BİYOİSTATİSTİK OLASILIK

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT

*Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde bulunan birimlere eleman adı verilmektedir. *Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle, elemanlar ise a, b, c gibi küçük harflerle gösterilirler. Kümelere, takım sınıf, cümle, set gibi isimler de verilmektedir. *Eğer herhangi bir a elemanı, herhangi bir B kümesine ait ise a B *Eğer a, B nin elemanı değilse 2 a B şeklinde yazılır.

*Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın olasılığının hesaplanmasında, mümkün haller sayısı çok büyük ise olayın doğrudan sıralanması veya sayılması uzun zaman alır ve bazı hallerde doğrudan saymak mümkün olmaz. Bu gibi durumlarda saymayı kolaylaştırıcı bazı tekniklere ihtiyaç duyulur. Bu tekniklere sayma teknikleri (combinational analysis) adı verilir. *Çarpma Kuralı: A1 ve A2 kümeleri sırasıyla n1 ve n2 eleman içeriyorsa, A1 in bir elemanı ile A2 nin bir elemanını seçmenin n1 * n2 değişik yolu vardır. Yani iki olay aynı anda n1 * n2 değişik şekilde meydana gelir. 3

*Bir işin yapılabilmesi için k 1, ikinci bir işin yapılabilmesi için k 2,, n. bir işin yapılabilmesi için ise k n yol varsa, bu n tane işin yapılabilmesi için *k 1. k 2.....k n *farklı yol vardır. *Buna çarpmanın (saymanın) temel kuralı adı verilmektedir. 4

*Çarpım Kuralının Genelleştirilmesi: A1, A2,...,Ak kümeleri sırasıyla n1, n2,..., nk eleman içeriyorsa, önce A1 in bir, sonra A2 nin bir, sonra A3,..., Ak nin bir elemanını seçmenin n1*n2*n3*,..., *nk değişik yolu vardır. Yani k olay bir arada n1* n2*...*nk farklı şekilde meydana gelir. *Örnek: Test şeklinde yapılan bir sınavda 5 soru ve 5 cevap şıkkı varsa bir öğrenci bu 5 soruyu kaç farklı şekilde cevaplandırır. *5*5*5*5*5 = 5 5 = 3125 değişik şekilde işaretleyebilir. 5

*Örnek: 30 kişilik bir sınıftan bir başkan seçimi 30 değişik biçimde yapılabilir, başkan seçildikten sonra, geriye kalan 29 kişiden bir başkan yardımcısı seçileceğinden dolayı, başkan yardımcısı seçimi de 29 değişik biçimde yapılabilir. Saymanın temel prensibine göre bu iki işin yapılabilmesi için *30 29 = 870 farklı yolu vardır. *K1 k2=k1*k2 6

*Örnek: A dan B ye üç, B den C ye ise iki farklı yol vardır. B ye uğramak şartıyla A dan C ye kaç farklı yolla gidilebilir? *Çözüm: Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, *A dan B ye herhangi bir yolla gelen C ye 2 değişik yolla gidebilir. *Bu durum 3 de tekrar edeceğinden A dan C ye 3*2 = 6 değişik yolla gidilebilir. 7

*l den n e kadar pozitif tam sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! sembolü ile gösterilir ve n! = n * (n -1) * (n - 2) * *3 *2 * 1 biçiminde yazılır. 0! = 1 olarak kabul edilir. *Örnek 5!=5*4*3*2*l = 120 a) 5! 3! = 5 4 3 2 1 3 2 1 =20 b) (7-3)! = 4! = 4 * 3 * 2 * I = 24 c) d) ( x ( x ( x ( x 2)! 1)! 2)! 1)! ( x 2)*( x 1)! ( x 1)! x ( x 2)*( x 1)*( x)*( x 1)! 8 ( x 1)! 2 ( x 2)*( x 1)*( x)

*n Elemanlı bir kümeden r eleman çekilerek sıra önemli olmak kaydıyla sıralanması halinde bunun kaç farklı şekilde sıralandığını gösteren sayıya permütasyon adı verilir. *Başka bir ifade ile n N olmak üzere, n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r (r n) tane elemanının her bir farklı dizilişine bu kümenin r li bir permütasyonu denir ve şöyle formüle edilir; *P 3,2 = 3! 3 2! = 3! 1! = 6 *Burada (!) işareti faktöriyel olarak adlandırılır ve bunun altındaki bütün pozitif tam sayıların çarpılacağı anlamına gelir. n! = n.(n-1).(n-2)...olarak yazılır. 9

*Örnek: A = {x,y,z} olmak üzere, A nın 2 li permütasyonlarının dizilişi, *xy xz yz *yx zx zy *biçiminde altı tanedir. Bu durum permütasyonla aşağıdaki gibi hesap edilir. *P 3,2 = 3! (3 2)! = 3! 1! =6 10

*Örnek: Bir rafta birbirinden farklı 5 tane Matematik, 2 tane Fizik ve 3 tane Kimya kitabı vardır. Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yan yana sıralanabilir? *Çözüm: 5 Matematik kitabını 1 kitap, 2 Fizik kitabını 1 kitap ve 3 Kimya kitabı 1 kitap olarak düşünülürse, bunlar 3! şeklinde sıralanır. 5 Matematik kitabı kendi arasında 5!, 2 Fizik kitabı kendi arasında 2! ve 3 Kimya kitabı da kendi arasında 3! şeklinde sıralanabilir. Şu halde kitaplar bir rafa; 3!*5!*2!*3! = 8640 farklı şekilde sıralanır. *Örnek: 8! = a ise ( 10! 9! ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? *Çözüm: 10! 9! = 10 * 9! 9! = 10*9*8!-9*8! 10*9*a-9*a 90a-9a=81a olur. 11

