İstanbul Ünverstes İşletme Fakültes Dergs Istanbul Unversty Journal of the School of Busness Clt/Vol:43, Sayı/No:2, 2014, 391-403 ISSN: 1303-1732 www.fdergs.org Zaman pencerel çok araçlı dağıtım toplamalı rotalama problem çn gerçek değerl genetk algortma yaklaşımı Serap Kremtc 2 Ulaştırma ve Lojstk Yönetm, Ulaştırma ve Lojstk Yüksekokulu, İstanbul Ünverstes, İstanbul, Türkye Özet Barış Kremtc 1 Ulaştırma ve Lojstk Yönetm, Ulaştırma ve Lojstk Yüksekokulu, İstanbul Ünverstes, İstanbul, Türkye Tmur Keskntürk 3 Sayısal Yöntemler, İşletme Fakültes, İstanbul Ünverstes, İstanbul, Türkye Bu çalışmada; çok araçlı, dağıtım toplamalı, zaman pencerel rotalama problemlernn, gerçek değerl kodlamalı genetk algortma le çözümü ele alınmıştır. Problemde rotalar, kapaste, zaman pencereler, eşleşme ve öncelk kısıtları dkkate alınarak oluşturulmaktadır. Amaç fonksyonu, toplam mesafenn mnmzasyonu, araç sayısının mnmzasyonu veya her ks brlkte olacak şeklde belrleneblmektedr. Gerçek hayatta problemn genş br uygulama sahası olmasına rağmen araç rotalama lteratüründe, problemn zorluğundan dolayı, çok fazla yayın yer almamaktadır. Çalışmamızda probleme özgün yen br gerçek değerl kodlamalı genetk algortma gelştrlmştr. Probleme at değşkenler farklı br yapıda, gerçek değerlerle kodlanmıştır. Böylelkle daha küçük boyutlu kromozomlarla, daha az değşkenle çözüm proses gelştrlmeye çalışılmıştır. Algortma lteratürdek br kısım problemler üzernde denenmş ve mevcut algortmalar le performans karşılaştırılması yapılmıştır. Anahtar Kelmeler: Araç Rotalama, Genetk Algortma, Dağıtım Toplamalı Zaman Pencerel, Optmzasyon A real valued genetc algorthm approach for the multple vehcle pckup and delvery problem wth tme wndows Abstract The Multple Vehcle Pckup and Delvery Problem wth Tme Wndows (MV_PDPTW) whch consttutes an mportant varant of the vehcle routng problems, deals wth goods that have to be transported from orgn to the destnaton ponts. In ths problem, routes are desgned n order to satsfy capacty, tme wndows, couplng and precedence constrants wth the am of mnmzaton of total costs (whch can be total dstance, number of vehcles or both of them). Although many real lfe operatons n logstcs and transportaton management can be modeled as MV_PDPTW, t has relatvely less attenton among vehcle routng lterature because of t s dffculty. In ths paper we propose a real valued genetc algorthm approach to solve MV_PDPTW. Problem varables are presented by real valued chromosomes. By the ths way we assume to use less genes whch mprove search process. Proposed genetc algorthm approach has been tested on avalable benchmark problem sets and has compared wth three prevous GA results. 1 bars@stanbul.edu.tr (B. Kremtc) 2 serapy@stanbul.edu.tr (S. Kremtc) 3 tkturk@stanbul.edu.tr (T. Keskntürk) 391
Keywords: Vehcle Routng, Genetc Algorthm, Pckup and Delvery wth Tme Wndows, Optmzaton 1. Grş Küresel pazarlarda kısa hayat döngüsüne sahp olan ürünlern varlığı ve müşterlern her geçen gün artan beklentler üretm yapan şletmeler lojstk sstemlerne yoğunlaşmaya ve bu sstemler üzerne yatırımlar yapmaya zorlamaktadır. İletşm ve ulaştırma teknolojlernde meydana gelen gelşmeler (örneğn mobl nternet, gecelk teslmatlar) lojstk sstemlern sürekl gelştrlmesn zorunlu kılmıştır [1]. Ulaştırma ve lojstk faalyetler nsan çabasının merkeznde yer almaktadır ve dğer sosyal ve ekonomk faalyetler desteklemes nedenyle önemldr [2, 3]. Çok çeştl oyuncuların farklı karar düzeylern, belrszlkler öneml derecede sermaye harcamalarını kapsayan ulaştırma oldukça karmaşık br alandır. Rekabete dayanablmek çn bu alanda karar vercler güçlü blgsayar ve letşm teknolojler kadar büyük mktarlarda ver, karmaşık matematksel modeller ve optmzasyon teknklerne çok daha fazla güvenmek durumundadırlar. Bu alanın çeştllğ ve karmaşıklığı, çalışma alanlarının zengnlğ, çeştl yöntemler ve yazılımlar vasıtasıyla yansımaktadır [3]. Çoğu lojstk yapıların büyük br bölümü depolara, perakendeclere veya