İÇİNDEKİLER ORGNİZSYON ŞEMSI... 8 : SYILR VE EİR... 9 9.1 KÜMELER... 10 9.1.1 Kümelerde Temel Kavramlar... 11 Küme Kavramı... 11 Kümelerin Gösterilişi... 12 Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 15 Evrensel Küme... 16 lt Küme... 18 lt Kümenin Özellikleri... 19 Eşit Kümeler... 22 9.1.2 Kümelerde İşlemler... 24 Kümelerde irleşim, Kesişim, Fark ve Tümleme İşlemleri... 24 İki kümenin Kartezyen Çarpımı... 35 9.2 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER... 40 9.2.1 Gerçek Sayılar... 41 Toplama İşleminin Özellikleri... 42 Çarpma İşleminin Özellikleri... 43 9.2.2 irinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler... 45 Eşitsizliğin Özellikleri... 45 Gerçek Sayılar Kümesinde ralık Kavramı... 46 Mutlak Değer... 53 Mutlak Değerin Özellikleri... 55 Denklem Sistemlerinin Çözüm Yolları... 59 9.2.3 Üstlü İfade ve Denklemler... 64 Üstlü İfadelerin Özellikleri... 65 Köklü Sayılar... 68 Köklü Sayıların Özellikleri... 70 9.2.4 Denklem ve Eşitsizlik ile İlgili Uygulamalar... 75 Oran ve Orantı... 75 9.3 FONKSİYONLR... 86 9.3.1 Fonkiyon Kavramı ve Gösterimi... 87 Fonksiyonların Grafiği... 91 n fx ^ h x ^n! Zh içimindeki Fonksiyonların Grafikleri... 97 ire ir ve Örten Fonksiyonlar... 99 ÜNİTE SONU ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME SORULRI... 104 2. ÜNİTE: GEOMETRİ... 112 9.4 ÜÇGENLER... 113 9.4.1 Üçgenlerin Eşliği... 114 6
Kenar çı Kenar (K..K) Eşliği... 116 çı Kenar çı (.K..) Eşliği... 117 Kenar Kenar Kenar (K.K.K) Eşliği... 118 9.4.2 Üçgenlerin enzerliği... 125 Kenar çı Kenar (K..K.) enzerliği... 126 Kenar Kenar Kenar (K.K.K.) enzerliği... 128 çı çı (..) enzerliği... 129 Temel Orantı Teoremi... 131 9.4.3 Üçgenlerin Yardımcı Elemanları... 135 çıortay... 135 Üçgenlerin İç çıortayları ve Özellikleri... 137 Üçgenlerin Dış çıortayları ve Özellikleri... 139 Üçgenlerin Kenarortayları, Kenarorta Dikmeleri ve Yükseklikleri... 144 Üçgenlerde Kenarortay... 144 Üçgenlerin Kenarortay Özellikleri... 145 9.4.4 Dik Üçgen ve Trigonometri... 153 Dik Üçgende Pisagor Teoremi... 153 Öklid Teoremleri... 154 Dik Üçgende Dar çıların Trigonometrik Oranları... 158 irim Çember ve Trigonometrik Oranlar... 161 Üçgenlerde Kosinüs Teoremi... 164 9.4.5 Üçgenin lanı... 168 Sinüs Teoremi... 173 9.5 VEKTÖRLER... 175 9.5.1 Vektör Kavramı ve Vektörlerle İşlemler... 176 Vektörlerde Toplama İşlemi... 179 ir Vektörün ir Gerçek Sayı ile Çarpımı... 180 ÜNİTE SONU ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME SORULRI... 182 3. ÜNİTE: VERİ, SYM VE OLSILIK... 188 9.6 VERİ... 189 9.6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri... 189 9.6.2 Verilerin Grafikle Gösterimi... 198 Kesikli ve Sürekli Veriler... 198 Serpme ve Kutu Grafikleri... 199 9.7 OLSILIK... 205 Olasılık Kavramları ve Hesaplamaları... 205 ÜNİTE SONU ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME SORULRI... 212 OŞLUK DOLDURM VE DOĞRU - YNLIŞ SORULRININ EVPLRI... 215 ÜNİTE SONU ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME SORULRI EVP NHTRI... 216 SÖZLÜK... 217 KYNKÇ... 219 GÖRSEL KYNKÇ... 219 SEMOLLER... 222 7
ORGNİZSYON ŞEMSI Ünite numarası 3. ÜNİTE Veri Sayma ve Olasılık 9.6 VERİ 9.6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri SYILR VE EİR İstatistik, belirli bir olayın gözlemlenmesi sonucu, onun büyüklüğü, kıymeti, dağılımı vb. özellikleri hakkında elde edilen rakamlardır. u rakamları elde etmek için veriler toplanır, işlenir, analiz edilir ve yorumlanır. İyi bir istatistik çıkarmak için öncelikle çeşitli dallardan gerekli olan bilginin toplanması, sonra da bu bilgilerin sayılarla ifade edilmesi gerekir. Ülkemizde resmî istatistik bilgilerini, Devlet İstatistik Enstitüsü (DİE) toplar ve sonuçlandırır. Devlet bu sonuçlarla ilgili bazı planlar yapar. İstatistik sözcüğü İtalyan kökenlidir. İtalyancada devlet işleriyle uğraşan kişi anlamına gelen statista ile devlet ve durum anlamına gelen stato sözcüklerinden türetilmiştir. İstatistiğin orijinal anlamı, devlet adamının ilgilendiği durumlarla ilgili toplanan bilgidir. İstatistik başlangıçta teknik bir disiplin olarak ele alınırken günümüzde bir bilim dalı olarak kendini kabul ettirmiş, ulusal ve uluslararası boyutta gelişmelerin temelini oluşturmuştur. Doğru bilgi, doğru yorum ve doğru karar sürecinde araştırmacılar, politikacılar, karar alıcılar ve tüm bireyler çalışmalarında istatistiki bilgileri etkin olarak kullanmaktadırlar. İstatistik ilmi zaman içinde geliştikçe günlük hayatımızda hemen hemen her konuda kullanılır hâle gelmiştir. Ünite adı Kırım-Kongo Kanamalı teşi (KKK), 2002 yılının bahar ve yaz aylarında, bazı illerimizin kırsal kesiminde yaşayan insanlarda ortaya çıkmış olup bakanlığımızın yaptığı çalışmalar neticesinde 2003 yılının ağustos ayında kesin olarak tanısı konan bir hastalıktır. Şüphelenilen durumlarda hiçbir müdahalede bulunulmadan en yakın sağlık kuruluşuna ulaşılmalıdır. şağıdaki tabloda yıllara göre Kırım-Kongo Kanamalı teşi verileri mevcuttur. 2. ÜNİTE Geometri enzer iki üçgenin alanları oranı bu iki üçgenin benzerlik oranının karesine eşittir. 9 189 3 olan iki benzer üçgenin alanlarının oranını hesaplayalım. 5 lanlar oranı (enzerlik Oranı)2 olduğundan 3 2 9 lanlar oranı c m & lanlar oran olur. 5 25 enzerlik oranı D Yandaki üçgenlerin benzerlik oranını bulalım ve 70 9 2 70 alanlarının oranını karşılaştıralım. 3 6 F 4 12 Konunun gerçek yaşamla ilişkilendirildiği bölüm Kazanımın pekiştirildiği bölüm E 1 & &, DEF dir. k tür. 3 DE DF EF 1 $ 2 $ 3 $ sin 70 & 2 _ i 1 olur. & 1 9 ^DEFh $ 6 $ 9 $ sin 70 2 3 3 uradan & _ i 1 2 2 & c 3 m k olur. ^DEFh enzer iki üçgenin benzerlik oranı alanını hesaplayalım. Küçük üçgenin alan 1 2 1 c m 3 9 üyük üçgenin alan 1 olduğuna göre küçük üçgenin alanı 15 br2 ise büyük üçgenin 3 15 1 2 x 9 & x 135 br olur. Microsoft Mathematics uygulamasını açınız. 