*Örnek: 20 kişinin katıldığı bir yarışmada ilk üç derece kaç farklı şekilde olabilir? *Çözüm: Örnekte ilk üç derece önemli olduğundan permütasyon uygulanması gerekir. 20! 20! 20191817! 20 P3 201918 (20 3)! 17! 17! 6840 12

*n eleman içeren bir kümede r1 eleman birbirinin aynısı, r2 eleman birbirinin aynısı,... rk eleman birbirinin aynısı ise n elemanın Permütasyon sayısı n! r!r!... r! 1 2 k şeklinde hesaplanır. *Örnek: ÇANAKKALE kelimesinin harfleri ile kaç farklı kelime yazılabilir? *Çözüm: Kelimede A 3 kez, K 2 kez tekrarlanmış, n = 9 (harf sayısı) olduğuna göre; r!r 1 2 n!!... r k! 9! 30240 olur. 3!2! *Örnek: Bir sınıfta bulunan 15 öğrenciye 3 farklı test verilecektir. Her testi alan öğrenci sayısı aynıdır. Dağıtım kaç farklı şekilde gerçekleştirilir. 15! 756756 5!5!5! 13

*n tane farklı elemanın daire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması adı verilir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yan yana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur. *Örnek: 7 kişilik bir komisyon bir masa etrafında oturacaktır. a) Bu komisyon yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir? b) Bu komisyon düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir? c) Komisyon başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler? Çözüm: a) (7-1)! = 6! = 720; b) 7! = 5040; c) (6-1)! *2! = 5!*2! = 240 14

*Eşitliği ile hesaplanır. Burada dikkat edilirse, kombinasyon ve permütasyon arasındaki ilişki, olur *n N olmak üzere, n farklı nesnenin (düzenleme sırasına bakılmaksızın) r (r n) elemanlı alt kümelerinin her birine bu kümenin r li bir kombinasyonu denir. n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı C(n,r) veya ile gösterilir ve r n! )! (! r r n n r n C r n ), (! ) ; (! ) ; ( ), (! )! (! ), (! )! (! r n C r r n P r r n P r n C r r n n r n C r r n n r n C r n 15

*Permütasyon sıranın önemli olduğu problemlere uygulanmaktadır. Ancak bazı problemlerde sıranın önemi yoktur. Böyle durumlarda Permütasyon uygulamak doğru olmaz. Sıra önemli olmak şartıyla a,b,c,d harflerinden üçerli gruplar oluşturulduğunda aşağıdaki sonuçlar elde edilir. abc acb bac bca cab cba r! = 3! =6 abd adb bad bda dab dba r! = 3! =6 acd adc cad cda dac dca r! = 3! =6 bcd bdc cbd cdb dbc dcb r! = 3! =6 *Tablodan görüleceği üzere üçerli grupların sayısı yani, Permütasyon sayısı; 4! (4 3)! olacaktır. *Sıra önemli olduğundan yukarıdaki her satır sadece bir alt kümenin permütasyonundan ibarettir. 24 16

*Örnek: A - {x,y,z} olmak üzere, A nın 2 li permütasyonlarının dizilişi, xy xz yz yx zx zy biçiminde altı tanedir. A kümesinin 2 li kombinasyonlarının sayısı, diğer bir deyişle; 3 elemanlı A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 3 tanedir. Çünkü, bir kümenin elemanlarının yeri değiştiğinde, yeni bir durum ortaya çıkmaz. Yani {x,y} ile {y,x}aynı durumdur ve {x,y}= {y,x} olur. Dolayısıyla, permütasyon 3! 3! 3! 3*2 P( 3;2) 3*2 6 C( 3,2) 3 (3 2)! (3 2)!*2! (1)!*2! 2 olarak bulunur. Görüldüğü üzere, P(3;2) = 2!*C(3,2) eşitliği sağlanmaktadır 17

*Örnek: 10 üyesi olan bir dernekte 3 kişilik bir komisyon kaç değişik şekilde teşkil edilebilir. *Çözüm: Komisyonda bulunan şahısların seçim sırası önemli olmadığına göre kombinasyon formülü uygulanır. C 10 3 10 3 10! (10 3)!3! 10! 7!3! 10.9.8.7! 7!3! 120 18

*Rassal Deney: Rassal herhangi bir olayın, belli bir anda meydana gelip gelmemesi konusunda daima bir belirsizlik vardır. Bu sebeple olasılık hesaplarının konusunu rassal sonuçlar veren deneyler teşkil eder. *Meydana gelmesi beklenen bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında bir değer olur. Eğer bir olayın kesinlikle olacağından emin olunuyorsa olayın meydana gelmesi %100 olup olasılığı 1 ile gösterilir. *Tersine bir olay kesinlikle olmaz deniyorsa o olayın olasılığı da sıfırdır. *Aynı şartlar altında farklı sonuçlar veren deneylere rassal deney denir. Bir madeni paranın veya zarın havaya atılması deneyi, rassal deneye örnek olarak verilebilir. 19

*Örnek Uzay: Bir rassal deneyin mümkün bütün sonuçlarının kümesine örnek uzay denir. S, bir deneyin örnek uzayını, s de, bu uzaya ait herhangi bir mümkün sonuç olsun, s ye, nokta, eleman veya örnek nokta denir. *Bir örnek uzayın elemanları, sayılabilir çoklukta ise sonlu, doğal sayılar kümesiyle birebir eşlenebiliyorsa sayılabilir olarak sonsuz, bu iki durum dışında ise sayılamaz örnek uzayı olur. *Örnek: Bir madeni paranın havaya atılması deneyinde, paranın yazı gelmesi Y, tura gelmesi de T ile gösterilecek olursa örnek uzay S = {Y,T} olur. İki madeni paranın havaya atılması deneyinde ise, örnek uzay S = {YY, YT, TY, TT} olur. Dikkat edilirse, bir para için örnek uzayın eleman sayısı 2 1 = 2, iki para için örnek uzayın eleman sayısı 2 2 = 4 tür. Bu durum genelleştirilirse, n madeni paranın havaya atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı 2 n olur. 20

