6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız değşken le açıklamak mümkün değldr. Ekonomk modeller, genellkle brden fazla sebebn sonucudurlar. Çok fazla sayıda değşken br araya gelerek br dğer değşken etkleyeblmektedrler. Bu değşkenler aynı zamanda kend aralarında da brbrlern etkleyeblmektedr. Bu sebeple, bu tür brden fazla değşkenn kullanılması gereken durumlarda tekl regresyon analz yapılması mümkün değldr. Brden fazla bağımsız değşken kullanılarak yapılan regresyon analzne "çoklu regresyon analz(multple regresson analyss)" adı verlmektedr.
6.07.0 İ ler bağımsız değşkenler ve de bağımlı değşken göstermek üzere en genel çoklu regresyon denklem; a 0 +a +a + +a k k +e a 0 +Σa r r +e Çoklu regresyon modeller de EKK kullanılarak çözüleblr. Tekl regresyonda olduğu gb tahmn denklem kurularak dğer hesaplamalar yapılır. 3 İk bağımsız değşkenl modeln EKK le çözümü: Üzernde hesaplama yapacağımız model k bağımsız değşken( ve 3 ) le br bağımlı değşken () çeren a+b +c 3 +e model olacaktır. Bu regresyon denklemne at tahmn model: Burada e hata term: 4
6.07.0 Katsayıların hesaplanışı: Çoklu regresyon modelnde de tıpkı tekl modelde olduğu gb katsayılar hesaplanırken bağımsız değşkenlern ortalamadan sapmaları kullanılmaktadır. Aşağıda sırası le b,c ve a katsayılarının nasıl tahmn edleceğne at formüller verlecektr. Formüller çn kullanılacak x ve y değerlernn eşt olan fadeler yazılmıştır.(,,3) x y 5 6 3
6.07.0 Regresyon katsayıları hesaplanıp regresyon tahmn model kurulduktan sonra belrllk katsayısı olan R hesaplanır. Bu sayede katsayıların anlamlılığı, modeln uygunluğu gözlemlenecektr. Genel çoklu regresyon model çn R hesabı; (b,c,..,z katsayılar x ler de tanımlanan değerlerdr) 7 Düzeltlmş R : R belrllk katsayısı çoklu modellerde genellkle yeterl değldr. Çünkü çoklu regresyon modeller çn denkleme yen değşken lave edlmes durumunda R değer genellkle artmaktadır. Bu yüzden anlamlı br test yapablmek çn çoklu modellerde düzeltlmş R hesaplanmalıdır.( R ) n:gözlem sayısı k:modeldek değşken sayısı(bağımsız değşken+bağımlı değşken) 4
6.07.0 Tekl regresyon modellernde olduğu gb belrllk katsayısı e ne kadar yakın se mevcut olan model o kadar uygundur(anlamlıdır). 9 Modelde tahmn edlen katsayıların güvenlrlğ standart hata ve varyansın küçüklüğüne bakılarak test edlr. Bu bze tahmn değerlernn gerçek değerlere uygunluğu çn kısmen br oran vermektedr. Regresyon modelndek bağımsız değşkenlern katsayıları modeln durumu, anlamlılığı, gücü hakkında blg verdğ halde bağımlı ve bağımsız değşkenler arasındak lşknn yönünü ve kuvvetn göstermemektedr. Bu nedenle korelasyon analz le bağımlı ve bağımsız değşken veya değşkenler arasındak lşky ölçerz. Görüldüğü gb eklenen yen değşkenlere lşkn ufak uyarlamalar le çoklu regresyon modeller de tekl regresyon modellerne benzer şlemler le yorumlanablmektedr. 0 5
6.07.0 ANOVA TABLOSU Regresyon model çn hesaplamalar yapılarak tahmn değerler bulunduktan sonra anova tablosuadı verlen br tablo hazırlanır. SST:kareler toplamı SSE:artıkların kareler toplamı SSR:tahmnlern kareler toplamı ( SST ) SSE ( SSR n ( ) ) Kaynak (sov) Serbestlk dereces(s d veya df) SS MS F Model (regresyo n) - SSR MSR SSR/- MSR/MS E Artık n- SSE MSE SSE/n- Toplam n- SST 6
6.07.0 Anova tablosu çersndek F statstğ le model parametrelernn (katsayıların) anlı olup olmadığı test edlmektedr. Ayrıca anova tablosu kullanılarak belrllk katsayısı da hesaplanablr: R SSR/SST R değer sayesnde bağımlı değşkennn değerler arasındak varyasyonun model tarafından ne oranda açıklandığı gözlemleneblr. 3 Matrsler İle Regresyon Çözümlemes: Regresyon denklemn matrs hesaplamaları le de bulmak mümkündür. Bunun çn eldek verler matrs olarak fade etmemz gerekldr. Regresyon modelmz a 0 +a +e (,,,n) olsun. Buradak ve değerler sırasıyla ver setnde her br gözleme karşılık gelen değerledr. O halde her br çn elmzde aşağıdak denklem sstem mevcuttur: a 0 +a +e a 0 +a +e n a 0 +a n +e n 4 7