1. Üçgen çizme butonuna tıklayınız. 2. Yeni açılan penceredeki kenarlar veya açılar bölümüne uygun verileri yazınız. 3. Göster kısmındaki v sembolünü tıklayarak yükseklikler ve alanı seçiniz. elirlediğiniz üçgenin alanını bulmuş oldunuz. Eşkenar üçgen içerisinde alınan bir noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı yüksekliğin uzunluğuna eşittir. eşkenar üçgen, TD 4 br, TF 3 br, TE 2 br ise H uzunluğunu hesaplayalım. D E H TD + TF + TE olduğundan T F www. eba.gov.tr. internet adesinden Microsoft Mathematics uygulamasını bilgisayarınıza indirerek istenen çalışmaları yapınız. u bölümde yapılan veya yapılacak olan çalışmaların amacı işlenen konunun bilgi ve iletişim teknolojileri yardımıyla daha da pekiştirilmesi ve araştırmaya yönelik çalışmalar yapılmasıdır. H H 4 + 3 + 2 & H 9 br olur. Kavramın açıklamasının verildiği bölüm 171 3. ÜNİTE İşlenişin ölçüldüğü bölüm Veri Sayma ve Olasılık LIŞTIRMLR 1. şağıdaki ifadelerin doğru olanlarını, yanlış olanlarını X işaretiyle belirtiniz. a) (...) Veri grubundaki sayıların hepsinin toplanıp veri sayısına bölünmesi ile aritmatik ortalama bulunur. b) (...) Veriler küçükten büyüğe doğru sıralandığında en çok tekrar eden değer ortancadır. c) (...) ir veri grubunda en büyük değerden en küçük değer çıkarıldığında açıklık bulunur. ç) (...) Çeyrekler açıklığı üst çeyrekten alt çeyrek çıkartılarak bulunur. d) (...) Veriler küçükten büyüğe doğru sıralandığında tam ortada kalan değer tepe değerdir. 2. 3. ÜNİTE ir yolcu teknesinin 13 seferinde taşıdığı yolcu sayıları aşağıda verilmiştir. 20, 27, 20, 28, 21, 30, 23, 33, 23, 26, 23, 26, 25 verilere ait aritmetik ortalama, tepe değer, ortanca ve açıklık hangisinde doğru verilmiştir? Veri Sayma ve Olasılık Ünitenin değerlendirildiği bölüm ÜNİTE SONU ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME SORULRI 1. 8, 6, 13, 7, 13, 7, 10, 8, 8 veri grubuna ait aritmetik ortalama ortanca değerden kaç fazladır? 8 10 7 11 ) ) ) 1 D) E) 9 9 9 9 2. 29, 39, 34, 30, 36, 34, 30, 35, 32, 34 veri grubuna ait açıklık ve tepe değeri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? ) çıklık 9 ) çıklık 10 Tepe değeri 35 Tepe değeri 36 D) çıklık 9 ) çıklık 10 Tepe değeri 34 E) çıklık 11 Tepe değeri 30 ) ritmetik ortalama Tepe değer Ortanca çıklık 23 25 23 13 ) ritmetik ortalama Tepe değer Ortanca çıklık 23 13 23 23 D) ritmetik ortalama Tepe değer Ortanca çıklık 13 25 23 23 E) ritmetik ortalama Tepe değer Ortanca çıklık 23 23 25 13 23 23 23 13 Tepe değeri 35 3. ir firma bulaşık deterjanı almak için araştırma yapıyor ve iki ayrı deterjan markası arasında seçim yapması gerekiyor. ve marka deterjanlarının 1 litresi ile yıkanabilen tabak sayıları farklı günlerde not ediliyor. Verilere ait çeyrekler açıklığını bularak firmanın hangi deterjan markasından alması gerektiğini bulunuz. 3. Sena bir hafta boyunca günlük 60 sayfa kitap okumaktadır. ir haftadan sonraki üç gün toplam kaç sayfa okursa 10 günlük ortalama okuduğu sayfa sayısı 65 olur? ) 230 ) ritmetik ortalama Tepe değer Ortanca çıklık ) 220 ) 210 D) 200 E) 190 4. li, anu, em, Ela ve Emre nin fizik dersinden aldıkları son 5 not aşağıda verilmiştir. Notlara ait çeyrekler açıklığını bulunuz. Çeyrekler açıklığına göre hangi öğrenci daha başarılıdır? ) li 65, 67, 70, 73, 75 ) anu 60, 62, 70, 78, 80 ) em 64, 66, 70, 74, 76 D) Elaz 60, 63, 70, 77, 80 8 marka deterjan ile farklı günlerde yıkanabilen tabak sayısı 160, 162, 152, 167, 150, 167, 155 marka deterjan ile farklı günlerde yıkanabilen tabak sayısı 154, 166, 164, 147, 159, 153, 165 E) Emre 68, 69, 70, 71, 72 4. Üç arkadaşın boy uzunlukları 163 cm, 165 cm ve 170 cm dir. şağıda belirtilen boy uzunluklarına sahip hangi iki kişi bu üç arkadaşa katılırsa boy uzunluklarının ortalaması 163 cm olur? 5. 13, 13, 10, 7, 7 Yukarıdaki verilere ait standart sapma aşağıdakilerden hangisidir? ) 2 ) 3 ) 4 6. şağıdakilerden hangileri kesikli veri ile ifade edilebilir? I. Nüfus II. Öğrenci sayısı D) 5 E) 6 ) 138 ) 165 ) 151 D) 142 E) 145 182 163 154 175 167 196
SYILR VE EİR 9
Sayılar ve ebir 9.1 KÜMELER Hayatımızı devam ettirebilmek için temel ihtiyaçlarımız vardır. u ihtiyaçlar zorunlu ve zorunlu olmayan ihtiyaçlar olarak iki gruba ayrılır. İnsanın yaşamını devam ettirebilmesi için gerekli olan hava, gıda ve su karşılanması zorunlu olan ihtiyaçlardır. eslenme, insanın büyüme, gelişme, sağlıklı ve üretken olarak uzun süre yaşayabilmesi için gerekli olan besin ögelerinin alınıp vücutta kullanılmasıdır. esinler hayvansal ve bitkisel olarak ikiye ayrılır: Hayvansal besinler; süt ve sütten yapılan besinler, yumurta, et (kırmızı et, tavuk eti, balık eti, deniz ürünleri) ; bitkisel besinler; tahıllar ( buğday, pirinç, mısır), kuru baklagiller (kuru fasulye, nohut, mercimek), sebzeler ve meyvelerdir. Günümüzde bu ihtiyaç malzemelerinin bulunabileceği yerlerin başında süpermarketler gelmektedir. 1980 li yılların ikinci yarısından sonra süpermarket zincirleri artmaya başladı. u gibi satış noktalarında satışa konan malların tedarik yöntemleri, finansman çeşitleri, mal standartları ve dolayısıyla fiyatları da değişti. Sonuçta, tüketici daha ucuz ve daha kaliteli mal alabilme olanağına kavuştu. Süpermarketlerde her bir ürünün kendi arasında kategoriler hâlinde gruplandırılması aradığımız ürünleri bulabilmede bize ne gibi kolaylıklar sağlar? Gruplandırılmış ürünlerin ayrıca kendi arasında ortak özelliklerine göre bölümlere ayrılmasına nasıl örnekler verebiliriz? ynı tür ürünlerin aynı rafta dizilmesi bir tür küme oluşturabilir mi? Çevrenizden gruplama işlemine nerelerden örnekler verebilirsiniz? Gruplandırma işlemini hangi özelliklere göre yaptığınızı açıklayınız. 10