*Örnek: Bir sınıfta 15 0ğrenci var. Bu öğrencilerden rasgele 10 kişilik grup oluşturulduğunda örnek uzayın eleman sayısı aşağıdaki gibi olur. *C 15,10 = 360360 120 =3003 15! = 15! = 15.14.13.12.11.10! 15 10!10! 5!10! 5.4.3.2.1.10! *Örnek: Bir depoda, 8 ürün vardır. Bu ürünlerden rasgele 6 ürün alındığında örnek uzayın eleman sayısı aşağıdaki gibi olur. *C 8,6 = 8! 8 6!6! = 8.7.6! 2.1.!6! = 56 2 = 28 = 21

*Olay: Örnek noktalardan herhangi birine veya birkaçına olay denir. Örnek uzayın her alt kümesi bir olaydır. *Olaylar, A, B, C,... veya A 1, A 2,... gibi sembollerle gösterilecektir. *Örnek: İki madeni paranın havaya atılması deneyindeki S = {YY, YT, TY, TT} örnek uzayı için, en az bir kez yazı gelmesi olayı A = (YY, YT, TY}, en az bir kez tura gelmesi olayı B = (YT, TY, TT}, iki kez tura gelmesi olayı C = {TT} ile gösterilebilir. *Dikkat edilirse A, B, C olayları S örnek uzayının alt kümeleridir. 22

*Ayrık Olaylar: A, B S olmak üzere AB = ise A ve B olaylarına ayrık olaylar denir. Yani, A ve B olayları ortak sonuca sahip değil iseler ayrıktırlar. * Ayrık olaylarda, birinin meydana gelmesi, diğerinin meydana gelmesini engeller Örnek olarak, bir öğrenci, bir dersin sınavından ya geçer ya da kalır. Sınavdan geçmek ya da kalmak aynı anda mümkün değildir. * A 1, A 2, A 3,... A n aynı örnek uzayının alt kümeleri (olayları) iken, tüm i ve j ler için ij olmak üzere A i A j = ise A 1,A 2,A 3,., A n olaylarına karşılıklı ayrık olaylar denir. 23

*Bir Kümenin Tümleyeni: A, S örnek uzayında tanımlanmış herhangi bir olay olmak üzere, A da olmayıp, evrensel kümede bulunan bütün elemanların kümesine A kümesinin tümleyeni denir. *A = x: xa ve xs Biçiminde yazılır. *A kümesinin tümleyeni şu şekilde gösterilebilir. 24

*Bir Kümenin Tümleyeni: A kümesi (olayı) için, tümleme özellikleri aşağıda verilmiştir 1. A = A 2. = S 3. S = 4. A A = S 5. A A = 6. A B = A B 7. A B = A B 25

*Olasılık Kavramı: Olasılık kavramı iki şekilde incelenebilir: 1. Klasik olasılık 2. Deneysel olasılık 26

*Olasılık problemlerinin çözümünde, herhangi bir deneyin mümkün bütün durumlarının (sonuçlarının) ortaya çıkma olasılıkları özel olarak belirtilmemişse, bu olayların ortaya çıkma olasılıklarının birbirine eşit olduğu kabul edilerek işlem yapılır. *Bir rassal deneyde, sonlu bir S = {A 1, A 2,..., A n } örnek uzayı için, olayların ortaya çıkma olasılıklarının aynı (birbirine eşit) olması, P(A 1 ) = P(A 2 ) =... = P(A n ) biçiminde gösterilir ve eşit olasılıklı olma biçiminde tanımlanabilir. *Bu tanımına göre, bir para atıldığında, tura gelmesi olasılığı ile yazı gelmesi olasılığı birbirine eşittir. Yani, tura gelmesi olayı A ve yazı gelmesi olayı B olmak üzere, P(A) = P(B) = 1/2 olmaktadır. Benzer şekilde, bir zar atıldığında 1,2, 3, 4, 5, 6 dan herhangi birinin gelmesi olasılığı, P(A 1 ) = P(A 2 ) =... = P(A n ) = 1/6 olur. 27

* Bir rassal deneyde olayların ortaya çıkma olasılıkları aynı olsun. * Bu deneyin örnek uzayının eleman sayısı n(s) ve ilgilenilen olayının eleman sayısı n(a i ) olmak üzere, A i olayının ortaya çıkma olasılığı P(A i ) biçiminde gösterilir ve * P A i = n(a i) n(s) biçiminde hesaplanır. = İlgilenilen Olayların Sayısı Bütün Olayların Sayısı 28

* A i S olduğundan, n(a i ) n(s) eşitsizliği yazılabilir. Bu eşitsizliğin her iki yanı n(s) ile bölünürse, * n A i n(s) n S n S P A i = n A i n S 1 ve P S = n S n S = 1 * elde edilir. Ayrıca n(a 1 )0 eşitsizliğinden, * n A i n(s) n S n S P A i = n A i n S 0 elde edilir. * Dolayısıyla bir olayın ortaya çıkma olasılığı, 0 ile 1 arasında değer almaktadır. 29

* Örnek: Bir para atıldığında tura gelmesi olayının olasılığı P(A) ise, A = {T} olduğundan A nın eleman sayısı n(a) = 1 ve örnek uzay S = {Y, T}olduğundan S nin eleman sayısı n(s) = 2 olur. Bu durumda tura gelmesi olasılığı, * P A = n A i n(s) = 1 2 olarak bulunur. * Örnek: Bir zar atıldığında üst yüze 5 gelmesi A ise, A = {5} olduğundan A nın eleman sayısı n(a) = l ve örnek uzay S = {l, 2,3,4,5,6} olduğundan S nin eleman sayısı n(s) = 6 olur ve * P A = n A i n(s) = 1 6 biçiminde yazılır. 30

