İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK

Kostadi Treçevski Aeta Gatsovska Naditsa İvaovska İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK DÖRT YILLIK MESLEKİ OKULLARA AİT SINIF III İKTİSAT - HUKUK VE TİCARET MESLEĞİ TİCARET VE PAZARLAMA TEKNİSYENİ

Deetleyeler: Dr. Bilyaa Kırsteska, KMÜ, DMF öğretim üyesi, Üskü - başka, Lidiya Kuzmaovska, ÜBOO Lazar Taev, rofesör, Üskü, üye ve Lyubitsa Dimitrova, ÜBOO Gyoşo Viketiev, rofesör, Koçaa, üye Düzelti: Dr. Akta Ago Yayıcı: Makedoya Cumhuriyeti Eğitim ve Bilim Bakalığı Basımevi: Grafiçki Cetar Ltd., Üskü Tiraz: 80 Bu kita Makedoya Eğitim ve Bilim Baka ı o. -486/ ve 9.07.00 tarihli kararamesiyle kullaılmaya müsaade edilmiştir. CIP - Каталогизација во публикација Национална и универзитетска библиотека Св.Климент Охридски, Скопје 5. (075.) 5-77 (075.) ТРЕНЧЕВСКИ, Костадин Математика за економисти за lll година на четиригодишното стручно образование: економско-правна и трговска струка техничар за трговија и маркетинг / Костадин Тренчевски, Анета Гацовска, Надица Ивановска. - Скопје: Министерство за образование и наука на Република Македонија, 0, - 88 стр. : граф. прикази ; 9 см ISBN 978-608-6-77-5. Гацовска, Анета [автор]. Ивановска, Надица [автор] COBISS.MK-ID 8646504

Ö s ö z İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK kitabı, dört yıllık mesleki eğitimi üçücü sııfıa ait matematik dersii la ve rogramı üzere hazırlamıştır. İktisat hukuku ve ticaret dersi la ve rogramıa göre, iktisat ve azarlama tekisyei eğitim rofili öğrecileri içi ögörülmüştür. Amaç, okuyucuyu bir yada iktisatta gerekli bazı matematiksel yötemlerle taıştırmak, öte yada da matematiksel düşümeye alıştırarak doğruda matematik kitalarıda yararlaabilir duruma gelmesie yardım etmektir. Kita, dokuz bölümde ibarettir. Ele alıa kouları daha iyi ve kolay beimsemek içi her bölüm souda çeşitli düzeylerde çözülmüş örekler, alıştırmalar ve çizimler verilmiştir. Her ders birimii souda, ders esasıda ya da evde öğrecileri kedi başıa çalışmaları içi alıştırmalar verilmiştir. Kitabı souda, alıştırmaları çözümleri, bazılarıı ise çözümü içi tavsiyeler verilmiştir. Birici bölüm Basit faiz hesabı başlığı altıda verilmiştir. Burada amaç: öğreci, basit faiz hesabıı öğremeyi ve ayısıı ratikte uygulamayı; vadeli hesa, iskoto hesabı ve yatırım hesabıı beimsemek, ayı zamada kredi hesabı ve bireysel işlem hesabı kavramlarıı öğremektir. İkici bölüm Kıymetli metaller aralar ve dövizler başlığı altıda verilmiştir. Bu kouu içeriğii öğremekle, kıymetli metaller hakkıda bilgileri geişletilmesii, oları arılık derecesii asıl hesaladığıı ve hesalama tekiklerii öğremeye olaak sağlamaktadır. Buda başka ara ve dövizler hakkıda geiş bilgiler verilmiş, özellikle dövizleri satı ve alımı vurgulamıştır. Üçücü bölüm Üslü ve logaritmalı deklemler başlığı altıda verilmiştir. Burada reel üslü kuvvet ve logaritma kavramı icelemiştir. Amaç, bazı üslü ve logaritmalı deklemleri çözümüe ait tekikleri öğreilmesidir. Dar açıı trigoometrik foksiyoları kousu dördücü bölümde verilmiştir. Bu bölümdeki ders malzemesii öğreilmesiyle, öğreci trigoometri hakkıda temel bilgiler ediecek, yai siüs, kosiüs, tajat ve kotajat temel trigoometrik foksiyolarıı taımlayacak ve oları geometride ve ratikte asıl uyguladığıı öğreecektir. Beşici bölüm Düzlemde doğru diye adladırılmıştır. Bu kouyu icelemekle öğreciler düzlem aalitik geometrisi hakkıda temel bilgiler ediecekler. Özellikle, iki okta arasıdaki uzaklık, doğru arçasıı verile orada bölümesi ve formüllerii uygulaması gösterilmiştir. Bu bölümü souda, iki doğru arasıdaki açı ve bir oktada verile bir doğruya uzaklık kavramlarıda ödevleri asıl çözüldüğüü öğreeceksiiz.