Sayılar ve ebir 9.1.1 Kümelerde Temel Kavramlar Küme Kavramı şağıdakilerden hangisinin küme belirttiğini bulalım. ) 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarından bazıları ) azı renkler ) Rakamlar D) Stadyumdaki bazı taraftarlar E) Kolay maçlar Kümeyi, iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğu olarak açıklayabiliriz. seçeneğindeki Rakamlar bir küme belirtir. Diğer seçeneklerdeki ifadeler iyi tanımlanmadığı için birer küme belirtmez. Örneğin; Stadyumdaki bazı taraftarlar ifadesi iyi tanımlanmamıştır. Çünkü bu ifade herkes tarafından farklı yorumlanmaya açıktır. şağıdakilerden hangisinin veya hangilerinin küme belirtmediğini bulalım. I. Güzel kızlar II. Yeşil gözlü öğrenciler III. Kolay sorular ) Yalnız III ) Yalnız II ) Yalnız I D) I ve III E) II ve III I ve III. maddede verilen ifadeler iyi tanımlanmadığı için birer küme belirtmez. Dolayısıyla D seçeneği doğrudur. kümesi haftanın P ile başlayan günleri olsun. kümesinin elemanlarını ve bu kümeye ait olmayan elemanları belirtelim. Kümeyi oluşturan nesnelere kümenin elemanları denir. Kümeler genellikle,, gibi büyük harflerle gösterilir. ir x elemanı bir kümesine ait ise x! ile, kümesine ait değil ise x b ile gösterilir. Pazartesi, perşembe ve pazar kümesinin elemanlarıdır. Pazartesi!, perşembe! ve pazar ; salı b, çarşamba b, cuma b ve cumartesi b şeklinde gösterilir. 11
Sayılar ve ebir kümesi M ile başlayan aylar olsun. kümesinin elemanlarını ve bu kümeye ait olmayan bazı elemanları belirtelim. Mart ve mayıs kümesinin elemanlarıdır. Mart ve mayıs şeklinde gösterilir. Ocak, haziran, aralık ise kümesine ait olmayan bazı elemanları göstermektedir. Kümelerin Gösterilişi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 elemanlarından oluşan kümesini üç değişik yöntemle gösterelim. Küme içerisindeki elemanlar yer değiştirebilir. Küme içerisinde her eleman sadece bir kez yazılır. Elemanların { } parantezleri arasında virgülle ayrılarak gösterilmesine liste yöntemi adı verilir. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} şeklindeki gösterim liste yöntemidir. {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0} şeklindeki gösterim de aynı kümeyi temsil etmektedir. Kümenin elemanlarının kapalı bir eğri içerisinde her bir elemanının önüne konularak yazılmasına Venn şeması yöntemi adı verilir. 0 1 2 6 3 8 7 Yandaki şekil kümesinin venn şeması ile gösterim şeklidir. 4 5 9 ir kümenin elemanlarının ortak özellikleriyle gösterim şekline ortak özellik yöntemi adı verilir. u yöntemin kullanılması için kümeyi oluşturan elemanların ortak özelliklerinin olması gerekmektedir. " x ; xrakamlar,, şeklindeki gösterim bize yukarıda yazdığımız elemanları çağrıştırmaktadır. u kümeyi " x ; x, d o al say lar n ilk on elaman, şeklinde de ifade edebiliriz. 12
Sayılar ve ebir MLTY kelimesinin harflerinden oluşan kümenin elemanlarını yazalım. Kümenin ismi E olsun. E {M,, L, T, Y} veya E M L T Y şeklinde gösterilebilir. Kelime içerisindeki harfi birden fazla tekrar etmesine rağmen küme içerisinde sadece bir kez yazılmıştır. MTEMTİK kelimesinin harfleriyle oluşturulan kümeyi yazalım ve bu kümenin eleman sayısını bulalım. n elemanlı bir kümesinin eleman sayısı s() n şeklinde gösterilir. F {M,, T, E, İ, K} şeklinde yazılır. F kümesinin eleman sayısı 6 dır. u ifade s(f) 6 şeklinde gösterilir. M harfi ile başlayan şehirlerimizi küme biçiminde gösterelim. M harfi ile başlayan şehirler; Malatya, Manisa, Mardin, Mersin, Muğla ve Muş tur. Liste yöntemi ile; {Malatya, Manisa, Mardin, Mersin, Muğla, Muş} Venn şeması ile; Malatya Manisa Mardin Mersin Muğla Muş Ortak özellik yöntemi ile; {x l x, M harfi ile başlayan şehirler} kümesinin eleman sayısı 6 dır. Yani s() 6 dır. 2 " x ; x # 9, x! N, kümesini liste yöntemiyle yazalım ve eleman sayısını belirtelim. kümesinde belirtilen şartlara uyan doğal sayılar 0, 1, 2 ve 3 tür. Çünkü 0 2 0, 1 2 1, 2 2 4 ve 3 2 9 dur. u yüzden {0, 1, 2, 3} şeklinde gösterilir. Eleman sayısı ise 4 tür. Yani s() 4 tür. 13
Sayılar ve ebir LIŞTIRMLR 1. " x! N ; x 1 4, kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 2 ) 3 ) 4 D) 5 E) 6 2. " x! Z ;-6 # x # 4, kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 11 ) 10 ) 9 D) 8 E) 7 3. 3 5 Venn şeması yöntemiyle verilen kümesini liste yöntemiyle yazınız. 1 1 3 5 4. " abc,,, 12,, ve " 345,,,_, e, kümelerini Venn şeması ile gösteriniz. 5. " a, " b,," 12,,, olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) s() 3 ) b! ) 1! D) s() 5 E) 2! 6. " ab,," a,, c, " ab,,, 5, olduğuna göre s() kaçtır? ) 10 ) 9 ) 8 D) 7 E) 6 7. SEKRETER sözcüğündeki harfler kaç elemanlı bir küme oluşturur? ) 4 ) 5 ) 6 D) 7 E) 8 8. şağıdaki ifadelerden kaç tanesi bir küme belirtir? I. İyi yüzücüler II. Yaramaz çocuklar III. Gözlüklü öğrenciler IV. Kumral kızlar V. Zor sorular ) 5 ) 4 ) 3 D) 2 E) 1 9. şağıdaki kümelerin eleman sayılarını boş kutulara yazınız. a) " 123,,, b) " a, b, " a, b,, c) " Q, ç) D " x ;-3 # x # 5, x! Z, 14
Sayılar ve ebir Sonlu ve Sonsuz Kümeler şağıdaki kümelerin eleman sayılarını inceleyelim. " a, b, 123,,, x, y, " x ; x! Z, Elemanları sayılabilir çoklukta olan kümelere sonlu küme, sayılamayacak kadar çok elemanı olan kümelere sonsuz küme adı verilir. kümesinin eleman sayısı 7 olduğundan elemanları sayılabilen çokluktadır ve bu küme sonlu kümedir. kümesinin elemanları tam sayılar kümesinden oluşmaktadır. Tam sayılar kümesinin elemanları sayılamayacak kadar çok olduğu için kümesi sonsuz kümedir. şağıdaki kümeleri inceleyelim. " x ;-7 1 x 1 5, x! Z, " x ; x 1 0, x! Z, " x ; x 2 0, x! Z-, kümesinin eleman sayısı 11 olduğundan sayılabilir çokluktadır ve sonlu kümedir. kümesinin elemanları sayılamayacak kadar çok olduğundan kümesi sonsuz kümedir. kümesine ait herhangi bir eleman yazılamamaktadır. Yani eleman sayısı 0 (sıfır) dır. Elemanı olmayan kümeye boş küme adı verilir. oş küme Q veya ", sembollerinden biri ile gösterilir. " Q, veya "",, kümeleri boş küme değildir. şağıda verilen kümeleri inceleyelim. D " x ; x 1 8, x! N, E " x ; x, 3 ten büyük tek doğal sayılar} F " x ; Karesi negatif olan tam sayılar} D kümesi, 8 elemanlı olduğundan sonlu küme, E kümesi sayılamayacak kadar olduğundan sonsuz küme, F kümesi hiç elemanı olmadığı için boş kümedir. 15
