TÜRKİYE CUMHURİYETİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI YAPISAL DEĞİŞİKLİK ALTINDA BİRİM KÖK TESTLERİ VE BAZI MAKRO İKTİSADİ DEĞİŞKENLER ÜZERİNE UYGULAMALAR Esra İĞDE YÜKSEK LİSANS TEZİ ADANA 00
TÜRKİYE CUMHURİYETİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI YAPISAL DEĞİŞİKLİK ALTINDA BİRİM KÖK TESTLERİ VE BAZI MAKRO İKTİSADİ DEĞİŞKENLER ÜZERİNE UYGULAMALAR Esra İĞDE Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mehme ÖZMEN YÜKSEK LİSANS TEZİ ADANA - 00
Çukurova Üniversiesi Sosyal Bilimler Ensiüsü Müdürlüğüne, Bu çalışma, jürimiz arafından Ekonomeri Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmişir. Başkan : Yrd. Doç. Dr. Mehme ÖZMEN (Danışman) Üye : Prof. Dr. H. Alan ÇABUK Üye : Prof. Dr. Mura DOĞANLAR ONAY Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğreim elemanlarına ai olduklarını onaylarım..../.../... Prof. Dr. Azmi YALÇIN Ensiü Müdürü No: Bu ezde kullanılan özgün ve başka kaynakan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fooğrafların kaynak göserilmeden kullanımı, 5846 Sayılı Fikir ve Sana Eserleri Kanunu ndaki hükümlere abidir.
i ÖZET YAPISAL DEĞİŞİKLİK ALTINDA BİRİM KÖK TESTLERİ VE BAZI MAKRO İKTİSADİ DEĞİŞKENLER ÜZERİNE UYGULAMALAR Esra İĞDE Yüksek Lisans Tezi, Ekonomeri Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mehme ÖZMEN Ağusos 00, 03 sayfa Bir zaman serisi değişkeni, analiz dönemi içerisinde savaş, barış, poliika değişimleri, ekonomik krizler gibi pek çok nedenden dolayı yapısal kırılmalar içerebilir. Serilerde meydana gelen yapısal kırılmalar serilerin durağanlığının belirlenmesinde bir akım güçlüklere yol açar. Bu değişiklikler dikkae alınmadan birim kök esi uygulamak yanlış sonuçlar verebilir ve esin gücünü azalır. Böyle bir durumda aslında birim köke sahip olmayan bir serinin yanlış olarak birim kök içerdiği şeklinde bir sonuç elde edilebilecekir. Güvenilir regresyon sonuçları elde emek için serilerdeki yapısal değişikliğin dikkae alınması gerekmekedir. Çalışmada Türkiye ye ai bazı makro ikisadi zaman serilerinin yapısal değişiklik alında durağanlığın sınanması amaçlanmışır. Bu bağlamda, serilerin birim kök süreci içerip içermedikleri ve serilerin rend fonksiyonunda meydana gelen yapısal kırılmaların birim kök süreci üzerindeki ekileri incelenmişir. Serilerin 987 ve 009 dönemine ai 3 aylık frekansları kullanılmışır. Ele alınan makro ikisadi değişkenler öncelikle yapısal kırılmanın dikkae alınmadığı ve uygulamalarda çok yaygın olarak kullanılan ADF, PP ve KPSS birim kök esleri ile analiz edilmişlerdir. Daha sonra, serilerin rend fonksiyonunda meydana gelen ek zamanlı bir kırılmanın birim kök esleri üzerindeki ekisini araşırmaya yönelik, Zivo ve Andrews (99), BLS ve Perron (997) arafından gelişirilen es yönemleri; serilerin rend fonksiyonunda meydana gelen birden çok kırılmanın es edilmesinde kullanılan Lee ve Srazicich (003) esi incelenmişir. Çalışmada GSMH, ükeim, üç ay vadeli mevdua faiz
ii oranları, İMKB 00 endeksi, reel döviz kuru, cumhuriye alın fiyaları, efe, üfe, M ve M serilerine ai gözlemler kullanılmışır. Anahar Kelimeler: Zaman serileri, Durağanlık, Birim Kök, Yapısal Kırılmalar
iii ABSTRACT UNIT ROOT TEST UNDER THE STRUCTURAL CHANGE AND APPLICATIONS ON MACROECOOMIC VARIABLES Esra İĞDE Maser Thesis, Deparmen of Economerics Supervisor: Ass. Prof. Dr. Mehme ÖZMEN Augus 00, 03 pages Time series variables can include srucural breaks by some reason which can be wars, peace, change of policy implemenaions, economic crises. Srucural changes ha are accuring in he series cause diffucilies of deermining heir saionriy. If one apply uni roo ess wihou aking noice of hese srucural changes he resuls can have errors and hese affec he power of he ess. In ha case, a ime series can be specified o have even hough he series do no acually have uni roo. For obainig reliable regression resuls one need o ake srucural changes ino accoun. In his sudy, esing he seadiness of paricular Turkish macro economic daa under srucural break was inended. In his conex, wheher he series include uni roo and he effecs of srucural breaks in he series' rend funcion on he uni roo process were examined. The sample covered quarerly daa for 987-009 period. Firsly we analyzed he series by using of sandar uni roo ess; ADF, PP and KPSS, which do no ake precsence of srucural change ino accoun. Then, relevan macro economic variables were analyzed wih some paricular uni roo ess where he srucural breaks are no aking ino accoun. In order o analyze he effecs of one ime break in he series' rend funcion on he uni roo ess, es mehods powered by Perron (989), Zivo and Andrews (99), Perron (997) were conduced. Moreover, ess used by Lumsdaine and Papell (997) and Lee and Srazicich (003) o es more more han one break in he series' rend funcion were examined. In his sudy, observaion of GNP, consumpion, ineres rae, gold prices, ISE 00 index, Money supply (M and M), wholesale price indeks, Cosumer Price Index and Exchange rae were applied.
Keywords: Time Series, Saionariy, Uni Roo, Srucural Break iv
v ÖNSÖZ Tez çalışmam süresince yardım ve deseklerini esirgemeyen sayın hocam ve ez Danışmanım Yrd. Doç. Dr. Mehme ÖZMEN e sonsuz eşekkürlerimi sunarım. Uygulama aşamasında bana yol göseren sayın hocam Okyay UÇAN a da eşekkürü bir borç bilirim. Okul hayaım boyunca maddi ve manevi üm olanakları ile yanımda duran ve beni desekleyen aileme sonsuz eşekkürlerimi sunarım. Ayrıca beni yüreklendiren ve bana inanan kardeşlerime de eşekkür ederim Bu çalışma, hiçbir şekilde haklarını ödeyemeyeceğim annem Mediha İĞDE ve babam Selim İĞDE ye armağanımdır. No: Bu araşırma Ç.Ü. Araşırma Fonu Saymanlığınca (İİBF009YL5) deseklenmişir.
