PARABOLİK VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLEMELERİ

T.C ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL-9- PARABOLİK VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLEMELERİ Özur ÖZTUNÇ DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Ali FİLİZ AYDIN-9

T.C ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL-9- PARABOLİK VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLEMELERİ Özur ÖZTUNÇ DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Ali FİLİZ AYDIN-9

İÇİNDEKİLER KABUL VE ONAY SAYFASI i İNTİHAL BEYAN SAYFASI. ii ÖZET iii ABSTRACT. iv ÖNSÖZ. v.giriş.... Geel taım.. KAYNAK BİLDİRİŞLERİ/KURAMSAL TEMELLER. Fizik. Tıp 3.3 Yayılma.4 Halo Olayı... 4 4 3. MATERYAL ve 6 YÖNTEM. 3. Materyal. 6 3. Yötem 3.. İtegro-Diferasiyel deklemler... 6 6 3... İtegro-Diferasiyel deklemleri aalitik çözümleri.. 3..3 Laplace Döüşümü ile Çözümü Buluması. 9 9 3..4. Theta metodu.. 3..5. Açık metot... 3..6. Kapalı metot... 3 3..7. Yamuklar metodu.. 3 3..8. RK metodu... 4 4. PARABOLİK TİPTEKİ VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL 6 DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ... 4. Giriş. 6 4. Parabolik Volterra itegro diferasiyel deklem... 7 4... Dikdörtgeler metodu 8 4... Nümerik çözümler.. 4.3 Geri-Euler metodu. 3 4.4 Crak-Nicolso metodu. 4.4. Crak-Nicolso metodu aalizi. 8 9 4.5 Uygulama 34 5.BULGULAR ve TARTIŞMA... 37 KAYNAKLAR.. ÖZGEÇMİŞ.. 38 39

ii İtihal (Aşırma) Beya Sayfası Bu tezde görsel, işitsel ve yazılı biçimde suula tüm bilgi ve souçları akademik ve etik kurallara uyularak tarafımda elde edildiğii, tez içide yer ala acak bu çalışmaya özgü olmaya tüm souç ve bilgileri tezde kayak göstererek belirttiğimi beya ederim. Adı Soyadı : Özur Öztuç İmza :

iii ÖZET Yüksek Lisas Tezi PARABOLİK VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ Özur Öztuç Ada Mederes Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. Ali FİLİZ İtegro-diferasiyel deklemleri ümerik çözümleri kousudaki çalışmaları birleşimi ola bu çalışmada, I. Bölümde, itegro-diferasiyel deklemleri geel taımı verilmiş ve bu deklemleri uygulama alalarıa değiilmiştir. Farklı alalardaki örekler icelemiştir. II. Bölümde, itegro-diferasiyel deklemleri varlık ve tekliği üzeride icelemiştir. Bu tipteki deklemleri aalitik çözümleri içi metotlara değiilmiştir. III. Bölümde, Parabolik volterra itegro diferasiyel deklemleri ümerik çözümlerie yer verilmiştir. Ayrıca bu bölümde, Volterra itegro-diferasiyel deklem ikici mertebede yakısatılmıştır. 9, 4 sayfa Aahtar Sözcükler İtegro-Diferasiyel Deklemler, Açık metot, Kapalı metot, Crak-Nicolso metodu, θ -metodu, Yamuklar metodu, Dikdörtgeler metodu, Geri-Euler metodu

iv ABSTRACT MSc Thesis NUMERICAL SOLUATIONS OF PARABOLIC VOLTERRA INTEGRO- DIFERANTIAL EQUATIONS Özur Öztuç Ada Mederes Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departma of Mathematics Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Ali FİLİZ I this study, which is a collectio of works with regard to the umerical solutios of itegro-differatial equatios. Sectio oe refers to the geeral defiitio of itegro-differatial equatios ad the applicatio areas of these equatios, ad the patters i the various fields are examied. Sectio two focuses o the existece ad uique of itegro-differatial equatios ad the methods, essetial to the aalytical solutios of this kid of equatios, are metioed. Evetually, sectio three stresses o the umerical solutios of itegro-differatial equatios. 9, 4 sayfa Key Words: İtegro-Diferatial equatios, Explicit method, Implicit method, Crak- Nicolso method, Theta method, Trapeziodal method, Rectagle method, Bacward- Euler method.

v ÖNSÖZ İtegro-diferasiyel deklemler alaıdaki çalışmalar yaygı olarak kullaılmaktadır. Bu çalışmaları uygulama alaları tıp, fizik, radyoaktiflik, biyoloji, üreme fe ve mühedislik gibi dalları içerir. İtegral deklemlerle ilk uğraşılar 9. yüzyılı ilk yarısıda başlamıştır. Öceleri dağıık ve rastgele araştırmalar yapılmışke, ayı yüzyılı solarıa doğru daha sistematik ve biliçli araştırmaları yapıldığı ve bir takım souçları alımaya başladığı izlemektedir. Abel 83 yılıda bir mekaik problemii icelediği esada ilk defa itegral dekleme rastladığı bilimektedir. Acak İtegral Deklem deyimii Du Bois Reymod u (888) de yayılaa bir çalışmasıda öerdiği alaşılmaktadır (Bocher M., 93). Uygulamalı bilim dallarıda bazı problemler tek bir deklem ile ifade edilemezler, acak ou yerie birde çok bilimeye foksiyo içere diferasiyel, itegral veya buları birleşimide oluşa itegro-diferasiyel deklemleri bir bütüü olarak ifade edilirler. Bu tip diferasiyel deklem sistemleri, özellikle parçalı olalar, birçok fizik ve mühedislik dalıda ortaya çıkmaktadır. Bu tezi çeşitli aşamalarıda yardım ve desteğide dolayı daışma hocam Yrd. Doç. Ali Filiz e teşekkürü bir borç bilirim. Öğreim hayatım boyuca maddi ve maevi her türlü imkaı sağlaya aileme sosuz teşekkürler ediyorum.

. İNTEGRAL DENKLEMLER. İNTEGRAL DENKLEMLERİN TARİHÇESİ.. Giriş İtegral deklemler, bilimeye foksiyou itegral işareti altıda buluduğu deklemler olarak taımlamakla birlikte, bu taım yetersiz kalmaktadır. Bir başka deyişle, bu taımda hareket ederek, itegral deklemleri bütü türlerii içie ala teoriyi kurmak olaaksızdır. Bu edele, birbiride ayrı itelikteki itegral deklemleri tek tek icelemek gerekmektedir. Böylece geiş bir araştırma sahası açılmış olmakta ve kou bu orada dağıık bir iceleme tarzı göstermektedir. Fizik ve mühedislik uygulamalarda zama zama bilimeye foksiyou itegral işareti altıda ola deklemlerle karşılaşılır. Bu tür deklemlere itegral deklemler deir. İtegral deklemler bütü uzay üzeride itegral alıması gerektirdikleride global (evresel) deklemlerdir. Bu da araa foksiyou bir oktadaki değerii o foksiyou bütü uzay üzeride itegralii içere ifadeler ciside buluması demektir. İtegral deklemler geel olarak çözülmesi çok daha zor deklemlerdir. Bu edele fizik ve mühedislik alalarıda öemli bir yeri ola bu tip sistemleri yaklaşık çözümlerii bulumasıı faydalı olacağı düşüülmüştür. Bu tez çalışmasıda, Bölüm I de itegro-diferasiyel deklemleri geel taımı, literatürde geelde erelerde uygulamış olduğu üzeride durulacaktır. Bölüm II de varlık teklik, itegro-diferasiyel deklemler, aalitik çözümleri ve bu çözüm

metotları iceleecektir. Bölüm III de Volterra itegro-diferasiyel deklemleri ümerik çözümleri MATLAB kullaılarak hesaplaacaktır. E geel haldeki itegro-diferasiyel deklem öreği, t () = f() t + Kt (, ξ) u ( ξ) dξ, t >, dt dut u() = u, u'() = u veya ' t du() t = f() t + Kt (, ξ, u( ξ) ) dξ, t >, dt u() = u şeklidedir. Ktsu (,, ( ξ) ) ve Kts (, ) foksiyoları itegro-diferasiyel deklemi çekirdeği, ' u ve u başlagıç değeri olarak verilir. Bu deklemi Laplace döüşümleri ile çözülebilmesi içi deklemi çekirdeğii kovalisyo tipte olması gerekir.. KAYNAK BİLDİRİŞLERİ/ KURAMSAL TEMELLER Bu bölümde itegro-diferasiyel deklemleri kullaıldığı alalar üzeride durulacaktır. Literatürde farklı alalarda asıl çalışmalar yapıldığı hakkıda örekler açıklaacaktır.. Fizik Matematik bilimi kısaca Fiziği dilidir. Temel doğa bilimi ola Fizik, evrei sırlarıı, madde yapısıı ve buları arasıdaki etkileşimlerii açıklamaya çalışırke Fiziği başlıca iki metodu vardır; bular gözlem ve deeydir. Doğa olaylarıı çeşitli duyu orgalarıı etkilemeleri soucu fizikte çeşitli kolları gelişmesi sağlamıştır. Bu sebeple görme duyusuu uyadıra ışıkla beraber fiziği bir kolu ola optik

