarak kessin. d // [BC] ve d do rusunun [AB] n kesim noktas K ise, KA = KB dir. 4
Teorem 1.10 : Bir dik üçgenin hipotenüsüne ait kenarortay n uzunlu u, hipotenüsün uzunlu unun yar s na eflittir. Aç klama : Teoremin ifadesine göre flekilde ABD üçgeninin A aç s n n ölçüsü 90 ve [AD], [BC] kenar na (hipotenüse) ait kenarortay ise AD = 1 oldu unu gösterelim. BC spat : D noktas ndan üçgenin AC kenar na bir paralel do ru çizelim. AC AB oldu undan, DE AB olur. (Birbirine paralel olan do rulardan biri verilen bir do ruya dikse di erleri de diktir.) Di er taraftan DE // CA oldu undan "Teorem 1.9"a göre DE, AB kenar n da ortalar, yani AE = BE olur. DAB üçgeninde DE taban n n ortak dikmesi oldu undan, DAB ikizkenar bir üçgendir. Dolay s yla, DA = DB dir. Ayr ca DB = DC ve BC =. DB oldu unu biliyoruz. DB yerine DA yazarsak, BC =. DA ve buradan, DA = 1 BC olur. SONUÇ : Dar aç lar ndan birinin ölçüsü 30 olan bir dik üçgenin, bu aç karfl s ndaki kenar n n uzunlu u hipotenüs uzunlu unun yar s na eflittir. Aç klama : fiekle göre; m(c) = 30 ise AB = 1 BC dir. 5
Teorem 1.11 : Bir üçgenin iki kenar n n orta noktalar n birlefltiren do ru, üçüncü kenara paralel ve uzunlu u, üçüncü kenar uzunlu unun yar s na eflittir. Aç klama : ABC üçgeninde; AD = BD ve AE = EC ise [DE] // [BC] ve DE = 1 BC dir. ÖRNEK 1 Yandaki flekilde E ve F s ra ile [BC] ve [AC] kenarlar na ait orta noktalard r. AB = 3x + 1 ve EF = x + 3 oldu una göre EF kaç birimdir? ÇÖZÜM : "Teorem 1.11"e göre EF = 1 AB dir. Eflitlikte verilenleri yazarsak, x + 3 = 1 (3x + 1) olur. Denklemin çözülmesiyle, x = 5 ve dolay siyle, EF = x + 3 ve EF = 8 birim bulunur. 6
ÖRNEK Yandaki ABC üçgeninde m(a) = 90 ve AK, ait kenarortayd r. AB = 6, AC = 8 oldu una göre AK uzunlu u kaç birimdir? BC ye ÇÖZÜM : ABC dik üçgen oldu undan pisagor ba nt s na göre, BC = AB + AC BC BC = 6 + 8 = 100 ve BC = 10 bulunur. Teorem 1.10 a göre AK, hipotenüs uzunlu unun yar s d r. Yani, AK = 1 BC AK = 1. 10 AK = 5 birimdir. ÖRNEK 3 : fiekilde m(b) = 90, m(a) = 30 ve AC = 8 oldu una göre AB uzunlu unu bulunuz. ÇÖZÜM : Bir dar aç s n n ölçüsü 30 olan bir dik üçgende, bu aç karfl s ndaki kenar hipotenüsün uzunlu unun yar s na eflit oldu undan, BC = 1 AC fi BC = 1. 8 = 4 olur. Di er taraftan pisagor ba nt s ndan, AC = AB + BC AB = 8 4 AB = 4 3 7
ÖRNEK 4 : fiekilde AB = CD = 7, CK = x + ve BK = x + 4 tür. m(a) = 55, m(d) = 30 ve m(ckd) = 95 oldu una göre AK kaç birimdir? ÇÖZÜM m(akb) = m(ckd) = 95 (ters aç lar) m(b) = 180 - m(akb) + m(a) (Teorem 1.1) m(b) = 180 - (95 + 55 ) = 30 m(b) = m(d) = 30...(1) CKD üçgeninde; m(c) = 180 - (95 + 30 ) = 55 dir. m(a) = m(c) = 55...() AB = CD = 7 (veriliyor) (1), () ve (3) numaral eflitliklerden "Teorem 1.8" egöre ABK CDK olur. KB =KD x + 4 = 6 x = (tan mdan) KA = KC = x + = + = 4 birim (tan mdan) bulunur. 8