vi İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...i ABSTRACT...iii ÖNSÖZ...v TABLOLAR LİSTESİ...vii ŞEKİLLER LİSTESİ...ix EKLER LİSTESİ........x GİRİŞ... BİRİNCİ BÖLÜM ZAMAN SERİLERİNDE TEMEL KAVRAMLAR.. Zaman Serileri ve Sokasik Süreçler........3.. Zaman Serilerinin Sokasik ve Deerminisik Özellikleri...3.3. Durağanlık Kavramı......5.4. Durağanlığın Önemi ve Sahe Regresyon (Spurious Regression)......6.5. Saf Rassal Süreç (Whie Noise Process)...7.6. Rassal Yürüyüş Süreci (Random Walk Process)..7.7. Zaman Serilerinde AR, MA ve ARMA Modelleri (Box-Jenkins Yönemi)... 7.8. Durağanlık Tesleri..0.9. Ookorelasyon Fonksiyonu: ACF (k)......... 0.9.. Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu: PACF(k).....9.. Pormaneau Tesleri: Q-İsaisikleri.....9... Box-Pierce İsaisiği (Q İsaisiği)........9... Ljung-Box Q İsaisiği (LB-Q İsaisiği)......9..3. Durağanlığın Birim Kökle Sınanması... İKİNCİ BÖLÜM BİRİM KÖK KAVRAMI VE BİRİM KÖK TESTLERİ.. Dickey ve Fuller (979) Tesi.......4
vii.. Genelleşirilmiş (Augmened) Dickey - Fuller (ADF) Tes...6.3. Dickey ve Fuller (98) Tesi. 8.4. Phillips ve Perron (988) Tesi.......9.5. KPSS (99) Tesi...... ÜÇÜNCÜ BÖLÜM YAPISAL DEĞİŞİKLİK VE BİRİM KÖK TESTLERİ 3.. Perron (989) Tesi... 3. Chrisiano (99) Tesi...3 3.3. Zivo ve Andrews (99) Tesi....38 3.4. Banerjee, Lumsdaine ve Sock (99) Tesi....4 3.5. Perron ve Vogelsang (99) Tesi...45 3.6. Lumsdaine ve Papell (997) Tesi....5 3.7. Perron (997) Tesi....54 3.8. Vogelsang Ve Perron (998) Tesi...63 3.9. Lee Ve Srazicich (003, 004) Tesi..68 3.0. Yapısal Kırılmayı Dikkae Alan Birim Kök Teslerine Genel Bir Bakış...74 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM TÜKİYENİN BAZI MAKRO İKTİSADİ DEĞİŞKENLERİ ÜZERİNE UYGULAMA 4.. Yapısal Kırılmaları Dikkae Almayan Teslerin Uygulaması...76 4.. Yapısal Kırılmalı Birim Kök Teslerinin Uygulaması...79 4... Zivo ve Andrews (99) Tes Sonuçları... 79 4... Banerjee, Lumsdaine, Sock (99) Tes Sonuçları...8 4..3. Perron (997) Tes Sonuçları. 8 4..4. Lee ve Srazicich (004) Tes Sonuçları...84 4.3. Yapısal Kırılmalı Birim Kök Teslerine İlişkin Genel Bir Değerlendirme.86 SONUÇ...89 KAYNAKÇA...9 EKLER...95
ÖZGEÇMİŞ 03 viii
ix TABLOLAR LİSTESİ Sayfa Tablo : ADF, PP ve KPSS Birim Kök Tes Sonuçları...77 Tablo : Birinci Farkı Alınmış Seriler İçin ADF, PP ve KPSS Tes Sonuçları...78 Tablo 3: Zivo ve Andrews (99) Tes Sonuçları...79 Tablo 4 : BLS (99) Tes Sonuçları...8 Tablo 5 : Perron (997) Tes Sonuçları...83 Tablo 6 : Lee ve Srazcich (99) Tes Sonuçları...84 Tablo 7 : Yapısal Değişikliği Dikkae Alan Teslerin Karşılaşırmalı Sonuçları...86
x ŞEKİLLER LİSTESİ Sayfa Şekil : Chrisiano (99) Tes Sonuç Grafiği 35 Şekil : Chrisiano (99) GSMH Zaman Yolu Grafiği 37
xi EKLER LİSTESİ Sayfa Ek : Değişkenlere Ai Zaman Yolu Grafikleri...95 Ek : Chrisiano (99) Tablo....97 Ek 3: Z&A (99) Kriik Değer Tabloları....98 Ek 4: BLS (99) Kriik Değer Tabloları...99 Ek 5: Perron (997) Kriik Değer Tabloları...00 Ek 6: Lee ve Srazcich (99) Kriik Değer Tabloları...0
GİRİŞ Zaman serileri isaisik ve ekonomeri bilim dallarının yanı sıra pek çok alanda oldukça geniş bir kullanım alanına sahipir. Zaman serileri kullanılarak yapılan analizlerde zaman serilerinin özelliklerinin bilinmesi önemlidir. Zaman serileri sahip oldukları bileşenlere göre sokasik ya da deerminisik bir yapıya sahip olabilmekedirler. Zaman serilerinin sahip oldukları sokasik bileşenler serilerin durağan olup olmadıkları ile ilgilidir. Durağanlık kavramı ekonomerik açıdan olduğu kadar ikisadi açıdan da oldukça önemli bir kavramdır. İkisadi açıdan durağanlık kavramı, bir denge durumunu ifade emekedir. Ancak pek çok ikisadi zaman serisi değişkeni durağan olmayan bir yapıya sahipir. Durağanlık kavramı, analiz edilen serilerin doğru bir şekilde anımlanabilmesi ve isaisiksel çıkarımlarda bulunulabilmesi açısından önemlidir. Durağanlık ekin ve uarlı ahminler için gerekli bir koşuldur. Durağanlığın araşırılmasında uygulamada en çok kullanılan yönemler serilerin kolerogramlarının incelenmesi, Pormaneau esleri ve birim kök esleridir. Birim kök esleri, son yıllarda ampirik uygulamalarda çok fazla ilgi görmekedir ve yaygın olarak kullanılmakadır. Lieraürde en çok kullanılan birim kök esi Dickey-Fuller (979) arafından gelişirilen ve paramerelerin en küçük kareler ahmin edicisinin dağılımına dayanan birim kök esidir. Dickey ve Fuller (976) arafından ilk kez 976 yılında ileri sürülen asimpoik eoriye dayanan bu esi daha sonra pek çok çalışma izlemişir. Nelson ve Plosser in 98 yılında yayımlanan çalışmalarında ABD ye ai 4 makro ekonomik zaman serisinde birim kökün varlığını, ADF birim kök esi ile sınamışlardır. NP (98) çalışmalarında bir seri hariç, diğer üm seriler için birim kök boş hipoezini reddedememişlerdir. Nelson ve Plosser (98) çalışmasını izleyen birçok çalışmada gelişirilen analiz yönemleriyle Nelson ve Plosser (98) bulgularını desekleyen sonuçlar elde edilmişir. Birim kök varlığını es emek için gelişirilen Nelson, C. R., C. Plosser (98), Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series, Journal of Moneary Economics, 0:39-67.
alernaif yaklaşımların ampirik uygulamaları, çoğu makroekonomik zaman serisinin birim köke sahip olduğunu yeniden asdik emişir (Perron, 989). Makroekonomik eori birim kök sürecinin sisem üzerindeki ekileri ile ilgilenmekedir. Nelson ve Plosser (98) elde eikleri sonuçlarla boş hipoez alında makroekonomik zaman serilerine uygulanan şokların kalıcı bir ekiye sahip olduğunu, yani dalgalanmaların geçici olmadığını ileri sürmüşlerdir. Ancak savaş, barış, ekonomik krizler, uygulanan poliikaların değişmesi gibi pek çok nedenden dolayı makroekonomik seriler yapısal değişimler içermekedir. Serilerde meydana gelen yapısal değişmeler dikkae alınmadan birim kök eslerinin uygulanması doğal olarak yanılıcı sonuçlara neden olacak ve aslında deerminisik bir rend erafında durağan olan pek çok serinin yanlış olarak sokasik bir rendle ifade edilmesine neden olacakır. Tezin emel amacı, yapısal kırılmaları dikkae alan eslerin kullanımı ile Türkiye ye ai belli başlı makro ikisadi değişkenlerinin analiz edilmesidir. Bu bağlamda ilk bölümde zaman serileri ve bazı emel kavramlar açıklanmışır. Tezin ikinci bölümünde ise yapısal kırılmaları dikkae almayan belli başlı birim kök esleri incelenmişir. Bunlar, DF (979), ADF (98), DF (98), PP (988) ve KPSS (99) arafından önerilen birim kök esleridir. Çalışmamızın üçüncü bölümde, yapısal kırılmaları dikkae alan esler ayrınılı bir şekilde incelenmişir. Bu esler Perron (989), Chrisiano (99), Zivo ve Andrew (99), Banerjee, Lumsdaine ve Sock (99), Perron ve Vogelsang (99), Lumsdaine ve Papel (997), Perron (997), Vogelsang ve Perron (998), Lee ve Srazicich (003,004) esleridir. Çalışmanın dördüncü bölümünde ise, Türkiye ye ai on makro ikisadi değişken öncelikle yapısal kırılmaları dikkae almayan sandar birim kök esleri ile daha sonra serilerde meydana gelen yapısal kırılmalı dikkae alan eslerin kullanım ile analiz edilmişir. sonuç bölümünde ez çalışması analiz sonuçları ile birlike genel olarak değerlendirilmişir. Sandar birim kök analizinde Ewies 5. pake programı, yapısal kırılmalı birim kök eslerinin analizinde WinRas 6.0 pake programı kullanılmışır.