*Örnek: İçinde 6 beyaz, 4 kırmızı top bulunan bir torbadan rasgele, a. Bir top çekildiğinde, bu topun kırmızı olması olasılığını b. İki top çekildiğinde, bu topların ikisinin de kırmızı olması olasılığını bulunuz. a. Bir top çekildiğinde, bu topun kırmızı olması olasılığı, *P A *P A = n A i n(s) = 4 10 = 0,4 = n A i n(s) = C(4,1) C(10,1) = 4! 4 1!1! 10 10 1!1! = 4 10 = 0,4 biçimindeki kombinasyonlu çözümün pratik halidir. 31

*Örnek: İki top çekildiğinde, bu toplamı ikisinin de kırmızı olması olasılığı *P A = n A i n(s) = C(4,2) C(10,2) = 4! 4 2!2! 10 10 2!2! = 6 45 = 0,13 32

*S bir örnek uzay ve A S olmak üzere, bir deney, n defa tekrarlandığında, bir A olayı da m defa gerçekleşiyorsa, A olayının nispi frekansı m/n olur. *Teorik olarak, bu deney sonsuz defa tekrar ettirildiğinde, n büyüyerek, m/n oranı gittikçe azalır. *n sonsuza giderken m/n oranının aldığı değere A olayının deneysel olasılığı denir ve *P A m = lim n n biçiminde hesaplanır. 33

*Klasik olasılık ile deneysel olasılık arasında en önemli iki farktan birincisi, klasik olasılıkta kullanılan herhangi bir aracın (zar, para, vb.) hilesiz olduğu varsayımından hareket ederek, herhangi bir dengesizlik olabileceğini göz önüne almadan yargıda bulunulur. *İkincisi ise, bu dengesizliğin kullanılan araç (zar, para, vb.) için geçerli olmadığı bilinse bile şans faktörünün dikkate alınmamasıdır. Bu sebeple, klasik olasılık yanıltıcı sonuçlar verebilir. Oysa deneysel olasılık, fiilen elde edilen gözlemlere dayandığı için daha gerçekçi bir yaklaşımdır. *Olasılığın gerek klasik, gerekse limit olarak tanımlanmasındaki zorlukları göz önüne alan modern matematikçiler onu bir fonksiyon olarak çok basit bir şekilde tanımlamışlardır. *Örneğin, 1933 yılında Rus matematikçi Andrew Kolmogorov üç veya dört aksiyomla, olasılık fonksiyonunu tanımlamıştır. Örnek uzayı sınırlı ise üç, sınırsız ise dört aksiyom belirlenmiştir. 34

*Aksiyom 1: A, S örnek uzayında tanımlanmış herhangi bir olay ise, daima P(A)0 olur. *Aksiyom 2: S, örnek uzayına kesin olay denir ve örnek uzayının olasılığı P (S)=1 olur. Örnek: içinde 5 beyaz, 6 kırmızı top bulunan bir torbadan, bir top çekildiğinde, bu topun beyaz veya kırmızı bir top olması olayı A ise, A = {m 1,...,m 5, k 1,.k 6 } olduğundan A nın eleman sayısı n(a) = 11 ve örnek uzay s = {m 1,...,m 5, k 1,...,k 6 }olduğundan, A nın eleman sayısı da n(s) = 11 olur. Dolayısıyla, * *P A = n A i n(s) = 11 11 = 1 bulunur. 35

*Aksiyom 3: A ve B, S örnek uzayı üzerinde tanımlanmış iki ayrık olay olsun. Bu durumda, P(AB)=P(A) + P(B) olur. *Örnek uzay, sonsuz elemana sahipse, dördüncü aksiyoma ihtiyaç vardır. *Aksiyom 4: A l, A 2, A 3,... olayları, S örnek uzayında tanımlanmış olsun. Her ij için A i A j = olmak üzere, *P(A 1 +A 2 +A 3 +.)= P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )+.= P(A i ) *biçiminde yazılır. i=1 36

*Aksiyom 3: A ve B, S örnek uzayı üzerinde tanımlanmış iki ayrık olay olsun. Bu durumda, P(AB)=P(A) + P(B) olur. *Örnek uzay, sonsuz elemana sahipse, dördüncü aksiyoma ihtiyaç vardır. *Aksiyom 4: A l, A 2, A 3,... olayları, S örnek uzayında tanımlanmış olsun. Her ij için A i A j = olmak üzere, *P(A 1 +A 2 +A 3 +.)= P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )+.= P(A i ) *biçiminde yazılır. i=1 37

*Teorem 1: Herhangi bir A olayı için P(A)= 1- P(A) olur. *İspatı: AA=S olduğundan; P(AA)=P(S) P(A)+P(A)=1 veya P(A)=1 P(A) olur. *Teorem 2: S örnek uzayının bir alt kümesi A ise, A da bulunan her bir mümkün hali temsil eden kümelerin olasılıkları toplamı P(A) ya eşittir. Özel olarak boş küme olmak üzere, P()=0 dır. *Örnek: Bir torbada 5 mavi 6 kırmızı bilyeden 1 sarı topun çekilmesi olayı A ise, A boş küme (A = ) olduğundan A nın eleman sayısı n(a) = 0 ve örnek uzay S = {m,,..,m5, k1,,,k6} olduğundan E nin eleman sayısı n(s) = 11 olur. Dolayısıyla, n( A) 0 P( A) n( S) 11 0 38 bulunur.