Altıcı bölümde Diziler kousu icelemiştir. Bu koudaki malzemeyi öğremekle, reel sayılı diziler hakkıda daha kasamlı bilgiler edieceksiiz. Burada özellikle aritmetik ve geometrik dizilerie, oları geel terimie ve ilk terimlerii tolamıa ait formüllere daha fazla öem verilmiştir. Bileşik faiz hesabı adıda verilmiş ola bölüm (ilerde buu i /i kısaltmasıyla işaretleyeceğiz), öğrecii basit faiz hesabı hakkıda bilgilerii yoklamasıa ve bileşik faiz kavramıı öğremesie olaak sağlamaktadır. Döem başı (atisiativ) ve döem sou (dekurziv) faizleme kavramları iceleir ve buula öğreci faiz oraıı, faiz miktarıı ve faiz süresii asıl hesaladığıı öğreecektir. Sekizici bölümde Vadeli yatırımlar ve vadeli gelirler kavramı icelemiştir. Amaç, döem başı ve döem sou yatırımları taımak ve bu gibi yatırımları soudaki değerlerii hesalamaktır. Bu bölümde kira, kira yatırımı, iskoto ve iskoto değeri kavramlarıı da öğreeceksiiz. Souda, bileşik faiz, yatırımlar ve kira ile ilgili daha bileşik roblemler çözebileceksiiz. So ola dokuzucu Borçlar bölümüde, borç, amortizasyo vadesi, taksitler, ödeme gibi kavramlar icelemiştir. Eşit taksitli borçlar, eşit aüiteli ödemeler, yuvarlak aüiteli ve farklı türde borçlar hakkıda amortizasyo laları yaılmaktadır. Bu kitataki ders malzemesii gerçekleştirirke, öğretme, öğrecileride kedi başlarıa çalışmalarıı teşvik etmelidir. Bu kitabı kalitesii iyileşmesi yöüde, deetleyelerde aldığımız iyi maksatlı eleştiriler içi de özellikle miettarımız. İlerde de, kitabı içeriğii zegileşmesi yöüde olumlu maksatlı her eleştiri içi öcede teşekkürlerimizi suarız. Böylece bu kita, iktisat hukuk bölümüde öğreim göre öğrecilere, ilerdeki meslekleride yararlı olacak bilgileri öğremelerii sağlayacaktır. Mayıs, 00 Yazarlar

İÇİNDEKİLER. BASİT FAİZ HESABI................................................ 5.. Basit Faizi Hesalaması................................................... 5... Temel Kavramlar..................................................... 5... Basit Faizi Hesalamasıda Büyüklükler Arasıdaki Temel Bağıtılar...... 6.. Yüz Üstüde Ve Yüz Altıda Faiz Hesabı.................................... 0.. Vadeli Hesa............................................................... Ortalama Vade İle Hesalama........................................ 4.4. Borç Kalaıı Vade Hesalaması......................................... 9.5. İskoto Hesabı Ve İskoto Hesalamalar Kavramı.............................5.. Poliçei Özellikleri...................................................5.. Poliçei İskotosu................................................. 6.6. Yatırım (Deozit) Hesaları................................................ 0.7. Kredi Baka Hesabı..................................................... 5.8. Kou Pekiştirme Alıştırmaları............................................. 8 Kou Özetleri............................................................... 4. KIYMETLİ METALLER, PARALAR VE DÖVİZLER.................... 45.. Kıymetli Metalleri Arılığı................................................ 45.. Arılık (Saflık) Derecesii Hesalaması.................................... 46.. Saf Ve Tolam Kütlei Hesalaması...................................... 48.4. Para Birimi Kavramı Ve Öemi............................................ 50.5. Paraları Değerlerideki Değişmeleri Hesalaması......................... 5.6. Döviz Kavramı.......................................................... 55.7. Döviz Kuruu Kavramı Ve Alamı........................................ 58.8. Sot İşlemler............................................................ 60.9. Sot Kurları Nasıl Ayarlaır............................................... 6.0. Kâr Ve Zarar........................................................... 65.. Pozisyoda Tutuma.................................................... 66.. Kouyu Pekiştirme Alıştırmaları.......................................... 68 Kou Özetleri............................................................... 70. ÜSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER........................... 7.. Reel Sayılı Üslü Kuvvet Kavramı............................................ 7.. Üstel Deklemler........................................................ 75.. Logaritma Kavramı....................................................... 77.4. Logaritmaı Özellikleri.................................................. 79