3 BİRİNCİ BÖLÜM ZAMAN SERİLERİNDE TEMEL KAVRAMLAR.. Zaman Serileri ve Sokasik Süreçler İsaisik ve ekonomeri gibi bilim dallarında geniş bir uygulama alanı bulabilen zaman serileri, zaman içinde gözlemlenen ölçümlerin bir dizisi olarak anımlanmakadır (Akdi, 003). Zaman serisi verileri, değişkenlerin bir dönemden diğerine ardışık bir şekilde gözlendiği sayısal değerler hakkında bilgi verirler. Gözlenen verilerin zaman içerisinde ardışık bir biçimde gerçekleşmesi bir koşul değildir faka düzenli aralıklarla dizinin gelişimini görme açısından önemlidir. Zaman serisi verileri genellikle günlük, hafalık, aylık, üç aylık, yıllık ve daha uzun dönemli aralıklarla derlenir ve oplanır (Sevükekin, Nargeleçekenler,005). Makroekonomi ve finans verilerinin çoğu, milli gelir, ükeim gibi ek bir değişkene ai ardışık gözlemler sei olan, zaman serileri biçimde ifade edilir. Sokasik süreç, olasılık kurallarına göre zaman içerisinde gelişen bir olgudur. Zaman serileri analizinde, zaman serisi bir sokasik sürecin gerçekleşmesi olarak ifade edilir (Box&Jenkins, 976). Y, Y,..., Y ya da Y ( =,,..., ) şeklinde ifade edilebilen zaman serisinde Y rassal bir değişken olarak alınır. Y gibi bir kesikli rassal değişken dizisinin olasılık yapısı, sokasik sürecin bileşik dağılımı arafından belirlenir. Sokasik sürecin dağılımı ise, ikisi de zamanın bir fonksiyonu olan, değişkenin birinci ve ikinci momenleri ile anımlanır. (Madalla&Kim,998). Zaman serileri analizi, bir zaman serisinin kendi olasılık yapısının belilrlenmesi ve gelecekeki durumunun öngörülmesi veya birden fazla zaman serisi arasındaki ilişkilerin belirlenerek oraya çıkarılması işlemi olarak özelenebilir... Zaman Serilerinin Sokasik ve Deerminisik Özellikleri Ekonomik, sosyal, psikolojik vb. çeşili nedenlerin, zamanla ilişkili değişkenler üzerindeki ekisi, yön ve şiddeinin farklı olması nedeniyle, zaman serisi gözlem
4 değerlerinde bazı değişmeler gözlenir. Bu değişmeler zaman serilerini ekileyen fakörler ya da bileşenler olarak ifade edilirler. İkisadi zaman serileri genel olarak rend, mevsimsel, konjonkürel ve düzensiz (rassal) harekelerin bileşiminden oluşur. Bir zaman serisi, frekansına bağlı olarak sözü edilen bu dör bileşenden birini veya birkaçını bünyesinde bulundurabilir. Zaman serisi verilerine dayalı ekonomerik modellerde serilerin zaman serisi özelliklerinin bilinmesi önemlidir. Serinin hangi bileşenlerden oluşuğunun belirlenmesi başka bir ifade ile serinin bileşenlerine ayrışırılması ve bu bileşenler seri üzerinde bir ekiye sahip ise serinin bu bileşenlerden arındırılması gerekir. Sözü edilen bu bileşenler serilerin sokasik ve deerminisik özelliklerini belirler (Bozkur, 007). Trend, zaman serisinin uzun dönem sisemaik harekeini göserir. Zaman serisinin uzun dönemde sergilediği kararlı azalış ya da yükseliş şeklindeki genel eğilimidir. Mevsimsel dalgalanmalar, zaman serilerinin mevsimlere göre değişimi ifade eder. Mevsimsel dalgalanmalar belirli ve sisemaik bir hareke sergilerler. Çevrimsel bileşen olarak da ifade edilebilen konjonkürel harekeler, mevsimselliken farklı olarak düzensiz dönemsel değişmeleri içerir. Konjonkürel dalgalanmalar oplam ekonomik faaliyelerde meydana gelen ve yenilenen faka periyodik olmayan yani düzensiz genişleme ve daralma harekeleridir. Bu harekeler isihdam, fiyalar, GSMH gibi üm makro ekonomik değişkenlerde meydana gelirler ve hemen hemen aynı yönde ve aynı zamanda, faka farklı oranlarda hareke ederler. Ekonomideki kısa süreli durgunluk dönemleri, ekonomik gelişme dönemleri bu bağlamda değerlendirilir. Düzensiz harekeler, belirli olmayan ve önceden ahmini mümkün olmayan harekelerdir. Haa erimi ile ifade edilen değişimlerdir. Serilerde sabi, rend ve mevsimsellik bileşenlerinin bulunup bulunmaması serilerin deerminisik özelliklerini oluşurur. Serilerin sokasik özellikleri ise daha çok serilerin durağan olup olmadıkları ile ilgilenir (Tarı, 006).
5.3. Durağanlık Kavramı Bir zaman serisinin isaisiksel analizi yapılmadan önce, o seriyi yaraan sürecin zaman içinde sabi olup olmadığı yani serinin durağanlığının araşırılması gerekir. Durağanlık bir akım isaisiksel çıkarımlar yapılabilmesi ve değişkenin daha başarılı anımlanabilmesi için önemlidir. Sokasik süreç izleyen zaman serilerinde durağanlık önemli bir kavramdır. Güçlü durağanlık ve zayıf (kovaryans) durağanlık olmak üzere iki ür durağanlık söz konusudur. Zaman serileri ile yapılan çalışmalarda serilerin zayıf durağanlık koşulunu sağlaması yeerlidir. Y, Y,..., Y gibi bir zaman serisinin bileşik olasılık dağılımı, Y + k, Y+ k,..., Y+ k serisinin bileşik olasılık dağılımı ile aynı ise, diğer bir deyişle herhangi bir gözlem seinin bileşik olasılık dağılımı gözlemlerin yapıldığı zamandan ileriye ya da geriye doğru kaydırıldığında herhangi bir değişikliğe uğramıyorsa güçlü durağanlıkan söz edilir (Maddala ve Kim, 998). Oralaması ile varyansı zaman içinde değişmeyen ve iki dönem arasındaki orak varyansı bu orak varyansın hesaplandığı döneme değil de yalnızca iki dönem arasındaki uzaklığa bağlı olan olasılıklı bir süreç durağan bir süreç olarak anımlanır. (Gujarai, 005) E( y ) = E( y E( y E( y - m)( y - m) -s = E( y -s ) = m -s - m) - m) = E( y = s - j y - m) E( y - j-s - m) = g s (.) Böyle bir sokasik süreç zayıf durağan ya da kovaryans durağan olarak da bilinir. Bu yöndeki durağanlıka serinin oralaması zamandan bağımsızdır, yani serinin oralaması zaman içinde sabiir. Varyansı ise sonlu bir sayı ile ifade edilir ve zaman içinde sisemaik olarak değişmediği kabul edilir (Bozkur,8). y ile y - arasındaki kovaryans gözlemlerin yi beliren arihe göre değil, s gözlemlerin zaman ayrımı uzunluğuna, yani s gecikme uzunluğuna bağlıdır. (Sevükekin ve Nargeleçekenler, 005) Güçlü durağan bir zaman serisi aynı zamanda zayıf durağan bir seridir, ancak zayıf durağanlık zaman serisinin güçlü durağan olmasını gerekirmemekedir.