Sayılar ve ebir Evrensel Küme Türkiye çeşitli özelliklerine göre 7 coğrafi bölgeye ayrılmıştır. u bölgeleri birer küme olarak kabul edersek her bir kümeye özelliklerine göre farklı elemanlar yazmamız gerekir. u durumda bölgeleri içine alan en büyük küme Türkiye olur. Üzerinde işlem yapılan en geniş kümeye evrensel küme adı verilir. Evrensel küme genel olarak E harfi ile gösterilir. ir sınıfta 8 kişi futbol, 12 kişi voleybol, 5 kişi basketbol oynamakta 3 kişi ise hiçbir oyunu oynamamaktadır. una göre, oyun oynayan ve oynamayan öğrenci sayılarını kullanarak farklı kümeler oluşturabiliriz. Yalnız sınıfın tamamının eleman sayısı diğer yazabileceğimiz kümelerin eleman sayısından fazla olacağı için en geniş küme, sınıf kümesidir. Dolayısıyla üzerinde eleman sayılarına bağlı olarak işlem yapabildiğimiz sınıf kümesine evrensel küme adını verebiliriz. şağıda verilen evrensel küme örneklerini inceleyelim. a) ir spor kulübü bünyesinde farklı branşlarda sporcular yetiştirilmektedir: Futbol, basketbol, voleybol, yüzme, masa tenisi vb. ranşların her biri bu spor külübüne bağlı olduğuna göre kendi içlerindeki sporcular ve diğer çalışanlar ile birlikte birer kümeye verilen örneklerdir. ütün branşları içerisinde barındıran spor kulübü ise en geniş kümedir ve evrensel küme olarak adlandırılabilir. b) tatürk Orman Çiftliği içerisindeki arazide çeşitli hayvanların biraraya getirilmesi ile hayvanat bahçesi kurulmuştur. Her bir hayvan çeşidi isim ve sayılarına göre birer kümeyi temsil etmektedir. u kümelerin eleman sayıları ile çeşitli veriler oluşturulabilir ve bu verilerle işlemler yapılabilir. u hayvan kümeleri bir araya gelerek işletmeyi yani en geniş küme olan hayvanat bahçesini oluşturmaktadır. Dolayısıyla hayvanat bahçesi evrensel küme olarak adlandırılabilir. 16
Sayılar ve ebir LIŞTIRMLR 1. şağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri doldurunuz. a) Sayılabilir çoklukta elemanı olan kümeye... denir. b) Sayılamayacak kadar çok elemanı olan kümeye... denir. c) Hiçbir elemanı olmayan kümeye... denir. ç) Üzerinde işlem yapılan en geniş kümeye... denir ve... ile gösterilir. 2. şağıdakilerden hangisi sonlu kümedir? ) " x ; x 2 6, x! N, ) " x ; x 1 2, x! Z, ) " x ; x 3 2 3, x! N, D) D " x ; x 2 2 5, x! Z, E) E " x ; 1 1 x 1 100, x! N, 3. şağıdakilerden hangisi sonsuz kümedir? ) {15 ten küçük doğal sayılar} ) {2, 4, 6, 8, 10} ) {Pozitif tam sayılar} D) D " x ; 2 1 x 1 75, x! N, E) E { 10 dan büyük negatif tam sayılar} 4. şağıdakilerden hangisi boş kümedir? ) N ) Z ) {0, 1, 2, 3, 4} D) E) " Q, 5. şağıdakilerden hangisi evrensel kümeye örnektir? I. Rakamlar II. Sayma sayıları III. Doğal sayılar IV. Tam sayılar V. Gerçek sayılar ) V ) IV ) III D) II E) I 6. şağıdakilerden hangisi sonlu kümedir? ) " x ; x 1-3, x! Z, ) " x ; x 2 7, x! N, ) " x ; x 2 2-5, x! Z, D) D " x ; x 1 13, x! N, E) E " x ; x 3 2 9, x! N, 17
Sayılar ve ebir lt Küme {a,b}, {a, b, c}, {a, b, c, d} kümelerinin elemanları arasındaki ilişkiyi inceleyelim. kümesinin elemanlarının tamamı hem hem de kümesinde yer almaktadır. kümesinin elemanlarının tamamı kümesinde yer almaktadır. ir kümesinin her elemanı kümesinin de elemanı oluyorsa kümesine kümesinin alt kümesi denir. şeklinde gösterilir. ir başka deyişle kümesi kümesini kapsar denir ve şeklinde gösterilir. u durumda ve dir. yrıca de diyebiliriz, ya da, ve şeklinde de söyleyebiliriz. kümesi kümesinin alt kümesi değildir. {x x, 7 den küçük doğal sayılar} {2, 4, 6} kümelerinin elemanlarını karşılaştırıp alt küme ilişkisini inceleyelim. { 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0} { 2, 4, 6 } kümesinin tüm elemanları kümesinde bulunduğu için veya diyebiliriz. 3 0 2 6 4 5 1 " 13579,,,,,, " 1, 345789,,,,,,, " 579,,, kümelerinin birbirleri arasındaki alt küme ilişkisini inceleyelim. " 13579,,,,, " 1345789,,,,,,, " 579,,, 1 1 olur. 5 7 9 1 3 4 8 {1, 2, 3}, {1, 2, 4, 7} kümeleri verilsin. kümesi kümesinin alt kümesi midir? İnceleyelim. 1 ve 1, 2 ve 2, 3 ve 3 olduğundan kümesi kümesinin alt kümesi değildir. 3 1 2 4 7 ir kümesi bir kümesinin alt kümesi değil ise veya i şeklinde gösterilir. u durumda veya i şeklinde de ifade edebiliriz. 18
Sayılar ve ebir {a, b, c, d}, {a, b, d}, {a, b, c, d, e} kümeleri arasındaki alt küme ilişkisini Venn şeması yardımıyla inceleyelim. c a d b e Yandaki şekle göre ve dir. ynı zamanda de yazılabilir. uradan sonucuna ulaşılır. lt Kümenin Özellikleri 1. Her küme kendisinin alt kümesidir. ( ) 2. oş küme bütün kümelerin alt kümesidir. ( ) 3. ve ise dir. {1, 2, 3} kümesinin tüm alt kümelerini yazalım., {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} ve {1, 2, 3} 3 elemanlı kümesinin toplam 8 tane alt kümesi vardır. ir kümesinin eleman sayısı n ise alt küme sayısı 2 n ile hesaplanır. {a, b, k, m, r, t} elemanlarından oluşmaktadır. Eleman sayısı arttıkça bir kümenin alt kümelerini yazmak zorlaşmaktadır. Eleman sayısını hesaplamak daha kolaydır. kümesinin eleman sayısını hesaplarsak; s() 6 dır. lt küme sayısı 2 n 2 6 64 tür. lt küme sayısı 32 olan bir kümenin eleman sayısını bulalım. 2 n 32 2 n 2 5 n 5 Küme 5 elemanlıdır. 19