*Teorem 3: Eğer AB ise, P(A) P(B) olur. *Teorem 4: Herhangi bir A olayı için P (A) 1 olur. *Teorem 5: A ve B ayrık olmayan herhangi iki olay olsun. Bu durumda, P(AB)=P(A)+P(B) P(AB) yazılır. 39

Olayların Olasılıkları Basit Olayların Olasılıkları Bileşik Olayların Olasılıkları Bir Arada Meydana Gelebilen Olayların Olasılıkları A B P(A ve B) 0 P A veya B = P A + P B P(A ve B) Bir Arada Meydana Gelmeyen (Birbirini Engelleyen, Ayrık) Olayların Olasılıkları A B = P A ve B = 0 P A veya B = P A + P B Bağımlı Olayların Olasılıkları ve Koşullu Olasılık P A ve B = P A P B/A Bağımsız Olayların Olasılıkları P A ve B = P A P B 40

*Meydana gelen tek bir olaya basit olay, basit olayla ilgili olasılığa da basit olasılık denir ve P(A) biçiminde gösterilir. *Örneğin, Bir paranın havaya atılması deneyinde yazı gelmesi, *Bir zar atıldığında üst yüze 5 sayısının gelmesi, *Bir sınıftan rasgele seçilen bir öğrencinin erkek olması ile ilgili olasılık basit olasılıktır. 41

*İki veya daha çok olayın birlikte veya ardı ardına meydana gelmesine birleşik olay, Bileşik olayla ilgili olasılığa da bileşik olasılık denir. Bileşik olasılık P(A ve/veya B) biçiminde gösterilir. *Örneğin, İki zarın havaya atılması veya bir zarın arka arkaya iki defa havayı atılması, *Bir sınıftan rasgele seçilen bir öğrencinin erkek ve gözlüklü olması ile ilgili olasılıklar bileşik olasılıktır. *Bileşik olayların olasılıkları da, bir arada meydana gelebilen (bağdaşır) ve birbirini engelleyen (bağdaşmaz, ayrık) olaylar olmak üzere ikiye ayrılır. 42

* Bir olayın meydana gelmesi, diğer bir olayın meydana gelmesini engellemiyorsa bu olaylara birlikte meydana gelebilen (bağdaşır) olaylar denir. * Örneğin, Bir sınıftan rasgele seçilen bir öğrencinin hem kız, hem de gözlüklü olması, * Rasgele seçilen bir müdürün erkek, yükseköğrenim görmüş ve evli olması. * Bağdaşır iki olay için P(A B) 0 (P(A ve B) 0 olur. * Birlikte meydana gelebilen (bağdaşır) olayların olasılıkları da, bağımlı olaylar ve koşullu olasılık ile bağımsız olaylar olmak üzere ikiye ayrılır. 43

* Bir olayın meydana gelmesi, diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı ise bu olaylara bağımlı olaylar denir. * Örneğin, Bir torbadan rassal olarak bir top çekilip, torbaya iade edilmeden, ikinci bir top daha çekilirse, bu iki olay birbirine bağımlıdır. Çünkü ikinci çekiliş, birinci çekilişten etkilenmektedir. 44

*İkinci bir olayın meydana gelmesi, birinci olayın meydana gelmesine bağlı ise bu olayın olasılığına koşullu olasılık denir. *Örneğin, Bir üretici firma, üreteceği bir ürünün piyasada yüksek miktarda satıp satmayacağını belirleyebilmek için, öncelikle az miktarda ürettiği ürünü, birkaç belirli mağazada satış denemesi yapabilir. Eğer satış denemesinde istenen başarı elde edilirse, yüksek miktarda ürün piyasaya sürülebilir. *Sağlık Yönetimi Bölümünden rasgele seçilen bir öğrenci, matematik dersinden başarılı olduğu biliniyorsa, olasılıktan başarılı olması olasılığı yüksektir. *A ve B bağımlı iki olay olmak üzere, B olayı gerçekleşmişken, A olayının koşullu olasılığı, *P A B = P(A ve B) P(B), P(B)>0 ile hesaplanır. 45

* Örnek: 200 üniversite Öğrencisine, matematik dersini, ilk alışta başarılı olup olmadıkları sorulmuş ve aşağıdaki tablo elde edilmiştir. Cinsiyet Başarılı Başarısız Toplam Erkek 60 50 110 Bayan 50 40 90 Toplam 110 90 200 Rassal olarak seçilen bir öğrencinin erkek olduğu bilindiğine göre, matematikten ilk alışta başarılı olması olasılığı nedir? Çözüm: E: Erkek öğrenciyi ve B de başarılı öğrenciyi göstermek üzere, tablodan P B E = P(B ve E) P(E) = 60/200 110/200 = 6 11 0,55 bulunur. 46

* Bir olayın meydana gelmesi, diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı değilse (olaylar ilişkisiz veya birbirini etkilemiyorsa) bu olaylara bağımsız olaylar denir. * Örneğin, Bir torbadan rassal olarak bir top çekilip, torbaya iade edildikten sonra tekrar bir top çekilirse, bu iki olay birbirinden bağımsızdır. * Bir ailede doğan iki çocuktan ikincisinin cinsiyeti, birincisinin cinsiyetinden bağımsızdır. * Bir futbol maçının sonucu ile bir voleybol maçının sonucu veya dört futbol takımının oynadığı iki karşılaşmanın sonuçlan birbirinden bağımsızdır. * Bir madeni paranın arka arkaya üç defa atılması olayları da bağımsızdır. * Bir torbadan rassal olarak bir top çekilip, torbaya iade edilmeden, ikinci bir top daha çekilirse, bu iki olay bağımlıdır. Çünkü ilk çekilen top torbaya iade edilmediğinden ikinci çekiliş için top sayısı bir azalacağından, ikinci çekiliş, birinci çekilişten etkilenecektir. 47