6 Çok değişkenli normal dağılım, birinci ve ikinci momenlerle amamen anımlanabildiği için, normal durağan süreç için zayıf durağanlık ile güçlü durağanlık eşdeğerdir. (Madalla ve Kim, 998) Serilerde durağan dışılığın nedenlerinden biri seride rend ekisinin bulunmasıdır. Serideki rend deerminisik ya da sokasik olabilir. Serinin sadece oralaması zamana bağlı ise seri deerminisik rend, sadece ookovaryansı zamana bağlı ise seri sokasik rend içeriyor demekir. (Yalçın, 003). Birçok makro ikisadi zaman serisi hem deerminisik hem de sokasik rend ile modellenmekedir. Deerminisik rend içeren bir zaman serisindeki değişim önceden öngörülebilir ve seride meydana gelen bir şokun ekisi geçici bir nieliğe sahipir. Sokasik rend içeren seride değişim amamen öngörülemez ve seride meydana gelen şokun ekisi gelecek dönemlerde de devam eder. Durağan olmayan bir seri, çeşili işlemler kullanılarak durağan hale geirilmelidir. Eğer seri sokasik bir rende sahip ise zaman serinin farkının alınması gerekir. Deerminisik rende sahip zaman serilerinde ise serinin rendden arındırılması için seri oralamasından çıkarılır. Deerminisik rend erafındaki dalgalanmalar, rend durağan süreç ve sokasik rend erafındaki dalgalanmalar ise fark durağan süreç olarak adlandırılır. Serinin rendden arındırılması için kullanılacak yönem serinin rend durağan ya da fark durağan bir süreç olmasına dayanır. (Kim&Madalla, 998).4. Durağanlığın Önemi ve Sahe Regresyon (Spurious Regression) Klasik regresyon modelinin varsayımları hem y ve y - dizilerinin durağan olmasını, hem de haaların sıfır oralamaya ve sonlu sabi bir varyansa sahip olmasını gerekirmekedir. Regresyon modelinin sandar varsayımlarından durağanlık ekin ve uarlı ahmin için gerekli koşuldur. Ancak ikisadi zaman serilerinin önemli bir kısmı durağan olmayan bir yapıya sahipir. Durağan olmayan bir değişkenin olasılık dağılımı zamana göre değişmediği için, böyle bir değişkeni durağan kabul ederek yapılan analiz yanılıcı sonuçlar verebilmekedir. Granger ve Newbold (974) simülasyon çalışmaları sonucunda bu durumla ilgili önemli bulgular elde emişlerdir. Bu bulgular yüksek deerminasyon kasayı ( R ), çok yüksek isaisik değerleri ve düşük Durbin-Wason değerleri şeklindedir. Bunun doğal sonucu olarak es isaisiklerine s
7 güvenilemeyecekir. Bu isaisikler yanılıcı olacakır. Bu sonuçlar, Granger ve Newbold (974) ün ifadesiyle sahe regresyonlar oraya çıkarabilir..5. Saf Rassal Süreç (Whie Noise Process) e sıfır oralamalı, sabi varyanslı ve serisel olarak korelasyonsuz bir dizi ise saf rassal bir süreç olarak adlandırılır. E( e ) = E( e E( e ) = E( e - - ) =... = 0 ) =... = s (.) Ve büün j ler için E( e e ) E( e e ) = 0 dır. -s = - j - j-s e ~ IID (0, s ), =,,..., T, şeklinde göserilir ve bu serinin anımsal olarak durağan olduğu kabul edilir. Saf rassal süreç bu hali ile kovaryans durağandır..6. Rassal Yürüyüş Süreci (Random Walk Process) Rassal yürüyüş süreci durağan olmayan serilerin en basi örneğidir. Y serisinin zamandaki değeri, saf rassallık özelliğine sahip haa erimie ile ifade edilirse rassal yürüyüş süreci aşağıdaki gibi göserilebilir. Y = - + e (.3) Y Rassal yürüyüş modelinde, (.3) ile göserdiği gibi, dönemindeki Y değeri, ( -) dönemindeki kendi değeri arı rassal bir ekiye sahipir. Eğer rassal yürüyüş modeli AR() modelinin özel bir hali olarak düşünülürse, Y - nin kasayısı, kovaryans durağanlık koşulunu sağlamayan bir AR() modeli olacakır (Ruey S. Tsay,00)..7. Zaman Serisi Verilerinin AR, MA ve ARMA Modelleri (Box-Jenkins Yönemi) Zaman serilerinin anımlanmasında, sürecin sabi bir oralama erafından dengede kaldığını varsayan ve yoğun bir ilgi gören durağan modeller, sokasik modellerin önemli bir bölümünü oluşurur.( Box ve Jenkins, 976 )
8 Durağan zaman serilerini modellemenin en yaygın yolu ARIMA yönemi, en yaygın adı ile Box-Jenkins (B-J) yönemidir. B-J ürü zaman serileri modellerinde Y, Y nin kendi gecikmeli değerleri ve olasılıklı haa erimleri ile açıklanmakadır. (Gujarai, 005). Box-Jenkins yöneminde üç modelleme söz konusudur. Bunlar ooregresif (AR) süreç, harekeli oralama (MA) süreci ve harekeli ooregresif (ARMA) süreçleridir. Durağan olmayan bir seri için fark alınması gerekiğinde ARMA süreci, büünleşik harekeli ooregresif (ARIMA) süreci haline dönüşür (Bozkur, 007). Ooregresif (AR) süreçe Y nin dönemindeki değeri, bir önceki dönemde aldığı değer ile bir rassal erime bağlıdır. Bu denklemde birinci merebeden ooregresif süreç söz konusu olup AR() şeklinde göserilmekedir. Bu sürecin durağan olması a < koşuluna bağlıdır. Aksi halde durağan olmamaka ve Y değeri geçmişeki şokların ekisi nedeniyle zaman boyunca mulak değerce büyüme eğilimi gösermekedir. Y = a - + e (.4) Y p. dereceden ooregresif bir sürece ai denklem aşağıdaki gibi yazılabilir; Y Y Y Y Y = a - + a - + a 3-3 +... + a p - p + e (.5) Y nin dönemindeki değeri bir sabi erim ile şimdiki ve geçmiş haa erimlerinin harekeli oralamasının oplamına eşi olduğu zaman böyle bir süreç harekeli oralama (MA) süreci olarak adlandırılır (Gujarai,005). Birinci merebeden bir harekeli oralama süreci, MA(), (.6) ile göserilir. Y = + qe + q e - m (.6) yazılabilir. q merebeden bir harekeli oramla sürecine ai denklem ise aşağıdaki gibi Y = m + q e + q e - +... + q e -q (.7) Harekeli oralama modelleri, saf rassal (whie noise) dizisinin zaman içinde değişmeyen ilk iki momeninin sonlu doğrusal kombinasyonudurlar. Bu nedenle harekeli oralama modelleri her zaman durağan olan modellerdir. (Ruey S. Tsay, 00)
9 Çoğu durumda seriler ek başına AR ( p) veya MA(q) süreçleri arafından ifade edilemezler. Y serisinin hem AR süreci hem de MA süreci özellikleri aşıdığı durumda, seri ARMA modeli ile ifade edilir. Y = m + a... e Y - + a Y - + a 3Y -3 +... + a py - p + e + qe + qe - + + q -q (.8) Genel bir ARMA modeli şu şekilde yazılabilir, yazarsak, p q 0 + Âai - i + Âqie -i i= i= 0 Y = a Y (.9) Genel bir ARMA(p,q) modelini gecikme işlemcisi (L) kullanılarak ekrar p q Ê ˆ Á - i Âa i L Y = a 0 + Âqie - (.0) Ë i= i= 0 ve Y için çözüm, Y Â a 0 + qie - i= 0 = p Ê ˆ Á - i Âa i L Ë i= q (.) olacakır. Burada durağanlık koşulu ( a L i i ) köklerinin birim çemberin dışında olmasıdır (Enders, 995). - Â polinomunun karakerisik Durağan olmayan bir Y serisi d defa farkı alındığında durağan hale geliyor ise, bu ür serilere d. inci dereceden büünleşikir denir. Bu durumda, Y ~I( d ) ile göserilir. Serinin d. inci dereceden farkı durağan bir ARMA (p,q) serisi ise, bu seriler ARIMA olarak adlandırılır ve ARIMA ( p, d, q) olarak ifade edilir. (Akdi, 003)