3 gelişmiştir. Ayı şekilde işitme ile akustik, sıcak soğuk duygusu ile termodiamik v.s. fizik kouları ortaya çıkmıştır. Buları yaı sıra elektromayetik gibi doğruda duyu orgalarıı etkilemeye kollarıca gelişmiştir. Fiziği 9. yüzyılı soua kadar geçirdiği aşamalarda her e kadar mekaik temel ise de, birbiride bağımsız olarak icelee fizik kouları klasik fizik altıda toplaabilir.. yüzyılı başıda itibare klasik fizik kurallarıda daha değişik, acak çok daha matıklı ve mükemmel souçlar elde edilmiştir. Bu tür modellerle olayı açıklaya fizik kolları ise, moder fizik adı altıda toplamıştır. Fizik eğitimi bugüde gerçeğe çok yakı souçlar vere klasik fizikle başlamaktadır. Fizik değişimi icelemesi demektir. Fiziği çoğu alaı, durağa (statik) olala değil, deviele (diamik olala) ilgileir. Fiziği amacı evredeki "gözleebilir" icelikleri (eerji, mometum, spi vs.) "asıl" değiştiğii alamaktır. Fiziği eviimi alatmak içi, temel fizik kuramlarıı formülleştirilmeside kulladığı temel araçlar diferasiyel deklemler ve itegrodiferasiyel deklemler olarak sıralaabilir. Hatta çoğu temel fizik kuramı sadece diferasiyel deklemler kullaarak formüle edilmiştir. (ör. Newto yasaları, Maxwell deklemleri, Eistei deklemleri). Kuatum Fiziği ya da Schrödiger deklemi, Dirac Fizik araştırmaları geellikle Kuramsal fizik ve Deeysel fizik olarak ikiye ayrılır. Bu iki aladaki araştırmalar ise, temel ya da uygulamalı araştırmalar şeklide ayrılır.. Tıp Ciltteki ilaç emilimi kousuda birçok modellemeler öe sürülmektedir. İtegrodiferasiyel deklem sistemleri üzeride yapıla icelemelerde Barbeiro ve Ferreira (7) i ilaç emilimi kousudaki çalışmalarıdır. Bu modellemelerde itegrodiferasiyel deklemler kullaılmıştır. Bu yei modellemeler bize zama içide ve her bir zama içi uzayda ilaç yoğulaşması taımlamak içi tahsis edilir.

4.3 Yayılma Kısa süreli (geçici, süreksiz), iletke ve ısı yayma iletişimide (taşımada) ortaya çıka lieer olmaya parçalı itegro-diferasiyel deklemler tiplerii çözümü içi kullaılmaktadır. Radyasyo problemleri, ısı trasferii itegro-diferasiyel deklem ile yöledirilir. Bu problemleri mühedislik uygulamalarıda çok geiş çalışma alaı vardır. Öreği, yayılım iteliklerii kararlılığı, parçacıkları içideki iç sıcaklıkları dağılımıı tahmii, vb.. So yirmi yıllık süre içide, ters radyasyo problemleri, taı ve tespit problemleride optimal dizay problemlerie, geiş kapsamlı pratik uygulamaları sebebiyle, çok fazla ilgi çekmektedir..4 Halo Olayı Kimi zama gökyüzüde, parlak Ay ı çevreside, çember biçimide bir oluşum görülür. Bu olaya Halo adı verilir. Bu oluşum, heme heme tüm gökyüzüü kaplaya ve çok küçük (çapları.5 mikrometre kadar) buz kristalleri içere oldukça yüksekte bulua ice bulutlar olduğuda görülür. Farklı itegro-radiative trasfer deklem çözümlerii farklı metotlarıı kullaa, halo parlaklığıı ve rek uyumuu sayısal hesapları, ve 46 derecede Halo sergileye kristal bulutları içi uygulamıştır. Halo parlaklılığı ve kotrastıı bulutlarıı görsel sıklığıa ola bağımlılığıı A. Kokhaovsky (7) tarafıda icelemiştir. A. Kokhaovsky Halo kotrast ölçümleride bulut görsel sıklığıı saptamak amacıyla basit bir tekik öe sürülüyor.

5 Bu bölümde itegro-diferasiyel deklemleri kullaım alalarıa örekler verildi. Bu tip sistemleri uygulama alaları taradığıda itegro-diferasiyel deklem sistemleri Elektromayetik teori (Bloom, F., 98), Termoelastikiyet (Kopeiki, I.D. & Shiski, V.P., 984), Biyoloji (Holmaker, K., 993), Mekaik (Yue, Z.Q. & Selvadurai, A.P.S., 995, Abadzadeh, F. & Pak, R.Y.S., 995), Dalgaları kırıımı (Büyükaksoy, A. & Alkumru, A., 995) gibi alalarda da ortaya çıkmaktadır.

6 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3. Materyal Bu bölümü temel materyalii MATLAB programı oluşturmaktadır. Öcelikle, İtegro-diferasiyel deklemleri birici mertebede yakısadığıı bu program kullaılarak görülmüştür. Bu deklemleri aalitik çözümleri içi, MATHEMATICA programıda faydaılmıştır. 3. Yötem Yötem olarak ise; Volterra itegro-diferasiyel deklemleri ikici mertebede yakısadığıı görebilmek içi öcelikle aalitik çözümlere ardıda ümerik çözümlere yer verilmiştir. 3... İtegro-Diferasiyel deklemler Bir itegro-diferasiyel deklem aşağıdaki şekilde taımlası; t du = Ftut (, (), Kt (, τ, u( τ)) dτ), t, dt (3..) ut ( ) = u. Bu bölümde itegro-diferasiyel deklemi ümerik çözümüü farklı metotlar ile çözülecektir. Öcelikle (4..) tipideki sistemleri aalitik ve ümerik çözümlerii icelemeside öce bu tip deklemleri varlığı ve tekliği üzeride durulacaktır. 3... Varlık ve Teklik (3..) şeklideki başlagıç değer problemlerii varlık ve tekliği F foksiyou sürekliliğie ve Lipschitz şartlarıı sağlamasıa bağlı olarak değişir.

7 D R üzeride f ( x y < L y y şartıı, y ) f x, L > değişkei içi ( ) sağlıyorsa, f ( xy, ) foksiyou Lipschitz şartıı sağlar. Burada ( x ) f (, ) xy içi Lipschitz sabiti deir., y D, L 3... Örek = {(, ), 3 4} bölgesi, (, ) D xy x y ( x y ), ( x y ) D, çifti içi,, ( x ) = xy xy f ( x, y) f, y ( ) = x y y x y y y y Burada hareketle Lipschitz sabitii olduğu görülür. f xy = xy olmak üzere ve her bir, 3... Teorem f (, ) xy foksiyou D R kümesi üzeride koveks olsu. L> içi, f y (, ) (, ) xy L xy D f ( xy, ) Lipschitz sağlar. varsa, L Lipschitz sabiti ile D üzerideki, y içi 3..3. Teorem = {(, ), } ve f (, ) D xy a x b y xy foksiyou D üzeride sürekli olsu. f foksiyou y değişkeie göre D üzeride Lipschitz şartıı sağlıyorsa, başlagıç ' değerli problem y f ( xy, ) =, a x b, y(a)=α içi, y(x) tek çözüme sahiptir.