Teorem 1.1 (Kenar-Kenar-Kenar Eflli i) : ki üçgen aras ndaki bir efllemede, karfl l kl kenarlar birbirine efl ise, üçgenler efltir. Bu eflli e K. K. K. eflli i denir. Aç klama : Teoremin ifadesine göre ABC DEF efllemesinde, [AB] [DE], [BC] [EF] ve [AC] [DF] ise ABC DEF dir. ÖRNEK 1 fiekilde T, [RS] kenar n n orta noktas ve [PR] [PS] veriliyor. PRT PST oldu unu gösterelim. ÇÖZÜM [TR] [TS] (T, [RS] n n orta noktas ) [PT] [PT] (özefllik) [PR] [PS] (verildi) PRT ve PST üçgenlerinin karfl l kl kenarlar efl oldu undan, üçgenlerde K.K.K. efllik teoremi gere ince, PRT PST olur. 9
ÖRNEK : ABC KLM oldu u biliniyor. fiekilde verilenlere göre x kaç olmal d r? ÇÖZÜM ABC KLM oldu una göre, AB = KL, BC = LM ve AC = KM dir. O hâlde, BC = LM 17 = x + 5 x = 6 bulunur. KONUNUN ÖZET * ki üçgenin köfleleri aras nda yap lan bir efllemeye göre; karfl l kl kenarlar ve karfl l kl aç lar efl oluyorsa, bu üçgenler efl üçgenlerdir. * Efl üçgenlerin karfl l kl kenarortaylar, karfl l kl aç ortaylar ve karfl l kl yükseklikleri efltir. * Üçgenlerin eflli ini üç kenar ve üç aç dan daha az elemanla belirtebiliriz: Kenar-Aç -Kenar (K.A.K.) Aksiyomu : Köfleleri aras nda yap lan bir efllemeye göre; iki üçgenin karfl l kl ikifler kenarlar ile bu kenarlarla belirlenen aç lar efl ise üçgenler efltir. Aç -Kenar-Aç (A.K.A.) Teoremi : Köfleleri aras nda yap lan bir efllemeye göre; iki üçgenin karfl l kl ikifler aç lar ile bu aç larda ortak olan kenarlar efl ise üçgenler efltir. 30 Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Teoremi : Köfleleri aras nda yap lan bir efllemeye göre; iki üçgenin karfl l kl üçer kenarlar efl ise üçgenler efltir.
ARAfiTIRMALAR 1. fiekilde BA = BC ve AD = AC dir. m(c) = 68 ise m(bad) kaç derecedir?. Yandaki dörtgenin kenar uzunluklar ayn birim cinsinden veriliyor. [AC] n n uzunlu u tam say olarak ayn birim cinsinden en az kaç olur? 3. Yandaki dörtgende A,B ve D açılarının ölçüleri ard fl k üç çift say d r. m(bcd) = 16 oldu una göre bu aç lardan ölçüsü en büyük olan kaç derecedir? 4. fiekilde DC // AB, DA =DC ve AB =AC dir. m(acd) = 34 oldu una göre m(abc) kaç derecedir? 5. Şekilde CK =CB, m(a) = 35, m(k) = 78 ve m(ack) = 15 olduğuna göre ABC üçgeninin kenar uzunlukları arasındaki sıralama nasıldır? 31
ÜN TE I DE ERLEND RME SORULARI 1. ABC DEF oldu una göre afla daki eflliklerden hangisi do rudur? A) AB = DF B) BC = DE C) AC = DF D) BC = DF. KLM ve PRS üçgenleri aras nda KL = PR, m(k) = m(p) ve KM =PS eflitlikleri verildi ine göre afla daki eflitliklerden hangisi yanl flt r? A) m(l) = m(r) B) m(m) = m(p) C) LM = RS D) m(m) = m(s) 3. Bir ABC üçgeninin [BC] kenar na ait yükseklik bu kenar D noktas nda kesiyor ve BD = DC oluyor. Buna göre afla daki eflitliklerdan hangisi yanl flt r? A) AB =AC B) AC =DC C) m(abd) = m(acd) D) m(bad) = m(cad) 3