0.8. Durağanlık Tesleri Durağanlığın es edilmesinde uygulamada en çok kullanılan yönemler ookorelasyon fonksiyonlarının incelenmesi, Pormaneau esleri ve birim kök esleridir. Pormaneau esleri izleyen al başlıka incelenmişir. Birim kök es sraejisi ise, bu bölümde öze şeklinde verilmişir. İkinci bölümde ise birim kök esleri daha geniş bir şekilde inceleneceğinden, bu bölümde birim kök es sraejisine kısaca değinilmişir..9. Ookorelasyon Fonksiyonu: ACF(k) Bir sokasik süreci amamen anımlamak mümkün değildir. Bu nedenle süreci kısmen anımlayan ookorelasyon fonksiyonu model oluşurmada önemli bir yere sahipir. (Kular, 006). Durağanlık konusunda bilgi veren ve sokasik süreci kısmen anımlamamızı sağlayan ookorelasyon fonksiyonu, serinin haa erimleri arasındaki ookorelasyonu şu şekilde anımlar: g k r = (.) k g 0 Burada, g k ; k gecikme için kovaryansı g 0 ; varyansı gösermekedir. Uygulamada ookorelasyon fonksiyonunun bir ahmini hesaplanır ve bu örneklem ookorelasyonu olarak adlandırılır. Örneklem kovaryansı, Â( Y - Y )( Y + k + Y ) gˆ k = (.3) n Örneklem varyansı, ( Y ) Y ˆ Â - g 0 = (.4) n
rˆ k gˆ k = = ACF(k) (.5) g ˆ0 şeklinde ifade edilmekedir..9.. Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu: PACF(k) Zaman serileri analizlerinde, özellikle ooregresif zaman serilerinde, serinin model derecesinin belirlenmesinde, ookorelasyon fonksiyonu pek açıklayıcı değildir. Ookorelasyon fonksiyonu bir zaman serisinde iki noka arasındaki ilişkinin açıklanmasında yararlıdır. Ancak bu iki noka arasındaki ilişki araşırılırken bu nokalar arasında kalan gözlemlerin ekisinin arındırılması zaman serisi hakkında daha fazla bilgi sahibi olmamızı sağlar. Burada açıklanan ilişki iki noka arasındaki kısmi ookorelasyondur. F kk = r Y, Y / Y, Y,..., Y ) (.6) ( -k - - -k+ Kısmi ookorelasyonlar, ookorelasyon fonksiyonunun değerinden yararlanılarak aşağıdaki formülle hesaplanır. r - k-  k j= F kk = k- -  j= F F k-, j k -, j, r, r k - j j, k = 3,4,5,... (.7) F kj = F k-, j - F kkf k-, k- j =,,..., k - j için.9.. Pormaneau Tesleri: Q-İsaisikleri.9... Box-Pierce İsaisiği (Q İsaisiği) Box ve Pierce örneklem ookorelasyonlarını kullanarak Q isaisiğini gelişirmişlerdir. Q = T k  j= r ) j = T k  j= r j (.8) Akdi, Yılmaz (003), Zaman Serileri Analizi, Bıçaklar Kiabevi, No:, Ankara
veya k Â[ ] ACF( j) Q = T (.9) j= Bu isaisik ile ookorelasyon kasayılarının anlamlı bir şekilde sıfırdan faklı olup olmadığı es edilmekedir. H 0 : r j = 0 boş hipoezi ookorelasyon kasayılarının sıfır olduğunu başka bir ifade ile ookorelasyonun olmadığı durumu ifade eder. Hesaplanan es isaisiği k serbeslik dereceli c ablo değerini aşarsa boş hipoez reddedilir..9... Ljung-Box Q İsaisiği (LB-Q İsaisiği) Q isaisiği büyük örneklemlerde bile zayıf bir es olarak eleşirilmişir. Bu eleşiri üzerine Ljung-Box arafından LB-Q isaisiği gelişirilmişir. Bu isaisiğin küçük örneklemlerde, Q isaisiğine göre daha iyi sonuç verdiği gözlenmişir. LB = T k r k j ( ) ( ) [ ACF( j) ] T + Â = T T + Â (.0) T j T j j= - j= - İsaisiksel olarak anlamlı ookorelasyon ve kısmi ookorelasyonların varlığı serinin durağan dışılığını ima eder. Örneklem ookorelasyonlarının, kısmı korelasyonların ve Q isaisiklerinin serinin özelliğine göre yaklaşık olarak seçilen k sayıda gecikmeye göre işarelenerek çizilen seri grafiği korelogram olarak adlandırılır. Korelogram, serinin durağanlığı ile ilgili önsel bir bilgi verir..9..3. Durağanlığın Birim Kökle Sınanması Birim kök esleri, gözlenen seride birim kökün varlığını incelenmesinde diğer bir ifade ile serinin durağanlığının araşırılmasında yaygın olarak kullanılmakadırlar. Bir serinin birim kök içermesi, söz konusu serinin durağan olmadığını ifade eder. Birinci dereceden ooregresif bir model aşağıdaki gibi yazılırsa; y = a - + e (.) y
3 Burada e saf rassal bir haa erimini gösermekedir. Bu veri üreme sürecinin durağan olması için, a < olması gerekir. Eğer a = bulunursa birim kök sorunu oraya çıkmakadır. Bu durumda denklemdeki ilişki rassal yürüyüş sürecine dönüşecekir. y = - + e (.) y Bu ilişki, bir önceki dönem değişkenin değerinin ve maruz kaldığı şokun sisemde kalıcı olduğunu ifade emekedir. Bu sonuç büün dönemler için geçerli olduğundan, daha önceki şokların da değişkenin bu dönemdeki değeri üzerinde ekisinin sürdüğünü göserir. Bu şokların kalıcı nieliğe sahip olması, serinin durağan olmadığı ve serideki rendin sokasik olduğu anlamına gelmekedir. (Tarı, 006). Durağan ve durağan olmayan zaman serileri arışıldığında, sahe regresyon probleminden kaçınmak için, birim kökün varlığının es edilmesi gerekir (Harris, 995).
4 İKİNCİ BÖLÜM BİRİM KÖK KAVRAMI VE BİRİM KÖK TESTLERİ Bir ikisadi zaman serisini anımlayan sokasik sürecin, birim kök süreci olup olmadığı, ekonomisler için ekonomerik bir sorundan fazlasını ifade eder. İkisadi eori açısından birim kök varlığının esi, ikisadi denge analizi ile yakından ilişkilidir. Denge, değişme eğiliminin olmadığı bir durumu ifade eiğinden, denge ilişkisinin isaisiksel anımı durağanlık anlamına gelmekedir. Birim kök kavramı ve esleri durağanlığı sınanmasında yaygın olarak kullanılan bir yönemdir. Zaman serisinin birim kök içerip içermediğine bakılarak serinin durağanlığı es edilir (Çabuk ve Balcılar, 998). Uygulama da pek çok birim kök esi mevcuur. Birim kök sınamasına yönelik ilk formel es Dickey ve Fuller (979, 98) arafından gelişirilmişir... Dickey ve Fuller (979) Tesi Lieraürde en çok kullanılan birim kök esi Dickey-Fuller (979) arafından gelişirilen ve paramerelerin en küçük kareler ahmin edicisinin dağılımına dayanan birim kök esidir. Y r + e (.) = Y - (.) ile verilen ooregresif süreçe, e sıfır oralama ve s varyanslı, bağımsız normal rassal değişkenlerin bir dizisidir ( e NID (0, s )). Aşağıda ifade edilen r nun regresyon ahmin edicisinin özellikleri r = ± varsayımı alında elde edilmişir (Dickey ve Fuller,979) $ r = Ê T. Ë Á ˆ T ˆ Â yy - Ê ÁÂ y- Ë = = - Sandar Dickey-Fuller (DF) esi haa erimlerinin bağımsız ve aynı dağılıma sahip oldukları varsayıma dayanır. DF esi, AR() sürecinin (sabi erim varken ya da yokken) birim köke sahip olup olmadığını es emekedir. olacakır; Y nin durağanlığının araşırılmasında kurulacak hipoez esleri aşağıdaki gibi
5 H : r (durağan dışılık için) 0 H : r (durağanlık için) 0 < r < ise, zaman serisi Y ; Æ iken, durağan bir zaman serisine yakınsar. Eğer r = ise zaman serisi durağan değildir ve Y nin varyansı.s dir. Böyle bir durumda seriye rassal yürüyüş süreci denir. r > olduğunda ise zaman serisi yine durağan olmayacakır ve serinin varyansı zamanla üssel olarak aracakır. (DF, 979) Dickey ve Fuller 979 çalışmalarında aşağıda verilen üç genel model için kriik değerlerini hesaplayarak ablolaşırmışlardır. Y r + e (.) = Y - Y m + e (.3) = + ry - Y m + e (.4) = + b + ry - Üç modelde de başlangıç değeri, Y 0 olarak alınmışır. 0 = Verilen bu eşiliklerin iki arafından da Y - çıkarıldığında, bu modellere eşdeğer olan fark denklemleri elde edilecekir. Y d + e (.5) D = Y - D = + dy - Y a + e (.6) Y a b d + e (.7) D = + + Y - Burada D fark alma operaörüdür. d = r - dir ve r = hipoezinin es edilmesi d = 0 hipoezinin es edilmesi ile aynıdır. Hipoez sınaması için kullanılan esi, esidir. isaisiğinin kriik değerleri den daha büyük varyanslı olup, Mone Carlo simülasyonları ile ile Dickey ve Fuller (979) arafından ablolaşırılmışır. Bu kriik değerler daha sonra MacKinnon (99) arafından genişleilmişir.