müşterlere hzmet sunan araçlardan oluşan flonun yönetlmesn kapsar. Flo şletme malyetlern kontrol edeblmek çn her br araca ne kadar yükleme yapılması gerektğ, aracın ne zaman nereye gönderleceğ le lgl olarak sürekl karar vermek gerekmektedr. Bu tp kararlar araç rotalama problem kapsamına grmektedr [1]. Araç rotalama problemler dağıtım yönetmnn merkeznde yer almaktadır. Bnlerce frma ve organzasyon her gün çeştl ürünlern toplanması, teslm edlmes veya nsanların br yerden br yere taşınması le karşılaşmaktadır. Pratkte karşılaşılan kısıtlar ve amaçlar oldukça değşken ve farklı olduğundan her br şletme ç koşullar farklıdır [4]. Mal ve hzmet dağıtımlarının etkn ve etkl br şeklde yönetlmes hem kamu hem de özel sektörde öneml br yere sahptr. Brçok ulaştırma ve sstem malyetlernn öneml br bölümü araçların rotalanması ve çzelgelenmes le lgldr [5]. Araçların etkl rotalanması ve çzelgelenmes vermllğ arttırarak uzunlu döneml planlamalara yardımcı olup şletmelere çok yüksek oranlarda tasarruf mkanı sağlayablmektedr [6]. Araç rotalama problem, talepler blnen müşterler kümesne hzmet veren başlangıç ve btş noktası merkez br depo olan araç flosu çn mnmum malyetl rotalar kümesnn belrlenmesyle lgldr. Her müşterye br seferde hzmet verlmel ve araçların kapasteler dkkate alınarak tüm müşterler araçlara atanmalıdır. Araç rotalama problemne müşterlern, son teslm tarh veya en erken teslm zamanı gb kısıtları eklemelernden kaynaklanan kabul edleblr teslm zamanları veya zaman pencerelernn karmaşıklığı eklendğnde problem araç rotalama ve çzelgeleme problemne dönüşür. Araç rotalama problemler araç hareketlernn konumsal yönüyle lglenrken araç rotalama ve çzelgeleme problemler araç hareketlernn hem konumsal hem de zamansal yönüyle lgldr [6]. Rota, br aracın ardışık olarak zyaret edeceğ düğümlern arka arkaya sıralanmasıdır. Rotalardak düğümlern sıralanması le beraber araçların kalkış veya varış zamanlarının da eklenmesyle rotalama ve çzelgeleme problem elde edlmş olur [7]. Br başka tanımda aracın rotası, başlangıç ve btş noktası depo olan br aracın sırasıyla geçeceğ toplama ve/veya dağıtım noktalarının sıralanması olarak verlmştr. Br aracın çzelges, toplama veya dağıtım noktalarının sıralanması le brlkte lgl kalkış ve varış zamanlarının kümesdr. Araç noktalardan (müşterlerden) belrlenmş sırada belrlenen zamanlarda geçmeldr. Noktalardak varış zamanları önceden sabt olduğunda (örneğn 392
toplu taşıma sstemlernde araçların ve sürücülern çzelgelenmes) problem çzelgeleme problem olarak adlandırılmaktadır [8]. Varış zamanları belrlenmedğ durumlarda problem doğrudan rotalama problem olmaktadır. Zaman pencereler veya öncelk lşkler bulunduğu durumlarda, rotalama ve çzelgeleme fonksyonlarının her ksnn brlkte gerçekleştrlmes gerekr. Bu tp brleşk rotalama ve çzelgeleme problemler le uygulamada sıklıkla karşılaşılmaktadır [6]. Lawrence Bodn, 1990 yılında yazdığı Rotalama ve çzelgelemenn 20 yılı başlıklı çalışmasında 2000 l yıllarda araç rotalama ve çzelgeleme sstemlernn şletmelern temel lojstk, dağıtım sstemlernn öneml br parçası olarak görüleceğn fade etmştr [8]. Bu çalışmada, Zaman Pencerel Çok Araçlı Dağıtım Toplamalı Rotalama Problem (ZP- ÇDTRP) çn br metasezgsel olan Genetk Algortma (GA) le çözüm aranmıştır. Lteratürdek GA çözümlernden farklı olarak yen br kodlama şekl le problem çözülmeye çalışılmıştır. Amaç problem temslnn daha az değşkenle yapılması ve çözüm uzayının daha etkn aranmasıdır. Br sonrak bölümde, araç rotalama problemlernden ve özellklernden bahsedlecektr. Üçüncü bölüm çalışmamıza konu olan ZP-ÇDTRP problem tanıtılacak, matematksel model verlecektr. Sonrak bölüm, problem çn gelştrlen yen GA yaklaşımını çermektedr. Son bölümde se yöntemn performansı test edlmş ve karşılaştırmalı sonuçlar verlmştr. Aynı zamanda sonuçların yorumları, gelecekte yapılablecek çalışmalar da bu bölümde yeralmıştır. 