* Bir olayın ortaya çıkması diğer bir olayın ortaya çıkmasını engelliyorsa, yani iki veya daha fazla olay birlikte meydana gelemiyorsa, bu olaylara birbirini engelleyen (bağdaşmaz, ayrık) olaylar denir. * Örneğin, bir öğrenci, bir dersin sınavından ya geçer ya da kalır. Sınavdan geçmek ya da kalmak aynı anda mümkün değildir. * Bir maç ya kazanılır, ya kaybedilir veya berabere kalınır. Kazanmak, kaybetmek veya berabere kalmak aynı anda mümkün değildir. * Bir para bir defa havaya atıldığında ya yazı, ya da tura gelir. Yazı gelmişse tura gelemez, tura gelmişse yazı gelemez. * Bir zar bir defa havaya atıldığında üst yüze 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarından herhangi biri gelir. Örneğin, üst yüze 1 gelirse 2, 3, 4, 5, 6 gelmez veya 5 gelirse 1, 2, 3, 4, 6 gelmez. * Bağdaşmaz iki olay için P(A B) = 0 (P(A ve B) = 0) olur. 48

* Olayların olasılıklarının kolay anlaşılması amacıyla, genel olarak, iki olayın olasılığı üzerinde durulacaktır. 49

* A ve B gibi iki olayın kesişimi (arakesiti), hem A ve hem de B de oluşan, ortak sonuçlardan meydana gelir. A ve B olaylarının kesişimi A ve B, AB, AB biçimlerinden biri ile gösterilir. A ve B AB AB 50

* A ve B, S örnek uzayında iki olay olsun. B olayı gerçekleşmişken, A olayının koşullu olasılığı, * P A/B = P A B P(B), P B > 0 ile hesaplanır. * Denklemin her iki yanı P(B) ile çarpılırsa bu iki olayın birlikte meydana gelme olasılığı; * P A B = P B. P A B biçiminde bulunur ve çarpım kuralı olarak adlandırılır. 51

* Örnek: Bir okulun öğrencilerinin %40 ı matematik, %30 u istatistik ve %20 si her iki dersten başarısız olmuştur. Rassal olarak seçilen bir öğrencinin, matematikten başarısız ise istatistikten de başarısız olması olasılığını bulunuz. * Çözüm: Matematikten başarısız olma olasılığı P(M) = 0,40, istatistikten başarısı olma olasılığı P(İ) = 0,30 ve her iki dersten başarısız olma olasılığı da P(Mİ) = 0,20. Bu durumda, sonuç, * P İ M = P(İ M) P(M) = 0,20 0,40 = 0,50 olur. 52

* Örnek: Bir torbada 3 beyaz, 7 mavi, 10 sarı ye 4 kırmızı top bulunmaktadır, torbadan ardı ardına rasgele dört top iadesiz olarak çekildiğinde, birincinin beyaz, İkincin; mavi, üçüncünün sarı ve dördüncünün kırmızı top olma olasılığı bulunuz. * Çözüm: * P(BMSK)=P(B).P(M/B).P(S/BM).P(K/BMS) * = 3 24. 7 23. 10 22. 4 21 = 1176 255024 = 0,005 53

* Bağımsız iki olayın birlikte meydana gelmesi olasılığı, bu iki olayın meydana gelme olasılıkları çarpılarak bulunur. Yani, * P(AB)=P(A).P(B) olur. * A1, A2,., An gibi n tane bağımsız olayın olasılıkları P(A1), P(A2),.,P(An) olmak üzere, bu n olayın birlikte meydana gelme olasılığı; * P(A1).P(A2)...P(An) ile hesaplanır. 54

* Örnek: Bir torbada 4 beyaz, 6 kırmızı top vardır. Çekilen toplar tekrar torbaya atılmak üzere, bu torbanın ardı ardına üç top çekildiğinde, üçünün de kırmızı olma olasılıkları nedir? * Çözüm: * P(K K K) = P(K). P(K). P(K) * = C(6,1) C(10,1). C(6,1) C(10,1). C(6,1) C(10,1). = 6 10. 6 10. 6 10. = 216 1000 = 0,216 * Birinci top torbadan rassal olarak çekilip, torbaya iade edildikten sonra tekrar ikinci bir top çekildiğinden, olaylar birbirinden bağımsız olur. Çünkü ilk çekilen top iade edildiğinden ikinci çekiliş için topların durumu, birinci çekilişin aynısı olmuştur. 55

* Örnek: Bir torbada 4 beyaz, 6 kırmızı top vardır. Bu torbadan ardı ardına rasgele iki top çekildiğinde, birincinin kırmızı, ikincinin beyaz olma olasılığı nedir? (hem iadeli, hem de iadesiz çekiliş yapılacaktır). * Çözüm: a) P KB = P K. P B = 6 10. 4 10 = 24 100 b) P KB = P K. P B K = 6 10. 4 9 = 24 90 56

* Örnek: Bir madeni para arka arkaya iki defa havaya atılıyor. Her iki atışın da yazı gelmesi olasılığı nedir? (Yazı ve tura gelme olasılıkları eşit kabul edilecektir). * Çözüm: * Birinci paranın yazı gelmesi P(A) =1/2 ve ikinci paranın yazı gelmesi P(B) = 1/2 olduğundan, her iki atışın da yazı gelmesi olasılığı ise * P A B = P A. P B = 1 2. 1 2 = 1 4 olur. 57

* Örnek A nın 50 yıl sonra hayatta kalması olasılığı 0,30, B nin 50 yıl sonra hayatta kalması olasılığı 0,20 ise her İkisinin de 50 yıl sonra hayatta kalma olasılığı, * P A B = P A. P B = 0, 30. 0, 20 = 0, 06 olur. 58

* Örnek: Bir torbada 5 beyaz 10 siyah top bulunmaktadır. A, B, C şahısları bu torbadan alfabetik sıraya göre iadeli olarak birer top çekeceklerdir. Beyaz topu ilk çekene bir ödül verileceğine göre, her bir şahsın bu ödülü kazanabilme olasılığı sırası ile; *P A = 5 15 = 0,33 *P B = P A B = 10 15. 5 15 = 0,22 *P C = P A BC = 10 15. 10 15. 5 15 = 0,15 olarak bulunur. 59