.5. Farklı Tabalı Logaritmalar Arasıdaki Bağıtılar................................ 8.6. Logaritmalı Deklemler.................................................. 84.7. Kouyu Pekiştirme Ödevleri............................................... 87 Kou Özetleri............................................................... 89 4. DAR AÇININ TRİGONOMETRİK ORANLARI........................ 9 4.. Dar Açıı Trigoometrik Oraları........................................ 9 4.. Bazı Açıları Trigoometrik Foksiyolarıı Değerlerii Hesalaması....... 96 4.. Hesa Makiesi Kullaarak Trigoometrik Foksiyoları Değerlerii Hesalaması........................................................... 99 4.4. Ayı Açıı Trigoometrik Foksiyoları Arasıdaki Bağıtılar.............. 0 4.5. Dik Üçgei Çözümü................................................... 04 4.6. Kou Pekiştirme Alıştırmaları............................................. 07 Kou Özetleri.............................................................. 09 5. DÜZLEMDE DOĞRU............................................. 5.. Düzlemde Dik Açılı Koordiat Sistemi..................................... 5.. İki Nokta Arasıdaki Uzaklık.............................................. 5.. Doğru Parçasıı Verile Orada Bölümesi................................ 5 5.4. Üçgei Alaı........................................................... 7 5.5. Doğru Deklemii Açık Şekli............................................ 9 5.6. Doğru Deklemii Geel Şekli........................................... 5.7. Doğruu Ekse Parçalarıa Göre Deklemi................................ 4 5.8. Nokta Ve Doğru Arasıdaki Durumlar...................................... 6 5.8.. Bir Noktada Geçe Doğru Demetii Deklemi....................... 6 5.8.. İki Noktada Geçe Doğruu Deklemi.............................. 7 5.8.. Noktada Doğruya Uzaklık.......................................... 8 5.9. İki Doğru Arasıdaki Durumlar........................................... 0 5.9.. İki Doğru Arasıdaki Durumlar...................................... 0 5.9.. İki Doğru Arasıdaki Açı. İki Doğruu Dik Olma Şartı................. 5.0. Kou Pekiştirme Alıştırmaları............................................ 4 Kou Özetleri.............................................................. 5 6. DİZİLER......................................................... 9 6.. Dizi Kavramı............................................................ 9 6.. Arta Ve Eksile Diziler................................................. 4 6.. Aritmetik Diziler......................................................... 4 6.4. Aritmetik Dizileri Özellikleri............................................ 46 6.5. Geometrik Diziler........................................................ 48

6.6. Geometrik Dizileri Özellikleri........................................... 5 6.7. Kou Pekiştirme Ödevleri................................................ 55 Kou Özetleri.............................................................. 57 7. BİLEŞİK FAİZ HESABI............................................. 59 7.. Bileşik Faiz Kavramı Ve Hesalaması..................................... 59 7.. Temel Değeri Gelecekteki Değerii Hesalamak............................ 64 7.. Koform Faiz Hesabı.................................................... 7 7.4. Yatırıla Paraı Başlagıç Değeri Ve Faiz Miktarıı Hesalaması.......... 75 7.5. Faiz Döem Sayısıı Ve Faiz Oraıı Hesalaması........................ 79 7.6. Kou Pekiştirme Alıştırmaları............................................ 86 Kou Özetleri.............................................................. 90 8. PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR) VE PERİYODİK KİRALAR................................................... 9 8.. Periyodik Yatırımlar..................................................... 9 8.. Mevduatları Gelecekteki Değerii Hesalamak........................... 94 8.. Bireysel Mevduatı Değerii Hesalamak.................................. 99 8.4. Mevduat Sayısıı Ve So Mevduatı Hesalaması.......................... 0 8.5. Yatırımlarda Faiz Oraıı Hesalaması.................................. 05 8.6. Periyodik Alacaklar (Kiralar)............................................. 09 8.6.. Kira Sermayesii Hesalaması..................................... 0 8.7. Kira Tutarıı Hesalaması............................................. 4 8.8. Kira Sayısı Ve Kira Kalaıı Hesalaması................................ 7 8.9. Periyodik Kiralarda Faiz Oraıı Hesalaması............................ 8.0. Karma Ödevler........................................................ 5 8.. Alıştırmalar........................................................... 0 Kou Özetleri.............................................................. 9. BORÇLAR........................................................ 7 9.. Borç Kavramı Ve Çeşitleri............................................... 7 9.. Eşit Aüiteli Borçlarda, Borcu Ve Aüitei Hesalaması................... 9 9.. Eşit Aüiteli Borçları Ödemelerii Hesalaması.......................... 4 9.4. Eşit Aüiteli Borçlarda Borcu Ödemiş Kısmıı Ve Kala Kısmıı Hesalaması............................................ 46 9.5. Eşit Aüiteli Borçları Amortismaıda Faiz Oraı Ve Devre Sayısıı Hesalaması.............................................. 48

9.6. Eşit Aüiteli Borcu Amortisma Plaı.................................... 5 9.7. Yuvarlak Tutarlı Aüiteli Borçlar.......................................... 55 9.8. Yuvarlak Aüiteli Borçları Amortisma Plaı............................. 58 9.9. Kou Pekiştirme Alıştırmaları............................................. 6 Kou Özetleri.............................................................. 66 Alıştırmaları Çözümleri Ve Cevaları.................................... 7 Yararlaıla Kayaklar................................................... 87