2. Araç Rotalama Problem Araç rotalama problem (ARP) lk olarak Dantzg ve Ramser tarafından 1959 yılında yazdıkları çalışma le ortaya çıkmıştır [9]. ARP bugün hç olmadığı kadar popülerdr ve hakkında oldukça zengn br blmsel yayın lteratürü vardır [10]. Ekşoğlu ve arkadaşlarının yaptıkları Araç Rotalama Problem: Sınıflandırma Taraması sml yayınlarında araç rotalama term le yaptıkları araştırma sayıların görülmes açısından nceleneblr [11]. Blgsayarların optmzasyon problemlernn çözümünde kullanılmaya başlanması ARP tp bleş optmzasyon problemlernn daha verml br şeklde çözülmesne olanak sağlamıştır. Hesaplama gücünün artması br çok araştırmacıya daha önce çözülememş büyüklükte ARP problemnn çözme mkânı vermştr. Yöneylem araştırması lteratüründe ARP nn br çok lgnç uygulaması vardır. Uygulamaların pek çoğu karayolu araçlarını çerse de gemler, römorkör, helkopter gb dğer taşıma modlarına at taşıtlarda uygulamalarda yer bulmuştur. Günümüzde araç rotalama uygulamalarına çokça rastlanmaktadır. Uygulamalar br çok farklı endüstry kapsamaktadır. Gazete, yyecek, çecek gb brçok ürün çeşdnn tcar dağıtımının günlük olarak yapılması gerekmektedr. Tcar dağıtım yapıları harcnde, atıkların toplanması, sokak süpürme ve kargo teslm gb uygulamalar da vardır [12, 13]. Partyka and Hall 2000). Banka ATM maknelerne nakt teslm ve çzelgelenmes, petrolün dnamk tedark edlmes ve taşınması, restoranlardan atık yağların toplanması, ev aletler tamr hzmet ve teslm, evlere nternet tabanlı yyecek teslm, süt toplama ve stok yönetm, evlerden yardım bağışlarının toplanması, portatf tuvalet teslmatı, hapshanelerle mahkemeler arasında hükümlülern taşınması, engelllern mnübüs ve takslerle taşınması, toptancı depolarından perakendeclere ürün dağıtımı, posta teslm yapan araçların rotalanması da uygulamalara örnek olarak verleblr [13]. 2.1 Araç Rotalama Problemnn Özellkler ARP, çok blnen zor ve öneml br bleş (combnatoral) optmzasyon problemdr [3, 4]. ARP, gezgn satıcı problemnn gelştrlmş, gerçekç kısıtlamalara sahp haldr [14, 15]. 393
ARP, gezgn satıcı problemnden farklı olarak brden fazla araç çermektedr. Üstelk bu araçların kapasteler de gezgn satıcı problemndek gb sınırsız değldr. ARP, müşterler kümesne hzmet götürecek olan araç flosunun takp edeceğ optmal rotalar kümesnn belrlenmes olarak da fade edlmştr [16]. Taleb blnen müşterler kümesn kapsayacak, başlangıç ve btş noktası depo olan rotalar kümes bulunmaya çalışılırken amaç, kat edlen toplam mesafey, kullanılan araç sayısını, her ksnn kombnasyonunu veya toplam malyet mnmze etmek olablr [17]. Araç rotalama problemnn temel bleşenler müşterler, depolar, araçlar, sürücüler ve yol şebekesdr. Müşterler, şebekede düğümlerde gösterlrler. Müşternn taleb, müşterye teslm edlmes gereken veya alınması gereken farklı türlerde de olablen ürün mktarlarıdır. Müşterlere günün/ayın belrl zamanlarında (zaman pencerelernde) hzmet vermek mümkündür. Depo/depolar se araçların rotalarının başlangıç ve btş noktasıdır. Şebekede müşterler gb depolar da düğümlerde gösterlrler. Müşterlere ürünlern dağıtımını gerçekleştren araçların kapasteler taşıyablecekler maksmum ağırlık veya hacm veya palet olarak fade edleblr. Araçların oluşturmuş olduğu flo homojen veya heterojen olablmektedr. Homojen br floda, araçların hızları, sabt malyetler, değşken malyetler, ekpmanları ve büyüklükler denktr. Heterojen br flo se farklı özellklere sahp araçlardan oluşmaktadır [16]. Araç rotalama problemlernn çeştl hatta bazen çelşen amaçları olablr. Bunlardan en önemller: Toplam seyahat mesafesne (veya toplam seyahat süresne) ve floda kullanılan araçların sabt malyetlerne dayanan toplam taşıma malyetlernn mnmzasyonu Tüm müşterlere hzmet vermek çn gereken araç sayısının mnmzasyonu Seyahat süres ve araç yükü bakımından rotaların dengelenmes Müşterlern parçalı hzmet görmesyle lgl cezaların mnmzasyonu veya Bu amaçların kombnasyonlarıdır [16]. Lteratürde ARP problemler brçok temel türe göre sınıflandırılmaktadır. En önemller; kapaste kısıtlı, mesafe kısıtlı, zaman pencerel, ger toplamalı, dağıtım ve toplamalı araç rotalama problemlerdr. Her br temel türün, lave kısıtlara ve farklı özellklere sahp alt türler de lteratürde yer almaktadır [16]. Bu çalışmada ncelenecek olan ARP türü, Zaman Pencerel Dağıtım ve Toplamalı Araç Rotalama Problemdr (ZPDT-ARP veya PDPTW-Pckup and Delvery wth Tme Wndows). Devam eden bölümde bu problem hakkında kısa blg verlecektr. 