*Not: A ve B olaylarının bağımsız olabilmesi için *P(A/B) = P(A) veya P(B/A) = P(B) şartının sağlanması gerekir. Çünkü A ve B olayları bağımsız ise *P A B = P(A B) P(B) = P A.P(B) P(B) = P(A) *P B A = P(B A) P(A) = P B.P(A) P(A) = P(B) *elde edilir. Eğer, A ve B olayları bağımlı ise *P(A/B) P(A) veya P(B/A) P(B) olur. 60

*Örnek: Bir fabrikanın birinci bölümünde üretilen 60 ürünün 15 i ve ikinci bölümünde üretilen 40 ürünün 10 u bozuk olmak üzere, toplam 100 adet ürün üretilmiştir. Rasgele seçilen bir ürünün bozuk olması B ve ikinci bölümde üretilen bir ürünün bozuk olması da T olarak tanımlansın. Bu olaylar bağımsız mıdır? 61

Bölümler Sağlam Bozuk Toplam Birinci 45 15 60 İkinci 30 10 40 Toplam 75 25 100 Tablodan P B/T = P(BT) = 10 P(T) 40 = 0,25 P B = 25 100 hesap edilir. P(B/T) = P(B) olduğundan, T ve B olayları bağımsız olaylardır. 62

* A ve B bağdaşır iki olay ise, A veya B olayının ortaya çıkma olasılığı, ya A olayının, ya B olayının ya da A ve B olaylarının her ikisinin birlikte gerçekleşmesi olasılığıdır. Bağdaşır iki olay için; P(A B) = 0 olduğundan * P(A B) = P(A) + P(B) olur. Çünkü olaylar toplanabilir niteliktedir. 63

* Örnek: Bir zarın bir defa havaya atılması deneyinde üst yüze 3 veya 5 gelmesi olasılığı nedir? * Çözüm: Bir zarın, bir defa havaya atılması deneyinde üst yüze 3 gelirse 1, 2, 4, 5, 6 gelemeyeceğinden ve 5 gelirse 1, 2, 3, 4, 6 gelemeyeceğinden bu iki olay bağdaşmaz olaylardır. 3 gelme olasılığı P A = 1 6 ve 5 gelme olasılığı da P B = 1 6 olduğundan, 3 veya 5 gelmesi olasılığı, * P AB = P A + P B = 1 6 + 1 6 = 2 6 olur. 64

* Örnek: Bir madeni paranın bir defa havaya atılması deneyinde üst yüze yazı veya tura gelmesi olasılığı nedir? * Çözüm: Bir madeni paranın bir defa havaya atılması deneyinde üst yüze yazı gelirse tura gelmez, tura gelirse yazı gelmez. Bu iki olay bağdaşmaz olaylardır, yazı gelme olasılığı P A = 1 2 ve tura gelme olasılığı da P B olasılığı, = 1 2 olduğundan, yazı veya tura gelmesi * P AB = P A + P B = 1 2 + 1 2 = 1 65

* Örnek: Araba satın almak isteyen bir kişinin beyaz veya mavi araba olasılıkları sırası ile 2/5 ve 3/7 dir. Bu duruma göre, beyaz veya mavi arabadan birinin seçilmesi olasılığını hesaplayınız. * Çözüm * Arabanın beyaz olması olayı B, mavi olması olayı M ile gösterilsin. B ve M olayları ayrık olaylar olduğundan, beyaz veya mavi arabalardan birinin seçilme olasılığı; * P BM = P B + P B = 2 5 + 3 7 = 29 35 = 0,83 olur. 66

* Örnek: Bir torbada 4 beyaz, 6 kırmızı top vardır. Çekilen toplar tekrar tekrar torbaya atılmak üzere, bu torbadan ardı ardına rasgele iki top çekildiğinde birinin kırmızı, diğerinin beyaz olma olasılığı nedir? * Çözüm: Birinci topun çekilip iade edilmesi ikinci topun çekilme olasılığını etkilemeyeceğinden, olaylar birbirinden bağımsızdır. Ayrıca çekilişte ya kırmızı beyaz veya beyaz kırmızı gelmesi ayrık olaylar olduğundan istenen olasılık * P KB + P BK = P K. P B + P B. P K = 6. 4 + 4. 6 = 10 10 10 10 0,48 *olur. 67

* Çeşitli sebeplerin aynı sonucu verebildiği durumlarda, bazen sonuç bilindiği halde, bunun hangi sebeplerden ileri geldiği bilinmeyebilir. Söz konusu sonucun hangi olasılıkla, hangi sebepten ortaya çıktığı araştırılmak istendiğinde Bayes Teoreminden yararlanılır. * Diğer bir deyişle, Bayes teoremi, sonuç belli iken geriye doğru analiz imkanı sağlar. * A, B, C ayrık birbirlerini bütüne tamamlayan olaylar olmak üzere, bu olaylar bir K olayından etkileniyor ise, örnek uzayından bir birim alındığında bunun K özelliğini gösteriyor olması durumunda, A ya ait olması olasılığı P A.P(K A) * P A K = P A.P K A +P B.P K B +P C.P(K C) * Bayes teoremi ile hesaplanır. 68

Bu durum şema ile biçiminde gösterilir. 69

*Çoğu zaman son meydana gelen olay, daha önce bazı olayların meydana gelip gelmemesine dayanır. *Mesela bir hastanın iyileşmesi olayı, hastalığın doğru teşhisi olayı ve uygun tedavinin tatbiki olayına dayanır. *Bir cihazın güvenilir olarak çalışabilir olması, cihazın dizaynından, mamul hale gelene kadar geçirdiği safhaların başarılı bir şekilde neticelendirilmiş olmasına bağlıdır. 70