BASİT FAİZ HESABI... Temel Kavramlar.. Basit Faizi Hesalaması Gülük yaşatımızda bakaya ara yatırımı, bireysel hesa, tasarruf mevduatı kareleri, kredi kareleri işlemlerie ek çok rastlıyoruz. Geel olarak, maaşlar, emeklilik maaşları, biriktirdiklerimizi belli bir süre saklamak ve korumak üzere bakaya teslim edilmiş ve istediğimiz zama alabildiğimiz aralardır. Bu sürede, teslim edile aralarda baka yararlaır ve bua karşılık olarak baka araları sahibie faiz hesalıyor. Diğer tarafta çok sık vatadaşları da akit araya ihtiyaçları olduğuda belli bir süre içi bakada borç alıyorlar. Buu karşılığıda borç ala kişi bakaya belli bir miktar ara ödüyor. Kredi bağları, borçlu ve borç vere arasıda kurulmaktadır. Aslıda, bu bağıtıı temeli faizdir. Faiz, borç ala kişii aldığı ara karşılığıda borç veree ödediği bir yüzde miktarıdır, yai yararladığı ara içi ödediği miktardır. Bakada borç (kredi) aldığımızda, baka alacaklı, arayı alaa ise verecekli (borçlu) deir. Bakaı arasıda yararlaa verecekli, karşılık olarak bakaya belli bir faiz ödeyecektir. Bakaya ara yatırdığımız takdirde, baka kullaıcıdır ve vericiye belli bir faiz ödemektedir. Faiz miktarı, yüzde miktarı gibi hesalaır, yai yatırıla araı her 00 birimi içi belli bir miktardır. Fakat bildiğimiz yüzde farklıdır hesabıda farklıdır, çükü faiz miktarı sadece yüzde oraıa değil, araı bakada kaldığı süreye de bağlıdır. Faiz hesalamaları içi e basit örekler: tasarruf mevduatları, vatadaşları ve şirketleri kredi kullamaları, tüketici kredileri, baka ve kredi kartlarıdır. Bir yatırımı, yatırım döemi süresice sadece aaarasıı kazadığı faiz oraıa basit faiz deir. Faiz miktarıı ve oa bağlı ola diğer büyüklükleri hesalamasıa basit faiz hesabı deir. Basit faiz hesabıda geel olarak şu dört temel büyüklüğe rastlaılır: Aa ara (kaital, temel değer) K faiz miktarı (yüzde ayı) i yüzde oraı (faiz miktarı) - zama birimide 00 dearı faizie eşittir. faizi hesaladığı süre (zama) t. 5

Faiz fiyatı, geellikle yıllık olarak gösterilir. Fakat bazı durumlarda bir yılda küçük aralıklar içi de verilebilir, mesela: yarıyıl (sömestir), üç aylık (çeyrekyıl), aylık ve bezer olabilir. Faizi hesaladığı süre de yıllar, aylar ya da güler ile ifade edilebilir. Alaşma gereği bir yıl 65 gü, ayları gü sayısı ise takvime göre belirleir; fakat hesalamayı daha basitleştirmek içi bir yıl 60 gü ve bir ay 0 gü olarak alıır. Faizi hesalaması döem souda ya da döem başlagıcıda hesalaabilir, fakat buula ilgili ilerde daha ayrıtılı açıklamalar yaılacaktır. Temel değeri faiz miktarı kadar artmasıa (K + i), çok kez birike değer terimii de kullaacağız.... Basit Faizi Hesalamasıda Büyüklükler Arasıdaki Temel Bağıtılar Aşağıdaki öreklerle basit faizi hesalamasıda temel büyüklükler arasıdaki bağıtıları iceleyeceğiz.. Bakaya yatırıla 4 500 dear kaitali yıllık %8 faiz oraı ile 4 yıllık faizi e kadardır? 4 500 dear kaitali bir yıllık faizi: 8 4500 760 00 deardır. Faiz, aa araya (temel kaitale) hesaladığıa göre, ikici yılı faiz miktarı yie 760 dear ve her gelecek yıl bu miktar ayı olacaktır. Bua göre, 4 yıllık faiz miktarı ilk yılı faizii 4 katı olacaktır. O halde tolam faiz miktarı: 8 i 4500 4 040 olur. 00 Bu hesalamayı geel işaretlemelerle yazarsak, bir yıllık faiz miktarı (yüzde ayı) i K 00 olur. t yılda ise: Kt i 00 formülü elde edilir. Bu durumda, yıllık basit faiz şu temel oratı ile de gösterilebilir: K : i 00 : t 6

Bu formülde yararlaarak, basit faiz hesabıda bulua tüm diğer büyüklükler içi de formüller çıkarabiliriz.. Bakaya e kadar ara yatırılmalıdır ki, yıllık %5 faiz oraı ile 8 yılda 9600 dear faiz elde edilsi? Temel büyüklükler arasıdaki oratıyı göz öüde buludurarak, aa ara K 00i. t formülüyle hesalaır. Öreğimizde yatırıla ara 00 9600 K 4000 deardır. 5 8 Bezer şekilde faizi hesaladığı zama süresi ve faiz oraı içi formüller yazabiliriz. Bu formülleri örekler çözerke yazacağız.. 5400 dear temel kaital bakaya kaç yıl yatırılmalıdır ki, %6 faiz oraıyla 6480 dear faiz elde edilsi? Temel oratıda 00i t. K formülü elde edilir. O halde 00 6480 t yıl godii. elde edilir. 54000 6 4. 58000 dear alıa borç içi üç yılda 8700 dear faiz ödemişse, faiz oraıı hesalayıız. Bilimeye büyüklük faiz oraıdır. Buu temel oratı gereğice şu formülle hesalayabiliriz: 00i. Kt O halde: 00 8700 5%. 58000 elde edilir. Şimdiye dek icelee öreklerde, faiz miktarıı hesaladığı zama yıllarla gösterilmişti. Fakat geel durumda faiz hesalama zamaı tam sayılı yıllarla ifade edilmiyor. Böyle durumlarda basit faizi hesalamasıa ait yukarda elde edile formüllerde yararlamak içi, 7