8 3..4. Örek ( ) ' y x xy x = + si,, y()= başlagıç değer problemii göz öüe alalım. x i sabit alalım. f(x,y)= xsi ( xy) + foksiyoua ortalama değer teoremi uygularsak, (, ) y < y içi ε y y olursa, ( ) ( ) (, ε) f xy f xy f x = = x y y y cos ( xε ) değişkeie göre, Lipschitz şartıı sağlar. (, ) (, ) = y y x ( xε ) f x y f x y cos ve f, L=4 Lipschitz sabiti içi y 4 y y Ek olarak (, ) f xy, x ( ) ' y xsi xy ve y (, ) = + tek bir çözüme sahiptir. + ike (3..3) teoremi sağlar. Burada 3..5. Taım ( ) (, ) ' y x f xy = başlagıç değer problemi a x b, y ( a) = α içi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, iyi taımlıdır. i) Problemi y ( x ) tek çözümü mevcuttur. ii) ε, k, k( ε) δ ( x),[ ab, ] > > içi ε < ε ve ( x),[ ab, ] δ üzeride δ( x) < ε içi sürekli ve problemi η ( t) çözümü içi, dη f ( x, η) δ ( x) dα = +, a x b a x bmevcuttur. η ( a ) = α + ξ içi, η( x) y( x) k( ) < ε ε, 3..6. Teorem {(, ), } D = xy a x b y olsu. f sürekli ve y değişkeie göre D üzeride dy Lipschitz şartıı sağlıyorsa, y' f( xy, ) dx = =, a x b şartı iyi taımlıdır., y( a) = α başlagıç değer

9 3..7. Örek {(, ), } D = xy a x b y, ( y x ) f + = = = y' = y x +, y y x, ( ) y = / başlagıç değer problemii ele alalım. ( y x ) f + = = = y y sağlaya L= dir. d dx η η δ = x + +, x ( ) f xy, = y x + D üzeride Lipschitz şartıı η, ( ) deklemi çözümü, y( x) ( x ) ( ) ( ) x η x x = + + δ + ξ e δ δ < ε ve ε < ε ise ; ( ) ( ) ( ) δ ε e δ ( e ) = + ξ burada δ ve ξ sabitler olmak üzere x e = + şeklidedir. x y x η x = δ + ε e δ xiçisağlaır. + + + ε 3... İtegro-diferasiyel deklemleri aalitik çözümleri Bu bölümde öcelikle Laplace döüşümü ile çözümü asıl yapıldığı verilip, ardıda aalitik çözümlere geçilecektir. Bularda biricisi Theta metodu olarak taımlaacak. Theta metoduda θ ya farklı değerler verilerek üç farklı yötem elde edilip, bu yötemde çıka ümerik hataları tabloları verilecektir. 3..3. Laplace Döüşümü ile Çözümü Buluması f ( t ) foksiyou t içi taımlamış foksiyo olsu. Eğer bir s sayısı verildiğide,

R st st F( s) = f () t e dt = lim f () t e dt R. geelleştirilmiş itegrali yakısak ise, F( s ) foksiyoua f ( t ) foksiyouu Laplace döüşümü deir. { } F( s) L f =. 3..8 Örek f ( t ) = foksiyou Laplace döüşümü, R e = = lim = lim = lim = lim = sr s s s e s st st st sr L{} e dt e dt ( e e ) R R R R Burada hareketle L{} = olduğu görülür. s 3..9. Örek y' ( ) t R = y sds (3..) itegro-diferasiyel deklemi y () = başlagıç şartı ile verilsi. Öcelikle bu deklemi gerçek çözümüü elde edelim. (4..3) deklemi her iki tarafıı Laplace ı alırsak, t s {} y -y()= {} - y( sds ) (kovalisyo tipte şartı ve { } = s olduğu kullaılıp gerekli düzelemeler yapılıp, t f() sgs () =F*G başlagıç {} y (s+ ) = ve {} y = s s s + (3..) elde edilir. (3..) deklemi her iki tarafıı ters Laplace döüşümü alıdığıda, yt () = si( t) gerçek çözümü elde edilir. Gerçek çözüm farklı bir yolla da elde edilebilir. (3..) deklemi her iki tarafıı türevi alıdığıda, y ( ) devam edildiğide, t '' = + ( y sds )' işleme

y'' = yt () y'' + y = r =+ i soucua varılır. y = ce + ce ( e it =cost+ isi t ve it it it e =cos si t i t ) ise, y = ( c + c )cos t+ ( ci+ ci)si t, ( c+ c) =A, ( ci + ci ) =B deilirse, y = Acost+ Bsi t (3..3) (3..3) deklemi her iki tarafıı türevi alıdığıda, y' = Asit+ Bcost, y () = ve y '() = başlagıç şartları uygulaıp = Acos+ Bsi kullaıldığıda, yt () = si( t) tekrarda elde edilir. 3..4. Theta metodu (, ), ( ) ( ) ( ) ' u t f tu t u t u olarak, = = başlagıç değer problemii θ-metodu ile ümerik ( ) ( θ) u = u + h u + θu u = u t + + ile çözülür. θ Burada, θ= alıırsa, İleri-Euler yötemi elde edilir. θ= ile Geri-Euler yötemi elde edilir. θ=/ olduğuda ise, Yamuklar yötemi elde edilir. θ-metoduu (3..) deklemie dayadırdığımızda, (,, )( θ) θ (,, ) u + = u + hf t u z + F t+ u+ z + elde edilir ( ) Burada, z h wj K t, tj, u( tj) = olur. (3..) itegro-diferasiyel deklemii ele j= alalım. E geel haldeki Theta metodu; t t+ ( ) ( ) yazıldığıda, y+ = y + h[( θ)( y sds) + θ(- y sds)] a b f f f t dt h f f f f h wf ( t ) olduğu kullaılarak, () = [ + + +... + + + ] = j j j= + y = y + h[( θ)( h wf ) + θ(- h wf)] + j j j j j= j=

h wf j j = ( ) j= I olmasıda faydalaarak, + eşitliği elde edilir. + θ(- h wy + h wy) j j j j j= j= h h y+ ( + θ ) = y + h[( θ)( I ( )) + θ( I ( ) y) elde edilir. Burada y + yalız bırakıldığıda, y h y + h ( θ)( I ( )) + θ( I ( ) y) = h (+ θ ) + şeklidedir. Eşitliği e so hali, yukarıda belirtildiği gibi Theta metodu dur. (3..4) 3..5. Açık Metot Theta metoduda (4..4) deklemide θ = verilerek, aşağıdaki forma döüştürülür. y = y + h[( + I ( ))] (3..5) Bezer şekilde θ = alıdığıda metodu birici mertebede yakısadığı görülür. Nümerik hata tablosu oluşturulduğuda, Örek (3..9) u θ = içi hata tablosu, t h=. h=.5 h=.5..67e-4.4e-4 5.7e-5. 8.3e-4 4.56e-4.38e-4.3.98e-3.5e-3 5.4e-4.4 3.6e-3.88e-3 9.56e-4.5 5.66e-3.9e-3.48e-3.6 8.e-3 4.5e-3.e-3.7.9e- 5.55e-3.8e-3.8.4e- 7.e-3 3.57e-3.9.74e- 8.76e-3 4.39e-3..9e-.5e- 5.5e-3

3 3..6. Kapalı Metot So olarak (3..4) deklemide θ = alıarak, kapalı metot elde edilir ki, bu deklem y h y + h( I ( ) y) = h ( + ) + (3..6) şeklidedir. Bu metotta açık metot gibi birici mertebede yakısar. Nümerik hata tablosu aşağıdaki gibi verilebilir. Örek (3..9) u θ = içi hata tablosu, t h=. h=.5 h=.5. 3.3e-4.45e-4 6.75e-5..5e-3 5.36e-4.58e-4.3.44e-3.6e-3 5.68e-4.4 4.6e-3.e-3 9.9e-4.5 6.9e-3 3.7e-3.5e-3.6 8.77e-3 4.3e-3.4e-3.7.6e- 5.7e-3.84e-3.8.46e- 7.4e-3 3.6e-3.9.78e- 8.86e-3 4.4e-3..e-.5e- 5.6e-3 3..7. Yamuklar metodu (3..4) deklemide θ =.5 verildiğide theta metodu aşağıdaki gibi olur ki, y h h y + ( ( )) ( ( ) ) I + I y = h ( + ) 4 + (3..5) yamuklar metodudur. θ yukarıdaki gibi alıdığıda, yötem ikici mertebede yakısama sağlaır. Nümerik hata tablosu da aşağıdaki gibidir. (3..7)