6.07.0 Bu denklem sstemnn matrs olarak fade edecek olursak: β + e n β a a 0 n e n e e e 5 β Çözüm:, çn EKK tahmn edcs se bunun çn çözüm; β β ( ' ) Matrs çarpımının yapılması le x tpnde br matrs bulunur. Bu matrsn brnc satırı a 0 katsayısı çn, knc satırı se a katsayısı çn br tahmn olup regresyon tahmn modelnde aranan katsayılardır. Bunları yerne yazarak tahmn modelne ulaşılır. ' 6
6.07.0 Ayrıca tahmn model kurulduktan sonra değerler çn aranan tahmn sonuçları se matrs yoluyla yandak şeklde hesaplanablr: Bu şlemler sırasında tahmnler çn yapılan hata se; e β 7 Regresyon Katsayılarının orumlanması: Tahmn edlen katsayıların yorumu çn değşkenlern brmve regresyon denklemnn yapısı önemldr.. Değşkenler Mutlak Sayılarla Ölçülen Doğrusal Denklemler:denklem formu a 0 +a + +a k k +e şeklndedr. Burada a 0 sabt term, a ler katsayılar, bağımlı değşken, ler bağımsız değşkenler, e se hata termn göstermektedr. (,,,k) 9
6.07.0 Sabt term:bağımsız değşkenlern heps brden 0 ken ( 0) bağımlı değşken nn alacağı değerdr. Katsayılar:a j katsayısı dğer bağımsız değşkenler sabt ken j dek br brmlk değşme y a j brm kadar değştrmektedr. örneğn;k malına olan talep model tahmn edlmş ve sonuç Q t 0-0.5P t +0.7 t olarak bulunmuştur.(p t : fyat, t :gelr, Q t:talep) (ölçü brm mlyon TL) a 0 0:K malının fyatı ve gelr sıfır ken malın taleb 0 mlyon TL olacaktır. a -0.5: bu dönemn gelr sabt ken K malının fyatındak mlyon TL lk artış malın talebn 0.5mlyon TL azaltacaktır. a 0.7: K malının fyatı sabt ken bu dönemn gelrndek mlyon TL lk artış malın talebn 0.7 mlyon TL artırmaktadır. 9. Değşkenler % le İfade Edlen Denklemler:denklem formu a 0 +a + +a k k +e şeklndedr. Sabt term:açıklayıcı değşkenlerdek değşm % 0 ken açıklanan değşkenn % kaç olduğunu gösterr. Katsayılar:dğer açıklayıcı değşkenlerdek % değşm sabt ken (yokken) j değşkenndek %lk değşm değşkenn % a j kadar değştrmektedr. Örneğn:E dövz kuru, M para arzı, P tüketc fyatındak % değşm, r faz oranı ve e hata termn göstermek üzere lgl regresyon tahmn model şöyledr: E t 0.9+0.M t -0.4r t +0.P t 0 0
6.07.0. Sabt term: a 0 0.9:dğer tüm faktörler (M, r, P) sıfır ken dövz kurundak değşm %0.9 olacaktır. Katsayılar: a 0.:faz oranı ve fyatlarda % değşm yokken para arzındak %lk artış dövz kurunu %0. artıracaktır. a -0.4 :??? a 3 0. :??? ÖRNEK UGULAMA
6.07.0 Aşağıdak tabloda ler babaların, ler se erkek çoçukların boy uzunluklarını cm. cnsnden göstermektedr. 63 65 64 67 3 70 69 4 7 70 5 65 64 6 67 6 7 6 7 66 63 3 Soru: a) Regresyon denklemn yazın. b) a 0,a, ve e değerlernn tahmnlernn hesaplayın. c) 69cm boy uzunluğundak br babanın oğlunun boy uzunluğunu tahmn edn(kestrn). d) Anova tablosunu oluşturun ve model çn belrllk katsayısını hesaplayın. 4
6.07.0 3 Çözüm: (a) a 0 +a +e n ve,,, a 0 +a +e a 0 +a +e 63 67 65 66 64 63 a a 0 β e e e e e + β 5 Çözüm: (b) ( ) ' ' β ' ( ) ( ) 0.054.573.573 49.3699 ' 355 337 ' 6
6.07.0. β ' ' 56.965 ( ) 0.6647 a 0 + a 56.965 + 0.6647 β 63 67.54 56.965 0.6647 66 66.55 e 0.43 e 0.0 0 3.55 7 ÇÖZÜM: (c-d) 69 cm se modelde yerne yazılırsa 56.965 + 0.6647 6.53cm. İlgl değerler bulup anova tablosunu oluşturursak: n SST SSE SSR e 337 n 67.5 59 30. n SST SSE.79 4
6.07.0 Anova tablosu: Kaynak Sd SS MS Model -.79.79/.79/5.0 35 Artık -6 30. 30./6 Toplam -7 59 F R SSR/SST0.4796 o halde ler çndek değşmn yaklaşık olarak %49 u model tarafından açıklanmaktadır. Babaların boyu cm arttığı zaman çocukların boyu da 0.6647cm artmaktadır. Ayrıca babaların boyu sıfır ken çocukların boyu 56.965cm olablmektedr. 9 BAŞARILAR 30 5