güleri ve ayları yılı birer kısmı olarak göstermek e uygu olur. Bu şekilde bir ay yılı si, gü ise yılı 60 i ya da i gibi alıacaktır. Zama aylar ile ifade edildiği durumda, t zamaı yılı 65 si olduğuu göz öüde buludurarak, faiz miktarı (yüzde ayı) içi: K t i, 00 formülü elde edilir. Aylar ile ifade edilmiş ola t zamaı içi temel oratı K : i 00 : t. olur. t zamaı gülerle ifade edildiği durumda, alaşma gereği, yılı takvime göre 65 gü ((k,65) biçimide işaret edilir) ya da (0, 60) zama matrisi biçimide eğer yılı 60 gü sayarsak. faiz miktarıı i ya da Kt 6000 Kt i, 6500 t formülüyle hesalayacağız. Yai zama t gülerle ifade edildiğide, yılı kısmı olacaktır. Zamaı hesalamak içi karşılık gele temel oratı 65 K : i 6500 : t ya da K : i 6000 : t. ya da şeklide yazılabilir. Not. Güler takvime göre ve bir yılda 60 gü sayıldığı durumda da (k, 60) işaretlemesi de kullaılabilir. 5. 40 000 dear temel kaital, % 6 faiz oraıyla 8 ayda e kadar faiz getirir? Ödevi koşullarıa göre K= 40 000, t = 8 ay, = % 6 dır. O halde 40000 6 8 i Kt 9600 dear elde edilir. 00 00 6. Hagi faiz oraıyla 60 000 dear aa arada, 60 güde 04 dear faiz miktarı elde edilecektir? Kt Verileler: K = 60 000 dear, i = 04 ve t = 60 gü. i, formülüde 6500 t 60 8

6500 i 6500 04 8%. elde edilir. Kt 60000 60 7. mayısta 6 eylüle kadar bakaya yatırıla bir miktar ara %4 faiz oraıyla 4576 dear faiz getirmiştir. Zama takvime göre (k, 65) hesaladığıa göre yatırıla ara e kadarmış? Öce, gü sayısıı belirtirke zama dilimii ilk güü sayılırsa so güüü sayılmayacaktır ya da ilk gü sayılmazsa vadei so güü sayılacaktır, yai her durumda faizde kala sürei ilk ve so güüde sadece biri hesalamaktadır. Şu örekte, faiz hesalamaı ilk güü 4 mayıs olarak alacağız, yai ilk güü saymıyoruz. Bu durumda mayıs ayıda 8 gü, hazira 0 gü, temmuz ve ağustos ayları gü ve eylül ayıı so 6.cı güüü hesaba koyduğumuza göre, faizi hesalaacağı tolam gü sayısı t = 8 + 0 + + + 6 = 6 elde edilir. Bilimeye büyüklük aa ara K yı hesalamak içi yukarıda verile formülde yararlaarak 6500 i 6500 4576 K 60000 t 4 6 dear elde edilir. Demek ki, mayısta yatırıla ara 60 000 deardır. 8. Bir teis yarışmasıda şamio, kazadığı 5 000 dearlık şamiyoluk ödülüü iki bakaya yatırmıştır. Birici bakada faiz oraı %7, ikici bakada ise % 5 tir. Bir yıl sora her iki bakada tolam 7 850 dear faiz elde edildiğie göre, her bakaya kaçar ara yatırılmıştır? Bilie büyüklükler: K = 5 000 dear ola aa ara, K = x ve K = 5000 x olmak üzere iki ayrı yatırıma ayrılmıştır. Faiz oraları = %7 ve = % 5, tolam faiz miktarı i = i + i = 7850 deardır. Verile koşullara göre t = t = yıl olmak üzere şu deklemi oluşturuyoruz: K t K t i, 00 00 Orada 7x 55000 x 7850, 00 00 deklemi elde edilir. Deklemi çözüyoruz: 785 000 = 5. 5 000 + x ; x = 80 000 elde edilir. Bua göre K = x = 80 000 dear ve K = 45 000 dear elde edilir. Alıştırmalar. Bakaya yatırıla 5 000 dear % 5 faiz ile: 9