6 Seride kaymanın ya da rendin varlığı es isaisiğinin dağılımını ekilediğinden, her bir model için farklı kriik değerler hesaplanmışır. Model (.5) saf rassal yürüyüş sürecidir. r = olduğunda model saf rassal e dizisine eşi durağan bir model olacakır. Kesme erimi ve rendin olmadığı bu modelin sınanması için kullanılan es isaisiği isaisiğidir. Model (.6) ise seride kayma eriminin olduğu faka deerminisik rendin olmadığı modeldir. Bu model için m es isaisiği kullanılır. Model (.7) seride hem kayma eriminin hem de rendin olduğu modeldir. Bu model için isaisiği kullanılır., d = 0 hipoezini es emek için kullanılmakadır. H : d 0 (durağan dışılık için) 0 H : d 0 (durağanlık için) 0 < m ve isaisiklerinin hepsi Hesaplanan isaisikleri Dickey ve Fuller arafından hesaplanan kriik değerlerle karşılaşırılarak serinin birim kök içerip içermediğine karar verilir. Hesaplanan değerler DF kriik değerlerinden mulak değerce küçük ise H 0 hipoezi reddedilemeyecekir ve seride birim kökün varlığı kabul edilecekir. Dickey-Fuller (979) çalışmalarında au ( ) isaisiğini Box-Pierce Q isaisiği ile karşılaşırmışlardır ve gelişirdikleri esin Q esine göre daha güçlü olduğunu gösermişlerdir. (Dickey ve Fuller, 979).. Genelleşirilmiş (Augmened) Dickey - Fuller (ADF) Tesi DF (979) esinde büün zaman serileri birinci dereceden ooregresif süreçlerle ifade edilmişir; ancak daha yüksek dereceden ooregresif süreçlerin es edilmesinde de DF eslerinin kullanılması mümkündür (Enders,995). alındığında, Y gibi bir zaman serisi AR(p) süreci izlerken, AR() süreci olarak ele Y nin dinamik yapısının yanlış anımlanmasından dolayı haa erimi ookorelasyonlu olacakır. Ookorelasyonlu haa erimi, haa eriminin saf rassal olduğu varsayımına dayanan DF dağılımının kullanımını geçersiz kılar. (Harris,3).
7 Dickey ve Fuller (98), bu sorunu aşmak için bağımlı değişkenin haa erimlerinin eşiliğin sağ arafında yer alacağı bir es önermişlerdir. DF esinde dikkae alınan üç model kalıbı, bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri modele dâhil edilerek, genelleşirilmiş Dickey Fuller (ADF) regresyonları aşağıda verilen denklemlerdeki gibi yazılır. DY k - + Âd jdy - j+ + j= = d Y e (.8) DY k - + Âd jdy - j+ + j= = a + dy e (.9) DY k - + Âd jdy - j+ + j= = a + b + dy e (.0) Ele alınan regresyonlarda d = 0 olup olmadığı sınanır. ADF regresyonlarında birim kökün varlığı, DF esi için hesaplanan kriik değerlerle es edilir. Yine DF esinde olduğu gibi uygun es isaisiği, regresyon denkleminin içerdiği deerminisik bileşenlere dayanır. (Enders, 995). ADF esinin kullanımındaki emel sorun gecikme uzunluğunun seçimidir. ADF esinin gücü ve boyu özellikleri modele dahil edilen gecikme sayısına oldukça duyarlıdır. Burada amaç ookorelasyonu oradan kaldıracak kadar haa erimini modele dâhil emekir. Ooregresif süreçlerde uygun gecikme sayısının belirlenmesinde kullanılan pek çok yönem bulunmakadır. Akaike Bilgi Krieri (AIC), Schwar Krieri (SC), Hannan Quin (HQ) ve bu üç krierin düzelilmiş formları bu krierlerden bazılarıdır. Uygulamada yaygın olarak, AIC ve SC bilgi krierleri kullanılmakadır. Uygun gecikmenin belirlenmesi için, AIC ve SC bilgi krierlerinin minimum değere sahip olması gerekmekedir. Seçilen gecikmenin gereğinden büyük olması ahminlerin eğimli olmasına yol açacakır. Uygun gecikmenin belirlenmesi oldukça önemlidir. AIC ve SC yönemleri genelde k gecikme sayısını çok küçük seçmeye meyillidirler bu da birim kök eslerinin iyi boyu özelliklerine sahip olmasını engellemekedir. Diğer bir ifade ile bu durum eslerde boyu çarpıklığına yol açmakadır.
8.3. Dickey ve Fuller 98 Tesi Dickey ve Fuller (98) es yaklaşımı, seriye hakim sürecin rend durağan mı, fark durağan mı olduğu konusunda bilgi verir. Böyle bir bilgi ikisadi şokların ekisini belirlemek açısından önemlidir. Trend durağan süreçlerde şokların ekisi geçici bir özelliğe sahipken, fark durağan bir süreçe şokların ekisi sürekli bir ekiye sahip olmaka ve oralamaya dönme eğilimi olmamakadır. (Akan, 007) Dickey ve Fuller (98), a, b ve d paramerelerinin birleşik hipoezlerini es emek için f, f f ve 3 olarak adlandırılan üç F isaisiği önermişlerdir. (.8) veya (.9) de d = a = 0 boş hipoezi f isaisiği kullanılarak es edilir. (.7) veya (.0) nun ahmininde, a = b = d = 0 nin birleşik hipoezi için f isaisiği kullanılır. (.7) ve (.0) da b = d = 0 boş hipoezi için f 3 isaisiği kullanılır. (Enders, 995). [ RSS - RSS ] / r [ resriced ] [ unresriced ] f i = 3 RSS[ unresriced ] /( T - k) Hesaplanan es isaisiği Dickey ve Fuller(98) arafından hesaplanan kriik değerlerle karşılaşırılır. (.7) ve (.0) numaralı denklemlerde, boş hipoezin reddedilmesi durumunda, serinin rend durağan süreç izlediği, boş hipoezin reddedilememesi durumunda ise kısıın geçerli olduğu ve serinin fark durağan süreç izlediği söylenecekir. Serinin bu şekilde fark durağan ya da rend durağan süreç izlediği espi edildiken sonra rendden arındırma ya da fark alma işlemlerine başvurulacakır. Bu bölümde, bu aşamaya kadar DF es sraejisi üzerinde durulmuşur. Ancak DF esleri, haa erimlerinin bağımsız sabi bir varyansa sahip olduğunu varsayar. Bundan dolayı gerçek veri üreme süreci bilinmediğinden bu durum dör önemli probleme yol açar. Bunlar: 3 RSS [ resriced ] ve RSS [ unresriced ] ; kısılı ve kısısız modellerden elde edilen haa kareleri oplamıdır. r; kısı sayısı, T; kullanılabilir gözlem sayısı, k; kısısız modelde ahmin edilen paramere sayısını ifade emekedir. (T-k kısısız modelin serbeslik derecesidir).