3. Zaman Pencerel Çok Araçlı Dağıtım Toplamalı Rotalama Problem (ZP-ÇDTRP) Bu problem nsanların veya eşyaların kaynak veya hedef noktalar arasında taşınmak zorunda olduğu araç rotalama problemlernn en öneml sınıfını oluşturur [18]. Bu problem türünde, taşıma taleplern karşılayacak şeklde rotalar oluşturulmakta ve bu rotalara flo çndek araçlara atanmaktadır. Her aracın sahp olduğu özellkler farklı olablmekte ve bu yüzden kapaste kısıtları ortaya çıkmaktadır. Her br taşıma çn talep, taşınacak yük mktarı, yükün alınacağı (toplama-pck up) kaynak noktası ve yükün teslm edleceğ (dağıtılacağı) hedef nokta belrlenr. Bu problemde her br yük başka br konumda aktarma yapılmaksızın kend kaynağından kend hedefne sadece br tek araç le taşınmalıdır [19]. Br aracın rotası genellkle merkez br depoda başlar ve aynı şeklde br depoda bter. Br taşıma taleb, lgl teslmat noktasına götürülmek üzere toplama noktasından alınmalıdır. Toplama ve dağıtım çftne aynı araç hzmet vermeldr ve toplama dağıtımdan önce gelmeldr. Her br taşıma talebne önceden belrlenmş zaman penceres çnde hzmet 394
verlmeldr (bu kısıt zaman penceres olarak smlendrlmektedr). Problemn çözümü taşıma taleplernn araçlara atanmasını ve toplam malyet mnmze eden her araç çn rotanın bulunmasını gerektrr [20]. Dağıtım ve toplama problemlernde tek araçlı ve çok araçlı olmak üzere de br ayrım vardır [21]. Bu çalışmada çok araçlı model ncelenecektr. Problemn temsl gösterm Şekl 1 de yer almaktadır. Şekl 1 ZP-ÇDTRP Problemnn Temsl. Taşınan yükün nsan olması durumunda, müşter memnunyetszlğn azaltmak çn probleme lave kısıtlar da ekleneblr. Özellkle yolcunun araçta geçrdğ zamanı sınırlayan seyahat süres kısıtları [22] güncel hayatta sıklıkla karşılaşılablecek br durumdur. 3.1 Matematksel Model Taşıma taleplernn sayısı n le gösterlsn. ZP-ÇDTRP problem yönlü G = (N, A) çzges üzernde tanımlanır. N = {0,1,2,,2n + 1} düğümler kümes ve A da bağlantıları çeren kümedr. 0 ve 2n+1 düğümler başlangıç ve btş deposunu gösterrken, P = {1,, n} ve D = {n + 1,,2n} altkümeler sırasıyla toplama ve dağıtım düğümlern temsl ederler. Bu yüzden her br taşıma taleb, toplama düğümü ve teslm düğümü n + le lşkldr. Herbr N düğümü, yük mktarı q ve negatve olamayan hzmet süres d le lgldr. Depolara at q q n yük mktarları 0 (sıfır) olarak kabul edlmş ( 0 (2 1) 0 ); dağıtım düğümlerndek yük mktarları lgl toplama düğümlernn negatf olarak alınmıştır ( n ) ve ve depolardak hzmet süreler de sıfır kabul edlmştr 0 (2n 1) ( q q ( 1,, n)) ( d d 0). Her br P U düğümü le lgl [ a, b ] zaman penceres, düğümünde hzmetn başlayableceğ a en erken zamanı ve b en geç zamanı gösterr. Depo düğümlernn de zaman pencereler vardır. o 0 [ a, b ] depoyu terk etmek çn ve [ a(2n 1), b(2 n 1) ] depoya dönüş çn en erken ve en geç zamanı gösterr. K araçlar kümesn gösterr. Araçların hepsnn özdeş ve Q kapastesne sahp olduğu varsayılmıştır. Her br (, j) A bağlantısı le lgl, rota malyet c ( j) ve seyahat süres t ( j ) vardır. Ayrıca seyahat süres t ( j) nn 395
düğümündek hzmet süres d ' y çerdğ ve tüm rota malyetler ve seyahat sürelernn üçgen eştszlğn (the trangle nequalty) taşıdığı varsayılmıştır. x kl değşken, k aracı düğümünden doğruca j düğümüne gdyor se 1 değlse k ( j) sıfırdır. B k, düğümünde k aracının hzmete başlama zamanını, Q k, k aracı düğümünü terk ettğndek yük mktarını gösteren değşkenlerdr. Bu değşkenler kullanılarak, PDPTW lneer olmayan karma-tamsayılı programlama model olarak aşağıdak gb gösterleblr [23]. Amaç Denklem: Kısıtlar: mn cx j jk k K N j N k K j N j N k x 1, P, jk xjk xn, jk 0, k K, P, j N xo, j, k 1, k K, j N jk j N j N N x x 0, k K, P D, jk x,2n 1, k 1, k K, B ( B t )* x k K, N, j N, (7) jk k j jk Q ( Q q )* x k K, N, j N, (8) jk k j jk B t B P (9) k, n n, k, a B b N, k K, (10) k max{0, q} Q mn { Q, Q q } N, k K, (11) k x {0,1} N, j N, k K, jk Amaç denklem toplam rotalama malyetnn mnmze edlmesn sağlar. Denklem 2 ve denklem 3 her br talebn tam olarak br kez hzmet görmesn ve toplama ve dağıtım düğümlerne aynı aracın hzmet sunmasını sağlar. Denklem 4-6 her br k aracının rotasının depodan başlamasını ve depoda btmesn garant eder. Zaman ve yük değşkenlernn tutarlılığı denklem 7 ve 8 le sağlanır. Denklem 9 her br taleb çn toplama düğümünün, dağıtım düğümünden önce zyaret edlmesn sağlar. Son olarak, denklem 10 ve 11 kısıtları sırasıyla, zaman pencerelern ve kapaste kısıtlarını yürürlüğe koyar. 4. ZP-ÇDTRP Problem çn yen br GA yaklaşımı Genetk Algortmalar (GA) çözümü zor problemler çn gelştrlmş popülasyon temell br metasezgseldr [24-26]. Probleme at değşkenler, kromozom vektörlernn genlernde temsl edlmektedr. Seçm, çaprazlama ve mutasyon olarak adlandırılan genetk operatörler, terasyonlar boyunca kromozomlarda brtakım değşklkler yapmakta ve en y sonucu verecek çözüm set aranmaktadır. Seçm, daha y çözümlern sonrak terasyonlar çn yaşama şansını arttıran, daha kötü sonuçları eleyen operatördür. Çaprazlamada kromozomlar arası blg değşm yapılarak, daha y breyler elde edlmeye çalışılır. Mutasyon se, algortmanın lokal optmumlara takılmasını önleyen, kromozomda çok küçük (1) (2) (3) (4) (5) (6) 396
değşklkler yapan operatördür. Farklı problemler çn kullanılan farklı genetk operatör çeştler bulunmaktadır [25]. Bu operatörler her terasyonda uygulanarak global optmum aranır. Global optmum garant edlmese de y br çözümü kabul edleblr zamanlarda bulmaktadır. Çalışmamızda ele aldığımız ZP-ÇDTRP problem çn daha önce yapılan çalışmalardan br kısmı GA le çözümü denemştr. Bunlar farklı kodlama yapıları kullanmış ve sonuçlarını raporlamışlardır. Problem genel olarak k alt problemn çözümü olarak düşünüleblmektedr. Bunlardan lk müşterlern gruplandırılması veya sınıflandırılması; kncs se araçlara atanmış bu müşterlern rotalandırılmasıdır. Bu k problemn eşzamanlı olarak çözümünün GA le yapılması br zorluk çermektedr. Bugüne kadar yapılan lgl çalışmalarda bu zorluğu yenmek çn farklı kromozom yapıları ele alınmıştır. Jorgensen ve dğerler [27] ve Pankratz [28] çalışmalarında GA yı problemn lk alt problem olan gruplama kısmı çn kullanmışlardır. Rotalama kısmı çn se farklı sezgseller, bağımsız rotalama algortmaları kullanmışlardır. Créput ve dğerler [29] problemn her k alt problemn temsl edecek br GA kodlaması le çözüm aramışlar ancak performans açısından yeterl olamamışlardır. Hosny ve Mumford [20] çalışmalarında her k alt problem de temsl eden GA kodlaması kullanmış ve sonuçlarını grafk üzernde göstermşlerdr. İlgl grafğe göre, Hosny ve Mumford şu ana kadar ZP-ÇDTRP problemnn çözümü çn GA yaklaşımı kullanılan çalışmalar çersnde en başarılı sonuçları elde ettklern belrtmşlerdr. Nagata ve Kobayash [30] yaptıkları çalışmada çaprazlama operatörünün bu tp problemlerdek zorluğunu dkkate alarak yen çaprazlama tpler üzernde durmuşlardır. Çalışmamızda, problem çn yen br kromozom yapısı önerlmştr. Tablo 1 de LC101 sml problem verlernde de görülen blgler tarafımızca farklı şeklde düzenlenmştr ( http://www.sntef.no/projectweb/top/pdptw/l--lm-benchmark/). Buna göre kromozomun satırları tanımladığımız şler temsl etmektedr. İş tanımlanırken, her br taşıma taleb le lgl toplama ve dağıtım blgler brleştrlmştr. Yan 1 nolu ş taleb Tablo 2 den de görüleceğ üzere 11 nolu müşterden alınan (pckup) 10 brmn 1 nolu müşterye müşterlere at uygun zaman pencerelernde taşınması (delvery) olarak düşünülmüştür. kncs lgl şn toplama zamanının ve üçünsüsü se yne aynı şn dağıtım zamanını temsl etmektedr. Her satırdak 2. Sütun (Araç) lgl ş gerçekleştrecek aracı, 3. Sütun (Toplama (t)),lgl şn toplama müştersnden alınma zamanını ve 4. Sütün (Dağıtım (t)) se yne lgl şn dağıtım müştersne getrlme zamanını temsl etmektedr. Tablo 1 Probleme At Orjnal Ver Set CUSTOMER NO. XCOORD. YCOORD. DEMAND/LOAD EARLIEST PICKUP /DELIVERY TIME LATEST PICKUP / DELIVERY TIME SERVICE TIME PICKUP[2] DELIVERY[3] 0 40 50 0 0 1236 0 0 0 1 45 68-10 912 967 90 11 0 2 45 70-20 825 870 90 6 0 3 42 66 10 65 146 90 0 75 4 42 68-10 727 782 90 9 0 5 42 65 10 15 67 90 0 7 6 40 69 20 621 702 90 0 2 7 40 66-10 170 225 90 5 0 8 38 68 20 255 324 90 0 10 397