a) 5 yılda; b) üç ayda; c) (0, 60) ve (k, 65) e göre 5 güde e kadar faiz getirir?. Bir bakaya % 5 faiz oraıyla bir K kaitalı yatırılmıştır. Basit faiz hesabıyla e kadar zamada faiz miktarı yatırıla araya eşit olacaktır? (Not: K = i ). 4 500 dear borç içi 4 yılda 6 900 dear faiz hesaladığıa göre, faiz oraıı belirtiiz. 4. % 6 faiz oraı ile hagi aa arada: a) 4 yılda; b) 8 ayda 540 dear faiz miktarı elde edilir? 5*. Bir bakaya, aralarıdaki fark 000 dear olmak üzere iki farklı kaital yatırılmıştır. Büyük ola kısmı % 4 faiz oraıyla yıl, diğeri ise %6 faiz oraıyla 8 ay içi bakada kalmıştır. Her iki kısmı faiz miktarları eşit olduğua göre, bakaya yatırıla tolam ara e kadar olduğuu hesalayıız. 6*. Faiz oraı % 6,5 olmak üzere ayı yılda üç kaitalda: Biricisi 8000 dear.0 0. 06 a kadar, ikicisi ise 7600 dear 8.0 0.06 a kadar ve 8900 dear.05 0.06 a kadar vade ile bakaya yatırılıyor. Tolam faiz miktarıı hesalayıız... Yüz Üstüde ve Yüz Altıda Faiz Hesabı Borçlar ve olara ait faizlerde, yatırımlar ve mevduatları faizleri söz kousu oluca çoğu kez, basit faizi büyüklükleri arasıdaki değerlere değimede, ratik olsu diye aa araı faiz miktarı kadar çoğalmasıa ya da hesalaa faiz miktarı kadar aa araı azalmasıda söz edilir. Aa araı faiz miktarıyla beraber değeri K + i bilidiğide, yüz üstüde faiz hesabı söz kousu olur ve buu K ve i büyüklüklerii belirtmek içi kullaıyoruz. Diğer tarafta, aa araı faiz miktarı kadar azalmış yai, K i olduğu durum, yüz altıda faiz hesabı gibi ifade edilir. Burada da faiz süresii hesaladığımızda, faizi hesalaması yıllık, aylık ya da gülük olabilir. Kt Basit faiz hesabı K : i = 00 : t formülüyle verilmiştir. Hesalaa faiz miktarıı i formülüyle ifade ettikte sora, ou aa araya ekleyerek: 00 Kt t K i K K. 00 00 elde edilir. 0

O halde K i t 00 t, K 00 00 ifadesi, bu eşitlikte de K i: 00 t K : 00 () oratısı elde edilir. Bezer şekilde, temel oratıyı K : 00 = i : t biçimide yazarsak, basit faiz hesabıda, faizle beraber tolam ara ve diğer temel büyüklükler arasıdaki bağıtıyı göstere ve K i: 00 t i : t. () oratı elde edilir. Bezer şekilde aa araı azaldığı durumu icelersek: Kt t 00 t K i K K K. 00 00 00 elde edilir. Buu K : 00 oraıda yeide değiştirmekle: K i: 00 t K : 00 () elde edilir. Bu oratıları bezerliğide K i: 00 t i : t. (4) K i: 00 t K : 00 K i: 00 t i : t. biçimide yazılabilir. Bu formüller, oratıları özellikleride yararlaarak da elde edilebilir. Bua göre, iki oratıı tarafları birbiri ile toladığıda ya da biri diğeride çıkarıldığıda oratı bozulmaz, yai ilk oratıı sağ ve sol tarafıa eşit olur. Elde edile yei oratılarda yüz üstüde ve yüz altıda faiz hesabıdaki aa ara (kaital) ve faiz miktarıı hesalaması içi formüller elde edilir: K i00 K i t K ve i. 00 t 00 t. Borçlu, borç veree yıl içi % 6 faiz oraıyla aldığı ara içi faiziyle beraber 570 dear veriyor. Borç aldığı ara e kadardır ve e kadar faiz ödemiştir? K i00 K + i = 570 dear biliiyor. O halde, = % 6, t = olduğua göre K, formülüde 00 t 570 00 57000 K 5000 dear elde edilir. 00 6

Bua göre, Borcu temel kısmı 5000 dear ve bu araya ödediği faiz miktarı 570 5000 = 60 deardır.. Faiz oraı % 8 olmak üzere, 6 aylık faiz miktarıı aldıkta sora, baka borç alaa 5800 dear ara vermiştir. Temel borç ve faiz miktarı e kadardır? Faiz miktarı (yüzde ayı) i öcede ödetilmiş olduğuu göz öüe buludurarak, aa ara faiz miktarı kadar azalmış olduğuu fark edebilirsiiz. Demek ki borçlu bakaya daha K i dear, yai aldığı ara kadar bakaya ödemesi gerekir. O halde K i = 5800 dear, t = 6 ay, = % 8 dir. Aa arayı hesalamak içi iki yötem gösterebiliriz. Bularda biri zama 6 süresi yıl ile ifade edildiğide t, ya da yüz altıda ve yüz üstüde faiz hesalama formülleride yararlaarak, zamaı aylar ya da güler ile ifade ederek hesalaabilir. Yukarıda gösterile formülde doğruda doğruya yararlaıyoruz: K i 00 5800 00 580000 K 55000 00 t 96 00 8 dear ve faiz miktarı 5800 8 K i t 00 i 00 00 t 96 00 8 dear olduğuu buluyoruz (ya da i = K (K ı) = 55000 5800 = 00 dear). Faiz süresi (zama) aylarla ifade edildiği durumda, hazır oratıları da kullaabiliriz; yai K : i = 00 : t oratısıda: ve K i: 00 t K : 00 K i: 00 t i : t. elde edilir. K : i = 6500 : t ya da K : i = 6000 : t eşitliğide, oratıları özelliklerii kullaarak: K i: 6500 t K : 6500 K i: 6500 t i : t ve bezer şekilde, zama aralığı gülerle ifade edildiğide, zama matrisleri (k, 65) ve (0, 60) olmak üzere K i : 6000 t K : 6000 K i: 6000 t i : t, elde edilir.. Bir kişi, % faiz oraıyla beraber 9 ay içi 5450 dear ödemiştir. Kredi miktarı ve faiz miktarı e kadardır?