9 i) Gerçek veri süreci ooregresif ve harekeli oralama bileşenlerinin her ikisini bünyesinde bulunduruyor olabilir. Harekeli oralama eriminin derecesi bilinmiyorsa esin nasıl yürüüleceğine dair sorunlar oraya çıkar. ii) Tahmin edilen eşilike AR merebesi bilinmiyorsa d nin değeri ve iii) sandar haası am olarak ahmin edilemez. Bu durumda gecikme uzunluğunun seçimi önemlidir. Diğer bir sorun ise DF eslerinin sadece ek bir birim kökü ele almalarıdır. Ancak p. derece bir ooregresyon modeli p ane karakerisik kök içerir. m p birim kök varsa, durağanlığı sağlamak için m defa fark alınması iv) gerekecekir. Dördüncü problem ise modelin bir sabi ve / veya zaman rendini içerip içermediğidir. (Enders,6).4. Phillips & Perron (988) Tesi DF eslerinin dağılım eorisi haaların isaisiksel olarak bağımsız ve sabi varyansa sahip olduklarını varsaymakadır. Bu nedenle bu esler kullanıldığında haaların korelasyonsuz ve sabi varyansa sahip olunduğundan emin olunmalıdır. Ampirik ekonomerik çalışmaların çoğunda bağımsızlık ve sabi varyans varsayımları haalarla ilgili oldukça güçlü varsayımlar olarak nielenir. Niekim rassal yürüyüş süreci olarak karakerize edilebilen zaman serilerinde bu varsayımların yanlış olduğuna inanılması için ikisadi eoriden gelen oldukça iyi nedenler vardır. (Phillips, 987) Phillips ve Perron (988), birim kökün varlığını es emek için, bu varsayımlara dayanmayan alernaif bir birim kök esi gelişirmişlerdir. Phillips ve Perron gelişirdikleri bu esle oldukça genel, zayıf bağımlı ve benzer dağılmayan kalınılara (innovaion) izin veren birleşik isaisik regresyonu ve EKK ahmin edicileri için asimpoik bir eori sağlamışlardır (Phillips 987). Phillips-Perron esi ADF esinin bir dönüşümüdür ve bu dönüşüm sorunlu paramerenin bağımlılığını asimpoik olarak oradan kaldırır. Bunu yaparken paramerik olmayan bir yönem kullanır. Phillips-Perron yaklaşımında Dickey-Fuller prosedüründeki regresyon eşiliklerine değil, sadece es isaisiğine bir dönüşüm yapılmışır (Çabuk, Balcılar, 998).
0 u bazı koşulları sağladığında, geçici bağımlı ve ookorelasyonlu bir u sürecine izin verecekir. Bu koşullar alında u, sonlu dereceden ARIMA modelleri gibi olası veri yarama mekanizmalarının çok geniş bir çeşidini içerir. (Pihillips ve Perron, 988) Phillips (987a) ve Phillips ve Perron (998), Dickey-Fuller EKK regresyon denklemlerini ele almışlardır; y a y + u, (.) = - y m + aˆ y + uˆ, (.) ˆ = - ~ y ~ ( ) ~ ~ = m + b - T + ay- + u, (.3) Denklem (.) için veri yarama süreci y = a y- + u ( =,,...) (.4) a =. (.5) Denklem (.4) ile verilen veri yarama sürecini dikkae alarak denklem (.5) ile verilen boş hipoez alında, regresyon kasayılarının sınırlayıcı dağılımları ve bunların isaisikleri ile ilgilenilmişir. Denklem (.) ve (.3) de sıfır olmayan bir kayma erimi ( m 0) modele dahil edildiğinde, a ~, aˆ kasayıları ve isaisiği değişmediğinden, (.4) ile verilen veri yarama süreci denklem (.6) ile göserilebilir (Phillips ve Perron,988). gibidir, Böylece denklem (.) ve denklem (.3) için veri yarama süreci aşağıdaki y = m + ay - + u (,,...) (.6) = Yenileşim süreci u bağımsız ve benzer dağıldığında s = s u sağlanır. u bu şekilde bir dağılıma sahip değilse, bu eşilik sağlanamayacakır. Yukarıda verilen regresyon kasayıları ve bunların birleşik isaisiğinin dağılımı s u ve s sorunlu paramerelerine dayanır. Bu paramereler genelde bilinmeyen paramerelerdir, ancak
uarlı bir şekilde ahmin edilebilirler. Bu ahminler, dağılımları u s ve s den bağımsız olan dönüşürülmüş eslerin oluşurulmasında kullanılabilir. s nin uarlı ahmin edicisi Tl s (.8) de verilmişir. Â = - = T u u T s (.7) Â Â + = - = - - + = T l l Tl u u w T u T s ; + - = l w, (.8) Sorunlu paramerelerin bağımlılığını asimpoik olarak oradan kaldıran dönüşürülmüş es isaisikleri model (.), (.) ve (.3) için aşağıdaki gibi verilmişir. ( ) ( ) ( ) / ) (/ / ) ( ) ( - = - - - - - Í Í Î È ˆ Á Ë Ê - - = Í Î È - - - = Â Â T Tl u T Tl u T Z y T T Z s s s s s s a a a a (.a) ( ) ( ) ( ), ˆ ˆ ˆ ) (/ ˆ / ˆ ) ˆ ˆ ( ) ˆ ( / ˆ ˆ ˆ - = - - - - - Í Í Î È ˆ Á Ë Ê - - = Í Î È - - - = Â Â T Tl u T Tl u T Z y T T Z s s s s s s a a a a (.b) ( ) ( ) ( ), ~ ~ ~ ) (/ ~ / ~ ) ~ ( ~ ) ~ ( / ~ ~ ~ - = - - - - - Í Í Î È ˆ Á Ë Ê - - = Í Î È - - - = Â Â T Tl u T Tl u T Z y T T Z s s s s s s a a a a (.3c) Phillips ve Perron arafından gelişirilen bu es isaisiğinin limi dağılımı, DF isaisiklerinin limi dağılımı ile aynıdır. Bu nedenle DF abloları PP isaisikleri için de kullanılmakadır. Phillips ve Perron un önerdiği, Z esi olarak adlandırılan bu meo, poziif harekeli oralama bileşenleri içeren zaman serisi modellerinde daha avanajlıdır ve diğer eslere göre daha yüksek bir güce sahipir. Bu bağlamda DF ve SD prosedürlerine
bir alernaif sunmakadır. Ancak negaif harekeli oralama bileşenlerinin olduğu modellerde esin kullanımı boyu çarpıklığına neden olmakadır ve kullanımı önerilmemekedir (Phillips ve Perron, 988)..5. KPSS (99) Tesi ADF esi genelde düşük güç özelliklerine sahip bir es olarak göserilmekedir. Schwer (989) mone carlo araşırmasıyla ADF esinin düşük güce sahip olduğunu ve gecikme uzunluğu seçimine çok duyarlı olduğunu oraya koymuşur. Buna karşılık KPSS esi iyi güç özellilerine sahipir. Bu yaklaşım, ADF es meodolojisini ersine çevirerek durağan dışılık alernaife kaşın durağanlık boş hipoezi alında bir es isaisiği oluşurmuşur. KPSS esinde boş hipoez durağanlık anlamına gelmekedir. (Çabuk, Balcılar, u-roo). Y durağanlığı araşırılmak isenen gözlenmiş seridir. Seri, durağan haa, rassal yürüyüş ve bir deerminisik rendin oplamı içinde ayrışırılır. Y = x + r + e (.9) r = r - + u (.0) r modelin rassal yürüyüş, deerminisik rendi, e ise durağan haaları ve u IID (0, s ) gösermekedir. durağanlık hipoezi s u = 0 dır. e durağan varsayıldığı için Y boş hipoez alında rend durağandır. KPSS esinde, durağan haalar üzerinde çok genel koşullar alında asimpoik bir dağılım üreilmişir ve bu çok genel koşullar alında asimpoik olarak geçerli olan LM isaisiğinin dönüşürülmüş versiyonu önerilmişir (KPSS,99). e, =,,3,..., T, sabi ve rend içeren y nin regresyonundan elde edilen kalınılardır. s e bu regresyondan elde edilen haa varyansının ahminidir. Kalınıların kısmi süreç oplamı (.) ile anımlanmışır; S = T Â = e =,,3,..., T (.) Bu ese ilişkin LM isaisiği aşağıdaki şekilde hesaplanmakadır,
3 T Â LM = (.) = S / s e Bu yaklaşıma LM isaisiğinin asimpoik dağılımına dayanır. LM isaisiği, haaların ( e NID (0, s ) olduğu varsayıma dayalı olarak üreilmişir. Ancak durağanlık eslerinin uygulandığı zaman serileri, zaman içinde yüksek derece bağımlı olduklarından, boş hipoez alında bu varsayım gerçekçi değildir. Bu nedenle geçici bağımlılığa izin veren, Phillips(987) ve Phillips&Perron (988) nun da kullandığı s nin uarlı ahmin edicisi ( l ) s hesaplanır. s l T - - ( ) = T e + T Â Âw ( s, l s= = s+ l ) e e (.3) -s s ( l) ahmincisinin uarlılığını sağlamak için kesme gecikme parameresinin (lag runcaion parameer), (l), T Æ iken, læ olması gereklidir. l =o( / ) oranı, hem rend durağan hem de seviyede durağan boş hipoezleri için amin edici olacakır. Her iki boş hipoezde de LM isaisiğinin paydası benzer dağılıma sahip olmaması durumunda ise s e dir. Haaların bağımsız ve s e yerine s nin uarlı ahmin edicisinin (.3) kullanılması daha uygun olacakır. Bunun için es isaisiğinin paydası - T ile normalleşirilir. ^ T - h m = T Â S / s ( l) (.4) = Verilen denklem oralama durağanlığın sınanmasını olanak verir. Oralama durağan durumda (.9) ile verilen denklemde x sıfır olarak alınır, böylece e, y nin sadece sabi üzerine regresyonundan elde edilen kalınılardır. m indisi Y regresyonunda bir rend değil sadece oralama bulunacağını ifade eder. Trend durağanlık için es isaisiğinin oluşurulması seviyede durağanlık durumuna benzerdir. Y serisinde hem sabi hem de rend bulunabilir. Bu durumda, e Y nin hem sabi hem de rend üzerine regresyonundan elde edilen kalınılardır. (.4) ile verilen es isaisiği indisi ile göserilir (KPPS, 99).