4. Birer dar aç lar efl olan iki dik üçgenin efl olabilmesi için en az hangi koflul bilinmelidir? A) Hipotenüslerinin efl olmas B) kifler kenar n n efl olmas C) Üçer kenar n n efl olmas D) Di er aç lar n n da efl olmas 5. Afla daki özelliklerden hangisi ikizkenar üçgene ait de ildir? A) Kenarlar ndan ikisi efltir. B) Kenarlar ndan ikisinin yüksekli i eflittir. C) Aç lar ndan birisine ait aç ortay karfl kenar ortalar. D) Üç aç s n n ölçüleri de birbirinden farkl d r. 6. fiekilde görüldü ü gibi, m(p) = 70,, [OH] [PR] ve PH = HR verilmifltir. Buna göre KOR aç s n n ölçüsü afla dakilerden hangisidir? A) 160 B) 140 C) 10 D) 110 33
7. Yandaki flekilde m(bac) = 100, m(acd) = 30 ve AB = AD olarak veriliyor. DAC aç s n n ölçüsü afla dakilerden hangisidir? A) 15 B) 0 C) 30 D) 40 8. fiekildeki üçgende m(edf) =. m (DFG) dir. DG, EDF aç s n n aç ortay oldu una göre afla daki eflitliklerden hangisi do rudur? A) DG = EG B) DG =GF C) DE = EG D) m(dgf) = m(edf) 9. Bir ABC üçgeninin B ve C köflelerindeki d fl aç lar n aç ortaylar K noktas nda kesifliyorlar. m(b) = 60 ve m(c) = 0 olduğuna göre; BKC açısının ölçüsü afla dakilerden hangisidir? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 34
10. Şekilde KB BC,LC BC, m( K) = 50 ve m(b 1 ) = m(b ) olduğuna göre x ile belirtilen BPC açısının ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir? A) 105 B) 95 C) 60 D D) 50 11. Afla daki ABC üçgeninde A aç s genifl aç d r. AB = 8 ve AC = 11 ise BC nun alabilece i en büyük tam say de eri kaç olur? A) 19 B) 18 C) 17 D) 1 1. fiekilde m(bac) = 90 dir. ABC üçgeninin hipotenüsüne ait yüksekli i AH ve m(acd) = 140 oldu una göre BAH aç s n n ölçüsü afla dakilerden hangisidir? A) 50 B) 45 C) 40 D) 5 35
13. fiekilde m(def) = 90, DG =GF ve m(f) = 30 oldu una göre afla daki eflitliklerden hangisi yanl flt r? A) DE = DG B) DG = EG C) DE = EF D) DE = GF 14. fiekilde; DC =AD, m(acb) = 30 ve aç s kaç derecedir? AH BC oldu una göre HAD A) 0 B) 30 C) 40 D) 50 15. fiekilde; [OM, BOL aç s n n aç ortay ; [OK ise AOL aç s n n aç ortay d r. [OL KB ve m(bmo) = 130 ise OKL aç s n n ölçüsü kaç derecedir? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 36
16. KLM PRS ifadesine göre afla dakilerden hangisi do rudur? A) [KM] [PR] B) [LM] [PR] C) [KM] [PS] D) [LM] [SP] 17. Afla daki flekilde KLM PRS ve s rayla T, U, V noktalar ile E, F, G noktalar üçgenlerin kenarlar n n orta noktalar d r. Buna göre afla daki eflliklerden hangisi yanl flt r? A) [PT] [KE] B) [SV] [MG] C) [PS] [LF] D) [RU] LF] 18. fiekilde; AP = PB, AR = RC, BC = x + 6 ve PR = x - olarak veriliyor. PR kaçt r? A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 37
19. Bir ABC üçgeninde; m(a) = 90, m(b) = 60, AB = 3x ve BC = 5x + olduğuna göre, AB doğru parçasının uzunluğunun sayısal değeri kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 0. Afla daki flekilde; ABC DEF, AC = 3x +, DF = 5 ve AB = 4x oldu una göre DE kaçt r? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 38