Örnek: İçerisinde çeşitli sayılarda top bulunan üç kutu veriliyor. Bu kutulardan 1. sinde 4 ü siyah 10 top, 2.sinde 2 si siyah 8 top, 3.sünde 5 i siyah 15 top mevcuttur. Bu kutulardan birisi tesadüfi olarak seçiliyor. Bu kutudan rassal olarak çekilen topun siyah olma olasılığı ne olur? Çözüm: Burada önce bir kutu seçimi söz konusu, 1., 2. ve 3. kutulardan birini seçme olasılığı eşit olup 1/3 tür. Seçilen kutulara göre siyah top çekme olasılıkları: 1. Kutudan siyah top çekme olasılığı: 2. Kutudan siyah top çekme olasılığı: 3. Kutudan siyah top çekme olasılığı: 71 4 10 2 8 2 5 1 4 5 1 15 3

Ağaç diyagramı ile problem şöyle gösterilebilir. 72

Genel çarpım kuralına göre, 1. Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı: 1 2 P( S / K1) x 3 5 2 15 2. Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı: 1 1 1 P( S / K2) x 3 4 12 3. Kutunun çekilmesi ve çekilen topun siyah olması olasılığı: 1 1 P( S / K3) x 3 3 1 9 Yukarıdaki üç olasılık birbirlerini karşılıklı olarak engelleyen olayların olasılığı olduğundan 2 1 1 P( S) P( S / K1 S / K2 S / K3) 15 12 9 59 180 73

Yukarıdakine benzer problemleri çözmek için olasılıkların çarpımlarının toplamı kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki teoremi kullanmak gerekmektedir. *Teorem: (Olasılıkların çarpımlarının toplamı) Birbirlerini karşılıklı olarak engelleyen B1, B2,., Bn olaylarının birleşimi S örnek uzayını teşkil ediyorsa ve bu olaylardan biri mutlaka meydana geliyorsa bu durumda bu olaylar vasıtasıyla meydana gelen herhangi bir A olayının olasılığı şöyle yazılır. *Eğer bir olayın gerçekleşmesi, birbirinin alternatifi olan iki olaya bağlı ise eliminasyon kuralının özel bir durumu söz konusu olur. *Eğer B ve B iki alternatif olay ise yukarıdaki kural aşağıdaki şekilde yazılabilir. ) / ( ). ( ) ( ) / ( ). (... ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) ( 1 2 2 1 1 i n i i n n B A P B P A P B A P B P B A P B P B A P B P A P ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) ( B A P B P B A P B P A P M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik 74

*Problem: Bir fabrikada yapılan üretimin; %55 i A, %30 u B, %15 i C makinesinde gerçekleştirilmektedir. Bu makinelerin kusurlu oranları sırasıyla %2, %3, %8 şeklindedir. Bu fabrikadaki üretimin kusurlu oranı ne olur? *Çözüm: P(A) = 0,55 P(K/A) = 0,02 P(B) = 0,30 P(K/B) = 0,03 P(C) = 0,15 P(K/C) = 0,08 P(K ) = P(A). P(K/A) + P(B). P(K/B) + P(C). P(K/C) P(K) = 0,55 x 0,02+0,3 x0,03 + 0,15x0,08 P(K)= 0,032 75

*Örnek: Bir hastalığın tedavisinde iki ilaç geliştirilmiştir. Bu ilaçların hastalığı tedavi etme olasılıkları: A İlacı için 0,7 B İlacı için 0,5 olarak ölçülmüştür. Herhangi bir doktorun hastasına bu ilaçları tatbik etme olasılıkları A ilacı için 0,6, B ilacı için 0,4 olduğu görülmüştür. Bu hastalığa yakalanan bir hastanın tedavi sonucu iyileşme olasılığı ne olur? (T: Tedavi olma durumu) *Çözüm: P( T ) P( T ) P( T ) P( A). P( T / A) P( B). P( T / B) 0,6x0,7 0,4x0,5 0,42 0,2 P( T ) 0,62 olur. 76

*Problem: Bir mamul B1, B2 ve B3 gibi 3 makine tarafından üretilmektedir Üretilen mamullerin %60 ı B1 de %30 u B2 de %10 u B3 makinesinde gerçekleşmektedir. *Bu makinelerin hatalı üretim oranları ise sırası ile %2, %4,%6 dır. Bu makineler tarafından üretilen mamul yığınından rastgele seçilen bir mamulün a) Bozuk olma olasılığı b) Sağlam olma olasılığı c) Bozuk olarak seçilen bu mamulün B3 tezgahında üretilme olasılığı ne olur? 77

Örnek: Bir fabrikanın üretiminin tümü A,B,C bölümlerinde yapılmaktadır. Üretimin %40 ı A, %50 si B, %10 u C bölümünde yapılmaktadır. A bölümündeki üretimin %20 si, B bölümündeki üretimin %10 u ve C bölümündeki üretimin %5 i bozuktur. Bu fabrikanın üretiminden rasgele bir ürün alındığında, bu ürünün A da üretilen bozuk ürünlerden olması olasılığını bulunuz. 78

Çözüm 1) Burada sonucu belli olan olay, bozuk bir ürünün üretilmiş olmasıdır. Ürünün bozuk olması olayı K ile gösterilirse, istenen olasılık, P A K = P A. P(K/A) P A. P K A + P B. P B K + P C. P(K C) = P 0,40. (0,20) 0,40. 0,20 + 0,50. 0,10 + 0,10. (0,05) = 0,08 0,08 + 0,05 + 0,005 = 0,08 0,135 = 8 135 0,593 olarak bulunur. 79

Çözüm 2) A 0,40. 0,20 = 0,08 B0,50.0,10=0,05 C0,10.0,005=0,005 80

81