4 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM YAPISAL DEĞİŞİKLİK VE BİRİM KÖK TESTLERİ İkinci bölümde incelenen ve uygulamada yaygın olarak kullanılan birim kök esleri ilgili dönemlerde yapısal kırılma ya da kırılmaların varlığını dikkae almadığı için eleşirilmişir. Bu bölümde bu eleşiri dikkae alınarak yapısal değişiklik ve yapısal değişikliğin söz konusu olduğu durumlarda uygulanan birim kök esleri incelenmişir Bir zaman serisi değişkeni, analiz döneminin çeşili al bölümlerinde deerminisik rend erafında durağan bir özelliğe sahip olabilir. Bu al dönemler, sabi erimde ve/veya eğim parameresindeki yapısal değişikliklerden ekilenebilir. Bu değişiklikler dikkae alınmadan birim kök esi uygulamak yanlış sonuçlar verebilir ve esin gücünü azalır. Yapısal değişim genelde regresyon paramerelerindeki değişmeler olarak yorumlanır. (Yurdagül, 00). Yapısal değişim rend fonksiyonundaki bir kayma olarak da adlandırılır. Savaş, barış, poliika değişimleri, ekonomik krizler gibi pek çok nedenden dolayı serilerde meydana gelen yapısal kırılmalar sokasik bir sürecin durağan olup olmadığının belirlenmesini zorlaşırır. Serilerdeki yapısal değişiklikler klasik regresyon varsayımlarından homojenliğin sağlanamamasına neden olur. Bir değişkene ai zaman serisinin al dönemlerindeki yapısal değişiklikler, serinin durağanlık özelliğini bozacağından, böyle bir serinin klasik birim kök esleri ile analiz edilmesi doğal olarak yanılıcı sonuçlar verecekir. Böyle bir durumda, aslında birim köke sahip olmayan bir serinin yanlış olarak birim kök içerdiği şeklinde bir sonuç elde edilecekir. Güvenilir regresyon sonuçları elde emek için, serilerdeki yapısal değişikliğin dikkae alınması gerekmekedir. Yapısal değişiklik durumda geçerli olan birim kök es yaklaşımı ilk defa Peron (989) arafından oraya aılmışır. Peron (989) çalışmasında kırılma nokasının dışsal olarak belirlendiği ve zaman serisinde önsel olarak arihi bilinen ek bir kırılmaya izin veren bir es yönemi gelişirmişir. Peron (989) un dışsallık varsayımına ilk eleşiri Chrisiano (99) arafından geirilmişir. Chrisiano kırılma arihlerinin içsel olarak belirlendiği bir es yönemi önermişir. Chrisiano (99) çalışmasını izleyen ve yapısal
5 değişime izin veren birçok çalışmada Peron (989) yaklaşımdaki dışsallık varsayımı eleşirilmiş ve içsel kırılmalı birim kök esleri önerilmişir. 3.. Perron (989) Tesi Perron (989), Nelson ve Plosser (98) çalışmasından hareke ederek aynı veri seini yapısal kırılmaları dikkae alarak incelemişir. Perron(989) çalışmasında rend fonksiyonunda bir kerelik bir kırılmaya izin verildiğinde, Nelson ve Plosser (98) arafından ahmin edilen ve birim kök boş hipoezini reddedilmediği onüç makroekonomik serinin onu için birim kök boş hipoezini reddedileceğini gösermişir. Perron (989), serilerindeki yapısal kırılma dikkae alınmadan birim kök analizi yapıldığında, aslında deerminisik bir rend içeren çoğu ikisadi ve finansal zaman serisinin yanlış olarak sokasik rende sahipmiş gibi göründüğünü ileri sürmüşür. Perron (989), değişkenler üzerinde sadece iki şokun kalıcı ekiye sahip olduğunu ve bu iki şokun farklı şekillerde serileri ekilediğini ifade emişir. Şoklardan biri 99 büyük bunalımı, diğeri 973 perol fiyaı şokudur. Peron (989), 99 buhranının çoğu değişkenin oralamasında ani bir düşüşe neden olurken, 973 eki perol şokunun, ise rendin eğiminde bir değişiklik yaraarak, büyümede bir yavaşlamaya neden olduğu yönünde sonuçlar elde emişir. Böylece 99 dan sonra rend fonksiyonun sabiinde ve 973 en sonra rend fonksiyonunun eğiminde ek bir değişime izin verildiğinde, çoğu makroekonomik değişkenin rend-durağan bir süreç izlediğini gösermişir. Burada rend fonksiyonundaki değişim zamanı, rassal olarak ahmin edilen bir değişken olarak değil, sabi olarak ele alınmışır. Yani, kırılma nokası bilinmekedir. Peron (989), analizini mümkün olduğu kadar önceki analizlerle benzer umak için, ek değişkenli zaman serilerinde, bir birim kökün varlığını es emede, Nelson ve Plosser (98) arafından da kullanılan, Dickey-Fuller es meodolojisinin bir uzanısını uygulamışır. Peron (989) nun çalışmasında { y } T gibi bir zaman serisi, boş hipoez alında birim kök süreciyle karakerize edilen bir gerçekleşme olarak ele alınmakadır. Bununla birlike bu yaklaşım seride T ( < T T ) zamanında meydana gelen bir ek değişime B B < izin verecek şekilde genelleşirilmişir.
6 Perron, boş hipoez alında üç farklı model anımlamışır. İlk model Crash Model olarak ifade edilmişir. Bu model serinin düzeyinde dışsal bir değişime izin vermekedir. Changing Growh Model olarak anımlanan ikinci model ise büyüme oranında, yani rend fonksiyonun eğiminde ek zamanlı bir kırılmaya izin vermekedir. Üçüncü model ise hem serinin düzeyinde hem de eğiminde bir değişikliğe izin vermekedir. (Perron,989) Modeller farklı olsa da üm modellerde boş hipoez fark durağan süreci, alernaif hipoez ise, rend durağan süreci ifade emekedir. Boş hipoez alında A, B ve C modelleri aşağıdaki gibi ifade edilmişir: Model (A) y m + dd TB) + y + e, = ( - Model (B) y m + m - m ) DU + y + e, = ( - Model (C) y m + dd TB) + ( m - m ) DU + y + e, = ( - Tüm modellerde T ( < T T ) kırılma dönemini, başka bir ifade ile rend B B < fonksiyonunun paramerelerindeki değişim periyodunu gösermekedir. Ayrıca modellerde ifade edilen kukla değişkenler aşağıdaki gibi oluşurulmuşur. D( TB) Ï eger = TB + = Ì Ó0 d. d. DU Ï eger > T = Ì Ó0 d. d B A ( L) e = B( L) v, v ~ N( 0, s ). serisi { } A (L) ve B (L), L gecikme operaöründe p. ve q. sıra polinomlardır. Yenileşim e, p. ve q. sıradan bir ARMA ( p, q) süreci olup, p ve q bilinmemekedir. Bu önerme y serisinin oldukça genel bir süreci emsil emesine olanak anımakadır.