4 Örek (3..9) u θ =.5 içi hata tablosu, t h=. h=.5 h=.5. 8.8e-5.7e-5 5.8e-6..63e-4 4.8e-5.e-5.3.38e-4 5.97e-5.49e-5.4 3.7e-4 7.67e-5.9e-5.5 3.65e-4 9.4e-5.9e-5.6 4.e-4.3e-4.58e-5.7 4.46e-4.e-4.79e-5.8 4.64e-4.6e-4.9e-5.9 4.66e-4.7e-4.9e-5. 4.5e-4.3e-4.8e-5 Bir itegro-diferasiyel deklemi Ruge-Kutta yötemi ile ikici mertebede yakısatabilmek içi, aşağıdaki işlemler düzeleebilir. Buu içi diferasiyel kısmı içi ikici mertebede Ruge-Kutta yötemi uygulayalım. Buula birlikte, itegral kısmı içi dikdörtgeler yötemi kullaırsak, birici mertebede yakısar. Buu edei, dikdörtgeler yötemii birici mertebede yakısamasıdır. Eğer, itegral kısmıı yamuklar metoduyla yakısatırsak, itegro-diferasiyel deklem ikici mertebede yakısar. 3..8. İkici mertebede Ruge-Kutta metodu (RK ) Örek 3..3. y' ( ) t = y sds t, y () = (3..8) (3..8) itegro-diferasiyel deklemi göz öüe alalım. Gerçek çözüm, y = cost olur. Bu İtegro-diferasiyel deklemi, ikici mertebede Ruge-Kutta metodu (RK) ile çözebiliriz. Adi diferasiyel deklemlerde RK metodu aşağıdaki gibi verilir. k = hf( t, y ) k = hf( t + hy, + k ) y = y + + [ k k ] +. Şimdi Ruge-Kutta metoduu itegro-diferasiyel deklemlere uygulayalım.

5 t ( ) k = hf( t, y, y sds) k = hf( t, y, h w y ) j j j= t+ + ( ) k = hf( t + hy, + k, y sds) k = hf( t + hy, + k, h y ) j j= Böylece, k = hii () h k = hii [ () + ( yi () + yi ( + )] olduğu görülür. h y ( i+ ) = y() i + [ hi ( i) hi ( i) ( y( i) + y( i+ ) ) ] Gerekli düzelemeler yapılarak, h h ( i + ) + = y() i + hi( i) y ( i ) y ve 4 4 y( i+)= h y() i hi ( i) 4 h + 4 elde edilir. (3..7) Örek (3..) içi h=., h=.5, h=.5 verilerek ümerik hata tablosu aşağıdaki gibidir. Örek (3..9) u RK hata tablosu, t h=. h=.5 h=.5. 8.3e-6.8e-6 5.e-7. 3.3e-5 8.7e-6.7e-6.3 7.37e-5.85e-5 4.6e-6.4.3e-4 3.4e-5 8.e-6.5.99e-4 4.99e-5.5e-5.6.8e-4 7.5e-5.76e-5.7 3.75e-4 9.39e-5.35e-5.8 4.77e-4.e-4.99e-5.9 5.86e-4.47e-4 3.67e-5. 7.e-4.75e-4 4.38e-5

6 4. PARABOLİK TİPTEKİ VOLTERRA İNTEGRO- DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ Bu bölümde amaç öcelikle Volterra itegro-diferasiyel deklemleri geel taımı verilecek. Bu tipteki itegro-diferasiyel deklemleri ümerik çözümlemeleri üzeride durulacaktır. Parabolik tipteki itegro-diferasiyel deklemleri iki zama aralığıda yakısaklık ve kararlılığı verilecek. Eğer itegral terim yok ise bu metotlar, Crak-Nicolso ve Geri-Euler metotlarıa idirgeir. Daha yüksek mertebede kesme hataları vere dikdörtgeler metodu tarafıda her bir durumda itegral terimie yaklaşılır, böylece metodu daha kullaışlı olması amacıyla dikdörtgeler metodu içi geiş zama adımları kullaıldı. 4.. Giriş t ut + Au = KtsBu (, ) () sds+ f(), t t (4..) A sıırlı olmaya pozitif H Hilbert uzayı içide D(A) üzerideki bitişik operatördür. B, D(B) D(A) Hilbert uzayı üzeride bir operatördür. Bu eşitlik u()=v başlagıç şartı verilsi. K(t,s), s t arasıda her ikiside değişebile gerçek değerli düzgü sürekli bir foksiyodur. u(x,t) Ω x R + üzeride taımlaa tipik durumdur. Eliptik form, biçimide verilir. Au = aij (4..) i, j= x i u xj Bu diğer diferasiyel operatör iki veya daha az mertebededir. H= L ( Ω ), ( ) DA ( ) = H ( Ω ) H Ω.

7 Bu çalışmada, Geri-Euler ve Crak-Nicolso metotlarıı sırasıyla (4..) deklemie dayadırarak iki farklı zama ayrımıı yakısaklık souçları ve kararlılığıı elde edeceğiz. Pratikte x -uzay ve t-zama değişkeleri olduğuda A ve B operatörleri gerçek diferasiyel operatörler değildir. Bu operatörler h parametresie bazı oktalarda bağlı olduğu gösterilecektir. Eğer, elde ettiğimiz tüm hesaplamalar h içide ayı ise, souçlarımız kullaışlı olacaktır. Zama aralığıı bu iteliği bu çalışmada icelee itegral terimii ele alıış biçimide yatıyor. k zama adımı sıfıra yakısadığıda, Geri-Euler veya Crak Nicolso geçerliyke, gittikçe seyrek ola itegral terimii zama aralıklarıı kullaacağız. Özellikle Crak-Nicolso metodu içi bazı farklı itelikleri aalizi içie kullamak amacıyla itegral terimii bu ekoomik davraışı görülecektir. 4. PARABOLİK VOLTERRA İNTEGRO-DİFERANSİYEL DENKLEM 4... Taım u t t ( x, t) = Au( x, t) + K( t, s) Bu( x, s) ds + f ( x, t D = B L { x, t) < x, < t T} λ ) (4..) D = ( π u başlagıç ve sıır-değer şartlarıa sahip ve x π u( x,) = f ( x) (4..) u(, t) = u( π, t) = olsu. Burada D i kapaışı D şeklidedir. A, ikici mertebede eliptik kısmi diferasiyel operatör ve B, ikici mertebede kısmi diferasiyel operatördür. Burada, her ikisi de sürekli foksiyolar olsu. (4..) eşitliğie (4..) başlagıç ve sıır değer şartlarıı uygulaarak çözülecektir. Çekirdek K ( s, t) sürekli, s t içi her değer içi gerçel değerli bir foksiyo, f ( x, t) x ve t i sürekli bir foksiyou olsu. Bu tipteki itegro-diferasiyel dekleme parabolik tipteki itegro-diferasiyel deklemler deir.

8 4... Dikdörtgeler Metodu Nümerik metotlar k zama adımıyla dikdörtgeler metoduu bir bileşimi olacaktır. D i taımıı düşüdüğümüzde, biz m ve yi pozitif tamsayılar içi taımlası. i, j π T h= k = m {( ) } Di, j= ih, jk i=,,,..., m ; j =,,,..., m D üzeride taımlamış herhagi bir U foksiyou içi, U i, j = U ( ih, jk) olsu. Biz (4..) içideki farklı ayrışımı ile zama türevii yer değiştirilip, itegral terime U i, j = U ( ih, jk) ve α j dikdörtge oktalarıı olduğu u(x,s) ye yaklaştığı yerlerde dikdörtgeler metodu kullaıldığıda, k j= ( ) ( ) Kts (, ) uxsds (, ) k αjk t, jk U ih, jk (4..3) şeklidedir. Böyle bir metottaki e büyük sorularda biri eğer j içi α olmasıdır. Daha sora Uih (, jk ) i tüm değerleri korumak zorudadır. Sloa ve Thomee (986) birkaç okta üzerie dayadırdığı verileri saklamaya ihtiyaç olduğu zama seviye sayısı azaltılarak dikdörtgeler metodu öe sürüldü. Dikdörtgeler metoduu e geel formu şeklidedir. σ t g = k gt ( ) g s, t = jk (4..) ( ) α ( ) j j j j= j U U k j j j= (, ) (, ) = AU + α K t t U ih jk (4..3) Geri-Euler metoduu doğruluk mertebesiyle oluşa e basit dikdörtgesel metot, j= α j = k = t = T olsu diye j içiα j = k seçilerek σ g = k g tj, tj = jk metottur. ( ) ( ) j=