İş Araç Toplama (t) Dağıtım (t) 1 1 201 858 2 4 144 795 3 3 229 495 4 2 203 514 5 5 101 930 6 2 273 403 7 2 204 455 8 3 208 731 9 4 224 697 10 1 187 470 11 5 282 686 12 1 214 647 13 3 156 964 14 4 224 733 15 5 187 886 16 2 137 594 17 1 133 588 18 3 149 995 Şekl 2 ZP-ÇDTRP Problem Içn Gelştrlen Yen GA Kromozomu. Şekl 2 ye göre brnc ş temsl eden lk satırın açılımı şu şekldedr: İlk ş brnc araç tarafından zyaret edlecektr. Brnc şn toplama noktasındak müşterye toplama çn 201 brm zamanında ve dağıtım noktasıdak müşterye se 858 brm zamanında uğranacaktır. Bu kromozom yapısı sayesnde, popülasyondak kromozomlara at boyutlar terasyonlar boyunca sabt kalmakta ve probleme at k alt problem de aynı kromozom çersnde temsl edlmektedr. İlk sütundak farklı numaraların sayısı, çözüme at araç sayısını vermektedr. Araçların rotaları se lgl aracın toplama ve dağıtım yaptığı müşterlern, knc ve üçüncü sütunlarındak toplama ve dağıtım zamanları le temsl edlmektedr. Buna göre brnc aracın rotasındak şler aşağıdak gb olacaktır: 17-10 - 1 12 Başlangıç popülasyonunun oluşturulması şu şeklde olmaktadır. Her müşter çn araç ataması k farklı şeklde olablmektedr. Eğer araç sayısı bell se her müşter çn atanacak araç numarası 1 le araç sayısı arasında tesadüf olarak belrlenmektedr. Eğer araç sayısı değşkense veya amaç fonksyonunda araç sayısının mnmzasyonu sözkonusu se müşter kadar araç atanarak çözüme başlanmaktadır. İterasyonlar boyunca GA operatörler le araç sayısı lk sütun değerler değştrlerek azaltılmaktadır. Toplama ve dağıtım sürelernn temsl edldğ knc ve üçüncü sütun değerler se her müşternn toplama ve dağıtım zaman aralıkları arasında yne tesadüf olarak belrlenmektedr. Burada, aracın bekleme yapablmesne de olanak sağlamak ve çözüm alternatflern genş tutablmek çn erken gelşler de kabul edlmektedr. Buna göre yne GA operatörler le hem toplama hem de dağıtım çn, dğer kısıtları sağlamaları koşulu le en erken hzmet süresnden öncesnde toplama ya da dağıtma yapmasına zn verlmektedr. Seçm operatörü olarak rulet tekerleğ seçm operatörü kullanılmıştır [31]. Çaprazlama ve mutasyon operatörler probleme özgü gelştrlen kromozom yapısına uygun olarak tasarlanmıştır. Buna göre çaprazlama çn satırlardan yapılacak şeklde br nokta ya da k nokta çaprazlama kullanılmıştır. Dğer kodlama bçmler le çalışan GA larda bu aşamada uygunluk test yapılmasına rağmen gelştrlen temsl tpnde buna htyaç olmamaktadır. Çünkü yapılan çaprazlama le yne tüm müşterlern zyaretler gerçekleştrlmekte, yalnızca 398
zyaret edecek olan araç ve zyaret zamanları değşmektedr. Turlarda yen üretlen breylerde, lk sütundak araç numaraları ve zyaret zamanları dkkate alınarak güncellenmektedr. Mutasyon da yne kromozom yapısına uygun olarak gelştrlmş k alt operatörden oluşmaktadır. İlk sütunla lgl mutasyonda, müşterlern zyaretn gerçekleştren araçlar bell br olasılıkla değştrlmektedr. Bu herhang br müşternn aracının değştrlmes olableceğ gb, br aracın kaldırılarak mevcut başka araç ya da araçlara, lgl müşterlern atanması şeklnde olablmektedr. İknc kısım mutasyonda se müşterlern zyaret zamanları yne bell br olasılıkla değştrlmektedr. Burada lgl müşternn zaman pencereler dkkate alınarak değşklk yapılmakta, böylelkle uygun olmayan çözümlern oluşması engellenmektedr. Şekl 3 te gelştrlen kodlama bçmne yönelk oluşturulan çaprazlama ve mutasyon operatörler temslen gösterlmştr. Şekl 3 Çaprazlama ve Mutasyon Operatörler. Şekl 3 e göre seçlen ebeveyn kromozomlar tek nokta çaprazlama le 5. Satırdan çaprazlanmıştır. Oluşan yen kromozomda, lk ebeveyn kromozomun lk 5 