Faiz ve temel kaital tolamı K + i formülüe ait (K + i) : (00 + t) = K : 00 temel oratısıda yararlaarak, zama aylarla ifade edildiği durumda K i00 5450 00 K 500000 00 t 00 9 dear elde edilir. Faiz miktarı (yüzde ayı) ise i = (K + i)- K = 5450-500000 = 450 dear elde edilir. Alıştırmalar. Yüz üstüde faiz ve yüz altıda faiz hesabı edir? Açıklayıız.. 00 gü içi 60 000 dear borç ala kişi, % 0 faiz miktarıı çıkardıkta sora, borcu tahsil ederke kaç ara ödemesi gerekecektir? Faiz miktarı e kadardır? Bakaya tolam e kadar ara ödeecektir? (0, 60) zama matrisii kullaıız.. Bir kişi, % 0 faiz oraıyla üç aylık bir kredi içi baka ile kotrat yamıştır. Kotrata göre, baka faiz miktarıı alarak kişiye 440 dear kredi vermiştir. Kredi kotratı e kadar ara içi imzalamıştır ve hesalaa faiz miktarı e kadardır? (0, 60) Zama matrisii kullaıız. 4. Bir kişiye 5000 dear yıl içi ve 50000 dear 5 yıl zama içi ödemesi gerekir. Faiz oraı % 5 tir. Gereke araı elde edilmesi içi bakaya e kadar ara yatırılmalıdır? 5*. %, faizle beraber 0.08 0.09 zama aralığı süresi içi; (0, 60), borçlu 900 dear borç ödemiştir. Borç ve faiz miktarıı hesalayıız. 6. Borçlu %,5 faizle beraber yılda 5500 dear borç ödemiştir. Borç ve hesalaa faiz miktarı e kadardır? 7. Bir baka 5.0 ta.08 zama aralığı içi % 9 faiz miktarıı aldıkta sora müşterisie 0000 dear borç vermiştir. Zama matrisi (K, 65) sayıldığıa göre, borç ve hesalaa faiz miktarı e kadardır?.. Vadeli Hesa Bir borçluu farklı miktarda, farklı ödeme vadeleri ve farklı faiz oralarıyla birkaç borcu olduğu durumda, e borçlu e de alacaklı zararlı olmayacak şekilde borçları ayı ada ödemesie mümkü olu olmadığı sorusu sorulabilir. Bu soruyu acak borçları ödemesi vadelerii ortalaması e kadardır, ortalama faiz oraı e kadardır, borçları ödediği ada borç miktarı e kadardır soruları açısıda iceleyebiliriz. Bu ise resi olarak, ayrı ayrı ara

miktarları faizlerii tolamı, borçları tolamıı ortalama vadeye göre, ortalama faiz oraıyla hesalaa faiz miktarıa eşit olmalıdır demektir. Ortalama vadeyi ve ortalama faiz oraıı belirtme işlemie vadeli hesa deir ve aslıda basit faiz hesabıı bir uygulamasıdır. Birkaç borç miktarı farklı vadelerde ödeecek yerde, tolam borcu ayı ada ödemesi içi ayrıla zamaa orta vade deir. Bazı durumlarda borçlu, ayı ada başka borçlularda alacaklı durumuda olabilir. Böyle durumda alacak ve verecek farkıı ödeme vadesie borç kalaıı (saldou) ödeme vadesi deir.... Ortalama Vade ile Hesalama Borçluu tahvillerii miktarları K, K,.., K, bulara karşılık gele faiz oraları,,., ve ödeme vadeleri t, t,., t zama aralıkları olsu. Formüllerde t k, k =,,, zamaı herhagi bir ölçü birimie göre verilebilir, fakat bakalar geellikle güü ölçü birimi olarak alıyorlar. Borçlu, bir orta vade t k ve ortalama faiz oraıyla tüm borçları ayı ada ödemek istiyor. Hesalamaı sadeleşmesi içi zama ölçüsü yıl olsu. Borçluu tüm tahvillerii faiz miktarları K t K t K t.... 00 00 00 olsu. Bu miktar her bir tahvili ortalama faiz oraıyla ve ortalama ödeme vadesiyle hesalaa tüm faiz miktarları tolamıa K st s K st s K st s.... 00 00 00 eşit olmalıdır. Böyle durumda zararlı ola taraf yoktur, çükü temel borçları tolamı eşit, fakat hesalaa faiz miktarları da eşittir. Demek ki, K t K t K t K st s K st s K sts......, 00 00 00 00 00 00 elde edilir, orada da K t K t... K t t K K... K s s. olduğuu yazabiliriz. Burada, ortalama faiz oraı bilidiği takdirde, borcu ortalama ödeme vadesii hesalayabiliriz, u yai tüm borcu ödeme vadesii K t K t... K t t s. K K... K elde etmiş oluyoruz. s 4