9 4... Örek t u u ( xt,) = κ ( xt,) + λ exp( ( t τ)) ux (, τ) dτ t x (4..4) t, x π içi, u( x,) = si x, u(, t) = u( π, t) = başlagıç şartlarıyla verilsi. Bu deklemi gerçek çözümüü (3..4) eşitliğii Laplace döüşümüü alırsak, t u u L ( xt,) = Lκ ( xt,) + λ exp( ( t τ)) ux (, τ) dτ t x u du( xs, ) u L ( xt,) (,) = ve L xt = sl{ uxt (,)} ux (,)} = su( xs, ) ux (,) x dx t olmasıda faydalaarak, { } L uxt (,) = U( xs, ) = U olduğu yerlerde du( xs, ) U( xs, ) su( xs, ) ux (,) = K +λ dx s+ (4..5) L{ exp( at) } = s > aolduğuda s a (4..5) buluur. (4..5) deklemi yeide düzeleerek ve ux (,) = si x başlagıç şartı kullaılarak biz du λ s s K + U( xs, ) si x = dx s+ veya K tarafıda her iki taraf bölüerek, du λ si (, ) s + U xs s x = dx Ks ( + ) K (4..6) (4..7)

özel çözüm içi, V( xs.) = Asix+ Bcos x her iki tarafı türevi alıarak, (4..8) V '' ( xs.) = Asix Bcos x elde edilir. (4..9) U''( xs, ) ve U( xs, ) yerie (4..7) eşitliği içideki V( xs, ) ve V ''( xs, ) koyarsak aşağıdaki eşitliği elde ederiz. λ Asix Bcos x+ ( Asix+ Bcos x) = Ks ( + ) s s si x K (4..) (4..) eşitliğide B= olduğu görülür. (4..) tekrar düzeleip ve B= kouldukta sora biz si x A A λ = Ks ( + ) K s + A = s + s K + + K λ olduğuu görürüz. ( ) (4..) i çözümü s s si x ve (4..) αβ, C (4..) t yi içere sıır şartlarıı Laplace döüşümü alıarak biz, { } { } ( π ) L u(, t) = U(, s) L u, s = U( π, s) (4..3) elde ederiz. (4..) içideki (4..3) ü ilk şartı kullaılarak, C+ C = (4..4) İkici başlagıç şartı [ U(, s) ] π = kullaıldığıda, Cexp λ s s C exp λ s + s = Ks ( + ) Ks ( + ) (4..4) ve (4..5) dec = C = elde ederiz ve böylece (4..7) çözümü (4..5) U( xs, ) = V( xs, ) halii alır. Eğer (4..8) eşitliğii (4..) deklemide kullaırsak, s + V( xs, ) = si x s + s( K + ) + K λ K + K + K 4λ α = ve β = koyalım.

Eşitliği tekrar yazdığımızda ( s + α) + ( α) ( ) s + α + β V( xs, ) = si x αβ, C olduğu yerde ( s ) ( s ) ( ) β ( s ) + α α β V( xs, ) = + si x + α + β + α + β (4..4) eşitliğie ters Laplace döüşümü uyguladığıda, ( s ) ( s ) ( ) β ( s ) α α β { } + + α + β + α + β L V( xs, ) = L + si x (4..6) (4..7) a > olduğu zama s + α > içi, ( s+ a) a ( ) ( ) L exp( at)cosat ve L exp( at)si at = = s+ a + a s+ a + a Bu edele biz, olur. α vxt (,) = exp( αt) cosβt+ siβtsi x olduğuu görmüş oluruz. β Bu yüzde, (4..4) bizim aa problemimizi gerçek çözümü böylece, α uxt (,) = exp( αt) cosβt+ siβtsi x β Gerçek çözüm böylece tamamlamış olur. (4..8) 4... Nümerik Çözüm Eğer ut içi Geri-Farklar uygularsak, (4..4) içideki terimi içi dikdörtgeler metodu uygularsak, U U U U + U = K k h i, j i, j i, j i, j i+, j j + λ exp( ( t τ)) ux (, τ) j v= u xx merkezi farklar ve itegral

K + α = ve K + K 4λ β = olduğu yerde elde edilir. α uxt (,) = exp( αt) cosβt+ siβtsi x β ( ) ( ) λ > içi u xt, = exp t cosh λtsi x (4..8) eşitliğide K = alıarak, ( ) ( ) (4..9) λ > içi u xt, = exp t cosh λtsi x (4..) (4..8)eşitliğide bezer şekilde K = ve λ = koularak, ( ) ( ) u xt, = exp t costsi x (4..) (4..), (4..) deki problemi e basit formua bezetilmiştir. Şimdi (4..8) deki öreği Crak-Nicolso ve Geri-Euler metoduyla çözeceğiz. Öcelikle (4..8) eşitliğide itegral terimi boyuca dikdörtgeler metodu kullaırız. Eğer ut içi Geri-Farklar uygularsak, (4..8) içideki u xx merkezi farklar ve itegral terimi içi dikdörtgeler metodu ile, ifadesii elde ederiz. U U U U + U = K k h i, j i, j i, j i, j i+, j j + λ exp( ( t τ)) ux (, τ) j v= Örek (4..) i dikdörtgeler metodu hata tablosu π h = T=.5 k=.5 k=.5 k=.5 x GERÇEK HATA HATA HATA 3.3.6448.984e-3.58466e-4.74675e-4.63.387.899e-3.99e-3.5463e-4.94.436.87567e-3.535e-3.798e-4.6 563.33855e-3.7993e-3.84536e-4.57.538.35545e-3.898e-3.888866e-4

3 4.3 GERİ-EULER METODU k zama adımı ise, Geri-Euler yaklaşık metoduyla, u u k + Au = k w K Bu + f,, (4.3.) j j j j= u DA ( ), u(,k) ya yaklaşık olduğu ve f = f( k), k = kk (, jk), başlagıç şartı u = u() = v, sağ taraftaki toplam t = k ya eşit ola t ile (4..) i itegral j terimii dikdörtgesel yaklaşımıdır. Bu edele w j dikdörtgesel metoduu ağırlık oktalarıdır. k j= ( ) gsds () k wj g jk (4.3.) Bu özel dikdörtgesel formül özel durumlarda da devam eder. Geri-Euler metoduu tam O(k) ile tutarlı ola e basit metot dikdörtgesel metottur, yai j içi w j =k olduğu oktalar içideki kuraldır. Buula beraber girişte açıkladığı gibi özellikle k küçük olduğuda oldukça fazla seyrek ola bir dikdörtgesel metodu kullamaı pek çok sebebi vardır. Bu edele, buu yerie biz mümkü olduğu kadar daha geiş k = mk zama adımlarıa sahip dikdörtgesel bir metot bulmaya çalışıyoruz. (m i k ye bağımlı olduğu bir pozitif tamsayı olduğu ve öreği m= k / k / O( k ) = olduğu yerde). l = l ( ) e büyük sıfır olmaya tamsayı ki, lk < k yı biz[, lk ] [ lk, k] alalım. İtegral aralığı ve k adım aralığı ile dikdörtgesel kuralı tarafıda ilk öce alt aralıklar üzeride itegral yaklaşımı ve k adım aralığı ile dikdörtgesel metodu yazarız. İkici parça içi dikdörtgeler metodu yeterlidir acak ilk kısım içi daha yüksek mertebede kurala ihtiyaç duyulur. j, k da da daha yavaş sıfıra yaklaştığı içi k telafi edilebilirdir. İlk terim içi yamuklar metodu öe sürüyoruz. k gsds () k g() + gk ( ) +... + g( ( l ) k)

4 + k+ kglk ( ) + kg( lk+ k) +... + g( ( ) k), (4.3.3) Yukarıdaki gibidir ki eğer l= ise, yamuklar metodu yok sayılacaktır. Açıkçası bu çok sayıda değeri sıfır yapa ağırlık oktaları ile (4.3.) deklemii bir formülüdür. Eğer biz k yi sabit tarafıda yukarıdaki gibi sıırladırıldığıı varsayarsak, yeterli düzeli foksiyo ola g içi kesme hatası Ok ( kk) / + mertebededir. Bu edele, eğer k O( k ) tutarlılık başarılıdır. Eğer k = mk ile m= k / = ise, Geri-Euler metoduyla içi bu durumu gösterir. j > içi, w j (4.3.3) dikdörtgesel kuralı oktaları, yeterice büyük içi, yalızca k adım uzuluğuu yamuklar kuralı içidekilerdir ve bu yüzde de bağımsızdırlar. w j wj, > i( j), = wj, j < i( j), (4.3.4) Daha kesi biçimde w j ve daha büyük ise, k /k=m i e küçük çarpaıdır. w j her ikisi de de bağımsız olduğu yerlerde ve j de w j oktaları kadım uzuluğu içi yamuklar metoduu oktalarıdır. j, sıfır, m i sıfır olmaya çarpaı, m i çarpaı olup olmadığıa göre sıfır veya k,/ k değerlerie sahiptir. w j oktaları, j i yakııda olduğu zama uygulaabilir. / k +k değeri m i sıfır olmaya çarpaı j olmadıkça k dikdörtgesel değerie sahiptir. i bağımsız ve j < içi elde edilebilir toplama sahip iceliği tarafıda w j sıırladırılır ki, bu bize daha sora yardımcı olacaktır. Özellikle, (4.3.4) da elde ettiğimiz ( ) w max w, w = w, (4.3.5) j j j j olduğu yerlerde ( k farz edilerek) kolayca görülür.