satırı ve knc ebeveyn kromozomun 6. satırdan tbaren kalan tüm satırları yer almıştır. İlk satırdak araç atamaları le lgl olarak k çeşt mutasyon uygulanmıştır. İlk olarak 4 numaralı araç seçlmş ve bu aracın zyaret ettğ şehrler 1. araca atanmıştır. İknc olarak yne tesadüfen seçlen br şe at araç ataması olan 1. araç yerne 3. araç atanmıştır. Zyaret zamanları le lgl yapılan mutasyonda se 8. şn dağıtım zamanı 832 den 422 ye değştrlmş ve 12. şn toplama zamanı se 114 ten 229 a değştrlmştr. Bu kodlama bçm le uygunluğun kontrol edlmes le lgl yapılan brçok şlem ortadan kaldırılmış ve değşen boyutlardak turların saklandığı matrslern çözümlenmes şlemler azaltılmıştır. Br sonrak bölümde gelştrlen GA lteratürdek problemler le test edlmş ve mevcut GA çözümler le karşılaştırılmıştır. 5. Uygulama Çalışmada, kullanılan yen gerçek değer kodlamalı GA lteratürde yer alan dğer GA yöntemler ve en y blnen değerler veren çalışmalarla karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma çn kullanılan problemler http://www.sntef.no/projectweb/top/pdptw/l--lm-benchmark/ adresnde de yer alan L ve Lm n [32] gelştrmş oldukları problemlerden bazılarıdır. Yazarlar, LC, LR ve LRC tp üç sınıf problem üretmşlerdr. LC de kümelenmş lokasyonlar, LR de tesadüf olarak dağıtılmış lokasyonlar ve LRC de se tesadüf olarak ve kümelenmş 399
lokasyonlar kullanılmıştır. Çalışmamızda LC tp problemlern lk 9 u ele alınmış ve mevcut yöntemlerden ks le kıyaslanmıştır. Genetk algortma çn belrlenen parametreler: terasyon sayısı popülasyon büyüklüğü, çaprazlama ve mutasyon olasılıkları çn sırasıyla 10000, 50, 0,9 ve 0,05 tr. GA ya at kodlar Matlab programlama dl le yazılmış ve Wndows 7 on Intel(R) Core(TM) 2 Duo CPU, 2.10 GHz and 3 GB RAM özellklere sahp br blgsayarda çalıştırılmıştır. Uygulamaya at sonuçlar Tablo 2 de yer almaktadır. Problem Blnen en y Tablo 2 Uygulama Sonuçları L & Lm [32] Pankratz (GGA) [32] RV-GA lc101 828.94 828.94 828.94 828.94 lc102 828.94 828.94 828.94 828.94 lc103 827.86 827.86 827.86 842.06 lc104 818.60 861.95 818.60 842.06 lc105 828.94 828.94 828.94 828.47 * lc106 828.94 828.94 828.94 828.94 lc107 828.94 828.94 828.94 828.94 * lc105 problemnn rotaları EK-1 de verlmştr. Sonuçlara bakıldığında genel olarak yen kodalama bçmyle GA nın y sonuçlar verdğ ve y br alternatf çözüm yöntem olableceğ söyleneblr. Problemlern dördünde blnen en y sonuca ulaşılmış, ksnde yaklaşılmış ve brnde (lc105) daha y sonuç üretlmştr. 6. Sonuçlar Çalışmada, ZP-ÇDTRP problem çn Gerçek Değerl GA yaklaşımı önerlmştr. Sonuçlar ncelendğnde önerlen kodlama bçm le GA nın y br alternatf olableceğ söyleneblr. Önerlen model le gerçek değerl kodlamanın genetk algortmanın yapısını kolaylaştırdığı ve farklı operatörlern daha hızlı şeklde uygulanmasına mkan verdğ görülmektedr. Algortmanın daha hızlı çalışablmes çn mümkün çözüm aralığına çok daha hızla ulaşableceğ başlangıç çözümlernn dğer klask yöntemlerden elde edleblr. Test edlen ver setndek çeştl zorluktak dğer problemlere de genetk algortma yaklaşımı uygulanablr. Çalışmada uygulanan genetk algortma sonuçlarının gelştrlmes çn yleştrmeler yapılablr. Yne farklı teknklerle melez br model problemn çözümü çn kullanılablr. Ayrıca paralel arama algortmalarının çok daha etkn kullanılması le CPU şlem zamanının düşürülmes hedefleneblr. Kaynakça [1] D. Smch-Lev, X. Chen, J. Bramel, The Logc of Logstcs: Theory, Algorthms and Applcatons for Logstcs Management, Sprnger, 2005. [2] O. Bräysy, M. Gendreau, Vehcle routng problem wth tme wndows, Part II: Metaheurstcs. Transportaton Scence, 39, 1, 119-139 (2005). [3] T.G. Cranc, G. Laporte, Fleet Management and Logstcs, Sprnger, 1998. [4] J.F. Cordeau, G. Laporte, M.W.P. Savelsbergh, D. Vgo, Vehcle Routng. Transportaton, Handbooks n Operatons Research and Management Scence, 14, 367 428 (2007). 400