Sayılar ve ebir lt küme sayısı 128 olan bir kümenin eleman sayısını bulalım. 2 n 128 2 n 2 7 n 7 Küme 7 elemanlıdır. şağıda verilen tabloyu inceleyelim. Küme Kümenin eleman sayısı lt kümelerinin sayısı lt kümeleri K 0 2 0 1 L {1} 1 2 1 2, {1} M {1, 3} 2 2 2 4, {1}, {3}, {1, 3} N {1, 3, 5} 3 2 3 8, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5} Tabloda da verildiği gibi ve kümenin kendisi her kümenin alt kümesidir. ir kümesinin kendisinden başka her alt kümesine bu kümenin öz alt kümesi denir. ir kümesinin eleman sayısı n ise öz alt küme sayısı 2 n 1 ile hesaplanır. lt küme sayısı ile öz alt küme sayısı toplamı 15 olan bir kümenin eleman sayısını bulalım. 2 n + 2 n 1 15 2 2 n 16 & 2 n 8 & 2 n 2 3 & n 3 Küme 3 elemanlıdır. Öz alt küme sayısı 31 olan bir kümenin eleman sayısını bulalım. 2 n 1 31 2 n 31 + 1 2 n 32 2 n 2 5 & n 5 Küme 5 elemanlıdır. 20
Sayılar ve ebir n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı kombinasyon yardımıyla bulunur. n n! 1 2 3... n şeklinde hesaplanır. Kombinasyon ise (n, r) c m n! e o formülü r ^n- rh! $ r! ile bulunur. En az r elemanlı alt küme sayısı, n n n n b l... r + b l r + 1 + b l r + 2 + + b l dir. n En çok r elemanlı alt küme sayısı, b n n n n... 0 l+ b 1 l+ b 2 l+ + b r l dir. Tüm alt kümelerinin sayısı, n n n n n b l+ b l+ b l+... + b l 2 dir. 0 1 2 n b n n 0 l b n l 1 b n l b n l n 1 n - 1 n n b l b l ise a b veya a + b n dir. a b E {a, b, c, d, e} kümesinin; a) 2 elemanlı alt kümelerini, b) En az 2 elemanlı alt kümelerini, c) En çok 2 elemanlı alt kümelerini, ç) Tüm alt kümelerini hesaplayalım. 2 1 1 5 5! 5 $ 4 $ 3 $ 2 $ 1 a) s(e) 5 olduğuna göre c m 10 dur. 2 ^5-2h! $ 2! 3 $ 2 $ 1$ 2 $ 1 1 1 1 E kümesinin 2 elemanlı 10 tane alt kümesi vardır. b) 5 5 5 5 c m+ c m+ c m+ c m 10 + 10+ 5+ 1 26 dır. 2 3 4 5 E kümesinin en az 2 elemanlı 26 tane alt kümesi vardır. c) c 5 5 5 1 5 10 16 0 m+ c 1 m+ c 2 m + + dır. E kümesinin en çok 2 elemanlı 16 tane alt kümesi vardır. ç) c 5 5 5 5 5 5 1 5 10 10 5 1 32 0 m+ c 1 m+ c 2 m+ c 3 m+ c 4 m+ c 5 m + + + + + dir. E kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı 32 dir. 21
Sayılar ve ebir Eşit Kümeler " x ; 0 # x # 5, x! Z, ve " x ; x 1 6, x! N, kümelerinin elemanlarını karşılaştıralım. " x ; 0 # x # 5, x! Z, ise {0, 1, 2, 3, 4, 5} tir. " x ; x 1 6, x! N, ise {5, 4, 3, 2, 1, 0} dır. s() 6 ve s() 6 olduğundan s() s() dir. yrıca ve kümelerinin elemanları birbirinin aynısıdır. veya yazabiliriz. ynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir. ve eşit kümeler ise, eşit kümeler değil ise ] şeklinde gösterilir. ve eşit kümeler ise 1 veya 1 yazılabilir. LIŞTIRMLR 1. şağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri doldurunuz. a) lt kümesidir sembolü..., kapsar sembolü... şeklindedir. b) lt küme sayısını veren formül..., öz alt küme sayısını veren formül ise... dir. c)... ve... bütün kümelerin alt kümesidir. ç) Eşit kümeler birbirlerinin... 2. {a, b, c, d} kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) 4 ) 8 ) 16 D) 32 E) 40 3. şağıda verilen ifadeler T " a, " b,, c, " cd,,, e, kümesine göre doğru ise D, yanlış ise Y yazınız. a)... a T b)... d T c)... a T ç)... {a, c} T d)... {c, d} T e)... {a, b, c} T f)... " a, " c, d,, T g)... {c, e} T h)... e T 4. 7 elemanlı bir kümenin kaç tane alt kümesi vardır? 5. ir kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit ise bu küme kaç elemanlıdır? ) 4 ) 5 ) 6 D) 8 E) 9 22
Sayılar ve ebir 6. {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 15 ) 20 ) 25 D) 30 E) 35 7. " a, b, " c,," de,,,, fg, kümesinin öz alt küme sayısı kaçtır? ) 60 ) 61 ) 62 D) 63 E) 64 8. lt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı 63 olan kümenin eleman sayısı kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 D) 7 E) 8 9. D {1, 2, 3, a, b} kümesinin en az 4 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? ) 4 ) 5 ) 6 D) 7 E) 8 10. V {a, 1, b, 2, c, 3} kümesinin en çok 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? ) 18 ) 19 ) 20 D) 21 E) 22 11. " x ;-1 # x 1 6, x! Z, kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 35 ) 30 ) 25 D) 20 E) 15 12. " x ;-7 1 x # 8, x! Z, kümesinin 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? 13. " a, b, 12,, c, 3, kümesinin en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? 14. " x ;-3 # x 1 5, x! N, kümesinin en çok 4 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? 15. lt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı 127 olan kümenin en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? 16. " x ;-2 # x # 2, x! Z, kümesinin en çok 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? 23
Sayılar ve ebir 9.1.2 Kümelerde İşlemler Küme kavramının matematiğe George antor (orc Kantor) (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Elbette antor dan önce de adına küme denilmese de matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanıyorlardı. antor, kümeler kuramının temellerine ilişkin kapsamlı soruları ortaya koydu. Onun çalışmaları ve sorularından yola çıkarak matematiğin temelleri incelendi, araştırıldı, çıkmazları keşfedildi, paradokslarından temizlendi. u gelişmeler, matematiğin 20. yüzyılın ilk yarısında büyük ürünler vermesini sağladı. unun etkisiyle, Türkiye de örgün öğretim programlarına modern matematik olarak adlandırılan konular dâhil edildi. yeşil mor ra Renkler Nasıl Oluşur turuncu Renk, ışığın gözün retinasına değişik biçimde ulaşması ile ortaya çıkan bir algılamadır. u algılama, ışığın maddeler üzerine çarpması ve kısmen soğurulup kısmen yansıması nedeniyle çeşitlilik gösterir ki bunlar renk tonu veya renk olarak adlandırılır. Tüm dalga boyları birden aynı anda gözümüze ulaşırsa bunu beyaz, hiç ışık ulaşmazsa siyah olarak algılarız. na ve ara renkler vardır. na renklerin ikili olarak ve eşit oranlarda karışımından meydana gelen renkler ara