5 wj k + (4.3.6) j= Şimdi (4.3.) eşitliğii kararlılığıı düşüelim. u = Eu + ke h (4.3.7) k k, olarak (4.3.) ü sağ taraftaki toplamı yazıldığıda ve u içi (4.3.) açıkça çözüldüğüde, biz E I ka k = ( + ) olduğu yerlerde, A ı özdeğerleri da uzakta sıırladırıldığı içi A gerçekte pozitif taımlılığı sayeside H üzeride sıırlı bir operatördür, biz olduğu yerlerde, E r( ka) Ek < elde ederiz. r i k = yazmak kullaışlıdır. r( λ) ( ) = + λ rasyoel foksiyo u()=v başlagıç şartı kullaılarak ve tekrarlaılarak biz bu edele Şuada ikici terim ( ) u = Ev+ ke q + f, elde ederiz. j+ k k j j j+ + k j + j j= j= u v k E q k f, (4.3.8) ve bu edele, j j+ j+ j+ Ek qj = Ek wjskjsbus = wjskjsek Bus j= j= s= s= j= s+, K ve c bazı sabitleri içi j+ j+ k j js js k s j= s= k E q w k E ka A Bu A Bg cg g DA ( ) (4.3.9) ve Kts (, ) K (4.3.) uygu olarak kabul edilir. Sorakide ve (4.3.5) de takip edildiğide,

6 j+ wjsk jsek sup js js j= s+ λ R j= s+ w K r ( λ) j+ λ j+ λr( λ) ( λ) λ olur. j= s+ λ R r( λ) Kw sup r Kw sup = Kw s s s λ R Bu edele, (4.3.8) deklemide aşağıdaki ifade elde edilir: u v + k f + Kc w u j s s j= s= Aşağıda, ispatlarımızda kullaacağımız Growall Lemmasıı verelim. Lemma 4.3.. { w } egatif olmaya reel sayıları bir dizisi olsu. w α + β w,, s s s= β ve egatif olmaya azalmaya dizi α } olduğu yerlerde belirtilir. Daha sora, s w s s= { α exp β, Lemma 4.3. yardımıyla (4.3.6) sıırıı so adımda kullaıldığı yerlerde, u v + k fj expkc ws v + k f j exp Kc k + j= s= j= elde ederiz. ( ( )) Teorem 4.3.. (4.3.8) eşitliği farz edilsi. Daha sora eğer k dikdörtgesel metodu ile Geri-Euler metodu (4.3.) üretir. ( ) ( )( max j ) u C T v + k f C T v + f j j j= T ise, (4.3.3) Daha sora ki adımda zama ayrımıda souçlaa hata içi bir hesap elde edilir. ξ = u uk ( ) alııp, (4.3.) ve (4..) de takip edilebilir ki, ξ bu eşitliği belirtir. ξ ξ k + Aξ = w K Bξ +Γ, (4.3.) j j j j=

7 Gerçek çözümü, k u( k) u( ( ) k ) Γ = ut( k) k( k, sbu ) ( s) ds+ wk j jbu( jk ) tt k u v + c sağladığı varsayılırsa, ilk iki terimi farkı ormu içide ck / ile sıırlaır. Dikdörtgesel yaklaşımda kesme hatasıa yapıla katkı, ilki k adım uzuluğua sahip yamuk metoduda, ikicisi ise dikdörtge kuralıda kayaklaa iki kısımda meydaa gelir. j= Eğer biz ( )( KstBu (,) () t c ve ( )( KstBu (,) () t c t t 3 olduğuu varsayarsak, daha sora kc3k + kck. dikdörtgesel hata ile sıırladırılır. Bu yüzde, ek olarak k = Ok ( ) varsayarsak, sorada toplam kesme hatası bazı sabit c 4 ler içi, Γ kc k (4.3.) sağlar. 4, Yukarıda, K her yerde yeterice düzgü sürekli farz edildiği içi, kbu üzerideki yukarıdaki koşullar, Bu da ki uygu koşullarla değiştirebiliir. (4.3.) (4.3.) ile ayı ama ξ tarafıda Teorem de heme takip edilir ( v = ξ = ). u ve Γ kesme hatası tarafıda f Teorem 4.3.3. (4.3.8) deklemii elde ettiğimizi ve u tt, Bu, Bu tt [, T ] sıırladırıldığıı varsayalım. Hatta the Geri-Euler metodudaki hata k / Ok ( ) = olduğuu farz edelim. Daha sora, ( ) ( ), u u k C T kk T yı sağlar. Bu yüzde, eğer çözüm u yeteri kadar düzeli sürekli ise, [, T ] sıırlı bir zama aralığıda, Geri-Euler metodu O(k) mertebesi ile yakısar. (Girişte belirtildiği gibi, h i içide, çeşitli sıırlar bezer olmalıdır.

8 Teorem 4.3.3 deki düzelilik koşulları oldukça katıdır. Problemi parabolik karakteride kayaklaa düzgü süreklilik iteliği sayeside, buu biraz hafifletilebileceği bekleir. Ayrıca, Bu tt sıırlı olmasa da, k / Ok ( ) = yi kümeleyerek, Ok ( ) i yakısama oraıı yiede devam ettirebileceğie dikkat edilmelidir. Eğer itegral i ilk türevleri ile sıırlaırsa, bu yamuklar kuralıı Ok ( ) mertebeside bir kesme hatasıa sahip olmasıda dolayıdır. Tabi ki bu durumda, yamuk kuralı k adım uzuluğuu dikdörtge kuralı üzeride herhagi bir öemli avataj ortaya çıkarmaz. 4.4 CRANK-NICOLSON METODU (4..) i zama ayrımlı versiyou, u u u u + + A = wj Kj Buj + f (4.4.) k j= Sağ taraf üzerideki toplam ve ( ) O ( ) ( ), (( ), ) f = f k K = k jk k, k olduğu yerlerde t = k dikdörtgesel bir yakısamadır. Bu edele bu oktalardır. ( /k) g( sd ) s wjg jk j= ( ) ile(4..) i itegral terimie w j oktaları dikdörtgesel formu Dikdörtgesel kuralı açık bir şekilde belirtmek içi lk egatif olmaya tamsayı l l ( ) = olsu. İtegral aralığıı ( ) < k öyle ki, e büyük k, k olarak yazalım. İlk aralıkta k adım uzuluğuyla Simpso kuralıı, ikici kısımda yamuklar k adım aralığıyla yamuklar kuralı ve so adımda k / adım aralığıyla tek bir dikdörtgeler kuralı kullaılır. Bu edele bu yaklaşım,

9 ( /k) g( sd ) s k g + g k + g k + + g l k 3 ( ) 4 ( ) ( )... 4 (( ) ) + k+ kg( lk) + kg( lk+ k) +... + g( ( ) k), 3 (4.4.) eğer l = veya = lm + ise uygu değişimlerle sağlaır. (Birici durumda Simpso kuralıı katkısı yoktur. İkiciside, yamuklar metoduu katkısı yoktur, böylece kare paratezii ikici dizisi içideki terimler ihmal edilecektir. Eğer k yukarıda T ile sıırladırılırsa daha sora kesme hatası Okkk ( + k ) 4 mertebededir. Bu edele kesme hatası Ok ( ) mertebededir. Bu edele eğer, k / Ok ( ) = ise, Crak-Nicolso yötemi ile tutarlılık sağlaır. 4.4.. Crak-Nicolso metodu aalizi Crak-Nicolso metodu bize (4..4) deklemii Ok ( ) yerel kesme hatası verir. Öcelikle bu problemi, itegral terim içi dikdörtgeler metodu ile kapalı metot ile çözüp bu metot içi kesme hatasıı Ok ( ) olduğuu gördük. İkici olarak, bizim asıl amacımız kesme hatasıı Ok ( ) olduğuu, parabolik kısım içi Crak-Nicolso, itegral terim boyuca Simpso + yamuklar + dikdörtgeler uygulayarak göstermektir. Bu hesaplamalar bezer durumlarda da devam eder. Bu metot içi ümerik çözümlemeler Crak-Nicolso metodu içi hata tablosuda verilmiştir. Tabloda alaşılacağı üzere itegral terimi içi uygulaa metotlar (4..4) deklemii ikici mertebede yakısatır. Bu edele, isteile Ok ( ) sağlamış olur. Hata aalizi tablosuu elde etmede MATLAB programı kullaıldı. Program sırasıyla theta yerie ve.5 alıdığıda iki yötemi (Geri Euler ve Crak- Nicolso metodu) de hata aalizi soucuu elde edebiliriz.