[5] M.M. Solomon, J. Desrosers, Survey Paper-Tme Wndow Constraned Routng and Schedulng Problems. Transportaton Scence, 22, 1-13 (1988). [6] M.M. Solomon, Algorthms for the vehcle routng and schedulng problems wth tme wndow constrants. Operatons research, 35, 2, 254-265 (1987). [7] B. Funke, T. Grünert, S. Irnch, Local search for vehcle routng and schedulng problems: Revew and conceptual ntegraton. Journal of Heurstcs, 11, 4, 267-306 (2005). [8] L.D. Bodn, Twenty years of routng and schedulng. Operatons Research, 38, 4, 571-579 (1990). [9] G.B. Dantzg, J.H. Ramser, The Truck Dspatchng Problem. Management Scence, 6, 1, 80 91 (1959). [10] G. Laporte, Ffty Years of Vehcle Routng. Transportaton Scence, 43, 4, 408 16 (2009). [11] B. Eksoglu, A.V. Vural, A. Resman, The vehcle routng problem: A taxonomc revew. Computers & Industral Engneerng, 57, 1472 1483 (2009). [12] B.L. Golden, A.A. Assad, E.A. Wasl, Routng vehcles n the real world: applcatons n the sold waste, beverage, food, dary, and newspaper ndustres. The vehcle routng problem, 9, 245-286 (2002). [13] Partyka, Jance G., and Randolph W. Hall, On the Road to Servce. OR/MS Today 27, 4, 26 35 (2000). [14] R.H. Ballou, Busness Logstcs and Supply Chan Management, Pearson Prentce Hall, 2004. [15] P. Brandmarte, G. Zotter, Introducton to Dstrbuton Logstcs, Wley-Interscence. 2007. [16] P. Toth, D. Vgo, The Vehcle Routng Problem, SIAM, 2002. [17] G. Desaulners, J. Desrosers, M.M. Solomon, Column Generaton, Sprnger, 2005. [18] G. Berbegla, J.-F. Cordeau, I. Grbkovskaa, G. Laporte, Statc pckup and delvery problems: A classfcaton schema and survey. Top, 15, 1 31 (2007). [19] M.W.P Savelsbergh, M. Sol, The General Pckup and Delvery Problem. Transportaton Scence, 29, 1, 17 29 (1995). [20] M. I. Hosny, C. L. Mumford, Investgatng Genetc Algorthms for Solvng the Multple Vehcle Pckup and Delvery Problem wth Tme Wndows. MIC2009, Metaheurstc Internatonal Conference, Hamburg, Germany. 2009. [21] M. I. Hosny, C. L. Mumford, The sngle vehcle pckup and delvery problem wth tme wndows: ntellgent operators for heurstc and metaheurstc algorthms. Journal Heurstcs, 16, 417 39 (2010). 401
[22] S. Ropke, J.F. Cordeau, G. Laporte, Models and branch-and-cut algorthms for pckup and delvery problems wth tme wndows. NETWORKS, 258 72 (2007). [23] S. Ropke, J.-F. Cordeau, Branch-and-cut-and prce for the pckup and delvery problem wth tme wndows. Transportaton Scence, 43, 3, 267 86 (2009). [24] D.E. Goldberg, Genetc Algorthms n Search Optmzaton and Machne Learnng, Addson Wesley Publshng Company, USA, 1989. [25] Z. Mchalewcz, Genetc Algorthms + Data Structure = Evoluton Programs, Sprnger- Verlag, Berln, 1992. [26] C.R. Reeves, Modern Heurstc Technques for Combnatoral Problems, McGraw-Hll Book Company Inc., Europe, 1995. [27] R. M. Jorgensen, J. Larsen, K. B. Bergvnsdottr, Solvng the dal-a-rde problem usng genetc algorthms. Journal of the Operatonal Research, 58, 10, 1321 31 (2007). [28] G. Pankratz, A groupng genetc algorthm for the pckup and delvery problem wth tme wndows. OR Spectrum, 27, 21 41 (2005). [29] J.-C. Créput, A. Koukam, J. Kozlak, J. Lukask, An Evolutonary Approach to Pckup and Delvery Problem wth Tme Wndows. In Computatonal Scence-ICCS 2004, 1102 8 (2004). [30] Y. Nagata, S. Kobayash, A Memetc Algorthm for the Pckup and Delvery Problem wth Tme Wndows Usng Selectve Route Exchange Crossover, In Parallel Problem Solvng from Nature PPSN XI, 6238, 536 545 (2010). [31] D. E. Goldberg, K. Deb, A Comparatve Analyss of Selecton Schemes Used n Genetc Algorthms, Urbana, 51, 61801 996 (1991). [32] H. L, A. Lm, A Metaheurstc for the Pckup and Delvery Problem wth Tme Wndows, In Tools wth Artfcal Intellgence, Proceedngs of the 13th Internatonal Conference on, 160 67 (2001). 402
EK-1 lc105 Problemnn Rotaları 20 24 32 33 31 35 37 38 39 36 34 101 43 42 41 40 44 46 45 48 51 50 52 104 49 47 98 96 95 94 92 93 97 100 99 105 67 65 103 63 62 74 72 61 64 68 66 69 57 55 54 53 56 58 60 59 90 87 86 83 82 84 85 88 89 91 25 27 29 30 28 26 23 106 22 21 13 17 18 19 15 16 14 12 81 78 76 71 70 73 77 79 102 80 5 3 7 8 10 11 9 6 4 2 1 75 403