renkler ya da yardımcı renkler olarak adlandırılır. Turuncu, yeşil ve mor ara renklerdir. Kırmız + Sarı Turuncu; Mavi + Sarı Yeşil; Mavi + Kırmızı Mor oluşur. Yukarıdaki ifadeleri kümelerle nasıl ilişkilendirebilirsiniz? Yeşil bölgedeki elemanların mavi ve sarı bölgeye de ait olduklarını söylemek doğru olur mu? çıklayınız. Kümelerde irleşim, Kesişim, Fark ve Tümleme İşlemleri {1, 2, 3, 4, 5}, {3, 4, 5, 6, 7} kümelerinin bütün elemanlarından oluşan kümeyi ifade edelim. {1, 2, 3, 4, 5}, {3, 4, 5, 6, 7} kümelerinin bütün elemanlarından oluşan küme her eleman sadece bir kez yazıldığından {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dir. 1 3 6 1 3 6 4 4 2 5 7 2 5 7 ve nin bütün elemanlarını içeren küme İki veya daha fazla kümenin tüm elemanlarından oluşan kümeye birleşim kümesi denir. ve kümelerinin birleşim kümesi ile gösterilir. Örneğimizde {1, 2, 3, 4, 5}, {3, 4, 5, 6, 7} için {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dir. 24
Sayılar ve ebir {1, 2, 3, 4}, {1, 4, 5, 6} ve {1, 2, 5, 7, 8} kümeleri için a) b) c) d) kümelerini bulalım. 3 4 6 1 2 5 3 4 6 1 2 5 7 8 {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} 3 4 6 1 2 5 7 8 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 7 8 3 2 4 1 5 6 3 4 1 6 2 5 7 8 7 8 {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} olur. Kümelerde birleşim işleminin özelliklerini basit örneklerle keşfedelim. 1) {1, 2, 3} ve {3, 4, 5} kümeleri için {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3, 4,5} ve kümeleri için (değişme özelliği) sağlanır. 2) {1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {1, 5, 6} kümeleri için ( ) {1, 2, 3, 4, 5} {1, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( ) {1, 2, 3} {1, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( ) ( ) 25
Sayılar ve ebir, ve kümeleri için ( ) ( ) (birleşme özelliği) sağlanır. 3) {1, 2, 3} ve Ø { } için Ø {1, 2, 3} { } {1, 2, 3} dır. Herhangi bir kümesi için Ø sağlanır. 4) {1, 2, 3} için {1, 2, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 3} dır. Herhangi bir kümesi için sağlanır. 5) {1, 2, 3} ve D {1, 2} için (D için) D {1, 2, 3} {1, 2} {1, 2, 3} dır. D için D sağlanır. {1, 2, 3, 4, 5}, {3, 4, 5, 6, 7} kümelerinin sadece ortak elemanlarından oluşan küme {3, 4, 5} dir. 1 2 3 4 5 6 7 3 4 5 ve nin sadece ortak elemanlarını içeren küme İki veya daha fazla kümenin sadece ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir. ve kümelerinin kesişim kümesi ile gösterilir. Örneğimizde {1, 2, 3, 4, 5} ve {3, 4, 5, 6, 7} için {3, 4, 5} dir. 26
Sayılar ve ebir {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 5, 6} ve {1, 3, 6, 7} kümeleri için a) b) c) d) kümelerini bulalım. 4 2 1 3 {1, 3} 7 5 6 4 2 1 3 6 5 4 2 1 5 3 6 7 {1, 2} 7 2 4 1 3 6 5 4 2 5 1 3 6 7 {1, 6} {1} 7 olur. Kümelerde kesişim işleminin özelliklerini basit örneklerle keşfedelim. 1) {1, 2, 3} ve {3, 4, 5} kümeleri için {1, 2, 3} {3, 4, 5} {3} {3, 4, 5} {1, 2, 3} {3} ve kümeleri için (değişme özelliği) sağlanır. 2) {1, 2, 3}, {3, 4, 5} ve {3, 1, 5, 6} kümeleri için ( ) {3} {3, 1, 5, 6} {3} ( ) ( ) ( ) {1, 2, 3} {3, 5} {3}, ve kümeleri için ( ) ( ) (birleşme özelliği) sağlanır. 3) {1, 2, 3} ve Ø { } için Ø {1, 2, 3} { } { } Ø dir. Herhangi bir kümesi için Ø Ø sağlanır. 4) {1, 2, 3} için {1, 2, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 3} dır. Herhangi bir kümesi için sağlanır. 27
Sayılar ve ebir 5) {1, 2, 3} ve D {1, 2} için (D için) D {1, 2, 3} {1, 2} {1, 2} D dir. D için D D dir. {a, b, c, d} ve {c, d, e, f} kümeleri için kümesinin eleman sayısını belirleyelim. {a, b, c, d}, {c, d, e, f}, {c, d} ve {a, b, c, d, e, f} dir. s() 4, s() 4, s( ) 2 ve s( ) 6 dır. x y z ^+ h x y + y z y x + y + z x + y + y + z y den s ^, h s^h+ s^h- s^+ h olur. x y z m n k t x m y n + + + n + + k y z m n n y + + m k n + n n t k x + y + z + m + n + k + t x + y + n + m + y + z + n + k + t + m + n + k (y + n) (m + n) (n + k) + n s ^,, h s ^ h+ s ^ h+ s ^ h-s ^ + h-s^+ h- s ^ + h+ s^+ + h olur. 28
Sayılar ve ebir Örneğimizde s( ) s() + s() s( ) s( ) 4 + 4 2 s( ) 6 olur. 35 kişilik bir grupta 12 kişi nkara yı, 11 kişi İstanbul u, 5 kişi de hem nkara yı hem de İstanbul u görmek istiyor. nkara veya İstanbul u görmek istemeyen kaç kişi vardır? ulalım. nkara yı görmek isteyen 12 kişi s() 12 İstanbul u görmek isteyen 13 kişi s(i) 13 12 5 5 11 5 İ nkara ve İstanbul u görmek isteyen 5 kişi s( İ) 5 s( İ) s() + s(i) s( i) 12 + 13 5 20 Grup 35 kişi olduğundan 35 20 15 kişi İstanbul u veya nkara yı görmek istemiyor. İstanbul veya nkara yı görmek istemeyenler 35 kişilik bir sporcu grubunda herkes yüzme, futbol veya basketbol branşlarından en az biri ile ilgilenmektedir. Yüzme ile ilgilenen 17, futbol ile ilgilenen 18, basketbol ile ilgilenen 19 kişi, yüzme ve basketbol ile ilgilenen 8, yüzme ve futbol ile ilgilenen 8, futbol ve basketbol ile ilgilenen 8 kişi olduğuna göre her üç branşla ilgilenen kaç kişi vardır? ulalım. Y x F Sporcu grubunda; Yüzme s(y) 17 Futbol s(f) 18 asketbol s() 19 Yüzme ve basketbol s(y ) 8 Yüzme ve futbol s(y F) 8 Futbol ve basketbol s(f ) 8 s(y F ) s(y) + s(f) + s() s(y F) s(y ) s(f ) + s(y F ) 35 17 + 18 + 19 8 8 8 + s(y F ) s(y F ) 5 üç branşla ilgilenen kişi sayısı 5 tir. 29