3 % solve parabolic volterra eq, file parvol.m % k=time-step, q=o of time-steps, th=theta, la=coeff % (x,x)= space iterval, *=o of steps i x % u(:+) gives iitial values of u (symmetrical) % u(i) = u at x+(i-)*h, u()= % b= gives u i itegral, b= gives uxx % it= gives rect rule, it= gives mixed rule q=4;k=.5/q;th=.5;la=-;x=;x=pi;=5;b=;it=; h=(x-x)/(*); r=k/h^; % for i=:5;s=h*(i-);for j=:q+;t=k*(j-); uexa(j,i)=exp(-t)*cos(t)*si(s); ed ed for j=:q+;uexa(j,5)=uexa(j,5);ed for i=:5;u(i)=uexa(,i);ed m=fix(/sqrt(k)); k=m*k; % set up ad factorize matrix i A for i=: A(i,)=-r*th; A(i,3)=A(i,); A(i,)=+*r*th; ed A(,)=-*r*th; for i=: A(i,)=A(i,)/A(i-,); A(i,)=A(i,)-A(i,)*A(i-,3); ed % time-loop, solutios stored i US i=roud(q/m)+m+; % o of time steps to be stored u(+)=u(); US=zeros(i,+); US(,:)=u; ct=; time()=; for j=:q; t=j*k; j=j-ct*m; % calculate rhs of eqs, icludig itegral for i=: d(i)=r*(-th)*(u(i+)+u(i))+(-*r*(-th))*u(i+); %irtegratio simp/ trapezium/rec sum=; for c=:ct+j; st=time(c); f=us(c,it+); if b> f=(us(c,i+)-*us(c,i+)+us(c,i))/h^; ed if c<ct+ if c== cf = k/3; ed if c== cf = (4/3)*k; ed if c> cf = *k-cf; ed; ed if c==ct+ if ct== cf = k/; else cf = k/3 + k/; ed; ed if c>ct+ cf = k; ed sum=sum+cf*exp(st-t)*f; ed d(i)= d(i)+la*k*sum; ed % solve equatios for i=: d(i)=d(i)-a(i,)*d(i-); ed u(+)=d()/a(,); for i=-:-: u(i+)=(d(i)-a(i,3)*u(i+))/a(i,); ed u(+)=u(); ced=ct+j+; % test j for multiplies of *m, reduce storage if j==*m ct=ct+; US(ct,:)=US(ct+m-,:); time(ct)=time(ct+m-); ced=ct+;ed US(ced,:)=u; time(ced)=t; ed; % of time-loop

3 Örek (4..) i CN metodu hata tablosu π h = t=. k=.5 k=.5 x GERÇEK HATA HATA.3 -.743636.5e-4.548e-5.63 -.333683.38544e-4.9558e-5.94 -.455633.5657e-4.3967e-4.6 -.5356885.6583e-4.6884e-4.57 -.563935.6583e-4.6884e-4 (4.4.) kuralı içi w j dikdörtgesel oktaları j de daha büyük ola k / k = m i e küçük katı ola i( j ) ve de her ikisi de bağımsız ola w j wj ve 4 ile (4..6) ı formları açıklaabilir. w j, > i( j) içi, veya k, k, k bu 3 3 3 değerlere sahip ola, j i,m i tek katı m i olmaya bir kat veya m i bir kat olup olmadığıa göre Simpso kuralıı oktalarıdır. w j oktaları j ye yakı ve j = içi k ve j içi k + k değerie sahip ola j m i çift katı 3 olmadıkça k değerie sahiptir. (4.3.6) eşitliğide kolayca takip edilebilir ki, verilirse, Crak-Nicolso metodu içi belirtilir. w = w w tarafıda j max( j, j) j w ( ), ( ) g λ = I + λ r λ = I + λ I λ ile Ek = I + ka I ka = r( ka), Gk = I + ka = g( ka), olduğu yerlerde, u = Eu + kg h,, k k j tarafıdaki Crak Nicolso eşitliği tarafıda u içi çözüm üzeride, (4.3.) i sağ

3 h = w K Bu + f = q + f, gösterilir. j j j j= Kolayca görülebilir ki, E, G <. Tekrarlaırsa ve u()=v başlagıç şartı kullaılarak elde ederiz. Bu edele k j k k k j j= j + k k j + j j= j= k u = Ev+ k E G h, (4.4.3) u v k E G q k f (4.4.4) olur. İkici terimi üretir, toplamı mertebesi değiştikte sora j j Ek Gk q j = wjs K js Ek Gk Bus j= s=, Ve bu edele, (4.3.8) düşüülürse, Geri-Euler metodu tartışıldığıda, biz k E G q c w K E GkA u j j k k j js js k k s j= s= j= s+ j ( λ) ( λ) λ yazarız. Bu oktada j wjs K js Ek GkA k sup wjs K js r g j= s+ λ R j= s+ Geri-Euler durumuda ilgiç bir fark vardır. Çükü, λ > içi r( λ ) egatif değer aldığıda dolayı bu toplam büyük λ içi toplam altere serileri olur ve böylece w ve K js js i üst sıırları tarafıda yerie geçerek elde edile hesaplamalar artık kullaışlı değildir, souç olarak λ büyük olduğuda toplam büyük ihmaller içerir. Çekirdek K içi varsayıla süreklilik ve dikdörtgeler metoduu süreklilik iteliği sebebiyle daha ileriye gidebiliriz. (Sabit j içi biri içide de bağımsızdır). (4..4) deklemi yardımıyla, bu j ( λ) ( λ) λ j wjs K js Ek GkA k sup ws wjs K js r g j= s+ λ R j= s+ w j katsayısı i iki aralığıı her

33 is () sağlaır (eğer is () ws wjs K js r g j= s+ + j ( λ) ( ) λ λ > ise, bezer ve kolay bir tartışma elde edilir). Sağ taraftaki toplamı değerledirmek ve r < eşitsizliğii elde etmek içi parçalarla toplamı elde ederiz. q q q p j = q ( p p ) ar a r a a r j j j j= j= p=+ l j=, ( r( λ) ) g( ) q aq + ap ap r p=+ l λ λ = olduğu içi, (4.3.) tarafıda belirtilir ki j wjs K js Ek GkA k 4wk s + ws Kps Kp, s j= s+ p= s+ (4.4.5) K her iki değişkei sürekli foksiyou farz edildiğide dolayı, t δ k( ts, ) dt C3( T) olduğuu varsayabiliriz δt Daha sora (4.4.5) deklemideki toplam k T içi C ( T ) tarafıda 3 sıırladırılır. Bu durumda (3.4.3) kullaılarak aşağıdaki durumu elde ederiz. ( 4 3( )) u v + k f + c K + C T w u j s s j= s= Yukarıda verilmiş olduğumuz Growall Lemması, (4.3.6) ile birleştirildiği zama teorem 3.4. i elde ederiz. Teorem 4.4.. (4.3.8) deklemii göz öüe aldığımızda daha sora eğer k (4.4.) dikdörtgesel formülü ile (4.4.) Crak-Nicolsa metodu üretir. u C4( T) v + k fj C5( T) v + max f j j= T ise Teorem 4.4.3. (4.3.8) ele alıdığıda ve u ttt, Au ttt, Bu, Bu t, Bu tt, Bu ttt, Bu tttt, Bu ttttt [, T ] üzeride sıırladırıldığıı ve k = olduğuu farz / Ok ( )