5 Borç miktarları, faiz oraları ve ödeme vadeleri farklı olduğu durumlarda ortalama faiz oraıa ait şu formülü uygulayacağız: s s K K K t t K t K t K....... Ödeme vadeleri eşit olduğu durumda, ayrı ayrı tüm borçları faiz miktarıı iceleyelim. Bu edele, öceki formülde t = t = t = t s yazarak şu formülü elde edeceğiz: s K K K K K K....... ]Hesalaa ortalama faiz oraıı, ortalama ödeme vadesi formülüde değiştirelim: s K K K K K K K K K t K t K t K t............, orada da s K K K t K t K t K t....... formülü elde edilir. Hesalamalarda çok kez bazı büyüklükler birbirie eşit olabilir. Örek: - Temel miktarlar K = K = K = K olduğu durumda, ortalama vade ve ortalama faiz oraı içi: s t t t K t t t K t............ ve K K s...... ; formülleri elde edilir. - Faiz oraları birbirie eşit = = = olduğuda, ortalama ödeme vadesi içi s K K K t K t K K t K K K t K t K K t t............, formülü elde edilir; ortalama faiz oraı ise s = dir. - Hem temel miktarlar hem faiz oraları birbirie eşit oldukları durumda ise s = ve t t t K t t t K t s....... dir. Ödeme vadesii (ödeme tarihii) belirtmek içi, geellikle birici ödeme tarihie hesalaa ortalama vade tarihi ekleir. Bu durumda, borcu tahsilide tüm vadeleri hesalaması, ilk ödeme vadesie göre karşılaştırılarak yaılır.

Zama, gülerle ifade edildiği durumda, ayrı ayrı faiz miktarları tolamıı ve ortalama vadeyle hesalaa faiz miktarları deklemi K t K t K t K st s K st s K sts......, 6500 6500 6500 6500 6500 6500 şeklie döüşür. O halde yie K t K t... K t sts K K... K. eşitliği elde edilir. Bua göre, zama birimi ister yıl, ister ay, ister gü olarak alıdığıda hesalamalar ayı formüllerle yaılır, fakat ödeme vadeleri daima ayı ölçü birimide olmalıdır.. Bir borçlu 0000 dear arayı dört eşit taksitle ödemelidir. Ödeme vadeleri: ilki 0 gü sora, ikicisi 60 gü, üçücüsü 90 gü ve so taksit 0 gü sora ödeyecektir. Faiz oraı % 8 olduğua göre, tüm borcu birde kaç gü sora ödeyebilir? Borcu ödemesi eşit taksitlerle olduğua göre, K, K, K ve K 4 birbirie eşittir; faiz oraı her taksit içi eşit yai = %8 ve taksitleri ödeme vadesi t = 0, t = 60, t = 90 ve t 4 = 0 dir. Bu özel durum içi ortalama vadeyi hesalayacağız: t t t t4 0 60 90 0 t s 75 4 4 gü elde edilir. Bua göre, 0000 dear borç % 8 faiz ile 75 gü sora ödeebilir. Vadeli hesata, faizi hesalamasıa başlaıldığı tarihe faiz döemi deir. Faiz döemii ilk taksitte başlaması mecburi değildir. Faiz hesalamaları iki farklı döemde yaılacak bir örek iceleyelim.. Borçlu, 60000 dear borcuu % 6 faiz oraıyla 4 eşit taksitle şu tarihlerde ödemelidir: Birici taksit 5. 0, ikicisi 7. 0, üçücüsü 5. 04 ve dördücüsü. 05. a) döem: 5. 0; b) döem 7. 0 olduğua göre, hagi tarihte borçlu tüm borcu ödeyebilir? Faiz döemi 5.0 tarihide başladığı durumda (( a) şıkkı), birici taksiti faizdeki zamaı t = 0 dır. İkici taksiti faizdeki zamaı 5.0 de 7.0 e kadardır (5. 0 yi saymıyoruz fakat 7. 0 zamaa aittir), yai t = 0 güdür. Bezer şekilde t = 49 gü (şubat ayıı güü, mart gü ve isaı 5 güü) ve t 4 = 75 gü (5. 0 de.05 e kadar). Temel miktarlar ve faiz oraları eşit olduklarıa göre, orta vade içi: 6