Sayılar ve ebir 24 kişilik bir grup elma veya portakallardan en az birini yiyenlerden oluşmaktadır. Portakal yiyenler her iki meyveyi de yiyenlerin 4 katı, elma yiyenler her iki meyveyi de yiyenlerin 3 katı olduğuna göre elma yiyenler kaç kişidir? ulalım. Portakal yiyenlerin kümesini P, elma yiyenlerin kümesini E ile gösterelim. Her iki meyveyi yiyenlerin sayısı s(p E) x olsun. s(p) 4x, s(e) 3x s(p E) s(p) + s(e) s(p E) 24 4x + 3x x 24 6x ise x 4, elma yiyenler 3x 3.4 12 kişidir. P 3x x 2x E {1, 2, 3, 4} ve {3, 4, 5, 6, 7} kümeleri için Venn şeması oluşturalım. a) kümesinde olup da kümesinde olmayan elemanları belirleyelim. b) kümesinde olup da kümesinde olmayan elemanları belirleyelim. {1, 2, 3, 4} ve {3, 4, 5, 6, 7} kümeleri için Venn şeması a) b) 5 1 3 1 şeklindedir. 4 6 2 2 7 da olup de olmayan elemanlar 5 6 7 de olup da olmayan elemanlar ve iki küme olsun. kümesinde olup kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye fark kümesi denir. ile gösterilir. Örneğimizde {1, 2}, {5, 6, 7} dir. {1, 2, 3, 4}, {3, 4, 5, 6} ve {5, 6, 7, 8} kümeleri için,,, kümelerini belirleyelim. 1 5 2 6 3 5 7 3 7 6 4 8 4 8 Ø, {5, 6} {3, 4} Ø 30
Sayılar ve ebir Ortak elemanı bulunmayan kümelere ayrık kümeler, ortak elemanı bulunan kümelere ayrık olmayan kümeler denir. Örneğimizde ve kümeleri ayrık kümeler, ve kümeleri ayrık olmayan kümelerdir. yrık kümelerde fark kümesi kümelerden bir tanesine eşittir. E evrensel küme,, E olmak üzere E {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, {1, 2, 3, 4}, {3, 4, 5, 6} dır. kümesinde bulunmayan ve kümesinde bulunmayan elemanları belirleyelim. Kümeleri Venn şeması ile gösterelim. 1 2 3 4 E 5 6 7 kümesinde bulunmayan elemanların kümesi {5, 6, 7} dir. kümesinde bulunmayan elemanların kümesi {1, 2, 7} dir. E evrensel kümesine ait kümesi bulunsun. kümesinde olmayıp E kümesinde bulunan elemanların kümesine nın tümleyeni denir. ile gösterilir. s() + s( ) s(e) dir. Örneğimizde {5, 6, 7}, {1, 2, 7} dir. s() 4, s( ) 3 s(e) 3 + 4 7 sağlanır. Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin özelliklerini basit örneklerle inceleyelim. E {1, 2, 3, 4} ve {1, 2} olmak üzere 1) E ise {3, 4} olduğundan E dir. E ise E dir. 2) {1, 2} {3, 4} {1, 2, 3, 4} E 1 3 2 4 E E dir. 3) {1, 2} {3, 4} Ø Ø 4) E { 1234,,, } Ø ve Ø { 1234,,, } E E Ø ve Ø E dir. 31
Sayılar ve ebir 5) ^ h 6" 12,, @ 6" 34,,@ " 12,, ^ h dir. 6) E- " 1, 234,,,-" 12,, " 34,, E dir. E 7) " 12,,-" 34,, " 12,, dir. E " 23,, olsun. ^,! Eh 8) - " 12,,-" 23,, " 1, + " 12,, + " 14,, " 1, 123 - + E,! E ise - + dir. 9) ^-h 6 " 12,,-" 23,,@ " 1, " 2, 34,,, " 34,,," 23,, " 234,,, 123 ^- h, E ^- h, dir. 10) ^, h 6 " 12,,," 23,,@ " 123,,, " 4, + " 34,, + " 14,, " 4, 123 ^, h + E ^+ h 6 " 12,, + " 23,,@ " 2, " 134,,,, " 34,,," 14,, " 134,,, 123 ^+ h, E ^, hl l+ l ^+ hl l, l De Morgan kuralları " 3, 4, olsun. 11), ^+ h " 12,,, " 3, " 1, 23,, ^, h+ ^, h " 1, 23,, + " 1234,,,, " 123,,, 123, ^+ h ^, h+ ^, h + ^, h " 12,, + " 234,,, " 2, ^+ h, ^+ h " 2,, Ø " 2, 123 + ^, h ^+ h, ^+ h, ^+ h ^, h+ ^, h + ^, h ^+ h, ^+ h dağılma özelliği 32
Sayılar ve ebir ile E evrensel kümesinin alt kümesidir. + ^, h kümesini sade hâli ile yazalım. + ^, h + ^ + h ^+ h + Ø+ Ø De Morgan kuralı birleşme özelliği ile E Evrensel kümesinin alt kümesidir. 6 ^+ h, @ kümesini sade hâli ile yazalım. 6 ^+ h, @ ^+ h + ^, h + ^ + h, ^+ h Ø, ^+ h + olur. dağılma özelliği ile E evrensel kümesinin alt kümesi ve,! E olsun. + ^- h kümesini sade hâli ile yazalım. + ^- h + ^+ h ^ + h + Ø+ Ø olur. De Morgan kuralı 8. özellik birleşme özelliği ir sınıftaki öğrencilerin 14 ü gözlük kullanıyor, 16 tanesi kullanmıyor. Öğrencilerin 18 i kız olduğuna göre erkek öğrenci sayısı kaçtır. ulalım. Gözlük kullananlar kümesi Gözlük kullanmayanlar kümesi Kız öğrenciler kümesi Erkek öğrenciler kümesidir. s ^ h 14 + s ^ h 16 s ^ h+ s^ h 30 123 se ^ h sınıf mevcudu s ^ h+ s ^ h se ^ h 18 + s ^ h 30 " s ^ h 12 u sınıfta 12 erkek öğrenci vardır. ir gemide 70 kişi vardır. Gemideki yolculardan yalnız İtalya ya ve yalnız lmanya ya gidenler her iki ülkeye de gidenlerin 5 katıdır. 10 kişi bu iki ülkeye de gitmediğine göre bu gemide her iki ülkeye de giden kaç kişi vardır? ulalım. 33
Sayılar ve ebir İtalya ya giden yolcuları İ, lmanya ya giden yolcuları ile göstererek Venn şeması oluşturalım. İ s^, h 70-10 60 a x b a + b 5x 123 123 10 5x + x 60 6x 60 x 10 Her iki ülkeye de giden 10 kişi vardır. u iki ülkeye gitmeyenler Yalnız lmanya ve yalnız İtalya ya gidenler Her iki ülkeye de gidenlerin 5 katı s ^ - h 6, s^- h 3 ve, nin alt küme sayısı 1024 olduğuna göre kümesinin alt küme sayısını bulalım. 1024 2 10 10 s^, h 6 x 3 s ^, h s^h+ s^h- s^+ h s( ) s( ) 10 6 + x + 3 + x x x 1 s^+ h kümesinin eleman sayısı 1 + 3 4 ve alt küme sayısı 2 4 16 dır. 30 kişilik bir sınıfta 15 kişi resim, 9 kişi heykel, 14 kişi, seramik sanatıyla ilgileniyor. u sanatlardan yalnız ikisi ile ilgilenen 14 kişi, hiçbiri ile ilgilenmeyen 2 kişi olduğuna göre her üç sanatla da ilgilenen kaç kişi olduğunu bulalım. R a c x b H 2 Resim R, heykel H, seramik S ile gösterilsin. Kümelerin içindeki ifade veya sayılar eleman sayılarını göstermektedir. Yalnız iki sanatla ilgilenenler a + b + c 14 s^r, H, Sh 30-2 28 dir. 15 a c x 14 a b x S 9 c b x Hiçbir sanatla ilgilenmeyen + 15 a c x 14 a b x 9 c b x a + b + c + x 15 + 14 + 9- ^a+ b+ ch- 2x 28 123 14 24 2x 28 2x 4 x 2 Her üç sanatla da ilgilenen 2 kişi vardır. 34
Sayılar ve ebir İki Kümenin Kartezyen Çarpımı irçoğumuz bazı müsabakalara izleyici olarak katılmışızdır. İzleyici olarak katıldığımız müsabakalara ait biletlerde sıra 2, koltuk 17 gibi ifadelerle karşılaşırız. ir seyircinin oturması gereken koltuk genellikle iki ayrı veri ile ifade edilmektedir. (2, 17) 2. sıranın 17. koltuğu Sıra numarası Koltuk numarası a ve b elemanlarının belirttiği (a, b) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. u ikililere sıralı denilmesinin sebebi bileşenlerin yerleri değiştiğinde sıralı ikilinin değişmesidir. (x, y) sıralı ikilisinde x birinci bileşen, y ikinci bileşendir. (2, 17) 2 sırasının 17. koltuğu (17, 2) 17. sıranın 2. koltuğu 123 (2, 17) (17, 2) olduğuna dikkat ediniz. İki sıralı ikilinin birbirine eşit olması, birinci ve ikinci bileşenlerin kendi aralarında birbirlerine eşit olmasıdır. (a, b) (c, d) için a c ve b d olmalıdır. (x + 4, y 5) (9, 13) ise x + y değerini bulalım. (x + 4, y 5) (9, 13) x + 4 9 ve y 5 13 x 5 y 18 x + y 23 olur. (x y, 4) (32, 2x) ise x. y değerini bulalım. x y 32 ve 4 2x olmalıdır. x 2 ise 2 y 32, 2 y 2 5 y 5, x. y 2.5 10 olur. b x, y x, 5 2 - l ^2 14 h ise y değerini bulalım. x 2 ve 2y x 14 olmalıdır. 5 x 10 ve 2y 10 14 2y 24 y 12 olur. 35