34 edelim. Daha sora (4.4.) dikdörtgesel formülü ile (4.4.) Crak-Nicolso metodu içi hata, içi karşılaır. ( ) ( ) u u k C T k k T 6, Geri-Euler metodua bezer bir yolla, daha az düzelilik halide bile, k yı / k de daha hızlı ola a yaklaşması içi zorlayarak yakısama mertebesi koruabilir. Öreği, tüm koşullar sağlaırsa, Buttttt dışıda, yakısama mertebesi devam ettirilir, eğer k /3 Ok ( ) olmasıda kayaklaır.) = ise, (Bu Simpso kuralıı Ok ( ) kesme hatasıa sahip 3 4.5 UYGULAMA Bu kısımda ikici paragrafta gösterile A ı ikici mertebede bir eliptik, B i iki veya daha az mertebeli bir diferasiyel operatör olduğu durumu ele alacağız. Başlıca amacımız koşul (4.3.8) i ve teorem (4.3.) ve (4.3.3) deki düzeliliği eyi sağladığıı görmektir (4.3.8) durumu tam diferasiyel operatörü karşıladığıa dikkat ederek başlıyoruz. Gerçekte, Bv cv c Av, H v DA ( ) = H ( Ω ) H ( Ω ) elde ederiz. (Bu kısımda cfarklı olaylarda, farklı değerler ala bir sabittir. Böylece, v= A g yazdığımızda, BA g cg, g L elde ederiz. Ayı souç, (4.3.8) de gösterile B* yerie koa B ile elde edilir. Yiede, pratikte A ve B i uzay ayırımlı bazı şekillerde elde edile operatörleri temsil ettiğii ve h ye göre hesapları bezerlerii sağlamak içi daha sora gerekli olduğuu hatırlarız. Özel olarak, solu-elemalar metoduu ele alırız ve bir stadart üçgeselleştirme tarafıda Sh H ( ) Ω parçalı-lieer yaklaşımı ile birlikte yeide bölüe bir dışbükey bölge varsayarız. Eğer A ve B operatörleri ile ilgili bi-lieer şekiller, her biri

35 ayrı ayrı aψ,x ( ) ve bψ,x ( ) ile belirtilirse içide A h ve B h yaklaşık operatörlerii ( Aψ, ) = a( ψ,x ), ( Bψ,X ) = b( ψ,x ) ψ,x S h h h şekilledirerek taımlayabiliriz Böylece, bu durum içi D( A ) = D ( B ) = H = S h h h S h Şimdi, A h ve B h ile yer değiştire, A ve B ile (4..8) i ispat etmeye çalışacağız. Burada, α bir sabit olduğuda, B= αa düşük mertebeli terim olduğu ek bir varsayımda buluacağız. Bu yüzde, sadece B i sıfırıcı mertebede veya birici diferasiyel operatör olduğu durumu ele alamız gerekir. Bu durumda, tüm türevleri ilk değişkedeki b( Ψ, X) i içie yerleştirebiliriz ve ( Bhψ,X) c ψ X elde Ω H ( ) ederiz. Böylece, Bψ = Bψ, Bψ c ψ Bψ ve h h h H ( Ω) h B ψ c ψ ca ( ψψ, ) = ca ( ψψ, ) A c A ψ olur. ( ) / / h H h h Ω Ψ= Ah g yı kullaarak icelediğimizde, g Sh olduğu soucua varırız. Yukarıda verildiği gibi, bu h i bağımsız bir sabit ola (4.3.8) i belirtir.souç olarak, çok kısa bir biçimde teoremdeki düzelilik koşullarıı ele alırız, 3.3.3 teoremdeki f(t) = durumuda, Geri-Euler durumu içi e az zor olalara odaklaarak. (4..) i çözümü t t ut () = Etv () + Et ( s)( Ks (, σ) Bu( σ) dσ ) ds ; t t () ( ( ) (, ) ( ) = Etv+ AE t sks σ ds) A Bu σ dσ ) ; (4.5.) yi karşılar, { Et (); tr } ı A tarafıda üretile bir semi grup olduğu yerde.

36 t t ( t s) λ ( ) (, σ) sup (, σ) + λ R AE t sks ds) λ e Ks ds K ; olduğu içi, (4.3.8) i ve Growall Lemması kullaılarak, (4.4.5) de t T içi ut () CT ( ) v soucuu çıkartırız. A yı (4..) e veya (4.4.5) ye uygulayarak ve ayrıca,, (4.5.) BA g cg g H varsayarak, Au(t) ile sıırlaa bir tartışma buluruz, v DA ( ) ise, t ye göre farklılaştırıldığıda, elde ederiz Yukarıdaki diferasiyel operatör durumua döersek, (4.4.6) i bu durumda sağladığıı hatırlarız. Öcede ele alıa solu elemalar yaklaşık operatörleri içi, bezer koşulu sağlaıp sağlamadığı, ilk baştaki vh sh değerii seçildiği yola bağlıdır. Bezer hususlar daha yüksek düzeleme gereksiimlerie kadar uzaır. Öcede belirtildiği gibi, bu düzelilik gereksiimlerii zayıflata oldukça büyük teşvikler vardır.

37 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Bu çalışmada amaç, Volterra tipideki itegro-diferasiyel deklemleri ikici mertebede yakısatabilmektir. Buu içi öcelikle, itegro-diferasiyel deklemleri taımı yapılıp, literatürde hagi alada e çalışmalar yapıldığıa ve itegro-diferasiyel deklemleri aalitik çözümlerie yer verilmiştir. Volterra tipideki itegro- diferasiyel deklemleri ümerik çözümlemeleri içi farklı metotlara değiilmiştir. E so Crak-Nicolso metodu kullaılarak, bu tip deklemleri ikici mertebede yakısak olduğu görülür.

38 KAYNAKLAR Bruer, H. 98. A survey of recet advaces i the umerical treatmet of Volterra itegral ad itegro-differetial equatios. J. Comp. Appl. Math., 8s., Machester. Dougles, J. JR. ad Joes, B.F.R. 96. Numerical methods for itegro-differetial equatios of parabolic ad hyperbolic types. Spriger Numer. Math., 4s., Berli. Gurtı, M. E. Pıpkı, A.G. 968. A geeral theory of heat coductio with fiite wave speeds. Spriger Arch. Ratioal Mech. Aal., 3s., Pittsburgh. Lode, S. ad Staffas, J. 979. Volterra Equatios. Lecture Notes i Mathematics 737. Spriger-Verlag, 4s.,Berli. Malec, M. 978. Sue ue méthode des différecesfiies pour ue équatio o liéaire itégro-differetielle a argumet retardé. Bull. Acad. Polo. Sci. Ser. Sci. Math.Astroom. Phys., 4s., Frace. Miller, R. K. 978. A itegro-differetial equatio for rigid heat coductors with memory. J. Math. Aal.Appl., 66s.,Japa. Nuziato, J. W. 97. O heat coductio i materials with memory. Quart. Appl. Math., 9s.,USA. Pavlov, A. P. 968. Stability ad covergece of the method of ets for a itegrodifferetial equatio of parabolic type, Trudy Irkutsk. Gos. Uiv., 6s., Rusya Retorys, K. 963. Die Losug der gemischte Radwertaufgabe ud des Problems mit eier Itegralbedigug"im Gaze" fiir eie ichtlieareparabolische Gleichug mit der Netzmethode. Czechoslovak Math.J., 88s.,89-8. Frace. Taverii. T. 977. Fiite differece approximatios for a class of semiliear Volterra evolutio problems. SIAM J. Numer. Aal., 4s.,Amsterdam. Thompso. R. J. 973. Differece approximatios for some fuctioal differetial equatios. Numerische, Spriger-Verlag, isbesodere approximatios theoretische Behadlug vo Fuktioalgleichuge, Lecture Notes i Mathematics 333s., Berli. Volterra, V. 959. Theory of Fuctioals ad of Itegral ad Itegro-differetial Equatios, Dover, 38s.,New York.

39 ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER : Adı Soyadı Doğum Yeri : Özur ÖZTUNÇ : Aydı EĞİTİM DURUMU : Lisas Öğreimi : Uludağ Üiversitesi Yüksek Lisas Öğreimi : Bildiği Yabacı Diller : İgilizce İŞ DENEYİMİ : Çalıştığı Kurumlar veyıl : Özel eğitim kurumları İLETİŞİM : E-posta Adresi : ozr83@hotmail.com Tarih :