Sayılar ve ebir 2 gömlek ve 3 eteği olan bir bayanın aynı anda bir gömlek ve bir eteği kaç farklı şekilde giyebileceğini bulalım. Gömlekleri G 1. G 2 Etekleri E 1, E 2, E 3 ile temsil ederek sıralı ikililer hâlinde yazalım. Gömlekler kümesi G {G 1, G 2 } Etekler kümesi E {E 1, E 2, E 3 } ayan (G 1, E 1 ), (G 1, E 2 ), (G 1, E 3 ), (G 2, E 1 ), (G 2, E 2 ), (G 2, E 3 ) olmak üzere 6 farklı şekilde giyinebilir. Oluşturduğumuz sıralı ikililerin birinci bileşeni G, ikinci bileşeni E kümesinden alınan elemanlarla oluşturulmuştur. oştan farklı ve kümeleri için, birinci bileşen dan, ikinci bileşen den alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine ve kümelerinin kartezyen çarpımı denir ve x ile gösterilir. x " ^xy, h: x d ve y d, dir. {1, 2, 3} ve {a, b} kümeleri için x ve x yı bulalım. x {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} s( x ) 6 x {(a, 1), (a, 2), (a,3), (b,1), (b, 2), (b,3)} s( x ) 6 s( x ) s( x ) dır. Fakat x x olur. oştan farklı ve kümeleri için s( x ) s( x ) sağlanır. Fakat x x dır. {x, y, z, t}, {a, b}, {1, 2, 3} için x ve x yi bulalım, eleman sayılarını inceleyelim. x {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z,b), (t, a), (t, b)} s( x ) 8 s(). s() x {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} s( x ) 6 s(). s() oştan farklı ve kümeleri için s( x ) s(). s() dir. 36
Sayılar ve ebir {1, 2}, {3, 4, 5} için x ve x yı bulalım, grafiklerini çizelim. x {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} x {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)} 2. bileşen 5 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x 1. bileşen {x : 1 x 2 ve x Q}, {1, 2, 3} için x nin grafiğini çizelim, eleman sayısını belirleyelim. {x : 1 x 2 ve x Q}, kümesi rasyonel sayılarda tanımlıdır. 1 ile 3 arasındaki (1 ve 3 dâhil) sonsuz sayıyı ifade eder. u durumda x de sonsuz elemanlı olur. 3 2 1 1 2 3 3 {x : 1 x 2 ve x Q} olduğundan c, 1m sıralı ikilisi x nin elemanıdır, bu yüzden grafiğin bazı bölümleri nokta değil de çizgi ile ifade 2 edilmiştir. {x : 1 x 3 ve x Q}, {x : 2 x 4, x Q}, için x nin grafiğini çizelim, eleman sayısını belirleyelim. {x : 1 x 3 ve x Q} ve {x : 2 x 4, x Q} kümeleri rasyonel sayılardan oluşmaktadır. ve kümeleri sonsuz elemanlı olduğundan x de sonsuz elemanlıdır. 4 3 2 1 1 2 3 4 3 5 {x : 1 x 3 ve x Q} ve {x : 2 x 4, x Q} c, m sıralı 2 2 ikilisi x nin elemanıdır. x nin sıralı ikililerinin birinci ve ikinci bileşkeleri sonsuz elemanlı olduğundan grafik taralı bölge ile ifade edilir. {x : 1 x < 4 ve x Q}, {2,3}, için x nin grafiğini çizelim, eleman sayısını belirleyelim. 4 kümesi sonsuz elemanlı olduğundan x de sonsuz elemanlıdır. 3 2 1 1 2 3 4 (4, 2) ve (4, 3) sıralı ikilileri x nin elemanı değildir. Grafikte (4, 2) ve (4, 3) noktaları boşluk (dâhil değil) ile belirtilmiştir. 37
Sayılar ve ebir LIŞTIRMLR 1. şağıdaki ifadelerin doğru olanlarını, yanlış olanlarını X işaretiyle belirtiniz. a)... iki veya daha fazla kümenin bütün elemanlarından oluşan kümeye birleşim kümesi denir. b)... iki veya daha fazla kümenin sadece ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir. c)... kümesinde olup da kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu küme ile gösterilir. ç)... kümesinde olmayıp evrensel kümede bulunan elemanlardan oluşan küme ile gösterilir. d)... Sıralı ikililer kartezyen çarpım kümelerinden oluşur. 2. s() 12 ve s() 4 ise, en az ve en çok kaç elemanlı olabilir? 3. ve aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. s ( ) + s ( ) 13 olduğuna göre s(e) kaçtır? s ( ) + s ( ) 21 ) 17 ) 18 ) 19 D) 20 E) 21 4. ile E evrensel kümesinin alt kümesidir. ^ + h, kümesinin sade hâli aşağıdakilerden hangisidir? ) + ) Ø ) D) E) E 5. f e d E Yanda E evrensel kümesinin alt kümesi olan, ve kümeleri verilmiştir. şağıda istenen kümeleri c bulunuz. b a ) ^, h ) + ) - ^, h 6. ve kümeleri için s (, ) 18, s( ) 6 ve s() 3. s^+ h ise s^+ h kaçtır? ) 3 ) 4 ) 5 D) 6 E) 7 7. ve kümeleri için s() 12, s() 16, s^, h 23 olduğuna göre kümesi kaç elemanlıdır? ) 8 ) 9 ) 10 D) 11 E) 12 38
Sayılar ve ebir 8. + + kümesi aşağıdakilerden hangisinde doğru gösterilmiştir? ) ) ) D) E) 9. 38 kişilik bir turist kafilesinde 18 kişi lmanca, 12 kişi Fransızca ve 5 kişi de hem lmanca hem de Fransızca konuşabilmektedir. u kafilede Fransızca veya lmanca konuşamayan kaç turist vardır? 10. ve E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s(e) 30 ve s^ + h 12 ise, kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 12 ) 16 ) 18 D) 20 E) 22 11. 40 kişilik bir grupta herkes İngilizce konuşabiliyor. 13 kişi lmanca ve Fransızca biliyor. Yalnız İngilizce konuşabilen 20 kişi olduğuna göre lmanca ve Fransızcadan yalnız birini bilen kaç kişi vardır? 12. 20 kişilik bir grup İngilizce, Franasızca, hem İngilizce hem de Fransızca bilen ya da hiçbirini bilmeyenlerden oluşmaktadır. İngilizce bilenlerin sayısı; sadece Fransızca bilenlerle, hiçbirini bilmeyenlerin sayıları toplamına eşit olduğuna göre İngilizce bilenler kaç kişidir? 13. (3x + 2y, 2x + 3y) (5,7) ise x + y kaçtır? ) 12 5 ) 13 5 ) 11 5 D) 14 5 E) 5 14. {2, 3, 4}, {x : 1 x 3 ve x Q} olmak üzere x nin grafiğini çiziniz, eleman sayısını belirleyiniz. 15. s() 5, s() 7, s() 10 olduğuna göre ( x ), ( x ) kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir? ) 70 ) 75 ) 80 D) 85 E) 90 39